CN108897213A - 一种基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法，主要是通过分析褶皱形态对薄膜结构动态特性的影响，建立了褶皱薄膜的动态模型；利用模态叠加法得到以固有振型为基础的空间向量，建立了不同载荷下褶皱薄膜的动力学模型；根据各阶模态对系统振动变形的贡献，对动力学模型进行缩聚，从而建立了面向控制的薄膜结构动力学模型；采用模型参考自适应控制器，结合PID控制器，提出了一种基于面内调控多模型切换的PID‑MRAC控制方法，本发明的方法无需在薄膜表面粘贴作动器，可有效地抑制薄膜面外振动，不会影响薄膜本身的特性，保证薄膜结构的稳定性，比传统的PID控制方法下的振动时间缩短了约39.7％。

Description

一种基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法

技术领域

本发明属于控制工程技术领域，具体涉及一种基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制 方法，用于更简单且更有效地抑制薄膜振动。

背景技术

褶皱的出现显著降低了薄膜的表面精度，对薄膜结构的动态特性也存在一定影响，在 无空气阻尼的太空环境中，薄膜结构一旦受到外界扰动，膜面振动将很难停止，加之薄膜 本身的柔性特性对保证在轨稳定性和可控性带来一定难度，因此对褶皱薄膜的调控面临着 严峻的挑战。国内外学者已开展的研究，目前，已有的动态调控方法主要有两类。

一类是通过在薄膜表面粘贴作动器来抑制薄膜的振动。Renno针对薄膜条结构，提出 了一种非线性控制方法。Ruggiero在薄膜镜表面分布多个压电作动器，设计了LQR(linear quadratic regulator)控制系统，Ferhat在此基础上提出了基于变分原理的求解方法，随后， 针对一个四边固支的方形薄膜结构，通过在表面粘贴四个压电作动器，达到抑制振动的目 的。然而对于超薄的薄膜材料，直接在其表面粘贴作动器，很难实现合理的布线，粘接处 很容易出现褶皱，同时粘贴作动器后会改变局部的厚度和刚度，继而改变薄膜应力分布， 最终影响薄膜结构动态特性。

另一类是通过在设置面外调节拉索，来抑制膜面振动。Sakamoto提出了索网薄膜结构， 并且针对索网结构提出了一种LQR控制方法，通过在边索安装垂直于膜面方向的作动器， 同时在拉索和薄膜连接处安装面内作动器，来抑制振动。如果在每一个连接点都安装作动 器，会大大增加薄膜结构的整体质量，而且垂直膜面方向的作动器在实际工程应用中不易 实现。无论是在薄膜上粘贴作动器，还是设置面外调节索，都是通过施加面外作用力抑制 振动，需要安装附加结构，工程实现上难度大。因此，亟需一种合理的控制方法，不需要 在薄膜上粘贴作动器，即可达到抑制振动的目的。

综上所述，对于薄膜结构的动态调控方面，主要是通过在薄膜表面或者在边界拉索上 安装压电作动器，通过面外控制达到抑制振动的目的。不仅布线和安装困难，直接在薄膜 表面粘贴作动器，还会改变薄膜的应力分布，影响结构动态性能。因此不使用面外作动器， 仅通过面内控制有效地抑制薄膜结构面外振动成为亟待解决的问题。

发明内容

本发明的目的在于避免上述现有技术分析方法的不足，提供一种基于面内调控的褶皱 薄膜主动振动控制方法，达到易于工程实现，同时能够更有效地抑制薄膜面外振动。

本发明所采用的技术方案是：

一种基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法，其包括以下步骤：

(1)引入褶皱变形函数，建立褶皱薄膜的振动模型；

(2)用有限元屈曲分析方法确定出褶皱薄膜的褶皱形态，更新有限元分析模型，并进行模态分析，得到步骤(1)振动模型在引入褶皱信息后的振动特性；

(3)根据步骤(2)中得到的振动特性，用模态叠加法得到以固有振型为基础的空间向量，建立不同载荷下褶皱薄膜的动力学模型；

(4)根据各阶模态对系统振动变形的贡献，对步骤(3)不同载荷下褶皱薄膜的动力学模型进行缩聚，建立面向控制的薄膜结构动力学模型；

(5)结合步骤(4)的面向控制的薄膜结构动力学模型以及驱动装置的动力参数，建立驱动模型；

(6)以步骤(5)建立的驱动模型作为被控对象，设计自适应参考控制模型，得到自适应参考控制模型的输出电压，加载到被控对象上，实现性能指标最优条件下的前馈补偿；

(7)根据PID控制模型以及步骤(6)的自适应参考控制模型，得到多模型切换的PID-MRAC控制模型，并对其输出电压进行限幅滤波，加载到被控对象上，实现褶皱薄膜 的主动振动控制。

进一步限定，所述步骤(1)的具体方法为：

(1.1)仅考虑薄膜的面外振动，令振动变形函数为w_v，褶皱变形函数为w_z，得到振动过程中褶皱薄膜弯曲形变势能E_p1和褶皱薄膜的应变势能E_p2以及褶皱薄膜的自由振动动能E_v，分别表达为：

其中，ε_x是X方向应变，ε_y是Y方向应变，γ_xy是切应变，E是薄膜材料的杨氏模量， v是泊松比，h_m是薄膜厚度；ρ为薄膜的密度；

(1.2)将振动变形函数w_v和褶皱变形函数w_z都表示成级数形式：

(1.3)将步骤(1.2)的振动变形函数w_v和褶皱变形函数w_z带入步骤(1.1)的振动过程中总势能E_p和自由振动动能E_v，则变形为：

其中k_ijkl，k_ij，k′_ijkl，m_ij均为中间变量；

(1.4)结合步骤(1.3)的振动过程中总势能E_p和自由振动动能E_v，根据拉格朗日方程，得到非线性振动的微分方程：

(1.5)根据步骤(1.4)的非线性振动的微分方程，得到非线性振动的矩阵表达式为：

其中，M是质量矩阵，K是刚度矩阵。

进一步限定，所述步骤(2)的具体方法为：

2.1)采用有限元屈曲分析法得到褶皱薄膜在一定载荷作用下的褶皱形态；

2.2)将步骤2.1)所得到的褶皱形态更新到有限元分析模型中，得到褶皱变形下的应 力分布以及包含褶皱信息的刚度矩阵；

2.3)利用步骤2.2)所得到的褶皱变形下的应力分布以及包含褶皱信息的刚度矩阵， 进行模态分析，扩展模态，得到褶皱薄膜结构的各阶固有频率和模态振型。

进一步限定，步骤(2.2)中所述的刚度矩阵K包括初始应力刚度阵K_σ、线性刚度阵K_L和褶皱引起的大变形刚度阵K_NL。

进一步限定，在步骤(2.3)具体为：结合步骤(2.2)得到的包含褶皱信息的刚度矩阵，对步骤(1.5)非线性振动的矩阵表达式进行求解，得到下述方程：

(K-ω²M)φe^jωt＝0

其中，ω为考虑薄膜表面褶皱后的一组频率值，将其记为ω₁,ω₂,…,ω_n，组成固有频率 矩阵Ω为：

进而得到第i阶模态振型：每一阶振型中包含n_d个节点，各阶振型组 成的模态振型矩阵为：

中表示第i阶模态第j个节点的面外位移。

进一步限定，所述步骤(3)具体为：

3.1)根据步骤2.3)的褶皱薄膜结构的各阶固有频率和模态振型以及非线性振动的矩 阵表达式求解方程，得到第i阶模态质量M_mi为：

E_i为第i阶模态的动能，ω_i为第i阶模态的固有频率；

3.2)根据比例阻尼得到的阻尼矩阵，即得到阻尼矩阵与质量矩阵和刚度矩阵的关系式 为：

D_m＝α₁K_m+α₂M_m

其中α₁和α₂是瑞丽阻尼系数，且

其中ω₁和ω₂分别为第一阶和第二阶的固有频率值，ξ₁和ξ₂为第一阶和第二阶的模 态阻尼比系数；

3.3)设定n_d为有限元模型的自由度，输入自由度为n_r，输出自由度为n_s，则褶皱变形下的应力分布在广义坐标下用动力学方程表示为：

其中q是由各节点的面外位移向量组成的n_d×1维的矩阵，是n_d×1维的节点速度矩阵，是n_d×1维的节点加速度矩阵，V＝[V_X V_Y]^T是输入位移载荷矩阵，即输入自由度 n_r＝2，M是n_d×n_d维的质量矩阵，D为n_d×n_d维的阻尼矩阵，K为n_d×n_d维的刚度矩阵， B为n_d×n_r维输入矩阵，C为1×n_d维面外振动位移输出矩阵，y为输出变量；

3.4)将步骤3.3)广义坐标下用动力学方程转换到以固有振型为基础的空间向量，建 立不同载荷下褶皱薄膜的动力学模型，表达式为：

其中：

其中M_m，K_m，D_m，C_m，B_m分别为转换后的模态质量矩阵、模态刚度矩阵、模态阻 尼矩阵、模态输出矩阵和模态输入矩阵。

进一步限定，步骤(4)具体为：

4.1)根据模态能量法对模型进行缩聚，第i阶模态能量表示为：

则，前G阶中各阶所占的模态能量比η_i为：

4.2)提取前G阶中各阶模态能量，计算出各阶能量占总能量的比率，将各阶能量占总 能量的比率按大小顺序排列并相加，当模态能量之和达到总能量的90％时，即可取出相应 的阶次；

4.3)根据步骤4.2)确定的阶次，截取步骤3.3)得到的不同载荷下褶皱薄膜的动力学 模型中对应的数据，建立面向控制的薄膜结构动力学模型：

其中A′_p,B′_p,C′_p对应为面向控制的薄膜结构动力学模型的状态矩阵、输入矩阵和输出 矩阵。

进一步限定，步骤(5)具体为：结合步骤4.3)建立的面向控制的薄膜结构动力学模型以及驱动装置的动力参数，拟合出驱动模型：

其中，A_g,B_g,C_g对应为驱动模型的状态矩阵、输入矩阵和输出矩阵，代表依赖于状态的非线性匹配参数不确定性，Θ_d为一个未知常量参数矩阵。

进一步限定，步骤(6)具体为：

6.1)令驱动模型的输出跟踪误差e_y为：e_y＝y-y_r

y_r为参考输入；

则令对驱动模型进行扩展，得到扩展模型为：

其中

6.2)在扩展模型中将输出变量y作为一个状态变量，构建自适应参考控制模型，表达 为：

其中参考控制模型的状态矩阵为：

K_x为最优状态反馈增益矩阵，

矩阵P_x满足条件：

P_x(t_f)＝Q_r

t_f为系统的终端时刻，Q,Q_T为半正定对称的代价权衡矩阵，R为正定对称的控制输入 加权矩阵。

6.3)根据步骤6.2)中构建的自适应参考控制模型，选取自适应控制律为：

其中，是对应的自适应增益，P是Lyapunov方程的唯一对称正定解，Q是对称正定矩阵；

进而得到，自适应参考控制模型的输出电压为：

其中是参数使用自适应律更新的估计值。

进一步限定，步骤(7)具体为：建立PID控制模型，结合步骤6.2)中建立的自适应参考控制模型，得到多模型切换的PID-MRAC控制模型，其输出电压为：

u_a＝λ₁u_a1+λ₂u_a2

其中，u_a2为PID控制模型的输出电压，λ₁和λ₂为控制输入的权系数。

本发明提供的基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法主要是通过分析褶皱形态 对薄膜结构动态特性的影响，利用模态叠加法得到以固有振型为基础的空间向量，建立了 不同载荷下褶皱薄膜的动力学模型；根据各阶模态对系统振动变形的贡献，对动力学模型 进行缩聚，建立了面向控制的薄膜结构动力学模型；在此基础上，采用模型参考自适应控 制器，实现性能指标最优条件下的前馈补偿控制，提高系统的抗扰动能力，然后结合PID 控制模块，提出了一种基于面内调控多模型切换的PID-MRAC控制方法，与现有技术相比， 本发明的有益效果为：1)本发明考虑了褶皱对薄膜结构动态特性的影响，利用模态叠加 法建立了不同载荷下褶皱薄膜的动力学模型，然后根据各阶模态对系统振动变形的贡献， 对动力学模型进行缩聚，从而建立了面向控制的薄膜结构动力学模型，本发明的缩聚模型 可以准确地描述出褶皱薄膜的振动特性，为薄膜结构的主动振动控制奠定了基础。2)本 发明的方法无需在薄膜表面粘贴作动器，仅通过调节施加在顶点处的位移载荷，改变薄膜 结构本身振动特性，即可有效地抑制薄膜面外振动，无需在薄膜表面粘贴作动器，不会影 响薄膜本身的特性，且工程上易于实现。3)本发明基于缩聚后的动力学模型设计了多模型切换自适应控制器，实现性能指标最优条件下的前馈补偿控制，结合PID控制模型，设 计了多模型切换的PID-MRAC控制系统，可有效地抑制膜面振动，保证薄膜结构的稳定性。 4)本发明的主动振动控制方法可以在薄膜受到单次扰动时将振动时间缩短到无控制时的 1/4以下，比传统的PID控制方法下的振动时间缩短了约39.7％，比已有文献中提出的在膜 面粘贴作动器的面外控制方法得到的振动时间缩短了约18.9％；当薄膜受到多次扰动时， 有效抑制振动的同时，保证最终施加在薄膜结构上的位移载荷达到一定值后不再持续增 大，避免因拉力过大而拉断薄膜的情况出现，同时达到平衡时薄膜的抗扰动能力较强，为 初始预应力的选取提供依据。

附图说明

图1为扰动施加示意图。

图2为V_X＝1.0mm,V_Y＝0.25mm时褶皱形态。

图3为P点振动曲线。

图4为PID-MRAC控制框图。

图5为对角线上各点的振动曲线。

图6为无控制中心点振动曲线。

图7为有控制中心点振动曲线。

图8为膜面粘贴作动器示意图。

图9为振动抑制对比。

图10为多次扰动时位移载荷曲线。

图11为第二次和第三次扰动时振动曲线。

图12为第四次和第五次扰动时振动曲线。

具体实施方式

结合附图和实施例对本发明的技术方案进行详细说明，但是本发明不仅限于下述的实 施情形。

本发明的基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法可以在静态实验装置的基础上 增加了两组音圈电机驱动模组，分别用于调节X方向和Y方向的位移量，通过音圈电机滑 块伸缩来调节拉索位移，改变拉索上的拉力，用固连在音圈电机滑块上的拉力传感器实时 监控拉力大小，光栅尺实时输出反馈移动位移量。在薄膜背面安装一个敲击装置，通过撞 击法模拟面外扰动，利用PSD高精度位置传感器实时反馈薄膜表面特定的点处的面外振动 变形量。将测得的所有变量通过数据采集卡传送到计算机，借助labview软件编程实现控 制器算法，并采用串口通信向音圈电机发送指令，进而实现褶皱薄膜的主动振动控制。

现以边长L＝500mm的正方形薄膜为例进行说明，薄膜材料具体参数在表1中列出，在四个顶点处施加两组大小相等，方向相反的位移载荷V_X、V_Y，边界条件为四角固支。

表1薄膜材料参数

杨氏模量(GPa)	E＝2.5
		厚度(μm)	hm＝25
泊松比	v＝0.34
		密度(kg/m3)	ρ＝1400

具体的基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法是通过下述步骤实现：

S1：引入褶皱变形函数，建立褶皱薄膜的振动模型；具体为：

S1.1)对于具有褶皱的薄膜结构，不考虑外界激励和外界阻尼时，薄膜结构自由振动， 假如忽略薄膜的面内振动，仅考虑薄膜的面外振动，令振动变形函数为w_v，褶皱变形函数 w_z，则振动过程中褶皱薄膜弯曲形变势能E_p1可以表示为：

其中

E是薄膜材料的杨氏模量，ν是泊松比，h_m是薄膜厚度。

褶皱薄膜的应变势能E_p2可以表示为：

不考虑面内变形时，应变为：

其中ε_x是X方向应变，ε_y是Y方向应变，γ_xy是切应变。

将式(4)代入到式(3)中，得到褶皱薄膜的应变势能为：

则褶皱薄膜的自由振动动能E_v为：

其中ρ为薄膜的密度。

S1.2)将振动变形函数w_v和褶皱变形函数w_z都表示成级数形式：

S1.3)将式(7)代入式(1)和(5)中，得到振动过程中总势能E_p的表达式为：

将式(7)代入式(6)中，则自由振动动能E_v变形为：

其中k_ijkl，k_ij，k′_ijkl，m_ij均为中间变量，其表达式分别如下：

m_ij＝ρh_m∫∫w_viw_vjdxdy (13)

S1.4)根据拉格朗日方程

将式(8)和式(9)代入上式，得到非线性振动的微分方程为：

当不考虑上式中第三项时，得到非线性振动微分方程：

S1.5)根据步骤(S1.4)的非线性振动的微分方程，得到非线性振动的矩阵表达式为：

其中，M是质量矩阵，K是刚度矩阵。

S2：用有限元屈曲分析方法确定出褶皱薄膜的褶皱形态，更新有限元分析模型，并进 行模态分析，得到步骤(S1)振动模型在引入褶皱信息后的振动特性；具体为：

S2.1)根据文献(李云良，谭惠丰，王晓华.矩形薄膜和充气管的屈曲及后屈曲行为分析.航空学，2008，29(4)：886～892.)中给出的有限元屈曲分析方法，褶皱薄膜在一定 载荷作用下的褶皱形态；

S2.2)将步骤(S2.1)所得到的褶皱形态更新到有限元分析模型中，得到褶皱变形下 的应力分布以及包含褶皱信息的刚度矩阵；

从步骤(S1.2)可以看到，刚度矩阵K中包括了由褶皱变形引起的大变形刚度，可以将刚度矩阵K分为三部分，分别为初始应力刚度阵K_σ，线性刚度阵K_L，和褶皱引起的大 变形刚度阵K_NL，具体表达式如下：

σ₀为初始应力，B_L和B_NL分别为对应的应变矩阵，D_e为弹性矩阵。

S2.3)利用步骤(S2.2)所得到的褶皱变形下的应力分布以及包含褶皱信息的刚度矩 阵，进行模态分析，扩展模态，得到褶皱薄膜结构的各阶固有频率和模态振型。

步骤(S2.2)相应的矩阵分量分别如式(11)和式(13)所示，带入式(17)中，对步骤(S1.5) 非线性振动的矩阵表达式进行求解，即式(17)的解可以写成q＝φe^jωt，得到下述方程：

(K-ω²M)φe^jωt＝0 (18)

ω为考虑薄膜表面褶皱后的一组频率值，将其记为ω₁,ω₂,L,ω_n，ω_i表示第i阶固有频 率，组成固有频率矩阵Ω为：

将模型转换到模态坐标下，节点位移的绝对坐标值q与模态坐标值q_m之间存在关系式：

q＝Φq_m (22)

Φ代表模态振型矩阵，由各阶振型组成，每一阶振型中包含n_d个节点，各阶振型组成的模态振型矩阵为：

其中φ_ij表示第i阶模态第j个节点的面外位移。为了凸显褶皱对薄膜动态特性的影响， 令V_X＝1.0mm，V_Y＝0.25mm时，此时会在薄膜表面产生贯穿对角线的大幅褶皱，引入褶皱 信息，更新有限元模型后进行模态分析，去除前几阶中固有频率为零的噪声振型后，提取 前六阶模态振型如图1所示，从第三阶和第四阶振型图上也可以体现出褶皱的形态。提取 相应的固有频率值，在表2中分别列出不考虑褶皱时与考虑褶皱时的前六阶固有频率，

表2 V_X＝1.0mm，V_Y＝0.25mm时的固有频率(Hz)

模态	第一阶	第二阶	第三阶	第四阶	第五阶	第六阶
							考虑褶皱	28.44	34.40	34.70	38.75	39.36	43.82
不考虑褶皱	18.96	27.36	28.98	32.99	33.17	33.26

通过对比发现，两组数据相差较大，说明了褶皱的存在确实改变了薄膜结构的动态特 性，所以在进行动态分析时必须考虑到褶皱的存在。

S3：根据步骤(S2)中得到的振动特性，用模态叠加法得到以固有振型为基础的空间 向量，建立不同载荷下褶皱薄膜的动力学模型；具体为：

S3.1)根据步骤(S2.3)的褶皱薄膜结构的各阶固有频率和模态振型以及非线性振动 的矩阵表达式求解方程，得到第i阶模态质量M_mi为：

将绝对坐标下的动力学方程转换到模态坐标下的动力学方程：

质量阵、刚度阵和阻尼阵被转换为模态质量阵M_m、模态刚度阵K_m和模态阻尼阵D_m，且满足如下关系式：

其中第i阶模态质量M_mi可以表示为：

E_i为第i阶模态的动能，ω_i为第i阶模态的固有频率。

S3.2)根据比例阻尼得到的阻尼阵，即得到阻尼矩阵与质量矩阵和刚度矩阵的关系式 为：

D_m＝α₁K_m+α₂M_m (27)

其中α₁和α₂是瑞丽阻尼系数，可以根据固有频率和阻尼比系数求出具体数值：

ω₁和ω₂分别为第一阶和第二阶的固有频率值，ξ₁和ξ₂为第一阶和第二阶的模态阻尼比系 数。

S3.3)设定n_d为有限元模型的自由度，输入自由度为n_r，输出自由度为n_s，则褶皱变形下的应力分布在广义坐标下用动力学方程表示为：

其中q是由各节点的面外位移向量组成的n_d×1维的矩阵，是n_d×1维的节点速度矩 阵，是n_d×1维的节点加速度矩阵，V＝[V_X V_Y]^T是输入位移载荷矩阵，即输入自由度 n_r＝2，M是n_d×n_d维的质量矩阵，D为n_d×n_d维的阻尼矩阵，K为n_d×n_d维的刚度矩阵， B为n_d×n_r维输入矩阵，C为1×n_d维面外振动位移输出矩阵，y为输出变量。

S3.4)将步骤(S3.3)广义坐标下用动力学方程转换到以固有振型为基础的空间向量， 建立不同载荷下褶皱薄膜的动力学模型，表达式为：

其中

其中M_m，K_m，D_m，C_m，B_m分别为转换后的模态质量矩阵、模态刚度矩阵、模态阻 尼矩阵、模态输出矩阵和模态输入矩阵。

S4：根据各阶模态对系统振动变形的贡献，对步骤(S3)不同载荷下褶皱薄膜的动力 学模型进行缩聚，建立面向控制的薄膜结构动力学模型；具体为：根据有限元模型得到的 式(29)中的振动模型维数等于节点个数，本发明中正方形结构有限元模型的单元个数为 10000，如此高的维数使得计算量增大，对动态数值求解困难，更不利于控制器的设计，因此需要对全阶振动模型进行模态降阶，要求降阶后的缩聚模型能够保留全阶模型的固有特性。

S4.1)根据模态能量法对模型进行缩聚是一种常用于柔性结构模型降阶的简单有效的 方法，模态能量由两部分组成：模态动能和模态势能，则第i阶模态能量可以表示为：

前G阶中各阶所占的模态能量比η_i为：

如以前15阶为例，前15阶中各阶所占的模态能量比η_i为：

S4.2)提取前15阶中各阶模态能量，计算出各阶能量占总能量的比率，画出相应的条 形图，将模态能量比按大小顺序排列并相加，当模态能量之和达到总能量的90％时，即可 取出相应的阶次，以截取前六阶模态为例，即步骤(S3)中式(21)变为：

步骤(S3)中式(23)变为：

截取步骤(S3.3)得到的不同载荷下褶皱薄膜的动力学模型中对应的数据，建立面向 控制的薄膜结构动力学模型：

其中A′_p,B′_p,C′_p对应为面向控制的薄膜结构动力学模型的状态矩阵、输入矩阵和输出 矩阵。

当各拉力大小发生变化后，动态特性发生改变后，由此得到的动力学方程也会随之改 变，因此需要对被控对象建立多个模型来逼近系统的动态性能。划分区间越小，模型越逼 近实际模型，但是模型太多势必会增大计算复杂度，可根据具体的结构选择合适的子模型 来近似逼近实际模型，本发明中划分13个子模型来近似逼近实际模型，得到面向控制的 多模型薄膜结构动力学模型。

建立正方形薄膜结构的有限元模型，在薄膜表面一点施加垂直膜面方向的冲击扰动， 扰动点位于距右侧顶点250mm的位置，扰动幅值为4mm，作用时间为0.02s，四个角施加相等大小的位移载荷，V_X＝V_Y＝0.3mm，进行瞬态动力分析，仿真总时间为4s。当位移载荷 V_X＝1.0mm,V_Y＝0.25mm时，此时褶皱将贯穿对角线，褶皱形态如图2所示，在面外扰动不变 的情况下，分别采用有限元数值仿真方法和缩聚模型理论分析方法，得到中心线上距离中 心点25mm处P点的振动曲线，如图3所示，两种方法得到的振动幅值最大误差为 0.025mm，说明缩聚后的降维模型保留了全阶模型的基本属性和固有特性，验证了理论 模型的准确性。

S5：结合步骤(S4)的面向控制的薄膜结构动力学模型以及驱动装置的动力参数，建 立驱动模型；具体为：

现驱动装置只要能够实现下述功能的电机均可，现选用音圈电机模组为例进行说明， 其中u_a为电机输入电压，i_a为电枢电流，L_a为电枢电感，R_a为电机内阻，电机运动时产生的反电动势e_a为：

e_a＝K_sv_a (36)

其中，K_s为电机力常数，v_a为电枢切割磁力线的速度。

运动状态下，电枢回路的电压平衡方程为：

电磁力克服动子部分的惯性力F_m可以表示为：

式中，m_a为动子部分总质量。

令动摩擦系数为k_a，电机输出位移为x，则电机的动态力平衡方程式为：

F_e＝F_m+k_ax (39)

根据电机的动态方程以及电的动态方程，可以得到输入电压u_a与电机输出位移x之间 的传递函数：

结合步骤(S4.3)建立的面向控制的薄膜结构动力学模型以及驱动装置的动力参数， 拟合出驱动模型：

其中，A_g,B_g,C_g对应为驱动模型的状态矩阵、输入矩阵和输出矩阵，代表依赖于状态的非线性匹配参数不确定性，Θ_d为一个未知常量参数矩阵。

S6：以步骤(S5)建立的驱动模型作为被控对象，设计自适应参考控制模型，得到自适应参考控制模型的输出电压，加载到被控对象上，实现性能指标最优条件下的前馈补偿；具体为：

S6.1)控制目标是实现系统的输出y能够一致性跟踪特定的参考输入y_r，令系统的输出跟踪误差e_y为：

e_y＝y-y_r (42)

令对原系统进行扩展，得到扩展模型为：

其中

S6.2)在扩展模型中将输出变量y作为一个状态变量，构建自适应参考控制模型，定 义参考控制模型状态矩阵为：

可以借助线性二次型调节器得到最优状态反馈增益矩阵K_x，选取二次性能指标如下：

上式中t₀为系统的初始时刻，t_f为系统的终端时刻，Q,Q_T为半正定对称的代价权衡矩阵， R为正定对称的控制输入加权矩阵。

则参考模型中的最优状态反馈增益矩阵K_x为：

其中，矩阵P_x满足条件：

P_x(t_f)＝Q_T (48)

因此，可以得到所要构建的自适应参考控制模型，表达式为：

S6.3)重写扩展模型(43)中的状态方程：

定义新系统的状态跟踪误差e为：

e＝x-x_m (51)

要使误差e为零，则带入式(50)和式(49)后，可以得到自适应参考控制模型的输出电压为：

其中是参数使用自适应律更新的估计值。

选取自适应律为：

其中，是对应的自适应增益，P是Lyapunov方程的唯一对称正 定解，Q是对称正定矩阵。

选取全局二次无界Lyapunov函数：

V(e,ΔΘ)＝e^TPe+tr(ΔΘ^TΓ_Θ ^-1ΔΘ) (54)

对上式求导，结合式(50)可以得到：

因此，闭环系统的误差模型是一致稳定且有界的。

S7：根据PID控制模型以及步骤(S6)的自适应参考控制模型(MRAC)，得到多模 型切换的PID-MRAC控制模型，并对其输出电压进行限幅滤波，加载到被控对象上，实现 褶皱薄膜的主动振动控制。

多模型切换的PID-MRAC控制模型，如图4所示，控制输入u_a由两部分组成：

u_a＝λ₁u_a1+λ₂u_a2 (56)

其中，λ₁和λ₂为控制输入的权系数，u_a1为PID控制模块的输入电压，u_a2为PID控制模型 的输出电压即MRAC控制模块的输入电压。

当面外振动变形量|y|≥0.5mm时，令λ₁＝0.8,λ₂＝0.2，此时PID控制模块起主要作用， 能够保证施加在薄膜结构顶点上的位移快速增大，相应地增大薄膜刚度，减小振动幅值； 当|y|＜0.5mm时，令λ₁＝0,λ₂＝1，此时PID控制器不起作用，仅通过MRAC控制模块调节薄膜结构位移载荷大小，是为了保证位移载荷达到一定值时不再持续增大，以免拉力过大破坏薄膜结构。

为了验证本发明的基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法的有益效果，下面通过 单次扰动实验和多次扰动的实验为例进行说明，具体如下：

1、单次扰动实验

张紧薄膜，调整拉索上的初始拉力为9.8N，约等于在薄膜两个方向上同时施加位移为 V_X＝V_Y＝0.3mm，通过单次撞击，在距右侧顶点250mm的位置施加面外扰动，具体扰动施加示意图见图1所示。提取对角线上各点的振动曲线，如图5所示，可以看到最大振 动幅值点位于中心点处。通过PSD高精度位置传感器测得薄膜中心点处振动量如图6所示。

对比实验结果、理论结果和数值仿真结果发现，得到的振动趋势保持一致，从局部放 大图也可以看到三种方法得到的结果相差不大，说明本发明的主动振动控制方法具有可行 性。

当施加外界扰动后，分别采用本发明的PID-MRAC控制方法和传统的PID控制方法进行振动抑制，图7给出了两种方法得到的中心点处的振动曲线，与不加控制时的自由振动曲线进行对比，可以看到振动得到有效抑制。从图7中的局部放大图可以看到，在2s 以后，采用PID-MRAC方法得到的振动幅值明显小于用传统PID方法得到的振动幅值。 假设当振动幅值小于0.1mm时认为振动停止，振动持续的时间见表3，无控制时自由振动 时间为12.37s，采用本章的控制方法将振动时间缩短了4倍多，仅用了2.96s便将振幅控 制在0.1mm以下，而传统的PID控制方法振动持续时间为4.91s，相比两种控制方法，本 发明的方法振动时间缩短了约39.7％，说明了PID-MRAC方法对抑制振动的有效性。

表3振动时间(s)

	无控制	PID-MRAC	PID
				振动时间(s)	12.37	2.96	4.91

与现有技术中在薄膜上粘贴作动器的方法进行比较，如图8所示，在靠近顶点处粘贴 两个面外作动器，通过垂直膜面方法的运动达到抑制薄膜振动的目的，同样以第四章得到 的动力学模型作为被控对象，施加相同的面外扰动，设计相应的自适应控制器，调整拉索 上的初始拉力为9.8N后保持不变，通过仿真分析得到中心点处振动抑制曲线，如图9所示， 与本发明得到的实验结果进行对比，可以看到本文提出的方法得到的结果振动幅值较小， 在图中给出Y轴数值为±0.01mm的直线，从局部放大图中可以得到当振幅小于0.01mm时， 通过在膜面粘贴作动器的方法得到的振动时间约为3.52s，本发明结果得到的振动时间为 2.96s，振动缩短了约15.9％，进一步说明了本发明所提方法对抑制振动的有效性。

2、多次扰动实验

在第一次扰动达到平衡后，施加在薄膜结构上的位移载荷约为0.86mm，在此基础上， 再次通过撞击施加外界扰动，图10给出了施加在薄膜结构顶点处的位移载荷曲线，可以 看到一共进行了五次扰动，在第三次扰动以后，再次施加扰动时，位移载荷会增大以提高 薄膜结构固有频率，但又回到了平衡位置，并不会持续增大拉坏薄膜，最终到达平衡位置 时，施加的位移大小约为0.99mm，此时，薄膜的抗扰动能力较强，在受到外界扰动时通过很小的调节即可达到快速抑制振动的目的。

图11和图12显示了每次扰动后中心点处的面外振动曲线，通过施加控制后的振动曲 线和无控制的自由振动曲线的对比可以看到，当出现扰动时，控制器开始作用，并且均在 3s内将振动幅值控制在0.1mm以下，进一步说明采用本发明的控制方法后，面外振动得到 了有效快速地抑制。

从图11中还可以看到，在施加第二次面外扰动时，其最大振动幅值约为1.1mm左右， 当施加第三次扰动时，最大振动幅值约为0.85mm，即随着位移载荷增大，膜面刚度随着增大，同样的面外扰动引起的振动幅值随之减小。当位移载荷达到0.99mm时，由图12可 以看到，再次施加扰动，最大振动幅值明显减小，约为0.76mm。所以，初始位移越大， 即初始预应力越大，膜面刚度越大，当受到外界扰动时，面外振动幅值越小，薄膜结构的 抗扰能力越强，但是预应力过大容易破坏薄膜结构。从上面的分析可以得到，最终的到达 平衡位置时，施加的位移大小约为0.99mm，对应的薄膜结构固有频率约为36.47Hz，因此 设置合理地初始预应力，使薄膜结构固有频率达到36.47Hz左右，可以提高薄膜结构的抗 扰能力，在受到外界扰动时，引起的振动幅值较小，且通过很小的调节即可达到快速抑制 振动的目的。

以上例举仅仅是对本发明的举例说明，并不构成对本发明的保护范围的限制，凡是与 本发明相同或相似的设计均属于本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)引入褶皱变形函数，建立褶皱薄膜的振动模型；

(2)用有限元屈曲分析方法确定出褶皱薄膜的褶皱形态，更新有限元分析模型，并进行模态分析，得到步骤(1)振动模型在引入褶皱信息后的振动特性；

(3)根据步骤(2)中得到的振动特性，用模态叠加法得到以固有振型为基础的空间向量，建立不同载荷下褶皱薄膜的动力学模型；

(4)根据各阶模态对系统振动变形的贡献，对步骤(3)不同载荷下褶皱薄膜的动力学模型进行缩聚，建立面向控制的薄膜结构动力学模型；

(5)结合步骤(4)的面向控制的薄膜结构动力学模型以及驱动装置的动力参数，建立驱动模型；

(6)以步骤(5)建立的驱动模型作为被控对象，设计自适应参考控制模型，得到自适应参考控制模型的输出电压，加载到被控对象上，实现性能指标最优条件下的前馈补偿；

(7)根据PID控制模型以及步骤(6)的自适应参考控制模型，得到多模型切换的PID-MRAC控制模型，并对其输出电压进行限幅滤波，加载到被控对象上，实现褶皱薄膜的主动振动控制。

2.根据权利要求1所述的基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法，其特征在于，所述步骤(1)的具体方法为：

(1.1)仅考虑薄膜的面外振动，令振动变形函数为w_v，褶皱变形函数为w_z，得到振动过程中褶皱薄膜弯曲形变势能E_p1和褶皱薄膜的应变势能E_p2以及褶皱薄膜的自由振动动能E_v，分别表达为：

其中，ε_x是X方向应变，ε_y是Y方向应变，γ_xy是切应变，E是薄膜材料的杨氏模量，v是泊松比，h_m是薄膜厚度；ρ为薄膜的密度；

(1.2)将振动变形函数w_v和褶皱变形函数w_z都表示成级数形式：

(1.3)将步骤(1.2)的振动变形函数w_v和褶皱变形函数w_z带入步骤(1.1)的振动过程中总势能E_p和自由振动动能E_v，则变形为：

其中k_ijkl，k_ij，k_i′_jkl，m_ij均为中间变量；

(1.4)结合步骤(1.3)的振动过程中总势能E_p和自由振动动能E_v，根据拉格朗日方程，得到非线性振动的微分方程：

(1.5)根据步骤(1.4)的非线性振动的微分方程，得到非线性振动的矩阵表达式为：

其中，M是质量矩阵，K是刚度矩阵。

3.根据权利要求1所述的基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法，其特征在于，所述步骤(2)的具体方法为：

2.1)采用有限元屈曲分析法得到褶皱薄膜在一定载荷作用下的褶皱形态；

2.2)将步骤2.1)所得到的褶皱形态更新到有限元分析模型中，得到褶皱变形下的应力分布以及包含褶皱信息的刚度矩阵；

2.3)利用步骤2.2)所得到的褶皱变形下的应力分布以及包含褶皱信息的刚度矩阵，进行模态分析，扩展模态，得到褶皱薄膜结构的各阶固有频率和模态振型。

4.根据权利要求3所述的基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法，其特征在于，步骤(2.2)中所述的刚度矩阵K包括初始应力刚度阵K_σ、线性刚度阵K_L和褶皱引起的大变形刚度阵K_NL。

5.根据权利要求4所述的基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法，其特征在于，在步骤(2.3)具体为：结合步骤(2.2)得到的包含褶皱信息的刚度矩阵，对步骤(1.5)非线性振动的矩阵表达式进行求解，得到下述方程：

(K-ω²M)φe^jωt＝0

其中，ω为考虑薄膜表面褶皱后的一组频率值，将其记为ω₁,ω₂,…,ω_n，组成固有频率矩阵Ω为：

进而得到第i阶模态振型：每一阶振型中包含n_d个节点，各阶振型组成的模态振型矩阵为：

中表示第i阶模态第j个节点的面外位移。

6.根据权利要求5所述的基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法，其特征在于，所述步骤(3)具体为：

3.1)根据步骤2.3)的褶皱薄膜结构的各阶固有频率和模态振型以及非线性振动的矩阵表达式求解方程，得到第i阶模态质量M_mi为：

E_i为第i阶模态的动能，ω_i为第i阶模态的固有频率；

3.2)根据比例阻尼得到的阻尼矩阵，即得到阻尼矩阵与质量矩阵和刚度矩阵的关系式为：

D_m＝α₁K_m+α₂M_m

其中α₁和α₂是瑞丽阻尼系数，且

其中ω₁和ω₂分别为第一阶和第二阶的固有频率值，ξ₁和ξ₂为第一阶和第二阶的模态阻尼比系数；

3.3)设定n_d为有限元模型的自由度，输入自由度为n_r，输出自由度为n_s，则褶皱变形下的应力分布在广义坐标下用动力学方程表示为：

其中q是由各节点的面外位移向量组成的n_d×1维的矩阵，是n_d×1维的节点速度矩阵，是n_d×1维的节点加速度矩阵，V＝[V_X V_Y]^T是输入位移载荷矩阵，即输入自由度n_r＝2，M是n_d×n_d维的质量矩阵，D为n_d×n_d维的阻尼矩阵，K为n_d×n_d维的刚度矩阵，B为n_d×n_r维输入矩阵，C为1×n_d维面外振动位移输出矩阵，y为输出变量；

3.4)将步骤3.3)广义坐标下用动力学方程转换到以固有振型为基础的空间向量，建立不同载荷下褶皱薄膜的动力学模型，表达式为：

其中：

其中M_m，K_m，D_m，C_m，B_m分别为转换后的模态质量矩阵、模态刚度矩阵、模态阻尼矩阵、模态输出矩阵和模态输入矩阵。

7.根据权利要求6所述的基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法，其特征在于，步骤(4)具体为：

4.1)根据模态能量法对模型进行缩聚，第i阶模态能量表示为：

则，前G阶中各阶所占的模态能量比η_i为：

4.2)提取前G阶中各阶模态能量，计算出各阶能量占总能量的比率，将各阶能量占总能量的比率按大小顺序排列并相加，当模态能量之和达到总能量的90％时，即可取出相应的阶次；

4.3)根据步骤4.2)确定的阶次，截取步骤3.3)得到的不同载荷下褶皱薄膜的动力学模型中对应的数据，建立面向控制的薄膜结构动力学模型：

其中A′_p,B′_p,C′_p对应为面向控制的薄膜结构动力学模型的状态矩阵、输入矩阵和输出矩阵。

8.根据权利要求7所述的基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法，其特征在于，步骤(5)具体为：结合步骤4.3)建立的面向控制的薄膜结构动力学模型以及驱动装置的动力参数，拟合出驱动模型：

其中，A_g,B_g,C_g对应为驱动模型的状态矩阵、输入矩阵和输出矩阵，代表依赖于状态的非线性匹配参数不确定性，Θ_d为一个未知常量参数矩阵。

9.根据权利要求8所述的基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法，其特征在于，步骤(6)具体为：

6.1)令驱动模型的输出跟踪误差e_y为：e_y＝y-y_r

y_r为参考输入；

则令对驱动模型进行扩展，得到扩展模型为：

其中

6.2)在扩展模型中将输出变量y作为一个状态变量，构建自适应参考控制模型，表达为：

其中参考控制模型的状态矩阵为：

K_x为最优状态反馈增益矩阵，

矩阵P_x满足条件：

P_x(t_f)＝Q_T

t_f为系统的终端时刻，Q,Q_T为半正定对称的代价权衡矩阵，R为正定对称的控制输入加权矩阵；

6.3)根据步骤6.2)中构建的自适应参考控制模型，选取自适应控制律为：

其中，是对应的自适应增益，P是Lyapunov方程的唯一对称正定解，Q是对称正定矩阵；

进而得到，自适应参考控制模型的输出电压为：

其中是参数使用自适应律更新的估计值。

10.根据权利要求9所述的基于面内调控的褶皱薄膜主动振动控制方法，其特征在于，步骤(7)具体为：建立PID控制模型，结合步骤6.2)中建立的自适应参考控制模型，得到多模型切换的PID-MRAC控制模型，其输出电压为：

u_a＝λ₁u_a1+λ₂u_a2

其中，u_a2为PID控制模型的输出电压，λ₁和λ₂为控制输入的权系数。