CN102207729A - 基于理想误差动态的半周期重复控制器 - Google Patents

Abstract

一种基于理想误差动态的半周期重复控制器，被控对象为伺服系统，给定具有半周期对称特性的参考信号，构造理想误差动态；依据理想误差动态方程，设计半周期重复控制器；将由控制器计算出的信号作为被控伺服对象的控制输入，使伺服系统跟随参考信号变化。本发明提供一种在减少内存占用量的同时、兼有良好的控制精度的基于理想误差动态的半周期重复控制器。

Description

基于理想误差动态的半周期重复控制器

技术领域

本发明涉及一种重复伺服系统的控制技术，尤其是一种半周期对称参考信号下的重复伺服系统。

背景技术

重复控制是一种适用于重复伺服系统的控制技术，这种控制技术通过对前一个周期控制经验的积累形成控制作用，解决周期性参考信号的跟踪或周期性扰动信号的抑制问题。现有的重复控制器设计方法大多是基于内模原理的频域方法。

依据内模原理，为了实现外部周期信号沿整个周期的完全跟踪/抑制，闭环系统内部需含同样信号的实现机制。纯时滞环节的正反馈可产生任意周期信号，信号的周期由滞后时间确定，含这种延迟内模的闭环系统是无穷维的，它在虚轴有无穷多个极点。重复控制的原始提法(输出控制方式)要求被控对象只能是真的，即系统相对阶为零。对于严格真系统，闭环系统不可能做到指数稳定。这样，欲实现受控系统跟踪任意的周期信号(跟踪任意高频成分)，对系统结构提出了非常强的要求。为了降低要求，可放弃对参考输入高频成分的跟踪，仅保证低频频段上的稳态误差要求。一种做法是在纯时滞环节前设置低通滤波器，截去剪切频率以上的高频成分，也可尝试在前向通道加入动态补偿器，以改善系统性能。

将连续时滞内模以一串后移算子代替，形成离散时滞内模变成了有限维的。判断一般离散重复控制系统的稳定性需求解Diophantine方程。通常，稳定的最小相位系统可采用零极对消的前馈补偿设计，稳定的非最小相位系统可采用零相位补偿。以零相位跟踪控制方法设计重复控制器，其稳定性容易判断，仅取决于重复控制器增益的选取。零相位补偿可对消不稳定零点引入的相移，但不能使得对消后增益为1。增益的不完全对消影响到高频分量的跟踪性能，需进一步采取措施消除其影响。前馈控制方法(PFF)以有限阶多项式内模抑制已知的外部信号，这种方法允许干扰周期可以不是采样周期的整数倍，甚至信号周期是未知的。梳状滤波器也可用作离散时滞内模，这样，滤波器相关设计技术可用于重复控制器。奇次谐波重复控制器有效利用信号的奇次谐波分量的对称特性，推导出信号产生器。采用这种产生器使得内存占用量减小了一半。更简单的情形是仅考虑正弦信号的跟踪/抑制，即构造正弦内模，这时只能跟踪/抑制单一谐波。对于一般周期参考信号，在已发表文献中，也有研究者考虑时滞内模的有限维近似。

周期延迟正反馈环节的具体实现方式主要分为两种(见图1所示)：

1)纯延迟环节位于前向通道；

2)纯延迟环节位于反馈通道。

假设外部激励信号与采样周期是同步的，外激励信号周期T是采样周期T_s的整数倍(T＝NT_s)，则前者的离散周期信号的内模为

$G_{\mathrm{IM}}=\frac{z^{-N}}{1-z^{-N}}$

后者对应的内模为

$G_{\mathrm{IM}}=\frac{z^N}{z^N-1}$

由上述内模设计出的控制器的内存需求直接取决于采样周期T_s。当采样周期T_s取得过小时，则每一个周期内的采样数目N会增加，从而导致内存占用量增多；当采样周期T_s取得过大时，采样点之间的波动会变大，从而导致系统控制精度下降。在工程实现时，降低重复控制器内存占用人们关注的主要问题之一。

发明内容

为了克服已有现有的重复控制器的无法兼顾内存占用量和控制精度的不足，本发明提供一种在减少内存占用量的同时、兼有良好的控制精度的基于理想误差动态的半周期重复控制器。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种基于理想误差动态的半周期重复控制器，被控对象为伺服系统，所述伺服系统的输入输出特性数学模型为：

y_k+1+a₁y_k+a₂y_k-1＝b₁u_k+b₂u_k-1+w_k

其中，y_k+1，y_k，y_k-1分别表示伺服系统k+1，k，k-1时刻的输出信号，u_k，u_k-1分别表示k，k-1时刻的输入信号，w_k表示k时刻的干扰信号，a₁，a₂，b₁，b₂为系统参数；

设定参考信号r_k，满足半周期对称特性：

P1.r_k＝±r_k-N/2

或

P2.r_k＝±r_k′

其中，k′＝k-2mod(k，N/2)，N是用于刻画周期对称性的参数，r_k-N/2，r_k′分别表示k-N/2，k′时刻的参考信号；

根据参考信号的半周期对称特性，构造等效扰动d_k，

对于P1，

d_k＝w_k mw_k-N/2

对于P2，

d_k＝w_kmw_k′，k′＝k-2mod(k，N/2)

其中，w_k-N/2，w_k′分别表示k-N/2，k′时刻的系统扰动信号；设定d_k＝w_k+w_k-N/2，

d_k＝(z_k+z_k-N/2)-b₁(u_k+u_k-N/2)-b₂(u_k-1+u_k-1-N/2)-(e_k+1+e_k+1-N/2)

其中，令变量z_k＝r_k+1+a₁y_k+a₂y_k-1，z_k-N/2表示其在k-N/2时刻的取值，r_k+1表示k+1时刻的参考信号；u_k-N/2，u_k-1-N/2分别表示k-N/2，k-1-N/2时刻的输入信号；取跟踪误差e_k＝r_k-y_k，而e_k+1，e_k+1-N/2分别表示k+1，k+1-N/2时刻的误差信号；

构造理想误差动态：

$e_{k+1}=(1-\mathrm{\ρ})e_k-\mathrm{\ϵsat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right)+d_k^{*}-d_k$

其中，

用于补偿等效扰动d_k，

可取扰动d_k的平均值或者扰动d_k在上一时刻值d_k-1；参数ρ，ε，δ分别表示趋近速度指数、到达速度、饱和函数边界，其取值范围分别为ε，δ＞0，0＜ρ＜1，

依据理想误差动态，重复控制器的表达式为：

$u_k=-u_{k-N/2}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}+u_{k-1-N/2})+\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\ρ})e_k+\mathrm{\ϵsat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right)-d_k^{*}$

$+(z_k+z_{k-N/2})-e_{k+1-N/2}]$

取 ${\stackrel{\‾}{u}}_k=u_k+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1},$ $v_k=\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\ρ})e_k+\mathrm{\ϵsat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right)-d_k^{*}+(z_k+z_{k-N/2})-e_{k+1-N/2}],$ 故重复控制器u_k也可表示成半周期重复控制形式：

${\stackrel{\‾}{u}}_k=-{\stackrel{\‾}{u}}_{k-N/2}+v_k$

其中，

表示

在k-N/2时刻的取值，即 ${\stackrel{\‾}{u}}_{k-N/2}=u_{k-N/2}+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1-N/2};$

将重复控制器u_k作为被控伺服对象的控制输入信号，从而使得伺服系统输出y_k跟随参考信号r_k变化。

进一步，所述半周期重复控制器的参数包括趋近速度指数ρ、到达速度ε和饱和函数边界δ，根据表征系统收敛性能的指标进行参数整定，表征跟踪误差收敛过程的指标包括绝对收敛层边界Δ_AL、单调收敛层边界Δ_MR和稳态误差带边界Δ_SS；

1)绝对收敛层边界Δ_AL，其表达式为：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}}& \mathrm{\&epsiv;}\&GreaterEqual;\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}& \mathrm{\&epsiv;}<\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\end{array}\right.$

其中，Δ为扰动d_k的界值；

2)单调收敛层边界Δ_MR，其表达式为：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\mathrm{\&Delta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}& \max \{\mathrm{\&delta;}(1-\mathrm{\&rho;})-\mathrm{\&Delta;},\mathrm{\&Delta;}(1-2\mathrm{\&rho;})\}\&le;\mathrm{\&epsiv;}<\mathrm{\&delta;}(1-\mathrm{\&rho;})\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}}{1-\mathrm{\&rho;}-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}}& (\frac{1}{2}-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}\&le;\mathrm{\&epsiv;}<\mathrm{\&delta;}(1-\mathrm{\&rho;})-\mathrm{\&Delta;}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}}& \mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\&le;\mathrm{\&epsiv;}<(\frac{1}{2}-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}& 0<\mathrm{\&epsiv;}<\min \{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;},\mathrm{\&Delta;}(1-2\mathrm{\&rho;})\}\end{array}\right.$

3)稳态误差带边界Δ_SS，其表达式为：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}}& \mathrm{\&epsiv;}\&GreaterEqual;\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}& \mathrm{\&epsiv;}<\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\end{array}\right..$

本发明的技术构思为：本发明针对半周期对称参考信号下的伺服系统，利用信号的周期对称特点设计半周期重复控制器。控制器的设计方法是基于理想误差动态进行的，是一种时域设计方法。时域设计方法在设计重复控制器时具有独到的地方，这主要是因为信号对称特性表现在时域中。本项目考虑的信号半周期对称特性，比信号的奇次谐波的半周期对称性质更为一般。另外，在进一步减少内存占用量的同时，容易结合现有的时域设计的干扰抑制技术。

针对参考信号满足半周期对称特性的伺服系统，本发明提供了一种基于理想误差动态的半周期重复控制器的时域设计方法，不仅实现了对周期性外激励信号的完全跟踪或抑制，而且降低了内存占用量。具体体现在，周期重复控制器需要用到前一个周期的控制信号，而半周期重复控制只需要用到前半个周期的控制信息，将控制器的内存占用降低了一半。本发明提出的重复控制器适用于更为一般的半周期对称参考信号。给出的设计方法不同于目前普遍采用的频域设计方法，而是直接在时域内设计；现有的干扰观测器技术大多也是时域设计的，容易与本项目提出的时域设计的重复控制器相结合。

本发明的有益效果主要表现在：在减少内存占用量的同时、兼有良好的控制精度。

附图说明

图1是离散整周期重复控制系统的内模方框图；

图2是半周期对称信号示意图：图2a是满足特性r_k＝r_k-N/2的信号示意图，图2b是满足特性r_k＝-r_k-N/2的信号示意图，图2c是满足特性r_k＝r_k′的信号示意图，图2d是满足特性r_k＝-r_k′的信号示意图；

图3是离散半周期重复控制器u_k的方框图：图3a是适用于参考轨迹满足r_k＝r_k-N/2的控制器框图，图3b是适用于参考轨迹满足r_k＝-r_k-N/2的控制器框图，图3c是适用于参考轨迹满足r_k＝r_k′的控制器框图，图3d是适用于参考轨迹满足r_k＝-r_k′的控制器框图；

图4是与图3中四种离散半周期重复控制器u_k对应的内模方框图：图4a是参考轨迹满足r_k＝±r_k-N/2的内模方框图，图4b是参考轨迹满足r_k＝±r_k′的内模方框图；

图5是永磁同步直线电机控制系统方框图。

图6是永磁同步直线电机控制系统扰动w_k的示意图。

图7是永磁同步直线电机控制系统等效扰动d_k的示意图。

图8是当Δ＜δ≤2Δ，0＜ε＜(1-2ρ)Δ时，边界层Δ_AL，Δ_MR，Δ_SS示意图。

图9是当Δ＜δ≤2Δ，(1-2ρ)Δ≤ε＜Δ-ρδ时，边界层Δ_AL，Δ_MR，Δ_SS示意图。

图10是当Δ＜δ≤2Δ，Δ-ρδ≤ε＜δ(1-ρ)时，边界层Δ_AL，Δ_MR，Δ_SS示意图。

图11是永磁同步直线电机控制系统实验：扰动w_k的示意图。

图12是永磁同步直线电机控制系统实验：等效扰动d_k及其直方图。

图13是永磁同步直线电机控制系统实验：跟踪误差e_k及其直方图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图2～图13，一种基于理想误差动态的半周期重复控制器，为了表述简洁起见(实际系统的动态特性多可近似为二阶系统)，本发明针对二阶离散动态系统设计半周期重复控制器。考虑二阶离散动态系统的差分方程模型

y_k+1+a₁y_k+a₂y_k-1＝b₁u_k+b₂u_k-1+w_k      (1)

其中，y_k+1，y_k，y_k-1分别表示k+1，k，k-1时刻的系统输出信号；u_k，u_k-1分别为k，k-1时刻的系统输入信号；w_k为k时刻的系统扰动信号(包括参数摄动、外部干扰等因素引起的建模误差)，a₁，a₂，b₁，b₂为系统相关参数。

所述伺服系统，其参考信号r_k满足半周期对称特性，满足如下关系

r_k＝±r_k-N/2或r_k＝±r_k′，k′＝k-2mod(k，N/2)  (2)

其中，N是用于刻画周期对称性的参数，r_k，r_k-N/2，r_k′分别表示k，k-N/2，k′时刻的参考信号。

由上式可以看出，具有半周期对称特性的信号的具体形式有四种(见图2)。

记跟踪误差e_k＝r_k-y_k，那么，

e_k+1＝r_k+1-y_k+1

(3)

＝r_k+1+a₁y_k+a₂y_k-1-b₁u_k-b₂u_k-1-w_k

其中，r_k+1，e_k+1分别表示k+1时刻的参考信号、误差信号。

记z_k＝r_k+1+a₁y_k+a₂y_k-1，式(3)可进一步表达成

e_k+1＝z_k-b₁u_k-b₂u_k-1-w_k    (4)

由式(4)可解得w_k，

w_k＝z_k-b₁u_k-b₂u_k-1-e_k+1    (5)

整周期重复控制器的设计是单一的，只需要已知参考信号的周期。由图2可以看出，描述具有半周期对称特性的参考信号，不仅需要已知周期参数，还需要了解半周期对称的形式。半周期对称特性的形式，相应的重复控制器设计过程及给出的控制器表达是也有所不同。首先以图2(b)所示的半周期对象特性为例来具体说明重复控制器的设计过程。

由图2(b)可知，参考信号项r_k满足如下半周期特性：

r_k＝-r_k-N/2       (6)

将式(5)向左平移N/2步后，可得k-N/2时刻的扰动信号w_k-N/2，

w_k-N/2＝z_k-N/2-b₁u_k-N/2-b₂u_k-1-N/2-e_k+1-N/2   (7)

结合式(5)和式(7)，

w_k+w_k-N/2＝(z_k+z_k-N/2)-b₁(u_k+u_k-N/2)-b₂(u_k-1+u_k-1-N/2)-(e_k+1+e_k+1-N/2) (8)记等效扰动d_k＝w_k+w_k-N/2，那么，

d_k＝(z_k+z_k-N/2)-b₁(u_k+u_k-N/2)-b₂(u_k-1+u_k-1-N/2)-(e_k+1+e_k+1-N/2)        (9)

若扰动项w_k像r_k一样，严格满足半周期对称特性(6)，则等效扰动d_k＝0，但扰动项w_k一般不会严格满足该对称条件。通常的情况是，扰动项w_k的主要部分呈半周期对称特性，也包含非对称部分，因此d_k≠0。取变量d_u、d_l为扰动d_k的上、下界，d_k满足不等式

d_l≤d_k≤k_u    (10)

记 $\stackrel{\&OverBar;}{d}=\frac{d_u+d_l}{2},$ $\mathrm{\&Delta;}=\frac{d_u-d_l}{2},$ 那么，

$|d_k-\stackrel{\&OverBar;}{d}|\&le;\mathrm{\&Delta;}---\left(11\right)$

跟踪控制的目标是在有限时间内，使系统的跟踪误差e_k收敛到源点的一个邻域，并保证e_k不再离开这个邻域。为了达到这一控制目标，考虑到扰动d_k对跟踪误差e_k的影响，我们依据预先形成的误差动态特性设计控制器。构造如下误差动态方程(下文中，我们称之为理想误差动态)：

$e_{k+1}=(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;sat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)+d_k^{*}-d_k---\left(12\right)$

式中，

为等效扰动d_k的补偿值；ρ，ε，δ分别表示趋近速度指数、到达速度、饱和函数边界；其取值范围分别为：ε，δ＞0，0＜ρ＜1，sat(·)为饱和函数，具体数学性质如下

$\mathrm{sat}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}\left(x\right)& \left|x\right|>1\\ x& \left|x\right|\&le;1\end{array}\right.$

当e_k的绝对值|e_k|在饱和函数边界δ之外时，饱和函数

即为符号函数sgn(e_k)；当e_k的绝对值|e_k|在饱和函数边界层δ之内或之上时，饱和函数变成

式(12)表示适用sgn(e_k)的连续化措施，解决了因符号函数sgn(e_k)在e_k零值处取值不连续所导致的颤振问题。

将式(9)代入式(12)可得，

$e_{k+1}=(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;sat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)+d_k^{*}-(z_k+z_{k-N/2})+b_1(u_k+u_{k-N/2})---\left(13\right)$

$+b_2(u_{k-1}+u_{k-1-N/2})+(e_{k+1}+e_{k+1-N/2})$

化简后可得u_k，

$u_k=-u_{k-N/2}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}+u_{k-1-N/2})+\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;sat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)-d_k^{*}---\left(14\right)$

$+(z_k+z_{k-N/2})-e_{k+1-N/2}]$

记输入信号 ${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=u_k+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1},$ $v_k=\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;sat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)-d_k^{*}+(z_k+z_{k-N/2})-e_{k+1-N/2}],$

上式可写成

${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=-{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{k-N/2}+v_k$

v_k表示输入信号

的修正量。

重复式(6)-(14)所描述的步骤，可以获得与其它半周期对称情形(r_k＝r_k-N/2或r_k＝±r_k′，k′＝k-2mod(k，N/2))对应的重复控制器(15)-(17)。

1)参考信号r_k满足r_k＝r_k-N/2(见图2(a))，此时，记扰动d_k＝w_k-w_k-N/2。在误差动态方程下，可推导出离散重复控制器u_k

$u_k=u_{k-N/2}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}-u_{k-1-N/2})+\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;sat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)-d_k^{*}---\left(15\right)$

$+(z_k-z_{k-N/2})+e_{k+1-N/2}]$

记 ${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=u_k+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1},$ $v_k^{\&prime;}=\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;sat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)-d_k^{*}+(z_k-z_{k-N/2})+e_{k+1-N/2}],$ 式(15)也可表达为

${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k={\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{k-N/2}+v_k^{\&prime;}$

2)参考信号r_k满足r_k＝r_k′，k′＝k-2mod(k，N/2)(见图2(c))，此时，等效扰动d_k＝w_k-w_k′，离散重复控制器u_k为

$u_k=u_{k^{\&prime;}}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}-u_{k^{\&prime;}-1})+\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;sat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)-d_k^{*}---\left(16\right)$

$+(z_k-z_{k^{\&prime;}})+e_{k^{\&prime;}+1}]$

记 ${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=u_k+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1},$ $v_k^{\&prime;\&prime;}=\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;sat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)-d_k^{*}+(z_k-z_{k^{\&prime;}})+e_{k^{\&prime;}+1}],$ 式(16)也可表达为

${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k={\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{k^{\&prime;}}+v_k^{\&prime;\&prime;}$

3)参考信号r_k满足r_k＝-r_k′，k′＝k-2mod(k，N/2)(见图2(d))，此时，扰动d_k＝w_k+w_k′，离散重复控制器u_k为

$u_k=-u_{k^{\&prime;}}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}+u_{k^{\&prime;}-1})+\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;sat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)-d_k^{*}---\left(17\right)$

$+(z_k+z_{k^{\&prime;}})-e_{k^{\&prime;}+1}]$

记 ${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=u_k+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1},$ $v_k^{\&prime;\&prime;\&prime;}=\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;sat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)-d_k^{*}+(z_k+z_{k^{\&prime;}})-e_{k^{\&prime;}+1}],$

式(17)也可表示为

${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=-{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{k^{\&prime;}}+v_k^{\&prime;\&prime;\&prime;}$

对于上述重复控制器设计，我们做以下说明：

(1)理想误差动态中引入的d_k反映了对于具有给定周期模式的扰动信号的抑制措施，

为d_k的补偿值，用于补偿非周期扰动信号。通常可选取为

或

(2)式(14)-(17)中，e_k，e_k+1-N/2，e_k′+1，z_k，z_k-N/2，z_k′可通过量测获得；u_k-1，u_k-N/2，u_k-1-N/2，u_k′，u_k′-1为控制信号的存储值，可从内存中取得。

(3)图2(a)所示的情形实际上满足周期特性，周期为N/2。

(4)当取N＝2时，半周期特性r_k＝r_k-N/2转变为r_k＝r_k-1。因此，本发明专利中提出的重复控制器(15)也适用于常值调节问题，这时等效扰动d_k＝w_k-w_k-1。

(5)上述重复控制器设计虽是针对二阶系统(1)给出的，但按照同样的方法容易给出高阶系统的设计结果。

在系统的重复控制器(14)-(17)设计完成之后，需要整定其中的控制器参数，包括：趋近速度指数ρ，到达速度ε，饱和函数边界δ。参数整定工作可根据表征系统收敛性能的指标进行。表征跟踪误差收敛过程的指标有三：绝对收敛层边界Δ_AL、单调收敛层边界Δ_MR和稳态误差带边界Δ_SS，具体定义如下：

1)绝对收敛层边界Δ_AL：当|e_k|＞Δ_AL时，|e_k+1|≤|e_k|；

2)单调收敛层边界Δ_MR：当|e_k|＞Δ_MR时，0＜e_k+1≤e_k或e_k≤e_k+1＜0；

3)稳态误差带边界Δ_SS：当|e_k|≤Δ_SS时，|e_k+1|≤Δ_SS。

对于在重复控制器(14)-(17)作用下导致的理想误差动态(12)(见图3)，我们给出系统(1)的绝对收敛层边界Δ_AL、单调收敛层边界Δ_MR及稳态误差带边界Δ_SS：

1)绝对收敛层边界Δ_AL

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}}& \mathrm{\&epsiv;}\&GreaterEqual;\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}& \mathrm{\&epsiv;}<\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\end{array}\right.---\left(18\right)$

2)单调收敛层边界Δ_MR

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\mathrm{\&Delta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}& \max \{\mathrm{\&delta;}(1-\mathrm{\&rho;})-\mathrm{\&Delta;},\mathrm{\&Delta;}(1-2\mathrm{\&rho;})\}\&le;\mathrm{\&epsiv;}<\mathrm{\&delta;}(1-\mathrm{\&rho;})\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}}{1-\mathrm{\&rho;}-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}}& (\frac{1}{2}-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}\&le;\mathrm{\&epsiv;}<\mathrm{\&delta;}(1-\mathrm{\&rho;})-\mathrm{\&Delta;}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}}& \mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\&le;\mathrm{\&epsiv;}<(\frac{1}{2}-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}& 0<\mathrm{\&epsiv;}<\min \{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;},\mathrm{\&Delta;}(1-2\mathrm{\&rho;})\}\end{array}\right.---\left(19\right)$

3)稳态误差带边界Δ_SS

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}}& \mathrm{\&epsiv;}\&GreaterEqual;\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}& \mathrm{\&epsiv;}<\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\end{array}\right.---\left(20\right)$

为了方便控制器参数整定，根据ρ，ε，δ与扰动d_k的界值Δ之间的关系，我们给出绝对收敛层边界Δ_AL、单调收敛层边界Δ_MR及稳态误差带边界Δ_SS三者之间的关系：

(1)当δ＞2Δ时，

(1.a)若0＜ε＜Δ-ρδ，则：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}=\frac{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}$

(1.b)若 $\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\&le;\mathrm{\&epsiv;}<(\frac{1}{2}-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;},$ 则：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}=\frac{\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}}$

(1.c)若 $(\frac{1}{2}-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}\&le;\mathrm{\&epsiv;}<\mathrm{\&delta;}(1-\mathrm{\&rho;})-\mathrm{\&Delta;},$ 则：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}=\frac{\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}},$ ${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}}=\frac{\mathrm{\&Delta;}}{1-\mathrm{\&rho;}-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}}({\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}})$

(1.d)若δ(1-ρ)-Δ≤ε＜δ(1-ρ)，则：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}=\frac{\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}},$ ${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}}=\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\mathrm{\&Delta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}({\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}})$

(2)当Δ＜δ≤2Δ时，

(2.a)若0＜ε＜(1-2ρ)Δ，则：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}=\frac{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}$

(2.b)若(1-2ρ)Δ≤ε＜Δ-ρδ，则：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}=\frac{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}},$ ${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}}=\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\mathrm{\&Delta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}({\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}})$

(2.c)若Δ-ρδ≤ε＜δ(1-ρ)，则：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}=\frac{\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}},$ ${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}}=\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\mathrm{\&Delta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}({\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}})$

(3)当δ≤Δ时，

(3.a)若0＜ε＜(1-2ρ)Δ，则：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}=\frac{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}$

(3.b)若(1-2ρ)Δ≤ε＜δ(1-ρ)，则：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}=\frac{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}},$ ${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}}=\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\mathrm{\&Delta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}({\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}={\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}<{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}})$

本实施例中，直线电机执行重复跟踪任务，其位置给定信号(参考信号)具有半周期特性。该伺服系统进入稳态后，其动态特性中的不确定性扰动将表现出明显的半周期特性。具体属于四类半周期特性(见图2)的哪一种，取决于设定好的位置参考信号。本实施例设计的离散重复控制器作为直线电机三环控制系统中的位置环控制器，而电流环与速度环采用PI控制算法，其控制器参数事先已完成整定(见图5)。

为设计半周期重复控制器，本实施例中的位置给定信号选取正弦信号，此时信号具有半周期对称特性r_k＝-r_k-N/2(见图2(b))。

1)以实验建模法获得伺服对象的数学模型

在设计位置环控制器之前，需要获得直线电机三环伺服系统中除位置环以外部分(伺服对象)的数学模型，包括速度环、电流环、逆变驱动器及直线电机本体(见图5)。采样周期T_s取为0.01s。利用最小二乘算法得到伺服对象的数学模型为

y_k+1-0.8699y_k-0.1301y_k-1＝0.5099u_k+0.1952u_k-1+w_k    (21)式中，y_k为直线电机动子的位移，u_k为控制信号(速度环的速度给定信号)，w_k为扰动信号。

2)设计直线电机伺服系统的半周期重复控制器

依照位置给定信号的半周期对称特性，半周期重复控制器u_k可由式(14)给出，具体地，

$u_k=-u_{k-N/2}-0.3828(u_{k-1}+u_{k-1-N/2})+1.9612[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;sat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)-\stackrel{\&OverBar;}{d}$

$+r_{k+1}+r_{k-N/2+1}-0.8699(y_k+y_{k-N/2})-0.1301(y_{k-1}+y_{k-N/2-1})-e_{k-N/2+1}]---\left(22\right)$

本实施例中，分别通过数值仿真和电机实验来说明本发明专利的准确性与实际效果。

(1)数值仿真

直线电机的位置给定信号设为r_k＝20sin(2kπ/400)，单位为毫米。采样周期T_s＝0.01s，周期N＝400。

控制器参数ρ，ε，δ选取不同的值时，在重复控制器(22)作用下，系统(21)的绝对收敛层边界Δ_AL、单调收敛层边界Δ_MR与稳态误差带边界Δ_SS将呈现出不同的情况，如图8、9、10所示。图8-图10分别表示当Δ＜δ≤2Δ时三种不同情况的绝对收敛层边界Δ_AL、单调收敛层边界Δ_MR及稳态误差带边界Δ_SS。

a.如图8所示，控制器参数ρ＝0.4，ε＝0.19，δ＝1.5，满足情况2(a)。

此时，Δ_SS＝Δ_AL＝Δ_MR＝(Δ-ε)/ρ＝2.025。

b.如图9所示，控制器参数ρ＝0.4，ε＝0.3，δ＝1.5，满足情况2(b)。

此时，Δ_SS＝Δ_AL＝(Δ-ε)/ρ＝1.75，Δ_MR＝(ε+Δ)/(1-ρ)＝2.1667。

c.如图10所示，控制器参数ρ＝0.4，ε＝0.41，δ＝1.5，满足情况2(c)。

此时，Δ_AL＝Δ_SS＝Δ/(ρ+ε/δ)＝1.4851，Δ_MR＝(ε+Δ)/(1-ρ)＝2.35。

数值仿真结果验证了本专利关于系统的绝对收敛层边界Δ_AL、单调收敛层边界Δ_MR及稳态误差带边界Δ_SS。

(2)实验结果

选取位置给定信号r_k＝Asin(2πfkT_s)。其中，幅值A＝20mm，频率f＝0.25Hz，采样周期T_s＝0.01s。

如图11所示，系统的扰动w_k呈半周期对称特性w_k＝-w_k-N/2，图中的尖毛刺是由于直线电机在启动及换向阶段快速启动时平台振动所导致(应予去除)。

如图12所示，等效扰动d_k已不具有扰动w_k所含有的半周期对称特性，且扰动d_k的上界d_u＝0.012，下界d_l＝-0.042，均值

界值Δ＝0.027。

控制器参数的整定可依据对绝对收敛层边界、单调收敛层边界以及稳态误差带边界的要求进行。选取ρ＝0.3，ε＝0.48，δ＝0.8，即δ＞2Δ，(0.5-ρ)δ≤ε＜δ(1-ρ)-Δ，属于情况(1.c)。此时，绝对收敛层边界Δ_AL与稳态误差带边界Δ_SS均为Δ/(ρ+ε/δ)＝0.03，单调收敛层边界Δ_MR为Δ/(1-ρ-ε/δ)＝0.27

由图13可知，跟踪误差e_k在经过半个位置给定信号周期(T＝4s)之后收敛进入|e_k|≤20μm的邻域内，且周期性扰动得到有效抑制。

实验结果表明，本发明专利提出的半周期重复控制器不仅能够大幅度节省内存占用，而且能够有效抑制直线电机在执行重复伺服任务时出现的半周期对称干扰信号，从而显著提高控制性能。

Claims (2)

1.一种基于理想误差动态的半周期重复控制器，其特征在于：被控对象为伺服系统，所述伺服系统的输入输出特性数学模型为：

y_k+1+a₁y_k+a₂y_k-1＝b₁u_k+b₂u_k-1+w_k

其中，y_k+1，y_k，y_k-1分别表示伺服系统k+1，k，k-1时刻的输出信号，u_k，u_k-1分别表示k，k-1时刻的输入信号，w_k表示k时刻的干扰信号，a₁，a₂，b₁，b₂为系统参数；

设定参考信号r_k，满足半周期对称特性：

P1.r_k＝±r_k-N/2

或

P2.r_k＝±r_k′

其中，k′＝k-2mod(k，N/2)，N是用于刻画周期对称性的参数，r_k-N/2，r_k′分别表示k-N/2，k′时刻的参考信号；

根据参考信号的半周期对称特性，构造等效扰动d_k，

对于P1，

d_k＝w_k mw_k-N/2

对于P2，

d_k＝w_k mw_k′，k′＝k-2mod(k，N/2)

其中，w_k-N/2，w_k′分别表示k-N/2，k′时刻的系统扰动信号；设定d_k＝w_k+w_k-N/2，

d_k＝(z_k+z_k-N/2)-b₁(u_k+u_k-N/2)-b₂(u_k-1+u_k-1-N/2)-(e_k+1+e_k+1-N/2)

其中，令变量z_k＝r_k+1+a₁y_k+a₂y_k-1，zk-N/2表示其在k-N/2时刻的取值，r_k+1表示k+1时刻的参考信号；u_k-N/2，u_k-1-N/2分别表示k-N/2，k-1-N/2时刻的输入信号；取跟踪误差e_k＝r_k-y_k，而e_k+1，e_k+1-N/2分别表示k+1，k+1-N/2时刻的误差信号；

构造理想误差动态：

$e_{k+1}=(1-\mathrm{\&rho;})e_k-\mathrm{\&epsiv;sat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)+d_k^{*}-d_k$

其中，

用于补偿等效扰动d_k，

可取扰动d_k的平均值或者扰动d_k在上一时刻值d_k-1；参数ρ，ε，δ分别表示趋近速度指数、到达速度、饱和函数边界，其取值范围分别为ε，δ＞0，0＜ρ＜1，

依据理想误差动态，重复控制器的表达式为：

$u_k=-u_{k-N/2}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}+u_{k-1-N/2})+\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;sat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)-d_k^{*}$

$+(z_k+z_{k-N/2})-e_{k+1-N/2}]$

取 ${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=u_k+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1},$ $v_k=\frac{1}{b_1}[-(1-\mathrm{\&rho;})e_k+\mathrm{\&epsiv;sat}\left(\frac{e_k}{\mathrm{\&delta;}}\right)-d_k^{*}+(z_k+z_{k-N/2})-e_{k+1-N/2}],$ 故重复控制器u_k也可表示成半周期重复控制形式：

${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k=-{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{k-N/2}+v_k$

其中，

表示

在k-N/2时刻的取值，即 ${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{k-N/2}=u_{k-N/2}+\frac{b_2}{b_1}{u}_{k-1-N/2};$

将重复控制器u_k作为被控伺服对象的控制输入信号，从而使得伺服系统输出y_k跟随参考信号r_k变化。

2.如权利要求1所述的基于理想误差动态的半周期重复控制器，其特征在于：所述半周期重复控制器的参数包括趋近速度指数ρ、到达速度ε和饱和函数边界δ，根据表征系统收敛性能的指标进行参数整定，表征跟踪误差收敛过程的指标包括绝对收敛层边界Δ_AL、单调收敛层边界Δ_MR和稳态误差带边界Δ_SS；

1)绝对收敛层边界Δ_AL，其表达式为：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{AL}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}}& \mathrm{\&epsiv;}\&GreaterEqual;\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}& \mathrm{\&epsiv;}<\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\end{array}\right.$

其中，Δ为扰动d_k的界值；

2)单调收敛层边界Δ_MR，其表达式为：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{MR}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\&epsiv;}+\mathrm{\&Delta;}}{1-\mathrm{\&rho;}}& \max \{\mathrm{\&delta;}(1-\mathrm{\&rho;})-\mathrm{\&Delta;},\mathrm{\&Delta;}(1-2\mathrm{\&rho;})\}\&le;\mathrm{\&epsiv;}<\mathrm{\&delta;}(1-\mathrm{\&rho;})\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}}{1-\mathrm{\&rho;}-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}}& (\frac{1}{2}-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}\&le;\mathrm{\&epsiv;}<\mathrm{\&delta;}(1-\mathrm{\&rho;})-\mathrm{\&Delta;}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}}& \mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\&le;\mathrm{\&epsiv;}<(\frac{1}{2}-\mathrm{\&rho;})\mathrm{\&delta;}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}& 0<\mathrm{\&epsiv;}<\min \{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;},\mathrm{\&Delta;}(1-2\mathrm{\&rho;})\}\end{array}\right.$

3)稳态误差带边界Δ_SS，其表达式为：

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{SS}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\&Delta;}}{\mathrm{\&rho;}+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&delta;}}}& \mathrm{\&epsiv;}\&GreaterEqual;\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&rho;}}& \mathrm{\&epsiv;}<\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&rho;\&delta;}\end{array}\right..$

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