CN107544244B - 基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的用于电机伺服系统的离散重复控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的用于电机伺服系统的离散重复控制方法，给定环节产生周期对称的参考信号；构造周期反馈环节；依据离散时间椭圆吸引律,该吸引律引入等效扰动补偿，其补偿量由扰动扩张观测器给出，构造e/v信号转换模块，其输出信号用于重复控制器的修正量；继而计算出重复控制器的输出信号作为被控对象的控制信号输入。给出了控制器参数的取值对系统跟踪误差收敛过程的影响。具体的控制器参数整定可依据表征系统收敛性能指标进行，且提供了表征跟踪误差收敛过程的单调减区域、绝对吸引层和稳态误差带边界的计算方法。本发明具有快速收敛性能、加速干扰抑制和高控制精度。

Description

基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的用于电机伺服系 统的离散重复控制方法

技术领域

本发明属于重复控制技术领域，尤其是一种用于精确电机伺服控制重复控制方法，也适用于工业场合中的周期运行过程。

背景技术

重复控制器具有“记忆”和“学习”特性，可实现周期参考信号轨迹跟踪/周期干扰有效抑制。其存储前一周期控制信号，以此时跟踪误差信号修正前一周期的控制输入，形成当前的控制输入。重复控制技术已成功应用于伺服电机精确控制、电力电子控制技术以及电能质量控制等。

重复控制是基于内模原理的一种控制方法。内模原理的本质是将系统外部信号动态模型(即为内模)植入控制系统内，以此构成高精度的反馈控制系统，使系统能够无静差地跟随输入信号。重复控制器构造周期信号内模

其中T为给定信号的周期。它是一个含周期时延(e^-Ts)的正反馈环节。不考虑输入信号的具体形式，只要给定初始段信号，内模输出就会对输入信号逐周期累加，重复输出与上周期相同的信号。采用连续内模的重复控制器设计多是频域设计，而离散重复控制器的常规设计也是在频域内进行的。相对频域方法，时域设计方法直观、简便，易于直接刻画系统响应的跟踪性能，且可结合现有干扰观测与抑制手段，把能够影响被控输出的扰动作用扩张成新的状态量，用特殊的反馈机制建立能够被扩张观测的状态，从而建立扰动扩张观测器为电机伺服控制系统设计提供了新的途径。

发明内容

本发明提出一种适用于电机伺服系统的离散重复控制器。为使得闭环系统具有预先设定的期望误差跟踪性能，提出一种新颖的吸引律——椭圆吸引律，并依据此吸引律，利用以跟踪误差作为扩张状态的扩张状态观测器构造理想误差动态方程并设计电机伺服重复控制器。在实现对周期干扰成分的完全抑制的同时，设计的重复控制器使得电机伺服系统实现高精度跟踪。又考虑到扰动存在非周期成分，在闭环系统中引入干扰补偿作用，以提高控制性能。相比于传统的重复控制，通过引入以跟踪误差作为扩张状态的扩张状态观测器，明显减少第一周期的跟踪误差，使电机伺服系统实现快速跟踪。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案是：

一种基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的用于电机伺服系统的离散重复控制方法，包括以下步骤：

1)给定周期参考信号r_k，满足

r_k＝±r_k-N (1)

其中，N为参考信号的周期，r_k,r_k-N分别表示k,k-N时刻的参考信号。

2)构造等效扰动

其中，N为参考信号的周期，d_k表示k时刻的等效扰动信号，w_k,w_k-N分别表示k,k-N时刻的干扰信号。

3)构造离散时间椭圆吸引律

e_k+1＝(1-ρ)e_k-ε|e_k|^λfal_ellipse(e_k,δ) (3)

式中，

其中，e_k＝r_k-y_k表示k时刻跟踪误差，y_k为k时刻系统输出；ρ、ε为表达吸引速度的两个常数，λ为幂次指数，满足

δ为fal_ellipse(e_k,δ)分段函数分段边界系数；其取值范围分别为：ε＞0，0＜ρ＜1，δ＞0且

4)设计重复控制器

由跟踪误差定义知

式中，

A′(q^-1)＝a₁+a₂q^-1+…+a_nq^-n+1＝q(A(q^-1)-1)

A(q^-1)＝1+a₁q^-1+…+a_nq^-n

B(q^-1)＝b₀+b₁q^-1+…+b_mq^-m

满足

A(q^-1)y_k＝q^-dB(q^-1)u_k+w_k (5)

其中，d表示延迟，u_k和y_k分别表示k时刻的输入和输出信号，w_k为k时刻的干扰信号；A(q^-1)和B(q^-1)为q^-1的多项式，q^-1是一步延迟算子，n为A(q^-1)的阶数，m为B(q^-1)的阶数；a₁,...,a_n,b₀,...,b_m为系统参数且b₀≠0,n≥m；d为整数，且d≥1。

由式(4)得：

将(4)式代入吸引律(3)，可得重复控制器具有如下形式：

记

可将重复控制器表达为

u_k＝±u_k-N+v_k (8)

将u_k作为伺服对象的k时刻控制输入信号，可量测获得伺服系统k时刻输出信号y_k，跟随参考信号r_k变化。将式(7)代入式(4)，可以得到下述具有干扰抑制项的误差动态方程：

e_k+1＝(1-ρ)e_k-ε|e_k|^λfal_ellipse(e_k,δ)-d_k+1 (9)

其中，d_k+1表示k+1时刻的等效扰动。上述也即“嵌入”了干扰抑制作用的一阶惯性吸引律。

5)构造具有等效扰动扩张补偿的重复控制器

若扰动信号w_k如参考信号一样，严格满足周期对称特性，则等效扰动d_k＝0。然而扰动项w_k一般不能严格满足对称条件。因此，当w_k存在非周期扰动成分时，d_k≠0。本发明采用干扰观测技术，引入以跟踪误差作为扩张状态的扩张观测器，在闭环系统中引入干扰补偿作用

以提高控制性能。跟踪控制的目标是在有限时间内，使得系统的跟踪误差e_k收敛至原点的一个邻域内，并一直停留在这一邻域内。为了达到这一目标，考虑等效扰动对e_k的影响，依据预先形成的误差动态设计控制器。引入干扰补偿，修正幂次离散吸引律，构造如下误差动态方程。

式中，

为等效扰动d_k+1在k+1时刻的观测值；

针对跟踪误差的定义，即式(4)，利用观测误差可以设计如下形式的扩张状态观测器：

其中，

分别为误差e_k,e_k+1的k,k+1时刻观测估计，β₁为关于误差的观测器增益系数，β₂为关于等效扰动的观测器增益系数,β₁和β₂可进行适当配置，只要满足

的特征值都在单位圆内即可.

将(6)式代入(10)式，化简后可得本发明提供的重复控制器具有如下形式：

记

可将重复控制器表达为

u_k＝±u_k-N+v_k' (13)

将u_k作为伺服对象的控制输入信号，可量测获得伺服系统输出信号y_k，跟随参考信号r_k变化。

6)定义等效扰动的扩张状态补偿界Δ，即

且Δ∈o(T²)，其中T为离散系统采样周期；具体的控制器参数ρ、ε、δ整定可依据表征系统收敛性能和稳定性能的指标进行。为表征跟踪误差收敛性能，本发明引入单调减区域，绝对吸引层和稳态误差带概念，具体定义如下：

单调减区域Δ_MDR

绝对吸引层Δ_AAL

稳态误差带Δ_SSE

i)单调减区域(Δ_MDR)

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (17)

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为实数，且满足

ii)绝对吸引层(Δ_AAL)

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (19)

式中，Δ_AAL1，Δ_AAL2为实数，可由下式确定，

iii)稳态误差带(Δ_SSE)

Δ_SSE＝max{Δ_SSE1,Δ_SSE2} (21)

式中，Δ_SSE1，Δ_SSE2为实数，可由下式确定，

7)本发明设计的控制器能够使系统在有限步数收敛到一个较小的误差带内，此误差带定义为Δ(1)，即

进入这个误差带后，不再穿越该误差带，此时收敛步数为m^*；定义初始误差为e₀，从初始误差收敛到边界δ的步数为m₁ ^*，误差从δ收敛到Δ(1)的步数为m₂ ^*。

i)当e₀≥δ时，收敛步数m^*为

ii)当Δ(1)≤e₀＜δ时,收敛步数m^*为

iii)当e₀＜Δ(1)时，收敛步数为m^*＝0

本发明的技术构思是，设计电机伺服系统的离散重复控制器是基于离散时间椭圆吸引律进行的，是一种时域设计方法，它不同于目前普遍采用的频域方法。在设计控制器时考虑给定参考信号，设计出的控制器更直观、简便，易于刻画系统跟踪性能。控制器的时域设计也易于结合现有的干扰抑制手段，加入了扩张状态观测器，所设计的重复控制器能够实现对周期干扰信号的完全抑制并且减少第一周期所产生的误差，实现对给定参考信号的快速高精度跟踪。椭圆吸引律的引进使系统能够在有限步数内快速收敛到误差带，提高了系统的快速性。

本发明效果主要表现在：具有快速收敛性能、加速干扰抑制和高控制精度。

附图说明

图1是重复控制器结构示意图。

图2是基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的重复控制器方框图。

图3是基于跟踪误差的离散时间扩张状态观测器设计框图。

图4-7是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9,Δ＝0.2时的基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的重复控制器作用下的数值仿真：

图4是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9,Δ＝0.2时的跟踪误差信号e。

图5是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9,Δ＝0.2时的位置信号。

图6是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9,Δ＝0.2时的控制器信号u。

图7是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9,Δ＝0.2时的等效扰动的扩张状态补偿信号

图8-11是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9时的基于椭圆吸引律的重复控制器作用下的数值仿真：

图8是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9时的跟踪误差信号e。

图9是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9时的位置信号。

图10是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9时的控制器信号u。

图11是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9时的等效扰动信号d_k。

图12-15是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9,Δ＝0.2时的基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的重复控制器作用下的数值仿真：

图12是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9,Δ＝0.2时的跟踪误差信号e。

图13是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9,Δ＝0.2时的位置信号。

图14是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9,Δ＝0.2时的控制器信号u。

图15是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9,Δ＝0.2时的等效扰动的扩张状态补偿信号

图16-19是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9时的基于椭圆吸引律的重复控制器作用下的数值仿真：

图16是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9时的跟踪误差信号e。

图17是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9时的位置信号。

图18是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9时的控制器信号u。

图19是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9时的等效扰动信号d_k。

图20-22是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9时的重复控制器作用下永磁同步电机控制系统(周期为0.8s)的实验结果：

图20是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9时的跟踪误差信号e。

图21是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9时的位置信号。

图22是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9时的控制器信号u。

图23-25是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9时的重复控制器作用下永磁同步电机控制系统(周期为4s)的实验结果：

图23是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9时的跟踪误差信号e。

图24是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9时的位置信号。

图25是当ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9时的控制器信号u。

图26-28是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9时的重复控制器作用下永磁同步电机控制系统(周期为0.8s)的实验结果：

图26是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9时的跟踪误差信号e。

图27是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9时的位置信号。

图28是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9时的控制器信号u。

图29-31是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9时的重复控制器作用下永磁同步电机控制系统(周期为4s)的实验结果：

图29是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9时的跟踪误差信号e。

图30是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9时的位置信号。

图31是当ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9时的控制器信号u。

图32-34是当ρ＝0.5,ε＝0.9,λ＝0.5,δ＝0.9时的重复控制器作用下永磁同步电机控制系统(周期为0.8s)的实验结果：

图32是当ρ＝0.5,ε＝0.9,λ＝0.5,δ＝0.9时的跟踪误差信号e。

图33是当ρ＝0.5,ε＝0.9,λ＝0.5,δ＝0.9时的位置信号。

图34是当ρ＝0.5,ε＝0.9,λ＝0.5,δ＝0.9时的控制器信号u。

图35是当ρ＝0.5,ε＝0.9,λ＝0.5,δ＝0.9时的重复控制器作用下永磁同步电机控制系统(周期为4s)的跟踪误差信号e。

具体实施方式

结合附图对本发明具体实施方式作进一步描述。

参照图1-图3，一种基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的用于电机伺服系统的离散重复控制方法。其中，图1是重复控制器结构示意图；图2是基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的重复控制器方框图；图3是基于跟踪误差的离散时间扩张状态观测器设计框图。

一种基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的用于电机伺服系统的离散重复控制方法，包括以下步骤：

第一步.给定周期参考信号r_k，满足

r_k＝±r_k-N (1)

其中，N为参考信号的周期，r_k,r_k-N分别表示k,k-N时刻的参考信号。

第二步.构造等效扰动

其中，N为参考信号的周期，d_k表示k时刻的等效扰动信号，w_k,w_k-N分别表示k,k-N时刻的干扰信号。

第三步.电机伺服对象的二阶差分方程模型

y_k+1+a₁y_k+a₂y_k-1＝b₁u_k+b₂u_k-1+w_k+1 (3)

其中，y_k表示伺服系统k时刻的输出位置信号，u_k为k时刻的输入控制信号，w_k为伺服系统k时刻的干扰信号(满足匹配条件)，a₁,a₂,b₁,b₂为伺服系统模型参数，其取值通过参数估计获得。

第四步.构造离散时间椭圆吸引律，以

为例

其中，e_k＝r_k-y_k表示k时刻跟踪误差，y_k为k时刻系统输出；ρ、ε为可调整参数，δ为椭圆分段函数边界系数，其取值范围满足ε＞0，0＜ρ＜1，δ＞0且

第五步.将干扰抑制措施与扩张状态观测器嵌入吸引律(4)，构造出理想误差动态方程

其中，d_k+1为k+1时刻的等效扰动，

为k+1时刻d_k+1的观测值。

利用观测误差可以设计如下形式的状态观测器：

式中，fal(·)为原点附近具有线性段的连续幂次函数，α为该线性段连续幂次函数的阶次，σ为线性段区间长度，满足0＜α＜1，σ＞0，表达式为

关于误差的观测器增益系数β₁设计为0.25，关于等效扰动的观测器增益系数β₂设计为0.5，σ＝0.6，α＝0.5

第六步.基于理想误差动态方程(5)的重复控制器

当d_k＝w_k-w_k-N时，

由式(8)知

w_k+1-w_k+1-N＝r_k+1-y_k+1-N+a₁(y_k-y_k-N)+a₂(y_k-1-y_k-1-N)

-b₁(u_k-u_k-N)-b₂(u_k-1-u_k-1-N)-e_k+1 (9)

即

将式(10)代入式(5)得

记

输入信号

可将式(12)写成

式中，v_k表示输入信号

的修正量。

当d_k＝w_k+w_k-N时

记

输入信号

可将式(14)写成

式中，v_k表示输入信号

的修正量。

对于上述重复控制器设计，做以下说明：

1)椭圆吸引律中引入d_k+1反映了对于给定周期模式的扰动信号的抑制措施，引入

反映了加入扩张状态观测器后的误差补偿。

2)(12)(14)式中，e_k,y_k,y_k-1,y_k-1-N均可通过测量得到，u_k-1,u_k-1-N,为控制信号的存储值，可从内存中读取。

3)当参考信号满足r_k＝r_k-1，该离散重复控制器也适用于常值调节问题，这时的等效扰动为d_k＝w_k-w_k-1；其中，r_k-1为k-1时刻参考信号，w_k-1为k-1时刻干扰信号；

式(16)也可表示成

u_k＝u_k-1+v_k (17)

其中，

4)上述重复控制器针对二阶系统(1)给出，按照相同的方法同样可给出更高阶系统的设计结果。

5)上述重复控制器中|e_d|^λ的λ取值为

只要满足λ的取值范围要求，按照相同的方法可给出其他幂次的设计结果。

第七步.根据系统跟踪误差的单调减区域Δ_MDR，绝对吸引层Δ_AAL以及稳态误差带Δ_SSE对控制器参数进行整定，以达到最佳的控制效果。其中控制器参数主要包括：椭圆分段函数边界系数δ、可调整参数ρ,ε,λ和等效扰动的扩张状态补偿界Δ。

依据上述Δ_MDR、Δ_AAL及Δ_SSE的定义，确定的各边界取值如下：

1)单调减区域(Δ_MDR)

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (18)

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为实数，且满足

取

i.当Δ_MDR≥δ时

记

a.当ρ≥0.5时，Δ_MDR＝Δ_MDR1；

b.当ρ＜0.5时，记

满足表达式

当

时Δ_MDR＝Δ_MDR1反之Δ_MDR＝Δ_MDR2；

ii.当Δ_MDR＜δ时，

a.Δ_MDR＜e_k≤δ，

满足

时Δ_MDR＝max{Δ_MDR1，Δ_MDR2}；

(i)当Δ_MDR1＜＜δ

或

或

(a)当

时或ρ≥0.5，Δ_MDR＝Δ_MDR1；

(b)当

时或ρ＜0.5，Δ_MDR＝Δ_MDR2；

(ii)当Δ_MDR1接近于δ

(a)当ρ≥0.5时，Δ_MDR＝Δ_MDR1；

(b)当ρ＜0.5时，记

满足表达式

当

时Δ_MDR＝Δ_MDR1反之Δ_MDR＝Δ_MDR2；

b.当e_k＞δ时，

(a)当ρ≥0.5时，Δ_MDR＝Δ_MDR1；

(b)当ρ＜0.5时，记

满足表达式

当

时Δ_MDR＝Δ_MDR1反之Δ_MDR＝Δ_MDR2；

2)绝对吸引层(Δ_AAL)

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (23)

式中，Δ_AAL1，Δ_AAL2为实数，可由下式确定，

取

i.当Δ_AAL≥δ时，

记

记

满足表达式

当

时Δ_AAL＝Δ_AAL1反之Δ_AAL＝Δ_AAL2；

ii.当Δ_AAL＜δ时，

a.Δ_AAL＜e_k≤δ，

满足

时Δ_AAL＝max{Δ_AAL1，Δ_AAL2}；

(i)当Δ_AAL1＜＜δ时，

或

或

(a)当

时，Δ_AAL＝Δ_AAL1；

(b)当

时，Δ_AAL＝Δ_AAL2；

(ii)当Δ_AAL1接近于δ时，

记

满足表达式

当

时Δ_AAL＝Δ_AAL1反之Δ_AAL＝Δ_AAL2；

b.当e_k＞δ时，

记

记

满足表达式

当

时Δ_AAL＝Δ_AAL1反之Δ_AAL＝Δ_AAL2

3)稳态误差带(Δ_SSE)

Δ_SSE＝max{Δ_SSE1,Δ_SSE2} (28)

式中，Δ_SSE1，Δ_SSE2为实数，可由下式确定，

取

i.当Δ_SSE≥δ时，

a.当δ≤e_k＜Δ_SSE时，

(i)若

时，

(a)当

时，

(b)当

时，

(ii)若

时，

b.当0＜e_k≤δ时，

(i)若

时，

(ii)若

时，

(iii)若

时，

记

满足表达式

ii.当Δ_SSE＜δ时，

(i)若

时，

(a)若Δ_SSE＜＜δ时，

(b)若Δ_SSE接近于δ时，

(ii)若

时，

(a)若Δ_SSE＜＜δ时，

(b)若Δ_SSE接近于δ时，

(iii)若

时，

记

满足表达式

则

第八步.本发明设计的控制器能够使系统在有限步数收敛到误差带，此误差带定义为

Δ(1)，即

进入这个误差带后，不再穿越该误差带，此时收敛步数为m^*；定义初始误差为e₀，从初始误差收敛到边界δ的步数为m₁ ^*，误差从δ收敛到Δ(1)的步数为m₂ ^*。

a.当e₀≥δ时，收敛步数m^*为

b.当Δ(1)≤e₀＜δ时，收敛步数m^*为

c.当e₀＜Δ(1)时，收敛步数为m^*＝0

实例：该实施例以永磁同步电机伺服系统在固定区间上执行重复跟踪任务为例，其位置参考信号具有周期对称特性，该伺服电机采用三环控制，其中电流环与速度环控制器由ELMO驱动器提供；位置环控制器由DSP开发板TMS320F2812提供。

设计位置环控制器，需建立除位置环以外的伺服对象的数学模型，包括电流环、速度环、功率驱动器、交流永磁同步伺服电机本体以及检测装置(见图2)。通过参数估计获得伺服对象的数学模型为

y_k+1-1.6483y_k+0.6479y_k-1＝2.3638u_k-0.5565u_k-1+w_k+1 (22)

其中，y_k,u_k分别为位置伺服系统的位置输出与速度给定信号(控制输入)，w_k为干扰信号。

由于本实施例以正弦信号作为系统的参考信号，重复控制器可采取式(10)给出的控制器形式，其具体表达式可写成

该实施例中将通过数值仿真和实验结果说明本发明给出重复控制器的有效性。

数值仿真：给定位置参考信号为r_k＝20sin(2kπfT_s),单位rad，频率f＝0.5Hz，采样周期T_s＝0.001s，采用的周期数N＝2000。仿真时，选取的扰动量w(k)由周期性干扰和非周期性随机干扰两部分构成，具体形式为

w(k)＝-2*sin(2*pi*(k)/N)+0.06*rand()；(24)

在重复控制器(23)的作用下，选取不同的控制器参数ρ,ε,δ,λ，伺服系统的三个边界层也各不相同。为了说明本发明专利关于单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE的理论正确性，图4,12给出Δ_MDR，Δ_AAL和Δ_SSE的具体取值。

1)当控制器参数ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9,Δ＝0.2时(参见图4)

Δ_MDR＝Δ_AAL＝Δ_SSE＝0.3942

2)当控制器参数ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9,Δ＝0.25时(参见图12)

Δ_MDR＝0.3077，

Δ_AAL＝0.2211，

Δ_SSE＝0.2821；

仿真结果见图4,12。在给定系统模型、参考信号和干扰信号的情况下，上述数值结果验证了本专利给出的重复控制器作用下系统跟踪误差的单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE。

3)在ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9的控制器参数情况下，比较图4和图8跟踪误差信号e，图4是在控制器嵌入扩张状态观测器的情况下仿真的结果，显然相比于不加扩张状态观测器的情况下，图4中第一周期的跟踪误差显然远远小于图8，图5和图9的位置信号相比较也说明了这一点。扩张状态观测器的引入，将跟踪误差作为扩张状态，在本专利给出的重复控制器作用下，大大减少第一周期的跟踪误差，以实现快速跟踪。

4)在ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9的控制器参数情况下，比较图12和图16跟踪误差信号e，图12是在控制器嵌入扩张状态观测器的情况下仿真的结果，显然相比于不加扩张状态观测器的情况下，图12中第一周期的跟踪误差显然远远小于图16，图13和图17的位置信号相比较也说明了这一点。扩张状态观测器的引入，将跟踪误差作为扩张状态，在本专利给出的重复控制器作用下，大大减少第一周期的跟踪误差，以实现快速跟踪。

5)在不同的控制器参数下，跟踪误差的单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE均不同，依据上述控制参数的相互关系来适当调整各参数，能达到较好的跟踪效果。

实验结果：实验所用永磁同步电机控制系统的方框图见图1所示。通过设置不同控制器参数，验证基于椭圆吸引律的离散重复控制的跟踪性能。给定位置信号为一正弦信号r_k＝Asin(2πfT_sk)rad。其中，幅值为

实验分两组进行，一组频率f＝0.25Hz，采样时间为T_s＝0.005s，一个采样周期采样个数N＝800；一组频率f＝1.25Hz，采样时间为T_s＝0.001s，一个采样周期采样个数N＝800。

1)控制器参数取为ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9。

(i)频率f＝1.25Hz，采样时间为T_s＝0.001s，一个采样周期采样个数N＝800；

采用伺服电机在重复控制器，如式(23)作用下，系统跟踪误差，位置输出信号以及控制器信号如图20-22所示。由图20可见系统跟踪误差在一个参考信号周期(T＝0.8s)之后大大减小，收敛于|e_k|≤0.3deg，在经过两个参考信号周期(2T＝1.6s)之后，进入稳态，跟踪误差在-0.2deg≤e_k≤0.2deg范围内波动。由图21可见，系统在频率为f＝1.25Hz能实现较好的跟踪。

(ii)频率f＝0.25Hz，采样时间为T_s＝0.005s，一个采样周期采样个数N＝800；

采用伺服电机在重复控制器，如式(23)作用下，系统跟踪误差，位置输出信号以及控制器信号如图23-25所示。由图23可见系统跟踪误差在一个参考信号周期(T＝4s)之后大大减小，收敛于|e_k|≤0.2deg，在经过两个参考信号周期(2T＝8s)之后，进入稳态，跟踪误差在-0.1deg≤e_k≤0.1deg范围内波动。由图24可见，系统在频率为f＝0.25Hz也能实现较好的跟踪。比较图20和图23，在控制器参数相同的情况下，图23的第一个参考信号周期的跟踪误差明显小于图20，且在第二个参考信号周期之后，图23的跟踪误差波动明显小于图20，波动范围相对较小，跟踪效果相对较好，控制精度相对较高。且通过比较图25和图22，在期望的跟踪轨迹一致的情况下，频率为f＝0.25Hz的控制器输出明显要小于频率为f＝1.25Hz。综合以上数据分析得到，系统在频率为f＝0.25Hz能实现更好的跟踪。

2)控制器参数取为ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9。

(i)频率f＝1.25Hz，采样时间为T_s＝0.001s，一个采样周期采样个数N＝800；

采用伺服电机在重复控制器，如式(23)作用下，系统跟踪误差，位置输出信号以及控制器信号如图26-28所示。由图26可见系统跟踪误差在一个参考信号周期(T＝0.8s)之后有所减小，收敛于|e_k|≤1.5deg，在经过两个参考信号周期(2T＝1.6s)之后，进入稳态，跟踪误差在-0.35deg≤e_k≤0.35deg范围内波动。由图27可见，系统在频率为f＝1.25Hz能实现跟踪。比较图20和图26，在频率以及期望轨迹一致的情况下，不同的控制器参数对跟踪效果影响较大，控制器参数为ρ＝0.35,ε＝0.5,λ＝0.5,δ＝0.9的控制效果相对于控制器参数为ρ＝0.35,ε＝0.1,λ＝0.5,δ＝0.9的情况要好。

(ii)频率f＝0.25Hz，采样时间为T_s＝0.005s，一个采样周期采样个数N＝800；

采用伺服电机在重复控制器，如式(23)作用下，系统跟踪误差，位置输出信号以及控制器信号如图29-31所示。由图29可见系统跟踪误差在一个参考信号周期(T＝4s)之后大大减小，进入稳态，跟踪误差在-0.18deg≤e_k≤0.18deg范围内波动。由图30可见，系统在频率为f＝0.25Hz也能实现较好的跟踪。比较图29和图26，在控制器参数相同的情况下，图29的第一个参考信号周期的跟踪误差明显小于图26，且在第二个参考信号周期之后，图29的跟踪误差波动明显小于图26，波动范围相对较小，跟踪效果相对较好，控制精度相对较高。且通过比较图31和图28，在期望的跟踪轨迹一致的情况下，频率为f＝0.25Hz的控制器输出明显要小于频率为f＝1.25Hz。综合以上数据分析得到，系统在频率为f＝0.25Hz能实现更好的跟踪。

3)控制器参数取为ρ＝0.5,ε＝0.9,λ＝0.5,δ＝0.9。

(i)频率f＝1.25Hz，采样时间为T_s＝0.001s，一个采样周期采样个数N＝800；

采用伺服电机在重复控制器，如式(23)作用下，系统跟踪误差，位置输出信号以及控制器信号如图32-34所示。由图32可见系统跟踪误差在一个参考信号周期(T＝0.8s)之后大大减小，收敛于|e_k|≤1deg，在经过两个参考信号周期(2T＝1.6s)之后，进入稳态，跟踪误差在-0.2deg≤e_k≤0.2deg范围内波动。由图33可见，系统在频率为f＝1.25Hz能实现较好的跟踪。

(ii)频率f＝0.25Hz，采样时间为T_s＝0.005s，一个采样周期采样个数N＝800；

采用伺服电机在重复控制器，如式(23)作用下，系统跟踪误差35所示。由图35可见系统跟踪误差在一个参考信号周期(T＝4s)之后大大减小，进入稳态，跟踪误差在-0.1deg≤e_k≤0.1deg范围内波动。比较图35和图32，在控制器参数相同的情况下，图35的第一个参考信号周期的跟踪误差明显小于图32，且在第二个参考信号周期之后，图35的跟踪误差波动明显小于图32，波动范围相对较小，跟踪效果相对较好，控制精度相对较高。综合以上数据分析得到，系统在频率为f＝0.25Hz能实现更好的跟踪。

上述实验结果表明，本发明提出的重复控制器能够快速、有效地抑制系统在执行伺服跟踪任务时出现的周期干扰信号。

Claims (6)

1.一种基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的用于电机伺服系统的离散重复控制方法，被控对象为周期伺服系统，其特征在于：包括以下步骤：

1)给定周期参考信号r_k，满足

r_k＝±r_k-N (1)

其中，N为参考信号的周期，r_k,r_k-N分别表示k,k-N时刻的参考信号；

2)构造等效扰动

其中，N为参考信号的周期，d_k表示k时刻的等效扰动信号，w_k,w_k-N分别表示k,k-N时刻的干扰信号；

3)构造离散时间椭圆吸引律

e_k+1＝(1-ρ)e_k-ε|e_k|^λfal_ellipse(e_k,δ) (3)

其中，

其中，e_k＝r_k-y_k表示k时刻跟踪误差，y_k为k时刻系统输出；ρ、ε、λ为可调整参数，δ为定义的椭圆函数分段边界系数，其取值范围满足ε＞0,0＜ρ＜1，δ＞0，

且

4)构造具有干扰抑制项的误差动态方程

将干扰抑制措施嵌入吸引律(3)，构造如下理想误差动态：

e_k+1＝(1-ρ)e_k-ε|e_k|^λfal_ellipse(e_k,δ)-d_k+1 (4)

其中，d_k+1表示k+1时刻的等效扰动；

5)依据理想误差动态式(4)，构造具有等效扰动扩张补偿的重复控制器带有扩张状态观测器的误差动态方程为：

其中，

表示k+1时刻的等效扰动的观测值；

构建的扩张状态观测器为：

其中，

为对误差e_k+1的估计，

为对误差e_k的估计，β₁为关于误差的观测器增益系数，β₂为关于等效扰动的观测器增益系数，r_k+1表示k+1时刻的参考信号，y_k+1-N,y_k,y_k-N分别表示k+1-N,k,k-N时刻的系统输出，u_k,u_k-N分别表示k,k-N时刻的控制器输入；

式中，

A′(q^-1)＝a₁+a₂q^-1+…+a_nq^-n+1＝q(A(q^-1)-1)

A(q^-1)＝1+a₁q^-1+…+a_nq^-n

B(q^-1)＝b₀+b₁q^-1+…+b_mq^-m

满足伺服对象

A(q^-1)y_k＝q^-dB(q^-1)u_k+w_k (7)

其中，d表示延迟，u_k和y_k分别表示k时刻的输入和输出信号，w_k为k时刻的干扰信号；A(q^-1)和B(q^-1)为q^-1的多项式，q^-1是一步延迟算子，n为A(q^-1)的阶数，m为B(q^-1)的阶数；a₁,...,a_n,b₀,...,b_m为系统参数且b₀≠0,n≥m；d为整数，且d≥1；

具有等效扰动扩张补偿的重复控制器为：

重复控制器(8)也可表达成

u_k＝±u_k-N+v_k (9)

其中，

将u_k作为伺服对象的控制器输入，可量测获得伺服系统输出信号y_k，跟随参考信号r_k变化。

2.如权利要求1所述的基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的用于电机伺服系统的离散重复控制方法，其特征在于：所述重复控制器的可调整参数包括ρ，ε，δ，λ，其取值范围满足0＜ε＜1，0＜ρ＜1，δ＞0，

且

定义等效扰动的扩张状态补偿界Δ，即

且Δ∈o(T²)，其中T为离散系统采样周期；控制器参数整定可根据表征系统收敛性能的指标进行；这些指标是单调减区域Δ_MDR，绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE，具体定义如下：

单调减区域Δ_MDR

绝对吸引层Δ_AAL

稳态误差带Δ_SSE

1)单调减区域(Δ_MDR)

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (10)

式中，Δ_MDR1，Δ_MDR2为实数，且满足

取

i.当Δ_MDR≥δ时

记

a.当ρ≥0.5时，Δ_MDR＝Δ_MDR1

b.当ρ＜0.5时，

记

满足表达式

当

时，Δ_MDR＝Δ_MDR1反之Δ_MDR＝Δ_MDR2

ii.当Δ_MDR＜δ时，

a.当Δ_MDR＜e_k≤δ时，

满足

时Δ_MDR＝max{Δ_MDR1，Δ_MDR2}；

(i)当Δ_MDR1＜＜δ时，

或

或

(a)当

时或ρ≥0.5，Δ_MDR＝Δ_MDR1；

(b)当

时或ρ＜0.5，Δ_MDR＝Δ_MDR2；

(ii)当Δ_MDR1接近于δ时，

(a)当ρ≥0.5时，Δ_MDR＝Δ_MDR1；

(b)当ρ＜0.5时，且记

满足表达式(13)时

当

时Δ_MDR＝Δ_MDR1反之Δ_MDR＝Δ_MDR2；

b.当e_k＞δ时，

(a)当ρ≥0.5时，Δ_MDR＝Δ_MDR1；

(b)当ρ＜0.5时，且记

满足表达式(13)时

当

时Δ_MDR＝Δ_MDR1反之Δ_MDR＝Δ_MDR2；

2)绝对吸引层(Δ_AAL)

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (16)

式中，Δ_AAL1，Δ_AAL2为实数，可由下式确定，

取

i.当Δ_AAL≥δ时

记

记

满足表达式(13)时，

当

时Δ_AAL＝Δ_AAL1反之Δ_AAL＝Δ_AAL2；

ii.当Δ_AAL＜δ时，

a.当Δ_AAL＜e_k≤δ时，

满足

时Δ_AAL＝max{Δ_AAL1，Δ_AAL2}

(i)当Δ_AAL1＜＜δ时，

或

或

(a)当

时，Δ_AAL＝Δ_AAL1；

(b)当

时，Δ_AAL＝Δ_AAL2；

(ii)当Δ_AAL1接近于δ

记

满足表达式(13)时，

当

时Δ_AAL＝Δ_AAL1反之Δ_AAL＝Δ_AAL2；

b.当e_k＞δ时，

记

记

满足表达式(13)时，

当

时Δ_AAL＝Δ_AAL1反之Δ_AAL＝Δ_AAL2

3)稳态误差带(Δ_SSE)

Δ_SSE＝max{Δ_SSE1,Δ_SSE2} (21)

式中，Δ_SSE1，Δ_SSE2为实数，可由下式确定，

取

i.当Δ_SSE≥δ时，

a.当δ≤e_k＜Δ_SSE时,

(i)若

(a)当

时,

(b)当

时

(ii)若

时，

b.当0＜e_k≤δ时，

(i)若

时，

(ii)若

时，

(iii)若

时，

记

满足表达式

ii.当Δ_SSE＜δ时，

(i)若

时，

(a)若Δ_SSE＜＜δ时，

(b)若Δ_SSE接近于δ时，

(ii)若

时，

(a)若Δ_SSE＜＜δ时，

(b)若Δ_SSE接近于δ时，

(iii)若

时，记

满足表达式

则

3.如权利要求1所述的基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的用于电机伺服系统的离散重复控制方法，其特征在于：该控制器的可调整参数包括ρ,ε,δ,λ；参数整定可依据表征收敛过程的指标进行。

4.如权利要求1或2所述的基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的用于电机伺服系统的离散重复控制方法，其特征在于：当参考信号满足r_k＝r_k-1，该离散重复重复控制器也适用于常值调节问题，这时的等效扰动为d_k＝w_k-w_k-1；其中，r_k-1为k-1时刻参考信号，w_k-1为k-1时刻干扰信号；

式(34)也可表示成

u_k＝u_k-1+v_k (35)

其中，

5.如权利要求1所述的基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的用于电机伺服系统的离散重复控制方法，其特征在于：该观测器的可调整参数包括β₁,β₂；β₁和β₂可进行适当配置，只要满足

的特征值都在单位圆内即可。

6.如权利要求1或2所述的基于椭圆吸引律和等效扰动扩张状态补偿的用于电机伺服系统的离散重复控制方法，其特征在于：设计的控制器能够使系统在有限步数收敛到一个较小的误差带内，此误差带定义为Δ(1)，即

进入这个误差带后，不再穿越该误差带，此时收敛步数为m^*；定义初始误差为e₀，从初始误差收敛到边界δ的步数为m₁ ^*，误差从δ收敛到Δ(1)的步数为m₂ ^*

a.当e(0)≥δ时，

收敛步数为

b.当Δ(1)≤e(0)＜δ时

收敛步数为

c.当e(0)＜Δ(1)时，

收敛步数为m^*＝0。

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