CN106168760A - 基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法 - Google Patents

基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法 Download PDF

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CN106168760A CN201610621571.6A CN201610621571A CN106168760A CN 106168760 A CN106168760 A CN 106168760A CN 201610621571 A CN201610621571 A CN 201610621571A CN 106168760 A CN106168760 A CN 106168760A
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Abstract

本发明公开了一种基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法，本发明基于对不确定时滞系统典型故障进行分析，用凸多面体模型方法构建飞机故障模型集，给出了飞机故障模型集映射到凸多面体参数空间的映射机制，搭建了一个以凸多面体顶点描述飞机典型故障状态的统一的飞机凸多面体故障模型，通过凸多面体模型线性内插完成当前故障状态的快速匹配；基于飞行总线的数据传输特性，采用Lyapunov稳定性方法和LMI工具箱，研究了具有凸多面体不确定故障映射模型的网络化飞行控制系统在凸多面体不确定空间内系统渐进稳定的充分条件和参数依赖的鲁棒容错控制器设计方法。

Description

基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法
技术领域
本发明涉及基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法。
背景技术
现代飞行控制系统属于强非线性多输入多输出复杂系统，结构损伤、润滑失效、空气摩擦、装配误差、硬件疲劳等引起的操作面故障、发动机故障等都会对飞机起飞后的安全产生很大的影响。将飞行控制系统作为一种不确定时滞系统进行研究，其故障主要有三类：执行器故障、传感器故障和结构性故障，大多数情况是这三种故障情况的组合。
随着网络化控制系统规模和复杂度的增加，时滞因素成为影响系统稳定性和动态性能的重要因素；此外，网络化控制系统是多输入多输出的复杂动态系统，工作环境复杂，在工作过程中要承受振动、冲击、高温、低温等影响，动力学参数变化很大，导致系统故障，包括传感器故障、执行器故障和结构性故障，对系统的性能和安全具有至关重要的影响。
发明内容
针对现有技术中存在的问题，本发明的目的在于，提供一种基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法。
为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：
基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法，包括以下步骤：
建立飞行控制系统的执行器组的故障模型；
建立飞行控制系统的传感器组的故障模型；
构建飞机凸多面体故障空间，根据执行器组的故障模型和传感器组的 故障模型，建立凸面体的各个顶点代表的系统故障模型；根据凸面体的各个顶点代表的系统故障模型采用线性内插的方法建立统一的飞机凸多面体故障复合模型；
求取建立的飞机凸多面体故障复合模型的参数依赖鲁棒稳定充分条件；根据参数依赖鲁棒稳定充分条件求取飞机凸多面体故障复合模型的参数无关鲁棒稳定充分条件；若存在飞机凸多面体故障复合模型的参数无关鲁棒稳定充分条件，则飞机凸多面体故障复合模型是稳定的，否则，飞机凸多面体故障复合模型是不稳定的。
进一步地，所述的基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法还包括以下步骤：
根据飞机凸多面体故障复合模型建立飞机凸多面体故障复合模型闭环系统；利用飞机凸多面体故障复合模型闭环系统，求取使得飞机凸多面体故障复合模型鲁棒镇定的状态反馈控制器。
具体地，所述飞行控制系统的执行器组的故障模型，采用如下公式表示：
其中，
F＝diag{η1,η2,...,ηm}
U(t)＝[u1(t),u2(t),...,um(t)]T
其中，表示第m个执行器的故障模型，ηm为第m个执行器的故障系数，um(t)表示第m个执行器的实际输出，F为执行器故障系数矩阵。
具体地，所述的飞行控制系统的传感器组的故障模型，采用如下形式 表示：
其中，
L＝diag{γ1,γ2,...,γn}
X(t)＝[x1(t),x2(t),...,xn(t)]T
其中，表示第n个传感器的故障模型，γn为第n个传感器的故障系数，xn(t)表示第n个传感器的实际输出，L为传感器增益偏差系数矩阵。
具体地，所述凸面体的各个顶点代表的系统故障模型，具体包括以下步骤：
具有状态时滞的线性离散系统：
x(k+1)＝Ax(k)+Adx(k-d(k))+Bu(k)
其中，A∈Rn×m和Ad∈Rn×m为已知的不确定参数实矩阵，且是有界的，B为已知维数的实矩阵，d(k)为系统状态时滞；u(k)为系统输入；
模型的状态反馈控制器为
u(t)＝Kx(t)
其中，K为状态反馈控制器增益；
凸面体的各个顶点代表的系统故障模型如下：
(1)系统无故障情况下，系统故障模型的形式如下：
x(k+1)＝Ac1x(k)+Ad1x(k-d(k))
其中，Ac1＝A+BK，Ad1＝Ad；
(2)系统只有执行器故障的情况下，系统故障模型的形式如下：
x(k+1)＝Ac2x(k)+Ad2x(k-d(k))
其中，Ac2＝A+BFK，Ad2＝Ad；
(3)系统只有传感器故障的情况下，系统故障模型的形式如下：
x(k+1)＝Ac3x(k)+Ad3x(k-d(k))
其中，Ac3＝A+BKL，Ad3＝Ad；
(4)系统只有结构性故障的情况下，系统故障模型的形式如下：
x(k+1)＝Ac4x(k)+Ad4x(k-d(k))
其中，Ac4＝(A+ΔA)+(B+ΔB)K，Ad4＝Ad+ΔAd，ΔA、ΔB和ΔAd为系统的结构不确定参数矩阵。
具体地，所述凸多面体故障复合模型为：
x(k+1)＝(Ac(α))x(k)+(Ad(α))x(k-d(k))
具体地，所述建立的飞机凸多面体故障复合模型的参数依赖鲁棒稳定充分条件为:
给定正整数d1和d2，在具有时变时滞d1≤d(k)≤d2的情况下，如果存在参数依赖的对称正定矩阵P(α)＝P(α)T＞0，Q(α)＝Q(α)T＞0，Z(α)＝Z(α)T＞0，R(α)＝R(α)T＞0，和矩阵常数矩阵N1，常数矩阵N2，能够使如下矩阵不等式成立：
其中
则飞机凸多面体故障复合模型的是参数依赖鲁棒稳定的。
具体地，所述建立的飞机凸多面体故障复合模型的参数无关鲁棒稳定充分条件为：
给定正整数d1和d2，在具有时变时滞d1≤d(k)≤d2的情况下，如果存在对称正定矩阵Pi＝Pi T＞0，Qi＝Qi T＞0，Zi＝Zi T＞0，Ri＝Ri T＞0，i＝1,...,4，和矩阵常数矩阵N1，常数矩阵N2，能够使如下矩阵不等式成立：
则飞机凸多面体故障复合模型的是参数无关鲁棒稳定的。
其中，
其中,Ai,Bi和Aj,Bj分别代表凸多面体模型不同顶点的系统矩阵。
具体地，所述飞机凸多面体故障复合模型闭环系统采用如下形式表示：
x(k+1)＝(Ai+BiK)x(k)+Adix(k-d(k)),i＝1,...,4
其中，A1＝A,B1＝B；A2＝A,B2＝BF；A3＝A,A4＝A+ΔA,B4＝B+ΔB；Ad1＝Ad；Ad2＝Ad；Ad3＝Ad；Ad4＝Ad+ΔAd；ΔA、ΔB和ΔAd为系统的结构不确定参数矩阵；A∈Rn×m和Ad∈Rn×m为已知的不确定参数实矩阵，且是有界的，B为已知维数的实矩阵；F为执行器故障系数矩阵； 表示传感器故障的情况下，前置的传感器增益偏差系数矩阵。
具体地，所述利用飞机凸多面体故障复合模型闭环系统，求取使得飞机凸多面体故障复合模型鲁棒镇定的状态反馈控制器，具体包括以下步骤：
引入状态反馈控制律u(k)＝Kx(k)，K∈Rm×n是待定的反馈控制器增益矩阵；求取使飞机凸多面体故障复合模型渐进稳定的不等式组，根据不等式组求取矩阵K，得到状态反馈控制器。
与现有技术相比，本发明具有以下技术效果：
1、本发明基于对不确定时滞系统典型故障进行分析，用凸多面体模型方法构建飞机故障模型集，给出了飞机故障模型集映射到凸多面体参数空间的映射机制，搭建了一个以凸多面体顶点描述飞机典型故障状态的统一的飞机凸多面体故障模型，通过凸多面体模型线性内插完成当前故障状态的快速匹配；
2、基于飞行总线的数据传输特性，采用Lyapunov稳定性方法和LMI工具箱，研究了具有凸多面体不确定故障映射模型的网络化飞行控制系统在凸多面体不确定空间内系统渐进稳定的充分条件和参数依赖的鲁棒容错控制器设计方法。
下面结合附图和具体实施方式对本发明的方案做进一步详细地解释和说明。
附图说明
图1是凸多面体故障复合模型；
图2是凸多面体复合模型状态点1的纵向运动状态轨迹；
图3是凸多面体复合模型状态点2的纵向运动状态轨迹；
图4是凸多面体复合模型状态点3的纵向运动状态轨迹；
具体实施方式
遵从上述技术方案，本发明的基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法，包括以下步骤：
步骤一：首先对飞行控制系统的执行器故障进行分析和分类，建立飞行控制系统的单一执行器和执行器组的故障模型。
执行器故障是飞机系统的一种重要故障类型，飞机操纵面的控制都由执行器完成，包括副翼、升降舵和方向舵等。在飞行控制系统中，执行器 由于外部干扰、润滑失效等原因可能产生故障情况，有可能导致不能正确和有效的控制气动操纵面，这关系到飞行器的安全性，显得至关重要。这些执行器一旦发生故障，尤其是卡死故障，会引发严重后果，甚至会造成重大的灾难。当航空总线引入飞行控制系统后，由于总线网络终端故障和总线网络链路故障而导致网络化飞行控制系统中控制器节点无法将控制信号正常传输到执行器节点，本发明将这类由总线故障引起的映射到执行器终端的故障成为执行器故障。按照执行器故障的特点和严重程度，可以分为四类故障：1飞车故障、2卡死故障、3松浮故障、4损伤故障。
建立飞机执行器故障的数学模型，假设飞机控制系统共有m个执行器，则第i个执行器发生故障时，第i个执行器的实际输出可以用下式表示：
其中为第i个执行器的实际输出，ui(t)为第i个执行器的控制器输出，tfi为第i个执行器发生故障的时间，uiMax是第i个执行器实际输出的最大极限值。ηi为第i个执行器的故障系数，且满足ηi∈[0,1]。
对于单一执行器发生故障，单一执行器故障模型可统一表示为：
根据上述每个执行器的故障模型，飞行控制系统的执行器组的故障模型可以表示为：
其中，为故障执行器的实际输出，F为执行器故障系数矩阵，用以表示各个执行器的故障状态和程度，U(t)为控制器输出，并且有以下公式：
F＝diag{η1,η2,...,ηm} (5)
U(t)＝[u1(t),u2(t),...,um(t)]T (6)
若飞机系统上有m个执行器，将执行器故障系数矩阵F放在控制系统模型的控制输入矩阵B和反馈增益矩阵K之间，其执行器的故障模式是可列举的，令各种故障模式的集合为：
T＝{F0,F1,F2,…,Fq},q≤2m-1 (7)
则对于每一种具体的故障模式有Fi∈T。
步骤二：对飞行控制系统的传感器故障进行分析和分类，建立飞行控制系统的单一传感器和传感器组的故障模型。
飞机系统中的航空测试技术都是基于传感器实现的。作为信息获取的关键，传感器在航空测试系统与技术中具有核心的、主导的地位。传感器能够对飞机进行全方位测量并参与各功能装置和不同子系统的调节，被安装在飞机的不同位置。实现特定测量目的的传感器会按照系统功能要求分布在不同的子系统和相应位置。
按照传感器故障的特点和严重程度，可以分为如下五类：(1)偏差、(2)漂移、(3)精度损伤、(4)卡死、(5)校准误差。
下面建立飞机传感器故障的数学模型，假设飞机控制系统共有n个传感器，则第i个传感器的故障可以参数化表示为：
其中，为第i个传感器的测量输出，xi(t)为第i个传感器的实际输出，γi为第i个传感器的增益偏差系数，且满足γi∈[0,∞)，tfi为第i个传感器发生故障的时间。
对于单一传感器故障，单一传感器故障模型可统一描述为：
上面是单个传感器的故障模型，飞行控制系统的传感器组的故障模型可以表示为：
其中，为故障传感器的测量输出，L为传感器增益偏差系数矩阵，用以表示各个传感器的故障状态和程度，X(t)为传感器实际输出，并且有：
L＝diag{γ1,γ2,...,γn} (12)
X(t)＝[x1(t),x2(t),...,xn(t)]T (13)
成立。
在实际系统中，传感器失效是经常出现的问题，为了将传感器失效模型引入到系统模型中，将传感器增益偏差系数矩阵L放在状态矩阵C与反馈增益矩阵K之间，所有传感器可能失效模式的集合是可列举的，令各种失效模式的集合为：
Γ＝{L0,L1,L2,…LN},N≤2n-1 (14)
N是故障模式的个数。
步骤三：构建飞机凸多面体故障空间，将飞机的不同典型故障状态建立在一个统一的凸多面体模型中，基于对各个故障状态顶点的分析，建立统一的飞机凸多面体故障复合模型。
故障对动态系统来说也是一种重要的不确定类型。飞机故障类型包括很多种类，将不同类型的典型故障进行区分并进行相应的建模，对飞机故障后的状态估计、系统辨识和保护控制等均有重要意义。本发明采用凸多面体模型方法构建飞机的故障模型集，将飞机的不同典型故障状态建立在一个统一的凸多面体模型中，对任意故障可以用凸多面体模型进行线性内插，以快速获得当前故障状态的故障模型。
凸多面体故障模型如图1所示，其中顶点Mo对应没有故障的情况，其余n-1个顶点对应可能的故障类型。Ai,Adi是具有相应维数的常数矩阵，分别代表不同种类和不同程度的故障，故障程度为μ＝[μ1,...,μn]T,n＝4,其中μi∈[0,1]。不失一般性，当μ＝[1,0,…,0]T时，(Ao,Ado)表示没有故障发生。
图1中各个顶点即代表系统在不同故障情况下的故障模型，也就是不同的矩阵对(Ai,Adi),i＝1,...,n,n＝4。在本图中，共有n＝4个顶点，对应4类故障模型，Mo表示无故障情况下的模型即飞机正常飞行模型、Md表示结构性故障模型、Ma表示执行器故障模型、Ms表示传感器故障模型。而点MC可看做是飞行控制系统发生故障后，系统参数发生变化得到的新的当前系统故障模型，且新的系统故障模型根据故障的种类和严重程度，由Mo、Ma、Ms和Md的加权组合来描述。
这样，对于任意的故障可看做是凸多面体各个顶点的线性内插：
来得到，Ac(μ)和Adc(μ)表示凸多面体故障空间中的当前故障点的状态空间矩阵，这个当前故障点的故障类型和程度由它和凸多面体各个顶点的权重决定，凸多面体各个顶点代表典型故障类型，上式中q代表凸多面体的顶点的个数。上式(15)中，μi是第i个顶点模型的模型加权系数，并且满足：
考虑具有状态时滞的线性离散系统：
x(k+1)＝Ax(k)+Adx(k-d(k))+Bu(k) (17)
其中A∈Rn×m和Ad∈Rn×m为已知的不确定参数实矩阵，且是有界的，B为已知维数的实矩阵，d(k)为系统状态时滞，u(k)为系统输入。
考虑模型的状态反馈控制器为
u(t)＝Kx(t) (18)
式中K为所求的状态反馈控制器增益。下面根据各种故障类型，分析凸多面体故障模型各顶点的系统故障模型。
(1)系统无故障情况下，在凸多面体故障复合模型中对应的为顶点Mo，在此顶点上，可将系统故障模型写成如下形式：
x(k+1)＝Ac1x(k)+Ad1x(k-d(k)) (19)
式中Ac1＝A+BK，Ad1＝Ad。
(2)系统只有执行器故障的情况下，在凸多面体故障复合模型对应的为顶点Ma，在此顶点上，可将系统故障模型写成如下形式：
x(k+1)＝Ac2x(k)+Ad2x(k-d(k)) (20)
式中Ac2＝A+BFK，Ad2＝Ad。其中，F为执行器故障系数矩阵，用以表示执行器的故障状态和程度，
F＝diag{η1,η2,...,ηm} (21)
ηi为第i个执行器的故障系数，且满足ηi∈[0,1]。
(3)系统只有传感器故障的情况下，在凸多面体故障复合模型对应的为顶点Ms，在此顶点上，可将系统故障模型写成如下形式：
x(k+1)＝Ac3x(k)+Ad3x(k-d(k)) (22)
式中Ac3＝A+BKL，Ad3＝Ad。其中，L为传感器增益偏差系数矩阵，用以表示传感器的故障状态和程度，
L＝diag{γ1,γ2,...,γm} (23)
γi为第i个传感器的增益偏差系数，且满足γi∈[0,∞)。
(4)系统只有结构性故障的情况下，在凸多面体故障复合模型对应的为顶点Md，在此顶点上，可将系统故障模型写成如下形式：
x(k+1)＝Ac4x(k)+Ad4x(k-d(k)) (24)
式中Ac4＝(A+ΔA)+(B+ΔB)K，Ad4＝Ad+ΔAd。其中，ΔA、ΔB和ΔAd为系统的结构不确定参数矩阵，其是有界的，并且属于有限已知矩阵的凸组合，可以表示为：
S:＝{ΔA1,ΔA2,…,ΔAk；ΔAd1,ΔAd2,…,ΔAdl；ΔB1,ΔB2,…,ΔBp} (25)
以上分析的凸多面体故障复合模型中的四个故障状态顶点，分别是无故障状态顶点Mo、执行器故障状态顶点Ma、传感器故障状态顶点Ms和结构性故障状态顶点Md。实际情况中的任何故障状态都可以用这四种故障状态的加权组合来描述。或者可以说，对于任意的故障都可以用凸多面体各个顶点的线性内插来表示。
基于以上凸多面体故障复合模型各个故障状态顶点的分析，下面建立统一的飞机凸多面体故障复合模型：
步骤四：根据飞机凸多面体故障复合模型建立飞机凸多面体故障复合模型闭环系统；针对各顶点做如下定义：
(1)系统无故障情况下，在凸多面体故障复合模型中对应的为顶点Mo，在此顶点上，令：
A1＝A,B1＝B (27)
(2)系统只有执行器故障的情况下，在凸多面体故障复合模型中对应的为顶点Ma，在此顶点上，令：
A2＝A,B2＝BF (28)
(3)系统只有传感器故障的情况下，在凸多面体故障复合模型中对应的为顶点Ms，在此顶点上，令：
由于传感器增益偏差系数矩阵L表示的是各个传感器的故障状态，其在闭环系统方程中可以前置。用表示传感器故障的情况下，前置的传感器增益偏差系数矩阵。
(4)系统只有结构性故障的情况下，在凸多面体故障复合模型中对应的为顶点Md，在此顶点上，令：
A4＝A+ΔA,B4＝B+ΔB (30)
此时，飞机凸多面体故障复合模型中各顶点模型的闭环系统可以统一表示为：
x(k+1)＝(Ai+BiK)x(k)+Adix(k-d(k)),i＝1,...,4 (31)
步骤五：基于多Lyapunov函数法给出由公式(26)表示的飞机凸多面体故障复合模型的参数依赖稳定性判定方法及其参数依赖鲁棒稳定充分条件。
定义状态x(l)前向差分为：
y(l)＝x(l+1)-x(l) (32)
则根据定义有如下等式成立
对于凸多面体不确定离散时滞系统(26)，考虑如下形式的Lyapunov-Krasovskii方程：
V(k)＝V1(k)+V2(k)+V3(k)+V4(k) (34)
其中
其中P(α)＝P(α)T＞0，Q(α)＝Q(α)T＞0，Z(α)＝Z(α)T＞0,R(α)＝R(α)T＞0为参数依赖的待确定对称正定矩阵。然后计算Lyapunov-Krasovskii方程(34)沿系统(26)的一阶前向差分ΔV(k)＝V(k+1)-V(k)，可以得到：
ΔV1(k)＝2xT(k)P(α)y(k)+yT(k)P(α)y(k) (36)
ΔV3(k)＝xT(k-d(k))Q(α)x(k-d(k))-xT(k)Q(α)x(k) (38)
基于自由权阵方法，引入一个如下形式的零值等式：
对于任何对称半正定矩阵有如下等式成立：
其中η1(k)＝[xT(k) xT(k-d(k))]T。
将结果(36)，(37)，(38)和(39)代入公式ΔV(k)＝V(k+1)-V(k)，可得：
并把零值等式(40)加入到等式(42)右侧，并代入不等式(41)，可得：
其中η2(k)＝[xT(k) xT(k-d(k)) yT(l)]T。
根据Lyapunov稳定性理论，系统(26)参数依赖鲁棒稳定的充分条件是ΔV(k)＜0成立。给定正整数d1和d2，在具有时变时滞d1≤d(k)≤d2的情况下，如果存在参数依赖的对称正定矩阵P(α)＝P(α)T＞0，Q(α)＝Q(α)T＞0，Z(α)＝Z(α)T＞0，R(α)＝R(α)T＞0，和矩阵常数矩阵N1，常数矩阵N2，能够使如下矩阵不等式成立：
其中
若条件不等式(44)和(45)成立，则ΔV(k)＜0，即(26)表示的统一的飞机凸多面体故障复合模型的是参数依赖鲁棒稳定的。
步骤六：基于多Lyapunov函数法给出由公式(26)表示的飞机凸多面体故障复合模型的参数无关稳定性判定方法及其参数无关鲁棒稳定充分条件。
在步骤五中，存在参数依赖的对称正定矩阵函数P(α)，Q(α)，Z(α)和R(α)，在实际中验证矩阵不等式(44)和(45)是否成立是很困难的，下面对步骤五中的结论进行推广，消除参数依赖的矩阵函数，引入对称正定矩阵Pi，Qi，Zi和Ri，以降低问题求解的难度和系统渐进稳定条件的保守性。
设参数依赖的对称正定矩阵函数P(α),Q(α),Z(α),R(α)分别为：
将这些矩阵代入式(44)和(45)，可以得到
给定正整数d1和d2，在具有时变时滞d1≤d(k)≤d2的情况下，如果存在对称正定矩阵Pi＝Pi T＞0，Qi＝Qi T＞0，Zi＝Zi T＞0，Ri＝Ri T＞0，i＝1,...,4，和矩阵 常数矩阵N1，常数矩阵N2，能够使如下矩阵不等式成立：
其中
其中,Ai,Bi和Aj,Bj分别代表凸多面体模型不同顶点的系统矩阵。凸多面体模型有四个顶点，每个顶点对应一组(A,B)矩阵，i和j表示凸多面体中两个不同的顶点，模型空间中某一点的故障情况和四个顶点都是相关的，i＝1时,j＝2,3,4，这些情况都需要满足。
则有Σ＜0成立；能够使如下矩阵不等式成立：
则有Ψ≥0成立。由步骤五的结论可知飞机凸多面体故障复合模型，即凸多面体不确定离散线性系统是渐进稳定的。
若存在飞机凸多面体故障复合模型的参数无关鲁棒稳定充分条件，则飞机凸多面体故障复合模型，即凸多面体故障模型的不确定时滞系统是稳定的，否则，飞机凸多面体故障复合模型，即凸多面体故障模型的不确定时滞系统是不稳定的。
步骤七：鲁棒镇定状态反馈控制器设计方法。根据步骤6的结论，设计使得飞机凸多面体故障复合模型鲁棒镇定的状态反馈控制器。
引入状态反馈控制律u(k)＝Kx(k)，K∈Rm×n是待定的反馈控制器增益矩阵，将式(50)和(51)的Aci用Aci+BiK代替，利用公式(31)，公式(26)表示的飞机凸多面体故障复合模型可以表达成：
凸多面体闭环系统模型的各个顶点可以表达为(31)。由于
的解等价于
的解。因此，从系统的稳定性考虑，系统(56)等价于如下系统：
其中，det| |表示矩阵的行列式运算，I表示单位阵。公式(57)的解等价于公式(58)，同理得出公式(56)的解等价于公式(59)，对于公式(56)和公式(59)而言，d此时为1。此时闭环系统公式(56)的Lyapunov候选函数V(k)＝xT(k)Px(k)变为新系统公式(59)的候选函数 为P的共轭。
给定正整数d1和d2，在具有时变时滞d1≤d(k)≤d2的情况下，如果存在 对称正定矩阵Qi＝Qi T＞0，Zi＝Zi T＞0，R＝RT＞0，i＝1,...,4和适当维数的对称正定矩阵常数矩阵N1，常数矩阵N2，对闭环系统公式(59)应用步骤六的结论，令可知如下形式的矩阵不等式组成立：
其中
Φi12，Φi22的定义和步骤六中的相同，则凸多面体不确定离散时滞系统公式(26)是渐进稳定的，并且其状态反馈控制器的增益矩阵为根据u(k)＝Kx(k)求得鲁棒镇定状态反馈控制器。
求鲁棒镇定状态反馈控制器u(k)＝Kx(k)，关键是求矩阵K，其中K∈Rm×n是待定的反馈控制器增益矩阵。求K的过程是使用线性矩阵不等式LMI求优的过程，因此关键是要写成线性不等式的形式，也就是此处的不等式组。只要能写成线性矩阵不等式LMI组，理论上就是能够求到解的，一般用的 工具就是matlab的LMI工具箱。
在MATLAB中采用LMI工具箱针对给定的仿真实例，采用本发明提出的时滞相关的闭环网络化不确定多时滞系统稳定性判定方法，在给定网络的最小时滞边界dmin时，找到网络化凸多面体不确定多时滞系统的最大时滞边界dmax，使得当时，闭环网络化控制系统是渐进稳定的。并且针对网络化控制系统在凸多面体三个顶点的确定性情况，当给出最小网络时滞边界dmin时，求取凸多面体三个顶点的最大网络时滞边界dmax，并将几种情况的结果加以比较。
实施例
基于本发明提出的稳定性判定和控制器设计方法，以先进战斗机基准模型ADMIRE为例，建立具有四个顶点的凸多面体故障复合模型，在时滞状态下进行系统稳定性分析和控制器设计，并针对相应仿真结果，进一步分析本设计方法的技术效果。
(1).选取仿真模型
将以一种先进战斗机基准模型ADMIRE(Aero-Data Model In a ReasearchEnvironment)为例，在不同时滞状态下，进行系统稳定性分析和控制器设计；同时考虑在指定系统衰减率的情况下，进行仿真研究和结果分析，并针对相应仿真结果，进一步分析本设计方法的优点和不足。
本仿真算例所采用ADMIRE飞机模型是由瑞典国防研究署(Swedish DefenceResearch Agency)构建的用于飞行仿真研究的基准模型。ADMIRE模型包含了发动机、执行器和飞机动力学模型，描述了一种采用鸭式布局的轻型单座单发战斗机。该模型已经被欧洲航空技术研究集团GARTEUR(Group of Aeronautical Research and Technology inEURope)应用于飞行结构和系统综合等项目的研究。该模型在飞行高度8000米，飞行马赫数0.8的工作点线性化，其解耦后的纵向运动连续状态方程和系统状态矩阵如下所示：
本仿真算例所采用ADMIRE飞机模型描述了一种采用鸭式布局的轻型单座单发战斗机。该模型在飞行高度8000米，飞行马赫数0.8的工作点线性化，所得离散系统纵向状态矩阵和输入矩阵为：
其中系统状态为x(t)＝[Δq Δα Δθ]T，q为飞机俯仰角速度，α为迎角，θ为俯仰角，Δ为其变化量，控制输入u＝ξe，ξe为升降舵偏转角度。
(2).选取ADMIRE模型四种状态分别为无故障、执行器故障、传感器故障和结构性故障作为凸多面体复合模型的四个顶点，建立凸多面体故障复合模型。
下面以ADMIRE基准模型为例，建立具有四个顶点的凸多面体故障复合模型，并基于本发明的结论，在时滞状态下进行系统稳定性分析和控制器设计，并针对相应仿真结果，进一步分析本设计方法的技术效果。
选取ADMIRE模型的四种典型状态作为凸多面体复合模型的四个顶点，四种状态分别为无故障、执行器故障、传感器故障和结构性故障，则ADMIRE具有四个顶点的凸多面体故障复合模型为：
执行器故障系数和传感器增益偏差系数矩阵，以及各顶点权重系数限制条件分别取：
(3).在凸多面体故障复合模型空间中，选取不同状态点，分别代表不同的复合故障状态，基于本发明提出的控制器设计方法，求取状态反馈控制器增益。
在凸多面体复合故障模型中选取三个状态点，基于本发明的结论，使用MatlabLMI控制工具箱求解。表1给出了三个状态点的容错反馈控制增益。
表1凸多面体模型不同状态点的容错反馈控制器增益
(4).凸多面体复合故障模型中不同的状态点，由(3)中相应的状态反馈控制器作用下，用Matlab仿真出相应的凸多面体复合故障模型系统状态响应，如图2至图4所示。
图2-图4给出了如上所述的四顶点凸多面体不确定系统模型，应用了基于本发明方法求得的反馈控制律后的飞机纵向运动的状态轨迹。可以看出，在上述所取的凸多面体复合故障模型的三个不同状态点中，根据本发明方法求得的无记忆状态反馈控制律均能够解决凸多面体不确定系统的稳定性问题，能够保证系统的渐进稳定。同时也可以看出故障顶点权重系数的变化对系统控制性能的影响，随着所选择的状态点的故障顶点权重系数的增加，系统状态的调节时间和超调量均增大，系统动态稳定性变差。

Claims (10)

1.基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法，其特征在于，包括以下步骤：
建立飞行控制系统的执行器组的故障模型；
建立飞行控制系统的传感器组的故障模型；
构建飞机凸多面体故障空间，根据执行器组的故障模型和传感器组的故障模型，建立凸面体的各个顶点代表的系统故障模型；根据凸面体的各个顶点代表的系统故障模型采用线性内插的方法建立统一的飞机凸多面体故障复合模型；
求取建立的飞机凸多面体故障复合模型的参数依赖鲁棒稳定充分条件；根据参数依赖鲁棒稳定充分条件求取飞机凸多面体故障复合模型的参数无关鲁棒稳定充分条件；若存在飞机凸多面体故障复合模型的参数无关鲁棒稳定充分条件，则飞机凸多面体故障复合模型是稳定的，否则，飞机凸多面体故障复合模型是不稳定的。
2.如权利要求1所述的基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法，其特征在于，还包括以下步骤：
根据飞机凸多面体故障复合模型建立飞机凸多面体故障复合模型闭环系统；利用飞机凸多面体故障复合模型闭环系统，求取使得飞机凸多面体故障复合模型鲁棒镇定的状态反馈控制器。
3.如权利要求1所述的基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法，其特征在于，所述飞行控制系统的执行器组的故障模型，采用如下公式表示：
其中，
F＝diag{η1,η2,...,ηm}
U(t)＝[u1(t),u2(t),...,um(t)]T
其中，表示第m个执行器的故障模型，ηm为第m个执行器的故障系数，um(t)表示第m个执行器的实际输出，F为执行器故障系数矩阵。
4.如权利要求3所述的基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法，其特征在于，所述的飞行控制系统的传感器组的故障模型，采用如下形式表示：
其中，
L＝diag{γ1,γ2,...,γn}
X(t)＝[x1(t),x2(t),...,xn(t)]T
其中，表示第n个传感器的故障模型，γn为第n个传感器的故障系数，xn(t)表示第n个传感器的实际输出，L为传感器增益偏差系数矩阵。
5.如权利要求4所述的基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法，其特征在于，所述凸面体的各个顶点代表的系统故障模型，具体包括以下步骤：
具有状态时滞的线性离散系统：
x(k+1)＝Ax(k)+Adx(k-d(k))+Bu(k)
其中，A∈Rn×m和Ad∈Rn×m为已知的不确定参数实矩阵，且是有界的，B为已知维数的实矩阵，d(k)为系统状态时滞；u(k)为系统输入；
模型的状态反馈控制器为
u(t)＝Kx(t)
其中，K为状态反馈控制器增益；
凸面体的各个顶点代表的系统故障模型如下：
(1)系统无故障情况下，系统故障模型的形式如下：
x(k+1)＝Ac1x(k)+Ad1x(k-d(k))
其中，Ac1＝A+BK，Ad1＝Ad；
(2)系统只有执行器故障的情况下，系统故障模型的形式如下：
x(k+1)＝Ac2x(k)+Ad2x(k-d(k))
其中，Ac2＝A+BFK，Ad2＝Ad；
(3)系统只有传感器故障的情况下，系统故障模型的形式如下：
x(k+1)＝Ac3x(k)+Ad3x(k-d(k))
其中，Ac3＝A+BKL，Ad3＝Ad；
(4)系统只有结构性故障的情况下，系统故障模型的形式如下：
x(k+1)＝Ac4x(k)+Ad4x(k-d(k))
其中，Ac4＝(A+ΔA)+(B+ΔB)K，Ad4＝Ad+ΔAd，ΔA、ΔB和ΔAd为系统的结构不确定参数矩阵。
6.如权利要求5所述的基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法，其特征在于，所述凸多面体故障复合模型为：
x(k+1)＝(Ac(α))x(k)+(Ad(α))x(k-d(k))
。
7.如权利要求6所述的基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定 性判定方法，其特征在于，所述建立的飞机凸多面体故障复合模型的参数依赖鲁棒稳定充分条件为:
给定正整数d1和d2，在具有时变时滞d1≤d(k)≤d2的情况下，如果存在参数依赖的对称正定矩阵P(α)＝P(α)T＞0，Q(α)＝Q(α)T＞0，Z(α)＝Z(α)T＞0，R(α)＝R(α)T＞0，和矩阵常数矩阵N1，常数矩阵N2，能够使如下矩阵不等式成立：
其中
则飞机凸多面体故障复合模型的是参数依赖鲁棒稳定的。
8.如权利要求6所述的基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法，其特征在于，所述建立的飞机凸多面体故障复合模型的参数无关鲁棒稳定充分条件为：
给定正整数d1和d2，在具有时变时滞d1≤d(k)≤d2的情况下，如果存在对称正定矩阵Qi＝Qi T＞0，Zi＝Zi T＞0，Ri＝Ri T＞0，i＝1,...,4，和矩阵常数矩阵N1，常数矩阵N2，能够使如下矩阵不等式成 立：
则飞机凸多面体故障复合模型的是参数无关鲁棒稳定的。
其中，
其中,Ai,Bi和Aj,Bj分别代表凸多面体模型不同顶点的系统矩阵。
9.如权利要求2所述的基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法，其特征在于，所述飞机凸多面体故障复合模型闭环系统采用如下形式表示：
x(k+1)＝(Ai+BiK)x(k)+Adix(k-d(k)),i＝1,...,4
其中，A1＝A,B1＝B；A2＝A,B2＝BF；A3＝A,B3＝BL；A4＝A+ΔA,B4＝B+ΔB；Ad1＝Ad；Ad2＝Ad；Ad3＝Ad；Ad4＝Ad+ΔAd；ΔA、ΔB和ΔAd为系统的结构不确定参数矩阵；A∈Rn×m和Ad∈Rn×m为已知的不确定参数实矩阵，且是有界的，B为已知维数的实矩阵；F为执行器故障系数矩阵； 表示传感器故障的情况下，前置的传感器增益偏差系数矩阵。
10.如权利要求9所述的基于凸多面体故障模型的不确定时滞系统稳定性判定方法，其特征在于，所述利用飞机凸多面体故障复合模型闭环系统，求取使得飞机凸多面体故障复合模型鲁棒镇定的状态反馈控制器，具体包括以下步骤：
引入状态反馈控制律u(k)＝Kx(k)，K∈Rm×n是待定的反馈控制器增益矩阵；求取使飞机凸多面体故障复合模型渐进稳定的不等式组，根据不等式组求取矩阵K，得到状态反馈控制器。
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