CN105644784A - 一种针对扑翼飞行器的振动控制方法及装置 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种针对扑翼飞行器的振动控制方法及装置,所述方法包括：以二自由度的柔性机翼为研究对象，计算系统动能、势能和虚功；利用哈密顿原理建立系统动力学模型；根据所述系统动力学模型设置边界控制率，所述边界控制率包括F(t)和M(t)，所述F(t)为边界控制力输入，M(t)为边界扭矩输入；根据系统动力学模型结合边界控制率对柔性机翼进行控制。通过利用哈密顿原理建立系统动力学模型，根据所述系统动力学模型设置边界控制率，充分考虑了边界存在分布式扰动的情况，有效地抑制由外界扰动引起的柔性机翼变形。

Description

一种针对扑翼飞行器的振动控制方法及装置

技术领域

本发明涉及自动控制技术领域，特别是指一种针对扑翼飞行器的振动控制方法及装置。

背景技术

近年来，随着人们对无人机技术需求的持续增加，以及先进制造技术、新材料技术和新能源技术的飞速发展，使微型飞行机器的研究成为技术热点。1992年在未来军事技术的研讨会上，美国国防高级研究计划局首次提出了较完整的微型飞行器(MAV，MicroAirVehicles)的概念。MAV是无人机中用途广泛的一个类别，可用来在一些特定环境下视察、监督或搜索目标。

由于无人机在军用和民用方面的需求增加，设计者们力求减轻无人机的重量，同时提高系统的可操作性。因此，目前无人机的设计广泛采用重量较轻的柔性机翼。与刚性机翼相比较，柔性机翼主要的优点为灵活性高、成本效益好、更加敏捷以及性能好等。然而，灵活的柔性机翼容易振动，产生预期外的误差。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种针对扑翼飞行器的振动控制方法及装置，能够有效地抑制由外界扰动引起的柔性机翼变形的问题。

为解决上述技术问题，本发明的实施例提供一种针对扑翼飞行器的振动控制方法,所述针对扑翼飞行器的振动控制方法包括：

以二自由度的柔性机翼为研究对象，计算系统动能、势能和虚功；

利用哈密顿原理建立系统动力学模型；

根据所述系统动力学模型设置边界控制率，所述边界控制率包括F(t)和M(t)，所述F(t)为边界控制力输入，M(t)为边界扭矩输入；

根据系统动力学模型结合边界控制率对柔性机翼进行控制。

优选的，所述以二自由度的柔性机翼为研究对象，计算系统动能、势能和虚功，包括：

将系统的动能E_k(t)表示如下：

$E_k\left(t\right)=\frac{1}{2}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\ρ}}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(1\right)$

其中，空间变量x和时间变量t是相互独立的,m是柔性机翼的单位展长质量；I_ρ是柔性翼的惯性极距；y(x,t)是xOy坐标系中位置x、时间t处的弯曲位移；θ(x,t)是相应的偏转角度位移；

将系统的势能E_p(t)表示如下：

$E_p\left(t\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{EI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{1}{2}GJ{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(2\right)$

其中，EI_b表示抗弯刚度，GJ是扭转刚度；

由以上两个刚度产生的虚功δW_c(t)为：

${\mathrm{\δW}}_c\left(t\right)={\mathrm{mx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\mathrm{\δ}\mathrm{\θ}(x,t)dx+{\mathrm{mx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\mathrm{\δ}y(x,t)dx---\left(3\right)$

其中x_ec表示机翼质心到弯曲中心的距离；

Kelvin-Voigt阻尼力所做的虚功δW_d(t)为：

${\mathrm{\δW}}_d\left(t\right)=-{\mathrm{\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t){\mathrm{\δy}}^{\′\′}(x,t)dx-{\mathrm{\ηGJ}}_b{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t){\mathrm{\δ\θ}}^{\′}(x,t)dx---\left(4\right)$

其中，η是Kelvin-Voigt阻尼系数；

分布干扰做的虚功δW_f(t)为：

${\mathrm{\δW}}_f\left(t\right)={\∫}_0^L\[F_b(x,t)\mathrm{\δ}y(x,t)-x_a{\mathrm{cF}}_b(x,t)\mathrm{\δ}\mathrm{\θ}(x,t)\]dx---\left(5\right)$

其中x_ac表示气动中心到弯曲中心的距离；F_b是沿着机翼方向未知的时变分布式干扰；

边界控制力对系统所做的虚功δW_u(t)为：

δW_u(t)＝F(t)δy(L,t)+M(t)δθ(L,t)(6)

上式中，F(t)是边界控制力输入；M(t)是边界扭矩输入；

于是，总虚功为：

δW(t)＝δ[W_c(t)+W_d(t)+W_f(t)+W_u(t)](7)

优选的，所述利用哈密顿原理建立系统动力学模型，包括：

利用哈密顿平稳作用量原理：

${\∫}_{t_1}^{t_2}\mathrm{\δ}\[E_K\left(t\right)-E_p\left(t\right)+W\left(t\right)\]dt=0$

此处δ代表变分符号，求得系统动力学模型的控制方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}(x,t)+{\mathrm{EI}}_b{y}^{\′\′\′\′}(x,t)-{\mathrm{mx}}_{e}c\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+{\mathrm{\ηEI}}_b{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)=F_b(x,t)---\left(8\right)$

$I_{\mathrm{\ρ}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)-{\mathrm{GJ\θ}}^{\′\′}(x,t)-{\mathrm{mx}}_{e}c\stackrel{\·\·}{y}(x,t)-\mathrm{\η}GJ{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)=-x_a{\mathrm{cF}}_b(x,t)---\left(9\right)$

求得系统动力学模型的边界条件为：

y(0,t)＝y′(0,t)＝y″(L,t)＝θ(0,t)＝0(10)

${\mathrm{EI}}_b{y}^{\′\′\′}(L,t)+{\mathrm{\ηEI}}_b{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′}(L,t)=-F\left(t\right)---\left(11\right)$

${\mathrm{GJ\θ}}^{\′}(L,t)+\mathrm{\η}GJ{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(L,t)=M\left(t\right)---\left(12\right)$

优选的，所述在系统动力学模型基础上设计边界控制器，包括两个控制律：F(t)和M(t)，所述F(t)为边界控制力输入，M(t)为边界扭矩输入，包括：

构造李雅普诺夫候选函数如下

V(t)＝V₁(t)+Δ(t)(13)

其中，V₁(t)和Δ(t)分别定义为

$\begin{array}{c}{V}_1\left(t\right)=\frac{\mathrm{\β}}{2}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{\mathrm{\β}}{2}{\mathrm{EI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +\frac{\mathrm{\β}}{2}{I}_p{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{\mathrm{\β}}{2}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}{\[(x,t)\]}^{2}dx\end{array}---\left(14\right)$

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\left(t\right)=\mathrm{\α}m{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)y(x,t)dx+{\mathrm{\αI}}_p{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\mathrm{\θ}(x,t)dx\\ -{\mathrm{\αmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\mathrm{\θ}(x,t)+y(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ -{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx\end{array}---\left(15\right)$

以上两式中α和β都是较小的正权系数；

通过使李雅普诺夫候选函数正定，李雅普诺夫函数对时间t的导数负定设计边界控制率。

优选的，所述计算李雅普诺夫候选函数正定，李雅普诺夫函数对时间t的导数负定时的边界控制率，包括：

定义一个新的函数如下：

$\mathrm{\κ}\left(t\right)={\∫}_0^L\{{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^2+{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^2+{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^2+{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^2\}dx---\left(16\right)$

则V₁(t)有上界和下界为

γ₂κ(t)≤V₁(t)≤γ₁κ(t)(17)

上式中，

进一步，Δ(t)放大为

$\begin{array}{c}\left|\mathrm{\Δ}\left(t\right)\right|\≤(\mathrm{\α}m+{\mathrm{\αmx}}_{e}c+{\mathrm{\βmx}}_{e}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_P+{\mathrm{\αmx}}_{e}c+{\mathrm{\βmx}}_{e}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}$

$\begin{array}{c}+(\mathrm{\α}m+{\mathrm{\αmx}}_{e}c)L^4{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_p+{\mathrm{\αmx}}_{e}c)L^2{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\≤{\mathrm{\γ}}_3\mathrm{\κ}\left(t\right)\end{array}---\left(18\right)$

其中

γ₃＝max{αm+αmx_ec+βmx_ec,αI_P+αmx_ec+βmx_ec,(αm+αmx_ec)L⁴,(αI_p+αmx_ec)L²}若正数β满足则有

0≤λ₂κ(t)≤V(t)≤λ₁κ(t)(19)

即构造的李雅普诺夫函数正定，其中λ₁＝γ₁+γ₃，λ₂＝γ₂-γ₃；

V(t)对t求导后得

$\stackrel{\·}{V}\left(t\right)={\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)+\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)---\left(20\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)=\mathrm{\β}m{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{y}(x,t)dx+{\mathrm{\βI}}_p{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx\\ +\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)dx+{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L{y}^{\′\′}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)dx\end{array}---\left(21\right)$

将控制方程(8)和(9)带入上式，得到

${\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6---\left(22\right)$

其中，A₁-A₆每项分别为

$A_1=-{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)y^{\′\′\′\′}(x,t)dx+{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L{y}^{\′\′}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(23\right)$

$A_2=-{\mathrm{\β\ηEI}}_b{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(24\right)$

$A_3={\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx---\left(25\right)$

$A_4=\mathrm{\β}{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)F_b(x,t)dx-{\mathrm{\βx}}_{a}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)F_b(x,t)dx---\left(26\right)$

$A_5=\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t){\mathrm{\θ}}^{\′\′}(x,t)dx+\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)dx---\left(27\right)$

$A_6=\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(28\right)$

应用分部积分和边界条件(10)，(11)和(12)，得

$A_1=-{\mathrm{\βEI}}_b\stackrel{\·}{y}(L,t)y^{\′\′\′}(L,t)=-\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)F\left(t\right)---\left(29\right)$

$A_2\≤-\mathrm{\β}\mathrm{\η}\stackrel{\·}{y}(L,t)\stackrel{\·}{F}\left(t\right)-\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(30\right)$

$A_4\≤{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_{a}c{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx+(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2---\left(31\right)$

其中，σ₁和σ₂是正常数，F_bmax是分布式干扰F_b(x,t)的最大值；

$A_5=\mathrm{\β}GJ\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t){\mathrm{\θ}}^{\′}(L,t)=\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)M\left(t\right)---\left(32\right)$

$A_6\≤\mathrm{\β}\mathrm{\η}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\stackrel{\·}{M}\left(t\right)-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(33\right)$

通过以上A₁-A₆，得到如下

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)\≤-(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}-{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx-(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_{a}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ -\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}$

$\begin{array}{c}+{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ -\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ +(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(34\right)$

同样，Δ(t)对t求导得

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)=B_1+B_2+\mathrm{...}{B}_8---\left(35\right)$

$B_1=-{\mathrm{\αEI}}_b{\∫}_0^{L}y(x,t)y^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(36\right)$

$B_2=-{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^{L}y(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(37\right)$

$B_3=\mathrm{\α}GJ{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t){\mathrm{\θ}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(38\right)$

$B_4=\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(39\right)$

$B_5=\mathrm{\α}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\αI}}_p{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(40\right)$

$B_6=-{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx---\left(41\right)$

$B_7=-2{\mathrm{\αmx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx---\left(42\right)$

$B_8=\mathrm{\α}{\∫}_0^{L}y(x,t)F_b(x,t)dx-{\mathrm{\αx}}_{a}c{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t)F_b(x,t)dx---\left(43\right)$

将边界条件带入以上式子，得到

$B_1=-\mathrm{\α}y(L,t)F\left(t\right)-{\mathrm{\αEI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(44\right)$

$\begin{array}{c}{B}_2\≤-\mathrm{\α}\mathrm{\η}y(L,t)\stackrel{\·}{F}\left(t\right)+\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}---\left(45\right)$

$B_3=\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)M\left(t\right)-\mathrm{\α}GJ{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(46\right)$

$\begin{array}{c}{B}_4\≤\mathrm{\α}\mathrm{\η}\mathrm{\θ}(L,t)\stackrel{\·}{M}\left(t\right)+\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}---\left(47\right)$

$B_7\≤2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(48\right)$

$\begin{array}{c}{B}_8\≤{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(49\right)$

以上σ₃-σ₇都是正常数；

因此，由B₁-B₈，得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)\≤-({\mathrm{\αEI}}_b-\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}-{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4){\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\mathrm{\α}GJ-\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}-{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2){\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\mathrm{\α}m+2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}$

$\begin{array}{c}+({\mathrm{\αI}}_p+\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ +\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ -\mathrm{\α}y(L,t)\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +(\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(50\right)$

由得到的式子(34)和(50)，整理得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(t\right)\≤-\[\mathrm{\α}y(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\]\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +\[\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\]\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ -({\mathrm{\αEI}}_b-\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}-{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4){\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\mathrm{\α}GJ-\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}-{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2){\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}-{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}-\mathrm{\α}m-2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_a{\mathrm{c\αI}}_p-{\mathrm{\αI}}_p-\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}-{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b){\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}-{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ){\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}$

$+(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}+\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2---\left(51\right)$

令和为新的控制变量，设计控制率如下

$U\left(t\right)=k_1\[\mathrm{\α}y(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\]---\left(52\right)$

$V\left(t\right)=-k_2\[\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\]---\left(53\right)$

其中k₁≥0,k₂≥0为控制增益。

本发明还提供一种针对扑翼飞行器的振动控制装置，所述针对扑翼飞行器的振动控制器包括：

系统数据获取模块，用于以二自由度的柔性机翼为研究对象，计算系统动能、势能和虚功；

模型建立模块，用于利用哈密顿原理建立系统动力学模型；

控制率设置模块，用于根据所述系统动力学模型设置边界控制率，所述边界控制率包括F(t)和M(t)，所述F(t)为边界控制力输入，M(t)为边界扭矩输入；

机翼控制模块，用于根据系统动力学模型结合边界控制率对柔性机翼进行控制。

优选的，所述系统数据获取模块包括：

系统动能获取单元，用于将系统的动能E_k(t)表示如下：

$E_k\left(t\right)=\frac{1}{2}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\ρ}}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(1\right)$

其中，空间变量x和时间变量t是相互独立的,m是柔性机翼的单位展长质量；I_ρ是柔性翼的惯性极距；y(x,t)是xOy坐标系中位置x、时间t处的弯曲位移；θ(x,t)是相应的偏转角度位移；

系统势能获取单元，用于将系统的势能E_p(t)表示如下：

$E_p\left(t\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{EI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{1}{2}GJ{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(2\right)$

其中，EI_b表示抗弯刚度，GJ是扭转刚度；

系统虚功获取单元，用于由以上两个刚度产生的虚功δW_c(t)为：

${\mathrm{\δW}}_c\left(t\right)={\mathrm{mx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\mathrm{\δ}\mathrm{\θ}(x,t)dx+{\mathrm{mx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\mathrm{\δ}y(x,t)dx---\left(3\right)$

其中x_ec表示机翼质心到弯曲中心的距离；

Kelvin-Voigt阻尼力所做的虚功δW_d(t)为：

${\mathrm{\δW}}_d\left(t\right)=-{\mathrm{\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t){\mathrm{\δy}}^{\′\′}(x,t)dx-{\mathrm{\ηGJ}}_b{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t){\mathrm{\δ\θ}}^{\′}(x,t)dx---\left(4\right)$

其中，η是Kelvin-Voigt阻尼系数；

分布干扰做的虚功δW_f(t)为：

${\mathrm{\δW}}_f\left(t\right)={\∫}_0^L\[F_b(x,t)\mathrm{\δ}y(x,t)-x_a{\mathrm{cF}}_b(x,t)\mathrm{\δ}\mathrm{\θ}(x,t)\]dx---\left(5\right)$

其中x_ac表示气动中心到弯曲中心的距离；F_b是沿着机翼方向未知的时变分布式干扰；

边界控制力对系统所做的虚功δW_u(t)为：

δW_u(t)＝F(t)δy(L,t)+M(t)δθ(L,t)(6)

上式中，F(t)是边界控制力输入；M(t)是边界扭矩输入；

于是，总虚功为：

δW(t)＝δ[W_c(t)+W_d(t)+W_f(t)+W_u(t)](7)

优选的，所述模型建立模块包括：

模型建立单元，用于利用哈密顿平稳作用量原理：

${\∫}_{t_1}^{t_2}\mathrm{\δ}\[E_K\left(t\right)-E_p\left(t\right)+W\left(t\right)\]dt=0$

此处δ代表变分符号，求得系统动力学模型的控制方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}(x,t)+{\mathrm{EI}}_b{y}^{\′\′\′\′}(x,t)-{\mathrm{mx}}_{e}c\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+{\mathrm{\ηEI}}_b{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)=F_b(x,t)---\left(8\right)$

$I_{\mathrm{\ρ}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)-{\mathrm{GJ\θ}}^{\′\′}(x,t)-{\mathrm{mx}}_{e}c\stackrel{\·\·}{y}(x,t)-\mathrm{\η}GJ{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)=-x_a{\mathrm{cF}}_b(x,t)---\left(9\right)$

求得系统动力学模型的边界条件为：

y(0,t)＝y′(0,t)＝y″(L,t)＝θ(0,t)＝0(10)

${\mathrm{EI}}_b{y}^{\′\′\′}(L,t)+{\mathrm{\ηEI}}_b{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′}(L,t)=-F\left(t\right)---\left(11\right)$

${\mathrm{GJ\θ}}^{\′}(L,t)+\mathrm{\η}GJ{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(L,t)=M\left(t\right)---\left(12\right)$

优选的，所述控制率设置模块包括：

函数构造单元，用于构造李雅普诺夫候选函数如下

V(t)＝V₁(t)+Δ(t)(13)

其中，V₁(t)和Δ(t)分别定义为

$\begin{array}{c}{V}_1\left(t\right)=\frac{\mathrm{\β}}{2}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{\mathrm{\β}}{2}{\mathrm{EI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +\frac{\mathrm{\β}}{2}{I}_p{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{\mathrm{\β}}{2}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\]}^{2}dx\end{array}---\left(14\right)$

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\left(t\right)=\mathrm{\α}m{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)y(x,t)dx+{\mathrm{\αI}}_p{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\mathrm{\θ}(x,t)dx\\ -{\mathrm{\αmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\mathrm{\θ}(x,t)+y(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ -{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx\end{array}---\left(15\right)$

以上两式中α和β都是较小的正权系数；

通过使李雅普诺夫候选函数正定，李雅普诺夫函数对时间t的导数负定设计边界控制率。

优选的，所述控制率计算单元包括：

正定子单元，用于定义一个新的函数如下：

$\mathrm{\κ}\left(t\right)={\∫}_0^L\{{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^2+{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^2+{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^2+{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^2\}dx---\left(16\right)$

则V₁(t)有上界和下界为

γ₂κ(t)≤V₁(t)≤γ₁κ(t)(17)

上式中，

进一步，Δ(t)放大为

$\begin{array}{c}\left|\mathrm{\Δ}\left(t\right)\right|\≤(\mathrm{\α}m+{\mathrm{\αmx}}_{e}c+{\mathrm{\βmx}}_{e}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_P+{\mathrm{\αmx}}_{e}c+{\mathrm{\βmx}}_{e}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\mathrm{\α}m+{\mathrm{\αmx}}_{e}c)L^4{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_p+{\mathrm{\αmx}}_{e}c)L^2{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\≤{\mathrm{\γ}}_3\mathrm{\κ}\left(t\right)\end{array}---\left(18\right)$

其中

γ₃＝max{αm+αmx_ec+βmx_ec,αI_P+αmx_ec+βmx_ec,(αm+αmx_ec)L⁴,(αI_p+αmx_ec)L²}若正数β满足则有

0≤λ₂κ(t)≤V(t)≤λ₁κ(t)(19)

即构造的李雅普诺夫函数正定，其中λ₁＝γ₁+γ₃，λ₂＝γ₂-γ₃；

负定子单元，用于V(t)对t求导后得

$\stackrel{\·}{V}\left(t\right)={\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)+\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)---\left(20\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)=\mathrm{\β}m{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{y}(x,t)dx+{\mathrm{\βI}}_p{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx\\ +\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)dx+{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L{y}^{\′\′}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)dx\end{array}---\left(21\right)$

将控制方程(8)和(9)带入上式，得到

${\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6---\left(22\right)$

其中，A₁-A₆每项分别为

$A_1=-{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)y^{\′\′\′\′}(x,t)dx+{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L{y}^{\′\′}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(23\right)$

$A_2=-{\mathrm{\β\ηEI}}_b{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(24\right)$

$A_3={\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx---\left(25\right)$

$A_4=\mathrm{\β}{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)F_b(x,t)dx-{\mathrm{\βx}}_{a}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)F_b(x,t)dx---\left(26\right)$

$A_5=\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t){\mathrm{\θ}}^{\′\′}(x,t)dx+\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)dx---\left(27\right)$

$A_6=\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(28\right)$

应用分部积分和边界条件(10)，(11)和(12)，得

$A_1=-{\mathrm{\βEI}}_b\stackrel{\·}{y}(L,t)y^{\′\′\′}(L,t)=-\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)F\left(t\right)---\left(29\right)$

$A_2\≤-\mathrm{\β}\mathrm{\η}\stackrel{\·}{y}(L,t)\stackrel{\·}{F}\left(t\right)-\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(30\right)$

$A_4\≤{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_{a}c{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx+(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2---\left(31\right)$

其中，σ₁和σ₂是正常数，F_bmax是分布式干扰F_b(x,t)的最大值；

$A_5=\mathrm{\β}GJ\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t){\mathrm{\θ}}^{\′}(L,t)=\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)M\left(t\right)---\left(32\right)$

$A_6\≤\mathrm{\β}\mathrm{\η}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\stackrel{\·}{M}\left(t\right)-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(33\right)$

通过以上A₁-A₆，得到如下

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)\≤-(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}-{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx-(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_{a}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ -\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ -\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ +(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(34\right)$

同样，Δ(t)对t求导得

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)=B_1+B_2+\mathrm{...}{B}_8---\left(35\right)$

$B_1=-{\mathrm{\αEI}}_b{\∫}_0^{L}y(x,t)y^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(36\right)$

$B_2=-{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^{L}y(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(37\right)$

$B_3=\mathrm{\α}GJ{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t){\mathrm{\θ}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(38\right)$

$B_4=\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(39\right)$

$B_5=\mathrm{\α}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\αI}}_p{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(40\right)$

$B_6=-{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx---\left(41\right)$

$B_7=-2{\mathrm{\αmx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx---\left(42\right)$

$B_8=\mathrm{\α}{\∫}_0^{L}y(x,t)F_b(x,t)dx-{\mathrm{\αx}}_{a}c{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t)F_b(x,t)dx---\left(43\right)$

将边界条件带入以上式子，得到

$B_1=-\mathrm{\α}y(L,t)F\left(t\right)-{\mathrm{\αEI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(44\right)$

$\begin{array}{c}{B}_2\≤-\mathrm{\α}\mathrm{\η}y(L,t)\stackrel{\·}{F}\left(t\right)+\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}---\left(45\right)$

$B_3=\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)M\left(t\right)-\mathrm{\α}GJ{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(46\right)$

$B_4\≤\mathrm{\α}\mathrm{\η}\mathrm{\θ}(L,t)\stackrel{\·}{M}\left(t\right)+\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx$

$+{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(47\right)$

$B_7\≤2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(48\right)$

$\begin{array}{c}{B}_8\≤{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(49\right)$

以上σ₃-σ₇都是正常数；

因此，由B₁-B₈，得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)\≤-({\mathrm{\αEI}}_b-\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}-{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4){\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\mathrm{\α}GJ-\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}-{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2){\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\mathrm{\α}m+2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_p+\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ +\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ -\mathrm{\α}y(L,t)\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\end{array}$

$+(\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2---\left(50\right)$

由得到的式子(34)和(50)，整理得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(t\right)\≤-\[\mathrm{\α}y(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\]\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +\[\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\]\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ -({\mathrm{\αEI}}_b-\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}-{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4){\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\mathrm{\α}GJ-\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}-{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2){\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}-{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}-\mathrm{\α}m-2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_a{\mathrm{c\αI}}_p-{\mathrm{\αI}}_p-\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}-{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b){\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}-{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ){\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}+\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(51\right)$

令和为新的控制变量，设计控制率如下

$U\left(t\right)=k_1\[\mathrm{\α}y(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\]---\left(52\right)$

$V\left(t\right)=-k_2\[\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\]---\left(53\right)$

其中k₁≥0,k₂≥0为控制增益。

本发明的上述技术方案的有益效果如下：

上述方案中，通过利用哈密顿原理建立系统动力学模型，根据所述系统动力学模型设置边界控制率，充分考虑了系统存在分布式扰动情况，有效地抑制由外界扰动引起的柔性机翼变形，从而对柔性机翼精确、稳定的控制。

附图说明

图1为本发明的针对扑翼飞行器的振动控制方法流程图；

图2为本发明的针对扑翼飞行器的振动控制方法干扰下的弯曲位移仿真图；

图3为本发明的针对扑翼飞行器的振动控制方法干扰下的扭转位移仿真图。

具体实施方式

为使本发明要解决的技术问题、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图及具体实施例进行详细描述。

如图1所示，本发明实施例的一种针对扑翼飞行器的振动控制方法,所述针对扑翼飞行器的振动控制方法包括：

步骤101：以二自由度的柔性机翼为研究对象，计算系统动能、势能和虚功。

步骤102：利用哈密顿原理建立系统动力学模型。

步骤103：根据所述系统动力学模型设置边界控制率，所述边界控制率包括F(t)和M(t)，所述F(t)为边界控制力输入，M(t)为边界扭矩输入。

保证104：根据系统动力学模型结合边界控制率对柔性机翼进行控制。

本发明实施例的针对扑翼飞行器的振动控制方法，通过利用哈密顿原理建立系统动力学模型，根据所述系统动力学模型设置边界控制率，充分考虑了系统存在分布式扰动情况，有效地抑制由外界扰动引起的柔性机翼变形，从而对柔性机翼精确、稳定的控制。

优选的，所述以二自由度的柔性机翼为研究对象，计算系统动能、势能和虚功，包括：

将系统的动能E_k(t)表示如下：

$E_k\left(t\right)=\frac{1}{2}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\ρ}}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(1\right)$

其中，空间变量x和时间变量t是相互独立的,m是柔性机翼的单位展长质量；I_ρ是柔性翼的惯性极距；y(x,t)是xOy坐标系中位置x、时间t处的弯曲位移；θ(x,t)是相应的偏转角度位移；

将系统的势能E_p(t)表示如下：

$E_p\left(t\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{EI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{1}{2}GJ{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(2\right)$

其中，EI_b表示抗弯刚度，GJ是扭转刚度；

由以上两个刚度产生的虚功δW_c(t)为：

${\mathrm{\δW}}_c\left(t\right)={\mathrm{mx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\mathrm{\δ}\mathrm{\θ}(x,t)dx+{\mathrm{mx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\mathrm{\δ}y(x,t)dx---\left(3\right)$

其中x_ec表示机翼质心到弯曲中心的距离；

Kelvin-Voigt阻尼力所做的虚功δW_d(t)为：

${\mathrm{\δW}}_d\left(t\right)=-{\mathrm{\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t){\mathrm{\δy}}^{\′\′}(x,t)dx-{\mathrm{\ηGJ}}_b{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t){\mathrm{\δ\θ}}^{\′}(x,t)dx---\left(4\right)$

其中，η是Kelvin-Voigt阻尼系数；

分布干扰做的虚功δW_f(t)为：

${\mathrm{\δW}}_f\left(t\right)={\∫}_0^L\[F_b(x,t)\mathrm{\δ}y(x,t)-x_a{\mathrm{cF}}_b(x,t)\mathrm{\δ}\mathrm{\θ}(x,t)\]dx---\left(5\right)$

其中x_ac表示气动中心到弯曲中心的距离；F_b是沿着机翼方向未知的时变分布式干扰；

边界控制力对系统所做的虚功δW_u(t)为：

δW_u(t)＝F(t)δy(L,t)+M(t)δθ(L,t)(6)

上式中，F(t)是边界控制力输入；M(t)是边界扭矩输入；

于是，总虚功为：

δW(t)＝δ[W_c(t)+W_d(t)+W_f(t)+W_u(t)](7)

优选的，所述利用哈密顿原理建立系统动力学模型，包括：

利用哈密顿平稳作用量原理：

${\∫}_{t_1}^{t_2}\mathrm{\δ}\[E_K\left(t\right)-E_p\left(t\right)+W\left(t\right)\]dt=0$

此处δ代表变分符号，求得系统动力学模型的控制方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}(x,t)+{\mathrm{EI}}_b{y}^{\′\′\′\′}(x,t)-{\mathrm{mx}}_{e}c\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+{\mathrm{\ηEI}}_b{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)=F_b(x,t)---\left(8\right)$

$I_{\mathrm{\ρ}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)-{\mathrm{GJ\θ}}^{\′\′}(x,t)-{\mathrm{mx}}_{e}c\stackrel{\·\·}{y}(x,t)-\mathrm{\η}GJ{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)=-x_a{\mathrm{cF}}_b(x,t)---\left(9\right)$

求得系统动力学模型的边界条件为：

y(0,t)＝y′(0,t)＝y″(L,t)＝θ(0,t)＝0(10)

${\mathrm{EI}}_b{y}^{\′\′\′}(L,t)+{\mathrm{\ηEI}}_b{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′}(L,t)=-F\left(t\right)---\left(11\right)$

${\mathrm{GJ\θ}}^{\′}(L,t)+\mathrm{\η}GJ{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(L,t)=M\left(t\right)---\left(12\right)$

优选的，所述在系统动力学模型基础上设计边界控制器，包括两个控制律：F(t)和M(t)，所述F(t)为边界控制力输入，M(t)为边界扭矩输入，包括：

构造李雅普诺夫候选函数如下

V(t)＝V₁(t)+Δ(t)(13)

其中，V₁(t)和Δ(t)分别定义为

$V_1\left(t\right)=\frac{\mathrm{\β}}{2}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{\mathrm{\β}}{2}{\mathrm{EI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx$

$+\frac{\mathrm{\β}}{2}{I}_p{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{\mathrm{\β}}{2}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\]}^{2}dx---\left(14\right)$

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\left(t\right)=\mathrm{\α}m{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)y(x,t)dx+{\mathrm{\αI}}_p{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\mathrm{\θ}(x,t)dx\\ -{\mathrm{\αmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\mathrm{\θ}(x,t)+y(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ -{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx\end{array}---\left(15\right)$

以上两式中α和β都是较小的正权系数；

通过使李雅普诺夫候选函数正定，李雅普诺夫函数对时间t的导数负定设计边界控制率。

优选的，所述计算李雅普诺夫候选函数正定，李雅普诺夫函数对时间t的导数负定时的边界控制率，包括：

定义一个新的函数如下：

$\mathrm{\κ}\left(t\right)={\∫}_0^L\{{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^2+{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^2+{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^2+{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^2\}dx---\left(16\right)$

则V₁(t)有上界和下界为

γ₂κ(t)≤V₁(t)≤γ₁κ(t)(17)

上式中，

进一步，Δ(t)放大为

$\begin{array}{c}\left|\mathrm{\Δ}\left(t\right)\right|\≤(\mathrm{\α}m+{\mathrm{\αmx}}_{e}c+{\mathrm{\βmx}}_{e}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_P+{\mathrm{\αmx}}_{e}c+{\mathrm{\βmx}}_{e}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\mathrm{\α}m+{\mathrm{\αmx}}_{e}c)L^4{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}$

$+({\mathrm{\αI}}_p+{\mathrm{\αmx}}_{e}c)L^2{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\≤{\mathrm{\γ}}_3\mathrm{\κ}\left(t\right)---\left(18\right)$

其中

γ₃＝max{αm+αmx_ec+βmx_ec,αI_P+αmx_ec+βmx_ec,(αm+αmx_ec)L⁴,(αI_p+αmx_ec)L²}若正数β满足则有

0≤λ₂κ(t)≤V(t)≤λ₁κ(t)(19)

即构造的李雅普诺夫函数正定，其中λ₁＝γ₁+γ₃，λ₂＝γ₂-γ₃；

V(t)对t求导后得

$\stackrel{\·}{V}\left(t\right)={\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)+\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)---\left(20\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)=\mathrm{\β}m{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{y}(x,t)dx+{\mathrm{\βI}}_p{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx\\ +\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)dx+{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L{y}^{\′\′}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)dx\end{array}---\left(21\right)$

将控制方程(8)和(9)带入上式，得到

${\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6---\left(22\right)$

其中，A₁-A₆每项分别为

$A_1=-{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)y^{\′\′\′\′}(x,t)dx+{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L{y}^{\′\′}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(23\right)$

$A_2=-{\mathrm{\β\ηEI}}_b{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(24\right)$

$A_3={\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx---\left(25\right)$

$A_4=\mathrm{\β}{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)F_b(x,t)dx-{\mathrm{\βx}}_{a}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)F_b(x,t)dx---\left(26\right)$

$A_5=\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t){\mathrm{\θ}}^{\′\′}(x,t)dx+\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)dx---\left(27\right)$

$A_6=\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(28\right)$

应用分部积分和边界条件(10)，(11)和(12)，得

$A_1=-{\mathrm{\βEI}}_b\stackrel{\·}{y}(L,t)y^{\′\′\′}(L,t)=-\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)F\left(t\right)---\left(29\right)$

$A_2\≤-\mathrm{\β}\mathrm{\η}\stackrel{\·}{y}(L,t)\stackrel{\·}{F}\left(t\right)-\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(30\right)$

$A_4\≤{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_{a}c{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx+(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2---\left(31\right)$

其中，σ₁和σ₂是正常数，F_bmax是分布式干扰F_b(x,t)的最大值；

$A_5=\mathrm{\β}GJ\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t){\mathrm{\θ}}^{\′}(L,t)=\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)M\left(t\right)---\left(32\right)$

$A_6\≤\mathrm{\β}\mathrm{\η}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\stackrel{\·}{M}\left(t\right)-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(33\right)$

通过以上A₁-A₆，得到如下

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)\≤-(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}-{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx-(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_{a}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ -\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ -\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\end{array}$

$\begin{array}{c}+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ +(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(34\right)$

同样，Δ(t)对t求导得

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)=B_1+B_2+\mathrm{...}{B}_8---\left(35\right)$

$B_1=-{\mathrm{\αEI}}_b{\∫}_0^{L}y(x,t)y^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(36\right)$

$B_2=-{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^{L}y(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(37\right)$

$B_3=\mathrm{\α}GJ{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t){\mathrm{\θ}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(38\right)$

$B_4=\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(39\right)$

$B_5=\mathrm{\α}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\αI}}_p{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(40\right)$

$B_6=-{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx---\left(41\right)$

$B_7=-2{\mathrm{\αmx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx---\left(42\right)$

$B_8=\mathrm{\α}{\∫}_0^{L}y(x,t)F_b(x,t)dx-{\mathrm{\αx}}_{a}c{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t)F_b(x,t)dx---\left(43\right)$

将边界条件带入以上式子，得到

$B_1=-\mathrm{\α}y(L,t)F\left(t\right)-{\mathrm{\αEI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(44\right)$

$B_2\≤-\mathrm{\α}\mathrm{\η}y(L,t)\stackrel{\·}{F}\left(t\right)+\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx$

$+{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(45\right)$

$B_3=\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)M\left(t\right)-\mathrm{\α}GJ{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(46\right)$

$\begin{array}{c}{B}_4\≤\mathrm{\α}\mathrm{\η}\mathrm{\θ}(L,t)\stackrel{\·}{M}\left(t\right)+\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}---\left(47\right)$

$B_7\≤2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(48\right)$

$\begin{array}{c}{B}_8\≤{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(49\right)$

以上σ₃-σ₇都是正常数；

因此，由B₁-B₈，得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)\≤-({\mathrm{\αEI}}_b-\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}-{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4){\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\mathrm{\α}GJ-\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}-{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2){\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\mathrm{\α}m+2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_p+\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}$

$\begin{array}{c}+{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ +\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ -\mathrm{\α}y(L,t)\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +(\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(50\right)$

由得到的式子(34)和(50)，整理得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(t\right)\≤-\[\mathrm{\α}y(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\]\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +\[\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\]\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ -({\mathrm{\αEI}}_b-\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}-{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4){\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\mathrm{\α}GJ-\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}-{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2){\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}-{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}-\mathrm{\α}m-2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_a{\mathrm{c\αI}}_p-{\mathrm{\αI}}_p-\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}-{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b){\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}-{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ){\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}+\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(51\right)$

令和为新的控制变量，设计控制率如下

$U\left(t\right)=k_1\[\mathrm{\α}y(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\]---\left(52\right)$

$V\left(t\right)=-k_2\[\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\]---\left(53\right)$

其中k₁≥0,k₂≥0为控制增益。

优选的，只需令以及进一步得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(t\right)\≤-{\mathrm{\μ}}_1{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx-{\mathrm{\μ}}_2{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ -{\mathrm{\μ}}_3{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx-{\mathrm{\μ}}_4{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx+\mathrm{\ϵ}\\ -{\mathrm{\λ}}_3\mathrm{\κ}\left(t\right)+\mathrm{\ϵ}\end{array}---\left(54\right)$

其中

${\mathrm{\μ}}_1=\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}-{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}-\mathrm{\α}m-2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5>0---\left(55\right)$

${\mathrm{\μ}}_2=\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_a{\mathrm{c\αI}}_p-{\mathrm{\αI}}_p-\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}>0---\left(56\right)$

${\mathrm{\μ}}_3={\mathrm{\αEI}}_b-\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}-{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4>0---\left(57\right)$

${\mathrm{\μ}}_4=\mathrm{\α}GJ-\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}-{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2>0---\left(58\right)$

λ₃＝min(μ₁,μ₂,μ₃,μ₄)>0(59)

$\mathrm{\ϵ}=(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}+\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2---\left(60\right)$

由(19)式和式(54)，得

$\stackrel{\·}{V}\left(t\right)\≤-\mathrm{\λ}V\left(t\right)+\mathrm{\ϵ}---\left(61\right)$

其中λ＝λ₃/λ₁，上式表明，只要选择参数，就能保证负定。

优选的，对(61)的不等式积分，得到

$\begin{array}{c}V\left(t\right)\≤\left(V\right(0)-\frac{\mathrm{\ϵ}}{\mathrm{\λ}})e^{-\mathrm{\λ}t}+\frac{\mathrm{\ϵ}}{\mathrm{\λ}}\\ \≤V\left(0\right)e^{-\mathrm{\λ}t}+\frac{\mathrm{\ϵ}}{\mathrm{\λ}}\∈L_{\mathrm{\∞}}\end{array}---\left(62\right)$

即证明了V(t)是有界的。进一步有

$\begin{array}{c}\frac{1}{L^3}{y}^2(x,t)\≤\frac{1}{L^2}{\∫}_0^L{\[y^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\≤{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ \≤\mathrm{\κ}\left(t\right)\≤\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_2}V\left(t\right)\∈L_{\mathrm{\∞}}\end{array}---\left(63\right)$

$\frac{1}{L}{\mathrm{\θ}}^2(x,t)\≤\frac{1}{L^2}{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\≤\mathrm{\κ}\left(t\right)\≤\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_2}V\left(t\right)\∈L_{\mathrm{\∞}}---\left(64\right)$

得

$\left|y(x,t)\right|\≤\sqrt{\frac{L^3}{{\mathrm{\λ}}_2}\left(V\right(0)e^{-\mathrm{\λ}t}+\frac{\mathrm{\ϵ}}{\mathrm{\λ}})}---\left(65\right)$

$\left|\mathrm{\θ}(x,t)\right|\≤\sqrt{\frac{L}{{\mathrm{\λ}}_2}\left(V\right(0)e^{-\mathrm{\λ}t}+\frac{\mathrm{\ϵ}}{\mathrm{\λ}})}---\left(66\right)$

当t趋于无穷大时

$\left|y(x,t)\right|\≤\sqrt{\frac{L^3\mathrm{\ϵ}}{{\mathrm{\λ}}_2\mathrm{\λ}}},\∀x\∈\[0,L\]---\left(67\right)$

$\left|\mathrm{\θ}(x,t)\right|\≤\sqrt{\frac{L\mathrm{\ϵ}}{{\mathrm{\λ}}_2\mathrm{\λ}}},\∀x\∈\[0,L\]---\left(68\right)$

即证明了系统状态y(x,t)和θ(x,t)是一致有界的。

综上，由李雅普诺夫直接法可知，对由控制方程(8)、(9)以及边界条件(10)、(11)、(12)所描述的系统采用边界控制(52)、(53)，在初始状态有界的条件下，闭环系统能实现一致有界性。

本发明实施例的针对扑翼飞行器的振动控制方法,下面我们将基于MATLAB平台进行数值仿真，验证我们针对柔性机翼变形问题提出的控制器的效果。使用有限差分近似法来得到式(8)、(9)中状态量的近似值。系统参数选取如下表：

表1飞行器柔性机翼参数表

仿真初始条件为外界的分布式干扰取F_b(x,t)＝[1+sin(πt)+3cos(3πt)]x。

由仿真图2、图3可看出本发明所设计的边界控制器能够有效抑制柔性机翼的变形。

本发明还提供一种针对扑翼飞行器的振动控制装置，所述针对扑翼飞行器的振动控制器包括：

系统数据获取模块，用于以二自由度的柔性机翼为研究对象，计算系统动能、势能和虚功；

模型建立模块，用于利用哈密顿原理建立系统动力学模型；

控制率设置模块，用于根据所述系统动力学模型设置边界控制率，所述边界控制率包括F(t)和M(t)，所述F(t)为边界控制力输入，M(t)为边界扭矩输入；

机翼控制模块，用于根据系统动力学模型结合边界控制率对柔性机翼进行控制。

优选的，所述系统数据获取模块包括：

系统动能获取单元，用于将系统的动能E_k(t)表示如下：

$E_k\left(t\right)=\frac{1}{2}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\ρ}}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(1\right)$

其中，空间变量x和时间变量t是相互独立的,m是柔性机翼的单位展长质量；I_ρ是柔性翼的惯性极距；y(x,t)是xOy坐标系中位置x、时间t处的弯曲位移；θ(x,t)是相应的偏转角度位移；

系统势能获取单元，用于将系统的势能E_p(t)表示如下：

$E_p\left(t\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{EI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{1}{2}GJ{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(2\right)$

其中，EI_b表示抗弯刚度，GJ是扭转刚度；

系统虚功获取单元，用于由以上两个刚度产生的虚功δW_c(t)为：

${\mathrm{\δW}}_c\left(t\right)={\mathrm{mx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\mathrm{\δ}\mathrm{\θ}(x,t)dx+{\mathrm{mx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\mathrm{\δ}y(x,t)dx---\left(3\right)$

其中x_ec表示机翼质心到弯曲中心的距离；

Kelvin-Voigt阻尼力所做的虚功δW_d(t)为：

${\mathrm{\δW}}_d\left(t\right)=-{\mathrm{\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t){\mathrm{\δy}}^{\′\′}(x,t)dx-{\mathrm{\ηGJ}}_b{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t){\mathrm{\δ\θ}}^{\′}(x,t)dx---\left(4\right)$

其中，η是Kelvin-Voigt阻尼系数；

分布干扰做的虚功δW_f(t)为：

${\mathrm{\δW}}_f\left(t\right)={\∫}_0^L\[F_b(x,t)\mathrm{\δ}y(x,t)-x_a{\mathrm{cF}}_b(x,t)\mathrm{\δ}\mathrm{\θ}(x,t)\]dx---\left(5\right)$

其中x_ac表示气动中心到弯曲中心的距离；F_b是沿着机翼方向未知的时变分布式干扰；

边界控制力对系统所做的虚功δW_u(t)为：

δW_u(t)＝F(t)δy(L,t)+M(t)δθ(L,t)(6)

上式中，F(t)是边界控制力输入；M(t)是边界扭矩输入；

于是，总虚功为：

δW(t)＝δ[W_c(t)+W_d(t)+W_f(t)+W_u(t)](7)

优选的，所述模型建立模块包括：

模型建立单元，用于利用哈密顿平稳作用量原理：

${\∫}_{t_1}^{t_2}\mathrm{\δ}\[E_K\left(t\right)-E_p\left(t\right)+W\left(t\right)\]dt=0$

此处δ代表变分符号，求得系统动力学模型的控制方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}(x,t)+{\mathrm{EI}}_b{y}^{\′\′\′\′}(x,t)-{\mathrm{mx}}_{e}c\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+{\mathrm{\ηEI}}_b{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)=F_b(x,t)---\left(8\right)$

$I_{\mathrm{\ρ}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)-{\mathrm{GJ\θ}}^{\′\′}(x,t)-{\mathrm{mx}}_{e}c\stackrel{\·\·}{y}(x,t)-\mathrm{\η}GJ{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)=-x_a{\mathrm{cF}}_b(x,t)---\left(9\right)$

求得系统动力学模型的边界条件为：

y(0,t)＝y′(0,t)＝y″(L,t)＝θ(0,t)＝0(10)

${\mathrm{EI}}_b{y}^{\′\′\′}(L,t)+{\mathrm{\ηEI}}_b{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′}(L,t)=-F\left(t\right)---\left(11\right)$

${\mathrm{GJ\θ}}^{\′}(L,t)+\mathrm{\η}GJ{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(L,t)=M\left(t\right)---\left(12\right)$

优选的，所述控制率设置模块包括：

函数构造单元，用于构造李雅普诺夫候选函数如下

V(t)＝V₁(t)+Δ(t)(13)

其中，V₁(t)和Δ(t)分别定义为

$\begin{array}{c}{V}_1\left(t\right)=\frac{\mathrm{\β}}{2}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{\mathrm{\β}}{2}{\mathrm{EI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +\frac{\mathrm{\β}}{2}{I}_p{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{\mathrm{\β}}{2}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\]}^{2}dx\end{array}---\left(14\right)$

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\left(t\right)=\mathrm{\α}m{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)y(x,t)dx+{\mathrm{\αI}}_p{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\mathrm{\θ}(x,t)dx\\ -{\mathrm{\αmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\mathrm{\θ}(x,t)+y(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ -{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx\end{array}---\left(15\right)$

以上两式中α和β都是较小的正权系数；

通过使李雅普诺夫候选函数正定，李雅普诺夫函数对时间t的导数负定设计边界控制率。

优选的，所述控制率计算单元包括：

正定子单元，用于定义一个新的函数如下：

$\mathrm{\κ}\left(t\right)={\∫}_0^L\{{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^2+{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^2+{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^2+{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^2\}dx---\left(16\right)$

则V₁(t)有上界和下界为

γ₂κ(t)≤V₁(t)≤γ₁κ(t)(17)

上式中，

进一步，Δ(t)放大为

$\begin{array}{c}\left|\mathrm{\Δ}\left(t\right)\right|\≤(\mathrm{\α}m+{\mathrm{\αmx}}_{e}c+{\mathrm{\βmx}}_{e}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_P+{\mathrm{\αmx}}_{e}c+{\mathrm{\βmx}}_{e}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\mathrm{\α}m+{\mathrm{\αmx}}_{e}c)L^4{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_p+{\mathrm{\αmx}}_{e}c)L^2{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\≤{\mathrm{\γ}}_3\mathrm{\κ}\left(t\right)\end{array}---\left(18\right)$

其中

γ₃＝max{αm+αmx_ec+βmx_ec,αI_P+αmx_ec+βmx_ec,(αm+αmx_ec)L⁴,(αI_p+αmx_ec)L²}若正数β满足则有

0≤λ₂κ(t)≤V(t)≤λ₁κ(t)(19)

即构造的李雅普诺夫函数正定，其中λ₁＝γ₁+γ₃，λ₂＝γ₂-γ₃；

负定子单元，用于V(t)对t求导后得

$\stackrel{\·}{V}\left(t\right)={\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)+\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)---\left(20\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)=\mathrm{\β}m{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{y}(x,t)dx+{\mathrm{\βI}}_p{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx\\ +\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)dx+{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L{y}^{\′\′}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)dx\end{array}---\left(21\right)$

将控制方程(8)和(9)带入上式，得到

${\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6---\left(22\right)$

其中，A₁-A₆每项分别为

$A_1=-{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)y^{\′\′\′\′}(x,t)dx+{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L{y}^{\′\′}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(23\right)$

$A_2=-{\mathrm{\β\ηEI}}_b{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(24\right)$

$A_3={\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx---\left(25\right)$

$A_4=\mathrm{\β}{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)F_b(x,t)dx-{\mathrm{\βx}}_{a}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)F_b(x,t)dx---\left(26\right)$

$A_5=\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t){\mathrm{\θ}}^{\′\′}(x,t)dx+\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)dx---\left(27\right)$

$A_6=\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(28\right)$

应用分部积分和边界条件(10)，(11)和(12)，得

$A_1=-{\mathrm{\βEI}}_b\stackrel{\·}{y}(L,t)y^{\′\′\′}(L,t)=-\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)F\left(t\right)---\left(29\right)$

$A_2\≤-\mathrm{\β}\mathrm{\η}\stackrel{\·}{y}(L,t)\stackrel{\·}{F}\left(t\right)-\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(30\right)$

$A_4\≤{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_{a}c{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx+(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2---\left(31\right)$

其中，σ₁和σ₂是正常数，F_bmax是分布式干扰F_b(x,t)的最大值；

$A_5=\mathrm{\β}GJ\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t){\mathrm{\θ}}^{\′}(L,t)=\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)M\left(t\right)---\left(32\right)$

$A_6\≤\mathrm{\β}\mathrm{\η}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\stackrel{\·}{M}\left(t\right)-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(33\right)$

通过以上A₁-A₆，得到如下

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)\≤-(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}-{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx-(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_{a}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ -\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ -\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ +(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(34\right)$

同样，Δ(t)对t求导得

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)=B_1+B_2+\mathrm{...}{B}_8---\left(35\right)$

$B_1=-{\mathrm{\αEI}}_b{\∫}_0^{L}y(x,t)y^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(36\right)$

$B_2=-{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^{L}y(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(37\right)$

$B_3=\mathrm{\α}GJ{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t){\mathrm{\θ}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(38\right)$

$B_4=\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(39\right)$

$B_5=\mathrm{\α}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\αI}}_p{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(40\right)$

$B_6=-{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx---\left(41\right)$

$B_7=-2{\mathrm{\αmx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx---\left(42\right)$

$B_8=\mathrm{\α}{\∫}_0^{L}y(x,t)F_b(x,t)dx-{\mathrm{\αx}}_{a}c{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t)F_b(x,t)dx---\left(43\right)$

将边界条件带入以上式子，得到

$B_1=-\mathrm{\α}y(L,t)F\left(t\right)-{\mathrm{\αEI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(44\right)$

$\begin{array}{c}{B}_2\≤-\mathrm{\α}\mathrm{\η}y(L,t)\stackrel{\·}{F}\left(t\right)+\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}---\left(45\right)$

$B_3=\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)M\left(t\right)-\mathrm{\α}GJ{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(46\right)$

$\begin{array}{c}{B}_4\≤\mathrm{\α}\mathrm{\η}\mathrm{\θ}(L,t)\stackrel{\·}{M}\left(t\right)+\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}---\left(47\right)$

$B_7\≤2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(48\right)$

$\begin{array}{c}{B}_8\≤{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(49\right)$

以上σ₃-σ₇都是正常数；

因此，由B₁-B₈，得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)\≤-({\mathrm{\αEI}}_b-\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}-{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4){\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\mathrm{\α}GJ-\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}-{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2){\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\mathrm{\α}m+2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_p+\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ +\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ -\mathrm{\α}y(L,t)\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +(\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(50\right)$

由式子(34)和(50)，整理得

$\stackrel{\·}{V}\left(t\right)\≤-\[\mathrm{\α}y(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\]\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]$

$\begin{array}{c}+\[\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\]\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ -({\mathrm{\αEI}}_b-\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}-{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4){\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\mathrm{\α}GJ-\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}-{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2){\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}-{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}-\mathrm{\α}m-2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_a{\mathrm{c\αI}}_p-{\mathrm{\αI}}_p-\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}-{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b){\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}-{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ){\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}+\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(51\right)$

令和为新的控制变量，设计控制率如下

$U\left(t\right)=k_1\[\mathrm{\α}y(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\]---\left(52\right)$

$V\left(t\right)=-k_2\[\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\]---\left(53\right)$

其中k₁≥0,k₂≥0为控制增益。

本发明实施例的针对扑翼飞行器的振动控制装置，采用的方法为针对扑翼飞行器的振动控制方法，因此针对扑翼飞行器的振动控制装置的特征与针对扑翼飞行器的振动控制方法相同，在此不再赘述。

以上所述是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明所述原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (10)

1.一种针对扑翼飞行器的振动控制方法,其特征在于，所述针对扑翼飞行器的振动控制方法包括：

以二自由度的柔性机翼为研究对象，计算系统动能、势能和虚功；

利用哈密顿原理建立系统动力学模型；

根据所述系统动力学模型设置边界控制率，所述边界控制率包括F(t)和M(t)，所述F(t)为边界控制力输入，M(t)为边界扭矩输入；

根据系统动力学模型结合边界控制率对柔性机翼进行控制。

2.根据权利要求1所述的针对扑翼飞行器的振动控制方法,其特征在于，所述以二自由度的柔性机翼为研究对象，计算系统动能、势能和虚功，包括：

将系统的动能E_k(t)表示如下：

$E_k\left(t\right)=\frac{1}{2}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\ρ}}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(1\right)$

其中，空间变量x和时间变量t是相互独立的,m是柔性机翼的单位展长质量；I_ρ是柔性翼的惯性极距；y(x,t)是xOy坐标系中位置x、时间t处的弯曲位移；θ(x,t)是相应的偏转角度位移；

将系统的势能E_p(t)表示如下：

$E_p\left(t\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{EI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{1}{2}GJ{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(2\right)$

其中，EI_b表示抗弯刚度，GJ是扭转刚度；

由以上两个刚度产生的虚功δW_c(t)为：

${\mathrm{\δW}}_c\left(t\right)={\mathrm{mx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\mathrm{\δ}\mathrm{\θ}(x,t)dx+{\mathrm{mx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\mathrm{\δ}y(x,t)dx---\left(3\right)$

其中x_ec表示机翼质心到弯曲中心的距离；

Kelvin-Voigt阻尼力所做的虚功δW_d(t)为：

${\mathrm{\δW}}_d\left(t\right)=-{\mathrm{\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t){\mathrm{\δy}}^{\′\′}(x,t)dx-{\mathrm{\ηGJ}}_b{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t){\mathrm{\δ\θ}}^{\′}(x,t)dx---\left(4\right)$

其中，η是Kelvin-Voigt阻尼系数；

分布干扰做的虚功δW_f(t)为：

${\mathrm{\δW}}_f\left(t\right)={\∫}_0^L\[F_b(x,t)\mathrm{\δ}y(x,t)-x_a{\mathrm{cF}}_b(x,t)\mathrm{\δ}\mathrm{\θ}(x,t)\]dx---\left(5\right)$

其中x_ac表示气动中心到弯曲中心的距离；F_b是沿着机翼方向未知的时变分布式干扰；

边界控制力对系统所做的虚功δW_u(t)为：

δW_u(t)＝F(t)δy(L,t)+M(t)δθ(L,t)(6)

上式中，F(t)是边界控制力输入；M(t)是边界扭矩输入；

于是，总虚功为：

δW(t)＝δ[W_c(t)+W_d(t)+W_f(t)+W_u(t)](7)

3.根据权利要求2所述的针对扑翼飞行器的振动控制方法,其特征在于，所述利用哈密顿原理建立系统动力学模型，包括：

利用哈密顿平稳作用量原理：

${\∫}_{t_1}^{t_2}\mathrm{\δ}\[E_K\left(t\right)-E_p\left(t\right)+W\left(t\right)\]dt=0$

此处δ代表变分符号，求得系统动力学模型的控制方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}(x,t)+{\mathrm{EI}}_b{y}^{\′\′\′\′}(x,t)-{\mathrm{mx}}_{e}c\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+{\mathrm{\ηEI}}_b{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)=F_b(x,t)---\left(8\right)$

$I_{\mathrm{\ρ}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)-{\mathrm{GJ\θ}}^{\′\′}(x,t)-{\mathrm{mx}}_{e}c\stackrel{\·\·}{y}(x,t)-\mathrm{\η}GJ{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)=-x_a{\mathrm{cF}}_b(x,t)---\left(9\right)$

求得系统动力学模型的边界条件为：

y(0,t)＝y′(0,t)＝y″(L,t)＝θ(0,t)＝0(10)

${\mathrm{EI}}_b{y}^{\′\′\′}(L,t)+{\mathrm{\ηEI}}_b{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′}(L,t)=-F\left(t\right)---\left(11\right)$

${\mathrm{GJ\θ}}^{\′}(L,t)+\mathrm{\η}GJ{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(L,t)=M\left(t\right)---\left(12\right)$

4.根据权利要求3所述的针对扑翼飞行器的振动控制方法,其特征在于，所述在系统动力学模型基础上设计边界控制器，包括两个控制律：F(t)和M(t)，所述F(t)为边界控制力输入，M(t)为边界扭矩输入，包括：

构造李雅普诺夫候选函数如下

V(t)＝V₁(t)+Δ(t)(13)

其中，V₁(t)和Δ(t)分别定义为

$\begin{array}{c}{V}_1\left(t\right)=\frac{\mathrm{\β}}{2}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{\mathrm{\β}}{2}{\mathrm{EI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +\frac{\mathrm{\β}}{2}{I}_p{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{\mathrm{\β}}{2}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}{\[(x,t)\]}^{2}dx\end{array}---\left(14\right)$

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\left(t\right)=\mathrm{\α}m{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)y(x,t)dx+{\mathrm{\αI}}_p{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\mathrm{\θ}(x,t)dx\\ -{\mathrm{\αmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\mathrm{\θ}(x,t)+y(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ -{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx\end{array}---\left(15\right)$

以上两式中α和β都是较小的正权系数；

通过使李雅普诺夫候选函数正定，李雅普诺夫函数对时间t的导数负定设计边界控制率。

5.根据权利要求4所述的针对扑翼飞行器的振动控制方法,其特征在于，所述计算李雅普诺夫候选函数正定，李雅普诺夫函数对时间t的导数负定时的边界控制率，包括：

定义一个新的函数如下：

$\mathrm{\κ}\left(t\right)={\∫}_0^L\{{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^2+{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^2+{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^2+{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^2\}dx---\left(16\right)$

则V₁(t)有上界和下界为

γ₂κ(t)≤V₁(t)≤γ₁κ(t)(17)

上式中，

进一步，Δ(t)放大为

$\begin{array}{c}\left|\mathrm{\Δ}\left(t\right)\right|\≤(\mathrm{\α}m+{\mathrm{\αmx}}_{e}c+{\mathrm{\βmx}}_{e}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_P+{\mathrm{\αmx}}_{e}c+{\mathrm{\βmx}}_{e}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\mathrm{\α}m+{\mathrm{\αmx}}_{e}c)L^4{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_p+{\mathrm{\αmx}}_{e}c)L^2{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\≤{\mathrm{\γ}}_3\mathrm{\κ}\left(t\right)\end{array}---\left(18\right)$

其中

γ₃＝max{αm+αmx_ec+βmx_ec,αI_P+αmx_ec+βmx_ec,(αm+αmx_ec)L⁴,(αI_p+αmx_ec)L²}

若正数β满足则有

0≤λ₂κ(t)≤V(t)≤λ₁κ(t)(19)

即构造的李雅普诺夫函数正定，其中λ₁＝γ₁+γ₃，λ₂＝γ₂-γ₃；

V(t)对t求导后得

$\stackrel{\·}{V}\left(t\right)={\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)+\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)---\left(20\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)=\mathrm{\β}m{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{y}(x,t)dx+{\mathrm{\βI}}_p{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx\\ +\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)dx+{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L{y}^{\′\′}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)dx\end{array}---\left(21\right)$

将控制方程(8)和(9)带入上式，得到

${\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6---\left(22\right)$

其中，A₁-A₆每项分别为

$A_1=-{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)y^{\′\′\′\′}(x,t)dx+{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L{y}^{\′\′}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(23\right)$

$A_2=-{\mathrm{\β\ηEI}}_b{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(24\right)$

$A_3={\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx---\left(25\right)$

$A_4=\mathrm{\β}{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)F_b(x,t)dx-{\mathrm{\βx}}_{a}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)F_b(x,t)dx---\left(26\right)$

$A_5=\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t){\mathrm{\θ}}^{\′\′}(x,t)dx+\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)dx---\left(27\right)$

$A_6=\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(28\right)$

应用分部积分和边界条件(10)，(11)和(12)，得

$A_1=-{\mathrm{\βEI}}_b\stackrel{\·}{y}(L,t)y^{\′\′\′}(L,t)=-\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)F\left(t\right)---\left(29\right)$

$A_2\≤-\mathrm{\β}\mathrm{\η}\stackrel{\·}{y}(L,t)\stackrel{\·}{F}\left(t\right)-\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(30\right)$

$A_4\≤{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_{a}c{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx+(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2---\left(31\right)$

其中，σ₁和σ₂是正常数，F_bmax是分布式干扰F_b(x,t)的最大值；

$A_5=\mathrm{\β}GJ\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t){\mathrm{\θ}}^{\′}(L,t)=\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)M\left(t\right)---\left(32\right)$

$A_6\≤\mathrm{\β}\mathrm{\η}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\stackrel{\·}{M}\left(t\right)-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(33\right)$

通过以上A₁-A₆，得到如下

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)\≤-(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}-{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx-(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_{a}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ -\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ -\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ +(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(34\right)$

同样，Δ(t)对t求导得

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)=B_1+B_2+\mathrm{...}{B}_8---\left(35\right)$

$B_1=-{\mathrm{\αEI}}_b{\∫}_0^{L}y(x,t)y^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(36\right)$

$B_2=-{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^{L}y(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(37\right)$

$B_3=\mathrm{\α}GJ{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t){\mathrm{\θ}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(38\right)$

$B_4=\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(39\right)$

$B_5=\mathrm{\α}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\αI}}_p{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(40\right)$

$B_6=-{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx---\left(41\right)$

$B_7=-2{\mathrm{\αmx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx---\left(42\right)$

$B_8=\mathrm{\α}{\∫}_0^{L}y(x,t)F_b(x,t)dx-{\mathrm{\αx}}_{a}c{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t)F_b(x,t)dx---\left(43\right)$

将边界条件带入以上式子，得到

$B_1=-\mathrm{\α}y(L,t)F\left(t\right)-{\mathrm{\αEI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(44\right)$

$\begin{array}{c}{B}_2\≤-\mathrm{\α}\mathrm{\η}y(L,t)\stackrel{\·}{F}\left(t\right)+\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}---\left(45\right)$

$B_3=\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)M\left(t\right)-\mathrm{\α}GJ{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(46\right)$

$\begin{array}{c}{B}_4\≤\mathrm{\α}\mathrm{\η}\mathrm{\θ}(L,t)\stackrel{\·}{M}\left(t\right)+\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}---\left(47\right)$

$B_7\≤2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(48\right)$

$\begin{array}{c}{B}_8\≤{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(49\right)$

以上σ₃-σ₇都是正常数；

因此，由B₁-B₈，得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)\≤-({\mathrm{\αEI}}_b-\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}-{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4){\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\mathrm{\α}GJ-\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}-{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2){\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\mathrm{\α}m+2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_p+\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ +\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ -\mathrm{\α}y(L,t)\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +(\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(50\right)$

由得到的式子(34)和(50)，整理得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(t\right)\≤-\[\mathrm{\α}y(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\]\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +\[\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\]\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ -({\mathrm{\αEI}}_b-\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}-{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4){\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\mathrm{\α}GJ-\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}-{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2){\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}-{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}-\mathrm{\α}m-2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_a{\mathrm{c\αI}}_p-{\mathrm{\αI}}_p-\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}-{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b){\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}-{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ){\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}+\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(51\right)$

令和为新的控制变量，设计控制率如下

$U\left(t\right)=k_1\[\mathrm{\α}y(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\]---\left(52\right)$

$V\left(t\right)=-k_2\[\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\]---\left(53\right)$

其中k₁≥0,k₂≥0为控制增益。

6.一种针对扑翼飞行器的振动控制装置，其特征在于，所述针对扑翼飞行器的振动控制器包括：

系统数据获取模块，用于以二自由度的柔性机翼为研究对象，计算系统动能、势能和虚功；

模型建立模块，用于利用哈密顿原理建立系统动力学模型；

控制率设置模块，用于根据所述系统动力学模型设置边界控制率，所述边界控制率包括F(t)和M(t)，所述F(t)为边界控制力输入，M(t)为边界扭矩输入；

机翼控制模块，用于根据系统动力学模型结合边界控制率对柔性机翼进行控制。

7.根据权利要求6所述的针对扑翼飞行器的振动控制器，其特征在于，所述系统数据获取模块包括：

系统动能获取单元，用于将系统的动能E_k(t)表示如下：

$E_k\left(t\right)=\frac{1}{2}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{\ρ}}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(1\right)$

其中，空间变量x和时间变量t是相互独立的,m是柔性机翼的单位展长质量；I_ρ是柔性翼的惯性极距；y(x,t)是xOy坐标系中位置x、时间t处的弯曲位移；θ(x,t)是相应的偏转角度位移；

系统势能获取单元，用于将系统的势能E_p(t)表示如下：

$E_p\left(t\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{EI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{1}{2}GJ{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(2\right)$

其中，EI_b表示抗弯刚度，GJ是扭转刚度；

系统虚功获取单元，用于由以上两个刚度产生的虚功δW_c(t)为：

${\mathrm{\δW}}_c\left(t\right)={\mathrm{mx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\mathrm{\δ}\mathrm{\θ}(x,t)dx+{\mathrm{mx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\mathrm{\δ}y(x,t)dx---\left(3\right)$

其中x_ec表示机翼质心到弯曲中心的距离；

Kelvin-Voigt阻尼力所做的虚功δW_d(t)为：

${\mathrm{\δW}}_d\left(t\right)=-{\mathrm{\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t){\mathrm{\δy}}^{\′\′}(x,t)dx-\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t){\mathrm{\δ\θ}}^{\′}(x,t)dx---\left(4\right)$

其中，η是Kelvin-Voigt阻尼系数；

分布干扰做的虚功δW_f(t)为：

${\mathrm{\δW}}_f\left(t\right)={\∫}_0^L\[F_b(x,t)\mathrm{\δ}y(x,t)-x_a{\mathrm{cF}}_b(x,t)\mathrm{\δ}\mathrm{\θ}(x,t)\]dx---\left(5\right)$

其中x_ac表示气动中心到弯曲中心的距离；F_b是沿着机翼方向未知的时变分布式干扰；

边界控制力对系统所做的虚功δW_u(t)为：

δW_u(t)＝F(t)δy(L,t)+M(t)δθ(L,t)(6)

上式中，F(t)是边界控制力输入；M(t)是边界扭矩输入；

于是，总虚功为：

δW(t)＝δ[W_c(t)+W_d(t)+W_f(t)+W_u(t)](7)

8.根据权利要求7所述的针对扑翼飞行器的振动控制装置，其特征在于，所述模型建立模块包括：

模型建立单元，用于利用哈密顿平稳作用量原理：

${\∫}_{t_1}^{t_2}\mathrm{\δ}\[E_K\left(t\right)-E_p\left(t\right)+W\left(t\right)\]dt=0$

此处δ代表变分符号，求得系统动力学模型的控制方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}(x,t)+{\mathrm{EI}}_b{y}^{\′\′\′\′}(x,t)-{\mathrm{mx}}_{e}c\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+{\mathrm{\ηEI}}_b{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)=F_b(x,t)---\left(8\right)$

$I_{\mathrm{\ρ}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)-{\mathrm{GJ\θ}}^{\′\′}(x,t)-{\mathrm{mx}}_{e}c\stackrel{\·\·}{y}(x,t)-\mathrm{\η}GJ{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)=-x_a{\mathrm{cF}}_b(x,t)---\left(9\right)$

求得系统动力学模型的边界条件为：

y(0,t)＝y′(0,t)＝y″(L,t)＝θ(0,t)＝0(10)

${\mathrm{EI}}_b{y}^{\′\′\′}(L,t)+{\mathrm{\ηEI}}_b{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′}(L,t)=-F\left(t\right)---\left(11\right)$

${\mathrm{GJ\θ}}^{\′}(L,t)+\mathrm{\η}GJ{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(L,t)=M\left(t\right)---\left(12\right)$

9.根据权利要求8所述的针对扑翼飞行器的振动控制装置，其特征在于，所述控制率设置模块包括：

函数构造单元，用于构造李雅普诺夫候选函数如下

V(t)＝V₁(t)+Δ(t)(13)

其中，V₁(t)和Δ(t)分别定义为

$\begin{array}{c}{V}_1\left(t\right)=\frac{\mathrm{\β}}{2}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{\mathrm{\β}}{2}{\mathrm{EI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +\frac{\mathrm{\β}}{2}{I}_p{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{\mathrm{\β}}{2}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}{\[(x,t)\]}^{2}dx\end{array}---\left(14\right)$

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\left(t\right)=\mathrm{\α}m{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)y(x,t)dx+{\mathrm{\αI}}_p{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\mathrm{\θ}(x,t)dx\\ -{\mathrm{\αmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\mathrm{\θ}(x,t)+y(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ -{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx\end{array}---\left(15\right)$

以上两式中α和β都是较小的正权系数；

通过使李雅普诺夫候选函数正定，李雅普诺夫函数对时间t的导数负定设计边界控制率。

10.根据权利要求9所述的针对扑翼飞行器的振动控制装置，其特征在于，所述控制率计算单元包括：

正定子单元，用于定义一个新的函数如下：

$\mathrm{\κ}\left(t\right)={\∫}_0^L\{{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^2+{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^2+{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^2+{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^2\}dx---\left(16\right)$

则V₁(t)有上界和下界为

γ₂κ(t)≤V₁(t)≤γ₁κ(t)(17)

上式中，

进一步，Δ(t)放大为

$\begin{array}{c}\left|\mathrm{\Δ}\left(t\right)\right|\≤(\mathrm{\α}m+{\mathrm{\αmx}}_{e}c+{\mathrm{\βmx}}_{e}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_P+{\mathrm{\αmx}}_{e}c+{\mathrm{\βmx}}_{e}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\mathrm{\α}m+{\mathrm{\αmx}}_{e}c)L^4{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_p+{\mathrm{\αmx}}_{e}c)L^2{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\≤{\mathrm{\γ}}_3\mathrm{\κ}\left(t\right)\end{array}---\left(18\right)$

其中

γ₃＝max{αm+αmx_ec+βmx_ec,αI_P+αmx_ec+βmx_ec,(αm+αmx_ec)L⁴,(αI_p+αmx_ec)L²}

若正数β满足则有

0≤λ₂κ(t)≤V(t)≤λ₁κ(t)(19)

即构造的李雅普诺夫函数正定，其中λ₁＝γ₁+γ₃，λ₂＝γ₂-γ₃；

负定子单元，用于V(t)对t求导后得

$\stackrel{\·}{V}\left(t\right)={\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)+\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)---\left(20\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)=\mathrm{\β}m{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{y}(x,t)dx+{\mathrm{\βI}}_p{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx\\ +\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)dx+{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L{y}^{\′\′}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)dx\end{array}---\left(21\right)$

将控制方程(8)和(9)带入上式，得到

${\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6---\left(22\right)$

其中，A₁-A₆每项分别为

$A_1=-{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)y^{\′\′\′\′}(x,t)dx+{\mathrm{\βEI}}_b{\∫}_0^L{y}^{\′\′}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(23\right)$

$A_2=-{\mathrm{\β\ηEI}}_b{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(24\right)$

$A_3={\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx---\left(25\right)$

$A_4=\mathrm{\β}{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)F_b(x,t)dx-{\mathrm{\βx}}_{a}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)F_b(x,t)dx---\left(26\right)$

$A_5=\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t){\mathrm{\θ}}^{\′\′}(x,t)dx+\mathrm{\β}GJ{\∫}_0^L{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)dx---\left(27\right)$

$A_6=\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(28\right)$

应用分部积分和边界条件(10)，(11)和(12)，得

$A_1=-{\mathrm{\βEI}}_b\stackrel{\·}{y}(L,t)y^{\′\′\′}(L,t)=-\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)F\left(t\right)---\left(29\right)$

$A_2\≤-\mathrm{\β}\mathrm{\η}\stackrel{\·}{y}(L,t)\stackrel{\·}{F}\left(t\right)-\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(30\right)$

$A_4\≤{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_{a}c{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx+(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2---\left(31\right)$

其中，σ₁和σ₂是正常数，F_bmax是分布式干扰F_b(x,t)的最大值；

$A_5=\mathrm{\β}GJ\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t){\mathrm{\θ}}^{\′}(L,t)=\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)M\left(t\right)---\left(32\right)$

$A_6\≤\mathrm{\β}\mathrm{\η}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\stackrel{\·}{M}\left(t\right)-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(33\right)$

通过以上A₁-A₆，得到如下

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1\left(t\right)\≤-(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}-{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx-(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_{a}c){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ -\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx-\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ -\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ +(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(34\right)$

同样，Δ(t)对t求导得

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)=B_1+B_2+\mathrm{...}{B}_8---\left(35\right)$

$B_1=-{\mathrm{\αEI}}_b{\∫}_0^{L}y(x,t)y^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(36\right)$

$B_2=-{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^{L}y(x,t){\stackrel{\·}{y}}^{\′\′\′\′}(x,t)dx---\left(37\right)$

$B_3=\mathrm{\α}GJ{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t){\mathrm{\θ}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(38\right)$

$B_4=\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′\′}(x,t)dx---\left(39\right)$

$B_5=\mathrm{\α}m{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\αI}}_p{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(40\right)$

$B_6=-{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx---\left(41\right)$

$B_7=-2{\mathrm{\αmx}}_{e}c{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)dx---\left(42\right)$

$B_8=\mathrm{\α}{\∫}_0^{L}y(x,t)F_b(x,t)dx-{\mathrm{\αx}}_{a}c{\∫}_0^L\mathrm{\θ}(x,t)F_b(x,t)dx---\left(43\right)$

将边界条件带入以上式子，得到

$B_1=-\mathrm{\α}y(L,t)F\left(t\right)-{\mathrm{\αEI}}_b{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(44\right)$

$\begin{array}{c}{B}_2\≤-\mathrm{\α}\mathrm{\η}y(L,t)\stackrel{\·}{F}\left(t\right)+\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}---\left(45\right)$

$B_3=\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)M\left(t\right)-\mathrm{\α}GJ{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx---\left(46\right)$

$\begin{array}{c}{B}_4\≤\mathrm{\α}\mathrm{\η}\mathrm{\θ}(L,t)\stackrel{\·}{M}\left(t\right)+\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}---\left(47\right)$

$B_7\≤2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx+\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}{\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx---\left(48\right)$

$\begin{array}{c}{B}_8\≤{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4{\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx+{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2{\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(49\right)$

以上σ₃-σ₇都是正常数；

因此，由B₁-B₈，得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}\left(t\right)\≤-({\mathrm{\αEI}}_b-\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}-{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4){\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\mathrm{\α}GJ-\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}-{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2){\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\mathrm{\α}m+2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ +({\mathrm{\αI}}_p+\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ{\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -{\mathrm{\βmx}}_{e}c{\∫}_0^L\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)+\stackrel{\·\·}{y}(x,t)\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]dx\\ +\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ -\mathrm{\α}y(L,t)\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +(\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(50\right)$

由得到的式子(34)和(50)，整理得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(t\right)\≤-\[\mathrm{\α}y(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\]\[F\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{F}\left(t\right)\]\\ +\[\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\]\[M\left(t\right)+\mathrm{\η}\stackrel{\·}{M}\left(t\right)\]\\ -({\mathrm{\αEI}}_b-\frac{{\mathrm{\α\ηEI}}_b}{{\mathrm{\σ}}_3}-{\mathrm{\σ}}_6{\mathrm{\αL}}^4){\∫}_0^L{\[y^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\mathrm{\α}GJ-\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ}{{\mathrm{\σ}}_4}-{\mathrm{\σ}}_7{\mathrm{\αx}}_a{\mathrm{cL}}^2){\∫}_0^L{\[{\mathrm{\θ}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\end{array}$

$\begin{array}{c}-(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2L^4}-{\mathrm{\σ}}_1\mathrm{\β}-\mathrm{\α}m-2{\mathrm{\αmx}}_e{\mathrm{c\σ}}_5){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{y}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2L^2}-{\mathrm{\σ}}_2{\mathrm{\βx}}_a{\mathrm{c\αI}}_p-{\mathrm{\αI}}_p-\frac{2{\mathrm{\αmx}}_{e}c}{{\mathrm{\σ}}_5}){\∫}_0^L{\[\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{{\mathrm{\β\ηEI}}_b}{2}-{\mathrm{\σ}}_3{\mathrm{\α\ηEI}}_b){\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{y}}^{\′\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ -(\frac{\mathrm{\β}\mathrm{\η}GJ}{2}-{\mathrm{\σ}}_4\mathrm{\α}\mathrm{\η}GJ){\∫}_0^L{\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{\′}(x,t)\]}^{2}dx\\ +(\frac{\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{{\mathrm{\βx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_2}+\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\σ}}_6}+\frac{{\mathrm{\αx}}_{a}c}{{\mathrm{\σ}}_7}){{\mathrm{LF}}_{b\max }}^2\end{array}---\left(51\right)$

令和为新的控制变量，设计控制率如下

$U\left(t\right)=k_1\[\mathrm{\α}y(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{y}(L,t)\]---\left(52\right)$

$V\left(t\right)=-k_2\[\mathrm{\α}\mathrm{\θ}(L,t)+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}(L,t)\]---\left(53\right)$

其中k₁≥0,k₂≥0为控制增益。