CN103048921A - 用于位置伺服系统的半周期重复控制器 - Google Patents

Abstract

一种用于位置伺服系统的半周期重复控制器，设定具有半周期对称性的参考信号，构造半周期反馈环节，根据幂次吸引律形成理想误差动态；依据理想误差动态方程，构造e/v信号变换模块，将由控制器计算得到的信号作为被控伺服对象的控制输入，通过完全消除半周期对称干扰信号,实现位置伺服系统跟随参考信号变化。本发明提供了一种半周期对称参考信号下，能够显著减少控制器内存占用量，快速实现周期干扰完全抑制的，具有较高性价比的半周期重复控制器。

Description

用于位置伺服系统的半周期重复控制器

技术领域

本发明涉及一种重复伺服系统在半周期对称参考信号下的控制技术，也适用于工业场合中的周期运行过程。 

背景技术

重复控制器具有“记忆”和“学习”特性，它以跟踪误差信号修正前一周期的控制输入，形成当前的控制输入。它能够完全抑制周期性干扰，从而实现精确控制。重复控制技术已成功应用于旋转电机、硬盘驱动、VCD/DVD、UPS、电力电子线路以及电能质量控制等。 

通常基于内模原理设计重复控制器，如果某信号被看作是一个自治系统的输出，将该信号的模型放置在稳定的闭环系统中，被控量的输出将能够完全跟踪参考信号。重复控制器构造周期信号内模

其中T为给定信号的周期。它是一个含周期时延(e^-Ts)的正反馈环节。不考虑输入信号的具体形式，只要给定初始段信号，内模输出就会对输入信号逐周期累加，重复输出与上周期相同的信号。采用连续内模的重复控制器设计多是频域设计。实际工程中采用计算机控制技术，控制系统多是以离散时间方式实现。离散重复控制器设计主要有两种途径：一种是通过对连续重复控制器离散化得到；另一种是直接针对离散时间系统进行设计。取采样间隔T_s，使得参考信号周期为采样间隔的整数倍，记每个周期中的采样点个数为N，即T=NT_s。这样，离散周期信号内模为

离散内模的计算复杂程度取决于采样周期T_s，实现离散周期内模时所需内存量至少为N。如果T_s取得过大，系统控制精度降低；取得过小，内模的阶次将会增加。 

减少控制器的内存占用量是重复控制实现时要考虑的问题。在Hoog的专利(Hoog T J D.Repetitive controller having reduced memory elements.United States Patent,US 7265932B2,2007)中，对于满足x(t+T/2)=-x(t)的半周期对称信号，提出了一种半周期重复控制内模，构造重复控制器，使得内存占用量，比整周期重复控制的内存使用量减少一半。Costa-Castello等提出奇次谐波重复控制方法，它能够有效利用信号的半周期对称性，提出的奇次谐波信号内模，也减少了一半内存占用量(Costa-Castello R,Grino R,Fossas E.Odd-Harmonic digitalrepetitive control of a single-phase current active filter.IEEE Transactions on Power Electronics,2004,19(4):1060-1068)。上述重复控制器的设计是在频域进行的。 

发明内容

为了克服已有的整周期重复控制器未考虑参考信号的对称性质和占用内存量较大的缺陷，本发明旨在提供一种半周期对称参考信号下，能够显著减少控制器内存占用量，快速实现周期干扰完全抑制的，具有较高性价比的半周期重复控制器，其设计在时域进行。 

本发明解决上述技术问题采用的技术方案是： 

一种用于位置伺服系统的半周期重复控制器，被控对象为重复伺服系统，其输入输出特性为 

A(q^-1)y_k=q^-dB(q^-1)u_k+w_k                    (1) 

其中，d表示延迟，u_k和y_k分别表示k时刻的输入和输出信号，w_k为k时刻的干扰信号；A(q^-1)和B(q^-1)为关于q^-1的多项式， 

A(q^-1)=1+a₁q^-1+…+a_nq^-n

B(q^-1)=b₀+b₁q^-1+…+b_mq^-m

这里，q^-1是一步延迟算子，n为A(q^-1)的阶数，m为B(q^-1)的阶数；a₁，...,a_n,b₀,…,b_m为系统参数且b₀≠0；d为整数，且d≥1。 

给定参考信号r_k，该参考信号具有半周期对称特性： 

P1.r_k=±r_k-N/2                                        (2) 

或 

P2.r_k=±r_k′                                          (3) 

这里， 

k′=(ceil(2k/N)-1)N-k,k≥N/2 

r_k-N/2,r_k′分别表示k-N/2,k′时刻的参考信号。 

根据参考信号的半周期对称特性，构造等效干扰d_k，其形式可针对情形P1、P2分别给出。对于P1, 

$d_k=w_k\stackrel{-}{+}{w}_{k-N/2}---\left(4\right)$

对于P2, 

$d_k=w_k\stackrel{-}{+}{w}_{k^{\′}},k^{\′}=(\mathrm{ceil}(2k/N)-1)N-k,k\≥N/2---\left(5\right)$

其中，w_k-N/2,w_k′分别表示k-N/2,k′时刻的干扰信号。 

本发明构造带干扰抑制作用的幂次吸引律，提供的离散形式的幂次吸引律为 

e_k+1=(1-ρ)e_k-ε|e_k|^λsgn(e_k)                    (6) 

其中，e_k＝r_k-y_k表示跟踪误差，ρ、ε为表达吸引速度的两个常数，λ为吸引指数，这些参数的取值范围为：ε＞0，0＜ρ＜1，0＜λ＜1。 

对于d_k＝w_k+w_k-N/2情形，进行半周期重复控制器设计，需先给出误差动态方程 

e_k+1＝r_k+1+y_k+1-N/2+A′(q^-1)(y_k+y_k-N/2)-q^-d+1B(q^-1)(u_k+u_k-N/2)-d_k+1    (7) 

式中， 

A′(q^-1)＝a₁+a₂q^-1+…+a_nq^-n+1＝q(A(q^-1)-1) 

将上式代入吸引律，可得 

u_k＝-u_k-N/2+[q^-d+1B(q^-1)]^-1[r_k+1+y_k+1-N/2+A′(q^-1)(y_k+y_k-N/2)-(1-ρ)e_k+ε|e_k|^λsgn(e_k)-d_k+1] 

为了实现上述控制器，需给出上式中d_k+1的补偿值

并以

替代d_k+1。这样，本发明提供的半周期重复控制器具有如下形式： 

$u_k=-u_{k-N/2}+{\left[q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\right]}^{-1}[r_{k+1}+y_{k+1-N/2}+A^{\′}\left(q^{-1}\right)(y_k+y_{k-N/2})-(1-\mathrm{\ρ})e_k+\mathrm{\ϵ}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\λ}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)-d_{k+1}^{*}]$ 记 $v_k={\left[q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\right]}^{-1}[r_{k+1}+y_{k+1-N/2}+A^{\′}\left(q^{-1}\right)(y_k+y_{k-N/2})-(1-\mathrm{\ρ})e_k+\mathrm{\ϵ}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\λ}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)-d_{k+1}^{*}],$ 则有 

u_k＝-u_k-N/2+v_k    (8) 

这里，

可认为是一种干扰抑制作用，用于抑制干扰信号d_k+1的影响。 

对于d_k＝w_k-w_k-N/2情形，可将其归为整周期情形，周期为N/2。对于整周期情形，重复控制器的设计可参考上述情形进行。 

针对

情形，误差动态方程为 

e_k+1＝r_k+1±y_k′+1+A′(q^-1)(y_k±y_k′)-q^-d+1B(q^-1)(u_k±u_k′)-d_k+1    (9) 

式中， 

A′(q^-1)＝a₁+a₂q^-1+…+a_nq^-n+1＝q(A(q^-1)-1) 

将上式代入吸引律，可得 

u_k＝±u_k′+[_q ^-d+1B(q^-1)]^-1[r_k+1±y_k′+1+A′(q^-1)(y_k±y_k′)-(1-ρ)e_k+ε|e_k|^λsgn(e_k)-d_k+1] 

上述控制器的实现，需要给出式中d_k+1的补偿值

并以

代替d_k+1。这样，本发明提供的半周周期重复控制器具有如下形式： 

$u_k=\±u_{k^{\′}}+{\left[q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\right]}^{-1}[r_{k+1}\±y_{y^{\′}+1}+A^{\′}\left(q^{-1}\right)(y_k\±y_{k^{\′}})-(1-\mathrm{\ρ})e_k+\mathrm{\ϵ}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\λ}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)-d_{k+1}^{*}]$ 记 $v_{k^{\′}}{=\left[q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\right]}^{-1}[r_{k+1}\±y_{y^{\′}+1}+A^{\′}\left(q^{-1}\right)(y_k\±y_{k^{\′}})-(1-\mathrm{\ρ})e_k+\mathrm{\ϵ}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\λ}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)-d_{k+1}^{*}],$ 则有 

u_k＝±u_k′+v_k'(10) 

具有干扰抑制项的误差动态方程。将u_k作为伺服对象的控制输入信号，可量测获得伺服系统输出信号y_k，跟随参考信号r_k变化。将控制器表达式(8)代入式(7)，或将式(10)代入式(9)，可以得到下述具有干扰抑制项的误差动态方程： 

$e_{k+1}=(1-\mathrm{\ρ})e_k-\mathrm{\ϵ}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\λ}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)+d_{k+1}^{*}-d_{k+1}---\left(11\right)$

上述也即“嵌入”了干扰抑制作用的幂次吸引律。 

进一步，所述半周期重复控制器的参数包括吸引速度常数ρ、ε，吸引指数λ，根据表征系统收敛性能的指标进行参数整定，表征跟踪误差收敛过程的指标包括单调减区域边界Δ_MDR，绝对吸引层边界Δ_AAL，稳态误差带边界Δ_SSE。 

(1)单调减区域(Δ_MDR) 

Δ_MDR=max{Δ_MDR1,Δ_MDR2}                (12) 

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为实数，且满足 

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{MDR}1}+\mathrm{\ϵ}{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{MDR}1}^{\mathrm{\λ}}-\mathrm{\Δ}=0\\ (1-\mathrm{\ρ}){\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{MDR}2}-\mathrm{\ϵ}{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{MDR}2}^{\mathrm{\λ}}-\mathrm{\Δ}=0\end{array}\right.$

(2)绝对吸引层(Δ_AAL) 

Δ_AAL=max{Δ_AAL1,Δ_AAL2}                (13) 

式中，Δ_AAL1，Δ_AAL2为实数，可由下式确定， 

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{AAL}1}+\mathrm{\ϵ}{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{AAL}1}^{\mathrm{\λ}}-\mathrm{\Δ}=0\\ (2-\mathrm{\ρ}){\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{AAL}2}-\mathrm{\ϵ}{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{AAL}2}^{\mathrm{\λ}}-\mathrm{\Δ}=0\end{array}\right.$

(3)稳态误差带(Δ_SSE) 

Δ_SSE的具体取值可依据Δ_AAL来确定， 

a.当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<\sqrt[1-\mathrm{\&lambda;}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}$ 时 

Δ_SSE=Δ_AAL                        (14) 

b.当 $\sqrt[1-\mathrm{\&lambda;}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<x_{\mathrm{SSE}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=-(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt[1-\mathrm{\&lambda;}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}+\mathrm{\&epsiv;}\sqrt[\frac{1-\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&lambda;}}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}+\mathrm{\&Delta;}---\left(15\right)$

c.当Δ_AAL≥x_SSE时 

Δ_SSE=Δ_AAL

                    (16) 

其中，x_SSE为方程 $(1-\mathrm{\&rho;})x-\mathrm{\&epsiv;}{x}^{\mathrm{\&lambda;}}+(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt[1-\mathrm{\&lambda;}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}-\mathrm{\&epsiv;}\sqrt[\frac{1-\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&lambda;}}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}=0$ 的正实根。 

对于具体给定的λ值，可依据式(12)-(16)计算各边界取值，以确定闭环系统性能。依据相应方程组，不难确定Δ_MDR和Δ_AAL的取值应为相应方程组的最大正实根。确定Δ_AAL取值后，再依据Δ_AAL确定Δ_SSE。 

更进一步，对于λ=1/2,1/3,2/3,1/4,3/4五种情形，可依据下面给出的Δ_MDR、Δ_AAL及Δ_SSE表达式来确定各边界取值。 

(一)λ=1/2情形， 

(1)单调减区域(Δ_MDR) 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\left\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&Delta;}(1-\mathrm{\&rho;})}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}>\frac{\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}(1-2\mathrm{\&rho;})}{\sqrt{2}}\\ {\left(\frac{-\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&rho;\&Delta;}}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}\&le;\frac{\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}(1-2\mathrm{\&rho;})}{\sqrt{2}}\end{array}\right.---\left(17\right)$

(2)绝对收吸引层(Δ_AAL) 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\left\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&Delta;}(2-\mathrm{\&rho;})}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}>\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}(1-\mathrm{\&rho;})\\ {\left(\frac{-\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&rho;\&Delta;}}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}\&le;\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}(1-\mathrm{\&rho;})\end{array}\right.---\left(18\right)$

(3)稳态误差带(Δ_SSE) 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\left\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&Delta;}(1-\mathrm{\&rho;})}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}>\frac{2(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}}{\sqrt{\mathrm{\&rho;}}}\\ \frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{4(1-\mathrm{\&rho;})}+\mathrm{\&Delta;}& c_0<\mathrm{\&epsiv;}\&le;\frac{2(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}}{\sqrt{\mathrm{\&rho;}}}\\ {\left(\frac{-\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&rho;\&Delta;}}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2& 0<\mathrm{\&epsiv;}\&le;c_0\end{array}\right.---\left(19\right)$

其中， $c_0=2(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt{\frac{(2\sqrt{2}-\mathrm{\&rho;}-2)\mathrm{\&Delta;}}{4(1-\mathrm{\&rho;})-{\mathrm{\&rho;}}^2}}.$

(二)λ=1/3情形， 

(1)单调减区域(Δ_MDR) 

当 $0<\mathrm{\&epsiv;}<\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{\sqrt[3]{9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}-c_2}+\sqrt[3]{9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}+c_2}}{\sqrt[3]{18{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}}\right)}^3\}---\left(20\right)$

式中， $c_1=\sqrt{81{\mathrm{\&rho;}}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2+12\mathrm{\&rho;}{\mathrm{\&epsiv;}}^3},$ $c_2=\sqrt{81{(1-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2-12(1-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&epsiv;}}^3}$

当 $\mathrm{\&epsiv;}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{3\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^3\}---\left(21\right)$

当 $\mathrm{\&epsiv;}>\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{\sqrt{3(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&epsiv;}}(\cos ({\mathrm{\&theta;}}_1/3)+\sqrt{3}\sin ({\mathrm{\&theta;}}_1/3))}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(22\right)$

式中，θ₁=arccosβ₁，

(-1<β₁<0)。 

(2)绝对吸引层(Δ_AAL) 

当 $0<\mathrm{\&epsiv;}<\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{\sqrt[3]{9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}-c_3}+\sqrt[3]{9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}+c_3}}{\sqrt[3]{18{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}}\right)}^3\}---\left(23\right)$

式中， $c_3=\sqrt{81{(2-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2-12(2-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&epsiv;}}^3}.$

当 $\mathrm{\&epsiv;}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{3\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^3\}---\left(24\right)$

当 $\mathrm{\&epsiv;}>\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{\sqrt{3(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&epsiv;}}(\cos ({\mathrm{\&theta;}}_2/3)+\sqrt{3}\sin ({\mathrm{\&theta;}}_2/3))}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(25\right)$

式中，θ₂=arccosβ₂，

(-1<β₂<0)。 

(3)稳态误差带(Δ_SSE) 

当λ=1/3时，具有干扰抑制项的误差动态方程式(11)的极值点

当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<{\left(\frac{3(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-3/2}$ 时 

Δ_SSE=Δ_AAL                    (26) 

当 ${\left(\frac{3(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-3/2}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<x_1$ 时， 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\sqrt{\frac{4{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{27(1-\mathrm{\&rho;})}}+\mathrm{\&Delta;}---\left(27\right)$

当Δ_AAL≥x₁时 

Δ_SSE=Δ_AAL                (28) 

其中，x₁为方程 $(1-\mathrm{\&rho;})x-\mathrm{\&epsiv;}{x}^{1/3}-\sqrt{\frac{4{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{27(1-\mathrm{\&rho;})}}=0$ 的正实根。 

(三)λ=2/3情形， 

(1)单调减区域(Δ_MDR) 

当 $0<\mathrm{\&epsiv;}<\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}+c_5^{1/3}+c_6^{1/3}}{3\mathrm{\&rho;}})}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_7^{1/3}-c_8^{1/3}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(29\right)$

式中， $c_5={\mathrm{\&epsiv;}}^3+3\mathrm{\&rho;}\frac{-9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_9}{2},$ $c_6={\mathrm{\&epsiv;}}^3+3\mathrm{\&rho;}\frac{-9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_9}{2},$

$c_7=-{\mathrm{\&epsiv;}}^3+3(1-\mathrm{\&rho;})\frac{-9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}+c_{10}}{2},$ $c_8=-{\mathrm{\&epsiv;}}^3+3(1-\mathrm{\&rho;})\frac{-9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}-c_{10}}{2}.$

其中， $c_9=\sqrt{81{\mathrm{\&rho;}}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2-12{\mathrm{\&epsiv;}}^3\mathrm{\&Delta;}},$ $c_{10}=\sqrt{81{(1-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2+12{\mathrm{\&epsiv;}}^3\mathrm{\&Delta;}}.$

当 $\mathrm{\&epsiv;}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时， 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}+\frac{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}}{{\mathrm{\&epsiv;}}^2})}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_7^{1/3}-c_8^{1/3}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(30\right)$

当 $\mathrm{\&epsiv;}>\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时， 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\left(\frac{(-1+\cos (\mathrm{\&theta;}/3)+3^{1/2}\sin (\mathrm{\&theta;}/3))\mathrm{\&epsiv;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_7^{1/3}-c_8^{1/3}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(31\right)$

式中，θ=arccosβ，

(-1<β<1)。 

(2)绝对吸引层(Δ_AAL) 

当 $0<\mathrm{\&epsiv;}<\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}+c_5^{1/3}+c_6^{1/3}}{3\mathrm{\&rho;}})}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_{11}^{1/3}-c_{12}^{1/3}}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(32\right)$

式中， $c_{11}=-{\mathrm{\&epsiv;}}^3+3(2-\mathrm{\&rho;})\frac{-9(2-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}+c_{13}}{2},$ $c_{12}=-{\mathrm{\&epsiv;}}^3+3(2-\mathrm{\&rho;})\frac{-9(2-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}-c_{13}}{2}$

其中， $c_{13}=\sqrt{81{(2-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2+12{\mathrm{\&epsiv;}}^3\mathrm{\&Delta;}}$

当 $\mathrm{\&epsiv;}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时， 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}+\frac{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}}{{\mathrm{\&epsiv;}}^2})}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_{11}^{1/3}-c_{12}^{1/3}}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(33\right)$

当 $\mathrm{\&epsiv;}>\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时， 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\left(\frac{(-1+\cos (\mathrm{\&theta;}/3)+\sqrt{3}\sin (\mathrm{\&theta;}/3))\mathrm{\&epsiv;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_{11}^{1/3}-c_{12}^{1/3}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(34\right)$

(3)稳态误差带(Δ_SSE) 

当λ=2/3时，具有干扰抑制项的误差动态方程式(11)的极值点

当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<{\left(\frac{3(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-3}$ 时 

Δ_SSE=Δ_AAL                        (35) 

当 ${\left(\frac{3(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-3}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<x_2$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\frac{2{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{27{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}+\mathrm{\&Delta;}---\left(36\right)$

当Δ_AAL≥x₂时 

Δ_SSE=Δ_AAL                        (37) 

其中，x₂为方程 $(1-\mathrm{\&rho;})x-\mathrm{\&epsiv;}{x}^{2/3}-\frac{2{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{27{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}=0$ 的正实根。 

(四)λ=1/4情形， 

(1)单调减区域(Δ_MDR) 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max ({(-\frac{\sqrt{c_{14}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-c_{14}+\frac{2\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}\sqrt{c_{14}}}})}^4,{(\frac{\sqrt{c_{15}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-c_{15}+\frac{2\mathrm{\&epsiv;}}{(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt{c_{15}}}})}^4)---\left(38\right)$

式中， $c_{14}=\frac{-4\sqrt[3]{2}\mathrm{\&rho;\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}{c}_{16}}+\frac{c_{16}}{3\sqrt[3]{2}\mathrm{\&rho;}},$ $c_{15}=\frac{-4\sqrt[3]{2}(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}}{(1-\mathrm{\&rho;})c_{17}}+\frac{c_{17}}{3\sqrt[3]{2}(1-\mathrm{\&rho;})}.$

其中， $c_{16}=\sqrt[3]{27\mathrm{\&rho;}{\mathrm{\&epsiv;}}^2+\sqrt{6912{\mathrm{\&rho;}}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{\mathrm{\&rho;}}^2{\mathrm{\&epsiv;}}^4},}$

$c_{17}=\sqrt[3]{27(1-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&epsiv;}}^2+\sqrt{6912{(1-\mathrm{\&rho;})}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{(1-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&epsiv;}}^4}.}$

(2)绝对吸引层(Δ_AAL) 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{(-\frac{\sqrt{c_{14}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-c_{14}+\frac{2\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}\sqrt{c_{14}}}})}^4,{(\frac{\sqrt{c_{18}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-c_{18}+\frac{2\mathrm{\&epsiv;}}{(2-\mathrm{\&rho;})\sqrt{c_{18}}}})}^4\}---\left(39\right)$

式中， $c_{18}=\frac{-4\sqrt[3]{2}(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}}{(2-\mathrm{\&rho;})c_{19}}+\frac{c_{19}}{3\sqrt[3]{2}(2-\mathrm{\&rho;})}.$

其中， $c_{19}=\sqrt[3]{27(2-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&epsiv;}}^2+\sqrt{6912{(2-\mathrm{\&rho;})}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{(2-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&epsiv;}}^4}.}$

(3)稳态误差带(Δ_SSE) 

当λ=1/4时，具有干扰抑制项的误差动态方程式(11)的极值点

当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<{\left(\frac{4(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-4/3}$ 时 

Δ_SSE=Δ_AAL                            (40) 

当 ${\left(\frac{4(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-4/3}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<x_3$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&epsiv;}}^4}{256(1-\mathrm{\&rho;})}}+\mathrm{\&Delta;}---\left(41\right)$

当Δ_AAL≥x₃时 

Δ_SSE=Δ_AAL                            (42) 

其中，x₃为方程 $(1-\mathrm{\&rho;})x-\mathrm{\&epsiv;}{x}^{1/4}-\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&epsiv;}}^4}{256(1-\mathrm{\&rho;})}}=0$ 的正实根。 

(五)λ=3/4情形， 

(1)单调减区域(Δ_MDR) 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}1}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{4\mathrm{\&rho;}}-\frac{c_{20}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{2{\mathrm{\&rho;}}^2}-c_{21}+\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{4{\mathrm{\&rho;}}^3{c}_{20}}})}^4,{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{4\mathrm{\&rho;}}+\frac{c_{20}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{2{\mathrm{\&rho;}}^2}-c_{21}-\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{4{\mathrm{\&rho;}}^3{c}_{20}}})}^4\}---\left(43\right)$

式中， $c_{21}=\frac{-4\sqrt[3]{2}\mathrm{\&Delta;}}{c_{22}}+\frac{c_{22}}{3\sqrt[3]{2}\mathrm{\&rho;}},$ $c_{20}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{4{\mathrm{\&rho;}}^2}+c_{21}},$

其中， $c_{22}=\sqrt[3]{-27{\mathrm{\&epsiv;}}^2\mathrm{\&Delta;}+\sqrt{6912{\mathrm{\&rho;}}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{\mathrm{\&epsiv;}}^4{\mathrm{\&Delta;}}^2}}.$

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}1},{(\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{4(1-\mathrm{\&rho;})}+\frac{c_{23}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{2{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}-c_{24}+\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{4{(1-\mathrm{\&rho;})}^3{c}_{23}}})}^4\}---\left(44\right)$

式中， $c_{24}=\frac{-4\sqrt[3]{2}\mathrm{\&Delta;}}{c_{25}}+\frac{c_{25}}{3\sqrt[3]{2}(1-\mathrm{\&rho;})},$ $c_{23}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{4{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}+c_{24}},$

其中， $c_{25}=\sqrt[3]{-27{\mathrm{\&epsiv;}}^2\mathrm{\&Delta;}+\sqrt{6912{(1-\mathrm{\&rho;})}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{\mathrm{\&epsiv;}}^4{\mathrm{\&Delta;}}^2}}.$

(2)绝对吸引层(Δ_AAL) 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}1},{(\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{4(2-\mathrm{\&rho;})}+\frac{c_{26}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{2{(2-\mathrm{\&rho;})}^2}-c_{27}-\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{4{(2-\mathrm{\&rho;})}^3{c}_{26}}})}^4---\left(45\right)$

式中， $c_{27}=\frac{-4\sqrt[3]{2}\mathrm{\&Delta;}}{c_{28}}+\frac{c_{28}}{3\sqrt[3]{2}(2-\mathrm{\&rho;})},$ $c_{26}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{4{(2-\mathrm{\&rho;})}^2}+c_{27}},$

其中， $c_{28}=\sqrt[3]{-27{\mathrm{\&epsiv;}}^2\mathrm{\&Delta;}+\sqrt{6912{(2-\mathrm{\&rho;})}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{\mathrm{\&epsiv;}}^4{\mathrm{\&Delta;}}^2}}.$

(3)稳态误差带(Δ_SSE) 

当λ=3/4时，具有干扰抑制项的误差动态方程式(11)的极值点

当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<{\left(\frac{3\mathrm{\&epsiv;}}{4(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^4$ 时 

Δ_SSE=Δ_AAL                (46) 

当 ${\left(\frac{3\mathrm{\&epsiv;}}{4(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^4\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<x_4$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\frac{27{\mathrm{\&epsiv;}}^4}{256{(1-\mathrm{\&rho;})}^3}+\mathrm{\&Delta;}---\left(47\right)$

当Δ_AAL≥x₄时 

Δ_SSE=Δ_AAL                (48) 

其中，x₄为方程 $(1-\mathrm{\&rho;})x-\mathrm{\&epsiv;}{x}^{3/4}-\frac{27{\mathrm{\&epsiv;}}^4}{256{(1-\mathrm{\&rho;})}^3}=0$ 的正实根。 

本发明的技术构思为：伺服系统在周期对称参考信号下运行，使得本发明可利用信号的周期对称特点设计重复控制器。考虑信号对称性质的设计，不仅大大减少控制器内存占用量，内模响应时间也更快，有易于加速扰动的消除。控制器设计是基于离散吸引律进行的，是一种时域设计方法。时域设计方法在设计重复控制器时具有独到的地方，这主要是因为信号对称特性表现在时域中。本发明考虑的参考信号周期对称特性，比在频域中考虑信号各奇次谐波的周期对称性质更为一般，且设计会更直观。另外，控制器时域设计使得其能够方便地与现有的时域干扰观测技术相结合。本发明给出的设计方法不同于目前普遍采用的频域方法。 

针对参考信号满足半周期对称特性的伺服系统，本发明提供一种半周期重复控制器的时域设计方法，不仅实现对周期性外部干扰信号的完全跟踪或抑制，而且降低内存占用量。具体体现在，周期重复控制器需要用到前一个周期的控制信号，而半周期重复控制只需要用到前半个周期的控制信息，将控制器的内存占用降低一半，显著节省了内存占用空间。该设计 是基于离散幂次吸引律进行设计的，幂次吸引律是一种连续吸引律，能回避离散吸引律带来的颤振现象，达到快速干扰抑制效果。 

本发明的有益效果主要表现在：在显著减少控制器内存占用量的同时，兼有快速收敛性能、加速干扰抑制和高控制精度。 

附图说明

图1是半周期重复控制系统方框图。 

图2是半周期对称信号示意图：图2a是满足对称特性r_k=r_k-N/2的参考信号示意图，图2b是满足对称特性r_k=-r_k-N/2的参考信号示意图，图2c是满足特性r_k=r_k′的参考信号示意图，图2d是满足特性r_k=-r_k'的参考信号示意图。 

图3为参考信号满足半周期对称特性的重复控制系统方框图：3a为参考信号满足对称特性r_k=-r_k-N/2的重复控制系统方框图，图3b为参考信号满足r_k=±r_k'的重复控制系统方框图。 

图4是半周期重复控制器方框图：图4a为参考信号满足r_k=-r_k-N/2的控制器方框图，图4b为参考信号满足r_k=r_k'的控制器方框图，图4c为参考信号满足r_k=-r_k′′的控制器方框图。 

图5是采用半周期重复控制器的永磁同步直线电机控制系统方框图。 

图6是当λ=1/2，ρ=0.3，ε=0.15时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。 

图7是当λ=1/2，ρ=0.3，ε=0.35时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。 

图8是当λ=1/2，ρ=0.3，ε=0.45时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。 

图9是当λ=1/3，ρ=0.5，ε=0.3时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。 

图10是当λ=1/3，ρ=0.3，ε=0.9110时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。 

图11是当λ=1/3，ρ=0.3，ε=0.92时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。 

图12是当λ=2/3，ρ=0.3，ε=0.4时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。 

图13是当λ=2/3，ρ=0.3，ε=0.62403时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。 

图14是当λ=2/3，ρ=0.3，ε=0.64时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。 

图15是当λ=1/4，ρ=0.3，ε=0.5时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。 

图16是当λ=1/4，ρ=0.3，ε=0.1时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。 

图17是当λ=3/4，ρ=0.3，ε=0.5时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。 

图18是当λ=3/4，ρ=0.3，ε=0.15时的Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。 

图19-23是整周期重复控制器参数λ=1/2，ρ=0.4，ε=0.15时，永磁同步直线电机控 制系统的实验结果，其中： 

图19是在整周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机给定参考信号及输出信号。 

图20是在整周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机所受扰动曲线。 

图21是在整周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机等效扰动曲线。 

图22是在整周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机跟踪误差曲线。 

图23是在整周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机跟踪误差分布直方图。 

图24-29是半周期重复控制器取参数λ=1/2，ρ=0.4，ε=0.15时，永磁同步直线电机控制系统的实验结果，其中： 

图24是在半周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机给定参考信号及输出信号。 

图25是在半周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机所受扰动曲线。 

图26是在半周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机等效扰动曲线。 

图27是在半周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机在补偿后的等效扰动曲线。 

图28是在半周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机跟踪误差曲线。 

图29是在半周期重复控制器作用下，永磁同步直线电机跟踪误差分布直方图。 

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。 

参照图2-4，一种用于位置伺服系统的半周期重复控制器，为便于描述，本发明针对二阶离散系统设计半周波重复控制器。考虑下述二阶离散系统的差分方程模型 

y_k+1+a₁y_k+a₂y_k-1=b₁u_k+b₂u_k-1+w_k+1                (1) 

其中，u_k-1,u_k,y_k-1,y_k分别为k-1,k时刻系统的输入输出信号；w_k+1为k+1时刻系统受到的扰动信号，a₁,a₂,b₁,b₂为系统相应的参数。 

所述伺服系统，其参考信号r_k满足半周期对称特性，即满足如下关系 

r_k=±r_k-N/2或r_k=±r_k′                        (2) 

式中，k′=(ceil(2k/N)-1)N-k,k≥N/2。其中，N是用于刻画周期对称性的参数，r_k-N/2,r_k′分别表示k-N/2,k′时刻的参考信号。 

由式(2)可知，具有半周期对称特性信号的具体形式有四种(见图2)。 

记跟踪误差e_k=r_k-y_k， 

e_k+1＝r_k+1-y_k+1＝r_k+1+a₁y_k+a₂y_k-1-b₁u_k-b₂u_k-1-w_k+1

=r_k+1+y_k-N/2+1+a₁(y_k+y_k-N/2)+a₂(y_k-1+y_k-N/2-1)                (3) 

-b₁(u_k+u_k-N/2)-b₂(u_k-1+u_k-N/2-1)-(w_k+1+w_k-N/2+1) 

式中，e_k+1，r_k+1分别表示k+1时刻的误差信号、参考信号。 

由式(3)可将w_k+1+w_k-N/2+1表达为 

w_k+1+w_k-N/2+1=r_k+1+y_k-N/2+1+a₁(y_k+y_k-N/2)+a₂(y_k-1+y_k-N/2-1)(4) 

-b₁(u_k+u_k-N/2)-b₂(u_k-1+u_k-N/2-1)-e_k+1

记等效干扰d_k=w_k+w_k-N/2， 

d_k+1=r_k+1+y_k-N/2+1+a₁(y_k+y_k-N/2)+a₂(y_k-1+y_k-N/2-1)(5) 

-b₁(u_k+u_k-N/2)-b₂(u_k-1+u_k-N/2-1)-e_k+1

由图2可知，描述半周期对称参考信号时，不仅需要知道周期参数，还需要掌握半周期对称形式。半周期对称形式的不同，相应地重复控制器的设计过程及给出的表达式也不尽相同。首先，以图2(b)所示的半周期对称特性为例来具体说明离散半周期重复控制器的设计过程。 

由图2(b)可知，参考信号r_k满足如下半周期对称特性： 

r_k=-r_k-N/2                        (6) 

若扰动信号w_k如参考信号一样，严格满足半周期对称特性(6)，则等效扰动d_k=0。然而扰动项w_k一般不能严格满足对称条件。只是w_k的周期部分呈现半周期对称特性，因此，当w_k存在非周期扰动成分时，d_k≠0。这时需采用干扰观测技术，在闭环系统中引入干扰补偿作用

以提高控制性能。跟踪控制的目标是在有限时间内，使得系统的跟踪误差e_k收敛至原点的一个邻域内，并一直停留在这一邻域内。为了达到这一目标，考虑等效扰动对e_k的影响，依据预先形成的误差动态设计控制器。修正幂次吸引律，构造如下误差动态方程 

$e_{k+1}=(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)+d_{k+1}^{*}-d_{k+1}---\left(7\right)$

式中，

为等效扰动d_k+1的补偿值；ρ、ε为表达吸引速度的两个常数，λ为吸引指数；其取值范围分别为：ε>0，0<ρ<1，0<λ<1。 

将式(5)代入式(7)，可得 

$e_{k+1}=(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)+d_{k+1}^{*}-r_{k+1}-y_{k-N/2+1}-a_1(y_k+y_{k-N/2})$

$-a_2(y_{k-1}+y_{k-N/2-1})+b_1(u_k+u_{k-N/2})+b_2(u_{k-1}+u_{k-N/2-1})+e_{k+1}$

化简后可得u_k， 

$u_k=-u_{k-N/2}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}+u_{k-N/2-1})+\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)-d_{k+1}^{*}]$

$+\frac{1}{b_1}(r_{k+1}+y_{k-N/2+1})+\frac{a_1}{b_1}(y_k+y_{k-N/2})+\frac{a_2}{b_1}(y_{k-1}+y_{k-N/2-1})$

记 $v_k=\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)-d_{k+1}^{*}+(r_{k+1}+y_{k-N/2+1})+a_1(y_k+y_{k-N/2})+a_2(y_{k-1}+y_{k-N/2-1})],$ 输 

入信号 ${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=u_k+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1},$ 式(9)可写成 

${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=-{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{k-N/2}+v_k---\left(10\right)$

式中，v_k表示输入信号

的修正量。 

对于图2(a)所示参考信号满足r_k=r_k-N/2的周期对称情形，重复控制器可参照上述情形进行。 

按照式(3)-式(10)所描述的步骤，可设计半周期对称(r_k=±r_k′，k′=(ceil(2k/N)-1)N-k)情形下得重复控制器。 

1)参考信号r_k满足r_k=r_k'k′=(ceil(2k/N)-1)N-k(见图2c)，等效扰动为d_k=w_k-w_k'，离散重复控制器u_k为 

$u_k=-u_{k^{\&prime;}}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}+u_{k^{\&prime;}-1})+\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)-d_{k+1}^{*}]$

$+\frac{1}{b_1}(r_{k+1}-y_{k^{\&prime;}+1})+\frac{a_1}{b_1}(y_k-y_{k^{\&prime;}})+\frac{a_2}{b_1}(y_{k-1}-y_{k^{\&prime;}-1})$

记 $v_k^{\&prime;\&prime;}=\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)-d_{k+1}^{*}+(r_{k+1}-y_{k^{\&prime;}+1})+a_1(y_k-y_{k^{\&prime;}})+a_2(y_{k-1}-y_{k^{\&prime;}-1})],$ 输入信号  ${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=u_k+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1},$ 式(11)可写成 

${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k={\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{k^{\&prime;}}+v_k^{\&prime;\&prime;}$

2)参考信号r_k满足r_k=-r_k'，k′=(ceil(2k/N)-1)N-k(见图2d)，等效扰动为d_k=w_k+w_k'，离散重复控制器u_k为 

$u_k=-u_{k^{\&prime;}}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}+u_{k^{\&prime;}-1})+\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)-d_{k+1}^{*}]$

$+\frac{1}{b_1}(r_{k+1}+y_{k^{\&prime;}-1})+\frac{a_1}{b_1}(y_k+y_{k^{\&prime;}})+\frac{a_2}{b_1}(y_{k-1}+y_{k^{\&prime;}-1})$

记 $v_k^{\&prime;\&prime;\&prime;}=\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)-d_{k+1}^{*}+(r_{k+1}+y_{k^{\&prime;}+1})+a_1(y_k+y_{k^{\&prime;}})+a_2(y_{k-1}+y_{k^{\&prime;}-1})],$ 输入信号  ${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=u_k+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1},$ 式(12)可写成 

${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=-{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{k^{\&prime;}}+v_k^{\&prime;\&prime;\&prime;}$

对于上述重复控制器设计，做以下说明： 

(1)幂次吸引律中引入d_k+1反映了对于给定周期模式的扰动信号的抑制措施，为d_k+1的补偿值，用于补偿非周期性扰动。 

一种简单的补偿值确定方法是

这里，提供一种d_k界已知时的补偿值确定方法。设等效扰动d_k的上、下界分别为d_u、d_l，则d_k满足不等式 

d_l≤d_k≤d_u                    (13) 

记 $\stackrel{\&OverBar;}{d}=\frac{d_u+d_l}{2},$ $\mathrm{\&Delta;}=\frac{d_u-d_l}{2},$ 则， 

$|d_k-\stackrel{\&OverBar;}{d}|\&le;\mathrm{\&Delta;}$

可取 

$d_{k+1}^{*}=\stackrel{\&OverBar;}{d}=\frac{d_u+d_l}{2}---\left(14\right)$

(2)式(9)，(11)与(12)中，e_k,y_k,y_k-1，y_k-N/2+1，y_k-N/2,y_k-N/2-1，y_k′+1，y_k',y_k′-1均可通过测量得到，u_k-1,u_k-N/2，u_k-N/2-1,u_k',u_k′-1为控制信号的存储值，可从内存中读取。 

(3)对于图2(a)所示整周期(周期为N/2)情形，当N=2时，对称特性变为r_k=r_k-1。因此，本发明中提出的半周波重复控制器也适用于常值调节问题，此时等效扰动为d_k=w_k-w_k-1。 

(4)上述重复控制器针对二阶系统(1)给出，按照相同的方法同样可给出高阶系统的设计结果。 

系统的重复控制器设计完成之后，需要整定其中的控制器参数，包括表达吸引速度的两个常数ρ、ε，吸引指数λ。具体的参数整定工作可依据表征系统收敛性的指标进行。为表征跟踪误差收敛过程，本发明引入单调减区域，绝对吸引层和稳态误差带概念，具体定义如下： 

单调减区域 

$\left\{\begin{array}{c}0<e_{k+1}<e_k,e_k>{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}\\ e_k<e_{k+1}<0,e_k<-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}\end{array}\right.$

绝对吸引层 

$\left|e_k\right|>{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}\&DoubleRightArrow;\left|e_{k+1}\right|<\left|e_k\right|$

稳态误差带 

$\left|e_k\right|\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}\&DoubleRightArrow;\left|e_{k+1}\right|\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}$

这里，Δ_MDR为单调减区域边界，Δ_AAL为绝对吸引层边界，Δ_SSE为稳态误差带边界。 

对于重复控制器作用下导致的闭环系统误差动态，本发明分别给出其单调减区域边界Δ_MDR，绝对吸引层边界Δ_AAL和稳态误差带边界Δ_SSE： 

(1)单调减区域(Δ_MDR) 

Δ_MDR=max{Δ_MDR1,Δ_MDR2}                        (15) 

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为实数，且由下式确定， 

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&rho;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}1}+\mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}1}^{\mathrm{\&lambda;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\\ (1-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}2}-\mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}2}^{\mathrm{\&lambda;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\end{array}\right.$

(2)绝对吸引层(Δ_AAL) 

Δ_AAL=max{Δ_AAL1,Δ_AAL2}                        (16) 

式中，Δ_AAL1，Δ_AAL2为实数，且由下式确定， 

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&rho;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}1}+\mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}1}^{\mathrm{\&lambda;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\\ (2-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}2}-\mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}2}^{\mathrm{\&lambda;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\end{array}\right.$

(3)稳态误差带(Δ_SSE) 

Δ_SSE的具体取值可依据Δ_AAL来确定， 

a.当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<\sqrt[1-\mathrm{\&lambda;}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}$ 时 

Δ_SSE=Δ_AAL                        (17) 

b.当 $\sqrt[1-\mathrm{\&lambda;}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<x_{\mathrm{SSE}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=-(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt[1-\mathrm{\&lambda;}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}+\mathrm{\&epsiv;}\sqrt[\frac{1-\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&lambda;}}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}+\mathrm{\&Delta;}---\left(18\right)$

c.当Δ_AAL≥x_SSE时 

Δ_SSE=Δ_AAL                    (19) 

其中，x_SSE为方程 $(1-\mathrm{\&rho;})x-\mathrm{\&epsiv;}{x}^{\mathrm{\&lambda;}}+(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt[1-\mathrm{\&lambda;}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}-\mathrm{\&epsiv;}\sqrt[\frac{1-\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&lambda;}}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}=0$ 的正实根。 

针对一些实际中常用的λ取值，即λ=1/2,1/3,2/3,1/4,3/4五种情形，下述我们分别给出各自的单调减区域边界Δ_MDR，绝对吸引层边界Δ_AAL和稳态误差带边界Δ_SSE表达式： 

(一)λ=1/2情形， 

(1)单调减区域(Δ_MDR) 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\left\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&Delta;}(1-\mathrm{\&rho;})}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}>\frac{\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}(1-2\mathrm{\&rho;})}{\sqrt{2}}\\ {\left(\frac{-\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&rho;\&Delta;}}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}\&le;\frac{\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}(1-2\mathrm{\&rho;})}{\sqrt{2}}\end{array}\right.---\left(20\right)$

(2)绝对收吸引层(Δ_AAL) 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\left\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&Delta;}(2-\mathrm{\&rho;})}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}>\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}(1-\mathrm{\&rho;})\\ {\left(\frac{-\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&rho;\&Delta;}}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}\&le;\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}(1-\mathrm{\&rho;})\end{array}\right.---\left(21\right)$

(3)稳态误差带(Δ_SSE) 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\left\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&Delta;}(1-\mathrm{\&rho;})}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}>\frac{2(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}}{\sqrt{\mathrm{\&rho;}}}\\ \frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{4(1-\mathrm{\&rho;})}+\mathrm{\&Delta;}& c_0<\mathrm{\&epsiv;}\&le;\frac{2(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}}{\sqrt{\mathrm{\&rho;}}}\\ {\left(\frac{-\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&rho;\&Delta;}}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2& 0<\mathrm{\&epsiv;}\&le;c_0\end{array}\right.---\left(22\right)$

其中， $c_0=2(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt{\frac{(2\sqrt{2}-\mathrm{\&rho;}-2)\mathrm{\&Delta;}}{4(1-\mathrm{\&rho;})-{\mathrm{\&rho;}}^2}}.$

(二)λ=1/3情形， 

(1)单调减区域(Δ_MDR) 

当 $0<\mathrm{\&epsiv;}<\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{\sqrt[3]{9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}-c_2}+\sqrt[3]{9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}+c_2}}{\sqrt[3]{18{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}}\right)}^3\}---\left(23\right)$

式中， $c_1=\sqrt{81{\mathrm{\&rho;}}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2+12\mathrm{\&rho;}{\mathrm{\&epsiv;}}^3},$ $c_2=\sqrt{81{(1-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2-12(1-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&epsiv;}}^3}$

当 $\mathrm{\&epsiv;}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{3\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^3\}---\left(24\right)$

当 $\mathrm{\&epsiv;}>\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{\sqrt{3(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&epsiv;}}(\cos ({\mathrm{\&theta;}}_1/3)+\sqrt{3}\sin ({\mathrm{\&theta;}}_1/3))}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(25\right)$

式中，θ₁=arccosβ₁，(-1<β₁<0)。 

(2)绝对吸引层(Δ_AAL) 

当 $0<\mathrm{\&epsiv;}<\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{\sqrt[3]{9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}-c_3}+\sqrt[3]{9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}+c_3}}{\sqrt[3]{18{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}}\right)}^3\}---\left(26\right)$

式中， $c_3=\sqrt{81{(2-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2-12(2-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&epsiv;}}^3}.$

当 $\mathrm{\&epsiv;}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{3\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^3\}---\left(27\right)$

当 $\mathrm{\&epsiv;}>\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{\sqrt{3(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&epsiv;}}(\cos ({\mathrm{\&theta;}}_2/3)+\sqrt{3}\sin ({\mathrm{\&theta;}}_2/3))}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(28\right)$

式中，θ₂=arccosβ₂，

(-1<β₂<0)。 

(3)稳态误差带(Δ_SSE) 

当λ=1/3时，具有干扰抑制项的误差动态方程式(11)的极值点

当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<{\left(\frac{3(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-3/2}$ 时 

Δ_SSE=Δ_AAL                        (29) 

当 ${\left(\frac{3(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-3/2}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<x_1$ 时， 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\sqrt{\frac{4{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{27(1-\mathrm{\&rho;})}}+\mathrm{\&Delta;}---\left(30\right)$

当Δ_AAL≥x₁时 

Δ_SSE=Δ_AAL                    (31) 

其中，x₁为方程 $(1-\mathrm{\&rho;})x-\mathrm{\&epsiv;}{x}^{1/3}-\sqrt{\frac{4{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{27(1-\mathrm{\&rho;})}}=0$ 的正实根。 

(三)λ=2/3情形， 

(1)单调减区域(Δ_MDR) 

当 $0<\mathrm{\&epsiv;}<\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}+c_5^{1/3}+c_6^{1/3}}{3\mathrm{\&rho;}})}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_7^{1/3}-c_8^{1/3}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(32\right)$

式中， $c_5={\mathrm{\&epsiv;}}^3+3\mathrm{\&rho;}\frac{-9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_9}{2},$ $c_6={\mathrm{\&epsiv;}}^3+3\mathrm{\&rho;}\frac{-9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_9}{2},$

$c_7=-{\mathrm{\&epsiv;}}^3+3(1-\mathrm{\&rho;})\frac{-9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}+c_{10}}{2},$ $c_8=-{\mathrm{\&epsiv;}}^3+3(1-\mathrm{\&rho;})\frac{-9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}-c_{10}}{2}.$

其中， $c_9=\sqrt{81{\mathrm{\&rho;}}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2-12{\mathrm{\&epsiv;}}^3\mathrm{\&Delta;}},$ $c_{10}=\sqrt{81{(1-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2+12{\mathrm{\&epsiv;}}^3\mathrm{\&Delta;}}.$

当 $\mathrm{\&epsiv;}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时， 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}+\frac{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}}{{\mathrm{\&epsiv;}}^2})}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_7^{1/3}-c_8^{1/3}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(33\right)$

当 $\mathrm{\&epsiv;}>\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时， 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\left(\frac{(-1+\cos (\mathrm{\&theta;}/3)+3^{1/2}\sin (\mathrm{\&theta;}/3))\mathrm{\&epsiv;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_7^{1/3}-c_8^{1/3}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(34\right)$

式中，θ=arccosβ，(-1<β<1)。 

(2)绝对吸引层(Δ_AAL) 

当 $0<\mathrm{\&epsiv;}<\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}+c_5^{1/3}+c_6^{1/3}}{3\mathrm{\&rho;}})}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_{11}^{1/3}-c_{12}^{1/3}}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(35\right)$

式中， $c_{11}=-{\mathrm{\&epsiv;}}^3+3(2-\mathrm{\&rho;})\frac{-9(2-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}+c_{13}}{2},$ $c_{12}=-{\mathrm{\&epsiv;}}^3+3(2-\mathrm{\&rho;})\frac{-9(2-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}-c_{13}}{2}$

其中， $c_{13}=\sqrt{81{(2-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2+12{\mathrm{\&epsiv;}}^3\mathrm{\&Delta;}}$

当 $\mathrm{\&epsiv;}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时， 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}+\frac{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}}{{\mathrm{\&epsiv;}}^2})}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_{11}^{1/3}-c_{12}^{1/3}}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(36\right)$

当 $\mathrm{\&epsiv;}>\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时， 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\left(\frac{(-1+\cos (\mathrm{\&theta;}/3)+\sqrt{3}\sin (\mathrm{\&theta;}/3))\mathrm{\&epsiv;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_{11}^{1/3}-c_{12}^{1/3}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}---\left(37\right)$

(3)稳态误差带(Δ_SSE) 

当λ=2/3时，具有干扰抑制项的误差动态方程式(11)的极值点

当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<{\left(\frac{3(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-3}$ 时 

Δ_SSE=Δ_AAL                        (38) 

当 ${\left(\frac{3(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-3}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<x_2$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\frac{2{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{27{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}+\mathrm{\&Delta;}---\left(39\right)$

当Δ_AAL≥x₂时 

Δ_SSE=Δ_AAL                        (40) 

其中，x₂为方程 $(1-\mathrm{\&rho;})x-\mathrm{\&epsiv;}{x}^{2/3}-\frac{2{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{27{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}=0$ 的正实根。 

(四)λ=1/4情形， 

(1)单调减区域(Δ_MDR) 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max ({(-\frac{\sqrt{c_{14}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-c_{14}+\frac{2\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}\sqrt{c_{14}}}})}^4,{(\frac{\sqrt{c_{15}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-c_{15}+\frac{2\mathrm{\&epsiv;}}{(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt{c_{15}}}})}^4)---\left(41\right)$

式中， $c_{14}=\frac{-4\sqrt[3]{2}\mathrm{\&rho;\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}{c}_{16}}+\frac{c_{16}}{3\sqrt[3]{2}\mathrm{\&rho;}},$ $c_{15}=\frac{-4\sqrt[3]{2}(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}}{(1-\mathrm{\&rho;})c_{17}}+\frac{c_{17}}{3\sqrt[3]{2}(1-\mathrm{\&rho;})}.$

其中， $c_{16}=\sqrt[3]{27\mathrm{\&rho;}{\mathrm{\&epsiv;}}^2+\sqrt{6912{\mathrm{\&rho;}}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{\mathrm{\&rho;}}^2{\mathrm{\&epsiv;}}^4},}$

$c_{17}=\sqrt[3]{27(1-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&epsiv;}}^2+\sqrt{6912{(1-\mathrm{\&rho;})}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{(1-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&epsiv;}}^4}}.$

(2)绝对吸引层(Δ_AAL) 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{(-\frac{\sqrt{c_{14}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-c_{14}+\frac{2\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}\sqrt{c_{14}}}})}^4,{(\frac{\sqrt{c_{18}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-c_{18}+\frac{2\mathrm{\&epsiv;}}{(2-\mathrm{\&rho;})\sqrt{c_{18}}}})}^4\}---\left(42\right)$

式中， $c_{18}=\frac{-4\sqrt[3]{2}(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}}{(2-\mathrm{\&rho;})c_{19}}+\frac{c_{19}}{3\sqrt[3]{2}(2-\mathrm{\&rho;})}.$

其中， $c_{19}=\sqrt[3]{27(2-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&epsiv;}}^2+\sqrt{6912{(2-\mathrm{\&rho;})}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{(2-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&epsiv;}}^4}}.$

(3)稳态误差带(Δ_SSE) 

当λ=1/4时，具有干扰抑制项的误差动态方程式(11)的极值点

当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<{\left(\frac{4(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-4/3}$ 时 

Δ_SSE=Δ_AAL                    (43) 

当 ${\left(\frac{4(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-4/3}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<x_3$ 时 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&epsiv;}}^4}{256(1-\mathrm{\&rho;})}}+\mathrm{\&Delta;}---\left(44\right)$

当Δ_AAL≥x₃时 

Δ_SSE=Δ_AAL                (45) 

其中，x₃为方程 $(1-\mathrm{\&rho;})x-\mathrm{\&epsiv;}{x}^{1/4}-\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&epsiv;}}^4}{256(1-\mathrm{\&rho;})}}=0$ 的正实根。 

(五)λ=3/4情形， 

(1)单调减区域(Δ_MDR) 

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}1}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{4\mathrm{\&rho;}}-\frac{c_{20}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{2{\mathrm{\&rho;}}^2}-c_{21}+\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{4{\mathrm{\&rho;}}^3{c}_{20}}})}^4,{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{4\mathrm{\&rho;}}+\frac{c_{20}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{2{\mathrm{\&rho;}}^2}-c_{21}-\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{4{\mathrm{\&rho;}}^3{c}_{20}}})}^4\}---\left(46\right)$

式中， ${}_{21}\frac{4\sqrt[3]{2}}{{}_{22}}\frac{{}_{22}}{\sqrt[3]{}}$  。 

Claims (3)

1.一种用于位置伺服系统的半周期重复控制器，被控对象为重复伺服系统，其输入输出特性为：

A(q^-1)y_k=q^-dB(q^-1)u_k+w_k

其中，d表示延迟，u_k和y_k分别表示k时刻的输入和输出信号，w_k为k时刻的干扰信号，A(q^-1)和B(q^-1)为关于q^-1的多项式，

A(q^-1)=1+a₁q^-1+…+a_nq^-n

B(q^-1)=b₀+b₁q^-1+…+b_mq^-m

其中，q^-1是一步延迟算子，n为A(q^-1)的阶数，m为B(q^-1)的阶数，a₁，...,a_n,b₀,…,b_m为系统参数且b₀≠0；d为整数，且d≥1；

其特征在于：给定参考信号r_k，该参考信号具有半周期对称特性：

P1.r_k=±r_k-N/2

或

P2.r_k=±r_k′

其中，k′=(ceil(2k/N)-1)N-k,k≥N/2，r_k-N/2,r_k′分别表示k-N/2,k′时刻的参考信号；

根据参考信号半周期对称特性，构造等效扰动d_k，

对于P1

d_k=w_k±w_k-N/2

对于P2

d_k=w_k±w_k'，k'=(ceil(2k/N)-1)N-k

其中，w_k-N/2，w_k'分别表示k-N/2,k'时刻伺服系统所受的扰动信号；

构造带干扰抑制作用的幂次吸引律，提供的离散形式的幂次吸引律为：

e_k+1=(1-ρ)e_k-ε|e_k|^λsgn(e_k)

其中，e_k=r_k-y_k表示跟踪误差，ρ、ε为表达吸引速度的两个常数，λ为吸引指数，相应地各自取值范围为：ε>0，0<ρ<1，0<λ<1；

对于d_k=w_k+w_k-N/2情形，设计半周期重复控制器，先给出误差动态方程：

e_k+1=r_k+1+y_k+1-N/2+A'(q^-1)(y_k+y_k-N/2)-q^-d+1B(q^-1)(u_k+u_k-N/2)-d_k+1式中，

A'(q^-1)=a₁+a₂q^-1+…+a_nq^-n+1=q(A(q^-1)-1)

代入幂次吸引律，得

u_k=-u_k-N/2+[q^-d+1B(q^-1)]^-1[r_k+1+y_k+1-N/2+A'(q^-1)(y_k+y_k-N/2)-(1-ρ)e_k+ε|e_k|^λsgn(e_k)-d_k+1]

为实现上述控制器，需给出d_k+1的补偿值

，并用其代替d_k+1，本发明提供的半周期重复控制器具有如下形式：

$\begin{array}{c}{u}_k=-u_{k-N/2}+{\left[q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\right]}^{-1}[r_{k+1}+y_{k+1-N/2}+A^{\&prime;}\left(q^{-1}\right)(y_k+y_{k-N/2})-(1-\mathrm{\&rho;})e_k\\ +\mathrm{\&epsiv;}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)-d_{k+1}^{*}]\end{array}$ 记 $v_k={\left[q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\right]}^{-1}[r_{k+1}+y_{k+1-N/2}+A^{\&prime;}\left(q^{-1}\right)(y_k+y_{k-N/2})-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)-d_{k+1}^{*}],$ 则有：

u_k＝-u_k-N/2+v_k

对于d_k＝w_k-w_k-N/2情形，将其归为整周期情形，周期为N/2；对于

情形，半周期重复控制器：

$u_k=\&PlusMinus;u_{k^{\&prime;}}+{\left[q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\right]}^{-1}[r_{k+1}\&PlusMinus;y_{y^{\&prime;}+1}+A^{\&prime;}\left(q^{-1}\right)(y_k\&PlusMinus;y_{k^{\&prime;}})-(1-\mathrm{\&rho;})e_k$

$+\mathrm{\&epsiv;}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)-d_{k+1}^{*}]$

记 $v_{k^{\&prime;}}{=\left[q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\right]}^{-1}[r_{k+1}\&PlusMinus;y_{y^{\&prime;}+1}+A^{\&prime;}\left(q^{-1}\right)(y_k\&PlusMinus;y_{k^{\&prime;}})-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)-d_{k+1}^{*}],$

则有：

u_k＝±u_k'+v_k'

半周期重复控制器u_k作为被控伺服对象的控制输入，使得伺服系统输出的位置的信号y_k跟随参考信号r_k变化；

从上述半周期重复控制器，可得下述理想误差动态方程： $e_{k+1}=(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;}{\left|e_k\right|}^{\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{sgn}\left(e_k\right)+d_{k+1}-d_{k+1}^{*},$ 公式1

其中，

为等效扰动d_k+1的补偿值，

取为d_k+1的平均值或k时刻的等效扰动d_k。

2.如权利要求1所述的用于位置伺服系统的半周期重复控制器，其特征在于：所述半周期重复控制器的参数包括趋近速度指数ρ，到达速度ε，吸引指数λ，根据表征系统收敛性能的指标进行参数整定；引入表征系统收敛性能指标有单调减区域Δ_MDR，绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE概念，具体定义如下：

单调减区域Δ_MDR

$\left\{\begin{array}{c}0<e_{k+1}<e_k,e_k>{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}\\ e_k<e_{k+1}<0,e_k<-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}\end{array}\right.$

绝对吸引层Δ_AAL

$\left|e_k\right|>{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}\&DoubleRightArrow;\left|e_{k+1}\right|<\left|e_k\right|$

稳态误差带Δ_SSE

$\left|e_k\right|\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}\&DoubleRightArrow;\left|e_{k+1}\right|\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}$

(1)单调减区域Δ_MDR

Δ_MDR=max{Δ_MDR1,Δ_MDR2}

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为实数，且满足

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&rho;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}1}+\mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}1}^{\mathrm{\&lambda;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\\ (1-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}2}-\mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}2}^{\mathrm{\&lambda;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\end{array}\right.$

(2)绝对吸引层Δ_AAL

Δ_AAL=max{Δ_AAL1,Δ_AAL2}

式中，Δ_AAL1，Δ_AAL2为实数，由下式确定，

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&rho;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}1}+\mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}1}^{\mathrm{\&lambda;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\\ (2-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}2}-\mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}2}^{\mathrm{\&lambda;}}-\mathrm{\&Delta;}=0\end{array}\right.$

(3)稳态误差带Δ_SSE

Δ_SSE的具体取值依据Δ_AAL来确定，

a.当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<\sqrt[1-\mathrm{\&lambda;}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}$ 时

Δ_SSE=Δ_AAL

b.当 $\sqrt[1-\mathrm{\&lambda;}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<x_{\mathrm{SSE}}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=-(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt[1-\mathrm{\&lambda;}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}+\mathrm{\&epsiv;}\sqrt[\frac{1-\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&lambda;}}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}+\mathrm{\&Delta;}$

c.当Δ_AAL≥x_SSE时

Δ_SSE=Δ_AAL

其中，x_SSE为方程 $(1-\mathrm{\&rho;})x-\mathrm{\&epsiv;}{x}^{\mathrm{\&lambda;}}+(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt[1-\mathrm{\&lambda;}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}-\mathrm{\&epsiv;}\sqrt[\frac{1-\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&lambda;}}]{\frac{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}{1-\mathrm{\&rho;}}}=0$ 的正实根；

对于具体给定的λ值，计算各边界取值，以确定闭环系统性能。

3.如权利要求2所述的用于位置伺服系统的半周期重复控制器，其特征在于：对于λ=1/2,1/3,2/3,1/4,3/4五种情形，依据下面给出的Δ_MDR、Δ_AAL及Δ_SSE表达式来确定各边界取值：

(一)λ=1/2情形，

(1)单调减区域Δ_MDR

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\left\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&Delta;}(1-\mathrm{\&rho;})}}{2(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}>\frac{\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}(1-2\mathrm{\&rho;})}{\sqrt{2}}\\ {\left(\frac{-\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&rho;\&Delta;}}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}\&le;\frac{\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}(1-2\mathrm{\&rho;})}{\sqrt{2}}\end{array}\right.$

(2)绝对收吸引层Δ_AAL

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\left\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&Delta;}(2-\mathrm{\&rho;})}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}>\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}(1-\mathrm{\&rho;})\\ {\left(\frac{-\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&rho;\&Delta;}}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}\&le;\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}(1-\mathrm{\&rho;})\end{array}\right.$

(3)稳态误差带Δ_SSE

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\left\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&Delta;}(1-\mathrm{\&rho;})}}{2(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^2& \mathrm{\&epsiv;}>\frac{2(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}}{\sqrt{\mathrm{\&rho;}}}\\ \frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{4(1-\mathrm{\&rho;})}+\mathrm{\&Delta;}& c_0<\mathrm{\&epsiv;}\&le;\frac{2(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}}{\sqrt{\mathrm{\&rho;}}}\\ {\left(\frac{-\mathrm{\&epsiv;}+\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}^2+4\mathrm{\&rho;\&Delta;}}}{2\mathrm{\&rho;}}\right)}^2& 0<\mathrm{\&epsiv;}\&le;c_0\end{array}\right.---\left(22\right)$

其中， $c_0=2(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt{\frac{(2\sqrt{2}-\mathrm{\&rho;}-2)\mathrm{\&Delta;}}{4(1-\mathrm{\&rho;})-{\mathrm{\&rho;}}^2}};$

(二)λ=1/3情形，

(1)单调减区域Δ_MDR

当 $0<\mathrm{\&epsiv;}<\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{\sqrt[3]{9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}-c_2}+\sqrt[3]{9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}+c_2}}{\sqrt[3]{18{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}}\right)}^3\}$

式中， $c_1=\sqrt{81{\mathrm{\&rho;}}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2+12\mathrm{\&rho;}{\mathrm{\&epsiv;}}^3},$ $c_2=\sqrt{81{(1-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2-12(1-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&epsiv;}}^3}$

当 $\mathrm{\&epsiv;}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{3\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^3\}$

当 $\mathrm{\&epsiv;}>\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(1-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{\sqrt{3(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&epsiv;}}(\cos ({\mathrm{\&theta;}}_1/3)+\sqrt{3}\sin ({\mathrm{\&theta;}}_1/3))}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}$

式中，θ₁=arccosβ₁，

(-1<β₁<0);

(2)绝对吸引层Δ_AAL

当 $0<\mathrm{\&epsiv;}<\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{\sqrt[3]{9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}-c_3}+\sqrt[3]{9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}+c_3}}{\sqrt[3]{18{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}}\right)}^3\}$

式中， $c_3=\sqrt{81{(2-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2-12(2-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&epsiv;}}^3};$

当 $\mathrm{\&epsiv;}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{3\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^3\}$

当 $\mathrm{\&epsiv;}>\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&Delta;}}^2(2-\mathrm{\&rho;})}{4}}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\left(\frac{\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_1}+\sqrt[3]{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_1}}{\sqrt[3]{18{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)}^3,{\left(\frac{\sqrt{3(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&epsiv;}}(\cos ({\mathrm{\&theta;}}_2/3)+\sqrt{3}\sin ({\mathrm{\&theta;}}_2/3))}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}$

式中，θ₂=arccosβ₂，

(-1<β₂<0);

(3)稳态误差带Δ_SSE

当λ＝1/3时，具有干扰抑制项的误差动态方程的极值点

$\left|e_k\right|={\left(\frac{3(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-3/2};$

当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<{\left(\frac{3(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-3/2}$ 时

Δ_SSE=Δ_AAL

当 ${\left(\frac{3(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-3/2}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<x_1$ 时，

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\sqrt{\frac{4{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{27(1-\mathrm{\&rho;})}}+\mathrm{\&Delta;}$

当Δ_AAL≥x₁时

Δ_SSE=Δ_AAL

其中，x₁为方程 $(1-\mathrm{\&rho;})x-\mathrm{\&epsiv;}{x}^{1/3}-\sqrt{\frac{4{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{27(1-\mathrm{\&rho;})}}=0$ 的正实根；

(三)λ=2/3情形，

(1)单调减区域Δ_MDR

当 $0<\mathrm{\&epsiv;}<\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}+c_5^{1/3}+c_6^{1/3}}{3\mathrm{\&rho;}})}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_7^{1/3}-c_8^{1/3}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}$

式中， $c_5={\mathrm{\&epsiv;}}^3+3\mathrm{\&rho;}\frac{-9\mathrm{\&rho;\&Delta;}+c_9}{2},$ $c_6={\mathrm{\&epsiv;}}^3+3\mathrm{\&rho;}\frac{-9\mathrm{\&rho;\&Delta;}-c_9}{2},$

$c_7=-{\mathrm{\&epsiv;}}^3+3(1-\mathrm{\&rho;})\frac{-9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}+c_{10}}{2},$ $c_8=-{\mathrm{\&epsiv;}}^3+3(1-\mathrm{\&rho;})\frac{-9(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}-c_{10}}{2};$

其中， $c_9=\sqrt{81{\mathrm{\&rho;}}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2-12{\mathrm{\&epsiv;}}^3\mathrm{\&Delta;}},$ $c_{10}=\sqrt{81{(1-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2+12{\mathrm{\&epsiv;}}^3\mathrm{\&Delta;}};$

当 $\mathrm{\&epsiv;}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时，

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}+\frac{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}}{{\mathrm{\&epsiv;}}^2})}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_7^{1/3}-c_8^{1/3}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}$

当 $\mathrm{\&epsiv;}>\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时，

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\left(\frac{(-1+\cos (\mathrm{\&theta;}/3)+3^{1/2}\sin (\mathrm{\&theta;}/3))\mathrm{\&epsiv;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_7^{1/3}-c_8^{1/3}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}$

式中，θ=arccosβ，(-1<β<1)；

(2)绝对吸引层Δ_AAL

当 $0<\mathrm{\&epsiv;}<\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}+c_5^{1/3}+c_6^{1/3}}{3\mathrm{\&rho;}})}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_{11}^{1/3}-c_{12}^{1/3}}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}$

式中， $c_{11}=-{\mathrm{\&epsiv;}}^3+3(2-\mathrm{\&rho;})\frac{-9(2-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}+c_{13}}{2},$ $c_{12}=-{\mathrm{\&epsiv;}}^3+3(2-\mathrm{\&rho;})\frac{-9(2-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}-c_{13}}{2}$

其中， $c_{13}=\sqrt{81{(2-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&Delta;}}^2+12{\mathrm{\&epsiv;}}^3\mathrm{\&Delta;}}$

当 $\mathrm{\&epsiv;}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时，

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}+\frac{9\mathrm{\&rho;\&Delta;}}{{\mathrm{\&epsiv;}}^2})}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_{11}^{1/3}-c_{12}^{1/3}}{3(2-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}$

当 $\mathrm{\&epsiv;}>\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&rho;}}^2\mathrm{\&Delta;}}{4}}$ 时，

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\left(\frac{(-1+\cos (\mathrm{\&theta;}/3)+\sqrt{3}\sin (\mathrm{\&theta;}/3))\mathrm{\&epsiv;}}{3\mathrm{\&rho;}}\right)}^3,{\left(\frac{\mathrm{\&epsiv;}-c_{11}^{1/3}-c_{12}^{1/3}}{3(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^3\}$

(3)稳态误差带Δ_SSE

当λ＝2/3时，具有干扰抑制项的误差动态方程的极值点

$\left|e_k\right|={\left(\frac{3(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-3};$

当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<{\left(\frac{3(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-3}$ 时

Δ_SSE=Δ_AAL

当 ${\left(\frac{3(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-3}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<x_2$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\frac{2{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{27{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}+\mathrm{\&Delta;}$

当Δ_AAL≥x₂时

Δ_SSE=Δ_AAL

其中，x₂为方程 $(1-\mathrm{\&rho;})x-\mathrm{\&epsiv;}{x}^{2/3}-\frac{2{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{27{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}=0$ 的正实根；

(四)λ=1/4情形，

(1)单调减区域Δ_MDR

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max ({(-\frac{\sqrt{c_{14}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-c_{14}+\frac{2\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}\sqrt{c_{14}}}})}^4,{(\frac{\sqrt{c_{15}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-c_{15}+\frac{2\mathrm{\&epsiv;}}{(1-\mathrm{\&rho;})\sqrt{c_{15}}}})}^4)$

式中， $c_{14}=\frac{-4\sqrt[3]{2}\mathrm{\&rho;\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}{c}_{16}}+\frac{c_{16}}{3\sqrt[3]{2}\mathrm{\&rho;}},$ $c_{15}=\frac{-4\sqrt[3]{2}(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}}{(1-\mathrm{\&rho;})c_{17}}+\frac{c_{17}}{3\sqrt[3]{2}(1-\mathrm{\&rho;})};$

其中， $c_{16}=\sqrt[3]{27\mathrm{\&rho;}{\mathrm{\&epsiv;}}^2+\sqrt{6912{\mathrm{\&rho;}}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{\mathrm{\&rho;}}^2{\mathrm{\&epsiv;}}^4},}$

$c_{17}=\sqrt[3]{27(1-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&epsiv;}}^2+\sqrt{6912{(1-\mathrm{\&rho;})}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{(1-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&epsiv;}}^4}};$

(2)绝对吸引层Δ_AAL

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{(-\frac{\sqrt{c_{14}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-c_{14}+\frac{2\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}\sqrt{c_{14}}}})}^4,{(\frac{\sqrt{c_{18}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-c_{18}+\frac{2\mathrm{\&epsiv;}}{(2-\mathrm{\&rho;})\sqrt{c_{18}}}})}^4\}$

式中， $c_{18}=\frac{-4\sqrt[3]{2}(1-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&Delta;}}{(2-\mathrm{\&rho;})c_{19}}+\frac{c_{19}}{3\sqrt[3]{2}(2-\mathrm{\&rho;})};$

其中， $c_{19}=\sqrt[3]{27(2-\mathrm{\&rho;}){\mathrm{\&epsiv;}}^2+\sqrt{6912{(2-\mathrm{\&rho;})}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{(2-\mathrm{\&rho;})}^2{\mathrm{\&epsiv;}}^4}};$

(3)稳态误差带Δ_SSE

当λ＝1/4时，具有干扰抑制项的误差动态方程的极值点

$\left|e_k\right|={\left(\frac{4(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-4/3};$

当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<{\left(\frac{4(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-4/3}$ 时

Δ_SSE=Δ_AAL

当 ${\left(\frac{4(1-\mathrm{\&rho;})}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^{-4/3}\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<x_3$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&epsiv;}}^4}{256(1-\mathrm{\&rho;})}}+\mathrm{\&Delta;}$

当Δ_AAL≥x₃时

Δ_SSE=Δ_AAL

其中，x₃为方程 $(1-\mathrm{\&rho;})x-\mathrm{\&epsiv;}{x}^{1/4}-\sqrt[3]{\frac{27{\mathrm{\&epsiv;}}^4}{256(1-\mathrm{\&rho;})}}=0$ 的正实根；

(五)λ=3/4情形，

(1)单调减区域Δ_MDR

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}1}=\max \{{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{4\mathrm{\&rho;}}-\frac{c_{20}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{2{\mathrm{\&rho;}}^2}-c_{21}+\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{4{\mathrm{\&rho;}}^3{c}_{20}}})}^4,{(-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{4\mathrm{\&rho;}}+\frac{c_{20}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{2{\mathrm{\&rho;}}^2}-c_{21}-\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{4{\mathrm{\&rho;}}^3{c}_{20}}})}^4\}$

式中， $c_{21}=\frac{-4\sqrt[3]{2}\mathrm{\&Delta;}}{c_{22}}+\frac{c_{22}}{3\sqrt[3]{2}\mathrm{\&rho;}},$ $c_{20}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{4{\mathrm{\&rho;}}^2}+c_{21}},$

其中， $c_{22}=\sqrt[3]{-27{\mathrm{\&epsiv;}}^2\mathrm{\&Delta;}+\sqrt{6912{\mathrm{\&rho;}}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{\mathrm{\&epsiv;}}^4{\mathrm{\&Delta;}}^2}};$

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}}=\max \{{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}1},{(\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{4(1-\mathrm{\&rho;})}+\frac{c_{23}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{2{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}-c_{24}+\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{4{(1-\mathrm{\&rho;})}^3{c}_{23}}})}^4\}$

式中， $c_{24}=\frac{-4\sqrt[3]{2}\mathrm{\&Delta;}}{c_{25}}+\frac{c_{25}}{3\sqrt[3]{2}(1-\mathrm{\&rho;})},$ $c_{23}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{4{(1-\mathrm{\&rho;})}^2}+c_{24}},$

其中， $c_{25}=\sqrt[3]{-27{\mathrm{\&epsiv;}}^2\mathrm{\&Delta;}+\sqrt{6912{(1-\mathrm{\&rho;})}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{\mathrm{\&epsiv;}}^4{\mathrm{\&Delta;}}^2}};$

(2)绝对吸引层Δ_AAL

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}=\max \{{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MDR}1},{(\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{4(2-\mathrm{\&rho;})}+\frac{c_{26}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{2{(2-\mathrm{\&rho;})}^2}-c_{27}-\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^3}{4{(2-\mathrm{\&rho;})}^3{c}_{26}}})}^4$

式中， $c_{27}=\frac{-4\sqrt[3]{2}\mathrm{\&Delta;}}{c_{28}}+\frac{c_{28}}{3\sqrt[3]{2}(2-\mathrm{\&rho;})},$ $c_{26}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}{4{(2-\mathrm{\&rho;})}^2}+c_{27}},$

其中， $c_{28}=\sqrt[3]{-27{\mathrm{\&epsiv;}}^2\mathrm{\&Delta;}+\sqrt{6912{(2-\mathrm{\&rho;})}^3{\mathrm{\&Delta;}}^3+729{\mathrm{\&epsiv;}}^4{\mathrm{\&Delta;}}^2}};$

(3)稳态误差带Δ_SSE

当λ=3/4时，具有干扰抑制项的误差动态方程的极值点

$\left|e_k\right|={\left(\frac{3\mathrm{\&epsiv;}}{4(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^4;$

当 $0<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<{\left(\frac{3\mathrm{\&epsiv;}}{4(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^4$ 时

Δ_SSE=Δ_AAL

当 ${\left(\frac{3\mathrm{\&epsiv;}}{4(1-\mathrm{\&rho;})}\right)}^4\&le;{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AAL}}<x_4$ 时

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SSE}}=\frac{27{\mathrm{\&epsiv;}}^4}{256{(1-\mathrm{\&rho;})}^3}+\mathrm{\&Delta;}$

当Δ_AAL≥x₄时

Δ_SSE=Δ_AAL

其中，x₄为方程 $(1-\mathrm{\&rho;})x-\mathrm{\&epsiv;}{x}^{3/4}-\frac{27{\mathrm{\&epsiv;}}^4}{256{(1-\mathrm{\&rho;})}^3}=0$ 的正实根。

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