CN110852015A - 一种陶瓷基复合材料模态的非线性计算方法 - Google Patents

Abstract

一种陶瓷基复合材料模态的非线性计算方法，包括：1、建立三维有限元模型，获得单元、结点信息；2、基于损伤建立陶瓷基复合材料刚度模型；3、求解广义特征值问题，获得固有频率和固有振型；4、基于损伤建立陶瓷基复合材料阻尼模型；5、基于模态叠加法计算陶瓷基复合材料在振动载荷下的位移、应力、应变响应；6、基于陶瓷基复合材料的非线性应力‑应变曲线，判断材料的损伤情况，若损伤饱和，输出模态和应力、应变，否则重复执行步骤2‑6。本发明运用变刚度模态叠加法，并结合有限元，快速给出振动载荷下陶瓷基复合材料的模态响应。相比于现有计算方法，考虑了陶瓷基复合材料的非线性本构，取得比直接积分法高的计算效率，节省了大量时间。

Description

一种陶瓷基复合材料模态的非线性计算方法

技术领域

本发明属于复合材料力学分析技术领域，具体涉及一种陶瓷基复合材料模态的非线性计算方法。

背景技术

陶瓷基复合材料高温下具有良好的性能，同时具有重量轻、模量高、抗拉强度高、不易疲劳破坏等优点。陶瓷基复合材料在热端部件的应用潜力巨大，是未来航空航天材料的必然选择。在发动机实际工况下，陶瓷基复合材料往往承受复杂振动载荷的作用，振动载荷产生损伤导致刚度衰退，并最终引起结构的破坏。因此，研究陶瓷基复合材料的动力学特性具有十分重要的工程意义。而模态分析是动力特性研究的一种方法，可为结构的振动特性分析、振动故障诊断以及动力特性的优化设计提供依据。

由于陶瓷基复合材料是一种新型非线性材料，国内外还没有高效的方法预测振动载荷下的模态响应，也未见公开的发明专利。Birman(Birman V，Byrd L W.Damping inceramic matrix composites with matrix cracks[J].International Journal ofSolids&Structures，2003，40(16)：4239-4256.)将线弹性振动理论与单向CMCs细观损伤力学模型结合，但没有深入分析由变刚度引起的非线性振动现象。直接积分法直接进行逐步数值积分，以中心差分法的显式算法和Newmark法的隐式算法为代表，在非线性系统中得到广泛的应用。Gao(Gao X，Han D，Chen J，et al.Numerical and experimental study onthe nonlinear dynamic response of a ceramic matrix composites beam[J].Ceramics International，2018，44(6).)将中心差分法与有限元相结合，研究了单向陶瓷基复合材料梁的非线性动力响应，但计算非常耗时，效率不高。当前，如何快速预测陶瓷基复合材料的非线性模态响应是本技术领域重要的技术问题。

发明内容

本发明针对现有技术中的不足，提供一种可以快速获得陶瓷基复合材料振动载荷下非线性模态响应的方法。

为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：

一种陶瓷基复合材料模态的非线性计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1、建立陶瓷基复合材料的三维有限元模型，获得单元、结点信息；

步骤2、运用有限元法建立基于损伤的陶瓷基复合材料刚度模型；

步骤3、基于步骤1和步骤2求解广义特征值问题，获得固有频率和固有振型；

步骤4、由步骤2建立的刚度模型对Rayleigh阻尼进行同步更新变化，最终建立基于损伤的陶瓷基复合材料阻尼模型；

步骤5、将步骤3获得的模态结果代入步骤2建立的刚度模型和步骤4建立的阻尼模型，运用振型叠加法计算陶瓷基复合材料在振动载荷下的位移、应力、应变响应；

步骤6、基于陶瓷基复合材料的非线性应力应变曲线，判断材料的损伤情况，若损伤饱和，输出模态和应力、应变，否则更新弹性参数，重复执行步骤2至步骤6。

为优化上述技术方案，采取的具体措施还包括：

进一步地，步骤1中，建立陶瓷基复合材料的三维有限元模型并进行网格划分，提取有限元程序可识别的单元、结点信息；基于有限元原理，组装与损伤无关的形函数矩阵N、几何矩阵B、总体质量矩阵M、等效节点载荷向量F。

进一步地，步骤2中，有限元法中单元刚度矩阵K_e的计算公式为

式中，V_e表示单元体积，V表示体积，D表示弹性矩阵，由陶瓷基复合材料非线性本构关系结合损伤情况实时确定；初始状态下，假设材料未损伤；随着迭代的进行，对每个损伤状态进行刚度的折减，弹性矩阵D中的弹性参数由步骤6不断更新；

运用高斯积分法在单元体积V_e内积分获得单元刚度矩阵K_e，进一步组装成总体刚度矩阵K，作为基于损伤的陶瓷基复合材料刚度模型。

进一步地，步骤3中，求解广义特征值问题，即

Kφ-ω²Mφ＝0 (2)

式中，φ表示固有振型，ω表示固有频率；采用C++语言编程并调用Eigen矩阵库，求解式(2)得到各阶固有频率ω_i及对应的固有振型向量φ_i。

进一步地，步骤4中，在Rayleigh阻尼的假设下，将阻尼矩阵C视为刚度矩阵和质量矩阵的线性组合，即

C＝αM+βK (3)

已知两阶的固有频率和阻尼比ω_a、ζ_b和ω_b、ζ_b，通过下式求得常数α、β

α和β确定后，组装Rayleigh阻尼矩阵，并运用正则振型使其对角化；则每阶固有频率ω_i对应的阻尼比ζ_i也得以确定，即

其中，刚度矩阵随损伤情况实时变化，阻尼矩阵进行同步动态变化。

进一步地，步骤5中，已知振动系统运动控制方程为

式中，F为系统承受的外激励载荷，a(t)是系统的位移总响应；通过固有振型引入坐标变换

式中，Φ是由各阶固有振型向量φ_i组成的矩阵，x(t)是各阶广义位移值x_i组成的向量；代入式(6)中解耦得到n个二阶非耦合微分方程

对结构施加正弦体积力载荷，即F＝a cos ft，a和f分别是正弦载荷的幅值和频率，t表示时间；对于单自由度系统的振动，其解分为瞬态解和稳态解；瞬态解对应着齐次方程的解，会随着时间趋于无穷小；稳态解，系统做和外激励同频的振动；不考虑激励载荷开始时的瞬态响应，求解式(8)获得稳态响应为x_i(t)＝X_i cos(ft-θ_i) (9)

各阶位移响应的振幅X_i和相位角θ_i分别为

式中，r_i＝f/ω_i是频率比；最终系统的位移总响应通过式(7)得到；基于位移响应，运用有限元同步获得应变、应力响应。

进一步地，步骤6中，基于陶瓷基复合材料的非线性应力-应变曲线，判断材料的损伤情况，计算割线刚度

E₁＝σ_x ^t/ε_x ^t (11)

式中，σ_x和ε_x分别是材料主方向的应力、应变；计算出的割线刚度E₁用于更新下一迭代步中的弹性矩阵D；随着应变的变化，若当前应变大于历史最大应变值，损伤程度增大，采用当前应变计算割线刚度；若当前应变小于历史最大应变值，根据损伤不可逆性，采用历史最大应变值计算割线刚度；基于以上原则，实现当前损伤状态下的刚度折减；若损伤饱和，位移、应力、应变值趋于稳定，输出模态和应力、应变，否则重复执行步骤2-步骤6。迭代过程如图1所示。

本发明的有益效果是：本发明提供的一种陶瓷基复合材料模态的非线性计算方法，建立了考虑损伤的刚度和阻尼模型。运用变刚度模态叠加法，并结合有限元，能够快速给出振动载荷下陶瓷基复合材料的模态响应。相比于现有的计算方法，本发明考虑了陶瓷基复合材料的非线性本构，且取得比直接积分法高的计算效率，节省了大量时间。

附图说明

图1是本发明中割线刚度迭代示意图。

图2是本发明中陶瓷基复合材料悬臂梁模型。

图3是本发明中第一阶固有频率迭代过程。

图4是本发明中第一阶固有振型迭代过程。

图5是本发明中弹性参数迭代过程。

具体实施方式

现在结合附图对本发明作进一步详细的说明。

实施例：单向陶瓷基复合材料悬臂梁，长、宽、高分别为0.16、0.015、0.00428m，密度为1771kg/m³。第一阶和第二阶阻尼比ζ₁、ζ₂分别为1.59×10^-3、2.387×10^-3。施加正弦体积力，大小为40m/s²，频率为1479Hz。

步骤1：建立陶瓷基复合材料悬臂梁，并划分网格，如图2所示。提取有限元程序可识别的单元、结点等信息。基于有限元原理，组装与损伤无关的形函数矩阵、几何矩阵、质量矩阵、载荷矩阵。

步骤2：复合材料的等效弹性参数如下，代表无损伤状态：

E₁＝137.37GPa，E₂＝E₃＝63.16GPa，G₁₂＝G₁₃＝20.62GPa，G₂₃＝24.61GPa，υ₁₂＝υ₁₃＝0.27，υ₂₃＝0.25。

单向陶瓷基复合材料可视为横观各向同性材料，其柔度矩阵为

对柔度矩阵求逆，可以得到弹性矩阵D＝S^-1。运用高斯积分法计算式(1)中的单元刚度矩阵，并组装结构刚度矩阵。其中拉伸方向的弹性参数E₁由步骤6确定损伤状态实时更新。

步骤3：求解广义特征值问题，可获得初始未损伤状态的模态。随着损伤的增大，刚度、固有频率同步降低，最终迭代获得稳态的模态数据。迭代过程如图3～图4所示。

步骤4：由式(4)计算出初始阻尼系数α＝2.93、β＝8.153×10^-7，组装Rayleigh阻尼，并运用正则振型使其对角化。则每阶固有频率ω_i对应的阻尼比ζ_i也可确定。刚度矩阵随损伤情况实时变化，阻尼矩阵进行同步动态变化。

步骤5：运用振型叠加法，解耦振动微分方程。由式(8)-(10)，获得当前状态下的稳态响应。

步骤6：基于陶瓷基复合材料的非线性细观本构曲线，判断材料的当前损伤状况。根据式(11)求解割线刚度，用于计算步骤2中的弹性矩阵D。随着应变的变化，若当前应变大于历史最大应变值，损伤程度增大，采用当前应变计算割线刚度；若当前应变小于历史最大应变值，根据损伤不可逆性，采用历史最大应变值计算割线刚度。基于以上原则，实现当前损伤状态下的刚度折减。若损伤饱和，位移、应力、应变值趋于稳定，输出模态和各响应，否则执行步骤2。其中，弹性参数E₁的迭代过程如图5所示。

需要注意的是，发明中所引用的如“上”、“下”、“左”、“右”、“前”、“后”等的用语，亦仅为便于叙述的明了，而非用以限定本发明可实施的范围，其相对关系的改变或调整，在无实质变更技术内容下，当亦视为本发明可实施的范畴。

以上仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应视为本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种陶瓷基复合材料模态的非线性计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1、建立陶瓷基复合材料的三维有限元模型，获得单元、结点信息；

步骤2、运用有限元法建立基于损伤的陶瓷基复合材料刚度模型；

步骤3、基于步骤1和步骤2求解广义特征值问题，获得固有频率和固有振型；

步骤4、由步骤2建立的刚度模型对Rayleigh阻尼进行同步更新变化，最终建立基于损伤的陶瓷基复合材料阻尼模型；

步骤5、将步骤3获得的模态结果代入步骤2建立的刚度模型和步骤4建立的阻尼模型，运用振型叠加法计算陶瓷基复合材料在振动载荷下的位移、应力、应变响应；

步骤6、基于陶瓷基复合材料的非线性应力-应变曲线，判断材料的损伤情况，若损伤饱和，输出模态和应力、应变，否则更新弹性参数，重复执行步骤2至步骤6。

2.如权利要求1所述的一种陶瓷基复合材料模态的非线性计算方法，其特征在于：步骤1中，建立陶瓷基复合材料的三维有限元模型并进行网格划分，提取有限元程序可识别的单元、结点信息；基于有限元原理，组装与损伤无关的形函数矩阵N、几何矩阵B、总体质量矩阵M、等效节点载荷向量F。

3.如权利要求2所述的一种陶瓷基复合材料模态的非线性计算方法，其特征在于：步骤2中，有限元法中单元刚度矩阵K_e的计算公式为

式中，V_e表示单元体积，V表示体积，D表示弹性矩阵，由陶瓷基复合材料非线性本构关系结合损伤情况实时确定；

运用高斯积分法在单元体积V_e内积分获得单元刚度矩阵K_e，进一步组装成总体刚度矩阵K，作为基于损伤的陶瓷基复合材料刚度模型。

4.如权利要求3所述的一种陶瓷基复合材料模态的非线性计算方法，其特征在于：步骤3中，求解广义特征值问题，即

Kφ-ω²Mφ＝0 (2)

式中，φ表示固有振型，ω表示固有频率；采用C++语言编程并调用Eigen矩阵库，求解式(2)得到各阶固有频率ω_i及对应的固有振型向量φ_i。

5.如权利要求4所述的一种陶瓷基复合材料模态的非线性计算方法，其特征在于：步骤4中，在Rayleigh阻尼的假设下，将阻尼矩阵C视为刚度矩阵和质量矩阵的线性组合，即

C＝αM+βK (3)

已知两阶的固有频率和阻尼比ω_a、ζ_a和ω_b、ζ_b，通过下式求得常数α、β

α和β确定后，组装Rayleigh阻尼矩阵，并运用正则振型使其对角化；则每阶固有频率ω_i对应的阻尼比ζ_i也得以确定，即

其中，刚度矩阵随损伤情况实时变化，阻尼矩阵进行同步动态变化。

6.如权利要求5所述的一种陶瓷基复合材料模态的非线性计算方法，其特征在于：步骤5中，已知振动系统运动控制方程为

式中，F为系统承受的外激励载荷，a(t)是系统的位移总响应；通过固有振型引入坐标变换

式中，Φ是由各阶固有振型向量φ_i组成的矩阵，x(t)是各阶广义位移值x_i组成的向量；代入式(6)中解耦得到n个二阶非耦合微分方程

对结构施加正弦体积力载荷，即F＝acosft，a和f分别是正弦载荷的幅值和频率，t表示时间；不考虑激励载荷开始时的瞬态响应，求解式(8)获得稳态响应为

x_i(t)＝X_icos(ft-θ_i) (9)

各阶位移响应的振幅X_i和相位角θ_i分别为

式中，r_i＝f/ω_i是频率比；最终系统的位移总响应通过式(7)得到；基于位移响应，运用有限元同步获得应变、应力响应。

7.如权利要求3所述的一种陶瓷基复合材料模态的非线性计算方法，其特征在于：步骤6中，基于陶瓷基复合材料的非线性应力-应变曲线，判断材料的损伤情况，计算割线刚度

E₁＝σ_x ^t/ε_x ^t (11)

式中，σ_x和ε_x分别是材料主方向的应力、应变；计算出的割线刚度E₁用于更新下一迭代步中的弹性矩阵D；随着应变的变化，若当前应变大于历史最大应变值，损伤程度增大，采用当前应变计算割线刚度；若当前应变小于历史最大应变值，根据损伤不可逆性，采用历史最大应变值计算割线刚度；基于以上原则，实现当前损伤状态下的刚度折减；若损伤饱和，位移、应力、应变值趋于稳定，输出模态和应力、应变，否则重复执行步骤2-步骤6。

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