CN109085758B - 用于位置伺服系统的多周期滑模重复控制器 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于位置伺服系统的多周期滑模重复控制器，引入的重复控制是基于跟踪周期信号和抑制周期干扰信号思想。给定参考信号由多个不同周期信号叠加而成，根据不同周期对称性，构造不同的等效干扰信号；依据双曲正切幂次趋近律，设计出不同的子重复控制器，并以并联方式组合成多周期滑模重复控制器；继而计算出其输出信号作为伺服对象的输入，使伺服系统跟随参考信号变化。本发明提供一种能有效抑制多周期干扰信号、大大减少内存占用空间、高控制精度的时域设计的多周期滑模重复控制器。

Description

用于位置伺服系统的多周期滑模重复控制器

技术领域

本发明涉及重复控制技术和滑模控制技术，尤其是一种用于位置伺服系统的多周期滑模重复控制器，也适用于工业控制中的其它周期运行过程。

背景技术

多年来，周期信号的跟踪和干扰抑制补偿问题一直是众多学者关注的课题。现有的重复控制技术主要集中于基于内模原理的频域分析与设计方法。内模原理的本质是采用周期延迟e^-Ts的正反馈形式来构造周期为T的周期信号内模，并将其嵌入稳定的闭环系统中，内模输出就会对输入信号逐周期累加，从而能够对该种周期信号实现无静差跟踪控制或干扰抑制。这种控制技术已经广泛应用于电机伺服系统、电力电子逆变器、硬盘/光盘伺服系统及其它重复运行过程。

工程实现时采用计算机控制技术，控制系统多是以离散时间方式实现，且实际控制系统中存在各种干扰，包括参数摄动、外部干扰以及未建模动态特性等。滑模控制具有对干扰和未建模特性的强鲁棒性，且响应速度快等特点，这导致人们研究离散时间系统的滑模控制技术。目前滑模控制主要集中于反馈滑模控制研究，少部分研究滑模重复控制技术，但未见研究多周期滑模重复控制。如果参考信号由多个周期的叠加而成，且参考信号的周期为子周期相乘或远大于子周期，例如周期为7s、9s和11s叠加的参考信号，则参考信号的公共周期为7*9*11s＝693s，远大于7s、9s和11s；若采用单周期滑模重复控制器至少需要693/T_s个存储单元，而且重复控制器需要前一周期的历史数据，存在一个周期的控制时滞；因此，跟踪误差至少在一个控制周期(693s)后才开始收敛，会出现周期干扰抑制非常缓慢和内存占用量较多等现象，这种情况往往无法满足实际系统对控制性能的要求。若能提出一种多周期滑模重复控制器，通过构造多个子重复控制器，同时对多周期干扰进行抑制，将其控制延迟时间缩短，提高干扰抑制速度，并能够大大减少其存储空间。因此，仍然有必要继续深入地研究重复控制技术。

发明内容

为了解决已有单周期重复控制技术抑制多周期干扰信号缓慢、动态品质较差、控制时滞过长以及采用断续特性带来的抖振等问题，本发明提供了一种快速抑制多周期干扰、动态品质良好、大大减少内存占用量以及高控制精度的基于双曲正切幂次趋近律的离散多周期滑模重复控制器，且设计过程在时域进行。采用这种多周期重复控制技术能够实现周期参考信号跟踪任务，同时快速消除多周期干扰。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案是：

一种用于位置伺服系统的多周期滑模重复控制器，设定给定参考信号

且由周期为n₁,n₂,…,n_P的P个周期信号叠加而成，满足

其中，

为k时刻的电机转角位置参考信号，

分别表示k,k-n_i时刻周期为n_i的电机转角位置子参考信号；定义跟踪误差e_k＝x_k-r_k，取滑模面s_k＝c^Te_k，其中c^Tb可逆，c^T为滑模面系数，b为系统参数；

根据参考信号的周期对称特性，构造等效干扰

其中，g_k,

分别表示k,k-n_i时刻电机伺服系统所受的干扰信号，i＝1,2,…,P；

表示k时刻的等效干扰信号且由周期为n_i的周期特性构造而成；

构造幂次收敛的离散趋近律，提供的离散形式的趋近律为

其中，tanh(·)是双曲正切函数，且

符号函数

ρ为表达趋近速度的常数，α为表达收敛幂次的常数，δ为双曲正切函数系数且可调节tanh(·)的函数值和变化率，其取值范围为：0＜ρ＜1，0＜α≤1，δ＞0；

考虑到周期伺服系统的周期运行特性，系统不确定性也存在部分相同的周期特性，则构造带多周期干扰抑制项的离散双曲正切幂次趋近律，其具体形式如下

其中，k₁,k₂,…,k_P＞0为控制增益系数，且

可消除周期为n_i的周期干扰信号，且

Δ为

的界值。

依据离散趋近律(4)，则离散多周期滑模重复控制器的表达式为

其中，

式中u_k为k时刻的系统控制输入信号，

为k，k-n_i时刻且依据周期为n_i的周期特性所设计的子重复控制器的控制信号，s_k为k时刻的切换函数，x_k,

分别表示k,k-n_i,k+1-n_i时刻的系统状态；A,b分别表示位置伺服系统

的系统参数，x_k+1,x_k∈Rⁿ为系统状态且x_k＝[θ_k-1 θ_k]^T，θ_k为k时刻的电机转角位置，u_k为k时刻的电机控制输入信号，

表示k时刻周期为n_i的系统周期干扰信号，i＝1,2,…,P，Δg_k表示k时刻的系统非周期干扰信号，记

表示k时刻的系统干扰总和；记

，可将控制器(5)写成

将u_k作为伺服对象的控制输入信号，可量测获得伺服系统状态输出信号x_k，跟随参考信号r_k变化，且系统切换函数的动态行为由式(4)表征。

进一步，为表征双曲正切幂次趋近律的收敛过程，本发明引入幂次单调减区域、幂次绝对收敛层和稳态误差带概念，具体定义如下：

1)幂次单调减区域Δ_PM

2)幂次绝对收敛层Δ_PA

3)稳态误差带Δ_SS

其中，Δ_PM为幂次单调减区域边界，Δ_PA为幂次绝对收敛层边界，Δ_SS为稳态误差带边界，且0＜α≤1。

对于离散多周期滑模重复控制器(5)作用下导致的系统切换动态行为，本发明分别给出三个边界的表达式，具体形式如下：

幂次单调减区域Δ_PM为

其中，

的界值；

幂次绝对收敛层Δ_PA为

稳态误差带Δ_SS为

再进一步，离散多周期滑模重复控制器设计完成后，需要整定其中的控制器参数。其可调参数包括ρ，α，δ，k₁,k₂,…,k_p，其参数k₁,k₂,…,k_p的整定可根据不同周期干扰/参考信号的各个幅值来进行，其它参数ρ，α，δ的整定可根据表征双曲正切幂次趋近律收敛过程的三个边界指标进行。

对于离散多周期滑模重复控制器设计作以下说明：

1)参考信号由多个周期信号叠加而成且周期互为质数，所设计的基于双曲正切幂次趋近律的离散多周期滑模重复控制器可有效地解决单周期重复控制技术抑制多周期干扰缓慢、动态品质较差以及控制时滞过长等不足问题，实现快速抑制多周期干扰信号，而且降低了内存占用量。具体体现在，单周期滑模重复控制器需要前一周期(周期为

)的控制信号，需要

个控制信号存储空间，且在一个周期(周期为

)后才开始起作用，而多周期滑模重复控制器只需要在一个周期(周期为max{n₁,n₂,…,n_p}后就开始收敛，仅需要

个控制信号存储空间，远小于

与单周期滑模重复控制器相比较，所叠加的周期信号越多，多周期滑模重复控制器对多周期干扰抑制速度和内存占用量等方面的优势就越显著。

2)由于采用双曲正切函数，据此推导出的三个边界表达式为超越方程，无法给出各个界的具体解析解；本发明专利从另一个角度获得近似的具体解析解；双曲正切函数的麦克劳林展开式为

当x∈(-∞,+∞)时，tanh(x)∈(-1,1)；当|s_k|＞δ^-1/α时，tanh(δ|s_k|^α)≤1，当|s_k|≤δ^-1/α时，tanh(δ|s_k|^α)≤δ|s_k|^α。

3)常规的趋近律形式为s_k+1＝(1-ρ)s_k-εsgn(s_k)或用

等函数替代符号函数的改进型趋近律，一般只要求满足|s_k+1|＜|s_k|条件收敛；而本发明通过构造离散幂次趋近律，对于|s_k|＞1，切换函数满足|s_k+1|＜|s_k|^α条件收敛，对于|s_k|≤1，切换函数满足|s_k+1|＜|s_k|^2α条件收敛，实现更快速收敛。

4)式(3)也可以用于滑模面的设计，其形式如下：s_k+1＝e_k+1-ρ|e_k|^αtanh(δ|e_k|^α)sgn(e_k)。

5)控制器参数k₁,k₂,…,k_P影响周期干扰信号的抑制速度，并不影响周期干扰信号抑制。当k₁＝1且k₂＝k₃＝…＝k_P＝0时，参考信号满足

这时等效干扰为

离散多周期滑模重复控制器也适用于单周期干扰抑制问题，则离散单周期滑模重复控制器为

6)当k₁＝1，k₂＝k₃＝…＝k_P＝0且n₁＝1时，参考信号满足r_k＝r_k-1，这时的等效干扰为d_k＝w_k-w_k-1；本发明中提出的离散多周期滑模重复控制器也适用于常值调节问题，则常值调节控制器为

u_k＝u_k-1+(c^Tb)^-1[ρ|s_k|^αtanh(δ|s_k|^α)sgn(s_k)+c^T(r_k+1-X_k)-c^TA(X_k-X_k-1)] (15)

本发明的技术构思为：提出一种基于双曲正切函数的离散幂次趋近律，用于多个周期信号叠加而成的参考/干扰信号下电机位置伺服系统的离散多周期滑模重复控制器设计。引入的重复控制是基于跟踪周期参考信号和抑制周期干扰信号思想，对于多个周期信号叠加而成的干扰信号，可分别构造相应的等效干扰用于多周期干扰信号抑制，将其嵌入到趋近律中，依此推导出离散多周期滑模重复控制器，是一种时域设计方法。时域设计方法在设计重复控制器时具有独到的地方，设计出的控制器更简洁、直观，能够便于现有的时域干扰状态反馈和观测技术相结合，它不同于普遍采用的频域设计方法。

本发明的控制效果主要表现在：不仅能跟踪上给定的电机位置参考信号，而且可以实现抑制多周期干扰信号；兼有快速的跟踪收敛，多周期干扰信号抑制，减少内存占用量，高控制精度。

附图说明

图1是采用双曲正切幂次趋近律多周期滑模重复控制器的永磁同步电机控制系统方框图。

图2是基于趋近律的控制系统设计流程图。

图3是sgn(s_k)和tanh(δ|s_k|^α)的比较图。

图4是指数趋近律s_k+1＝ρs_k-εsgn(s_k)(点划线)、幂次趋近律s_k+1＝ρ|s_k|^αsgn(s_k)-εsgn(s_k)(虚线)和双曲正切幂次趋近律s_k+1＝ρ|s_k|^αtanh(δ|s_k|^α)(实线)的比较图。

图5是参考信号满足

的离散多周期滑模重复控制系统方框图。

图6是永磁同步电机控制系统干扰w_k的示意图。

图7是当控制器参数选取为ρ＝0.5，α＝0.5，δ＝0.5及Δ＝0.3564时，在离散单周期滑模重复控制器(17)作用下的输出信号和给定参考信号。

图8是当控制器参数选取为ρ＝0.5，α＝0.5，δ＝0.5及Δ＝0.3564时，在离散单周期滑模重复控制器(17)作用下的切换函数s_k。

图9是当控制器参数ρ＝0.5，α＝0.5，δ＝0.5，k₁＝0.4,k₂＝0.6及Δ＝0.0782时，在离散多周期滑模重复控制器(9)作用下的切换函数s_k。

图10是当控制器参数ρ＝0.4，α＝0.7，δ＝1，k₁＝0.4,k₂＝0.6及Δ＝0.0782时，在离散多周期滑模重复控制器(9)作用下的切换函数s_k。

图11是当控制器参数ρ＝0.4，α＝0.7，δ＝1，k₁＝0.6,k₂＝0.4及Δ＝0.0782时，在离散多周期滑模重复控制器(9)作用下的切换函数s_k。

具体实施方式

下面结合附图对本发明具体实施方式做进一步描述。

参照图1-11，一种用于位置伺服系统的多周期滑模重复控制器，设定给定参考信号

且由周期为n₁,n₂,…,n_P的P个周期信号叠加而成的，满足

其中，

为k时刻的电机转角位置参考信号，

分别表示k,k-n_i时刻周期为n_i的电机转角位置子参考信号；定义跟踪误差e_k＝x_k-r_k，取滑模面s_k＝c^Te_k，其中c^Tb可逆，c^T为滑模面系数，b为系统参数；

根据参考信号的多周期对称特性，分别构造等效干扰

其中，g_k,

分别表示k,k-n_i时刻电机伺服系统所受的干扰信号，i＝1,2,…,P；

表示k时刻的等效干扰信号且由周期为n_i的周期特性构造而成；

构造幂次收敛的离散趋近律，提供的离散形式的趋近律为

s_k+1＝ρ|s_k|^αtanh(δ|s_k|^α)sgn(s_k) (3)

其中，tanh(·)是双曲正切函数，且

符号函数

ρ为表达趋近速度的常数，α为表达收敛幂次的常数，δ为双曲正切函数系数且可调节tanh(·)的函数值和变化率，其取值范围为：0＜ρ＜1，0＜α≤1，δ＞0；

考虑到周期伺服系统的周期运行特性，系统不确定性也存在部分相同的周期特性，则构造带多周期干扰抑制项的离散趋近律，其具体形式如下

其中，k₁,k₂,…,k_P＞0为控制增益系数，且

可消除周期为n_i的周期干扰信号，且

Δ为

的界值；

建立电机位置伺服系统动态特性的状态空间模型：

其中，A,b分别表示系统模型参数，可通过最小二乘法辨识获得；x_k+1,x_k分别为k+1，k时刻的系统状态且x_k＝[θ_k-1 θ_k]^T，θ_k为k时刻的电机转角位置，u_k为k时刻的电机控制输入信号，

表示k时刻周期为n_i的系统周期干扰信号，i＝1,2,…,P，Δg_k表示k时刻的系统非周期干扰信号，记

表示k时刻的系统干扰总和；

针对不同的等效干扰信号，构造不同的子重复控制器，为了便于区别，这里相应的控制器记为

由系统(5)和

可得

将式(6)代入(4)，并结合s_k＝c^Te_k可得

将式(7)化简为

则离散多周期滑模重复控制器的表达式为

其中，

式中u_k为k时刻的控制输入信号，

为k，k-n_i时刻且依据周期为n_i的周期特性所设计的子重复控制器的控制信号，s_k为k时刻的切换函数，x_k,

分别表示k,k-n_i,k+1-n_i时刻的系统状态；记

，可将控制器(9)写成

将u_k作为伺服对象的控制输入信号，可量测获得伺服系统状态输出信号x_k，跟随参考信号r_k变化，且系统切换函数的动态行为由式(4)表征；

进一步，为表征双曲正切幂次趋近律的收敛过程，本发明引入幂次单调减区域、幂次绝对收敛层和稳态误差带概念，具体定义如下：

1)幂次单调减区域Δ_PM

2)幂次绝对收敛层Δ_PA

3)稳态误差带Δ_SS

其中，Δ_PM为幂次单调减区域边界，Δ_PA为幂次绝对收敛层边界，Δ_SS为稳态误差带边界，且0＜α≤1。

对于离散多周期滑模重复控制器(9)作用下导致的系统切换动态行为，本发明分别给出三个边界的表达式，具体形式如下：

幂次单调减区域Δ_PM为

其中，Δ为

的界值；

幂次绝对吸引层Δ_PA为

稳态误差带Δ_SS为

再进一步，离散多周期滑模重复控制器设计完成后，需要整定其中的控制器参数。其可调参数包括ρ，α，δ，k₁,k₂,…,k_p，其参数k₁,k₂,…,k_p的整定可根据不同周期干扰/参考信号的各个幅值来进行，其它参数ρ，α，δ的整定可根据表征双曲正切幂次趋近律收敛过程的三个边界指标进行。

对于离散多周期滑模重复控制器设计作以下说明：

1)参考信号由多个周期信号叠加而成且周期互为质数，所设计的基于双曲正切幂次趋近律的离散多周期滑模重复控制器可有效地解决单周期重复控制技术抑制多周期干扰缓慢、动态品质较差以及控制时滞过长等不足问题，实现快速抑制多周期干扰信号，而且降低了内存占用量。具体体现在，单周期滑模重复控制器需要前一周期(周期为

)的控制信号，需要

个控制信号存储空间，且在一个周期(周期为

)后才开始起作用，而多周期滑模重复控制器只需要在一个周期(周期为max{n₁,n₂,…,n_p}后就开始收敛，仅需要

个控制信号存储空间，远小于

与单周期滑模重复控制器相比较，所叠加的周期信号越多，多周期滑模重复控制器对多周期干扰抑制速度和内存占用量等方面的优势就越显著。

2)由于采用双曲正切函数，据此推导出的三个边界表达式为超越方程，无法给出各个界的具体解析解；本发明专利从另一个角度获得近似的具体解析解；双曲正切函数的麦克劳林展开式为

当x∈(-∞,+∞)时，tanh(x)∈(-1,1)；当|s_k|＞δ^-1/α时，tanh(δ|s_k|^α)≤1，当s_k|≤δ^-1/α时，tanh(δ|s_k|^α)≤δ|s_k|^α。

3)常规的趋近律形式为s_k+1＝(1-ρ)s_k-εsgn(s_k)或用

等函数替代符号函数的改进型趋近律，一般只要求满足|s_k+1|＜|s_k|条件收敛；而本发明通过构造离散幂次趋近律，对于|s_k|＞1，切换函数满足|s_k+1|＜|s_k|^α条件收敛，对于|s_k|≤1，切换函数满足|s_k+1|＜|s_k|^2α条件收敛，实现更快速收敛。

4)式(3)也可以用于滑模面的设计，其形式如下：s_k+1＝e_k+1-ρ|e_k|^αtanh(δ|e_k|^α)sgn(e_k)。

5)控制器参数k₁,k₂,…,k_P影响周期干扰信号的抑制速度，并不影响周期干扰信号抑制。当k₁＝1且k₂＝k₃＝…＝k_P＝0时，参考信号满足

这时等效干扰为

离散多周期滑模重复控制器也适用于单周期干扰抑制问题，则离散单周期滑模重复控制器为

6)当k₁＝1，k₂＝k₃＝…＝k_P＝0且n₁＝1时，参考信号满足r_k＝r_k-1，这时的等效干扰为d_k＝w_k-w_k-1；本发明中提出的离散多周期滑模重复控制器也适用于常值调节问题，则常值调节控制器为

u_k＝u_k-1+(c^Tb)^-1[ρ|s_k|^αtanh(δ|s_k|^α)sgn(s_k)+c^T(r_k+1-X_k)-c^TA(X_k-X_k-1)] (18)

本发明的技术构思为：提出一种基于双曲正切函数的离散幂次趋近律，用于多个周期信号叠加而成的参考/干扰信号下电机位置伺服系统的离散多周期滑模重复控制器设计。引入的重复控制是基于跟踪周期参考信号和抑制周期干扰信号思想，对于多个周期信号叠加而成的干扰信号，可分别构造相应的等效干扰用于多周期干扰信号抑制，将其嵌入到趋近律中，依此推导出离散多周期滑模重复控制器，是一种时域设计方法。时域设计方法在设计重复控制器时具有独到的地方，设计出的控制器更简洁、直观，能够便于现有的时域干扰状态反馈和观测技术相结合，它不同于普遍采用的频域设计方法。

实施例：

以永磁同步电机伺服系统在某一固定区间内执行由多个周期信号叠加而成的重复跟踪任务为例，其给定位置参考信号具有周期对称特性，电机采用三环控制，其中速度环和电流环控制器均由ELMO驱动器提供，采用PI算法进行调节，而本发明设计的离散多周期重复控制器作为电机三环控制系统中的位置环控制器，其由DSP开发板提供(参见图1)。对于具有周期对称特性的位置参考信号，当电机伺服系统进入稳态阶段，系统干扰项也会呈现相同的周期对称特性。设计位置环控制器需建立除位置环以外的伺服对象的数学模型，包括电流环、速度环、功率驱动器、电机本体以及检测装置。利用最小二乘辨识法获得伺服对象的状态空间模型参数：

滑模面参数为c^T＝[-0.51]。该实施例中将通过数值仿真说明本发明专利给出基于趋近律的离散多周期重复控制器的有效性。

仿真时，选取的电机位置信号为两个不同周期参考信号叠加而成，具体形式如下：

其中，单位为rad，T₁＝5s，T₂＝7s，采样周期T_s＝0.01s，给定参考信号r_k的周期为35s，系统干扰信号选取为两个周期干扰信号和一个(由不同周期的正弦和余弦信号相乘来模拟的)非周期干扰信号的叠加(见图6)，具体形式如下：

在重复控制器(9)和(17)作用下，控制器参数(ρ,α,δ，k₁,k₂,…,k_P)取值不同时的电机位置跟踪情况会有所不同，其幂次单调减区域边界Δ_PM，幂次绝对收敛层边界Δ_PA，稳态误差带边界Δ_SS将呈现不同的情况，如图7-11所示。

(1)在离散单周期滑模重复控制器(17)作用下的输出信号和给定参考信号如图7所示，切换函数s_k如图8所示。控制器参数ρ＝0.5，α＝0.5，δ＝0.5及Δ＝0.3564，由式(14)、(15)和(16)可得Δ_PM＝1.194，Δ_SS＝Δ_PA＝0.3956。

(2)在离散多周期滑模重复控制器(9)作用下的切换函数s_k如图9所示。控制器参数ρ＝0.5，α＝0.5，δ＝0.5，k₁＝0.4,k₂＝0.6及Δ＝0.0782，由式(14)、(15)和(16)可得Δ_PM＝0.5593，Δ_SS＝Δ_PA＝0.0798。

(3)在离散多周期滑模重复控制器(9)作用下的切换函数s_k如图10所示。控制器参数ρ＝0.4，α＝0.7，δ＝1，k₁＝0.4,k₂＝0.6及Δ＝0.0782，由式(14)、(15)和(16)可得Δ_PM＝0.4422，Δ_SS＝Δ_PA＝0.0808。

(4)在离散多周期滑模重复控制器(9)作用下的切换函数s_k如图11所示。控制器参数ρ＝0.4，α＝0.7，δ＝1，k₁＝0.6,k₂＝0.4及Δ＝0.0782，由式(14)、(15)和(16)可得Δ_PM＝0.4422，Δ_SS＝Δ_PA＝0.0808。

上述数值仿真结果验证了本发明专利给出系统切换函数的幂次单调减区域边界Δ_PM，幂次绝对收敛层边界Δ_PA，稳态误差带边界Δ_SS。数值仿真结果表明，采用基于趋近律的离散多周期滑模重复控制器能到达预期控制效果，实现了快速、有效地消除电机系统的多周期干扰信号，收敛速度优于单周期滑模重复控制器，且稳态误差带边界更小。

Claims (3)

1.一种用于位置伺服系统的多周期滑模重复控制器，其特征在于：

给定参考信号

且由周期为n₁,n₂,…,n_P的P个周期信号叠加而成，满足

其中，

为k时刻的电机转角位置参考信号，

分别表示k,k-n_i时刻周期为n_i的电机转角位置子参考信号；定义跟踪误差e_k＝x_k-r_k，x_k为k时刻的系统状态；取滑模面s_k＝c^Te_k，其中c^Tb可逆，c^T为滑模面系数，b为系统参数；

根据参考信号的周期对称特性，构造等效干扰

其中，g_k,

分别表示k,k-n_i时刻电机伺服系统所受的干扰信号，i＝1,2,…,P；

表示k时刻的等效干扰信号且由周期为n_i的周期特性构造而成；

构造幂次收敛的离散趋近律，提供的离散形式的趋近律为

s_k+1＝ρ|s_k|^αtanh(δ|s_k|^α)sgn(s_k) (3)

其中，tanh(·)是双曲正切函数，且

符号函数

ρ为表达趋近速度的常数，α为表达收敛幂次的常数，δ为双曲正切函数系数且可调节tanh(·)的函数值和变化率，其取值范围为：0＜ρ＜1，0＜α≤1，δ＞0；

构造带多周期干扰抑制项的离散双曲正切幂次趋近律，其具体形式如下

其中，k₁,k₂,…,k_P＞0为控制增益系数，且

可消除周期为n_i的周期干扰信号，且

Δ为

的界值；

依据离散趋近律(4)，则离散多周期滑模重复控制器的表达式为

其中，

式中u_k为k时刻的系统控制输入信号，

为k，k-n_i时刻且依据周期为n_i的周期特性所设计的子重复控制器的控制信号，s_k为k时刻的切换函数，x_k,

分别表示k,k-n_i,k+1-n_i时刻的系统状态；r_k+1为k+1时刻的给定参考信号；A,b分别表示位置伺服系统

的系统参数，x_k+1,x_k分别表示k+1，k时刻的系统状态且x_k＝[θ_k-1 θ_k]^T，θ_k为k时刻的电机转角位置，u_k为k时刻的电机控制输入信号，

表示k时刻周期为n_i的系统周期干扰信号，i＝1,2,…,P，Δg_k表示k时刻的系统非周期干扰信号，记

表示k时刻的系统干扰总和；记

可将控制器(5)写成

将u_k作为伺服对象的控制输入信号，可量测获得伺服系统状态输出信号x_k，跟随参考信号r_k变化，且系统切换函数的动态行为由式(4)表征。

2.如权利要求1所述的一种用于位置伺服系统的多周期滑模重复控制器，其特征在于：采用控制器(5)，系统切换函数的收敛过程由三个边界指标表征，三个边界指标具体形式如下：

幂次单调减区域Δ_PM为

幂次绝对收敛层Δ_PA为

稳态误差带Δ_SS为

3.如权利要求2所述的用于位置伺服系统的多周期滑模重复控制器，其特征在于：所述离散多周期滑模重复控制器的可调参数包括ρ，α，δ，k₁,k₂,…,k_p，其参数k₁,k₂,…,k_p的整定可根据不同周期干扰/参考信号的各个幅值来进行，其它参数ρ，α，δ的整定可根据表征趋近律收敛过程的三个边界指标进行。

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