CN110601172A

CN110601172A - 一种基于凸多面体不确定性的多直流协调控制器设计方法

Info

Publication number: CN110601172A
Application number: CN201910534293.4A
Authority: CN
Inventors: 伍文城; 王晓茹; 饶宏; 周保荣; 杨帆; 曾雪松; 李彬; 陈磊; 邹朋
Original assignee: China South Power Grid International Co ltd; Southwest Jiaotong University; Southwest Electric Power Design Institute Co Ltd of China Power Engineering Consulting Group
Current assignee: China South Power Grid International Co ltd; Southwest Jiaotong University; Southwest Electric Power Design Institute Co Ltd of China Power Engineering Consulting Group
Priority date: 2019-06-20
Filing date: 2019-06-20
Publication date: 2019-12-20
Anticipated expiration: 2039-06-20
Also published as: CN110601172B

Abstract

本发明公开了一种基于凸多面体不确定性的多直流协调控制器设计方法，用于为系统设计适应多工况的输出反馈控制器，以提高闭环系统H₂、H_∞以及衰减率等性能。该方法包括：步骤1，建立开环系统的多工况凸多面体模型；步骤2，应用正交实验方法生成初代控制器；步骤3，建立闭环系统状态空间模型；步骤4，应用二分法迭代调用扩展Lyapnuov方程，求取系统目标函数值；步骤5，应用差分进化算法生成新一代控制器；步骤6，对当前最优控制器应用正交交叉算子，保留最优个体；步骤7，计算新一代个体目标函数值；步骤8，当迭代次数等满足停止条件，进入步骤9，否则返回步骤5；步骤9，输出最优控制器参数及性能指标，结束操作。

Description

一种基于凸多面体不确定性的多直流协调控制器设计方法

技术领域

本发明涉及电力系统技术领域，尤其涉及一种基于凸多面体不确定性的多直流协调控制器设计方法。

背景技术

高压直流输送功率大，功率灵活可控，为实施广域控制、解决电网稳定问题提供了有利条件。早在1970年代，美国太平洋联络线工程中将高压直流输电系统的附加阻尼控制用来抑制低频振荡。随着系统中直流回路数的增多，为充分发挥多回直流在稳定控制上的潜力，一个方向是建立集中式的多直流协调系统，应用于广域阻尼控制，该系统输入输出均为广域信号。

多直流协调控制器面对的是多运行方式、系统参数多变的电力系统，对参数和运行方式要有较强的适应性。为了应对扰动和参数不确定性，电力系统广域控制的一种受欢迎的设计方法是基于线性系统的H₂、H_∞混合控制。由于电力系统结构、运行方式多变，为使控制器性能在多个运行方式不劣化，一种自然的思路是基于二次稳定原理的鲁棒H₂、H_∞混合控制，采用包含一个公共的Lyapunov矩阵的线性矩阵不等式来描述多个运行方式的H₂、H_∞性能，由此带来了较大的保守性。为降低二次稳定原理的保守性，一种思路是基于参数依赖Lyapunov 函数方法，引入额外的独立于Lyapunov矩阵的辅助优化变量来降低保守性，这种方法称之为松弛变量方法(S-Variable Approach)，目前已有静态输出反馈控制设计方法。从已有文献来看，已有方法存在三个问题：(1)引入辅助矩阵较多，增加了计算复杂度；(2)已有方法多针对H₂、H_∞控制，较少考虑衰减率或阻尼比指标；(3)已有方法一般针对状态反馈或静态输出反馈，较少考虑动态输出反馈。鉴于电力系统的状态量并不是容易获得，基于输出反馈的控制策略研究更具实用意义。上述问题，使得S-Variable方法难以直接推广应用到电力系统多直流协调控制。

针对上述问题，本发明基于松弛变量方法，提出一种可以实现H₂、H_∞混合控制以及衰减率优化的多目标输出反馈控制器设计方法，并将其推广到电力系统多直流协调控制器设计，并应用正交差分进化算法实现动态输出反馈控制器综合。

发明内容

鉴于基于二次稳定性原理的多工况控制器设计方法保守性较强，基于松弛变量的设计方法引入的辅助矩阵较多、仅能进行单一目标、仅有状态反馈控制设计或静态输出反馈控制设计的缺陷，本发明基于扩展Lyapunov方法，提出一种计及多运行点参数变化的控制器设计方法，实现H₂、H_∞混合控制以及衰减率等目标优化，可为多直流协调控制系统设计任意指定阶数的动态输出反馈控制器。为提高设计效率和控制器性能，本发明还引入高效的正交差分进化算法为控制器参数提供优化方向。

发明内容1：本发明提出一种基于扩展Lyapunov方法的可适应多工况、实现多目标优化的多直流协调控制器设计方法，包括以下步骤：

步骤1：输入多直流协调控制系统的开环系统各工况下的状态空间方程的各矩阵参数，包括工况数n_c，凸多面体各顶点参数{A_l，B_l，C_1l，C_2l，D_1l，D_2l}(l＝1,2,…,n_c)，输入信号维数n_u，输出信号维数n_y，待求控制器阶数n_k，决策变量数n_v＝(n_u+n_k)×(n_y+n_k)，初始化差分进化参数，缩放因子C_F，交叉概率C_P，种群规模N_P，最大迭代次数g_max，迭代误差限ε；所述初始化差分进化参数包括正交数组和正交交叉概率P_set；令迭代次数 g＝1；

步骤2：基于正交实验设计，生成控制器初始种群其第i个行向量K_i表示第i个控制器个体；

步骤3：对N_P个控制器个体K_i，应用vec2mat变换转换为控制器状态空间矩阵K_{m_i}，并生成n_c个闭环系统矩阵{A_cl，B_cl，C_c1l，C_c2l，D_c1l，D_c2l}，逐一检验A_cl的最右特征值是否位于左半平面，如是则进入步骤4；如所有A_cl的最右特征值均大于0，返回步骤2；

步骤4：根据扩展Lyapunov方法，计算闭环系统H_∞范数γ和H₂范数η，应用对半搜索法求出凸多面体闭环系统衰减率，即最右特征值t；

步骤5：计算各闭环系统目标函数及最差目标函数令

步骤6：计算获得本代目标最优函数记录对应的最优个体

步骤7：对本代中N_P个体进行交叉及变异操作，生成新一代个体令g＝g+1；

步骤8：产生一个在[0,1]内的随机数P_r，如其小于正交交叉概率P_set，进入步骤9，否则返回步骤5；

步骤9：随机选择两个不同个体和应用局部搜索加强算法由本代最优个体和生成加强个体在由和组成的长方形空间中，使用正交交叉算法应用正交表L₉(3⁴)生成9个备选个体，选择其中最优个体成为下一代个体

步骤10：按步骤3～步骤6方法计算g+1代的最优目标函数值

步骤11：判断是否g≤gmax或如是，返回步骤3；否则，进入步骤12；

步骤12：输出最优控制器解K及其对应的H₂范数、H_∞范数和衰减率t，结束算法。

发明内容2：本发明基于扩展Lyapunov方法进行具有凸多面体不确定性系统的H_∞范数、 H₂范数及衰减率混合优化。

对交直流混合系统，假设计及扰动后的状态空间方程可写成如下形式：

上式中，为状态向量，为输入扰动，为输入向量，为性能输出，为测量输出，为状态矩阵，为输入矩阵，和为性能输出向量。

假设反映系统不确定性的矩阵A，B₁，B₂，C₁，C₂，D₁₁，D₁₂，D₂₁，D₂₂可表示为若干顶点矩阵的凸组合，即

其中，

R_i＝(A_i,B_1i,B_2i,C_1i,C_2i,D_11i,D_12i,D_21i,D_22i)

对式(2)所描述的系统，如选取以下动态输出反馈控制律：

上式中：此处的Ks可选择为降阶控制器 (n_k<n_x)，或全阶控制器(n_k≥n_x)。

令则闭环系统可写为：

上式中：

对式(2)描述的不确定性系统，设Ω∈R为不确定性系统矩阵，给定正数γ>0，η>0，t>0， ρ＝cosθ≥0,如果存在合适的维数的矩阵K∈R^m×n，对称正定矩阵 P_ki∈R^n×n，且矩阵F_k∈R^n×n,Q_i∈R^m×n,当式(3)中的各项约束成立时，则在式(3)描述的输出反馈控制器的作用下，式(5)描述的闭环系统鲁棒渐近稳定。对闭环系统的H_∞范数γ、H₂范数η和最右特征值实部分别赋予α、β和θ的权重，则通过求解优化问题即式(3)可设计系统的多目标最优输出反馈控制器：

式中，A_ci，B_ci，C_c1i，C_c2i,D_ci是凸多面体第i个顶点的闭环系统方程的系统矩阵。

发明内容3：本发明提出一种基于凸多面体不确定性的闭环系统衰减率估算方法，其计算方法为：

步骤4-1：设置步长Δt、最大迭代次数Iter_max、误差限ε_t以及期望的闭环系统时滞上限 t_expect，令可行值t_f＝0，衰减率范围t_max＝0,t_min＝0，Iter＝0；

步骤4-2：根据给出的本代的第i个控制器个体参数转换为矩阵K_m＝[D_k C_k；B_kA_k]，计算闭环系统的A_c；

步骤4-3：令t_test＝t_f+Δt，根据A_c和t_test，求式(3)～(5)，如可行，则转步骤4-4；否则执行步骤4-5；

步骤4-4：t_f＝t_test，t_min＝t_test，t_text＝2×t_f，转到步骤4-6；

步骤4-5：t_max＝t_test，t_test＝(t_max+t_min)/2；

步骤4-6：Iter＝Iter+1；如果Iter≤Iter_max或|t_max-t_min|≥ε_t，则返回步骤4-3；否则转步骤4-7；

步骤4-7：输出衰减率上限估算值t_max＝t_f，结束计算。

本发明的有益效果在于：

(1)本发明可为存在多工况的交直流混合直接设计任意指定阶数的输出动态反馈控制器，包括阶数为0时的静态输出反馈控制器，系统具有更少的保守性；

(2)本发明针对单一目标(H₂、H_∞、衰减率)优化时，仅引入一个额外的辅助矩阵，与其他引入2～3个辅助矩阵方法相比，引入变量较少，设计效率较高；

(3)本发明基于“生成-检验”方法，先随机生成控制器，再检验是其否满足式(6)中的各项矩阵不等式约束，不存在两个或多个未知矩阵的乘积项，因此可直接基于线性矩阵不等式框架应用求解输出反馈控制器，避免求解非线性矩阵不等式的困难，而且可通过差分进化搜索方法获得优化的控制器；

(3)本发明先随机生成控制器，再逐一检验闭环系统矩阵的最右特征值是否位于左半平面，对满足该条件的闭环系统才通过式(6)求取闭环系统性能指标，避免了大量的无效运算，提高了计算效率，可适用于较大规模系统的控制器综合。

(4)基于线性凸多面体不确定系统来设计多直流协调控制器，可避免系统多运行方式、参数发生变化时性能劣化，但基于二次稳定性原理的凸多面体系统综合方法具较大的保守性，而且求解成功率较低。将松弛矩阵引入到Lyapunov方程，提出了H₂、H_∞和衰减率的多目标混合优化的求解方法，结合差分进化算法，可直接求解基于输出反馈的多直流协调控制器。该方法与基于二次稳定性原理的方法相比，求解成功率较高，并具有较小的保守性。基于多直流协调控制的仿真表明验证了算法的正确性。

附图说明

图1为本发明的设计方法流程图；

图2为7机29母线3直流系统接线图。

具体实施方式

为了对本发明的技术特征、目的和效果有更加清楚的理解，现对照附图说明本发明的具体实施方式。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明，即所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。通常在此处附图中描述和示出的本发明实施例的组件可以以各种不同的配置来布置和设计。因此，以下对在附图中提供的本发明的实施例的详细描述并非旨在限制要求保护的本发明的范围，而是仅仅表示本发明的选定实施例。基于本发明的实施例，本领域技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

一、本发明的理论基础

对交直流混合系统，计及扰动后的状态空间方程可写成如下形式：

其中，

R_i＝(A_i,B_1i,B_2i,C_1i,C_2i,D_11i,D_12i,D_21i,D_22i)

对式(2)所描述的系统，如选取以下动态输出反馈控制律：

上式中：此处的K_s可选择为降阶控制器(n_k<n_x)，或全阶控制器(n_k≥n_x)。

令则闭环系统可写为：

上式中：

控制器综合的目标：对凸多面体不确定线性系统(2)，设计动态输出反馈控制器(3)，使得对应所有允许参数不确定性，使得闭环系统(4)鲁棒渐近稳定，并且闭环系统H₂、H_∞范数最小化，同时最小衰减率最大化，以提高系统阻尼。

引理1(消去引理)：对给定的矩阵U∈R^n×m，V∈R^l×n，以及H＝H^T∈R^n×n，则以下两个条件相等：

(1)存在矩阵X∈R^n×l，使得H+UXV+(UXV)^T<0；

(2)U^⊥HU^⊥T<0，V^T⊥HV^T⊥T<0。其中U^⊥U＝0，V^T⊥V^T＝0。

引理2(H_∞范数)：假设A_c稳定，给定常数γ>0，如果存在一个对称正定矩阵P>0,，使得下式成立：

则式(4)所描述的系统是鲁棒稳定的，并且系统范数H_∞<γ。

引理3(H₂范数)：假设A_c稳定，且D＝0，则以下结论是等价的

(1)||T||₂<η

(2)存在对称正定矩阵P>0以及矩阵Q

Trace(Q)<η² (9)

引理4(扩展H_∞范数)：如果存在对称正定矩阵P>0，正数γ>0，以及矩阵F使得下述成立：

则前述系统渐近稳定，并且||T||_∞<γ。

证明：令

则，

由引理1，可知式(10)与式(6)等价，故由引理2可推出引理4。

引理5(扩展H₂范数)：如果A_c稳定，并且D＝0，则以下三个描述等价：

(1)||T||₂<η

(2)存在对称正定矩阵P＞0以及矩阵Q和F，使得下式成立

Trace(Q)<η² (13)

证明：令

则：

则根据引理1，式(7)与式(11)等价，由引理3可推出引理5。

引理6如果给定常数t>0，如果存在一个对称正定矩阵P＝P^T>0，使得下式成立：

则矩阵A_c的特特征值位于复平面α的左侧。

引理7(鲁棒扩展H_∞范数)：如果存在对称矩阵P_i>0以及矩阵F使得以下式子成立：

A_ci,B_ci,C_ci和D_ci为定义在M_i上的顶点矩阵，i＝1,2,…N,则定义在Φ上的所有矩阵M，均有 ‖T_wz(θ)‖_∞<γ。

证明：如果M_i上的顶点矩阵定义的系统，式(15)均成立，则有

引入仿射参数依赖Lyapunov矩阵

则有

由引理2可知，对定义在Φ上的所有矩阵M，均有‖T_wz(θ)‖_∞<γ。

引理8(鲁棒扩展H₂范数)：如果A_ci稳定，D_ci＝0存在对称矩阵P_i>0以及矩阵Q_i，F使得下列式子成立：

Trace(Q_i)<η² (20)

证明：使用与引理8的方法可证明引理9。

由引理2、引理3、引理6可直接推得以下定理1。

定理1考虑式(2)所描述的系统，设Ω∈R为不确定性系统矩阵，给定正数γ>0，η>0，t>0，如果存在合适的维数的矩阵K∈R^m×n，对称正定矩阵 P∈R^n×n，且P＝P^T>0,3,…,N,k＝1,2,3,4，矩阵F∈R^n×n,Q_i∈R^m×n,当式(21)中的各项约束成立时，则在式(3)描述的输出反馈控制器的作用下，式(4)描述的闭环系统鲁棒渐近稳定。对闭环系统的H_∞范数γ、H₂范数η、最右特征值实部t分别赋予α、β、θ的权重，则通过求解优化问题即式(21)可设计系统的多目标最优输出反馈控制器。

正交表生成算法：设有M个组合、H个水平正交表L_M(Q^H),可表示为M×H的数组(T_ij)_M×H，可通过以下算法生成

for(i＝1；I≤M；i++)

{T_i1＝int((M-1)/Q)mod Q；

T_i2＝(M-1)mod Q；}

for(j＝3；j≤H；j++)

for(i＝1；i≤M；i++)

{T_ij＝(T_i1×(j-2)+T_i2)mod Q；}

for(i＝1；i≤M；i++)

for(j＝1；j≤H；j++)

{T_ij＝T_ij+1；}

高维空间的正交交叉算子搜索算法：当搜索空间维数较高，即使对空间中的两个点构成的范围进行目标函数最优值搜索计算量也十分巨大，利用基于正交数组的正交交叉算子QOX 可以加速这一搜索进程。假设D-维搜索空间中的两个点分别为：e＝(e₁,e₂,...,e_D)， f＝(f₁,f₂,...,f_D)，e,f定义了搜索范围[min(e_i,f_i)，max(e_i,f_i)].QOX首先将搜索范围量化，按如下方法定义Q个水平:

量化后，因每个因素有Q种水平，由e,f定义的搜索空间将有Q^D个点。由于 D通常大于常用正交表中的因素个数H，因此常常不能直接应用正交表L_M(Q^H).为克服困难，QOX将(s₁,s₂,...,s_D)分为H个子空间:

式中，整数t₁,t₂,…,t_H-1为随机生成,并且1<t₁<t₂<...<t_H-1<D.QOX将每个S_i视为一个因素并定义S_i的Q个水平为:

然后,QOX使用L_M(Q^H)计算S₁,S₂,…,S_H以构建M个待检验的解(也就是水平组合).如果变量维数D比H少,则L_M(Q^H)的头D列可直接用于设计交叉算子。

二、本发明的主要内容

1、不确定连续系统的输出反馈表达

对式(2)表示的开环系统，如设计式(3)表示的动态输出反馈控制器，闭环系统可用式(4)，式(5)描述。在式(5)中，如果令：

令控制律为u＝K_Fy(t),且

则式(5)又可写成：

通过(4)～(5)以及式(25)～(27)，可将较难求解的动态输出反馈问题转化为静态输出反馈问题求解。

2、基于松弛变量Lyapunov方法的衰减率计算

为能实现动态输出反馈控制中计及衰减率，将基于松弛变量Lyapunov方法推导相应的 LMI表达式。

定理2如果给定常数t>0，如果存在一个对称正定矩阵P＝PT>0及矩阵F，使得下式成立：

则矩阵A_c的特征值位于复平面x＝t的左侧。

证明：如式(28)可行，则F非奇异。定义

T＝[FF^-1 PF^-1-FF^-1]

将式(28)左侧乘以T，右侧乘以T^T，则可推出式(14)，表明矩阵A_c的特征值位于复平面x＝t 的左侧。

定理2中t就是闭环系统Ac的最右特征值实部，也就是闭环系统的最小衰减率。

3、基于松弛变量Lyapnov方法的多目标优化

基于引理7、引理8以及定理2、定理3，可推出定理4。

定理4考虑系统(2)，设Ω∈R为不确定性系统矩阵，给定正数γ>0，η>0，t>0，ρ＝cosθ≥0, 如果存在合适的维数的矩阵K∈R^m×n，对称正定矩阵且矩阵F_k∈R^n×n,Q_i∈R^m×n,当式(29)中的各项约束成立时，则在式(3)描述的输出反馈控制器的作用下，式(4)描述的闭环系统鲁棒渐近稳定。对闭环系统的H_∞范数γ、H₂范数η、最右特征值实部t分别赋予α、β、θ的权重，则通过求解优化问题即式(29)可设计系统的多目标最优输出反馈控制器。

定理1实质是基于二次稳定性原理推导获得的，其特点是H₂、H_∞以及极点配置中采用公共的Lyapunov矩阵P，应用于凸多面体线性系统，不同顶点矩阵也需采用公共的Lyapunov 矩阵P。定理4，则引入了松弛变量F_l，实现了Lyapunov矩阵P与系统矩阵的解耦，使得不同性能指标可以采用不同的Lyapunov矩阵P、不同的松弛变量F_l求解，应用于凸多面体线性系统，不同顶点的还可以采用不同的Lyapunov矩阵P。显然，基于松弛变量线性矩阵不等式方法降低了二次稳定性原理中的保守性。

4、基于正交差分进化算法的输出反馈控制器求解方法

将式(27)代入式(29)，将获得的闭环系统矩阵展开，可以发现存在F、K_F这两个未知矩阵变量的乘积项，因此问题是关于F，K_F两个矩阵变量的双线性矩阵不等式问题，不能直接应用线性矩阵不等式方法求解。但是，如果先给出K_F，则问题可转化为LMI范式，因此，可通过“先生成后检验”的方法，求出可行的K，然后，应用差分进化算法可提供下一步搜索方向，通过多次迭代，可求出最优解。当然，即使是先给出K，然后直接检验式(29)中的各线性矩阵不等式约束仍然是计算密集型任务，为降低计算量，可先检验闭环系统特征值是否在左半平面内，对符合条件的闭环系统才计算式(29)中的各线性矩阵不等式约束，避免对闭环不稳定系统求解式(29)的无效计算，而特征值的求取已有成熟可靠的算法，如matlab的eig、 eigs函数，耗时少于对式(29)的计算，因此通过上述技巧可节约大量时间。

由于差分进化算法仅能对行向量进行优化，随机生成控制器矩阵要转换成以向量表示表示才能进行优化，该变换为矩阵到向量变换mat2vec,如式(30)所示：

(A_K,B_K；C_K,D_K)→K((n_u+n_k),(n_y+n_k))→S(1,(n_u+n_k)×(n_y+n_k)) (30)

而通过差分进化获得的优化后向量，选通过向量到矩阵的变化才能获得控制器矩阵，即 vec2mat转换，如式(30)所示：

S(1,(n_u+n_k)×(n_y+n_k))→K((n_u+n_k),(n_y+n_k))→(A_K,B_K；C_K,D_K) (31)

假设向量S元素S_i的取值范围[S_imin,S_imax]，可将其划分S_i1,S_i2,...,S_iQ等Q个水平:

如将向量化控制器S中的各个变量看作正交试验设计中的因素，假设每个因素有Q个水平，即因素i的值域[l_i,u_i]可离散化为Q个水平.然后，可应用式(14)计算因素的i水平j,即 a_ij.根据正交实验设计方法,使用N_v个因素、Q个水平、N_p个组合的正交数组利用式(33)可生成控制器的初始种群:

式中表示初始种群第i个个体的第j个变量。对第g代控制器的每个个体可转换为式(22)的控制器增益矩阵然后利用它可以计算闭环系统性能，然后可使用差分进化算法的变异、交叉及选择操作来优化控制器性能。

(1)变异操作(Mutation)

DE算法变异操作是从父代生成子代个体的一种操作，设对父代进行的变异操作的目标矢量为(第g代)，群体中随机选择三个不同的个体为则变异操作为：

式中，r1，r2，r3∈{1,2,…,NP}，为互不相同的整数，且r1，r2，r3与当前目标矢量索引i不同，因此种群规模N_P≥4。F为缩放因子，取值范围为[0，2]，以控制差分矢量的缩放程度。

(2)交叉操作(Crosser)

对于群体中目标矢量个体将与变异矢量进行交叉操作，产生试验个体为保证个体的进化，首先通过随机选择，使得至少有一位由贡献，而对于其它位，可利用一个交叉概率因子CR，决定中哪位由贡献，哪位由贡献。交叉操作的方程为

式(12)中rand(j)∈[0,1]为均匀分布的随机数，j表示第j个变量(基因)，CR为交叉概率常数，其取值范围为[0,1]，大小预先确定。randn(i)∈[1,2,…,Nv]，为随机选择的维数变量索引。

(3)选择操作(Selection)

DE算法中的选择操作决定变异与交叉生成的个体能否进入子代。经过变异与交叉操作后生成的试验个体与进行竞争，只有当的适应度与相等或更优时才被选作子代，否则，直接将作为子代。以最小化优化为例，选择操作的方程为：

微分进化算法通过随机偏差扰动产生新的中间个体，因此算法的局部搜索能力较弱，在逼近全局最优解时，仍需要经过多次迭代才能获得最优值，从而影响了算法的寻优速度。针对微分进化算法的缺点，提出了一种加速收敛的微分进化改进算法，其基本思路为：在按基本微分进化算法得到新种群后,以P_r(0<P_r<1)概率对新种群中的部分个体(不含当前最优个体)重新赋值，并使这部分个体分布在当前种群中的最优个体附近，引入局部增强算子式，以增强这部分个体的贪婪性，加快算法收敛速度:

式中为增强后个体,为当前搜索中的最优个体，为当前搜索中的两个不同个体，F_d为扰动因子，通常取0.5左右。

对微分进化算法局部增强的实质是使种群中的部分个体在当前最优个体附近扰动寻优。在保证种群多样性的同时，增加优良个体的贪婪性，以保证算法又快又好地找到全局最优解。通过引入扰动因子F_d，可以增强算法的局部搜索能力，加快算法的收敛速度，尤其是在逼近全局最优解时，可以减少收敛所需迭代次数。

对当前最优个体以及变异后的个体之间构成的超矩形空间，可能存在优于两个个体的点，对这个空间进行搜索，计算量仍是相当大的，因此利用正交交叉算子来增强局部搜索能力，该方法可分为3步：

步骤1：选取参与正交交叉的两个个体和对和形成的矩形空间进行分割，将其量化为Q个水平；

步骤2：随机产生[1,N]之间的H-1个整数n₁,n₂,...,n_H-1,将[1,N]分成H段，构成正交实验的H个因素；

步骤3：使用L_M(Q^H)的正交表对2个个体进行正交交叉，产生M个候选个体，从这M个候选个体中选出最优者作为选择和中的最优者。其中第i维的Q个水平值的计算按式(15)进行。

基于上述思想，整个算法流程为：

步骤1：输入系统各工况下的系统状态空间方程各矩阵参数，包括工况数n_c，凸多面体各顶点参数{A_l，B_l，C_1l，C_2l，D_1l，D_2l}(l＝1,2,…,n_c)，输入信号维数n_u，输出信号维数n_y，待求控制器阶数n_k，决策变量数n_v＝(n_u+n_k)×(n_y+n_k)，初始化差分进化参数，缩放因子C_F，交叉概率C_P，种群规模N_P，最大迭代次数g_max，迭代误差限ε；其中初始化差分进化参数包括正交数组和正交交叉概率P_set；令迭代次数g＝1；

步骤3：对N_P个控制器个体K_i，转换为控制器状态空间矩阵K_{m_i}，并生成n_c个闭环系统矩阵{A_cl，B_cl，C_c1l，C_c2l，D_c1l，D_c2l}，逐一检验A_cl的最右特征值是否位于左半平面，如是则进入步骤4；如所有A_cl的最右特征值均大于0，返回步骤2；

步骤4：根据扩展Lyapunov方法，计算闭环系统H_∞范数γ、H₂范数η，应用对半搜索法求出凸多面体闭环系统最右特征值t；

步骤5：计算各闭环系统目标函数及最差目标函数令

步骤6：计算获得本代目标最优函数记录对应的最优个体

步骤8：产生一在[0,1]内的随机数P_r，如其小于正交交叉概率P_set，进入步骤9，否则返回步骤3；

步骤9：随机选择两个不同个体应用局部搜索加强算法由本代最优个体以及生成加强个体在由和组成的长方形空间中，使用正交交叉算法应用正交表L₉(3⁴)生成9个备选个体，选择其中最优个体成为下一代个体

步骤10：按步骤3～步骤6方法计算g+1代的最优目标函数值

步骤11：判断是否g≤gmax或如是，返回步骤5；否则，进入步骤12；

步骤12：输出最优控制器解K及其对应的H₂、H_∞范数、最右特征值t，结束算法。

三、具体实施例

1、理论算例

该算例系统为1台机组通过1回线路连接接到无穷大母线情况，该系统考虑机组、励磁、 AVR以及PSS，在额定负荷、重负荷、轻负荷三个运行点附近线性化后的状态方程为：

其中：

上式中，A₁、A₂、A₃分别为额定负荷、重负荷、轻负荷时的系统状态矩阵，(P，Q)分别为(1.0,0.5)、(0.7,0.3)、(0.4,0.1)，应用凸多面体3个顶点Vtx 1、Vtx 2、Vtx 3来表示这3个工况。

系统开环性能指标如表1所示。Vtx 1、Vtx 3为开环稳定系统，Vtx 2由于极点位于右半平面，为开环不稳定系统。

表1开环系统性能指标

为验证本发明方法的正确性，对上述系统分别求取H₂最小化、H_∞最小化、最小衰减率最大化的静态输出反馈控制器，这三个控制器设计问题均为单一目标优化问题，分别应用基于二次稳定性原理方法(即定理1)以及本发明提出的基于正交差分进化算法的扩展lyapnuov 方法(即定理4)求解。计算结果分别列于表2～表4。

对单机无穷大算例，如果以最小衰减率最大化(即最右特征值最小化)为目标，二次稳定方法给出的最右特征值为-0.7421，基于松弛方法给出的最右特征值为-1.0620。对两种方法给出的控制器，经验算，二次稳定、本发明方法给出的闭环系统最右特征值分别为-0.7422， -1.0708，一定程度上验证了两种计算方法的正确性。两种方法比较，本发明方法结果较二次稳定方式提高了43.11％。

表2最小衰减率优化比较

对单机无穷大算例，如果以H₂最小化为目标，二次稳定方法给出的最小H₂范数为8.8041，基于松弛方法给出的最小H₂范数为为4.4381。对二次稳定、本发明方法两种方法给出的控制器，代入闭环系统可给出闭环系统的H₂最小范数分别为5.6184、4.2225，一定程度上验证了两种计算方法的正确性。两种方法比较，本发明方法结果较二次稳定方法提高了49.59％。

表3 H₂优化结果比较

对单机无穷大算例，如果以H_∞范数最小化为目标，二次稳定方法给出的最小H_∞范数为 5.7851，基于松弛方法给出的最小H_∞范数为4.2924。对二次稳定、本发明方法给出的控制器，代入环闭环系统可求得最小H_∞范数分别为5.4811、3.2959，一定程度上验证了两种计算方法的正确性。两种方法比较，本发明方法结果较二次稳定方法提高了25.80％。

表4 H_∞优化结果比较

2、7机29母线3直流系统

本实施例是基于7机29母线系统，具体涉及该系统的加拿大735kV交流系统的等值网络，其网络结构如图2所示，系统机组容量26200MW，负荷23000MW；包含了串补、高抗、风电等类型众多的模型，是典型的2送端-2受端系统。在LG27-MTL7断面加入1回±500kV、1000MW高压直流；在CHU7-QUE7断面、MAN7-QUE7断面分别接入1回±500kV、500MW 高压直流。

在每回直流加入随机扰动信号向量Y，获得机组G4、G6、G7的相对角速度输出向量U，通过辨识方法可获得3输入、3输出的9阶状态空间方程。

假设系统额定运行工况时系统的有功负荷、无功负荷P、Q分别为(1.0P_n，1.0Q_n)，大、小方式时P、Q分别为(1.2P_n，1.2Q_n)，(0.8P_n，0.8Q_n)，对应的系统矩阵分别为(A₁，B₁)，(A₂，B₂)，(A₃，B₃)。对应三种不同工况，系统开环性能如表5所示。

表5系统开环性能

考虑系统结构和运行的变化，假设A和B在如下的多面体内变化：

针对CanGrid系统，为其3回直流设计了3种协调控制器:

Kn:仅针对额定工况(1.0P_n，1.0Q_n)设计的协调控制器；

Kqs:基于二次稳定原理，针对3种(1.0P_n，1.0Q_n)，(1.2P_n，1.2Q_n)，(0.8P_n，0.8Q_n)工况设计的协调控制器；

Ksv:应用本发明提出的基于正交差分进化求解的扩展lyapnuov方法，针对3种(1.0P_n， 1.0Q_n)，(1.2P_n，1.2Q_n)，(0.8P_n，0.8Q_n)工况设计的协调控制器。

通过试错法，发现选择阶次为3阶动态输出反馈控制器时闭环系统性能较优。设计的控制器性能如表6所示。

表6控制器性能

根据表6结果，基于二次稳定原理的方法由于需采用一个公共的Lyapunov矩阵来满足多个线性矩阵不等式，无法获得一个可行解。仅针对额定工况设计的控制器Kn，尽管在额定工况、小负荷工况都有较好的表现，但大负荷工况表现较差，导致综合多工况后的性能提升不明显。利用本发明方法设计的Ksv控制器由于在三种工况都有较优表现，综合多工况后的性能在三种设计方法中最佳，体现了本发明方法的优越性。

总的来说，应用引入松弛变量的扩展Lyapnuov方法设计控制器，在多运行方式中的表现要优于基于额定工况设计的控制器，也优于基于二次稳定方法设计的控制器。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当理解本发明并非局限于本文所披露的形式，不应看作是对其他实施例的排除，而可用于各种其他组合、修改和环境，并能够在本文所述构想范围内，通过上述教导或相关领域的技术或知识进行改动。而本领域人员所进行的改动和变化不脱离本发明的精神和范围，则都应在本发明所附权利要求的保护范围内。

Claims

1.一种基于凸多面体不确定性的多直流协调控制器设计方法，其包含以下步骤：

步骤1：输入多直流协调控制器开环时的系统各工况下的状态空间方程各参数；所述参数包括工况数n_c，凸多面体各顶点矩阵参数{A_l，B_l，C_1l，C_2l，D_1l，D_2l}，其中l＝1,2,…,n_c；所述参数还包括输入信号维数n_u，输出信号维数n_y，待求控制器阶数n_k，决策变量数n_v＝(n_u+n_k)×(n_y+n_k)，初始化差分进化参数，最大迭代次数g_max，迭代误差限ε，缩放因子C_F，交叉概率C_P，以及种群规模N_P；所述初始化差分进化参数包括正交数组和正交交叉概率P_set；令迭代次数g＝1；

步骤5：计算各闭环系统目标函数及最差目标函数令

步骤6：计算获得本代目标最优函数记录对应的最优个体

步骤10：按步骤3～步骤6方法计算g+1代的最优目标函数值

步骤11：判断是否g≤g_max或如是，返回步骤3；否则，进入步骤12；

2.根据权利要求1所述的一种基于凸多面体不确定性的多直流协调控制器设计方法，其特征在于，在步骤4中，基于扩展Lyapunov方法进行闭环系统H_∞范数、H₂范数及衰减率混合优化，其方法为：

上式中，为状态向量，为输入扰动，为输入向量，为性能输出，为测量输出，为状态矩阵，为输入矩阵，和为性能输出向量；

其中，

R_i＝(A_i,B_1i,B_2i,C_1i,C_2i,D_11i,D_12i,D_21i,D_22i)

对式(2)所描述的系统，如选取以下动态输出反馈控制律：

上式中：此处的K_s可选择为降阶控制器即n_k<n_x，或全阶控制器即n_k≥n_x；

令则闭环系统可写为：

上式中：

对式(2)描述的不确定性系统，设Ω∈R为不确定性系统矩阵，给定正数γ>0，η>0，t>0，ρ＝cosθ≥0,如果存在合适的维数的矩阵K∈R^m×n，对称正定矩阵P_ki∈R^n×n，且矩阵F_k∈R^n×n,Q_i∈R^m×n,当式(3)中的各项约束成立时，则在式(3)描述的输出反馈控制器的作用下，式(5)描述的闭环系统鲁棒渐近稳定；对闭环系统的H_∞范数γ、H₂范数η和最右特征值实部t分别赋予α、β和θ的权重，则通过求解优化问题即式(3)可设计系统的多目标最优输出反馈控制器：

3.根据权利要求2所述的一种基于凸多面体不确定性的多直流协调控制器设计方法，其特征在于，在步骤4中，基于闭环系统最右特征值实部估算衰减率，其计算方法为：

步骤4-1：设置步长Δt、最大迭代次数Iter_max、误差限ε_t以及期望的闭环系统时滞上限t_expect，令可行值t_f＝0，衰减率范围t_max＝0,t_min＝0，Iter＝0；

步骤4-2：根据给出的本代的第i个控制器个体参数转换为矩阵K_m＝[D_k C_k；B_k A_k]，计算闭环系统的A_c；

步骤4-3：令t_test＝t_f+Δt，根据A_c和t_test求解式(3)～(5)，如可行，则转步骤4-4；否则执行步骤4-5；

步骤4-5：t_max＝t_test，t_test＝(t_max+t_min)/2；

步骤4-7：输出最小衰减率上限估算值t_max＝t_f，结束计算。