CN105334733A - 适用于位置伺服的分数周期重复控制器 - Google Patents

Abstract

一种适用于位置伺服的分数周期重复控制器，构造基于正弦切换的无抖振吸引律，进一步引入重复控制对于周期信号的跟踪和周期干扰的抑制思想，根据扰动信号在时域上的分数周期对称特性，设计基于正弦切换吸引律的分数周期重复控制方法，寻求控制序列使得输出经过有限控制步后能准确跟踪周期性参考输入。本发明有效抑制位置伺服系统中与参考位置信号同频率的周期性扰动、动态品质良好。

Description

适用于位置伺服的分数周期重复控制器

技术领域

本发明涉及重复控制技术，尤其适用于分数周期参考信号下的位置伺服系统，也适用于工业场合中其它周期运行过程。

背景技术

实际控制系统难以避免地会受到来自外部或者系统内部的各种扰动。众多扰动来源中，除了完全未知的量测噪声外，还存在部分信息已知的扰动信号。比如应用于工业机器人与精加工等领域的伺服系统，当参考位置信号为周期信号时，其运行过程存在与参考位置信号频率相同的周期性扰动，且这种周期性扰动往往是系统所受到扰动的主要成份。如不加以抑制，不仅影响到跟踪精度，甚至威胁到系统稳定性。

针对周期性扰动的抑制问题，基于内模原理的重复控制方法是一种常见的解决方案。内模原理要求将参考信号的模型植入控制器，如果能在稳定的闭环系统中包含有参考信号的发生器，那么系统输出就可以无误差地跟踪这组参考信号。这样，依据内模原理的重复控制技术能够无误差地跟踪周期参考信号，且保证系统稳定性。闭环系统在跟踪周期参考输入的同时，完全抑制与其具有相同频率的周期性干扰，从而提高跟踪性能。运行过程中跟踪误差的轨迹并不遵从一定的规定性，比如误差轨迹满足预先制定的衰减特性。

在高速采样过程中，为了有效利用硬件资源，控制器的占用内存量不宜过大。在实现重复控制器时，将连续时滞内模代以离散时滞内模，从无限维变成了有限维的。因此，离散重复控制只需构造周期为N的任意周期信号内模。关于时滞内模的有限阶近似、或有限阶内模已有一些文献报道。例如，拟前馈方法(PFF)以有限阶多项式建模带限干扰；梳状滤波器也被用作了离散时滞内模。更简单的情形是，针对正弦信号的跟踪/抑制问题，只构造正弦内模便可达目的。

已有工作仅考虑信号的周期性，常常忽略信号的对称性。控制器的修正存在一个整周期的延时，同时需要保存前一整周期的控制信号。利用信号的对称性可以达到进一步减少控制器内存需求的目的。在Hoog的专利(HoogTJD.Repetitivecontrollerhavingreducedmemoryelements.UnitedStatesPatent,US7265932B2,2007)中，对于半周期对称信号，提出一种半周期重复控制内模，构造重复控制器，使得内存占用量，比整周期重复控制的内存使用量减少一半。Costa-Castello等提出奇次谐波重复控制方法，它能够有效利用信号的半周期对称特性。提出的奇次谐波信号内模，减少了一半内存占用量(Costa-CastelloR,GrinoR,FossasE.Odd-Harmonicdigitalrepetitivecontrolofasignal-phasecurrentactivefilter.IEEETransactionsonPowerElectronics,2004,19(4):1060-1068)。上述重复控制器的设计是在频域进行的。

信号对称性容易在时域中表达，因此，重复控制器的时域设计对于更为复杂的对称信号可进行有效处理。

发明内容

为了克服已有无法重复控制方式的抑制位置伺服系统中与参考位置信号同频率的周期性扰动、动态品质较差的不足,本发明提供了一种有效抑制位置伺服系统中与参考位置信号同频率的周期性扰动、动态品质良好的适用于位置伺服的分数周期重复控制器。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种适用于位置伺服的分数周期重复控制器，给定具有分数周期对称性的位置参考信号r_k，其一周期的信号波形满足

$r_k=\±r_{k-\frac{QN}{P}}---\left(1\right)$

其中P、Q均为整数且P＞Q，N为信号一周期内取样点数，式(1)表明当前信号值取决于Q/P周期前的值，满足这一特点的信号称为具有Q/P周期对称特性，式(1)中的运算符±由k时刻在每周期中的位置决定；令 $\tilde{k}=\mathrm{mod}(k,N),$ 则

$r_k=\left\{\begin{array}{cc}{r}_{k-\frac{QN}{P}},& \tilde{k}\∈\[\frac{P-1}{P}N,N)\\ -r_{k-\frac{QN}{P}},& \tilde{k}\∉\[\frac{P-1}{P}N,N)\end{array}\right.---\left(2\right)$

为使系统输出位置在有限时间逼近到参考信号的邻域δ内，构造一种离散时间正弦切换吸引律：

$e_{k+1}=\left\{\begin{array}{cc}(1-\mathrm{\ρ})e_k-\mathrm{\ϵ}\mathrm{sgn}\left(e_k\right),& \left|e_k\right|>\mathrm{\δ}\\ (1-\mathrm{\ρ})e_k-\mathrm{\ϵ}\sin \left(\mathrm{\ω}\right(\·\left)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right),& \left|e_k\right|\≤\mathrm{\δ}\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中sgn(·)为符号函数，e_k＝r_k-y_k为跟踪误差，切换边界参数δ＞0，(1－ρ)e_k为指数吸引项，满足0＜ρ＜1，切换步长参数ε＞0；当满足|e_k|≤δ时，按正弦规律提供可变切换步长，在δ固定的情况下，切换步长变化率取决于ω(·)；

分别按照误差单调递减和绝对值递减两种情形下的切换步长变化率ω(·)的取值条件；

第一种情形：误差单调递减的参数条件

1.1)当|e_k|＞δ时，根据吸引律表达式(3)和单调递减定义有

0＜((1-ρ)e_ksgn(e_k)-ε)＜e_ksgn(e_k)(4)

解得

$\left|e_k\right|>\frac{\mathrm{\ϵ}}{1-\mathrm{\ρ}}---\left(5\right)$

所以当满足时，跟踪误差单调收敛；

1.2)当0＜e_k≤δ时，根据吸引律表达式(3)和单调递减定义有

$0<\left(\right(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\sin (\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\left)\right)<e_k---\left(6\right)$

上式(6)要求 $(1-\mathrm{\&rho;})e_k>\mathrm{\&epsiv;}\sin \left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right);$

$e_k\&RightArrow;0\&DoubleRightArrow;\left\{\begin{array}{c}(1-\mathrm{\&rho;})e_k\&RightArrow;0\\ \mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)\&RightArrow;0\end{array}\right.---\left(7\right)$

令f₁＝(1-ρ)e_k，则对e_k求导得

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1^{\&prime;}=\frac{{\mathrm{df}}_1}{{\mathrm{de}}_k}=1-\mathrm{\&rho;}\\ f_2^{\&prime;}=\frac{{\mathrm{df}}_2}{{\mathrm{de}}_k}=\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}}cos\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)\end{array}\right.---\left(8\right)$

由式(8)可知当e_k＞0时，若能保证f₁的增长率，即斜率f₁'大于f₂的斜率f′₂，那么满足 $(1-\mathrm{\&rho;})e_k>\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 即要求 $1-\mathrm{\&rho;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}},$ 也即 $\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\frac{(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}};$

1.3)当-δ≤e_k＜0时，根据吸引律表达式(3)和单调递减定义有

$e_k<\left(\right(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\sin (\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\left)\right)<0---\left(9\right)$

上式要求 $(1-\mathrm{\&rho;})e_k<\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 必须满足 $1-\mathrm{\&rho;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}},$ 即 $\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\frac{(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}};$

第二种情形：误差绝对值递减的参数条件

2.1)当|e_k|＞δ时，根据吸引律表达式(3)和绝对值递减定义有

-e_ksgn(e_k)＜((1-ρ)e_ksgn(e_k)-ε)＜e_ksgn(e_k)(10)

解得

$\left|e_k\right|>\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{2-\mathrm{\&rho;}}---\left(11\right)$

所以当满足时，跟踪误差绝对值递减；

2.2)当0＜e_k≤δ时，根据吸引律表达式(3)和绝对值递减定义有

$-e_k<\left(\right(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\sin (\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\left)\right)<e_k---\left(12\right)$

由上式得 $(2-\mathrm{\&rho;})e_k>\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 因为

$e_k\&RightArrow;0\&DoubleRightArrow;\left\{\begin{array}{c}(1-\mathrm{\&rho;})e_k\&RightArrow;0\\ \mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)\&RightArrow;0\end{array}\right.---\left(13\right)$

令f₃＝(2-ρ)e_k，则对e_k求导得

$\left\{\begin{array}{c}{f}_3^{\&prime;}=\frac{{\mathrm{df}}_1}{{\mathrm{de}}_k}=2-\mathrm{\&rho;}\\ f_2^{\&prime;}=\frac{{\mathrm{df}}_2}{{\mathrm{de}}_k}=\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}}cos\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)\end{array}\right.---\left(14\right)$

由式(14)可知当e_k＞0时，若能保证f₃的增长率即斜率f′₃大于f₂的斜率f′₂，那么满足 $(2-\mathrm{\&rho;})e_k>\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 即要求 $2-\mathrm{\&rho;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}},$ 也即 $\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\frac{(2-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}};$

2.3)当-δ≤e_k＜0时，根据吸引律表达式(3)和绝对递减定义有

$e_k<\left(\right(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\sin (\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\left)\right)<-e_k---\left(15\right)$

由上式得 $(2-\mathrm{\&rho;})e_k<\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 要求 $2-\mathrm{\&rho;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}},$ 即 $\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\frac{(2-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}};$

吸引律(3)保证跟踪误差绝对值递减的参数条件为且 $\frac{(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}}\&le;\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\min \{\frac{(2-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}},\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\},$ 进一步保证跟踪误差单调递减的参数条件为 $\mathrm{\&delta;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{1-\mathrm{\&rho;}}$ 且 $\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\min \{\frac{(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}},\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\}.$

进一步，给出位置伺服离散系统的差分方程描述为

$y_{k+1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i{u}_{k+1-i}-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i{y}_{k+1-i}+w_k---\left(16\right)$

其中a_i和b_i为系统结构参数，u_k为控制输入，y_k为输出的位置信号，系统存在有界扰动w_k∈[w_l,w_u]；

跟据跟踪误差定义，由系统(16)知

$\begin{array}{c}{e}_{k+1}=r_{k+1}-y_{k+1}\\ =-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i{u}_{k+1-i}+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i{y}_{k+1-i}+r_{k+1}+w_k\end{array}---\left(17\right)$

将式吸引律(3)代入(17)并记

$f\left(e_k\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}\left(e_k\right),& \left|e_k\right|>\mathrm{\&delta;}\\ sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),& \left|e_k\right|\&le;\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.---\left(18\right)$

解得控制器

$u_k=\frac{1}{b_1}\&lsqb;-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i{y}_{k+1-i}-\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i{u}_{k+1-i}+r_{k+1}-w_k\&rsqb;---\left(19\right)$

由于系统扰动w_k的准确值未知，引入扰动估计嵌入控制器(19)形成补偿项；取中值作为扰动估计，估计误差因此，反馈控制器表示为

$u_k=\frac{1}{b_1}\&lsqb;-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i{y}_{k+1-i}-\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i{u}_{k+1-i}+r_{k+1}-\stackrel{\&OverBar;}{w}\&rsqb;---\left(20\right)$

以中值来近似估计w_k的平均值即补偿常值扰动；

为抑制周期性扰动，设扰动w_k由两部分构成

w_k＝w_Ak+w_Bk(21)

式中，w_Ak与参考信号同频率，满足式(2)给出的Q/P分数周期对称特性，w_Bk为其它不规则扰动；根据对称情况，通过求相邻分数周期扰动值的代数和，能够有效抑制w_Ak；

将式(19)延迟Q/P个周期，记并根据所在的区间与(19)求代数和，整理得

$u_k=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}-\frac{1}{b_1}\&lsqb;(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i(y_{k+1-i}-y_{k+1-\frac{QN}{P}-i})\\ +\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i(u_{k+1-i}-u_{k+1-\frac{QN}{P}-i})-r_{k+1}+r_{k+1-\frac{QN}{P}}\\ -e_{k+1-\frac{QN}{P}}+w_{Bk}-w_{Bk-\frac{QN}{P}}\&rsqb;+u_{k-\frac{QN}{P}}\end{array},\tilde{k}\&Element;S\\ \begin{array}{c}-\frac{1}{b_1}\&lsqb;(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i(y_{k+1-i}+y_{k+1-\frac{QN}{P}-i})\\ +\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i(u_{k+1-i}+u_{k+1-\frac{QN}{P}-i})-r_{k+1}-r_{k+1-\frac{QN}{P}}\\ +e_{k+1-\frac{QN}{P}}+w_{Bk}+w_{Bk-\frac{QN}{P}}\&rsqb;-u_{k-\frac{QN}{P}}\end{array},\tilde{k}\&NotElement;S\end{array}\right.---\left(22\right)$

其中w_Ak已根据其分数周期对称特性得到对消，相邻分数周期不规则扰动变化量的绝对值相对较小，且无规则，因此不再进行补偿，从而一类Q/P周期重复控制器为

$u_k=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}-\frac{1}{b_1}\&lsqb;\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i(u_{k+1-i}-u_{k+1-\frac{QN}{P}-i})-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i(y_{k+1-i}-y_{k+1-\frac{QN}{P}-i})+\\ (1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)-r_{k+1}+r_{k+1-\frac{QN}{P}}-e_{k+1-\frac{QN}{P}}\&rsqb;+u_{k-\frac{QN}{P}}\end{array},\tilde{k}\&Element;S\\ \begin{array}{c}-\frac{1}{b_1}\&lsqb;\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i(u_{k+1-i}+u_{k+1-\frac{QN}{P}-i})-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i(y_{k+1-i}+y_{k+1-\frac{QN}{P}-i})+\\ (1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)-r_{k+1}+r_{k+1-\frac{QN}{P}}+e_{k+1-\frac{QN}{P}}\&rsqb;-u_{k-\frac{QN}{P}}\end{array},\tilde{k}\&NotElement;S\end{array}\right.---\left(23\right)$

根据分数周期对称特性，控制器(23)表达式中的周期扰动得到对消。

再进一步，若系统扰动中包含有不规则成份w_Bk，控制器(23)中舍弃的扰动变化量d_k能在跟踪误差中体现。

本发明的技术构思为：定义周期系统输出误差收敛路径，提高系统动态品质，构造基于正弦切换的无抖振吸引律，进一步引入重复控制对于周期信号的跟踪和周期干扰的抑制思想，根据扰动信号在时域上的分数周期对称特性，设计基于正弦切换吸引律的分数周期重复控制方法，寻求控制序列使得输出经过有限控制步后能准确跟踪周期性参考输入。

本发明的有益效果主要表现在：1、采用时域方法设计重复控制器，无需构造产生周期信号的内模，简化了设计工作；2、通过构造正弦切换吸引律，对输出误差从任意值收敛到控制目标的轨迹进行了定义，保证系统具有良好的动态品质；3、进一步设计的分数周期重复控制器能够消除某些分数周期对称扰动，克服整周期重复控制时滞过长问题；4、分数周期重复控制方法所需监测数据占用内存量少，为整周期重复控制法的Q/P倍。

附图说明

图1是一类分数周期对称信号。

图2是吸引律分项变化趋势对比，其中(a)为ω＝π/2时的对比结果，(b)为ω＝π/4时的对比结果。

图3是分数周期重复控制器框图。

图4是输出反馈环节框图。

图5是控制输入反馈环节框图。

图6是直线电机伺服控制系统结构框图。

图7是实施例中给定的具有2/5周期对称特性的位置曲线图。

图8是实施例中时对应的误差发散图。

图9是实施例中时的误差绝对值递减图。

图10是实施例中时的误差绝对值递减图。

图11是实施例中时的误差单调递减图。

图12是实施例中时的误差单调递减图。

图13是实施例中设定的2/5周期对称扰动。

图14是针对实施例利用反馈控制算法实现的位置误差曲线，其中(a)为位置误差全貌，(b)为局部放大。

图15是针对实施例利用分数周期重复控制算法实现的位置误差曲线，其中(a)为位置误差全貌，(b)为局部放大。

图16是实施例中不规则扰动变化量与位置误差频谱图，其中(a)为扰动频谱，(b)为稳态位置误差频谱。

图17是针对实施例利用分数周期重复控制方法实现的测量位置和控制输入，其中(a)为参考信号和系统位置输出，(b)为控制输入量。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1～图17，一种适用于位置伺服的分数周期重复控制器，给定具有分数周期对称性的位置参考信号r_k，其一周期的信号波形如图1所示，满足

$r_k=\&PlusMinus;r_{k-\frac{QN}{P}}---\left(1\right)$

其中P、Q均为整数且P＞Q，N为信号一周期内取样点数。式(1)表明当前信号值取决于Q/P周期前的值，满足这一特点的信号称为具有Q/P周期对称特性，式(1)中的运算符±由k时刻在每周期中的位置决定；令 $\tilde{k}=\mathrm{mod}(k,N),$ 则

$r_k=\left\{\begin{array}{cc}{r}_{k-\frac{QN}{P}},& \tilde{k}\&Element;\&lsqb;\frac{P-1}{P}N,N)\\ -r_{k-\frac{QN}{P}},& \tilde{k}\&NotElement;\&lsqb;\frac{P-1}{P}N,N)\end{array}\right.---\left(2\right)$

不难看出，一个周期的r_k信号由P个小段组成。每个小段信号值有正有负，但其波形相同。对于这类具有分数周期对称特性的信号，若采用传统整周期重复控制方法，则需要保存一周期的量测数据，在高速采样过程中内存占用量大，且修正作用延迟一周期。

由于所述的吸引律决定误差轨迹，进一步，为使系统输出位置在有限时间逼近到参考信号的邻域δ内，本发明构造一种离散时间正弦切换吸引律

$e_{k+1}=\left\{\begin{array}{cc}(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{sgn}\left(e_k\right),& \left|e_k\right|>\mathrm{\&delta;}\\ (1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\sin \left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),& \left|e_k\right|\&le;\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中e_k＝r_k-y_k为跟踪误差，切换边界参数δ＞0，(1－ρ)e_k为指数吸引项，满足0＜ρ＜1，切换步长参数ε＞0。当误差e_k较大时，指数吸引项保证吸引速率足够大，使得误差绝对值快速减小。随着e_k减小，指数项的影响越来越小。这时，切换项-εsgn(·)保证足够的吸引步长，使得误差能在有限时间内收敛到零点的邻域。当e_k足够小时，若保持恒定切换步长ε，必然使得误差步步穿越零点，发生高频、稳幅抖振，且抖振幅度与ε成正比，从而在带来稳态误差的同时有可能激发系统高频特性。为此，当满足|e_k|≤δ时，本发明按正弦规律提供可变切换步长，使得切换步长随误差收敛平滑减小，避免高频抖振带来的问题。在δ固定的情况下，切换步长变化率取决于ω(·)。若ω(·)取值过小，误差单调递减，但速度较慢，影响系统动态；若ω(·)取值过大，可能使得误差步步穿越零点，形成高频抖振，不利于系统稳定运行。

为选择合适的ω(·)，改善误差收敛性能，以下分别分析误差单调递减和绝对值递减两种情形下的切换步长变化率ω(·)的取值条件；

第一种情形：误差单调递减的参数条件

单调递减指跟踪误差不变号的前提下逐步趋近零点，但不穿越零点。

1.1)当|e_k|＞δ时，根据吸引律表达式(3)和单调递减定义有

0＜((1-ρ)e_ksgn(e_k)-ε)＜e_ksgn(e_k)(4)

解得

$\left|e_k\right|>\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{1-\mathrm{\&rho;}}---\left(5\right)$

所以当满足时，跟踪误差单调收敛。

1.2)当0＜e_k≤δ时，根据吸引律表达式(3)和单调递减定义有

$0<\left(\right(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\sin (\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\left)\right)<e_k---\left(6\right)$

上式要求 $(1-\mathrm{\&rho;})e_k>\mathrm{\&epsiv;}\sin \left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 令f₁＝(1-ρ)e_k， $f_2=\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 并以e_k为自变量作出函数f₁和f₂的曲线如图2所示，图2(a)中取 $\mathrm{\&omega;}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2},$ 图2(b)中取 $\mathrm{\&delta;}=\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{1-\mathrm{\&rho;}},\mathrm{\&omega;}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}.$ 由图2可知

$e_k\&RightArrow;0\&DoubleRightArrow;\left\{\begin{array}{c}(1-\mathrm{\&rho;})e_k\&RightArrow;0\\ \mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)\&RightArrow;0\end{array}\right.---\left(7\right)$

f₁和f₂对e_k求导得

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1^{\&prime;}=\frac{{\mathrm{df}}_1}{{\mathrm{de}}_k}=1-\mathrm{\&rho;}\\ f_2^{\&prime;}=\frac{{\mathrm{df}}_2}{{\mathrm{de}}_k}=\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}}cos\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)\end{array}\right.---\left(8\right)$

由式(8)可知当e_k＞0时，若能保证f₁的增长率，即斜率f₁'大于f₂的斜率f₂'，那么满足 $(1-\mathrm{\&rho;})e_k>\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right).$ 即要求 $1-\mathrm{\&rho;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}},$ 也即图2(a)中由曲线可以看出因而跟踪误差非单调收敛。图2(b)中由曲线可以看出因而跟踪误差单调收敛。特殊地，当 $\mathrm{\&omega;}=\frac{(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}}=1$ 时， $(1-\mathrm{\&rho;})e_k>\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 所以跟踪误差单调收敛。

1.3)当-δ≤e_k＜0时，根据吸引律表达式(3)和单调递减定义有

$e_k<\left(\right(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\sin (\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\left)\right)<0---\left(9\right)$

上式要求 $(1-\mathrm{\&rho;})e_k<\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 同理可得，必须满足 $1-\mathrm{\&rho;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}},$ 即 $\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\frac{(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}}.$

第二种情形：误差绝对值递减的参数条件

绝对值递减指跟踪误差绝对值逐步趋近零点，趋近过程中允许穿越零点。

2.1)当|e_k|＞δ时，根据吸引律表达式(3)和绝对值递减定义有

-e_ksgn(e_k)＜((1-ρ)e_ksgn(e_k)-ε)＜e_ksgn(e_k)(10)

解得

$\left|e_k\right|>\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{2-\mathrm{\&rho;}}---\left(11\right)$

所以当满足时，跟踪误差绝对值递减。

2.2)当0＜e_k≤δ时，根据吸引律表达式(3)和绝对值递减定义有

$-e_k<\left(\right(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\sin (\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\left)\right)<e_k---\left(12\right)$

由上式得 $(2-\mathrm{\&rho;})e_k>\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 因为

$e_k\&RightArrow;0\&DoubleRightArrow;\left\{\begin{array}{c}(2-\mathrm{\&rho;})e_k\&RightArrow;0\\ \mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)\&RightArrow;0\end{array}\right.---\left(13\right)$

令f₃＝(2-ρ)e_k，f₂和f₃对e_k求导得

$\left\{\begin{array}{c}{f}_3^{\&prime;}=\frac{{\mathrm{df}}_1}{{\mathrm{de}}_k}=2-\mathrm{\&rho;}\\ f_2^{\&prime;}=\frac{{\mathrm{df}}_2}{{\mathrm{de}}_k}=\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}}cos\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)\end{array}\right.---\left(14\right)$

由式(14)可知，当e_k＞0时，若能保证f₃的增长率即斜率f₃'大于f₂的斜率f₂'，那么满足 $(2-\mathrm{\&rho;})e_k>\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right).$ 即要求 $2-\mathrm{\&rho;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}},$ 也即 $\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\frac{(2-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}}.$

2.3)当-δ≤e_k＜0时，根据吸引律表达式(3)和绝对递减定义有

$e_k<\left(\right(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\sin (\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\left)\right)<-e_k---\left(15\right)$

由上式得 $(2-\mathrm{\&rho;})e_k<\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 同理，要求 $2-\mathrm{\&rho;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}},$ 即 $\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\frac{(2-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}}.$

综上所述，吸引律(3)保证跟踪误差绝对值递减的参数条件为 $\mathrm{\&delta;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{2-\mathrm{\&rho;}}$ 且 $\frac{(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}}\&le;\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\min \{\frac{(2-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}},\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\},$ 进一步保证跟踪误差单调递减的参数条件为 $\mathrm{\&delta;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{1-\mathrm{\&rho;}}$ 且 $\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\min \{\frac{(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}},\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\}.$

考虑一种位置伺服离散系统，其差分方程描述为

$y_{k+1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i{u}_{k+1-i}-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i{y}_{k+1-i}+w_k---\left(16\right)$

其中a_i和b_i为系统结构参数，u_k为控制输入，y_k为输出的位置信号，系统存在有界扰动w_k∈[w_l,w_u]。对于大多数伺服系统而言，虽然扰动w_k无法准确预知，但其往往能呈现出与参考信号相同的周期性。本发明针对伺服系统上一类已知分数周期对称特性的参考信号位置跟踪问题，通过分析分数周期扰动的对称特性，设计正弦切换吸引律，进一步给出重复控制器。

跟据跟踪误差定义，由系统(16)知

$\begin{array}{c}{e}_{k+1}=r_{k+1}-y_{k+1}\\ =-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i{u}_{k+1-i}+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i{y}_{k+1-i}+r_{k+1}+w_k\end{array}---\left(17\right)$

将式吸引律(3)代入(17)并记

$f\left(e_k\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}\left(e_k\right),& \left|e_k\right|>\mathrm{\&delta;}\\ \sin \left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),& \left|e_k\right|\&le;\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.---\left(18\right)$

解得控制器

$u_k=\frac{1}{b_1}\&lsqb;-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i{y}_{k+1-i}-\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i{u}_{k+1-i}+r_{k+1}-w_k\&rsqb;---\left(19\right)$

由于系统扰动w_k的准确值未知，控制器(19)实际上无法实现。需要引入扰动估计嵌入控制器(19)形成补偿项。取中值作为扰动估计，估计误差因此，反馈控制器表示为

$u_k=\frac{1}{b_1}\&lsqb;-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i{y}_{k+1-i}-\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i{u}_{k+1-i}+r_{k+1}-\stackrel{\&OverBar;}{w}\&rsqb;---\left(20\right)$

这种扰动估计实质上是以中值来近似估计w_k的平均值即补偿常值扰动，因此，控制器(20)对常值扰动具有一定抑制功能。

为抑制周期性扰动，设扰动w_k由两部分构成

w_k＝w_Ak+w_Bk(21)

式中w_Ak与参考信号同频率，满足式(2)给出的Q/P分数周期对称特性，w_Bk为其它不规则扰动。显然，根据对称情况，通过求相邻分数周期扰动值的代数和，能够有效抑制w_Ak。

将式(19)延迟Q/P个周期，记并根据所在的区间与(19)求代数和，整理可得

$u_k=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}-\frac{1}{b_1}\&lsqb;(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i(y_{k+1-i}-y_{k+1-\frac{QN}{P}-i})\\ +\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i(u_{k+1-i}-u_{k+1-\frac{QN}{P}-i})-r_{k+1}+r_{k+1-\frac{QN}{P}}\\ -e_{k+1-\frac{QN}{P}}+w_{Bk}-w_{Bk-\frac{QN}{P}}\&rsqb;+u_{k-\frac{QN}{P}}\end{array},\tilde{k}\&Element;S\\ \begin{array}{c}-\frac{1}{b_1}\&lsqb;(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i(y_{k+1-i}+y_{k+1-\frac{QN}{P}-i})\\ +\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i(u_{k+1-i}+u_{k+1-\frac{QN}{P}-i})-r_{k+1}-r_{k+1-\frac{QN}{P}}\\ +e_{k+1-\frac{QN}{P}}+w_{Bk}+w_{Bk-\frac{QN}{P}}\&rsqb;-u_{k-\frac{QN}{P}}\end{array},\tilde{k}\&NotElement;S\end{array}\right.---\left(22\right)$

其中w_Ak已根据其分数周期对称特性得到对消。相邻分数周期不规则扰动变化量的绝对值一般相对较小，且无规则，因此不再进行补偿。从而一类Q/P周期重复控制器为

$u_k=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}-\frac{1}{b_1}\&lsqb;\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i(u_{k+1-i}-u_{k+1-\frac{QN}{P}-i})-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i(y_{k+1-i}-y_{k+1-\frac{QN}{P}-i})+\\ (1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)-r_{k+1}+r_{k+1-\frac{QN}{P}}-e_{k+1-\frac{QN}{P}}\&rsqb;+u_{k-\frac{QN}{P}}\end{array},\tilde{k}\&Element;S\\ \begin{array}{c}-\frac{1}{b_1}\&lsqb;\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i(u_{k+1-i}+u_{k+1-\frac{QN}{P}-i})-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i(y_{k+1-i}+y_{k+1-\frac{QN}{P}-i})+\\ (1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)-r_{k+1}+r_{k+1-\frac{QN}{P}}+e_{k+1-\frac{QN}{P}}\&rsqb;-u_{k-\frac{QN}{P}}\end{array},\tilde{k}\&NotElement;S\end{array}\right.---\left(23\right)$

根据分数周期对称特性，控制器(23)表达式中的周期扰动得到对消，因此理论上能够完全抑制这类扰动。实际上，对于所有具有Q/P周期对称特性的扰动，控制器(23)均具有抑制功能，区别在于S的定义域不同。值得注意的是，若系统扰动中包含有不规则成份w_Bk，(23)中舍弃的扰动变化量d_k必然能在跟踪误差中体现。

根据(23)，针对n阶周期系统，一种分数周期重复控制器，包括系统输出反馈环节、控制输入反馈环节和被控系统。系统框图如图3-5所示，当时，图中s＝1；时s＝-1。图3中r_k、e_k、u_k、y_k和w_k分别为参考信号、输出误差、控制输入、系统输出和系统扰动。模块101为误差迭代环节，其输出取决于吸引律(3)。反馈环节为图3中的102模块，其内部结构框图如图4所示，通过求最近n个时刻相邻分数周期输出监测差值的加权和得到图3中的S_y。所述的控制输入反馈环节为图3中的103模块，其内部结构框图如图5所示，通过求最近n个时刻相邻分数周期控制输入差值的加权和得到图3中的S_u。图3中104模块为n阶被控系统模型。

本实施例针对小功率交流永磁同步直线电机(PMLSM)在某一固定区间内执行具有2/5周期特性的位置伺服跟踪任务为目标，选用如图6所示的三环伺服控制系统。位置环作为外环采用本发明设计的分数周期重复控制器，内环的电流环和速度环采用PI算法进行调节。图6中的DSP控制模块201在软件上主要包括位置环控制器和实现监测与保护的数据处理单元。模块202包括速度和电流环控制器、控制脉冲生成和功率驱动电路，采用Bassoon数字驱动器实现。为简化设计，本发明不考虑直流升压部分，仅针对包括模块202和PMLSM本体进行建模，采用最小二乘辨识法得到伺服对象的二阶差分系统模型

y_k+1+a₁y_k-1+a₂y_k-2＝b₁u_k+b₂u_k-1+w_k(24)

其中a₁＝-0.8699，a₂＝-0.1301，b₁＝0.5099，b₂＝0.1952，交流检测采样率为10kHz。设给定位置跟踪信号如图7所示，变化曲线具有2/5周期对称特性，其周期为100mS，则周期采样点数N＝1000。

采用正弦切换吸引律(3)，取参数ρ＝5×10^-3，ε＝0.02，在无扰动即w_k＝0的情况下仿真得到位置跟踪误差如图8-12所示。由图可知，当|e_k|≤δ时，切换步长按正弦规律变化，对于不同的ω(·)取值范围，位置误差表现出不同的变化趋势。图8为取时的误差发散历程，可以看出误差进入调整区后开始发散直至进入稳幅抖振状态。分别取和时，误差曲线如图9和图10所示。由图可知，位置误差绝对值均处于递减趋势但存在抖动，步步穿越零线。分别取和时，误差曲线如图11和图12所示，为单调递减状态，以较快的速度趋近零线。

本发明通过上述理论分析与仿真验证，得到结论：对于实施例所采用的吸引律(3)，选取不同的ω(·)，位置跟踪误差存在三种动态：

1)时，跟踪误差发散直至稳幅抖振，对系统不利；

2)时，误差步步穿越零点，属于绝对值递减；

3)时，误差单调连续地趋近于零点，控制输入变化平滑。这种误差动态用于重复控制器(23)能够实现在无抖振情况下，对具有分数周期对称特性的扰动抑制。

进一步，设定系统扰动如图13所示。其中规则扰动w_Ak具有与给定参考信号相同的2/5周期对称特性。令则

$w_{Ak}=\left\{\begin{array}{cc}{w}_{Ak-\frac{2N}{5}},& \tilde{k}\&Element;S\\ -w_{Ak-\frac{2N}{5}},& \tilde{k}\&Element;S\end{array}\right.---\left(25\right)$

根据式(23)得到一类五分之二周期重复控制器

$u_k=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}-\frac{1}{b_1}\&lsqb;\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i(u_{k+1-i}-u_{k+1-\frac{2N}{5}-i})-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i(y_{k+1-i}-y_{k+1-\frac{2N}{5}-i})+\\ (1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)-r_{k+1}+r_{k+1-\frac{2N}{5}}-e_{k+1-\frac{2N}{5}}\&rsqb;+u_{k-\frac{2N}{5}}\end{array},\tilde{k}\&Element;S\\ \begin{array}{c}-\frac{1}{b_1}\&lsqb;\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i(u_{k+1-i}+u_{k+1-\frac{2N}{5}-i})-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i(y_{k+1-i}+y_{k+1-\frac{2N}{5}-i})+\\ (1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)-r_{k+1}+r_{k+1-\frac{2N}{5}}+e_{k+1-\frac{2N}{5}}\&rsqb;-u_{k-\frac{2N}{5}}\end{array},\tilde{k}\&NotElement;S\end{array}\right.---\left(26\right)$

为保证无抖振控制，取首先采用反馈控制器(20)得到位置误差如图14(a)所示，(b)为局部放大。由图可见，由于扰动估计项的作用，稳态误差中无直流分量，在零线附近约±0.15的邻域内上下振动，振动周期等同于所述规则扰动周期的1/5。进一步采用五分之二周期重复控制器(26)得到如图15所示的位置误差和局部放大。由图可见，稳态误差表现为零线附近约±0.025邻域内杂乱无章的小幅扰动。分析认为，控制器(26)对于满足分数周期对称特性的规则扰动w_Ak具有较好的抑制作用，但是对于不规则扰动w_Bk缺乏有效措施，所以扰动变化量体现在位置跟踪误差中。为直观比较，取稳态误差e_k与相应时段的d_k进行频谱分析，结果如图16所示。通过图16的对比，可以认为稳态误差由扰动中的不规则部分引起。实际上，若令w_Bk＝0，则位置跳跃误差在吸引律(3)作用下快速收敛到零并保持，其结果与无扰动输出结果(图12)相同。图17为控制量和输出端检测的位置信号，可见位置信号无抖振，能够在较短时间内精确跟踪给定的参考信号，且控制输入变化平滑。

上述结果通过一类五分之二周期重复控制器，验证了本发明给出的基于正弦切换吸引律的分数周期重复控制方法对于分数周期对称扰动抑制的有效性，且不需要很大的控制能量，运算内存占用量较小，具有较强的实用性。

Claims (3)

1.一种适用于位置伺服的分数周期重复控制器，其特征在于：给定具有分数周期对称性的位置参考信号r_k，其一周期的信号波形满足

$r_k=\&PlusMinus;r_{k-\frac{QN}{P}}---\left(1\right)$

其中P、Q均为整数且P＞Q，N为信号一周期内取样点数，式(1)表明当前信号值取决于Q/P周期前的值，满足这一特点的信号称为具有Q/P周期对称特性，式(1)中的运算符±由k时刻在每周期中的位置决定；令 $\tilde{k}=\mathrm{mod}(k,N),$ 则

$r_k=\left\{\begin{array}{cc}{r}_{k-\frac{QN}{P}},& \tilde{k}\&Element;\&lsqb;\frac{P-1}{P}N,N)\\ -r_{k-\frac{QN}{P}},& \tilde{k}\&NotElement;\&lsqb;\frac{P-1}{P}N,N)\end{array}\right.---\left(2\right)$

为使系统输出位置在有限时间逼近到参考信号的邻域δ内，构造一种离散时间正弦切换吸引律：

$e_{k+1}=\left\{\begin{array}{cc}(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{sgn}\left(e_k\right),& \left|e_k\right|>\mathrm{\&delta;}\\ (1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\sin \left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),& \left|e_k\right|\&le;\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中sgn(·)为符号函数，e_k＝r_k-y_k为跟踪误差，切换边界参数δ＞0，(1－ρ)e_k为指数吸引项，满足0＜ρ＜1，切换步长参数ε＞0；当满足|e_k|≤δ时，按正弦规律提供可变切换步长，在δ固定的情况下，切换步长变化率取决于ω(·)；

分别按照误差单调递减和绝对值递减两种情形下的切换步长变化率ω(·)的取值条件；

第一种情形：误差单调递减的参数条件

1.1)当|e_k|＞δ时，根据吸引律表达式(3)和单调递减定义有

0＜((1-ρ)e_ksgn(e_k)-ε)＜e_ksgn(e_k)(4)

解得

$\left|e_k\right|>\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{1-\mathrm{\&rho;}}---\left(5\right)$

所以当满足时，跟踪误差单调收敛；

1.2)当0＜e_k≤δ时，根据吸引律表达式(3)和单调递减定义有

$0<\left(\right(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\sin (\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}})<e_k---\left(6\right)$

上式(6)要求 $(1-\mathrm{\&rho;})e_k>\mathrm{\&epsiv;}\sin \left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right);$

$e_k\&RightArrow;0\&DoubleRightArrow;\left\{\begin{array}{c}(1-\mathrm{\&rho;})e_k\&RightArrow;0\\ \mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)\&RightArrow;0\end{array}\right.---\left(7\right)$

令f₁＝(1-ρ)e_k，则对e_k求导得

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1^{\&prime;}=\frac{{\mathrm{df}}_1}{{\mathrm{de}}_k}=1-\mathrm{\&rho;}\\ f_2^{\&prime;}=\frac{{\mathrm{df}}_2}{{\mathrm{de}}_k}=\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}}cos\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)\end{array}\right.---\left(8\right)$

由式(8)可知当e_k＞0时，若能保证f₁的增长率，即斜率f₁'大于f₂的斜率f′₂，那么满足 $(1-\mathrm{\&rho;})e_k>\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 即要求 $1-\mathrm{\&rho;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}},$ 也即 $\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\frac{(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}};$

1.3)当-δ≤e_k＜0时，根据单调递减定义有

$e_k<\left(\right(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\sin (\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\left)\right)<0---\left(9\right)$

上式要求 $(1-\mathrm{\&rho;})e_k<\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 必须满足 $1-\mathrm{\&rho;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}},$ 即 $\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\frac{(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}};$

第二种情形：误差绝对值递减的参数条件

2.1)当|e_k|＞δ时，根据吸引律表达式(3)和绝对值递减定义有

-e_ksgn(e_k)＜((1-ρ)e_ksgn(e_k)-ε)＜e_ksgn(e_k)(10)

解得

$\left|e_k\right|>\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{2-\mathrm{\&rho;}}---\left(11\right)$

所以当满足时，跟踪误差绝对值递减；

2.2)当0＜e_k≤δ时，根据吸引律表达式(3)和绝对值递减定义有

$-e_k<\left(\right(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\sin (\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\left)\right)<e_k---\left(12\right)$

由上式得 $(2-\mathrm{\&rho;})e_k>\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 因为

$e_k\&RightArrow;0\&DoubleRightArrow;\left\{\begin{array}{c}(2-\mathrm{\&rho;})e_k\&RightArrow;0\\ \mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)\&RightArrow;0\end{array}\right.---\left(13\right)$

令f₃＝(2-ρ)e_k， $f_2=\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)$ 则

$\left\{\begin{array}{c}{f}_3^{\&prime;}=\frac{{\mathrm{df}}_1}{{\mathrm{de}}_k}=2-\mathrm{\&rho;}\\ f_2^{\&prime;}=\frac{{\mathrm{df}}_2}{{\mathrm{de}}_k}=\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}}cos\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)\end{array}\right.---\left(\mathrm{14}\right)$

由式(14)可知当e_k＞0时，若能保证f₃的增长率即斜率f′₃大于f₂的斜率f′₂，那么满足 $(2-\mathrm{\&rho;})e_k>\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 即要求 $2-\mathrm{\&rho;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}},$ 也即 $\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\frac{(2-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}};$

2.3)当-δ≤e_k＜0时，根据吸引律表达式(3)和绝对递减定义有

$e_k<\left(\right(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}\sin (\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\left)\right)<-e_k---\left(15\right)$

由上式得 $(2-\mathrm{\&rho;})e_k<\mathrm{\&epsiv;}sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),$ 要求 $2-\mathrm{\&rho;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)}{\mathrm{\&delta;}},$ 即 $\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\frac{(2-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}};$

吸引律(3)保证跟踪误差绝对值递减的参数条件为且进一步保证跟踪误差单调递减的参数条件为 $\mathrm{\&delta;}\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{1-\mathrm{\&rho;}}$ 且 $\mathrm{\&omega;}(\&CenterDot;)\&le;\min \{\frac{(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}},\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\}.$

2.如权利要求1所述的适用于位置伺服的分数周期重复控制器，其特征在于：给出位置伺服离散系统的差分方程描述为

$y_{k+1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i{u}_{k+1-i}-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i{y}_{k+1-i}+w_k---\left(16\right)$

其中a_i和b_i为系统结构参数，u_k为控制输入，y_k为输出的位置信号，系统存在有界扰动w_k∈[w_l,w_u]；

跟据跟踪误差定义，由系统(16)知

$\begin{array}{c}{e}_{k+1}=r_{k+1}-y_{k+1}\\ =-\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i{u}_{k+1-i}+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i{y}_{k+1-i}+r_{k+1}+w_k\end{array}---\left(17\right)$

将式吸引律(3)代入(17)并记

$f\left(e_k\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}\left(e_k\right),& \left|e_k\right|>\mathrm{\&delta;}\\ sin\left(\mathrm{\&omega;}\right(\&CenterDot;\left)\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right),& \left|e_k\right|\&le;\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.---\left(18\right)$

解得控制器

$u_k=\frac{1}{b_1}\&lsqb;-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i{y}_{k+1-i}-\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i{u}_{k+1-i}+r_{k+1}-w_k\&rsqb;---\left(19\right)$

由于系统扰动w_k的准确值未知，引入扰动估计嵌入控制器(19)形成补偿项；取中值作为扰动估计，估计误差因此，反馈控制器表示为

$u_k=\frac{1}{b_1}\&lsqb;-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i{y}_{k+1-i}-\underset{i=2}{\overset{n}{\&Sigma;}}{b}_i{u}_{k+1-i}+r_{k+1}-\stackrel{\&OverBar;}{w}\&rsqb;---\left(20\right)$

以中值来近似估计w_k的平均值即补偿常值扰动；

为抑制周期性扰动，设扰动w_k由两部分构成

w_k＝w_Ak+w_Bk(21)

式中，w_Ak与参考信号同频率，满足式(2)给出的Q/P分数周期对称特性，w_Bk为其它不规则扰动；根据对称情况，通过求相邻分数周期扰动值的代数和，能够有效抑制w_Ak；

将式(19)延迟Q/P个周期，记并根据所在的区间与(19)求代数和，整理得

$u_k=\left\{\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-\frac{1}{b_1}\&lsqb;(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_i(y_{k+1-i}-y_{k+1-\frac{QN}{P}-i})\\ +\underset{i=2}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_i(u_{k+1-i}-u_{k+1-\frac{QN}{P}-i})-r_{k+1}+r_{k+1-\frac{QN}{P}}\\ -e_{k+1-\frac{QN}{P}}+w_{Bk}-w_{Bk-\frac{QN}{P}}\&rsqb;+u_{K-\frac{QN}{P}}\end{array},& \tilde{k}\&Element;S\\ \begin{array}{c}-\frac{1}{b_1}\&lsqb;(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_i(y_{k+1-i}+y_{k+1-\frac{QN}{P}-i})\\ +\underset{i=2}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_i(u_{k+1-i}-u_{k+1-\frac{QN}{P}-i})-r_{k+1}-r_{k+1-\frac{QN}{P}}\\ -e_{k+1-\frac{QN}{P}}+w_{Bk}+w_{Bk-\frac{QN}{P}}\&rsqb;-u_{K-\frac{QN}{P}}\end{array},& \tilde{k}\&NotElement;S\end{array}\right.---\left(22\right)$

其中w_Ak已根据其分数周期对称特性得到对消，相邻分数周期不规则扰动变化量的绝对值相对较小，且无规则，因此不再进行补偿，从而一类Q/P周期重复控制器为

$u_k=\left\{\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-\frac{1}{b_1}\&lsqb;\underset{i=2}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_i(u_{k+1-i}-u_{k+1-\frac{QN}{P}-i})-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_i(y_{k+1-i}-y_{k+1-\frac{QN}{P}-i})+\\ (1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)-r_{k+1}+r_{k+1-\frac{QN}{P}}-e_{k+1-\frac{QN}{P}}\&rsqb;+u_{k-\frac{QN}{P}}\end{array},& \tilde{k}\&Element;S\\ \begin{array}{c}-\frac{1}{b_1}\&lsqb;\underset{i=2}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_i(u_{k+1-i}+u_{k+1-\frac{QN}{P}-i})-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_i(y_{k+1-i}-y_{k+1-\frac{QN}{P}-i})+\\ (1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}f\left(e_k\right)-r_{k+1}+r_{k+1-\frac{QN}{P}}+e_{k+1-\frac{QN}{P}}\&rsqb;-u_{k-\frac{QN}{P}}\end{array},& \tilde{k}\&NotElement;S\end{array}\right.---\left(23\right)$

根据分数周期对称特性，控制器(23)表达式中的周期扰动得到对消。

3.如权利要求2所述的适用于位置伺服的分数周期重复控制器，其特征在于：若系统扰动中包含有不规则成份w_Bk，控制器(23)中舍弃的扰动变化量d_k能在跟踪误差中体现。