CN112799303A

CN112799303A - 一种机械臂的h∞控制方法

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Publication number: CN112799303A
Application number: CN202110012223.XA
Authority: CN
Inventors: 赵鹏兵; 杨金虎; 刘哲; 王卓阳; 张洁; 段学超
Original assignee: Xidian University
Current assignee: Xidian University
Priority date: 2021-01-06
Filing date: 2021-01-06
Publication date: 2021-05-14
Anticipated expiration: 2041-01-06
Also published as: CN112799303B

Abstract

本发明公开了一种机械臂的H∞控制方法，构建缩比实物模型，对其进行动力学建模和分析；采用扩展矩阵多面体方法表示模型的不确定性，进一步用线性分时变换表示该不确定性；再用非线性状态反馈减少模型的非线性并得到虚拟线性系统，同时通过线性状态反馈减弱外部干扰；最后通过合理的假设缩比实物模型的物理参数，选择合适的加权函数w_s，利用D‑K迭代法，得到不同振荡模式对应的鲁棒控制器。该机械臂的H∞控制方法，在存在外部振荡干扰和模型不确定性的情况下，成功的实现对机械臂目标轨迹的跟踪控制，避免了机械系统在工作中会受到基础振荡和底部柔性结构振动而产生干扰和影响。

Description

一种机械臂的H∞控制方法

技术领域

本发明涉及鲁棒控制系统技术领域，具体为一种机械臂的H∞控制方法。

背景技术

近年来，从海洋中获取能源，矿产和食品资源的重要性越来越高，使得对海洋机械系统性能的要求也愈来愈高，例如高可操作性，准确性，效率和操作安全性，但是，由于波浪、潮汐和风的影响，在许多海上控制应用场景中，机械系统要跟踪的理想轨迹会受到振荡的强烈影响。

大口径陆战武器弹药自动装填系统中的弹药传输机械臂是弹药自动装填系统中的重要部件，对弹药自动装填系统的整体性能具有很大的影响，机械臂接收自动弹仓内被推弹器所推出来的弹丸或者模块药，将弹丸或者模块药传送到输弹线上，再由输弹机将弹丸或者模块药送入炮膛，并且在这一操作需要在其行进的过程中完成。

这类机械臂的动力学特性在受到自身非线性力的同时，还会受到基础振荡所带来的强烈影响。

通常情况下，根据是否存在外部振荡干扰，可以将机械臂模型分为以下两类：

1.模型中真实存在外部振荡干扰；

2.系统固有的柔性结构，机械臂的运动会引起底部柔性结构产生振动。

为此，本发明针对上述问题以及为了简化计算和分析，提出一种两自由度机械臂模型以及基于该模型的鲁棒H∞控制方法。

发明内容

(一)解决的技术问题

针对现有技术中机械系统很容易受到波动引起基本振荡和底部柔性结构产生振动影响的不足，本发明提供了一种机械臂的H∞控制方法，具备在存在外部振荡干扰和模型不确定性的情况下，成功的实现对机械臂目标轨迹的跟踪控制等优点，解决了上述背景技术中所提出的问题。

(二)技术方案

为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：一种机械臂的H∞控制方法，包括以下步骤：

构建缩比实物模型，对其进行动力学建模和分析；

采用扩展矩阵多面体方法表示模型的不确定性，进一步用线性分时变换表示该不确定性；

再用非线性状态反馈减少模型的非线性并得到虚拟线性系统，同时通过线性状态反馈减弱外部干扰；

最后通过合理的假设缩比实物模型的物理参数，选择合适的加权函数w_s，利用D-K迭代法，得到不同振荡模式对应的鲁棒控制器。

优选的，缩比实物模型由两自由度机械臂和单自由度振荡基底组成，基底相对于原点做单自由度旋转运动，机械臂相对于振荡基底做起伏和摇摆运动。

优选的，两自由度机械臂关节末端载荷的变化会引起整个模型物理参数摄动，利用三种不同幅值和频率的正弦运动的线性组合来模拟基础振荡。

优选的，三种基础振荡模式包括单频振荡模式、双频振荡模式和模拟海浪频谱规律的震荡模式。

优选的，在虚拟线性中，对系统影响最大的惯性矩阵的不确定性采用显式建模。

优选的，加权函数w_s包括高通加权函数w_u和高通加权函数w_n，对于评价性能指标u，选择高通加权函数w_u来抑制控制输入中的高频成分，对于噪声输入n和加性模型不确定性，选择高通加权函数w_n。

(三)有益效果

与现有技术相比，本发明提供了一种机械臂的H∞控制方法，具备以下有益效果：

该机械臂的H∞控制方法，采取三种振荡模式用于控制系统的设计和评估，基础振荡强烈干扰机械臂的运动控制，得到三种不同的控制器，同时利用扩展矩阵多面体方法表示模型的不确定性，进一步用线性分式变换表示该不确定性，并且通过合理的假设缩比实物模型的物理参数，选择合适的加权函数，比较计算得到的μ值，使控制器具有更好的鲁棒性，进而在存在外部振荡干扰和模型不确定性的情况下，成功的实现对机械臂目标轨迹的跟踪控制，避免了机械系统在工作中会受到基础振荡和底部柔性结构振动而产生干扰和影响。

附图说明

图1为本发明方法流程框架结构示意图；

图2为本发明中缩比实物模型结构示意图；

图3为本发明中广义被控对象P1的整体控制框图。

图中：1、单自由度振荡基底；2、两自由度机械臂；201、第一关节；202、第二关节；3、末端载荷。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

请参阅图1-3，一种机械臂的H∞控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

构建缩比实物模型，对其进行动力学建模和分析；

采用扩展矩阵多面体方法表示模型的不确定性，进一步用线性分时变换表示该不确定性，一方面可以减少控制器设计的保守性，另一方面就在于可以很方便的在H∞控制框架中使用，便利了控制器的分析和设计；

优选的，缩比实物模型由两自由度机械臂2和单自由度振荡基底1组成，，基底相对于原点做单自由度旋转运动，机械臂相对于振荡基底做起伏和摇摆运动，两自由度机械臂2包括第一关节201和第二关节202。

优选的，两自由度机械臂2关节末端载荷3的变化会引起整个模型物理参数摄动，利用三种不同幅值和频率的正弦运动的线性组合来模拟基础振荡。

根据是否存在外部振荡干扰，可以将机械臂模型分为以下两类：

a:模型中真实存在外部振荡干扰，例如海上起重机，钻探船，海洋观测系统，机载雷达万向架系统等，这些机械系统很容易受到波动引起的基本振荡的影响。

b:另一类模型没有此类外部振荡干扰，而是由于系统固有的柔性结构，机械臂的运动会引起底部柔性结构产生振动，例如，一个安装在柔性基座上的大型太空机器人或维护太空卫星的自由飞行机器人就是这种机械系统的实例。

实施方式如下：

对于基础振荡下多自由度机械臂的控制问题，为了简化分析和计算，选择一个简单合适的缩比模型，并设定一些重要的假设来对整个模型进行动力学分析和鲁棒控制器设计。

该发明中的缩比实物模型，由两自由度机械臂2和单自由度振荡基底1组成，在模型中，单自由度振荡基底1相对于原点做单自由度旋转运动，机械臂相对于单自由振荡基底1做起伏和摇摆运动。从动力学控制角度来看，平行和正交于机械手关节旋转轴的扭矩不会影响机械手的动力学，而且缩比模型对于整个控制系统的设计已经足够。

此外，在第二关节202末端施加了载荷，为了分析鲁棒控制问题，假设末端载荷3的物理参数是可变的，本发明中选择五种类型的末端载荷3，它们具有相同的圆形横截面和不同的宽度，宽度分别为1、2，...，5mm。不同载荷的宽度和质量对应如下表所示，其中5mm时的圆形载荷表示标称情况下的末端载荷3。通过选择单个或多个末端载荷3，可以实现载荷质量和惯性矩的各种情况，从而达到改变整个机械臂物理参数的目的。

以下为末端载荷3物理参数：

针对模型以及后续控制器的设计，我们需要做如下假设：

1.单自由度振荡基底1的频率范围是已知的，对振荡角度可以进行测量，这对于后续提出的H_∞控制方法非常重要。一般来说海洋波的振荡频率在1/30-1Hz之间。

2.机械臂施加在振荡基底的力和力矩可以忽略不计。

3.为了使分析简单，执行器的动力学可以忽略不计。

4.第二关节202末端的有效载荷的物理参数不确定，例如质量和惯性矩；参数的不确定性用来分析鲁棒控制问题。参数的不确定性在海洋机械系统中是很常见的情况。

5.除了第二关节202有效载荷的物理参数外，整个模型的其他物理参数是已知的，这也有利于后续控制系统方法的提出。

6.机械臂关节的角度和速度是可以进行测量的。

考虑上述所有的条件，可以将基础振荡下两自由度机械臂2的控制问题描述为在假设1-6成立的情况下，为整个系统设计鲁棒控制器。考虑基础振荡带来的干扰以及模型自身参数的不确定性，为了提高运动控制精度，准确跟踪理想运动轨迹所提出的一种鲁棒控制方法。

n自由度机械臂在受到m自由度基底的干扰时，整体模型的动力学公式可以用以下方法得到：机械臂标准动力学加上基本振荡引起的干扰，如式(7)所示：

q∈Rⁿ和q_b∈R^m分别代表机械臂关节和基底的位置向量，τ代表输入力矩向量。M(q)是机械臂的力矩矩阵，是一个正定对称矩阵；

代表机械臂的向心和科里奥扭矩；D是机械臂的阻尼系数矩阵，是一个正定常数对角矩阵；

代表由于基础振荡而产生的惯性扭矩以及向心和科里奥转矩；G(q,q_b)表示重力矩；G(q,q_b)和

的值与机械臂和基底的位置状态有关，而且是非线性耦合的。

公式(7)运用拉格朗日力学可以得到机械臂动力学模型的具体公式，如下(8)-(12)式所示,(12)式表示基础振荡模型公式。

M₁₁＝m₁a₁ ²+m₂(a₂ ²+l₁ ²+2a₂l₁cos(q₂))+J₁+J₂

M₁₂＝M₂₁＝m₂(a₂ ²+a₂l₁cos(q₂))+J₂

M₂₂＝m₂a₂ ²+J₂ (8)

G₁＝-{m₁a₁sin(q_b+q₁)+m₂(l₁sin(q_b+q₁))+a₂sin(q_b+q₁+q₂))}g

G₂＝-m₂a₂sin(q_b+q₁+q₂)g (11)

在式(13)中，基础振荡运动被建模为多个正弦运动的线性组合，从式(12)可以看出，基础振荡会对机械臂的运动控制造成强烈的影响；

的大小会随着振幅和角频率的变化而变化，克服

的影响是实现理想运动控制的关键。

基础振荡运动被建模为多个正弦运动的线性组合，在本发明中采取三种基础振荡模式用于控制系统的设计和评估。

第一种是单频振荡模式，幅角和频率分别为：w₁＝2π(rad/s)、Aw₁＝10^(o)、

第二种为双频振荡模式，w₁＝π(rad/s)、Aw₁＝5^(o)、

w₂＝2π(rad/s)、Aw₂＝10^(o)、

为了进行更真实的演示，第三种振荡模式模拟海浪的频谱规律，在这种模式下，公式(13)中的每个分量计算如下：

w₀、w_max、w_min分别代表振荡模态的初始值、最小值和最大值。A_s代表横摇幅度，通过这些参数，频率密度S_wi和振幅A_wi可以计算得出，相位Φ的取值范围为0-2π。为了产生基本的滚动运动，将这些参数设置为w₀＝0.24π、w_max＝0.4π、w_min＝0.2π、n_w＝5、A_s＝π(rad)。为了使干扰产生足够的影响，将w放大五倍，所以式(13)修改为：

假设机械臂缩比实物模型的物理参数下表所示：

当可变载荷质量和惯性矩发生变化时，公式(8)-(12)中各个物理参数的变化情况如下所示：

对于惯性矩阵M(q)：

M₁₁＝M₁+2Rcos(q₂)

M₁₂＝M₂₁＝M₂+Rcos(q₂)

M₂₂＝M₂

M₁＝m₁a₁₂+m₂(a₂₂+l₁ ²)+J₁+J₂

M₂＝m₂a₂+J₂

R＝m₂a₂l₁ (18)

将向心和科里奥矩阵可以改写为：

Δm₂代表末端可变载荷的变化范围，()n代表标称情况下的物理参数。Δm₂＝m₂-m_2n，然后结合模型，a₂和M₂的变化可以表示为：

其中r₁是有效载荷圆形横截面的内半径，r₂是有效载荷圆形横截面的外半径。

进一步，其他参数的变化可以表示为：

ΔR＝Δm₂l₂l₁ (23)

结合上述各种参数变化结果，可以得到：

ΔG(q，q_b)＝G(q，q_b)-G_n(q_，q_b)＝[ΔG₁，ΔG₂]^T

ΔG₁＝-Δm₂{l₁sin(q_b+q₁)+l₂sin(q_b+q₁+q₂)}g

ΔG₂＝-Δm₂l₂sin(q_b+q₁+q₂)g (26)

从物理参数的变化量可以看出，除了阻力系数矩阵以外，机械臂动力学模型其他参数的变化量与可变载荷质量的变化量Δm₂呈线性关系；这种特点会给控制器的设计带来很大便利。造成此结果的主要原因有以下两点：

1.可变载荷惯性矩与质量成正比；

2.可变载荷的位置保持不变，一直处于第二关节202末端，发生变化的是载荷的质量和惯性矩。

为了减少模型动力学模型中的非线性，构建一个虚拟线性系统，对标称参数下的动力学模型采用以下的非线性状态反馈方案：

其中，()_n代表标称情况下的物理参数，u代表新的控制转矩矢量。

将非线性反馈方案带入(7)中提出的模型动力学方程中，并在方程两边左乘M_n ^-1(q)，得到如下新的动力学方程，是一种具有惯性矩阵时变摄动的虚拟线性系统；其中ΔΙ(q)代表惯性矩阵的时变摄动，d代表整个系统的输入干扰。

其中：

ΔG(q,q_b)＝G(q,q_b)-G_n(qq_b) (32)

构建虚拟线性系统是为了对整个系统应用H_∞控制方法，在这个虚拟线性中，对系统影响最大的惯性矩阵的不确定性采用了显式建模，在标称情况时，不考虑d的影响，u到q完全解耦的。

其他不确定性吸收到了d中,输入干扰d中包括矩阵

和ΔG(q,q_b)的干扰可以采用下面提出的线性状态反馈控制方案进一步消除,

对整个模型的干扰则需要在整个H_∞控制方案中进行抑制。

在提出的虚拟线性系统中，输入干扰d包括：

和ΔG(q,q_b)的干扰考虑使用线性状态反馈控制方案进行抑制，现在仅考虑这两种干扰的抑制；在标称情况下，不考虑干扰d时，u到q是单输入单输出的完全解耦系统，从u_i到q_i(i＝1，2)，系统的状态空间和输出方程为：

y_i＝[1 0]x (34)

其中，

在这个单输入单输出系统中，设系统的被控对象为P，要求设计的控制器为K，外部存在的干扰设为d，u代表控制输入，e代表系统存在的误差，r代表理想输入，y代表实际输出，在下面的表达式中；

S＝(1+PK)^-1(r_i→e_i，n→-e_i) (35)

S_p＝(1+PK)^-1P(d_i→-e_i) (36)

T_a＝K(1+PK)^-1(r_i→u_i，n→-u_i) (37)

S代表整个系统的灵敏度函数，S_p与抑制输入端口的干扰d有关，准互补灵敏度函数T_a在抑制控制输入u以及处理加法未建模动态上有着很大的作用，T_a在后续H_∞控制框架设计中，对加权函数的选择有着很重要的作用。

S_p代表输入干扰d到误差e的传递函数，所以为了在整个频率范围内尽可能降低干扰d的影响，就要使得S_p足够小。又因为在上面的单输入单输出系统中存在双积分器，在低频时会使S_p的增益变大，进而会降低干扰衰减性能；灵敏度函数S表示理想输入和误差之间的传递函数，是一种低通传递函数，要尽可能使灵敏度函数在低频阶段有较小的增益。同时考虑以上两种情况，在标称情况下提出一种线性状态反馈控制方法F_x＝[F₁，F₂]x，这样会使得被控对象P在低频阶段有低于0dB的增益，并且S_p也会满足要求，F₁和F₂要根据具体的性能要求进行确定，加入线性状态反馈以后，系统的状态空间和输出方程为：

y_i＝[1 O]x (38)

在得到的虚拟线性系统中，存在惯性矩阵的不确定性ΔI(q)，为了在H_∞控制框架中设计和分析具有模型不确定性的控制系统，以LFT形式表示不确定性是必需的。用矩阵多面体表示模型不确定性的好处在于一方面可以减少控制器设计的保守性，另一方面就在于可以很方便的在H_∞控制框架中使用，便利了控制器的分析和设计。

在

中，ΔI(q)表示为：

在模型动力学分析中已知，ΔM(q)与第二关节可变载荷质量的变化量Δm₂呈线性关系，所以有：

ΔI(q)＝M_n ^-1(q)ΔM(q)

＝Δm₂M_n ^-1(q)M′(q) (40)

M'(q)在模型动力学分析中已经得到，所以当第二关节202末端载荷3不断发生变化时，根据机械臂的物理参数，可以得到ΔI(q)随关节角q₂的变化规律；为了将ΔI(q)表示为矩阵多面体形式，就要利用ΔI(q)中每一项的最大和最小值。设ΔI₁表示关节角q₂为0度，末端负载厚度为10mm时惯性矩阵的变化量；ΔI₂表示关节角q₂为180度，末端负载厚度为10mm时惯性矩阵的变化量，ΔI₁和ΔI₂都是顶点矩阵。则整个ΔI(q)可以近似表示为：

v₁和v₂与cos(q₂(t))成正比，v₃与第二关节202负载变化量Δm₂成正比；所以当末端负载不再变化时，v₃是时不变的，v₁和v₂会随着第二关节202角度的变化而变化，所以是时变的。进一步，将上述所得ΔI(q)用线性分式变化LFT形式表示如下：

ΔI(q)＝F_u(S(Φ₂,Φ₁),Δ_I) (42)

Δ_I∈{blockdiag[δ₁(t)I₂,δ₂I₂]δ_i∈R，|δ_i|≤1} (44)

δ₁(t)与cos(q₂(t))成正比，是时变的，δ₂与第二关节202负载变化量Δm₂成正比，是时不变的；最后可以得到LFT表示形式：

Ι+ΔI(q)＝F_u(Φ,Δ_I) (45)

LFT表示形式，将被用于H_∞控制系统的设计当中。

在本发明中，基本振荡运动被建模为多个正弦运动的线性组合，并且采取三种振荡模式用于控制系统的设计和评估，不同的基底振荡模式对应着不同的控制器。对评价性能指标e的加权函数矩阵的选择也要和这三种振荡模式对应；根据不同基底的振荡模式，加权函数w_s选择为一种低通传递函数，因为基底振荡干扰的频率特性基本上是在低频增益大，w_s增益越大，说明干扰衰减性能越好；所以评价性能指标e的加权函数矩阵为：

对于评价性能指标u，选择高通加权函数w_u来抑制控制输入中的高频成分，所以u的加权函数矩阵为：

对于噪声输入n和加性模型不确定性，选择高通加权函数w_n，n的加权函数矩阵为：

为了进行控制系统的设计，需要得到Ι+ΔI(q)的逆变换，因此进行如下变换：

所以P(ΔI)＝F_u(P',Δ_I)，考虑控制输入和输出，P'的状态空间方程为：

z＝[-F₁Φ′₁₂ -F₂Φ′₁₂]x+Φ′₁₁w+Φ′₁₂u

y＝[I₂ 0]x (55)

其中，x＝[q₁,q₂,q₁,q₂]^T,y＝[q₁,q₂]^T,u＝[u₁,u₂]^T，z∈R⁴,w∈R⁴,w＝Δ_Iz

另外选择-r，n也作为系统的评价输入，选择e和u作为额外评价输出，则整个系统∑1的状态空间方程表示为：

然后，将加权函数矩阵定义为：

W₁＝blockdiag[I₄,W_s,W_u] (59)

W₂＝blockdiag[I₆,W_n] (60)

所以整个广义系统P₁表示为：P₁＝W₁∑1W₂

广义系统对应的结构不确定性矩阵为：

Δ＝block[Δ_I,Δ_p]

＝{blockdiag[δ₁(t)I₂,δ₂I₂,Δ_p](δ_i∈R，|δ_i|≤1,Δ_p∈C^4*4,σ(Δ_p)≤1) (61)

在得到广义系统P₁以后，使用D-K迭代法进行控制器的求解，整个求解过程在matlab中进行。D-K迭代法主要用于具有结构不确定性多输入多输出系统H_∞控制器的求解，采用三种振荡基底模式，可以得到三种不同的控制器，设控制器为K_1j(j＝1,2,3)。通过D-K迭代求解μ_1j的上界，进而求出最优的控制器，求解表达式如下:

也就是：

其中D_rΔ＝ΔD_l ^-1，且D_r和D_l的选择取决于广义系统P₁，可以选择如下的D_r和D_l进行求解计算；

将说明性模型物理参数和不同振荡基底下的加权函数矩阵代入广义系统P₁，用D-K迭代法得到的μ值下表所示：

μ值可以说明对应的H_∞控制器具有很好的鲁棒性。

需要说明的是，在本文中，诸如第一和第二等之类的关系术语仅仅用来将一个实体或者操作与另一个实体或操作区分开来，而不一定要求或者暗示这些实体或操作之间存在任何这种实际的关系或者顺序。而且，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者设备所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个”限定的要素，并不排除在包括所述要素的过程、方法、物品或者设备中还存在另外的相同要素。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims

1.一种机械臂的H∞控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

构建缩比实物模型，对其进行动力学建模和分析；

2.根据权利要求1所述的一种机械臂的H∞控制方法，其特征在于：缩比实物模型由两自由度机械臂和单自由度振荡基底组成，基底相对于原点做单自由度旋转运动，机械臂相对于振荡基底做起伏和摇摆运动。

3.根据权利要求2所述的一种机械臂的H∞控制方法，其特征在于：两自由度机械臂关节末端载荷的变化会引起整个模型物理参数摄动，利用三种不同幅值和频率的正弦运动的线性组合来模拟基础振荡。

4.根据权利要求3所述的一种机械臂的H∞控制方法，其特征在于：三种基础振荡模式包括单频振荡模式、双频振荡模式和模拟海浪频谱规律的震荡模式。

5.根据权利要求1所述的一种机械臂的H∞控制方法，其特征在于：在虚拟线性中，对系统影响最大的惯性矩阵的不确定性采用显式建模。

6.根据权利要求1所述的一种机械臂的H∞控制方法，其特征在于：加权函数w_s包括高通加权函数w_u和高通加权函数w_n，对于评价性能指标u，选择高通加权函数w_u来抑制控制输入中的高频成分，对于噪声输入n和加性模型不确定性，选择高通加权函数w_n。