CN102436179A - 一种线性不确定性系统鲁棒故障检测滤波器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于控制领域，提供了一种线性不确定性系统鲁棒故障检测滤波器设计方法。将齐次多项式参数依赖的Lyapunov函数方法引入到存在凸多面体不确定性的线性时不变系统的鲁棒性故障检测中。首先说明了用于设计RFDF的HPPDL函数的存在性可以通过线性矩阵不等式的可行性进行验证；其次，最大故障灵敏度通过解广义特征值问题得到，并得出最优的RFDF。随着多项式次数的增加，线性矩阵不等式和自由变量的数量随之增加，从而大大降低验证的保守性。设计方法包括两个阶段：(1)作为具有一定的干扰衰减和最大故障灵敏度的残差发生器的最优RFDF设计问题；(2)为估计生成的残差而进行阈值设计。这种设计方法比之前类似的方法更具有一般性。

Description

一种线性不确定性系统鲁棒故障检测滤波器设计方法

技术领域

本发明属于控制领域，提供了一种线性不确定性系统鲁棒故障检测滤波器设计方法。

背景技术

由于现代控制系统对高可用性、高可靠性的需求不断增加，对基于模型的故障检测是很重要的技术问题。在一个故障检测方案中，一般是建立一个残差信号并将它与预先确定的阈值进行比较：如果残差信号比阈值大，将会产生一个警报。由于噪声和干扰可能会导致残差信号显著变化，为保证避开错误的警报，故障检测滤波器必须保持鲁棒性。然而，与鲁棒性控制中的概念不同，一个故障检测系统的鲁棒性不仅受到模型故障和干扰的影响，还与对需要检测的可能故障的灵敏度有关。因此，基于模型的故障检测问题涉及到构造一个鲁棒性故障检测器(RFDF)以有效减少外部干扰和模型不确定性的影响，并同时使其对错误的灵敏度最大化，从而可以尽早发现系统的任何故障。这也促使了将方案引入到设计最优滤波器的多目标问题当中来。

现有技术文献中很少有故障检测结果对不定线性时不变系统有效，而所有系统矩阵都可能被多种不确定性参数所影响。这样，基于李雅普诺夫函数中的参数依赖矩阵的方法会导致保守的结果。

现有技术的缺点是：目前参数依赖李雅普诺夫函数(PDLF)方法已经发展的较为完善，并在连续时间情形、离散时间情形和D-稳定性中的线性不确定系统的多面体不确定问题时被证明是有效的。利用一个特殊的任意不定参数次数的齐次多项式参数依赖的Lyapunov(HPPDL)函数把鲁棒稳定性条件重新表述成参数依赖线性矩阵不等式在鲁棒性分析领域得到应用，然而其在故障检测领域并没有较多应用，也没有对于基于PDLF的多面体不确定线性时不变系统的RFDF设计步骤。

发明内容

为了解决“将齐次多项式参数依赖的Lyapunov函数方法引入到存在凸多面体不确定性的线性时不变系统的鲁棒性故障检测问题中”的技术问题，本发明提供了一种线性不确定性系统鲁棒故障检测滤波器设计方法。

本发明的有益效果是：本发明提供了对于凸多面体域中的不确定线性时不变系统的基于观测的故障检测以及相应的故障检测滤波器设计，并形成了基于任意不确定性参数次数的齐次多项式李雅普诺夫矩阵函数的充分线性矩阵不等式条件。这些条件构造出来，使得当多项式次数增加时，线性矩阵不等式和自由变量也随之增加，测试变得更不保守。此外，故障灵敏度指标H_可以经由一个凸优化算法进行优化，从而得到最优的RFDF。

参见图1，本发明将齐次多项式参数依赖的Lyapunov函数方法引入到存在凸多面体不确定性的线性时不变系统的鲁棒性故障检测中。首先说明了用于设计RFDF的HPPDL函数的存在性可以通过线性矩阵不等式的可行性进行验证；其次，最大故障灵敏度可以通过解广义特征值问题得到，并能得出最优的RFDF。这些条件是通过这样一种方法构造的：随着多项式次数的增加，线性矩阵不等式和自由变量的数量随之增加，从而大大降低验证的保守性。设计方法主要包括两个阶段：(1)作为具有一定的干扰衰减和最大故障灵敏度的残差发生器的最优RFDF设计问题；(2)为估计生成的残差而进行阈值设计。值得注意的是，这种设计方法比之前类似的方法更具有一般性。

以下为说明方便：

表示n×n实矩阵的集合。上标T表示实矩阵的转置，*表示复矩阵的共轭转置。对于n×n矩阵A，HeA＝A+A^*。如果A是实对称的负定矩阵，表示为A＜0，而B≥0表示B是半正定矩阵。

考虑下面这样一个系统：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=\mathrm{Ax}+B_{d}d+B_{f}f,\\ y=\mathrm{Cx}+D_{d}d+D_{f}f,\end{array}---\left(1\right)$

其中，

分别代表状态向量和输出向量。

是需要进行检测的可检测故障信号的集合；

表示有限的传感器/驱动器干扰。依赖于考虑之中的特定情形，f和d可以采取不同的信号形式进行建模。模型矩阵是具有适当维数的定常矩阵，其中A，B_d，B_f，D_d包含于下面的不确定性多面体：

$\mathrm{\Ω}=\left\{(A,B_f,B_d,D_d)\right|(A,B_f,B_d,D_d)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i(A^{\left(i\right)},B_f^{\left(i\right)},B_d^{\left(i\right)},D_d^{\left(i\right)}),{\mathrm{\α}}_i\≥0,\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i=1\}---\left(2\right)$

这里，(A⁽ⁱ⁾，)是多面体Ω的第i个顶点。

故障检测依赖于对故障高灵敏度的残差信号生成，同时能够区分外部信号和干扰引起的故障。本发明提出了一个基于RFDF的残差发生器。作为RFDF的核心，给出如下形式的全阶状态观测器：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\hat{x}}=A\hat{x}+L(y-\hat{y}),\\ \hat{y}=C\hat{x},\end{array}---\left(3\right)$

其中，

表示状态向量，

是滤波器的输出估计向量。L是待确定的定常矩阵，因此，RFDF的设计还原为观测器获取矩阵L。进一步讲，RFDF传递了一个其关于故障和位置干扰的动态特性，由下列残差方程进行描述：

$r=y-\hat{y}---\left(4\right)$

为描述RFDF的动态特性，令

考虑如下残差动态特性：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{e}=(A-\mathrm{LC})e+(B_d-{\mathrm{LD}}_d)d+(B_f-{\mathrm{LD}}_f)f,\\ r=\mathrm{Ce}+D_{d}d+D_{f}f.\end{array}\right.---\left(5\right)$

接下来，将引进几个定义来描述系统(5)中d和f对残差r的影响。

定义1如果误差动态特性(5)的传递函数

由下式给出

G_rd(s)＝C(sI-A+LC)^-1(B_d-LD_d)+D_d.

那么它的H_∞范数定义由下式定义

${\left|\right|G_{\mathrm{rd}}\left|\right|}_{\∞}={\sup }_{d\∈L_2}\frac{{\left|\right|r\left|\right|}_2}{{\left|\right|d\left|\right|}_2}={\sup }_{d\∈L_2}\frac{{\left|\right|G_{\mathrm{rd}}d\left|\right|}_2}{{\left|\right|d\left|\right|}_2}.$

定义2考虑如下从输入f到输出r的传递函数

G_rf(s)＝C(sI-A+LC)^-1(B_f-LD_f)+D_f.

传递函数矩阵G_rf(s)的H_指数定义为

${\left|\right|G_{\mathrm{rf}}\left(s\right)\left|\right|}_{-}^{[0,\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}]}=\underset{\mathrm{\ω}\∈[0,\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}]}{\inf }\underset{\‾}{\mathrm{\σ}}\left[G_{\mathrm{rf}}\left(\mathrm{j\ω}\right)\right],$

其中σ代表最小奇异值，

表示频带

此外，这个频域性能判据可以由 ${\left|\right|G_{\mathrm{rf}}\left|\right|}_{-}={\inf }_{f\∈L_2}\frac{{\left|\right|G_{\mathrm{rf}}f\left|\right|}_2}{{\left|\right|f\left|\right|}_2}$ 基于信号理论得到。

在本发明中，使用H_/H_∞权衡设计策略。H_/H_∞性能测定标准，为简单起见，采用最大化故障灵敏度||G_rf(s)||_，且干扰衰减||G_rd(s)||_∞是一个固定常数的情形。

特别地，本发明以确定系数矩阵L为目标，因此

1°A-LC是常数

2°||G_rd(s)||_∞＜γ(6)

3°||G_rf(s)||_＞β，β→max，

其中，γ是规定的正常数，β是待最优化的常量。在这种情形下，得出的RFDF(3)-(4)是保证H_/H_∞性能下最优的。(6)式中鲁棒残差生产方法的目标之间是有冲突的。实际上，RFDF的设计实质上是一个多目标任务，即一方面，设计目标不仅要使其对故障尽可能的灵敏以使早期检测成为可能；另一方面，当可能故障的灵敏度已经最大化时，同样要抑制随后的残差干扰和模型错误的影响。

由于故障检测问题本质上是一个多目标权衡问题，因此在故障检测系统设计中可以应用线性矩阵不等式技术。然而式(6)的传递函数G_rd(s)和G_rf(s)中存在不确定矩阵，因此不能简单的凭借鲁棒性控制的标准知识加以解决。为克服这个困难，本发明将引入参数依赖李雅普诺夫函数方法，从而在解决凸多面体不确定性问题时可以利用齐次多项式参数依赖的李雅普诺夫技术。

考虑包含多面体不确定性(2)的系统(1)和式(3)-(4)给出的RFDF。设γ＞0，β＞0是规定的常标量，对于给定的矩阵L，当如下任一条件满足时：

1°存在一个正定矩阵P＝P^T＞0和一个对称矩阵

使得

$\left[\begin{array}{ccc}P(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^{T}P& P(B_d-{\mathrm{LD}}_d)& C^T\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I& D_d^T\\ *& *& -I\end{array}\right]<0,---\left(7\right)$

$\left[\begin{array}{cc}{P}_f(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^T{P}_f+C^{T}C& P_f(B_f-{\mathrm{LD}}_f)+C^T{D}_f\\ *& D_f^T{D}_f-{\mathrm{\&beta;}}^{2}I\end{array}\right]>0.---\left(8\right)$

2°存在矩阵P＝P^T＞0，

G，G_f，F，F_f，使得

$\mathrm{\&Pi;}=\left[\begin{array}{cccc}-G-G^T& G(A-\mathrm{LC})+P-F^T& G(B_d-{\mathrm{LD}}_d)& 0\\ *& F(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^T{F}^T& F(B_d-{\mathrm{LD}}_d)& C^T\\ *& *& -\mathrm{\&gamma;I}& D_d^T\\ *& *& *& -\mathrm{\&gamma;I}\end{array}\right]<0,---\left(9\right)$

$\mathrm{\&Lambda;}=\left[\begin{array}{ccc}-G_f-G_f^T& G_f(A-\mathrm{LC})+P_f-F_f^T& G_f(B_f-{\mathrm{LD}}_f)\\ *& F_f(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^T{F}_f^T+C^{T}C& F_f(B_f-{\mathrm{LD}}_f)+C^T{D}_f\\ *& *& D_f^T{D}_f-{\mathrm{\&beta;}}^{2}I\end{array}\right]>0,---\left(10\right)$

残差动态特性(5)将满足鲁棒性要求γ和故障灵敏度性能β，即

||G_rd(s)||_∞＝||C(sI-A+LC)^-1(B_d-LD)+D_d||_∞＜γ，

||G_rf(s))||_＝||C(sI-A+LC)^-1(B_f-LD)+D_f||_＞β.

在H_∞框架中，由界实引理将H_∞范数计算同一个扮演关键角色的线性矩阵不等式条件联系在一起。类似的，计算H_指数也相当于一个线性矩阵不等式。因此，条件1°是直接的线性矩阵不等式方程，因此残差动态特性(4)拥有干扰衰减γ和故障灵敏度性能β，其在鲁棒性控制理论中有标准结果。进一步讲，注意到条件(9)可以写成如下形式：

∏＝V+He(∑GΓ)＜0(11)

其中

$V=\left[\begin{array}{cccc}0& P-F^T& 0& 0\\ *& F(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^T{F}^T& F(B_d-{\mathrm{LD}}_d)& C^T\\ *& *& -\mathrm{\&gamma;I}& D_d^T\\ *& *& *& -\mathrm{\&gamma;I}\end{array}\right],$

$\mathrm{\&Sigma;}=\left[\begin{array}{c}I\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\mathrm{\&Gamma;}=\left[\begin{array}{cccc}-I& A-\mathrm{LC}& B_d-{\mathrm{LD}}_d& 0\end{array}\right].$

∑和Γ^T的零空间的显式基可以按下述计算

${\mathrm{\&Sigma;}}^{\&perp;}=\left[\begin{array}{cccc}0& I& 0& 0\\ 0& 0& I& 0\\ 0& 0& 0& I\end{array}\right],$ ${\mathrm{\&Gamma;}}^{T\&perp;}=\left[\begin{array}{cccc}{(A-\mathrm{LC})}^T& I& 0& 0\\ {(B_d-{\mathrm{LD}}_d)}^T& 0& I& 0\\ 0& 0& 0& I\end{array}\right].---\left(12\right)$

因此，∑和Γ的列空间线性无关。根据参数G的投影引理，不等式(11)当且仅当满足下列条件时有解：

∑^⊥G∑^⊥T＜0，Γ^T⊥GΓ^T⊥T＜0.

将式(12)代入上述不等式将得到(7)。因此，存在G使得(9)保持不变当且仅当存在P使得(7)保持不变。使用类似参数，(10)因G_f保持不变当且仅当线性矩阵不等式(8)满足矩阵P_f存在。由此得证。

定理1保证了根据线性矩阵不等式得出的残差动态特性对可能的故障灵敏，并对有保证的H_/H_∞指向性能鲁棒渐进稳定。尽管条件1°和2°当给出参数(A，B_d，B_f，D_d)给出时等价，由于松弛参数给与的自由度和李雅普诺夫矩阵P和P_f允许顶点相关，条件2°在已知矩阵位于不确定多面体(2)时提出了比一般李雅普诺夫函数更少保守性的要求。

基于PDLF的RFDF的综合

由于定理1给出的条件包含了属于Ω的所有不确定参数的线性矩阵不等式的解，其在数值上不可行。另一方面，定理1的条件2°是关于P，P_f，G，G_f，F和F_f的线性矩阵不等式，其只能在多面体Ω的每个顶点进行验证。因此，对于系统(1)，相当于不确定性集合(2)进行RFDF设计的结果。

设γ＞0，β＞0是规定的常标量。若对于给定的RFDF参数L，存在如下面的线性矩阵不等式描述的矩阵(P⁽ⁱ⁾，

G，G_f，F，F_f)满足P⁽ⁱ⁾＞0和

${\mathrm{\&Pi;}}_i=\left[\begin{array}{cccc}-G-G^T& G(A^{\left(i\right)}-\mathrm{LC})+P^{\left(i\right)}-F^T& G(B_d^{\left(i\right)}-{\mathrm{LD}}_d^{\left(i\right)})& 0\\ *& F(A^{\left(i\right)}-\mathrm{LC})+{(A^{\left(i\right)}-\mathrm{LC})}^T{F}^T& F(B_d^{\left(i\right)}-{\mathrm{LD}}_d^{\left(i\right)})& C^T\\ *& *& -\mathrm{\&gamma;I}& D_d^{\left(i\right)T}\\ *& *& *& -\mathrm{\&gamma;I}\end{array}\right]<0,---\left(13\right)$

${\mathrm{\&Lambda;}}_i=\left[\begin{array}{ccc}-G_f-G_f^T& G_f(A^{\left(i\right)}-\mathrm{LC})+P_f^{\left(i\right)}-F_f^T& G_f(B_f^{\left(i\right)}-{\mathrm{LD}}_f)\\ *& F_f(A^{\left(i\right)}-\mathrm{LC})+{(A^{\left(i\right)}-\mathrm{LC})}^T{F}_f^T+C^{T}C& F_f(B_f^{\left(i\right)}-{\mathrm{LD}}_f)+C^T{D}_f\\ *& *& D_f^T{D}_f-{\mathrm{\&beta;}}^{2}I\end{array}\right]>0.---\left(14\right)$

那么残差动态特性对可能的故障灵敏，并对有保证的H_/H_∞指向性能鲁棒渐进稳定。

为将不确定参数α_i的乘积关系解耦，对于i＝1，2，...，N，令G_i＝G，F_i＝F。通过进一步令 $P=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_i{P}^{\left(i\right)},$ $P_f=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_i{P}_f^{\left(i\right)},$ 可得

$\mathrm{\&Pi;}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_i{\mathrm{\&Pi;}}_i,$ $\mathrm{\&Lambda;}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_i{\mathrm{\&Lambda;}}_i,$

其中∏和Λ分别在(9)-(10)中定义。

注意到需要设计的滤波器参数L与G，G_f，F和F_f相关。为解决这个问题，令F＝λG，G_f＝λ₁G，F_f＝λ₂G，并使S＝GL，其中常数λ，λ₁，λ₂待定。因此可以得出如下推论。

设γ＞0，β＞0是规定的常标量，且标量λ，λ₁，λ₂待定。若存在矩阵P⁽ⁱ⁾＝P^(i)T＞0，

G，S使下列线性矩阵不等式保持不变：

$\left[\begin{array}{cccc}-\mathrm{HeG}& {\mathrm{GA}}^{\left(i\right)}-\mathrm{SC}+P^{\left(i\right)}-{\mathrm{\&lambda;G}}^T& {\mathrm{GB}}_d^{\left(i\right)}-{\mathrm{SD}}_d^{\left(i\right)}& 0\\ *& \mathrm{He\&lambda;}({\mathrm{GA}}^{\left(i\right)}-\mathrm{SC})& \mathrm{\&lambda;G}{B}_d^{\left(i\right)}-{\mathrm{\&lambda;SD}}_d^{\left(i\right)}& C^T\\ *& *& -\mathrm{\&gamma;I}& D_d^{\left(i\right)T}\\ *& *& *& -\mathrm{\&gamma;I}\end{array}\right]<0,---\left(15\right)$

$\left[\begin{array}{ccc}-\mathrm{He}{\mathrm{\&lambda;}}_{1}G& {\mathrm{\&lambda;}}_1{\mathrm{GA}}^{\left(i\right)}-{\mathrm{\&lambda;}}_1\mathrm{SC}+P_f^{\left(i\right)}-{\mathrm{\&lambda;}}_2{G}^T& {\mathrm{GB}}_f^{\left(i\right)}-{\mathrm{SD}}_f\\ *& \mathrm{He}{\mathrm{\&lambda;}}_2({\mathrm{GA}}^{\left(i\right)}-\mathrm{SC})& {\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{GB}}_f^{\left(i\right)}-{\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{SD}}_f+C^T{D}_f\\ *& *& D_f^T{D}_f-{\mathrm{\&beta;}}^{2}I\end{array}\right]>0,---\left(16\right)$

那么滤波器增益通过L＝G^-1S给出。

通过应用PDLF方法，上述结果为具有多面体不确定性的不确定线性时不变系统(1)提供了一个基于线性矩阵不等式的RFDF设计标准。由于引进了标量λ，λ₁，λ₂，增益矩阵可以容易的通过解线性矩阵不等式(15)-(16)推出。其导致了定理中主要的保守性。进一步讲，其他的保守性起源于单独的G，G_f，F和F_f的假设。由于参数依赖李雅普诺夫函数

和

的应用，然而，很明显，这种方法比整个多面体Ω基于单个一般李雅普诺夫函数的方法具有更低的保守性。

残差动态特性(5)对于有保证的H_∞性能γ以及最大故障检测灵敏度

是全局渐进稳定的。若给定标量γ＞0，则ρ是下面关于矩阵S，G和

的广义特征值最小化问题的全局最小值：

min  ρ

s.t.LMI(18)

以及

$\left[\begin{array}{ccc}-\mathrm{He}{\mathrm{\&lambda;}}_{1}G& {\mathrm{\&lambda;}}_1{\mathrm{GA}}^{\left(i\right)}-{\mathrm{\&lambda;}}_1\mathrm{SC}+P_f^{\left(i\right)}-{\mathrm{\&lambda;}}_2{G}^T& {\mathrm{GB}}_f^{\left(i\right)}-{\mathrm{SD}}_f\\ *& \mathrm{He}{\mathrm{\&lambda;}}_2({\mathrm{GA}}^{\left(i\right)}-\mathrm{SC})+C^{T}C& {\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{GB}}_f^{\left(i\right)}-{\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{SD}}_f+C^T{D}_f\\ *& *& D_f^T{D}_f+\mathrm{\&rho;I}\end{array}\right]>0,$

其中i＝1，2，...，N，标量λ，λ₁，λ₂待定，那么最优RFDF滤波器参数由L_opt＝G^-1S给出。

通过HPPDL进行RFDF设计

为得到更低保守性的结果，将提出一种基于线性矩阵不等式的方法来为多面体不确定性下的系统(1)设计RFDF。充分条件基于不确定参数为任意给定次数的齐次多项式参数依赖矩阵函数给出。在给出这部分的主要结论之前，

为描述和处理齐次多项式的和和积需要进行一些定义和准备工作。首先，对N个自然数k_i，i＝1，2，…，N，N满足k₁+k₂+…+k_N＝g，定义一个集合K(g)，其中包含k₁，k₂，…，k_N所有可能的组合：

与从N+1-g种可能性中无顺序的挑出N-1种的方法类似，集合K(g)的元素个数可由下式算出：

$\begin{array}{cc}2& J\left(g\right)=\frac{(N+g-1)!}{g!(N-1)!}\end{array}.$

构造一个矩阵

其中每一列M⁽ⁱ⁾(g)分别属于集合K(g)。同时构造一个标记函数L_g(·)：K(g)→{1，2，…，J(g)}使得L_g(M⁽ⁱ⁾(g))＝i。这样，集合中每个可能的元素都被标记了。

对于给定整数g，α_i，i＝1，2，…，N的多项式级数可以展开成

${({\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&alpha;}}_2+...+{\mathrm{\&alpha;}}_N)}^g\begin{array}{c}=\underset{\left[\begin{array}{cccc}{k}_1& k_2& ...& k_N\end{array}\right]\&Element;K\left(g\right)}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{g!}{k_1!k_1!...k_1!}{\mathrm{\&alpha;}}_1^{k_1}{\mathrm{\&alpha;}}_1^{k_2}...{\mathrm{\&alpha;}}_N^{k_N}\\ =\underset{l=1}{\overset{J\left(g\right)}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_g^{\left(l\right)}{\mathrm{\&alpha;}}_1^{k_1}{\mathrm{\&alpha;}}_2^{k_2}...{\mathrm{\&alpha;}}_N^{k_N}\end{array}---\left(17\right)$

其中l＝L_g([k₁ k₂...k_N])，并有

对应于给定的一组排列[k₁ k₂…k_n]∈K(g)是一个确定的常数。

进一步，我们定义关于的M(g+1)矩阵

使得这两个矩阵有相同阶数，同时有

其中M⁽ⁱ⁾(g+1)＝[k_i1k_i2…k_iN]和M^ij(g+1)分别代表矩阵M(g+1)的第i列和第ij个元素，i＝1，2，…，J(g+1)，j＝1，2，…，N。

矩阵U(g+1)包含位置信息，它决定了当应用于集合K(g+1)的元素中时矩阵

的下标中k₁k₂…k_N与次数g的一个齐次多项式参数依赖矩阵有关。

从U(g+1)开始，我们构造了一个与给定顺序的矩阵集合L＝{Q⁽¹⁾，Q⁽²⁾，…，Q^(J(g))}有关的J(g+1)×N阶分块矩阵，使得

采用类似的方法，对矩阵集合P＝{P⁽¹⁾，P⁽²⁾，…，P^((J(g)))}，

以及

分别定义分块矩阵Ξ^ij(g，P)，Ξ^ij(g，P_f)，和Ξ^ij(g，W_g)，其中，

l＝1，2，…，J(g)由式(17)给出。

有了上面定义的符号，下面将为多面体不确定线性时不变系统(1)-(2)给出RFDF的存在性线性矩阵不等式条件。

对于给定的标量β和γ，如果存在矩阵P⁽ⁱ⁾＝P^(i)T＞0，

i＝1，2，…，J(g)和任意矩阵G，S使得对于i＝1，2，…，J(g+1)：

${\mathrm{\&Phi;}}_l=\left[\begin{array}{cccc}-w_{g+1}^{\left(l\right)}& {\mathrm{\&Phi;}}_{12}& G{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)B_d^{\left(e\right)}-S{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)D_d^{\left(e\right)}& 0\\ *& {\mathrm{\&Phi;}}_{22}& \mathrm{\&lambda;G}{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)B_d^{\left(e\right)}-{\mathrm{\&lambda;E\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)D_d^{\left(e\right)}& C^T{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}{(g,W_g)}^T\\ *& *& -\mathrm{\&gamma;}{w}_{g+1}^{\left(l\right)}I& D_d^{\left(e\right)T}{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}{(g,W_g)}^T\\ *& *& *& \mathrm{\&gamma;}{w}_{g+1}^{\left(l\right)}I\end{array}\right]<0,---\left(18\right)$

${\mathrm{\&Psi;}}_l=\left[\begin{array}{ccc}-{\mathrm{\&lambda;}}_1{w}_{g+1}^{\left(l\right)}\mathrm{HeG}& {\mathrm{\&Psi;}}_{12}& {\mathrm{\&lambda;}}_{1}G{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)B_f^{\left(e\right)}-{\mathrm{\&lambda;}}_{1}S{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)D_f\\ *& {\mathrm{\&Psi;}}_{22}& {\mathrm{\&Psi;}}_{23}\\ *& *& D_f^T{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}{(g,W_g)}^T{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)D_f-{\mathrm{\&beta;}}^2{w}_{g+1}^{\left(l\right)}I\end{array}\right]>0,---\left(19\right)$

其中

${\mathrm{\&Phi;}}_{12}=G{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)A^{\left(e\right)}-S{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)C+{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,P)I^{\left(e\right)}-{\mathrm{\&lambda;w}}_{g+1}^{\left(l\right)}{G}^T,$

${\mathrm{\&Psi;}}_{12}={\mathrm{\&lambda;}}_{1}G{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)A^{\left(e\right)}-{\mathrm{\&lambda;}}_{1}S{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)C+{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,P_f)I^{\left(e\right)}-{{\mathrm{\&lambda;}}_{2}w}_{g+1}^{\left(l\right)}{G}^T,$

Φ₂₂＝Heλ(GΞ^(l)(g，W_g)A^(e)-SΞ^(l)(g，W_g)C)，

Ψ₂₂＝Heλ₂(GΞ^(l)(g，W_g)A^(e)-SΞ^(l)(g，W_g)C)+C^TΞ^(l)(g，W_g)^TΞ^(l)(g，W_g)C，

${\mathrm{\&Psi;}}_{23}={\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{G\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)B_f^{\left(e\right)}-{\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{D\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)D_f+C^T{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}{(g,W_g)}^T{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)D_f,$

对任意Θ∈{A，B_d，B_f，D_d}，有 ${\mathrm{\&Theta;}}^{\left(e\right)}={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&Theta;}}_1^T& {\mathrm{\&Theta;}}_2^T& ...& {\mathrm{\&Theta;}}_N^T\end{array}\right]}^T,$ 且则残差动态特性(5)满足式(6)。这里，标量λ，λ₁，λ₂待定。滤波器增益由L＝G^-1S给出。

选择一个HPPDL函数：

$P=\underset{j=1}{\overset{J\left(g\right)}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_1^{k_1}{\mathrm{\&alpha;}}_2^{k_2}...{\mathrm{\&alpha;}}_N^{k_N}{P}_j$

将其代入定理1中的线性矩阵不等式。注意到

的性质在式(17)中可推出：

$\underset{l=1}{\overset{J\left(g\right)}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_g^{\left(l\right)}{\mathrm{\&alpha;}}_1^{k_1}{\mathrm{\&alpha;}}_2^{k_2}...{\mathrm{\&alpha;}}_N^{k_N}=1$

因此，式(9)-(10)的矩阵∏和Λ可以分别按下式算得：

$\mathrm{\&Pi;}=\underset{l=1}{\overset{J(g+1)}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_1^{k_1}{\mathrm{\&alpha;}}_2^{k_2}...{\mathrm{\&alpha;}}_N^{k_N}{\mathrm{\&Phi;}}_l,---\left(20\right)$

$\mathrm{\&Lambda;}=\underset{l=1}{\overset{J(g+1)}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_1^{k_1}{\mathrm{\&alpha;}}_2^{k_2}...{\mathrm{\&alpha;}}_N^{k_N}{\mathrm{\&Psi;}}_l,---\left(21\right)$

其中，Φ_l和Ψ_l由式(18)-(19)给出，L_g([k₁k₂…K_n])＝l，l＝1，2，…，J(g+1)。

为保证对所有α∈Ω有∏＜0和Λ＞0，式(20)中的每一部分都是负定的，而式(21)中则是正定的。由于集合K(g)和Ξ^ij(g，·)都不依赖不确定性参数A，B_d，B_f，D_d，矩阵Ξ^(l)(g，P_f)，Ξ^(l)(g，P_f)以及Ξ^(l)(g，W_g)构成的李雅普诺夫函数均可仅由K(g)和Ξ^ij(g，·)生成。更特别地，这些矩阵只与N和g有关，且各种程序已经被提出以构造这类矩阵^[17，21]。因此，式(18)-(19)的线性矩阵不等式也不依赖不确定性参数。

随着多项式次数g的增加，更多的自由变量被加入到线性矩阵不等式中，条件(18)-(19)保守性降低。主要原因是，虽然列写了更多的线性矩阵不等式，新形成的变量带来了额外的自由度，因此，每一个线性矩阵不等式变得更容易满足。值得注意的是，对于g＝0，线性矩阵不等式(18)-(19)还原为控制关于所有不确定系统参数的一般李雅普诺夫矩阵P和P_f，即定理1中的条件2°；对于g＝1，仿射参数依赖李雅普诺夫矩阵的存在性得自于与推论1中结论等价的结果。

下面解决由式(2)描述的系统矩阵中的不确定性并设计最优RFDF以保证规定的H_∞和最大化的H_性能。

给定标量γ＞0。残差动态特性(5)对于有保证的H_∞性能γ和最大故障检测灵敏度是全局渐进稳定的。如果μ是下面关于矩阵S，G和P⁽ⁱ⁾＝P^(i)T＞0，

i＝1，2，…，J(g)的广义特征值最小化问题的全局最小值：

min  μ

s.t.LMI(18)

以及

${\mathrm{\&Psi;}}_l=\left[\begin{array}{ccc}-{\mathrm{\&lambda;}}_1{w}_{g+1}^{\left(l\right)}\mathrm{HeG}& {\mathrm{\&Psi;}}_{12}& {\mathrm{\&lambda;}}_{1}G{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)B_f^{\left(e\right)}-{\mathrm{\&lambda;}}_{1}S{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)D_f\\ *& {\mathrm{\&Psi;}}_{22}& {\mathrm{\&Psi;}}_{23}\\ *& *& D_f^T{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}{(g,W_g)}^T{\mathrm{\&Xi;}}^{\left(l\right)}(g,W_g)D_f+{\mathrm{\&mu;w}}_{g+1}^{\left(l\right)}I\end{array}\right]>0,$

其中Ψ₁₂，Ψ₂₂和Ψ₂₃在定理2中进行描述，标量λ，λ₁，λ₂待定，那么最优RFDF参数由L_opt＝G^-1S给出。

上述凸优化算法提供了一种以H_/H_∞指标推算含有多面体不确定性(2)的系统(1)的最优RFDF设计方法。对于定理3中的方法，由于HPPDL函数的应用，随着次数g的增加，可以得到更低保守性的结果。当g＝1时，条件退化成推论2中的情形。在第4部分，一个不确定线性时不变系统将作为一个数例来描述主要结果并说明用于本研究的HPPDL方法会比单个李雅普诺夫函数方法带来更低的保守性。

残差估计

一般来说，RFDF的设计包括两个阶段：残差生成和决策制定阶段。一旦确定了RFDF，剩下的任务就是估算生成的残差信号。为此，令残差估算函数由下式决定：

${\left|\right|r\left|\right|}_{2,T}={\left[{\&Integral;}_{t_1}^{t_2}{r}^T\left(t\right)r\left(t\right)\mathrm{dt}\right]}^{1/2},T=t_2-t_1.---\left(22\right)$

这里，t∈(t₁，t₂]是有限时间窗，也就是长度为T而不是∞。由于全时段的残差信号估计不切实际，因此需要故障可以尽早检测出来。定义

T＝t₂-t₁.，在本研究中被选作残差估计函数，基于此的一种被广泛采用的方法是选择一个阈值J_th＞0，并对故障检测应用下述逻辑关系^[17]：

注意到由r_d＝r|_f＝0和r_f＝r|_d＝0得出

||r||_2，T＝||r_d+r_f||_2，T.

在无故障情况下，有

||r||_{2，T，f＝0}＝||r_d||_2，T≤||G_rd||_∞||d||_2，T＝γ_dv，

其中v是在时间窗(t₁，t₂]内的对模型最差扰动的2-范数的一个上界。因此，阈值J_th可由下式得出

J_th＝||r||_{2，T，f＝0}＝γ_dv  (23)

这种估计方案后面的基本思路是，若系统模型是完全已知，即没有模型误差的话，那么系统模型(1)和设计好的RFDF(3)一起保证了最大的故障检测率和给定的干扰衰减。

附图说明

下面结合附图对本发明进一步说明。

图1是依据本发明的故障检测滤波器设计方法示意图。

图2是|δ₁|＝2.5，|δ₂|＝3.7的残差响应图。

图3是残差评估函数||r||_2，T随时间的变化图。

图4是|δ₁|＝2.5，|δ₂|＝9.4312的残差响应图。

具体实施方式

下面的例子展示了对故障检测问题所提出的方法的有效性和适用性，用以说明上文得出的结果怎样应用于为不确定线性时不变系统(1)设计RFDF中。考虑下面的具有多面体不确定性的线性时不变系统：

$A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 6.22& 10.35& 23.14+{\mathrm{\&delta;}}_1& 36.26+{\mathrm{\&delta;}}_2\\ 0& 0& 0& 1\\ -32.42& -52.15& -61.88& -77.96\end{array}\right],$ $C=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right],$

$B_d=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right],$ $B_f=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.5\\ 0\\ -0.4\end{array}\right],$ $D_d=\left[\begin{array}{ccc}0& 0.1& 0\\ 0& 0.1& 0\end{array}\right],$ $D_f=\left[\begin{array}{c}1\\ 2.5\end{array}\right]$

其中

|δ₁|≤2.5，|δ₂|≤3.7

是两块结构的不确定性，可由一个四个顶点的多面体描述。根据多项式李雅普诺夫矩阵的次数g，这里考虑两种情形。

1°g＝0

这种情况下，相当于一般李雅普诺夫矩阵P和P_f的情况。通过选取γ＝0.79，β＝1.2，g＝0时线性矩阵不等式(18)-(19)发现是不可行的。正如在评论6中指出的，为得到RFDF设计的可行解，我们需要增加李雅普诺夫矩阵的次数。

2°g＝1

这里，g＝1时线性矩阵不等式(18)-(19)退化成推论1中列出的情况。为观察扰动衰减性能和对不确定多面体系统的故障检测，考虑两种情形。

(1)选取故障灵敏度和扰动衰减分别为β＝1.2和γ＝0.79。对于参数依赖李雅普诺夫矩阵P_i，通过规定λ＝2，λ₁＝-2以及λ₂＝1，我们得到了线性矩阵不等式(15)-(16)的下列可行解：

$L=G^{-1}S=\left[\begin{array}{cc}-0.5996& 0.6139\\ -25.2869& 23.4729\\ 3.9114& -3.7795\\ -1.4760& 1.8136\end{array}\right].$

基于推论1，这里推出的RFDF(3)可令不确定系统(1)按扰动衰减γ＝0.79和故障灵敏度β＝1.2全局渐进稳定。

此外，固定γ＝0.79并求解与推论2中g＝1情形的最小化问题相一致的广义特征值问题，我们得到了故障灵敏度最大值的一个估计β_max＝2.8842。在这种情形下，同样保证了依据推论2设计的RFDF是最优的，其增益矩阵为

$L_{\mathrm{opt}}=\left[\begin{array}{cc}-0.0953& 0.1535\\ -7.2678& 5.2793\\ 0.7738& -0.6945\\ 0.6646& -0.6651\end{array}\right].---\left(24\right)$

仿真结果同样确认了这个设计的有效性。假设未知输入扰动d(t)选为d(t)＝[0 0.7sin(0.1t)0.7sin(0.1t)]^T，t＞0，故障信号f(t)模拟一个振幅为0.6的脉冲，在5s到10s间发生(其余时刻为0)。根据得到的最优RFDF(24)，根据指数γ和β_max对该4顶点系统生成的残差信号的仿真结果列在图1中，其中扰动输入d(t)对残差信号r₁(t)和r₂(t)的影响已经大幅减弱。残差拥有大得多的振幅，因此残差动态特性(4)-(5)可以保持对故障尽可能的灵敏。这里，初值为x(0)＝[-0.23 0.2 0.8 -0.6]^T以及 $\hat{x}\left(0\right)={\left[\begin{array}{cccc}-0.67& 0.29& -0.23& 0.2\end{array}\right]}^T.$

如图2所示。图2示出了|δ₁|＝2.5，|δ₂|＝3.7的残差响应。

令t₁＝0，t₂＝7s，则γ_d＝||r|_2，7＝1.5002可以像扰动上界||d||₂＝0.9899一样计算。基于式(23)，对于T＝7s，阈值为J_th＝1.485。图2展示了残差估计函数的||r||_2，T演化过程，其中红色虚线表示故障树情形，而蓝色实线是故障f的情形。可以从仿真结果观察到对于t₁＝0，t₂＝7s，有||r||_2，7≈1.7169＞J_th＝1.485，这意味着故障可以在其发生两秒后检出。

如图3所示。图3示出了残差评估函数||r||_2，T随时间的变化。

(2)接下来，假设状态矩阵受如下不确定性支配：δ₁＝2.5，δ₂≤η，其中η是需要最大化的不确定性边界。选取β＝0.8和γ＝0.3，然后求解推论2中的不等式，得到一组可行解，同时RFDF可确定为：

$L=\left[\begin{array}{cc}0.0174& 0.0934\\ -29.7768& 23.3886\\ 1.9159& -1.6644\\ -15.4140& 13.9162\end{array}\right]---\left(25\right)$

因此作为结果的系统(4)-(5)对最大不确定性边界η＝9.4312是鲁棒渐进稳定的。

如图4所示，图4示出了|δ₁|＝2.5，|δ₂|＝9.4312的残差响应。

为了论证的目的，对于式(25)中的RFDF和初值x(0)＝[-0.23 0.2 0.8 -0.6]^T以及 $\hat{x}\left(0\right)={\left[\begin{array}{cccc}-0.67& 0.29& -0.23& 0.2\end{array}\right]}^T$ 构成的多面体的其中一个顶点的仿真结果在图3中给出。这个例子确认了本发明设计得RFDF的有效性。然而对于g＝0，定理3并不适用。因此，这证实了当多项式次数g增加时，获得的条件变得更不保守，并提供了一个对多面体的鲁棒故障检测简单和有效的测试方法。

此处已经根据特定的示例性实施例对本发明进行了描述。对本领域的技术人员来说在不脱离本发明的范围下进行适当的替换或修改将是显而易见的。示例性的实施例仅仅是例证性的，而不是对本发明的范围的限制，本发明的范围由所附的权利要求定义。

Claims (2)

1.一种线性不确定性系统鲁棒故障检测滤波器设计方法，其特征在于：

将齐次多项式参数依赖的Lyapunov函数方法引入到存在凸多面体不确定性的线性时不变系统的鲁棒性故障检测中，首先验证了用于设计RFDF的HPPDL函数的存在性通过线性矩阵不等式验证的可行性；其次，故障检测滤波器的最大故障灵敏度通过解广义特征值问题得到，并能得出最优的RFDF，随着多项式次数的增加，线性矩阵不等式和自由变量的数量随之增加，从而降低验证的保守性；

设计方法包括两个阶段：(1)作为具有一定的干扰衰减和最大故障灵敏度的残差发生器的最优RFDF设计问题；(2)为估计生成的残差而进行阈值设计；

具体包括以下步骤：

定义：

表示n×n实矩阵的集合，上标T表示实矩阵的转置，*表示复矩阵的共轭转置；对于n×n矩阵A，HeA＝A+A^*；如果A是实对称的负定矩阵，表示为A＜0，而B≥0表示B是半正定矩阵；

定义这样一个系统：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\mathrm{Ax}+B_{d}d+B_{f}f,\\ y=\mathrm{Cx}+D_{d}d+D_{f}f,\end{array}---\left(1\right)$

其中，

分别代表状态向量和输出向量；

是需要进行检测的可检测故障信号的集合；表示有限的传感器/驱动器干扰；依赖于考虑之中的特定情形，f和d采取不同的信号形式进行建模；模型矩阵是具有适当维数的定常矩阵，其中A，B_d，B_f，D_d包含于下面的不确定性多面体：

$\mathrm{\&Omega;}=\left\{(A,B_f,B_d,D_d)\right|(A,B_f,B_d,D_d)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_i(A^{\left(i\right)},B_f^{\left(i\right)},B_d^{\left(i\right)},D_d^{\left(i\right)}),{\mathrm{\&alpha;}}_i\&GreaterEqual;0,\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_i=1\}---\left(2\right)$

这里，(A⁽ⁱ⁾，

)是多面体Ω的第i个顶点；

故障检测依赖于对故障高灵敏度的残差信号生成，同时能够区分外部信号和干扰引起的故障，定义一个基于RFDF的残差发生器作为RFDF的核心，给出如下形式的全阶状态观测器：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}=A\hat{x}+L(y-\hat{y}),\\ \hat{y}=C\hat{x},\end{array}---\left(3\right)$

其中，表示状态向量，

是滤波器的输出估计向量；L是待确定的定常矩阵，因此，RFDF的设计还原为观测器获取矩阵L；进一步讲，RFDF传递了一个其关于故障和位置干扰的动态特性，由下列残差方程进行描述：

$r=y-\hat{y}---\left(4\right)$

为描述RFDF的动态特性，令考虑如下残差动态特性：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{e}=(A-\mathrm{LC})e+(B_d-{\mathrm{LD}}_d)d+(B_f-{\mathrm{LD}}_f)f,\\ r=\mathrm{Ce}+D_{d}d+D_{f}f.\end{array}\right.---\left(5\right)$

接下来，引进以下定义来描述系统(5)中d和f对残差r的影响；

定义1如果误差动态特性(5)的传递函数

由下式给出

G_rd(s)＝C(sI-A+LC)^-1(B_d-LD_d)+D_d.

那么它的H_∞范数定义由下式定义

${\left|\right|G_{\mathrm{rd}}\left|\right|}_{\&infin;}={\sup }_{d\&Element;L_2}\frac{{\left|\right|r\left|\right|}_2}{{\left|\right|d\left|\right|}_2}={\sup }_{d\&Element;L_2}\frac{{\left|\right|G_{\mathrm{rd}}d\left|\right|}_2}{{\left|\right|d\left|\right|}_2}.$

定义2考虑如下从输入f到输出r的传递函数

G_rf(s)＝C(sI-A+LC)^-1(B_f-LD_f)+D_f.

传递函数矩阵G_rf(s)的H_指数定义为

${\left|\right|G_{\mathrm{rf}}\left(s\right)\left|\right|}_{-}^{[0,\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}]}=\underset{\mathrm{\&omega;}\&Element;[0,\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}]}{\inf }\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}\left[G_{\mathrm{rf}}\left(\mathrm{j\&omega;}\right)\right],$

其中σ代表最小奇异值，

表示频带

此外，这个频域性能判据可以由 ${\left|\right|G_{\mathrm{rf}}\left|\right|}_{-}={\inf }_{f\&Element;L_2}\frac{{\left|\right|G_{\mathrm{rf}}f\left|\right|}_2}{{\left|\right|f\left|\right|}_2}$ 基于信号理论得到；

便用H_/H_∞权衡设计策略；H_/H_∞性能测定标准，为简单起见，采用最大化故障灵敏度||G_rf(s)||_，且干扰衰减||G_rd(s)||_∞是一个固定常数的情形；

以确定系数矩阵L为目标，因此

1°A-LC是常数

2°||G_rd(s)||_∞＜γ(6)

3°||G_rf(s)||_＞β，β→max，

其中，γ是规定的正常数，β是待最优化的常量；在此情形下，得出的RFDF(3)-(4)是保证H_/H_∞性能下最优的；(6)式中鲁棒残差生产方法的目标之间是有冲突的；

由于故障检测问题本质上是一个多目标权衡问题，因此在故障检测系统设计中应用线性矩阵不等式技术；然而式(6)的传递函数G_rd(s)和G_rf(s)中存在不确定矩阵，因此不能简单的凭借鲁棒性控制的标准知识加以解决；

引入参数依赖李雅普诺夫函数方法，从而在解决凸多面体不确定性问题时可以利用齐次多项式参数依赖的李雅普诺夫技术；

考虑包含多面体不确定性(2)的系统(1)和式(3)-(4)给出的RFDF；设γ＞0，β＞0是规定的常标量，对于给定的矩阵L，当如下任一条件满足时：

1°存在一个正定矩阵P＝PT＞0和一个对称矩阵

使得

$\left[\begin{array}{ccc}P(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^{T}P& P(B_d-{\mathrm{LD}}_d)& C^T\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I& D_d^T\\ *& *& -I\end{array}\right]<0,---\left(7\right)$

$\left[\begin{array}{cc}{P}_f(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^T{P}_f+C^{T}C& P_f(B_f-{\mathrm{LD}}_f)+C^T{D}_f\\ *& D_f^T{D}_f-{\mathrm{\&beta;}}^{2}I\end{array}\right]>0.---\left(8\right)$

2°存在矩阵P＝P^T＞0，G，G_f，F，F_f，使得

$\mathrm{\&Pi;}=\left[\begin{array}{cccc}-G-G^T& G(A-\mathrm{LC})+P-F^T& G(B_d-{\mathrm{LD}}_d)& 0\\ *& F(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^T{F}^T& F(B_d-{\mathrm{LD}}_d)& C^T\\ *& *& -\mathrm{\&gamma;I}& D_d^T\\ *& *& *& -\mathrm{\&gamma;I}\end{array}\right]<0,---\left(9\right)$

$\mathrm{\&Lambda;}=\left[\begin{array}{ccc}-G_f-G_f^T& G_f(A-\mathrm{LC})+P_f-F_f^T& G_f(B_f-{\mathrm{LD}}_f)\\ *& F_f(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^T{F}_f^T+C^{T}C& F_f(B_f-{\mathrm{LD}}_f)+C^T{D}_f\\ *& *& D_f^T{D}_f-{\mathrm{\&beta;}}^{2}I\end{array}\right]>0,---\left(10\right)$

残差动态特性(5)将满足鲁棒性要求γ和故障灵敏度性能β，即

||G_rd(s)||_∞＝||C(sI-A+LC)^-1(B_d-LD)+D_d||_∞＜γ，

||G_rf(s)||_＝||C(sI-A+LC)^-1(B_f-LD)+D_f||_＞β.

在H_∞框架中，由界实引理将H_∞范数计算同一个扮演关键角色的线性矩阵不等式条件联系在一起；类似的，计算H_指数也相当于一个线性矩阵不等式；因此，条件1°是直接的线性矩阵不等式方程，因此残差动态特性(4)拥有干扰衰减γ和故障灵敏度性能β，其在鲁棒性控制理论中有标准结果；进一步讲，注意到条件(9)可以写成如下形式：

∏＝V+He(∑GΓ)＜0(11)

其中

$V=\left[\begin{array}{cccc}0& P-F^T& 0& 0\\ *& F(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^T{F}^T& F(B_d-{\mathrm{LD}}_d)& C^T\\ *& *& -\mathrm{\&gamma;I}& D_d^T\\ *& *& *& -\mathrm{\&gamma;I}\end{array}\right],$

$\mathrm{\&Sigma;}=\left[\begin{array}{c}I\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\mathrm{\&Gamma;}=\left[\begin{array}{cccc}-I& A-\mathrm{LC}& B_d-{\mathrm{LD}}_d& 0\end{array}\right].$

∑和Γ^T的零空间的显式基可以按下述计算

${\mathrm{\&Sigma;}}^{\&perp;}=\left[\begin{array}{cccc}0& I& 0& 0\\ 0& 0& I& 0\\ 0& 0& 0& I\end{array}\right],$ ${\mathrm{\&Gamma;}}^{T\&perp;}=\left[\begin{array}{cccc}{(A-\mathrm{LC})}^T& I& 0& 0\\ {(B_d-{\mathrm{LD}}_d)}^T& 0& I& 0\\ 0& 0& 0& I\end{array}\right].---\left(12\right)$

因此，∑和Γ的列空间线性无关；根据参数G的投影引理，不等式(11)当且仅当满足下列条件时有解：

∑^⊥G∑^⊥T＜0，Γ^T⊥GΓ^T⊥T＜0.

将式(12)代入上述不等式将得到(7)；因此，存在G使得(9)保持不变当且仅当存在P使得(7)保持不变；使用类似参数，(10)因G_f保持不变当且仅当线性矩阵不等式(8)满足矩阵P_f存在。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于：所述残差估计方法如下：

令残差估算函数由下式决定：

${\left|\right|r\left|\right|}_{2,T}={\left[{\&Integral;}_{t_1}^{t_2}{r}^T\left(t\right)r\left(t\right)\mathrm{dt}\right]}^{1/2},T=t_2-t_1.---\left(22\right)$

其中，t∈(t₁，t₂]是有限时间窗，也就是长度为T而不是∞；由于全时段的残差信号估计不切实际；基于此的方法是选择一个阈值J_th＞0，并对故障检测应用下述逻辑关系：

注意到由r_d＝r|_f＝0和r_f＝r|_d＝0得出：

||r||_2，T＝||r_d+r_f||_2，T.

在无故障情况下，有

||r||_{2，T，f＝0}＝||r_d||_2，T≤||G_rd||_∞||d||_2，T＝γ_dv，

其中v是在时间窗(t₁，t₂]内的对模型最差扰动的2-范数的一个上界；因此，阈值J_th可由下式得出

J_th＝||r||_{2，T，f＝0}＝γ_dv    (23)。

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