CN103197556B - 基于吸引律的二分之一周期重复控制方法 - Google Patents

Abstract

基于吸引律的二分之一周期重复控制方法，给定具有半周期对称性的参考信号，依据检测获得的输出信号，比较模块产生跟踪误差信号；提供具有有限时间吸引性质的一种幂次吸引律，形成理想误差动态；依据其限定的动态特性构造e/v信号变换模块；构造半周期反馈环节，形成重复控制信号。将由重复控制器提供的控制信号作为被控伺服对象的输入，通过完全消除半周期对称干扰信号,实现位置伺服系统跟随参考信号变化。具体的控制器参数整定工作可依据表征系统收敛性能的指标进行，且提供了表征跟踪误差收敛过程的单调减区域、绝对吸引层和稳态误差带边界。

Description

基于吸引律的二分之一周期重复控制方法

技术领域

本发明涉及二分之一周期对称参考信号下的重复控制方法，适用于工业场合中的其它周期运行过程。

背景技术

重复控制系统具有“记忆”和“学习”特性，以跟踪误差信号修正前一周期的控制输入，形成当前的控制输入。这种系统能够完全抑制周期性干扰，实现精确控制。重复控制技术已成功应用于VCD/DVD、硬盘驱动、电力电子线路、UPS、电能质量控制以及旋转电机等工业场合。

由内模原理知，如果某信号被看作是一个自治系统的输出，将该信号的模型“嵌入”在稳定的闭环系统中，被控量的输出将能够完全跟踪参考信号。依据内模原理设计重复控制器，需构造周期信号内模T为给定的参考信号的周期，它可由一个含周期时延(e^-Ts)的正反馈回路实现。不考虑输入信号的具体形式，只要给定初始段信号，内模输出就会对输入信号逐周期累加，重复输出与上周期相同的信号。采用这种连续内模的重复控制器设计多是频域内进行。

实际控制系统采用计算机控制技术实现，控制器需以离散时间形式表达。离散重复控制器设计主要有两种途径：一种是通过离散化连续重复控制器得到；另一种是直接针对离散时间系统进行设计。取采样间隔T_s，使得参考信号周期为采样间隔的整数倍，记每个周期中的采样点个数为N，即T=NT_s。这样，离散周期信号内模为离散内模的计算复杂程度主要取决于采样周期T_s，实现离散周期内模时所需内存量正比于N。如果T_s取得过大，系统控制精度降低；取得过小，内模的阶次将会增加。

时滞内模的有限阶近似、或有限阶内模已引起人们的研究兴趣。例如，连续内模的有限维近似、拟前馈方法（PFF）以有限阶多项式建模带限干扰；梳状滤波器也被用作了离散时滞内模。更简单的情形是，针对正弦信号的跟踪/抑制问题，只构造正弦内模便可达目的。减少控制器的内存需求是实时控制时需解决的问题。减少控制器的内存占用量是重复控制实现时要考虑的问题。在Hoog的专利(HoogTJD.Repetitivecontrollerhavingreducedmemoryelements.UnitedStatesPatent,US7265932B2,2007)中，对于满足x(t+T/2)=-x(t)的二分之一周期对称信号，提出了一种二分之一周期重复控制内模，构造重复控制器，使得内存占用量，比整周期重复控制的内存使用量减少一半。Costa-Castello等设计的奇次谐波重复控制器有效利用信号的二分之一周期对称性，在频域中推导出二分之一周期对称信号的产生器。采用这种产生器使得内存占用量减小了一半(Costa-CastelloR,GrinoR,FossasE.Odd-Harmonicdigitalrepetitivecontrolofasingle-phasecurrentactivefilter.IEEETransactionsonPowerElectronics,2004,19(4):1060-1068)。上述重复控制器的设计是在频域中进行的，由于信号对称性表现在时域中，对于更为复杂的对称性信号并不能进行有效处理。本项目考虑的信号二分之一周期对称特性，比奇次谐波信号的二分之一周期对称性质更为一般。另外，重复控制器的时域设计易于结合现有的干扰观测技术。

发明内容

为了克服整周期重复控制器(同样是时域设计)未考虑参考信号对称性质和占用内存量较大的缺陷，本发明旨在提供一种二分之一周期对称参考信号下，能够显著减少控制器内存占用量，快速实现周期干扰完全抑制的，具有较高性价比的二分之一周期重复控制器及相应的位置伺服系统，其设计在时域中进行。

本发明为解决上述控制问题提供技术方案：以吸引律方法设计重复控制器，相应的闭环系统具有预先设定的，具有期望跟踪性能的误差动态，包括以下步骤

(1)建立位置伺服对象数学模型，其输入输出描述为

A(q^-1)y_k=q^-dB(q^-1)u_k+w_k(1)

其中，d表示延迟，u_k和y_k分别表示k时刻的输入和输出信号，w_k为k时刻的干扰信号；A(q^-1)和B(q^-1)为q^-1的多项式，

A(q^-1)=1+a₁q^-1+…+a_nq^-n

B(q^-1)=b₀+b₁q^-1+…+b_mq^-m

这里，q^-1是一步延迟算子，n为A(q^-1)的阶数，m为B(q^-1)的阶数；a₁,…,a_n,b₀,…,b_m为系统参数且b₀≠0；d≥1为整数。

(2)给定参考信号r_k，该参考信号具有二分之一周期对称特性：

$P1.r_k=\±r_{k-\frac{N}{2}}---\left(2\right)$

或

P2.r_k=±r_k′(3)

这里，

$k^{\′}=(\mathrm{ceil}\left(\frac{2k}{N}\right)-1)N-k,k\≥\frac{N}{2}$

r_k-N/2,r_k′分别表示k-N/2,k′时刻的参考信号。

(3)根据参考信号的二分之一周期对称特性，构造等效干扰d_k。其形式可针对情形P1、P2分别给出。

对于P1,

$d_k=w_k\stackrel{\‾}{+}{w}_{k-\frac{N}{2}}---\left(4\right)$

对于P2,

$d_k=w_k\stackrel{\‾}{+}{w}_{k^{\′}},k^{\′}=k^{\′}=(\mathrm{ceil}\left(\frac{2k}{N}\right)-1)N-k,k\≥\frac{N}{2}---\left(5\right)$

其中，w_k-N/2,w_k′分别表示k-N/2,k′时刻的干扰信号。

(4)提供的离散时间形式的幂次吸引律为

e_k+1=(1-ρ)e_k-β(e_k)^α(6)

其中，e_k=r_k-y_k表示跟踪误差；ρ、β为可调整参数，其取值范围满足β>0，0<ρ<1；吸引幂次α=p/q，0<p<q且p，q为奇数。

(5)幂次吸引律(6)本身形式上未带干扰抑制项，适用于确定性系统的控制器设计。

针对情形，闭环系统误差动态方程为

$e_{k+1}=r_{k+1}\&PlusMinus;y_{k+1-\frac{N}{2}}+A^{\&prime;}\left(q^{-1}\right)(y_k\&PlusMinus;y_{k-\frac{N}{2}})-q^{-d+1}(u_k\&PlusMinus;u_{k-\frac{N}{2}})-d_{k+1}---\left(7\right)$

式中，

A'(q^-1)=a₁+a₂q^-1+…+a_nq^-n+1=q(A(q^-1)-1)

将上式代入吸引律，可得

$u_k=\&PlusMinus;u_{k-\frac{N}{2}}+{\left[q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\right]}^{-1}[r_{k+1}\&PlusMinus;y_{k+1-\frac{N}{2}}+A^{\&prime;}\left(q^{-1}\right)(y_k\&PlusMinus;y_{k-\frac{N}{2}})-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\mathrm{\&alpha;}}-d_{k+1}^{*}]$

上述控制器的实现，需要给出式中d_k+1的补偿值并以代替这样，本发明提供的二分之一周期重复控制器具有如下形式：

$u_k=\&PlusMinus;u_{k-\frac{N}{2}}+{\left[q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\right]}^{-1}[r_{k+1}\&PlusMinus;y_{k+1-\frac{N}{2}}+A^{\&prime;}\left(q^{-1}\right)(y_k\&PlusMinus;y_{k-\frac{N}{2}})-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\mathrm{\&alpha;}}-d_{k+1}^{*}]$ 记 $v_k={\left[q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\right]}^{-1}[r_{k+1}\&PlusMinus;y_{k+1-\frac{N}{2}}+A^{\&prime;}\left(q^{-1}\right)(y_k\&PlusMinus;y_{k-\frac{N}{2}})-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\mathrm{\&alpha;}}-d_{k+1}^{*}],$ 可将二分之一周期重复控制器表达为

$u_k=\&PlusMinus;u_{k-\frac{N}{2}}+v_k---\left(8\right)$

针对情形，误差动态方程为

e_k+1=r_k+1±y_k'+1+A'(q^-1)(y_k±y_k')-q^-d+1B(q^-1)(u_k±u_k')-d_k+1(9)

式中，

A'(q^-1)=a₁+a₂q^-1+…+a_nq^-n+1=q(A(q^-1)-1)

将上式代入吸引律，可得

u_k=±u_k'+[q^-d+1B(q^-1)]^-1[r_k+1±y_k'+1+A'(q^-1)(y_k±y_k')-(1-ρ)e_k+β(e_k)^α-d_k+1]

上述控制器的实现，需要给出式中d_k+1的补偿值并以代替这样，本发明提供的二分之一周周期重复控制器具有如下形式：

$u_k=\&PlusMinus;u_{k^{\&prime;}}+{\left[q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\right]}^{-1}[r_{k+1}\&PlusMinus;y_{k^{\&prime;}+1}+A^{\&prime;}\left(q^{-1}\right)(y_k\&PlusMinus;y_{k^{\&prime;}})-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\mathrm{\&alpha;}}-d_{k+1}^{*}]$ 记 $v_{k^{\&prime;}}={\left[q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\right]}^{-1}[r_{k+1}\&PlusMinus;y_{k^{\&prime;}+1}+A^{\&prime;}\left(q^{-1}\right)(y_k\&PlusMinus;y_{k^{\&prime;}})-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\mathrm{\&alpha;}}-d_{k+1}^{*}],$ 则有

u_k=±u_k'+v_k'(10)

(6)具有干扰抑制项的误差动态方程。将u_k作为伺服对象的控制输入信号，可量测获得伺服系统输出信号y_k，跟随参考信号r_k变化。实施重复控制作用，将式(8)代入式(7)，或将式(10)代入式(9)，可以得到下述具有干扰抑制项的误差动态方程：

$e_{k+1}=(1-\mathrm{\&rho;})e_k-{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\mathrm{\&alpha;}}+d_{k+1}^{*}-d_{k+1}---\left(11\right)$

上述也即“嵌入”了干扰抑制作用的幂次吸引律。

系统的重复控制器设计完成之后，需要整定其中的控制器参数，包括两个可调整参数β,ρ，吸引幂次α。具体的参数整定工作可依据表征系统收敛性的指标进行。为表征跟踪误差收敛过程，本发明引入单调减区域，绝对吸引层和稳态误差带概念，具体定义如下：

单调减区域Δ_MDR

$\left\{\begin{array}{cc}0<e_{k+1}<e_k,& e_k>{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}\\ e_k<e_{k+1}<0,& e_k<-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}\end{array}\right.---\left(12\right)$

绝对吸引层Δ_AAL

$\left|e_k\right|>{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}\&DoubleRightArrow;\left|e_{k+1}\right|<\left|e_k\right|---\left(13\right)$

稳态误差带Δ_SSE

$\left|e_k\right|\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}\&DoubleRightArrow;\left|e_{k+1}\right|\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}---\left(14\right)$

(1)单调减区域(Δ_MDR)

Δ_MDR=max{Δ_MDR1,Δ_MDR2}(15)

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为实数，且满足

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&rho;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}1}+\mathrm{\&beta;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}1}^{\mathrm{\&alpha;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\\ (1-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}2}-\mathrm{\&beta;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}2}^{\mathrm{\&alpha;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\end{array}\right.---\left(16\right)$

(2)绝对吸引层(Δ_AAL)

Δ_AAL=max{Δ_AAL1,Δ_AAL2}(17)

式中，Δ_AAL1，Δ_AAL2为实数，可由下式确定，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&rho;\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}1}+\mathrm{\&beta;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}1}^{\mathrm{\&alpha;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\\ (2-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}2}-\mathrm{\&beta;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}2}^{\mathrm{\&alpha;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\end{array}\right.---\left(18\right)$

(3)稳态误差带(Δ_SSE)

Δ_SSE的具体取值可依据Δ_AAL来确定，

a.当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<\sqrt[1-\mathrm{\&alpha;}]{\frac{\mathrm{\&alpha;\&beta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}$ 时

Δ_SSE=Δ_AAL(19)

b.当 $\sqrt[1-\mathrm{\&alpha;}]{\frac{\mathrm{\&alpha;\&beta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{SSE}}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=-(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt[1-\mathrm{\&alpha;}]{\frac{\mathrm{\&alpha;\&beta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}+\mathrm{\&beta;}\sqrt[\frac{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&alpha;}}]{\frac{\mathrm{\&alpha;\&beta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}+\mathrm{\&Delta;}---\left(20\right)$

c.当Δ_AAL≥δ_SSE时

Δ_SSE=Δ_AAL(21)

其中，δ_SSE为方程 $(1-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{SSE}}-{\mathrm{\&beta;}\left({\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{SSE}}\right)}^{\mathrm{\&alpha;}}+(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt[1-\mathrm{\&alpha;}]{\frac{\mathrm{\&alpha;\&beta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}-\mathrm{\&beta;}\sqrt[\frac{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&alpha;}}]{\frac{\mathrm{\&alpha;\&beta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}=0$ 的正实根。

依据式(15)-(21)计算各边界取值，以确定闭环系统性能。依据相应方程组，不难确定Δ_MDR和Δ_AAL的取值应为相应方程组的最大正实根。确定Δ_AAL取值后，再依据Δ_AAL确定Δ_SSE。

本发明的技术构思为：伺服系统在周期对称参考信号下运行，使得本发明可利用信号的周期对称特点设计重复控制器。考虑信号对称性质的设计，不仅大大减少控制器内存占用量，而且与整周期重复控制器相比，响应时间也更快，有益于加速扰动消除。控制器设计是基于离散吸引律进行的，属时域设计方法。这种设计方法在设计重复控制器时具有独到的地方，这主要是因为信号对称特性表现于时域中。本发明考虑的参考信号周期对称特性，包括奇次谐波信号(与奇次谐波重复控制器频域设计处理的二分之一周期对称信号相同)，也包括二分之一周期对称性质更为一般的情形，且控制器设计更直观、简洁。另外，控制器的时域设计方法使得人们能够方便地采用现有的干扰观测技术(特别是时域设计的干扰观测器)。因而，本发明给出的重复控制系统设计方法不同于目前普遍采用的频域方法。

针对参考信号满足二分之一周期对称特性的伺服系统，本发明提供一种二分之一周期重复控制器的时域设计方法，不仅实现对周期性外部干扰信号的完全跟踪或抑制，而且降低内存占用量。具体体现在，周期重复控制器需要用到前一个周期的控制信号，而二分之一周期重复控制只需要用到前二分之一周期的控制信息，将控制器的内存占用降低至二分之一，显著节省了内存占用空间。该设计是基于离散幂次吸引律进行设计的，幂次吸引律是一种连续吸引律，能回避离散吸引律带来的颤振现象，达到快速干扰抑制效果。

本发明的有益效果主要表现在：在显著减少控制器内存占用量的同时，兼有快速收敛性能、加速干扰抑制和高控制精度。

附图说明

图1是位置伺服系统框图。

图2是二分之一周期重复控制器结构简图。

图3是二分之一周期对称信号示意图：

图3a是满足对称特性r_k=r_k-N/2的参考信号示意图，图3b是满足对称特性r_k=-r_k-N/2的参考信号示意图，图3c是满足特性r_k=r_k'的参考信号示意图，图3d是满足特性r_k=-r_k'的参考信号示意图。

图4为参考信号满足二分之一周期对称特性的重复控制系统方框图：

图4a为参考信号满足对称特性r_k=-r_k-N/2的重复控制系统方框图，图4b为参考信号满足r_k=±r_k'的重复控制系统方框图。

图5是二分之一周期重复控制器方框图：

图5a为参考信号满足r_k=r_k-N/2的控制器方框图，图5b为参考信号满足r_k=-r_k-N/2的控制器方框图，图5c为参考信号满足r_k=r_k'的控制器方框图，图5d为参考信号满足r_k=-r_k'的控制器方框图。

图6是二分之一周期重复控制器输出误差数值仿真：

图6a是当α=1/3，ρ=0.8，β=0.05，Δ=0.3时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。

图6b是当α=1/3，ρ=0.32，β=0.7448，Δ=0.3时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。

图6c是当α=1/3，ρ=0.01，β=0.8440，Δ=0.3时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。

图7-11是整周期重复控制器参数ρ=0.32，β=0.08时，永磁同步直线电机控制系统的实验结果，其中：

图7是在整周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机给定参考信号及输出信号。

图8是在整周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机所受扰动曲线。

图9是在整周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机等效扰动曲线。

图10是在整周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机跟踪误差曲线。

图11是在整周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机跟踪误差分布直方图。

图12-17是二分之一周期重复控制器取参数ρ=0.32，β=0.08时，永磁同步直线电机控制系统的实验结果，其中：

图12是在二分之一周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机给定参考信号及输出信号。

图13是在二分之一周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机所受扰动曲线。

图14是在二分之一周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机等效扰动曲线。

图15是在二分之一周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机在补偿后的等效扰动曲线。

图16是在二分之一周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机跟踪误差曲线。

图17是在二分之一周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机跟踪误差分布直方图。

具体实施方式

结合附图对本发明具体实施方式作进一步描述。参照图1-5，图示二分之一周期重复控制器及二分之一周期对称参考信号下位置伺服系统。其中：图1是位置伺服系统框图；图2是二分之一周期理想误差动态重复控制器设计简图；图3是二分之一周期对称信号示意图，即被控对象满足二分之一周期对称参考信号下的重复控制；图4是满足不同二分之一对称条件下的重复控制系统框图；图5是满足不同二分之一对称条件下的重复控制器框图。

下述为基于幂次吸引律的二分之一周期重复控制系统的实施步骤：

第一步.位置伺服对象的二阶差分方程模型

y_k+1+a₁y_k+a₂y_k-1=b₁u_k+b₂u_k-1+w_k+1(1)

其中，y_k表示伺服系统在k时刻的输出位置信号，u_k为k时刻的输入控制信号，w_k为伺服系统在k时刻的干扰信号(满足匹配条件），a₁,a₂,b₁,b₂为伺服系统模型参数数，其取值通过系统辨识获到。

第二步.构造系统跟踪误差吸引律(以为例)，

$e_{k+1}=(1-\mathrm{\&rho;})e_k-{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\frac{1}{3}}---\left(2\right)$

其中,ρ、β为可调整参数，其取值范围满足β>0，0<ρ<1，保证系统在有限时间收敛于零的一个邻域内；e_k=r_k-y_k，r_k为该位置伺服系统的给定参考信号。

第三步.将干扰抑制措施嵌入吸引律，形成闭环系统的理想误差动态

$e_{k+1}=(1-\mathrm{\&rho;})e_k-{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\frac{1}{3}}-d_{k+1}+d_{k+1}^{*}---\left(3\right)$

$d_k=w_k\stackrel{\&OverBar;}{+}{w}_{k-\frac{N}{2}}$

或 $d_k=w_k\stackrel{\&OverBar;}{+}{w}_{k^{\&prime;}},k^{\&prime;}=(\mathrm{ceil}\left(\frac{2k}{N}\right)-1)N-k,k\&GreaterEqual;N/2---\left(4\right)$

其中，w_k为理想误差动态中的扰动变量，w_k-N/2为系统在前二分之一周期的第k时刻的干扰信号，w_k'表示k-N/2,k′时刻的干扰信号；d_k等效扰动，为d_k+1的补偿量。

第四步.基于二分之一周期理想误差动态的重复控制器设计。

当d_k=w_k+w_k-N/2时

$e_{k+1}=r_{k+1}-y_{k+1}=r_{k+1}+a_1{y}_k+a_2{y}_{k-1}-b_1{u}_k-b_2{u}_{k-1}-w_{k+1}$

$=r_{k+1}+y_{k+1-\frac{N}{2}}+a_1(y_k+y_{k-\frac{N}{2}})+a_2(y_{k-1}+y_{k-1-\frac{N}{2}})---\left(5\right)$

$-b_1(u_k+u_{k-\frac{N}{2}})-b_2(u_{k-1}+u_{k-1-\frac{N}{2}})-(w_{k+1}+w_{k+1-\frac{N}{2}})$

由上式解出

$w_{k+1}+w_{k+1-\frac{N}{2}}=r_{k+1}+y_{k+1-\frac{N}{2}}+a_1(y_k+y_{k-\frac{N}{2}})+a_2(y_{k-1}+y_{k-1-\frac{N}{2}})$ (6)

$-b_1(u_k+u_{k-\frac{N}{2}})-b_2(u_{k-1}+u_{k-1-\frac{N}{2}})-e_{k+1}$

即

$d_{k+1}=r_{k+1}+y_{k+1-\frac{N}{2}}+a_1(y_k+y_{k-\frac{N}{2}})+a_2(y_{k-1}+y_{k-1-\frac{N}{2}})$ (7)

${-b}_1(u_k+u_{k-\frac{N}{2}})-b_2(u_{k-1}+u_{k-1-\frac{N}{2}})-e_{k+1}$

将式(7)带入式(3)得

$e_{k+1}=(1-\mathrm{\&rho;})e_k-{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\frac{1}{3}}+d_{k+1}^{*}-r_{k+1}-y_{k+1-\frac{N}{2}}-a_1(y_k+y_{k-\frac{N}{2}})$ (8)

$-a_2(y_{k-1}+y_{k-1-\frac{N}{2}})+b_1(u_k+u_{k-\frac{N}{2}})+b_2(u_{k-1}+u_{k-\frac{N}{2}-1})+e_{k+1}$

$u_k=-u_{k-\frac{N}{2}}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}+u_{k-1-\frac{N}{2}})+\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\frac{1}{3}}-d_{k+1}^{*}]$ (9)

$+\frac{1}{b_1}(r_{k+1}+y_{k+1-\frac{N}{2}})+\frac{a_1}{b_1}(y_k+y_{k-\frac{N}{2}})+\frac{a_2}{b_1}(y_{k-1}+y_{k-1-\frac{N}{2}})$

记 $v_k=\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\frac{1}{3}}-d_{k+1}^{*}+(r_{k+1}+y_{k+1-\frac{N}{2}})+a_1(y_k+y_{k-\frac{N}{2}})+a_2(y_{k-1}+y_{k-1-\frac{N}{2}})],$ 输入信号 ${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=u_k+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1},$ 可将式(9)写成

${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=-{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{k-\frac{N}{2}}+v_k---\left(10\right)$

式中，v_k表示输入信号的修正量。

当d_k=w_k-w_k-N/2时，按照(5)-(10)式所描述步骤

$e_{k+1}=r_{k+1}-y_{k+1}=r_{k+1}+a_2{y}_k+a_2{y}_{k-1}-b_1{u}_k-b_2{u}_{k-1}-w_{k+1}$

$=r_{k+1}-y_{k+1-\frac{N}{2}}+a_1(y_k-y_{k-\frac{N}{2}})+a_2(y_{k-1}-y_{k-1-\frac{N}{2}})---\left(11\right)$

$-b_1(u_k-u_{k-\frac{N}{2}})-b_2(u_{k-1}-u_{k-1-\frac{N}{2}})-(w_{k+1}-w_{k+1-\frac{N}{2}})$

$w_{k+1}-w_{k+1-\frac{N}{2}}=r_{k+1}-y_{k+1-\frac{N}{2}}+a_1(y_k-y_{k-\frac{N}{2}})+a_2(y_{k-1}-y_{k-1-\frac{N}{\text{2}}})$ (12)

$-b_1(u_k-u_{k-\frac{N}{2}})-b_2(u_{k-1}-u_{k-1-\frac{N}{2}})-e_{k+1}$

$d_{k+1}=r_{k+1}-y_{k+1-\frac{N}{2}}+a_1(y_k-y_{k-\frac{N}{2}})+a_2(y_{k-1}-y_{k-1-\frac{N}{2}})$ (13)

$-b_1(u_k-u_{k-\frac{N}{2}})-b_2(u_{k-1}-u_{k-1-\frac{N}{2}}){-e}_{k+1}$

将(13)带入(3)

$e_{k+1}=(1-\mathrm{\&rho;})e_k-{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\frac{1}{3}}+d_{k+1}^{*}-r_{k+1}+y_{k+1-\frac{N}{2}}-a_1(y_k-y_{k-\frac{N}{2}})$ (14)

${-a}_2(y_{k-1}-y_{k-1-\frac{N}{2}})+b_1(u_k-u_{k-\frac{N}{2}})+b_2(u_{k-1}-u_{k-\frac{N}{2}-1})+e_{k+1}$

$u_k=u_{k-\frac{N}{2}}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}-u_{k-1-\frac{N}{2}})+\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\frac{1}{3}}-d_{k+1}^{*}]$ (15)

$+\frac{1}{b_1}(r_{k+1}-y_{k+1-\frac{N}{2}})+\frac{a_1}{b_1}(y_k-y_{k-\frac{N}{2}})+\frac{a_2}{b_1}(y_{k-1}-y_{k-1-\frac{N}{2}})$

记 $v_k^{\&prime;}=\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\frac{1}{3}}-d_{k+1}^{*}+(r_{k+1}-y_{k+1-\frac{N}{2}})+a_1(y_k-y_{k-\frac{N}{2}})+a_2(y_{k-1}-y_{k-1-\frac{N}{2}})],$ 输入信号 ${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=u_k+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1},$ 式(15)可写成

${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k-{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{k-\frac{N}{2}}+v_k^{\&prime;}---\left(16\right)$

当d_k=w_k-w_k′,k′=(ceil(2k/N)-1)N-k,k≥N/2，按照(5)-(10)式所描述步骤，离散重复控制器u_k为

$u_k=u_{k^{\&prime;}}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}-u_{k^{\&prime;}-1})+\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\frac{1}{3}}-d_{k+1}^{*}]$ (17)

$+\frac{1}{b_1}(r_{k+1}-y_{k^{\&prime;}+1})+\frac{a_1}{b_1}(y_k-y_{k^{\&prime;}})+\frac{a_2}{b_1}(y_{k-1}-y_{k^{\&prime;}-1})$

记 $v_k^{\&prime;\&prime;}=\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\frac{1}{3}}-d_{k+1}^{*}+(r_{k+1}-y_{k^{\&prime;}+1})+a_1(y_k-y_{k^{\&prime;}})+a_2(y_{k-1}-y_{k^{\&prime;}-1})],$ 输入信号 ${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=u_k+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1},$ 式(17)可写成

${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k={\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{k^{\&prime;}}+v_k^{\&prime;\&prime;}---\left(18\right)$

当d_k=w_k+w_k′,k′=(ceil(2k/N)-1)N-k,k≥N/2，按照(5)-(10)式所描述步骤，离散重复控制器u_k为

$u_k=-u_{k^{\&prime;}}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}-u_{k^{\&prime;}-1})+\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\frac{1}{3}}-d_{k+1}^{*}]$ (19)

$+\frac{1}{b_1}(r_{k+1}+y_{k^{\&prime;}+1})+\frac{a_1}{b_1}(y_k+y_{k^{\&prime;}})+\frac{a_2}{b_1}(y_{k-1}-y_{k^{\&prime;}-1})$

记 $v_k^{\&prime;\&prime;\&prime;}=\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\frac{1}{3}}-d_{k+1}^{*}+(r_{k+1}+y_{k^{\&prime;}+1})+a_1(y_k+y_{k^{\&prime;}})+a_2(y_{k-1}+y_{k^{\&prime;}-1})],$ 输入信号 ${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=u_k+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1},$ 式(19)可写成

${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=-{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{k^{\&prime;}}+v_k^{\&prime;\&prime;\&prime;}---\left(20\right)$

对于上述重复控制器设计，做以下说明：

1)幂次吸引律中引入d_k+1反映了对于给定周期模式的扰动信号的抑制措施，为d_k+1的补偿值，用于补偿非周期性扰动。

一种简单的补偿值确定方法是

这里，提供一种d_k界已知时的补偿值确定方法。设等效扰动d_k的上、下界分别为d_u、d_l，则d_k满足不等式

d_l≤d_k≤d_u(21)记 $\stackrel{\&OverBar;}{d}=\frac{d_u+d_l}{2},\mathrm{\&Delta;}=\frac{d_u-d_l}{2},$

$|d_k-\stackrel{\&OverBar;}{d}|\&le;\mathrm{\&Delta;}---\left(22\right)$

可取

$d_{k+1}^{*}=\stackrel{\&OverBar;}{d}=\frac{d_u+d_l}{2}---\left(23\right)$

2)(9)(15)(17)(19)式中，e_k,y_k,y_k-1,y_k',y_k'-1均可通过测量得到，u_k-1,u_k',u_k'-1为控制信号的存储值，可从内存中读取。

3)对于图4(a)所示整周期(周期为N/2)情形，当N=2时，对称特性变为r_k=r_k-1。因此，本发明中提出的二分之一周波重复控制器也适用于常值调节问题，此时等效扰动为d_k=w_k-w_k-1。

4)上述重复控制器针对二阶系统(1)给出，按照相同的方法同样可给出更高阶系统的设计结果。

第五步.根据系统的单调吸引层边界Δ_MDR，绝对吸引层边界Δ_AAL以及稳态误差带边界Δ_SSE对控制器参数进行整定以达到最佳的控制效果。其中控制器参数主要包括：吸引幂次可调整参数ρ，β和理想误差动态干扰的界Δ。

依据上述Δ_MDR、Δ_AAL及Δ_SSE的定义，确定的各边界取值如下：

1)单调减区域(Δ_MDR)

当 $0<\mathrm{\&beta;}<\frac{3}{2}\sqrt[3]{{2\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}1},{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}2}\}$

$=\max \left\{\begin{array}{c}{({(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3})}^{\frac{1}{3}}+{(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3})}^{\frac{1}{3}})}^3,\\ {({[\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}]}^{\frac{1}{3}}+{[\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}]}^{\frac{1}{3}})}^3\end{array}\right\}---\left(24\right)$

当 $\mathrm{\&beta;}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{{2\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{({(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3})}^{\frac{1}{3}}+{(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3})}^{\frac{1}{3}})}^3,{\left(\frac{3\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&beta;}}\right)}^3\}---\left(25\right)$

当 $\mathrm{\&beta;}>\frac{3}{2}\sqrt[3]{{2\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{({(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3})}^{\frac{1}{3}}+{(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3})}^{\frac{1}{3}})}^3,{\left(\frac{\sqrt{3\mathrm{\&beta;}}(\cos \frac{\mathrm{\&theta;}}{3}+\sqrt{3}\sin \frac{\mathrm{\&theta;}}{3})}{3\sqrt{1-\mathrm{\&rho;}}}\right)}^3\}---\left(26\right)$

其中： $\mathrm{\&theta;}=\arccos \left(\frac{-9\mathrm{\&Delta;}\sqrt{1-\mathrm{\&rho;}}}{2\sqrt{3}{\mathrm{\&beta;}}^{\frac{3}{2}}}\right);$

2)绝对吸引层(Δ_AAL)

当 $0<\mathrm{\&beta;}<\frac{3}{2}\sqrt[3]{{2\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}1},{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}2}\}$

$=\max \left\{\begin{array}{c}{({(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3})}^{\frac{1}{3}}+{(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3})}^{\frac{1}{3}})}^3,\\ {({[\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}]}^{\frac{1}{3}}+{[\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}]}^{\frac{1}{3}})}^3\end{array}\right\}---\left(27\right)$

当 $\mathrm{\&beta;}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{{2\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{({(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3})}^{\frac{1}{3}}+{(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3})}^{\frac{1}{3}})}^3,{\left(\frac{3\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&beta;}}\right)}^3\}---\left(28\right)$

当 $\mathrm{\&beta;}>\frac{3}{2}\sqrt[3]{{2\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{({(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3})}^{\frac{1}{3}}+{(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3})}^{\frac{1}{3}})}^3,{\left(\frac{\sqrt{3\mathrm{\&beta;}}(\cos \frac{\mathrm{\&theta;}}{3}+\sqrt{3}\sin \frac{\mathrm{\&theta;}}{3})}{3\sqrt{2-\mathrm{\&rho;}}}\right)}^3\}---\left(29\right)$

其中： $\mathrm{\&theta;}=\arccos \left(\frac{-9\mathrm{\&Delta;}\sqrt{2-\mathrm{\&rho;}}}{2\sqrt{3}{\mathrm{\&beta;}}^{\frac{3}{2}}}\right)$

3)稳态误差带(Δ_SSE)

当 $\mathrm{\&Delta;}<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<\sqrt{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3}{{27(1-\mathrm{\&rho;})}^3}}$ 或Δ_AAL≥δ_SSE时

Δ_SSE=Δ_AAL(30)当 $\sqrt{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3}{{27(1-\mathrm{\&rho;})}^3}}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{SSE}}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3}{3(1-\mathrm{\&rho;})}}+\mathrm{\&Delta;}---\left(31\right)$

其中δ_SSE为方程 $(1-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{SSE}}-\mathrm{\&beta;}{\left({\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{SSE}}\right)}^{\frac{1}{3}}-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3}{3(1-\mathrm{\&rho;})}}=0$ 的正实根。

实施例

该实施例以直线电机伺服系统在固定区间上执行重复跟踪任务为例，其位置参考信号具有二分之一周期对称特性，直线电机采用三环控制，其中电流环与速度环控制器由ELMO驱动器提供；位置环控制器由DSP开发板TMS320F2812提供。(参见图2)

对于具有某种二分之一周期对称特性的位置参考信号（二分之一周期对称形式参见图4），当伺服系统进入稳态阶段，系统模型中的干扰项也会呈现出同样的二分之一周期对称特性。为了设计基于幂次理想误差动态的二分之一周期重复控制器，在实施例中的位置参考信号给定为正弦信号。此时，参考信号满足二分之一周期对称性质r_k=-r_k-N/2，见图4(a)所示。

设计位置环控制器，需建立除位置环以外的伺服对象的数学模型，包括电流环、速度环、功率驱动器、直线电机本体以及检测装置(见图1)。利用最小二乘辨识算法获得伺服对象的数学模型为

y_k+1+1.0820y_k-0.0820y_k-1=0.6075u_k+0.2737u_k-1+w_k+1

其中，y_k,u_k分别为直线电机系统的位置输出与速度给定信号（控制输入），w_k为干扰信号。

由于本实施例以正弦信号作为系统的参考信号，二分之一周期重复控制器可采取式(9)的给出的控制器形式，其具体表达式可写成

$u_k={-u}_{k-N/2}-0.45053(u_{k-1}+u_{k-N/2-1})+1.6461[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}\left(e_k\right)}^{\frac{1}{3}}-d_{k+1}^{*}]---\left(32\right)$

$+1.6461(r_{k+1}+y_{k-N/2+1})+1.7811(y_k+y_{k-N/2})-0.1349(y_{k-1}+y_{k-N/2-1})$

该实施例中将分别通过数值仿真和直线电机实验说明本发明专利给出重复控制器设计的有效性。

一、数值仿真

直线电机的位置信号取为r_k=20sin(2kπfT_s)mm，频率f=0.25Hz，采样周期T_s=0.01s，采用的周期数N=400。仿真时，选取的扰动量w(k)由周期性干扰和非周期性干扰两部分构成，具体形式为

w(k)=-5sin(2kπfT_s)+0.2sgn(sin(2kπ/150))

在二分之一周期重复控制器(9)的作用下，选取不同的控制器参数ρ,β，伺服系统的三个边界层也各不相同。为了说明本发明专利关于单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE的理论正确性，图7给出Δ_MDR，Δ_AAL和Δ_SSE的的具体取值。

当控制器参数ρ=0.8,β=0.05,Δ=0.3时(参见图6a)

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}={({[\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}]}^{\frac{1}{3}}+{[\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}]}^{\frac{1}{3}})}^3$

$=1.8044$

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}={({(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3})}^{\frac{1}{3}}+{(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3})}^{\frac{1}{3}})}^3=0.6354$

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3}{3(1-\mathrm{\&rho;})}}+\mathrm{\&Delta;}=0.4645$

当控制器参数ρ=0.32,β=0.7448,Δ=0.3时(参见图6b)

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}={\left(\frac{3\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&beta;}}\right)}^3=1.7647$

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}={({[\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}]}^{\frac{1}{3}}+{[\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}]}^{\frac{1}{3}})}^3$

$=0.5394$

Δ_SSE=Δ_AAL=0.5394

当控制器参数ρ=0.01,β=0.844,Δ=0.3时(参见图6c)

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}={({[\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}]}^{\frac{1}{3}}+{[\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}]}^{\frac{1}{3}})}^3$

$=1.212$

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}={({[\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}]}^{\frac{1}{3}}+{[\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}]}^{\frac{1}{3}})}^3$

$=0.4837$

Δ_SSE=Δ_AAL=0.4837

仿真结果见图6。在给定系统模型、参考信号和干扰信号的情况下，上述数值结果验证了本专利给出的二分之一周期重复控制器作用下的跟踪误差信号的单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE。

二、实验结果

实验所用永磁同步直线电机控制系统的框图见图1所示。给定位置信号为一正弦信号r_k=Asin(2πfT_sk)。其中，振幅为A=20mm，频率f=0.25Hz，采样间隔为T_s=0.01s，周期N=400。在相同控制器参数条件下，分别采用整周期重复控制器与二分之一周期重复控制器进行直线电机位置跟踪控制，其中控制器参数为：α=1/3，ρ=0.32，β=0.08。获得的实验结果分别如图7-11与图12-17所示。

1.整周期重复控制

在整周期重复控制器作用下，图7为系统输出曲线。图8为直线电机所受扰动w_k的估计w_k，呈现周期特性，满足w_k=w_k-N。图9为等效扰动的估计。图10表明整周期重复控制在第一个周期的跟踪误差较大，随后会快速收敛。图11所示系统跟踪误差e_k集中分布在|e_k|≤5μm的邻域内，但有少数点位于-15μm<e_k<-5μm及5μm<e_k<10μm范围内。根据重复控制器参数及Δ的估值，可给出表征系统收敛性能三个区域的估计：单调减区域Δ_MDR=0.0510mm、绝对吸引层Δ_AAL=0.0146mm、稳态误差带Δ_SSE=0.0146mm；图10中标明了这些区域的估值。

2.二分之一周期重复控制

在二分之一周期重复控制器作用下，图12为系统输出曲线。图13为直线电机所受扰动w_k的估计w_k。图14为等效扰动d_k的估计，所示等效扰动d_k具有一定偏移量。进入稳态后，可计算出等效扰动上界d_u=0.007，下界d_l=-0.003，均值此时，等效扰动补偿值图15为系统补偿后等效扰动d_k的估计，上界d_u=0.005，下界d_l=-0.005，均值及Δ=0.010；相应地，直线电机所受扰动w_k呈现二分之一周期特性，满足w_k=-w_k-N/2。图16表明二分之一周期重复控制在第一个二分之一周期的跟踪误差较大，随后会快速收敛。图17所示系统跟踪误差e_k分布在|e_k|≤5μm的邻域内。根据整周期重复控制器参数及Δ的估值，可给出表征系统收敛性能三个区域的估计：单调减区域Δ_MDR=0.0510mm，绝对吸引层Δ_AAL=0.0146mm，稳态误差带Δ_SSE=0.0146mm。图16中标明了这些区域的估值。

上述实验结果表明，相对整周期重复控制而言，本发明专利提出的二分之一周期重复控制器能够大幅度节省内存占用量，并且能够快速、有效地抑制系统在执行伺服跟踪任务时出现的二分之一周期对称干扰信号。同时，实验验证了本专利关于系统跟踪误差的绝对收敛层边界Δ_AAL、单调收敛层边界Δ_MDR及稳态误差带Δ_SSE的分析结果。

Claims (2)

1.基于吸引律的二分之一周期重复控制方法，包括以下步骤：

(1)建立位置伺服系统动态特性的差分方程数学模型：

A(q^-1)y_k＝q^-dB(q^-1)u_k+w_k

其中，d表示延迟，u_k和y_k分别表示k时刻的输入和输出信号，w_k为k时刻的干扰信号，A(q^-1)和B(q^-1)为关于q^-1的多项式，

A(q^-1)＝1+a₁q^-1+…+a_nq^-n

B(q^-1)＝b₀+b₁q^-1+…+b_mq^-m

其中，q^-1是一步延迟算子，n为A(q^-1)的阶数，m为B(q^-1)的阶数，a₁,…,a_n,b₀,…,b_m为系统参数且b₀≠0；d为整数，且d≥1；

(2)给定参考信号r_k，该参考信号具有二分之一周期对称特性：

P1.r_k＝±r_k-N/2

或

P2.r_k＝±r_k′

其中，k′＝(ceil(2k/N)-1)N-k,k≥N/2，r_k-N/2,r_k′分别表示k-N/2,k′时刻的参考信号；

(3)根据参考信号二分之一周期对称特性，构造等效扰动d_k

对于P1

$d_k=w_k\stackrel{-}{+}{w}_{k-N/2}$

对于P2

k'＝(ceil(2k/N)-1)N-k,k≥N/2

其中，w_k-N/2，w_k'分别表示k-N/2,k'时刻位置伺服系统所受的干扰信号；

(4)构造带干扰抑制作用的幂次吸引律，提供的离散形式的幂次吸引律为：

$e_{k+1}=(1-\mathrm{\&rho;})e_k-{\mathrm{\&beta;e}}_k^{\mathrm{\&alpha;}}$

参数ρ,β分别为可调整参数，其取值范围满足β>0，0<ρ<1；吸引幂次α＝p/q，0<p<q且p，q为奇数；

(5)设计二分之一周期重复控制器

对情形，二分之一周期重复控制器表达为

u_k＝±u_k-N/2+v_k

其中，

$v_k={\&lsqb;q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\&rsqb;}^{-1}\&lsqb;r_{k+1}\&PlusMinus;y_{k+1-N/2}+A^{\&prime;}\left(q^{-1}\right)(y_k\&PlusMinus;y_{k-N/2})-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;}(e}_k{)}^{\mathrm{\&alpha;}}-d_{k+1}^{*}\&rsqb;;$

对情形，二分之一周期重复控制器表达为

u_k＝±u_k'+v_k'

其中， $v_{k^{\&prime;}}={\&lsqb;q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\&rsqb;}^{-1}\&lsqb;r_{k+1}\&PlusMinus;y_{k^{\&prime;}+1}+A^{\&prime;}\left(q^{-1}\right)(y_k\&PlusMinus;y_{k^{\&prime;}})-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+{\mathrm{\&beta;e}}_k^{\mathrm{\&alpha;}}-d_{k+1}^{*}\&rsqb;;$

(6)建立理想误差动态特性

建立具有干扰抑制项的误差动态方程；将u_k作为位置伺服系统的控制输入信号，测量获得位置伺服系统输出信号y_k，能够跟随参考信号r_k变化；从上述二分之一周期重复控制器，得理想误差动态方程：

$e_{k+1}=(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&beta;}{e}_k^{\mathrm{\&alpha;}}+d_{k+1}-d_{k+1}^{*},$ 公式1

式中，用于补偿等效扰动d_k，取扰动d_k的平均值或者扰动d_k在上一时刻值d_k-1。

2.如权利要求1所述的基于吸引律的二分之一周期重复控制方法，其特征在于：所述二分之一周期重复控制器的可调整参数包括ρ，β，吸引幂次α，根据表征系统收敛性能的指标进行参数整定；定义其中设d_l≤d_k≤d_u，即d_l为第k项等效扰动d_k的下界值，d_u为等效扰动d_k的上界值，即为等效扰动的上、下界；引入表征系统收敛性能指标有单调减区域Δ_MDR，绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE，具体定义如下：

单调减区域Δ_MDR

$\left\{\begin{array}{cc}0<e_{k+1}<e_k,& e_k>{\mathrm{\&Delta;}}_{MDR}\\ e_k<e_{k+1}<0,& e_k<-{\mathrm{\&Delta;}}_{MDR}\end{array}\right.;$

绝对吸引层Δ_AAL

$\left|e_k\right|>{\mathrm{\&Delta;}}_{AAL}\&DoubleRightArrow;\left|e_{k+1}\right|<\left|e_k\right|;$

稳态误差带Δ_SSE

$\left|e_k\right|\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{SSE}\&DoubleRightArrow;\left|e_{k+1}\right|\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{SSE};$

(1)针对权利1中的理想误差动态(如公式1所示)，确定单调减区域Δ_MDR，绝

对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE：

单调减区域(Δ_MDR)

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2}

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为实数，且满足

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{P\&Delta;}}_{MDR1}+{\mathrm{\&beta;\&Delta;}}_{MDR2}^{\mathrm{\&alpha;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\\ (1-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&Delta;}}_{MDR2}-{\mathrm{\&beta;\&Delta;}}_{MDR2}^{\mathrm{\&alpha;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\end{array}\right.;$

绝对吸引层(Δ_AAL)

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2}

式中，Δ_AAL1，Δ_AAL2为实数，由下式确定，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{P\&Delta;}}_{AAL1}+{\mathrm{\&beta;\&Delta;}}_{AAL1}^{\mathrm{\&alpha;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\\ (2-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&Delta;}}_{AAL2}-{\mathrm{\&beta;\&Delta;}}_{AAL2}^{\mathrm{\&alpha;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\end{array}\right.;$

稳态误差带(Δ_SSE)

Δ_SSE的具体取值依据Δ_AAL来确定，

a.当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{AAL}<\sqrt[1-\mathrm{\&alpha;}]{\frac{\mathrm{\&alpha;}\mathrm{\&beta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}$ 时

Δ_SSE＝Δ_AAL

b.当 $\sqrt[1-\mathrm{\&alpha;}]{\frac{\mathrm{\&alpha;}\mathrm{\&beta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{AAL}<{\mathrm{\&delta;}}_{SSE}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{SSE}=-(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt[1-\mathrm{\&alpha;}]{\frac{\mathrm{\&alpha;}\mathrm{\&beta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}+\mathrm{\&beta;}\sqrt[\frac{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&alpha;}}]{\frac{\mathrm{\&alpha;}\mathrm{\&beta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}+\mathrm{\&Delta;}$

c.当Δ_AAL≥δ_SSE时

Δ_SSE＝Δ_AAL

其中，δ_SSE为方程 $(1-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&delta;}}_{SSE}-\mathrm{\&beta;}{\left({\mathrm{\&delta;}}_{SSE}\right)}^{\mathrm{\&alpha;}}+(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt[1-\mathrm{\&alpha;}]{\frac{\mathrm{\&alpha;}\mathrm{\&beta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}-\mathrm{\&beta;}\sqrt[\frac{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&alpha;}}]{\frac{\mathrm{\&alpha;}\mathrm{\&beta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}=0$ 的正实根；

(2)吸引幂次确定的各边界取值，

1)单调减区域(Δ_MDR)

当 $0<\mathrm{\&beta;}<\frac{3}{2}\sqrt[3]{2{\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}$ 时

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;}}_{MDR}=\max \left\{{\mathrm{\&Delta;}}_{MDR1},{\mathrm{\&Delta;}}_{MDR2}\right\}\\ =\max \left\{\begin{array}{c}{\left({\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3}\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^3,\\ {\left({\&lsqb;\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\left(1-\mathrm{\&rho;}\right)}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}\&rsqb;}^{\frac{1}{3}}+{\&lsqb;\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\left(1-\mathrm{\&rho;}\right)}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}\&rsqb;}^{\frac{1}{3}}\right)}^3\end{array}\right\}\end{array}$

当 $\mathrm{\&beta;}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{2{\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{MDR}=\max \left\{{\left({\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3}\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^3,{\left(\frac{3\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&beta;}}\right)}^3\right\}$

当 $\mathrm{\&beta;}>\frac{3}{2}\sqrt[3]{2{\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{MDR}=\max \left\{{\left({\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3}\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^3,{\left(\frac{\sqrt{3\mathrm{\&beta;}}\left(\cos \frac{\mathrm{\&theta;}}{3}+\sqrt{3}\sin \frac{\mathrm{\&theta;}}{3}\right)}{3\sqrt{1-\mathrm{\&rho;}}}\right)}^3\right\}$ 其中： $\mathrm{\&theta;}=arccos\left(\frac{-9\mathrm{\&Delta;}\sqrt{1-\mathrm{\&rho;}}}{2\sqrt{3}{\mathrm{\&beta;}}^{\frac{3}{2}}}\right);$

2)绝对吸引层(Δ_AAL)

当 $0<\mathrm{\&beta;}<\frac{3}{2}\sqrt[3]{2{\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}$ 时

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;}}_{AAL}=\max \left\{{\mathrm{\&Delta;}}_{AAL1},{\mathrm{\&Delta;}}_{AAL2}\right\}\\ =\max \left\{\begin{array}{c}{\left({\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3}\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^3,\\ {\left({\&lsqb;\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\left(2-\mathrm{\&rho;}\right)}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(3-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}\&rsqb;}^{\frac{1}{3}}+{\&lsqb;\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\left(2-\mathrm{\&rho;}\right)}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3}\&rsqb;}^{\frac{1}{3}}\right)}^3\end{array}\right\}\end{array}$

当 $\mathrm{\&beta;}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{2{\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{AAL}=\max \left\{{\left({\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3}\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^3,{\left(\frac{3\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&beta;}}\right)}^3\right\}$

当 $\mathrm{\&beta;}>\frac{3}{2}\sqrt[3]{2{\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{AAL}=\max \left\{{\left({\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3}\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\&beta;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^3,{\left(\frac{\sqrt{3\mathrm{\&beta;}}\left(\cos \frac{\mathrm{\&theta;}}{3}+\sqrt{3}\sin \frac{\mathrm{\&theta;}}{3}\right)}{3\sqrt{2-\mathrm{\&rho;}}}\right)}^3\right\}$ 其中： $\mathrm{\&theta;}=arccos\left(\frac{-9\mathrm{\&Delta;}\sqrt{2-\mathrm{\&rho;}}}{2\sqrt{3}{\mathrm{\&beta;}}^{\frac{3}{2}}}\right);$

3)稳态误差带(Δ_SSE)

当 $\mathrm{\&Delta;}<{\mathrm{\&Delta;}}_{AAL}<\sqrt{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3}{27{(1-\mathrm{\&rho;})}^3}}$ 或Δ_AAL≥δ_SSE时

Δ_SSE＝Δ_AAL

当 $\sqrt{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3}{27{(1-\mathrm{\&rho;})}^3}}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{AAL}<{\mathrm{\&delta;}}_{SSE}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{SSE}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3}{3(1-\mathrm{\&rho;})}}+\mathrm{\&Delta;}$

其中δ_SSE为方程 $(1-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&delta;}}_{SSE}-\mathrm{\&beta;}{\left({\mathrm{\&delta;}}_{SSE}\right)}^{\frac{1}{3}}-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&beta;}}^3}{3(1-\mathrm{\&rho;})}}=0$ 的正实根。