CN106125551A - 适用于周期伺服系统的积分滑模重复控制器 - Google Patents

Abstract

一种适用于周期伺服系统的积分滑模重复控制器，滑模控制包括趋近运动方式和滑模运动方式，趋近运动方式中，系统状态收敛轨迹由趋近律刻画，为使系统输出位置在有限时间收敛到参考信号的邻域内，构造离散趋近律(1)，设计位置伺服的数据采样系统状态空间(6)，构造无抖振趋近律用于积分滑模重复控制器。本发明提供一种稳态跟踪误差较小、位置跟踪精度较高的适用于周期伺服系统的积分滑模重复控制器。根据周期性作业电机伺服系统的重复运行特性，利用周期性扰动分量的已有信息，以实现精确的位置跟踪。

Description

适用于周期伺服系统的积分滑模重复控制器

技术领域

本发明涉及重复控制和滑模控制技术，尤其适用于周期性作业的电机伺服系统，也适用于工业场合中其它周期运行过程。

背景技术

实际控制系统中不可避免地存在各种扰动，包括参数的摄动、未建模特性和外部扰动等，称为不确定系统。滑模控制具有对干扰和未建模特性的强鲁棒性，且算法简单，响应速度快，适合解决不确定系统的控制问题，目前已成为电机控制等领域的常用的控制技术。

滑模控制的优良性能需要通过合适的滑模面来实现。常规滑模控制通常选择一个线性滑模面，系统进入滑动模态后，误差逐步收敛到平衡点。而对于不确定系统，常规滑模控制在跟踪指令信号时，稳态误差带宽受扰动影响较大，甚至难以达到要求。为此，Chern等通过引入积分项构成积分滑模面来补偿系统的不确定性、增强鲁棒性。积分滑模由于在系统中引入了状态的积分，使得系统在滑动模态时的阶数增加，可以保证状态变量从初始时刻到最终时刻都具有鲁棒性，并让不确定系统稳定到渐近线且同时具有一定范围内的抗扰作用。

在影响系统性能的众多扰动中，往往包含部分信息已知的扰动分量。比如伺服电机系统普遍具有的周期运行、重复作业特性，存在部分具有相同动态的扰动分量。滑模变结构控制对扰动的不敏感性来自于系统结构根据当前状态的实时调整，并未考虑扰动中的已知信息。重复控制将系统外部信号动态模型植入控制系统内，构成高精度反馈控制系统，使得系统不仅适用于跟踪周期性输入信号，也可以抑制周期性扰动。然而，对于周期性作业电机伺服系统中的非周期不确定项，重复控制缺少有效抑制措施。因此，合适的扰动估计及补偿措施不可或缺。在采样控制系统中，数字控制器的性能与采样间隔有着密切关系。为抑制扰动，需要观测若干相近采样点的扰动信息，所以采样间隔对于扰动估计及补偿效果亦有着紧密联系。

发明内容

为了克服已有周期性作业电机伺服系统的稳态跟踪误差较大、位置跟踪精度较差的不足，本发明提供一种稳态跟踪误差较小、位置跟踪精度较高的适用于周期伺服系统的积分滑模重复控制器。根据周期性作业电机伺服系统的重复运行特性，利用周期性扰动分量的已有信息，以实现精确的位置跟踪。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种适用于周期伺服系统的积分滑模重复控制器，滑模控制包括趋近运动方式和滑模运动方式，其中，趋近运动方式中，系统状态收敛轨迹由趋近律刻画，为使系统输出位置在有限时间收敛到参考信号的邻域内，构造如下离散趋近律：

$s_{k+1}=s_k-\min \{\frac{\mathrm{\λ}\left|s_k\right|}{\mathrm{\μ}\left|s_k\right|+\mathrm{\ϵ}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)---\left(1\right)$

式中λ、μ和ε是趋近律正参数，满足λ＞ε，用于调节趋近速度，(1)中包含线性和非线性部分，当|s_k|较大时，收敛速度先快后慢，最后一步到达并保持为零；根据(1)有因此系统状态变化速率受趋近律参数限制，有利于约束控制器输出速度，符合实际系统惯性导致的有限输出速度；

1)当时，所以根据(1)得

$s_{k+1}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)=\left|s_k\right|-\frac{\mathrm{\λ}\left|s_k\right|}{\mathrm{\μ}\left|s_k\right|+\mathrm{\ϵ}}\∈(0,|s_k\left|\right)---\left(2\right)$

也即

$\left\{\begin{array}{c}\left|s_{k+1}\right|<\left|s_k\right|\\ \mathrm{sgn}\left(s_{k+1}\right)=\mathrm{sgn}\left(s_k\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

由(3)可以看出，切换变量s_k同号单调收敛，令|Δs_k|＝|s_k+1-s_k|，则根据(2)有

$\left|{\mathrm{\&Delta;s}}_k\right|=\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}}=\frac{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&mu;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\left|s_k\right|}}>\frac{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&mu;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}}=\frac{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&mu;}}---\left(4\right)$

所以有以下递推关系

$\left\{\begin{array}{c}\left|s_1\right|=\left|s_0\right|-\left|{\mathrm{\&Delta;s}}_1\right|<\left|s_0\right|-\frac{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&mu;}}\\ \left|s_2\right|=\left|s_1\right|-\left|{\mathrm{\&Delta;s}}_2\right|=<\left|s_0\right|-2\frac{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&mu;}}\\ \mathrm{...}\\ \left|s_k\right|=\left|s_{k-1}\right|-\left|{\mathrm{\&Delta;s}}_k\right|=<\left|s_0\right|-k\frac{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&mu;}}\end{array}\right.---\left(5\right)$

所以当时，

2)当时，根据(1)得s_k+1＝0；

所以趋近律(1)定义的切换函数从初始值s₀开始动态同号单调收敛，且存在使满足k≥k*时，切换函数到达原点并保持；

设计如下位置伺服的数据采样系统状态空间：

$x_{k+1}={\mathrm{Gx}}_k+{\mathrm{Hu}}_k+w_k---\left(6\right)$

其中，状态矩阵G为n×n维，输入矩阵H为n×m维，w_k为kT时刻的有界扰动，(G，H)能控，所以存在状态反馈矩阵K，使得u_k＝-Kx_k+v_k，从而

$x_{k+1}=(G-HK)x_k+{\mathrm{Hv}}_k+w_k---\left(7\right)$

(7)中系统矩阵(G-HK)在z平面单位圆内有n个非重特征根；

滑模面切换函数s_k+1＝Cx_k+1，将(7)代入切换函数并结合趋近律(1)解得常规滑模控制器

$\begin{array}{c}{v}_k={\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;s_k-\min \{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)\\ -(CG-CHK+D)x_k-C{\hat{w}}_k\&rsqb;\end{array}---\left(8\right)$

其中为不确定扰动项w_k的估计；

取离散积分滑模切换函数

$s_{k+1}=C(x_{k+1}-x_0)+D\underset{i=0}{\overset{k}{\&Sigma;}}{x}_i---\left(9\right)$

其中C:m×n，D＝-C(G-I-HK)，则滑模面为

$S=\left\{x_k\right|C(x_k-x_0)+D\underset{i=0}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}{x}_i=0\}---\left(10\right)$

将(7)代入(9)并结合趋近律(1)得到

$C(G-HK)x_k+{\mathrm{CHv}}_k+{\mathrm{Cw}}_k-{\mathrm{Cx}}_0+D\underset{i=0}{\overset{k}{\&Sigma;}}{x}_i=s_k-\min \{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)---\left(11\right)$

解得积分滑模控制器

$\begin{array}{c}{v}_k={\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;s_k-\min \{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)\\ -(CG-CHK+D)x_k-C{\hat{w}}_k+{\mathrm{Cx}}_0-D\underset{i=0}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}{x}_i\&rsqb;\end{array}---\left(12\right)$

令伺服系统重复作业一周期内采样点数为N，则

$v_{k-N}={\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;s_{k+1-N}-(CG-CHK+D)x_{k-N}-{\mathrm{Cw}}_{k-N}+{\mathrm{Cx}}_0-D\underset{i=0}{\overset{k-1-N}{\&Sigma;}}{x}_i\&rsqb;---\left(13\right)$

由上两式解得积分滑模重复控制器

$\begin{array}{c}{v}_k=v_{k-N}+{\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;s_k-\min \{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)-s_{k+1-N}\\ -(CG-CHK+D)(x_k-x_{k-N})-C{\hat{d}}_k-D\underset{i=k-N}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}{x}_i\&rsqb;\end{array}---\left(14\right)$

其中为相邻周期扰动变化量d_k＝w_k-w_k-N的估计。

本发明的技术构思为：为定义周期系统状态收敛轨迹，提高系统动态品质，构造无抖振趋近律用于积分滑模重复控制器，在压缩非周期扰动对稳态误差影响的同时，抑制周期性扰动分量以实现具有周期运行特性的伺服系统的高精度跟踪控制。

本发明的有益效果主要表现在：1、采用时域方法设计重复控制器，无需构造产生周期信号的内模，简化了设计工作；2、通过构造无抖振趋近律，对切换函数从任意初始值收敛到控制目标的轨迹进行了定义，保证系统具有良好的动态品质；3、选取积分滑模面，弥补系统的不确定性，降低稳态跟踪误差；4、结合滑模控制与重复控制的伺服控制器既能压缩非周期扰动对稳态误差影响的同时，也可以抑制周期性扰动分量，提高系统控制精度；5、所述的一阶扰动补偿能够有效补偿非周期扰动对跟踪性能的影响。

附图说明

图1是切换函数变化速率图。

图2是积分滑模重复控制器结构图。

图3是扰动估计器结构图。

图4是永磁同步电机伺服控制系统结构方框图。

图5是实施例中无扰动补偿时常规滑模控制器跟踪误差与切换函数。

图6是实施例中无扰动补偿时积分滑模控制器跟踪误差与切换函数。

图7是实施例中无扰动补偿时积分滑模重复控制器跟踪误差与切换函数。

图8是实施例中一阶扰动补偿时常规滑模控制器跟踪误差与切换函数。

图9是实施例中一阶扰动补偿时积分滑模控制器跟踪误差与切换函数。

图10是实施例中一阶扰动补偿时积分滑模重复控制器跟踪误差与切换函数。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1～图10，一种适用于周期伺服系统的积分滑模重复控制器，根据系统状态的运行过程，可以将滑模控制分为趋近运动和滑模运动两个阶段。趋近运动中系统状态收敛轨迹由趋近律刻画，进一步，为使系统输出位置在有限时间收敛到参考信号的邻域内，本发明构造一种离散趋近律

$s_{k+1}=s_k-\min \{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)---\left(1\right)$

式λ、μ和ε是趋近律正参数，满足中λ＞ε，(1)中包含线性和非线性部分，当|s_k|较大时，收敛速度先快后慢，最后一步到达并保持为零。根据(1)有因此系统状态变化速率受趋近律参数限制，有利于约束控制器输出速度，符合实际系统惯性导致的有限输出速度。当λ＝0.05，μ＝0.05，ε＝0.04时，Δs_k随s_k的变化曲线如图1所示。

1)当时，所以根据(1)可得

$s_{k+1}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)=\left|s_k\right|-\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}}\&Element;(0,|s_k\left|\right)---\left(2\right)$

也即

$\left\{\begin{array}{c}\left|s_{k+1}\right|<\left|s_k\right|\\ \mathrm{sgn}\left(s_{k+1}\right)=\mathrm{sgn}\left(s_k\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

由(3)可以看出，切换变量s_k同号单调收敛。令|Δs_k|＝|s_k+1-s_k|，则根据(2)有

$\left|{\mathrm{\&Delta;s}}_k\right|=\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}}=\frac{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&mu;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\left|s_k\right|}}>\frac{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&mu;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}}=\frac{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&mu;}}---\left(4\right)$

所以有以下递推关系

$\left\{\begin{array}{c}\left|s_1\right|=\left|s_0\right|-\left|{\mathrm{\&Delta;s}}_1\right|<\left|s_0\right|-\frac{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&mu;}}\\ \left|s_2\right|=\left|s_1\right|-\left|{\mathrm{\&Delta;s}}_2\right|=<\left|s_0\right|-2\frac{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&mu;}}\\ \mathrm{...}\\ \left|s_k\right|=\left|s_{k-1}\right|-\left|{\mathrm{\&Delta;s}}_k\right|=<\left|s_0\right|-k\frac{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&mu;}}\end{array}\right.---\left(5\right)$

所以当时，

2)当时，根据(1)可得s_k+1＝0。

所以趋近律(1)定义的切换函数从初始值s₀开始动态同号单调收敛。且存在使满足k≥k^*时，切换函数到达原点并保持。

考虑一种位置伺服的数据采样系统状态空间

x_k+1＝Gx_k+Hu_k+w_k (6)

其中，状态矩阵G为n×n维，输入矩阵H为n×m维，w_k为kT时刻的有界扰动，(G，H)能控。所以必然存在状态反馈矩阵K，使得u_k＝-Kx_k+v_k，从而

x_k+1＝(G-HK)x_k+Hv_k+w_k (7)

(7)中系统矩阵(G-HK)在z平面单位圆内有n个非重特征根。

考虑常规滑模面切换函数s_k+1＝Cx_k+1，将(7)代入切换函数并结合趋近律(1)可解得常规滑模控制器

$\begin{array}{c}{v}_k={\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;s_k-\min \{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&epsiv;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)\\ -(CG-CHK+D)x_k-C{\hat{w}}_k\&rsqb;\end{array}---\left(8\right)$

其中为不确定扰动项w_k的估计。

取离散积分滑模切换函数

$s_{k+1}=C(x_{k+1}-x_0)+D\underset{i=0}{\overset{k}{\&Sigma;}}{x}_i---\left(9\right)$

其中C:m×n，D＝-C(G-I-HK)，则滑模面为

$S=\left\{x_k\right|C(x_k-x_0)+D\underset{i=0}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}{x}_i=0\}---\left(10\right)$

将(7)代入(9)并结合趋近律(1)得到

$C(G-HK)x_k+{\mathrm{CHv}}_k+{\mathrm{Cw}}_k-{\mathrm{Cx}}_0+D\underset{i=0}{\overset{k}{\&Sigma;}}{x}_i=s_k-\min \{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)---\left(11\right)$

解得积分滑模控制器

$\begin{array}{c}{v}_k={\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;s_k-\min \{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&epsiv;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)\\ -(CG-CHK+D)x_k-C{\hat{w}}_k+{\mathrm{Cx}}_0-D\underset{i=0}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}{x}_i\&rsqb;\end{array}---\left(12\right)$

令伺服系统重复作业一周期内采样点数为N，则

$v_{k-N}={\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;s_{k+1-N}-(CG-CHK+D)x_{k-N}-{\mathrm{Cw}}_{k-N}+{\mathrm{Cx}}_0-D\underset{i=0}{\overset{k-1-N}{\&Sigma;}}{x}_i\&rsqb;---\left(13\right)$

由上两式解得积分滑模重复控制器

$\begin{array}{c}{v}_k=v_{k-N}+{\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;s_k-\min \{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)-s_{k+1-N}\\ -(CG-CHK+D)(x_k-x_{k-N})-C{\hat{d}}_k-D\underset{i=k-N}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}{x}_i\&rsqb;\end{array}---\left(14\right)$

其中为相邻周期扰动变化量d_k＝w_k-w_k-N的估计。

根据(14)，针对给定跟踪轨迹r_k的周期系统，一种积分滑模重复控制器，包括累加器、扰动估计器和被控系统，结构框图如图2所示。图2中x_k、v_k、y_k和w_k分别为状态变量、控制量、系统输出和系统扰动，系数F＝CG-CHK+D。模块101为切换变量迭代环节，其输出取决于趋近律(3)。模块102为扰动估计器，具体结构取决于估计方法。图2中104模块为被控系统模型。

切换函数性能分析：将(13)代入(7)得到

将(15)代入(9)得

$s_{k+1}=s_k-\min \{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)+C(d_k-{\hat{d}}_k)---\left(16\right)$

采样控制系统中，为获得高质量的控制效果，往往取较高的采样率，即采样间隔T→0。记T的n阶等价无穷小为O(Tⁿ)，那么在连续系统离散化过程当中，根据泰勒级数展开有

$\left\{\begin{array}{c}{d}_k-d_{k-1}=O\left(T^2\right)\\ d_k-2d_{k-1}+d_{k+1}=O\left(T^3\right)\end{array}\right.---\left(17\right)$

若采用图3所示的一阶补偿扰动估计器，即取且当k＞k^*时，有

s_k+1＝C(d_k-2d_k-1+d_k-2)＝O(T³) (18)

进一步，所述控制器的可调整参数包括λ、μ和ε。设扰动绝对值上界为Δ，则切换函数的稳态误差带Δ_SS可由下式确定，

${\mathrm{\&Delta;}}_{SS}=max\{\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&mu;}\mathrm{\&Delta;}},\mathrm{\&Delta;}\}---\left(19\right)$

状态变量收敛性分析：由(9)得代入(15)得到

取D＝-C(G-I-HK)，则(20)可写为

$\begin{array}{c}{x}_{k+1}-x_{k+1-N}=(G-HK)(x_k-x_{k-N})+d_k+\\ H{\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;s_k-min\{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)-s_{k+1-N}-C{\hat{d}}_k-s_k+s_{k-N}\&rsqb;\end{array}---\left(21\right)$

根据(7)有x_k+1-N＝(G-HK)x_k-N+Hv_k-N+w_k-N，代入(21)得

$\begin{array}{c}{x}_{k+1}=(G-HK)x_k+{\mathrm{Hv}}_{k-N}+w_{k-N}+d_k+\\ H{\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;-min\{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)-s_{k+1-N}-C{\hat{d}}_k+s_{k-N}\&rsqb;\end{array}---\left(22\right)$

将(13)代入(22)得

$\begin{array}{c}{x}_{k+1}=(G-HK)x_k+w_{k-N}+d_k+H{\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;{\mathrm{Cx}}_0-{\mathrm{Cx}}_{k-N}-D\underset{i=0}{\overset{k-1-N}{\&Sigma;}}{x}_i\\ -min\{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)-C{\hat{w}}_{k-N}-C{\hat{d}}_k+s_{k-N}\&rsqb;\end{array}---\left(23\right)$

由(9)得所以

$\begin{array}{c}{x}_{k+1}=(G-HK)x_k+w_{k-N}+d_k\\ -H{\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;min\{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)+C{\hat{w}}_{k-N}C{\hat{d}}_k+s_{k-N}\&rsqb;\end{array}---\left(24\right)$

当k＞k^*时，令

x_k+1＝(G-HK)x_k+ξ_k (25)

取一阶补偿扰动估计器那么

${\mathrm{C\&xi;}}_k=-(C{\hat{w}}_{k-N}+C{\hat{d}}_k)+C(w_{k-N}+d_k)=C(w_k-{\hat{w}}_k)=O\left(T^3\right)---\left(26\right)$

即ξ_k＝O(T³)。

因为G-HK有n个极点，所以存在矩阵P和J，满足

G-HK＝PJP^-1 (27)

其中P是传输矩阵，J是与G-HK具有相同极点的对角矩阵，可表示为

其中λ₁…λ_n是G-HK的n个特征值。那么根据递推关系，(25)的解为

$x_k={\mathrm{PJ}}^k{P}^{-1}{x}_0+P\left(\underset{i=0}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}{J}^i{P}^{-1}{\mathrm{\&zeta;}}_{k-i-1}\right)---\left(29\right)$

所以

$\begin{array}{c}\left|\right|x_k\left|\right|\&le;\left|\right|P\left|\right|\left|\right|J\left|{|}^k\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|x_0\right||+|\left|P\right||\left(\underset{i=0}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}\left|\right|J\left|{|}^i\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|{\mathrm{\&zeta;}}_{k-i-1}\right||\right)\\ =\left|\right|P\left|\right|\left|{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }{|}^k\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|x_0\right||+|\left|P\right||\left(\underset{i=0}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}\left|{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }{|}^i\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|{\mathrm{\&zeta;}}_{k-i-1}\right||\right)\\ \&le;\left|\right|P\left|\right|\left|{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }{|}^k\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|x_0\right||+|\left|P\right|\left|\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|{\mathrm{\&zeta;}}_{k-i-1}\right||\left(\underset{i=0}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}|{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }{|}^i\right)\\ =\left|\right|P\left|\right|\left|{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }{|}^k\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|x_0\right||+|\left|P\right|\left|\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|{\mathrm{\&zeta;}}_{k-i-1}\right||\frac{1-{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }^{k-1}}{1-{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }}\end{array}---\left(30\right)$

(30)中λ_max＝max{|λ₁|,|λ₂|,…,|λ_n|}。为获得合适的系统动态，通过选取合适的状态反馈矩阵，可将系统极点配置在单位圆内特定位置。所以λ_max＜1且λ_max＝O(T⁰)。因此，当k→∞时

本实施例以小功率交流永磁同步电机(PMSM)执行给定周期运动的位置跟踪任务为目标。电机采用三环控制结构，控制系统框图如图4所示。本发明设计的积分滑模重复控制器作为位置外环，电流环和速度环采用PI算法进行调节作为内环。图4中模块201由DSP控制电路实现，其中数据处理单元进行系统实时监测与保护；积分滑模重复控制器根据给定参考信号给出控制量用于速度环给定。模块202包括速度和电流环控制器、控制脉冲生成和功率驱动电路，由ELMO驱动器实现。为简化设计，本发明不考虑直流升压部分，仅针对包括模块202和PMSM本体进行建模。以u_k表示k时刻的控制输入信号，y_k表示k时刻实际轨迹，通过最小二乘法辨识得到伺服对象的二阶差分系统模型

y_k+1＝b₁u_k+b₂u_k-1-a₁y_k-a₂y_k-1+w'_k (31)

其中γ_k包含了未建模特性和系统扰动，系统参数a₁＝-0.8699，a₂＝-0.1301，b₁＝0.5099，b₂＝0.1952。令并取位置误差作为状态变量，则系统可表示为形同(6)的离散状态空间模型。其中状态变量实为误差信号，r_k表示k时刻期望位置信号，状态矩阵输入矩阵选取(7)作为切换函数，其中系数矩阵取G-HK的两个非重特征根分别为-0.5和-0.6，所以K＝[-46.2 5614.2]，D＝-C(G-I-HK)。

本实施例根据所述模型，进行仿真验证。仿真时设状态初值x₀＝[20 20]^T，给定参考信号r_k＝20cos(2πfTk)，其中T＝0.01s，f＝0.25Hz。系统(6)中

$w_k=b_1\sin (8\mathrm{\&pi;}fTk-\frac{\mathrm{\&pi;}}{9})+0.4b_{1}cos(14.5\mathrm{\&pi;}fTk+\frac{\mathrm{\&pi;}}{7})---\left(32\right)$

其中第一项代表整数倍期望信号频率扰动项，第二项代表非整数倍期望信号频率扰动项。分别取常规滑模控制器(8)、积分滑模控制器(12)和积分滑模重复控制器(14)，在未考虑扰动补偿的情况下得到跟踪误差和切换函数曲线如图5-7所示。图中的Δ_SE和Δ_SS分别是仿真得到的跟踪误差和切换函数上界。由图可见，相比较常规滑模面，采用积分滑模面的控制器对于跟踪误差的抑制效果明显更好。而积分滑模重复控制器抑制了整数倍参考信号频率扰动项，取得了更小的跟踪误差和切换函数稳态值。由30可知当采用滑模控制器(8)或(12)时，Δ＝max(w_k)＝0.7134，由(18)得Δ_SS＝1.1728；当采用滑模重复控制器(14)时Δ＝max(d_k)＝max(w_k-w_k-N)＝0.2884，由(18)得Δ_SS＝0.2884。仿真结果验证了(18)对于系统稳态性能的分析。

分别取常规滑模控制器(8)、积分滑模控制器(12)和积分滑模重复控制器(14)，采用一阶补偿法，即得到跟踪误差和切换函数曲线如图8-10所示。由图可见，本发明所述的控制器(12)引入积分项，大大降低了稳态跟踪误差，所述的控制器(14)利用重复控制技术抑制了与参考信号同频率的扰动项，进一步，所述的一阶扰动补偿法有效提高了跟踪精度。

上述结果通过一类基于趋近律的滑模重复控制器，验证了本发明给出的积分滑模重复控制方法对于伺服系统中周期性扰动抑制的有效性，且通过扰动补偿能进一步提高跟踪精度，具有较强的实用性。

Claims (3)

1.一种适用于周期伺服系统的积分滑模重复控制器，其特征在于：滑模控制包括趋近运动方式和滑模运动方式，其中，

趋近运动方式中，系统状态收敛轨迹由趋近律刻画，为使系统输出位置在有限时间收敛到参考信号的邻域内，构造如下离散趋近律：

$s_{k+1}=s_k-\min \{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)---\left(1\right)$

式中λ、μ和ε是趋近律正参数，满足λ＞ε，用于调节趋近速度，(1)中包含线性和非线性部分，当|s_k|较大时，收敛速度先快后慢，最后一步到达并保持为零；根据(1)有因此系统状态变化速率受趋近律参数限制，有利于约束控制器输出速度，符合实际系统惯性导致的有限输出速度；

1)当时，所以根据(1)得

$s_{k+1}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)=\left|s_k\right|-\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}}\&Element;(0,|s_k\left|\right)---\left(2\right)$

也即

$\left\{\begin{array}{c}\left|s_{k+1}\right|<\left|s_k\right|\\ \mathrm{sgn}\left(s_{k+1}\right)=\mathrm{sgn}\left(s_k\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

由(3)可以看出，切换变量s_k同号单调收敛，令|Δs_k|＝|s_k+1-s_k|，则根据(2)有

$\left|{\mathrm{\&Delta;s}}_k\right|=\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}}=\frac{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&mu;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\left|s_k\right|}}>\frac{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&mu;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}}=\frac{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&mu;}}---\left(4\right)$

所以有以下递推关系

$\left\{\begin{array}{c}\left|s_1\right|=\left|s_0\right|-\left|{\mathrm{\&Delta;s}}_1\right|<\left|s_0\right|-\frac{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&mu;}}\\ \left|s_2\right|=\left|s_1\right|-\left|{\mathrm{\&Delta;s}}_2\right|=<\left|s_0\right|-2\frac{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&mu;}}\\ ...\\ \left|s_k\right|=\left|s_{k-1}\right|-\left|{\mathrm{\&Delta;s}}_k\right|=<\left|s_0\right|-k\frac{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&mu;}}\end{array}\right.---\left(5\right)$

所以当时，

2)当时，根据(1)得s_k+1＝0；

所以趋近律(1)定义的切换函数从初始值s₀开始动态同号单调收敛，且存在使满足k≥k^*时，切换函数到达原点并保持；

设计如下位置伺服的数据采样系统状态空间：

x_k+1＝Gx_k+Hu_k+w_k (6)

其中，状态矩阵G为n×n维，输入矩阵H为n×m维，w_k为kT时刻的有界扰动，(G，H)能控，所以存在状态反馈矩阵K，使得u_k＝-Kx_k+v_k，从而

x_k+1＝(G-HK)x_k+Hv_k+w_k (7)

(7)中系统矩阵(G-HK)在z平面单位圆内有n个非重特征根；

滑模面切换函数s_k+1＝Cx_k+1，将(7)代入切换函数并结合趋近律(1)解得常规滑模控制器

$\begin{array}{c}{v}_k={\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;s_k-\min \left\{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},\left|s_k\right|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)\\ -\left(CG-CHK+D\right)x_k-C{\hat{w}}_k\&rsqb;\end{array}---\left(8\right)$

其中为不确定扰动项w_k的估计；

取离散积分滑模切换函数

$s_{k+1}=C(x_{k+1}-x_0)+D\underset{i=0}{\overset{k}{\&Sigma;}}{x}_i---\left(9\right)$

其中C:m×n，D＝-C(G-I-HK)，则滑模面为

$S=\left\{x_k\right|C(x_k-x_0)+D\underset{i=0}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}{x}_i=0\}---\left(10\right)$

将(7)代入(9)并结合趋近律(1)得到

$C(G-HK)x_k+{\mathrm{CHv}}_k+{\mathrm{Cw}}_k-{\mathrm{Cx}}_0+D\underset{i=0}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i=s_k-\min \{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)---\left(11\right)$

解得积分滑模控制器

$\begin{array}{c}{v}_k={\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;s_k-\min \left\{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},\left|s_k\right|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)\\ -\left(CG-CHK+D\right)x_k-C{\hat{w}}_k+{\mathrm{Cx}}_0-D\underset{i=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i\&rsqb;\end{array}---\left(12\right)$

令伺服系统重复作业一周期内采样点数为N，则

$v_{k-N}={\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;s_{k+1-N}-(CG-CHK+D)x_{k-N}-{\mathrm{Cw}}_{k-N}+{\mathrm{Cx}}_0-D\underset{i=0}{\overset{k-1-N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i\&rsqb;---\left(13\right)$

由上两式解得积分滑模重复控制器

$\begin{array}{c}{v}_k=v_{k-N}+{\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;s_k-min\{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)-s_{k+1-N}\\ -(CG-CHK+D)(x_k-x_{k-N})-C{\hat{d}}_k-D\underset{i=k-N}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i\&rsqb;\end{array}---\left(14\right)$

其中为相邻周期扰动变化量d_k＝w_k-w_k-N的估计。

2.如权利要求1所述的一种适用于周期伺服系统的积分滑模重复控制器，其特征在于：所述积分滑模重复控制器中，切换函数性能分析过程如下：

将(13)代入(7)得到

将(15)代入(9)得

$s_{k+1}=s_k-\min \{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)+C(d_k-{\hat{d}}_k)---\left(16\right)$

采样间隔T→0，记T的n阶等价无穷小为O(Tⁿ)，那么在连续系统离散化过程当中，根据泰勒级数展开有

$\left\{\begin{array}{c}{d}_k-d_{k-1}=O\left(T^2\right)\\ d_k-2d_{k-1}+d_{k+1}=O\left(T^3\right)\end{array}\right.---\left(17\right)$

若一阶补偿扰动估计器，即取且当k＞k^*时，有

s_k+1＝C(d_k-2d_k-1+d_k-2)＝O(T³) (18)

进一步，所述控制器的可调整参数包括λ、μ和ε，设扰动绝对值上界为Δ，则切换函数的稳态误差带Δ_SS由下式确定，

${\mathrm{\&Delta;}}_{SS}=max\{\frac{\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&lambda;}-\mathrm{\&mu;}\mathrm{\&Delta;}},\mathrm{\&Delta;}\}---\left(19\right).$

3.如权利要求1或2所述的一种适用于周期伺服系统的积分滑模重复控制器，其特征在于：所述积分滑模重复控制器中，状态变量收敛性分析过程如下：由(9)得代入(15)得到

取D＝-C(G-I-HK)，则(20)写为

根据(7)有x_k+1-N＝(G-HK)x_k-N+Hv_k-N+w_k-N，代入(21)得

$\begin{array}{c}{x}_{k+1}=(G-HK)x_k+{\mathrm{Hv}}_{k-N}+w_{k-N}+d_k+\\ H{\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;-min\{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)-s_{k+1-N}-C{\tilde{d}}_k+s_{k-N}\&rsqb;\end{array}---\left(22\right)$

将(13)代入(22)得

$\begin{array}{c}{x}_{k+1}=\left(G-HK\right)x_k+w_{k-N}+d_k+H{\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;{\mathrm{Cx}}_0-{\mathrm{Cx}}_{k-N}-D\underset{i=0}{\overset{k-1-N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i\\ -\min \left\{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},\left|s_k\right|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)-C{\hat{w}}_{k-N}-C{\hat{d}}_k+s_{k-N}\&rsqb;\end{array}---\left(23\right)$

由(9)得所以

$\begin{array}{c}{x}_{k+1}=(G-HK)x_k+w_{k-N}+d_k\\ -H{\left(CH\right)}^{-1}\&lsqb;\min \{\frac{\mathrm{\&lambda;}\left|s_k\right|}{\mathrm{\&mu;}\left|s_k\right|+\mathrm{\&epsiv;}},|s_k\left|\right\}\mathrm{sgn}\left(s_k\right)+C{\hat{w}}_{k-N}C{\hat{d}}_k+s_{k-N}\&rsqb;\end{array}---\left(24\right)$

当k＞k^*时，令则

x_k+1＝(G-HK)x_k+ξ_k (25)

取一阶补偿扰动估计器那么

即ξ_k＝O(T³)；

因为G-HK有n个极点，所以存在矩阵P和J，满足

G-HK＝PJP^-1 (27)

其中P是传输矩阵，J是与G-HK具有相同极点的对角矩阵，表示为

其中λ₁…λ_n是G-HK的n个特征值，那么根据递推关系，(25)的解为

$x_k={\mathrm{PJ}}^k{P}^{-1}{x}_0+P\left(\underset{i=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{J}^i{P}^{-1}{\mathrm{\&zeta;}}_{k-i-1}\right)---\left(29\right)$

所以

$\begin{array}{c}\left|\right|x_k\left|\right|\&le;\left|\right|P\left|\right|\left|\right|J\left|{|}^k\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|x_0\right||+|\left|P\right||\left(\underset{i=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left|\right|J\left|{|}^i\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|{\mathrm{\&zeta;}}_{k-i-1}\right||\right)\\ =\left|\right|P\left|\right|\left|{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }{|}^k\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|x_0\right||+|\left|P\right||\left(\underset{i=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left|{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }{|}^i\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|{\mathrm{\&zeta;}}_{k-i-1}\right||\right)\\ \&le;\left|\right|P\left|\right|\left|{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }{|}^k\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|x_0\right||+|\left|P\right|\left|\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|{\mathrm{\&zeta;}}_{k-i-1}\right||\left(\underset{i=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}|{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }{|}^i\right)\\ =\left|\right|P\left|\right|\left|{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }{|}^k\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|x_0\right||+|\left|P\right|\left|\right|\left|P^{-1}\right|\left|\right|\left|{\mathrm{\&zeta;}}_{k-i-1}\right||\frac{1-{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }^{k-1}}{1-{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }}\end{array}---\left(30\right)$

(30)中λ_max＝max{|λ₁|,|λ₂|,…,|λ_n|}，通过选取状态反馈矩阵，将系统极点配置在单位圆内特定位置，所以λ_max＜1且λ_max＝O(T⁰)，因此，当k→∞时