CN107797448A

CN107797448A - 采用扰动扩张补偿的电机位置离散重复控制方法

Info

Publication number: CN107797448A
Application number: CN201710743563.3A
Authority: CN
Inventors: 胡轶; 许欣; 邹胜祥; 胡志云; 翁丁恩
Original assignee: Zhejiang University of Technology ZJUT
Current assignee: Zhejiang University of Technology ZJUT
Priority date: 2017-08-25
Filing date: 2017-08-25
Publication date: 2018-03-13
Anticipated expiration: 2037-08-25
Also published as: CN107797448B

Abstract

一种采用扰动扩张补偿的电机位置离散重复控制方法，包括给定环节、周期反馈环节、e/v信号变换模块以及减/加法环、等效扰动扩张状态补偿环节，给定环节产生周期对称的参考信号；构造周期反馈环节；依据离散时间抛物线吸引律,该吸引律引入等效扰动补偿，其补偿量由扰动扩张观测器给出，构造e/v信号转换模块，其输出信号用于重复控制器的修正量；继而计算出重复控制器的输出信号作为被控对象的控制信号输入；给出控制器参数的取值对系统跟踪误差收敛过程的影响。控制器参数整定可依据表征系统收敛性能指标进行，且提供表征跟踪误差收敛过程的单调减区域、绝对吸引层和稳态误差带边界的计算方法。本发明具有快速收敛性能、加速干扰抑制和高控制精度。

Description

采用扰动扩张补偿的电机位置离散重复控制方法

技术领域

本发明属于重复控制技术领域，尤其是一种用于精确电机伺服控制重复控制方法，也适用于工业场合中的周期运行过程。

背景技术

重复控制器具有“记忆”和“学习”特性，可实现周期参考信号轨迹跟踪/周期干扰有效抑制。其存储前一周期控制信号，以此时跟踪误差信号修正前一周期的控制输入，形成当前的控制输入。重复控制技术已成功应用于伺服电机精确控制、电力电子控制技术以及电能质量控制等。

重复控制是基于内模原理的一种控制方法。内模原理的本质是将系统外部信号动态模型 (即为内模)植入控制系统内，以此构成高精度的反馈控制系统，使系统能够无静差地跟随输入信号。重复控制器构造周期信号内模其中T为给定信号的周期。它是一个含周期时延(e^-Ts)的正反馈环节。不考虑输入信号的具体形式，只要给定初始段信号，内模输出就会对输入信号逐周期累加，重复输出与上周期相同的信号。采用连续内模的重复控制器设计多是频域设计，而离散重复控制器的常规设计也是在频域内进行的。相对频域方法，时域设计方法直观、简便，易于直接刻画系统响应的跟踪性能，且可结合现有干扰观测与抑制手段，把能够影响被控输出的扰动作用扩张成新的状态量，用特殊的反馈机制建立能够被扩张观测的状态，从而建立扰动扩张观测器为电机伺服控制系统设计提供了新的途径。

发明内容

本发明提出一种适用于电机伺服系统的离散重复控制器。为了减小闭环系统的误差，有效地抑制系统的颤振，提出一种新颖的吸引律—抛物线吸引律，在此基础上，对等效扰动进行状态扩张补偿，并依据此吸引律构造的理想误差动态方程设计电机伺服重复控制器。可实现对周期干扰的完全抑制，且能有效地减小第一周期的跟踪误差，显著提高伺服电机的控制精度。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案是：

一种采用扰动扩张补偿的电机位置离散重复控制方法，所述控制器包括以下步骤：

1)给定周期参考信号r_k，满足

r_k＝r_k-N (1) 其中，N为参考信号的周期，r_k,r_k-N分别表示k,k-N时刻的参考信号。

2)构造等效扰动

d_k＝w_k-w_k-N (2)

其中，N为参考信号的周期，d_k表示k时刻的等效扰动信号，w_k,w_k-N分别表示k,k-N时刻的干扰信号。

3)构造离散时间抛物线吸引律

e_k+1＝(1-ρ)e_k-ε|e_k|^λfal_parabola(e_k,δ) (3)

式中，

其中，

e_k＝r_k-y_k，e_k表示k时刻跟踪误差，y_k为k时刻系统输出；ρ表征吸引指数，ε表征ρ＝0时的等速吸引速度，ρ、ε均为可调参数，λ为幂次项指数，δ为fal_parabola(e_k,δ) 分段函数分段边界，其取值范围满足ε＞0，0＜ρ＜1，δ＞0，

4)设计具有干扰抑制项的重复控制器及误差动态方程

由跟踪误差定义知

e_k+1＝r_k+1-y_k+1＝r_k+1-y_k+1-N+A′(q^-1)(y_k-y_k-N)-q^-d+1B(q^-1)(u_k-u_k-N)-d_k+1 (4)

式中，

A′(q^-1)＝a₁+a₂q^-1+...+a_nq^-n+1＝q(A(q^-1)-1)

A(q^-1)＝1+a₁q^-1+...+a_nq^-n

B(q^-1)＝b₀+b₁q^-1+...+b_mq^-m

满足

A(q^-1)y_k＝q^-dB(q^-1)u_k+w_k (5)

其中，d表示延迟，u_k和y_k分别表示k时刻的输入和输出信号，w_k为k时刻的干扰信号；A(q^-1) 和B(q^-1)为q^-1的多项式，q^-1是一步延迟算子，n为A(q^-1)的阶数，m为B(q^-1)的阶数； a₁,...,a_n,b₀,...,b_m为系统参数且b₀≠0,n≥m；d为整数，且d≥1。

由式(4)得：

d_k+1＝r_k+1-y_k+1-N+A′(q^-1)(y_k-y_k-N)-q^-d+1B(q^-1)(u_k-u_k-N)-e_k+1 (6)

将(4)式代入吸引律(3)，可得具有扰动抑制项的重复控制器具有如下形式：

u_k＝u_k-N+[q^-d+1B(q^-1)]^-1[r_k+1-y_k+1-N+A′(q^-1)(y_k-y_k-N)

-(1-ρ)e_k+ε|e_k|^λfal_parabola(e_k,δ)-d_k+1] (7)

记

v_k＝[q^-d+1B(q^-1)]^-1[r_k+1-y_k+1-N+A'(q^-1)(y_k-y_k-N)

-(1-ρ)e_k+ε|e_k|^λfal_parabola(e_k,δ)-d_k+1]

可将重复控制器表达为

u_k＝u_k-N+v_k (8)

将u_k作为伺服对象的控制输入信号，可测量获得伺服系统输出信号y_k，跟随参考信号r_k变化。将式(7)代入式(5)，可以得到下述具有干扰抑制项的误差动态方程：

e_k+1＝(1-ρ)e_k-ε|e_k|^λfal_parabola(e_k,δ)-d_k+1 (9)

其中，d_k+1表示k+1时刻的等效扰动。上述也即“嵌入”了干扰抑制作用的抛物线吸引律。

5)构造具有扰动扩张状态补偿的误差动态方程和重复控制器

针对跟踪误差的定义，即式(4)，利用观测误差可以设计如下形式的扩张状态观测器：

其中，为对误差e_k的估计，为等效扰动d_k+1的补偿值；β₁为关于误差的观测器增益系数，β₂为关于等效扰动的观测器增益系数,β₁和β₂可进行适当配置，只要满足的特征值都在单位圆内即可。

引入以跟踪误差作为系统状态变量的扩张状态观测器，以扩张状态观测器输出值作为误差动态的实时估计补偿，以此修正离散吸引律(8)，构造如下误差动态方程：

将(6)式代入吸引律(11)，可得具有等效扰动扩张补偿的重复控制器具有如下形式：

记

可将重复控制器表达为

u_k＝u_k-N+v_k′ (13)

将u_k作为伺服对象的控制输入信号，可量测获得伺服系统输出信号y_k，跟随参考信号r_k变化。

进一步地，在具有扰动补偿项的重复控制器设计完成之后，需要整定控制器参数ρ、ε、δ；记定义Δ为等效扰动界，具体的控制器参数整定可依据表征系统收敛性能的指标进行。为表征跟踪误差收敛性能，本发明引入单调减区域，绝对吸引层和稳态误差带概念，具体定义如下：

单调减区域Δ_MDR

绝对吸引层Δ_AAL

稳态误差带Δ_SSE

(1)单调减区域(Δ_MDR)

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (17)

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为实数，且满足

(2)绝对吸引层(Δ_AAL)

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (19)

式中，Δ_AAL1，Δ_AAL2为实数，可由下式确定，

(3)稳态误差带(Δ_SSE)

Δ_SSE＝max{Δ_SSE1,Δ_SSE2} (21)

式中，Δ_SSE1，Δ_SSE2为实数，可由下式确定，

表征跟踪误差最终能在有限步数内收敛到一个较小的界值内，此界值定义为Δ(1)，并在进入这个界值后，不再穿越该界值，此时收敛步数为m^*；定义初始误差为e₀，从初始误差收敛到边界δ的步数为m₁ ^*，误差从δ收敛到Δ(1)的步数为m₂ ^*。

a.当e₀≥δ时，收敛步数m^*为

b.当Δ(1)≤e₀＜δ,时，收敛步数m^*为

c.当e₀＜Δ(1)时，收敛步数为m^*＝0

本发明的技术构思是，设计电机伺服系统的离散重复控制器是基于离散时间抛物线吸引律进行的，是一种时域设计方法，它不同于目前普遍采用的频域方法。在设计控制器时考虑给定参考信号，设计出的控制器更直观、简便，易于刻画系统跟踪性能。控制器的时域设计也易于结合干扰扩张状态抑制补偿手段，且所设计的重复控制器能够实现对周期干扰信号的完全抑制，特别是第一周期的周期扰动，也能很好地抑制，实现对给定参考信号的快速高精度跟踪。

本发明效果主要表现在：具有快速收敛性能、加速干扰抑制和高控制精度。

附图说明

图1是重复控制器结构示意图。

图2是基于新型抛物线吸引律和等效扰动扩张状态补偿的重复控制器结构方框图。

图3是扩张状态观测器示意框图。

图4—7是在基于抛物线吸引律的重复控制器作用下的数值仿真，其中

ρ＝0.35，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2：

图4是当ρ＝0.35，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的等效扰动示意图。

图5是当ρ＝0.35，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的期望轨迹和实际轨迹示意图。

图6是当ρ＝0.35，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的控制器示意图。

图7是当ρ＝0.35，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的误差以及Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。

图8—11是基于抛物线吸引律和等效扰动扩张状态补偿的重复控制器作用下的数值仿真，其中ρ＝0.35，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2：

图8是当ρ＝0.35，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的等效扰动示意图。

图9是当ρ＝0.35，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的期望轨迹和实际轨迹示意图。

图10是当ρ＝0.35，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的控制器示意图。

图11是当ρ＝0.35，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的基于扩张状态观测器的误差以及Δ_MDR， Δ_AAL及Δ_SSE示意图。

图12—15是在基于抛物线吸引律的重复控制器作用下的数值仿真，其中 ρ＝0.5，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2：

图12是当ρ＝0.5，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的等效扰动示意图。

图13是当ρ＝0.5，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的期望轨迹和实际轨迹示意图。

图14是当ρ＝0.5，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的控制器示意图。

图15是当ρ＝0.5，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的误差以及Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。

图16—19是基于抛物线吸引律和等效扰动扩张状态补偿的重复控制器作用下的数值仿真，其中ρ＝0.5，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2：

图16是当ρ＝0.5，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的等效扰动示意图。

图17是当ρ＝0.5，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的期望轨迹和实际轨迹示意图。

图18是当ρ＝0.5，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的控制器示意图。

图19是当ρ＝0.5，ε＝0.9，δ＝0.9，Δ＝0.2时的误差以及Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE示意图。

图20-28是重复控制器作用下永磁同步电机控制系统(周期为0.8s)的实验结果：

图20是当控制器参数ρ＝0.35,ε＝0.9,δ＝0.9时的实际输出和期望输出信号；

图21是当控制器参数ρ＝0.35,ε＝0.9,δ＝0.9时的控制器信号；

图22是当控制器参数ρ＝0.35,ε＝0.9,δ＝0.9时的输出误差信号；

图23是当控制器参数ρ＝0.5,ε＝0.9,δ＝0.9时的实际输出和期望输出信号；

图24是当控制器参数ρ＝0.5,ε＝0.9,δ＝0.9时的控制器信号；

图25是当控制器参数ρ＝0.5,ε＝0.9,δ＝0.9时的输出误差信号；

图26是当控制器参数ρ＝0.4,ε＝0.9,δ＝0.9时的实际输出和期望输出信号；

图27是当控制器参数ρ＝0.4,ε＝0.9,δ＝0.9时的控制器信号；

图28是当控制器参数ρ＝0.4,ε＝0.9,δ＝0.9时的输出误差信号；

图29-37是重复控制器作用下永磁同步电机控制系统(周期为4s)的实验结果：

图29是当控制器参数ρ＝0.35,ε＝0.9,δ＝0.9时的实际输出和期望输出信号；

图30是当控制器参数ρ＝0.35,ε＝0.9,δ＝0.9时的控制器信号；

图31是当控制器参数ρ＝0.35,ε＝0.9,δ＝0.9时的输出误差信号；

图32是当控制器参数ρ＝0.5,ε＝0.9,δ＝0.9时的实际输出和期望输出信号；

图33是当控制器参数ρ＝0.5,ε＝0.9,δ＝0.9时的控制器信号；

图34是当控制器参数ρ＝0.5,ε＝0.9,δ＝0.9时的输出误差信号；

图35是当控制器参数ρ＝0.4,ε＝0.9,δ＝0.9时的实际输出和期望输出信号；

图36是当控制器参数ρ＝0.4,ε＝0.9,δ＝0.9时的控制器信号；

图37是当控制器参数ρ＝0.4,ε＝0.9,δ＝0.9时的输出误差信号；

具体实施方式

结合附图对本发明具体实施方式作进一步描述。

参照图1-图3，一种采用扰动扩张补偿的电机位置离散重复控制方法，其中，图1是重复控制器结构示意图；图2是基于新型抛物线吸引律和等效扰动扩张状态补偿的重复控制器结构方框图，图3是扩张状态观测器示意图。

一种采用扰动扩张补偿的电机位置离散重复控制方法，包括以下步骤：

第一步.给定参考信号

r_k＝r_k-N (1) 其中，N为参考信号的周期，也即为单位周期采样点数；r_k,r_k-N分别表示k,k-N时刻的参考信号。

第二步.构造等效扰动为

d_k＝w_k-w_k-N (2)

其中，w_k为理想误差动态中的干扰信号，w_k-N为系统在前一周期的第k时刻的干扰信号，d_k为等效扰动。

第三步.电机伺服对象的二阶差分方程模型

y_k+1+a₁y_k+a₂y_k-1＝b₁u_k+b₂u_k-1+w_k+1 (3)

其中，y_k表示伺服系统k时刻的输出位置信号，u_k为k时刻的输入控制信号，w_k为伺服系统 k时刻的干扰信号(满足匹配条件)，a₁,a₂,b₁,b₂为伺服系统模型参数，其取值通过参数估计获得。

第四步.构造离散时间抛物线吸引律，取

式中，

其中，

e_k＝r_k-y_k，e_k表示k时刻跟踪误差，ρ表征吸引指数，ε表征ρ＝0时的等速吸引速度，ρ、ε均为可调参数，δ为fal_parabola(e_k,δ)分段函数分段边界，其取值范围满足 ε＞0，0＜ρ＜1，δ＞0，

第五步.设计扩张状态观测器

针对跟踪误差的定义，利用观测误差可以设计如下形式的状态观测器：

式中，fal(·)为原点附近具有线性段的连续幂次函数，表达式为

其中，为对误差e_k的估计，σ为线性段区间长度，β₁为关于误差的观测器增益系数，β₂为关于等效扰动的观测器增益系数,β₁和β₂可进行适当配置，取β₁＝0.25,β₂＝0.5。

第六步.将干扰抑制补偿措施嵌入吸引律(4)，构造出理想误差动态方程

其中，d_k+1为k+1时刻的等效扰动，为等效扰动d_k+1的补偿值。

第七步.基于理想误差动态方程(6)的重复控制器

当d_k＝w_k-w_k-N时，

由式(7)知

w_k+1-w_k+1-N＝r_k+1-y_k+1-N+a₁(y_k-y_k-N)+a₂(y_k-1-y_k-1-N)

-b₁(u_k-u_k-N)-b₂(u_k-1-u_k-1-N)-e_k+1 (8)

即

将式(9)代入式(6)得

记

输入信号可将式(10)写成

式中，v_k表示输入信号的修正量。

对于上述重复控制器设计，做以下说明：

1)抛物线吸引律中通过扩张状态观测器引入能很好地观测周期扰动，并对等效扰动 d_k+1进行补偿，对周期扰动有很好的抑制作用，特别地，加入扩张状态观测器能有效抑制第一周期的周期扰动。

2)(9)(11)式中，e_k,y_k,y_k-1,y_k-1-N均可通过测量得到，u_k-1,u_k-1-N,为控制信号的存储值，可从内存中读取。

3)当参考信号满足r_k＝r_k-1，该离散重复控制器也适用于常值调节问题，这时的等效扰动为d_k＝w_k-w_k-1；其中，r_k-1为k-1时刻参考信号，w_k-1为k-1时刻干扰信号；

式(13)也可表示成

u_k＝u_k-1+v_k (14)

其中

4)上述重复控制器针对二阶系统(3)给出，按照相同的方法同样可给出更高阶系统的设计结果。

第八步.根据系统跟踪误差的单调减区域Δ_MDR，绝对吸引层Δ_AAL以及稳态误差带Δ_SSE对控制器参数进行整定，以达到最佳的控制效果。其中控制器参数主要包括：抛物线参数δ、可调整参数ρ，ε和等效扰动界Δ。

依据上述Δ_MDR、Δ_AAL及Δ_SSE的定义，确定的各边界取值如下：

(1)单调减区域(Δ_MDR)

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (15)

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为实数，且满足

i.当Δ_MDR≥δ时，

ii.当Δ_MDR＜δ时，

a.当Δ_MDR＜e_k＜δ时，

b.当e_k＞δ时，

(2)绝对吸引层(Δ_AAL)

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (20)

式中，Δ_AAL1，Δ_AAL2为实数，可由下式确定，

i.当Δ_AAL≥δ时，

ii.当Δ_AAL＜δ时，

a.当Δ_AAL＜e_k＜δ时，

b.当e_k＞δ时，

(3)稳态误差带(Δ_SSE)

Δ_SSE＝max{Δ_SSE1,Δ_SSE2} (25)

式中，Δ_SSE1，Δ_SSE2为实数，可由下式确定

i.当Δ_SSE≥δ时，

a.当δ≤e_k＜Δ_SSE时，

i)若时，

当时，

ii)若时，

b.当0≤e_k＜δ时，

i)若时，

ii)若时，

ii.当Δ_SSE＜δ时，

i)若时，

ii)若时，

依据式(15)-(33)计算出各边界取值，以确定闭环系统的跟踪性能。

实例：该实施例以永磁同步电机伺服系统在固定区间上执行重复跟踪任务为例，其位置参考信号具有周期对称特性，该伺服电机采用三环控制，其中电流环与速度环控制器由 ELMO驱动器提供；位置环控制器由DSP开发板TMS320F2812提供。

通过参数估计获得伺服对象的数学模型为

y_k+1-1.6483y_k+0.6497y_k-1＝2.3638u_k-0.5565u_k-1+w_k+1 (34)

其中，y_k,u_k分别为位置伺服系统的位置输出与速度给定信号(控制输入)，w_k为干扰信号。

由于本实施例以正弦信号作为系统的参考信号，重复控制器可采取式(11)给出的控制器形式，其具体表达式可写成

该实施例中将通过数值仿真和实验结果说明本发明给出基于新型抛物线吸引律和等效扰动扩张状态补偿的重复控制器的有效性。

数值仿真：

给定位置参考信号为r_k＝20sin(2kπfT_s),单位rad，频率f＝0.25Hz，采样周期T_s＝0.001s，采样点数N＝2000。仿真时，选取的扰动量w(k)由周期性干扰和非周期性干扰两部分构成，具体形式为

w(k)＝-2sin(2kπfT_s)+0.1sign(sin(2kπ/150)) (36)

在重复控制器(35)的作用下，选取不同的控制器参数ρ,ε,δ，伺服系统的三个边界层也各不相同。为了说明本发明专利关于单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE的理论正确性，图11和图19给出Δ_MDR，Δ_AAL和Δ_SSE的具体取值。

1)当控制器参数ρ＝0.35,ε＝0.9,δ＝0.9时(参见图11)

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2}，且满足(16)，得Δ_MDR＝0.4949；

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2}，且满足(21)，得Δ_AAL＝0.2852；

Δ_SSE＝max{Δ_SSE1,Δ_SSE2}，且满足(26)，得Δ_SSE＝0.2852；

2)当控制器参数ρ＝0.5,ε＝0.9,δ＝0.9时(参见图19)

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2}，且满足(16)，得Δ_MDR＝0.4457；

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2}，且满足(21)，得Δ_AAL＝0.3628；

Δ_SSE＝max{Δ_SSE1,Δ_SSE2}，且满足(26)，得Δ_SSE＝0.3628；

仿真结果见图11和图19。在给定系统模型、参考信号和干扰信号的情况下，上述数值结果验证了本专利给出的基于新型抛物线吸引律和等效扰动扩张状态补偿的重复控制器作用下系统跟踪误差的单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE。

实验结果：通过设置不同控制器参数，验证基于抛物线吸引律的离散重复控制的跟踪性能。给定位置信号为一正弦信号r_k＝Asin(2πfT_sk)rad。其中，幅值为实验分两组进行，一组频率f＝1.25Hz，采样周期T_s＝0.001s，周期采样点数N＝800；一组频率f＝0.25Hz，采样周期为T_s＝0.005s，周期采样点数N＝800。

采用该重复控制器进行旋转电机位置跟踪控制，实验结果分别如图20-28与图29-37所示。

由于本实施例以正弦信号作为位置参考信号，重复控制器可采取式(11)的控制器形式，其具体表达式可写成

A.控制器参数取为ρ＝0.35,ε＝0.9,δ＝0.9，采样周期T_s＝0.001s，周期为T＝0.8s。

伺服电机在该重复控制器，如式(35)作用下，系统实际位置输出信号及给定参位置考信号、控制器信号以及跟踪误差如图20-22所示。系统跟踪误差在一个参考信号周期(T＝0.8s) 之后收敛进入|e_k|≤0.15rad的邻域内。由图22可见，系统跟踪误差稳态值(2s之后)均分布在 ±Δ_SSE之间。

B.控制器参数取为ρ＝0.35,ε＝0.9,δ＝0.9，采样周期T_s＝0.005s，周期为T＝4s。

伺服电机在该重复控制器，如式(35)作用下，系统实际位置输出信号、控制器以及跟踪误差如图29-31所示。系统跟踪误差在一个参考信号周期(T＝4s)之后收敛进入|e_k|≤0.13rad 的邻域内。由图31可见，系统跟踪误差稳态值(10s之后)均分布在±Δ_SSE之间。

C.控制器参数取为ρ＝0.5,ε＝0.9,δ＝0.9，采样周期T_s＝0.001s，周期为T＝0.8s。

伺服电机在该重复控制器，如式(35)作用下，系统实际位置输出信号、控制器以及跟踪误差如图23-25所示。系统跟踪误差在一个参考信号周期(T＝0.8s)之后收敛进入 |e_k|≤0.16rad的邻域内，由图25可见，系统跟踪误差稳态值(2s之后)均分布在±Δ_SSE之间。

D.控制器参数取为ρ＝0.5,ε＝0.9,δ＝0.9，采样周期T_s＝0.005s，周期为T＝4s。

伺服电机在该重复控制器，如式(35)作用下，系统实际位置输出信号、控制器以及跟踪误差如图32-34所示。系统跟踪误差在一个参考信号周期(T＝4s)之后收敛进入 |e_k|≤0.14rad的邻域内，由图34可见，系统跟踪误差稳态值(10s之后)均分布在±Δ_SSE之间。

E.控制器参数取为ρ＝0.4,ε＝0.9,δ＝0.9，采样周期T_s＝0.001s，周期为T＝0.8s。

伺服电机在该重复控制器，如式(35)作用下，系统实际位置输出信号、控制器以及跟踪误差如图26-28所示。系统跟踪误差在一个参考信号周期(T＝0.8s)之后收敛进入 |e_k|≤0.153rad的邻域内。由图28可见，系统跟踪误差稳态值(2s之后)均分布在±Δ_SSE之间。

F.控制器参数取为ρ＝0.4,ε＝0.9,δ＝0.9，采样周期T_s＝0.005s，周期为T＝4s。

伺服电机在该重复控制器，如式(35)作用下，系统实际位置输出信号、控制器以及跟踪误差如图35-37所示。系统跟踪误差在一个参考信号周期(T＝4s)之后收敛进入 |e_k|≤0.136rad的邻域内。由图37可见，系统跟踪误差稳态值(10s之后)均分布在±Δ_SSE之间。

上述实验结果表明，本发明提出的基于扩张状态观测器的抛物线重复控制器能够快速、有效地抑制系统在执行伺服跟踪任务时出现的周期干扰信号，也能有效地抑制第一周期的周期扰动。同时，实验验证了本专利系统跟踪误差的单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL及稳态误差带Δ_SSE的正确性。

Claims

1.一种采用扰动扩张补偿的电机位置离散重复控制方法，被控对象为周期伺服系统，其特征在于：包括以下步骤：

1)给定周期参考信号r_k，满足

r_k＝r_k-N (1)

其中，N为参考信号的周期，r_k,r_k-N分别表示k,k-N时刻的参考信号；

2)构造等效扰动

d_k＝w_k-w_k-N (2)

其中，N为参考信号的周期，d_k表示k时刻的等效扰动信号，w_k,w_k-N分别表示k,k-N时刻的干扰信号；

3)构造离散时间抛物线吸引律

e_k+1＝(1-ρ)e_k-ε·|e_k|^λfal_parabola(e_k,δ) (3)

式中

<mrow> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mi>&delta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msqrt> <mfrac> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mi>&delta;</mi> </mfrac> </msqrt> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>&le;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo><</mo> <mi>&delta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msqrt> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&delta;</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>&delta;</mi> <mo><</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

其中，

其中，e_k＝r_k-y_k e_k,e_k+1表示k,k+1时刻跟踪误差，y_k为k时刻系统输出；ρ表征吸引指数，ε表征ρ＝0时的等速吸引速度，ρ、ε均为可调参数，λ为幂次项指数，δ为抛物线函数系数，其取值范围满足ε＞0，0＜ρ＜1，δ＞0，

4)设计等效扰动扩张状态补偿

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，d表示延迟，A(q^-1)和B(q^-1)为q^-1的多项式，q^-1是一步延迟算子，u_k,u_k-N和y_k,y_k-N,y_k+1-N分别表示k,k-N,k+1-N时刻的输入和输出信号，r_k+1表示k+1时刻的参考信号；为k时刻对误差e_k的估计，β₁为关于误差的观测器增益系数，β₂为关于等效扰动的观测器增益系数,β₁和β₂可进行适当配置，只要满足的特征值都在单位圆内即可；为等效扰动d_k+1的补偿值；

5)将干扰抑制补偿措施嵌入吸引律(3)，构造如下理想误差动态

<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mi>&lambda;</mi> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，d_k+1为k+1时刻等效扰动；

6)依据理想误差动态(5)设计基于扩张状态观测器的重复控制器

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mi>&lambda;</mi> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中，

A′(q^-1)＝a₁+a₂q^-1+…+a_nq^-n+1＝q(A(q^-1)-1)

A(q^-1)＝1+a₁q^-1+…+a_nq^-n

B(q^-1)＝b₀+b₁q^-1+…+b_mq^-m

满足伺服对象

A(q^-1)y_k＝q^-dB(q^-1)u_k+w_k (7)

其中，w_k为k时刻的干扰信号；n为A(q^-1)的阶数，m为B(q^-1)的阶数；a₁,...,a_n,b₀,...,b_m为系统参数且b₀≠0,n≥m；

重复控制器(6)也可表达成

u_k＝u_k-N+v_k (8)

其中，

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mi>&lambda;</mi> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

2.如权利要求1所述的采用扰动扩张补偿的电机位置离散重复控制方法，其特征在于：所述重复控制器的可调整参数包括ρ，ε，δ，其取值范围满足ε＞0，0＜ρ＜1，δ＞0，定义等效扰动界Δ，即控制器参数整定可根据表征系统收敛性能的指标进行；这些指标是单调减区域Δ_MDR，绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE，具体定义如下：

单调减区域Δ_MDR

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo><</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo><</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>></mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo><</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo><</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

绝对吸引层Δ_AAL

<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>></mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> </mrow> </msub> <mo>&DoubleRightArrow;</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo><</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow>

稳态误差带Δ_SSE

<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>&le;</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>&DoubleRightArrow;</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>&le;</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> </mrow>

(1)单调减区域Δ_MDR

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (9)

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为实数，且满足

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mi>&lambda;</mi> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&rho;&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mi>&lambda;</mi> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mi>2</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

(2)绝对吸引层Δ_AAL

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (11)

式中，Δ_AAL1，Δ_AAL2为实数，由下式确定，

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mi>2</mi> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mi>&lambda;</mi> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&rho;&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mi>&lambda;</mi> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

(3)稳态误差带Δ_SSE

Δ_SSE＝max{Δ_SSE1,Δ_SSE2} (13)

式中，Δ_SSE1，Δ_SSE2为实数，可由下式确定，

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mi>&lambda;</mi> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mi>&lambda;</mi> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>&le;</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

取

(1)单调减区域(Δ_MDR)

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (9)

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为实数，且满足

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&rho;&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> <mi>2</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

i.当Δ_MDR≥δ时，

<mrow> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>{</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&PlusMinus;</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&PlusMinus;</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>&Delta;</mi> <mi>&rho;</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&rho;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

ii.当Δ_MDR＜δ时，

a.当Δ_MDR＜e_k＜δ时，

<mrow> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>{</mo> <mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <msqrt> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&delta;</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>&rho;</mi> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> <msqrt> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&delta;</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

b.当e_k＞δ时，

<mrow> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>{</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&PlusMinus;</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&PlusMinus;</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>&Delta;</mi> <mi>&rho;</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&rho;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

(2)绝对吸引层(Δ_AAL)

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (11)

式中，Δ_AAL1，Δ_AAL2为实数，可由下式确定，

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&rho;&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

i.当Δ_AAL≥δ时，

<mrow> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>{</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&PlusMinus;</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&PlusMinus;</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>&Delta;</mi> <mi>&rho;</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&rho;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

ii.当Δ_AAL＜δ时，

a.当Δ_AAL＜e_k＜δ时，

<mrow> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>{</mo> <mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <msqrt> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&delta;</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>&rho;</mi> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> <msqrt> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&delta;</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

b.当e_k＞δ时，

<mrow> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> <mi>L</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>{</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&PlusMinus;</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&PlusMinus;</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>&Delta;</mi> <mi>&rho;</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&rho;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

(3)稳态误差带(Δ_SSE)

Δ_SSE＝max{Δ_SSE1,Δ_SSE2} (13)

式中，Δ_SSE1，Δ_SSE2为实数，可由下式确定

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>&le;</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

i.当Δ_SSE≥δ时，

a.当δ≤e_k＜Δ_SSE时，

i)若时，

当时，

<mrow> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>{</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&PlusMinus;</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&delta;</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>&epsiv;&delta;</mi> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

当时，

<mrow> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&rho;</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>&epsiv;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>&epsiv;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>,</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>&epsiv;&delta;</mi> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&PlusMinus;</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>&Delta;</mi> <mi>&rho;</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&rho;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

ii)若时，

<mrow> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&rho;</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>&epsiv;&delta;</mi> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>&PlusMinus;</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>&epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>&Delta;</mi> <mi>&rho;</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&rho;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

b.当0≤e_k＜δ时，

i)若时，

<mrow> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>{</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&delta;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>&epsiv;&delta;</mi> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&delta;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>&epsiv;&delta;</mi> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

ii)若时，

<mrow> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>{</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&delta;</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>&epsiv;&delta;</mi> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

ii.当Δ_SSE＜δ时，

i)若时，

<mrow> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>{</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>,</mo> <mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>-</mo> <mi>&epsiv;</mi> <msqrt> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&delta;</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

ii)若时，

<mrow> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>{</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>,</mo> <mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>&rho;</mi> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> <msqrt> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&delta;</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

3.如权利要求1所述的采用扰动扩张补偿的电机位置离散重复控制方法，其特征在于：该控制器的可调整参数包括ρ,ε,δ；参数整定可依据表征收敛过程的指标进行。

4.如权利要求1或2所述的采用扰动扩张补偿的电机位置离散重复控制方法，其特征在于：当参考信号满足r_k＝r_k-1，该离散重复重复控制器也适用于常值调节问题，这时的等效扰动为d_k＝w_k-w_k-1；其中，r_k-1为k-1时刻参考信号，w_k-1为k-1时刻干扰信号；

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mi>&lambda;</mi> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>31</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式(31)也可表示成

u_k＝u_k-1+v_k (32)

其中

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mi>&lambda;</mi> </msup> <mi>f</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>_</mo> <mi>p</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>.</mo> </mrow>

5.如权利要求1所述的采用扰动扩张补偿的电机位置离散重复控制方法，其特征在于：表征跟踪误差最终能在有限步数内收敛到一个较小的界值内，此界值定义为Δ(1)，并在进入这个界值后，不再穿越该界值，此时收敛步数为m^*；定义初始误差为e₀，从初始误差收敛到边界δ的步数为m₁ ^*，误差从δ收敛到Δ(1)的步数为m₂ ^*。

i.当e₀≥δ时，收敛步数m^*为

<mrow> <msup> <mi>m</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>*</mo> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>log</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> </mrow> <mfrac> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>&rho;</mi> <mi>&delta;</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>&epsiv;&delta;</mi> <mi>&lambda;</mi> </msup> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&rho;e</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mi>&epsiv;&delta;</mi> <mi>&lambda;</mi> </msup> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>log</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> </mrow> <mfrac> <mrow> <mi>&epsiv;</mi> <msqrt> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&delta;</mi> </mfrac> </msqrt> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>&rho;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>&epsiv;&delta;</mi> <mrow> <mi>&lambda;</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>&lambda;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>&delta;</mi> <mi>&rho;</mi> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> <msqrt> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&delta;</mi> </mfrac> </msqrt> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>&rho;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>&epsiv;&delta;</mi> <mrow> <mi>&lambda;</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>&lambda;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> </mrow> </mfrac> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

ii.当Δ(1)≤e₀＜δ,时，收敛步数m^*为

<mrow> <msup> <mi>m</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>log</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&rho;</mi> </mrow> <mfrac> <mrow> <mi>&epsiv;</mi> <msqrt> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&delta;</mi> </mfrac> </msqrt> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>&rho;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>&epsiv;&delta;</mi> <mrow> <mi>&lambda;</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>&lambda;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>&rho;</mi> <mo>+</mo> <mi>&epsiv;</mi> <msqrt> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&delta;</mi> </mfrac> </msqrt> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mi>&rho;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>&epsiv;&delta;</mi> <mrow> <mi>&lambda;</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>&lambda;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> </mrow> </mfrac> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

iii.当e₀＜Δ(1)时，收敛步数为m^*＝0。

6.如权利要求1所述的采用扰动扩张补偿的电机位置离散重复控制方法，其特征在于：该控制器中的扩张状态观测器对于等效扰动进行观测估计，能有效地消除周期扰动，特别是第一周期的周期扰动也能很好地抑制，使得误差精度提高。