CN104950876A - 基于故障敏感性约束的航天器弱小故障检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于故障敏感性约束的航天器弱小故障检测方法，用于解决现有故障检测方法对航天器弱小故障检测效果差的技术问题。技术方案是首先对原系统进行等价变换，其次设计故障检测观测器，再生成残差，最后，设计基于H_与区域极点配置的观测器增益矩阵。由于等价变换后其中一个子系统不受模型不确定性和未知输入的影响，故采用该子系统进行故障检测观测器设计，可以提高系统对模型不确定性和未知输入的鲁棒性，另外，在进行观测器增益矩阵设计时，考虑区域极点配置，把观测器的极点配置在理想的稳定区域，以提高故障检测的灵敏度。应用本发明方法可以对航天器的弱小故障进行快速、准确的检测，提高了航天器弱小故障检测的效果。

Description

基于故障敏感性约束的航天器弱小故障检测方法

技术领域

本发明涉及一种航天器弱小故障检测方法，特别是涉及一种基于故障敏感性约束的航天器弱小故障检测方法。

背景技术

文献“基于LMI的H_{_}/H_∞故障检测观测器设计，宇航学报，2012，Vol33(12)”公开了一种针对系统存在模型的不确定性及未知输入扰动，为提高对干扰鲁棒性、待检故障敏感性及降低设计的保守性，提出了一种H_{_}/H_∞故障检测观测器设计方法，通过无损S-procedure将非凸约束问题转化为线性矩阵不等式(LMI)约束，采用Schur补引理将H_{_}/H_∞故障检测观测器设计转化为凸优化问题的LMI表述；设计了自适应门限以减小故障检测过程中的误报、漏报率。故障检测观测器的设计是借助凸优化问题的数值计算，使设计过程便于实现。提出的算法使未知扰动的鲁棒性及待检故障的敏感性之间具有最优平衡。但是该方法在设计时没有考虑故障敏感性约束问题，即观测器增益矩阵的区域极点配置问题，对于弱小故障检测，故障敏感性约束是非常重要的。另外，该方法是针对全维系统进行观测器设计，对于模型不确定性及未知输入扰动不能完全消除，只能通过H_∞性能进行鲁棒抑制。对于弱小故障检测及扰动抑制，不能得到满意的效果。

发明内容

为了克服现有故障检测方法对航天器弱小故障检测效果差的不足，本发明提供一种基于故障敏感性约束的航天器弱小故障检测方法。该方法首先对原系统进行等价变换，其次设计故障检测观测器，再生成残差，最后，设计基于H_{_}与区域极点配置的观测器增益矩阵。由于等价变换后其中一个子系统不受模型不确定性和未知输入的影响，故采用该子系统进行故障检测观测器设计，可以提高系统对模型不确定性和未知输入的鲁棒性，另外，在进行观测器增益矩阵设计时，考虑区域极点配置，把观测器的极点配置在理想的稳定区域，即在复平面的左半平面以直线、圆锥和半圆组成的区域，以提高故障检测的灵敏度。应用本发明方法可以对航天器的弱小故障进行快速、准确的检测，提高了航天器弱小故障检测的效果。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种基于故障敏感性约束的航天器弱小故障检测方法，其特点是采用以下步骤：

步骤一、首先对原系统进行等价变换。

等价变换时考虑如下的线性时不变系统，包含故障和模型不确定性和未知输入：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+B_{f}f\left(t\right)+B_{w}w\left(t\right)\\ y\left(t\right)=Cx\left(t\right)+D_{f}f\left(t\right)\end{array}---\left(1\right)$

其中，x(t)∈Rⁿ是状态向量，n为系统阶数，y(t)∈R^p是测量输出向量，p是系统输出维数，w(t)∈R^l代表模型不确定性和未知输入等未知扰动，l是未知扰动维数，f(t)∈R^q代表待检测的故障，q为待检测故障维数。故障向量f(t)是系统部件故障、执行器故障或者传感器故障。矩阵A,B_f,B_w,C,D_f是具有适当维数的已知实常数矩阵。

对于式(1)，则存在两个转换矩阵T、U，令：

$x\left(t\right)=T\stackrel{\‾}{x}\left(t\right),\stackrel{\‾}{x}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{x}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\‾}{x}}_2\left(t\right)\end{array}\right],y\left(t\right)=U\stackrel{\‾}{y}\left(t\right),\stackrel{\‾}{y}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{y}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\‾}{y}}_2\left(t\right)\end{array}\right]---\left(2\right)$

则系统能够相应的转换成下面的形式：

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{A}}_{11}& {\stackrel{\‾}{A}}_{12}\\ {\stackrel{\‾}{A}}_{21}& {\stackrel{\‾}{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{x}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\‾}{x}}_2\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{B}_{f1}\\ {\stackrel{\‾}{B}}_{f2}\end{array}\right]f\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}0\\ I_l\end{array}\right]w\left(t\right)\\ \left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{y}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\‾}{y}}_2\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& I_l\\ {\stackrel{\‾}{C}}_1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{x}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\‾}{x}}_2\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right]D_{f}f\left(t\right)\end{array}---\left(3\right)$

其中， ${\stackrel{\‾}{x}}_1\left(t\right)\∈R^{n-l},{\stackrel{\‾}{x}}_2\left(t\right)\∈R^l,{\stackrel{\‾}{C}}_1=U_{2}CN,U^{-1}=\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right].$

则子系统描述为：

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1\left(t\right)={\stackrel{\‾}{A}}_{11}{\stackrel{\‾}{x}}_1\left(t\right)+{\stackrel{\‾}{A}}_{12}{\stackrel{\‾}{x}}_2\left(t\right)+{\stackrel{\‾}{B}}_{f1}f\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2\left(t\right)={\stackrel{\‾}{A}}_{21}{\stackrel{\‾}{x}}_1\left(t\right)+{\stackrel{\‾}{A}}_{22}{\stackrel{\‾}{x}}_2\left(t\right)+{\stackrel{\‾}{B}}_{f2}f\left(t\right)+I_{t}w\left(t\right)\end{array}.$

步骤二、为了产生残差，假设是可检测的，其中分别是子式(1)的状态矩阵和观测矩阵，设计如下形式的降维鲁棒故障检测观测器，如式(2)所示。

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\widehat{\stackrel{\‾}{x}}}}_1\left(t\right)={\stackrel{\‾}{A}}_0{\widehat{\stackrel{\‾}{x}}}_1\left(t\right)+L{\stackrel{\‾}{y}}_2\left(t\right)+{\stackrel{\‾}{A}}_{12}{U}_{1}y\left(t\right)={\stackrel{\‾}{A}}_0{\widehat{\stackrel{\‾}{x}}}_1\left(t\right)+({\mathrm{LU}}_2+{\stackrel{\‾}{A}}_{12}{U}_1)y\left(t\right)\\ {\widehat{\stackrel{\‾}{y}}}_2\left(t\right)={\stackrel{\‾}{C}}_1{\widehat{\stackrel{\‾}{x}}}_1\left(t\right)\end{array}---\left(4\right)$

其中，是的估计值，是的估计值， ${\stackrel{\‾}{A}}_0={\stackrel{\‾}{A}}_{11}-L{\stackrel{\‾}{C}}_1.$ 矩阵L∈R^(n-l)×(p-l)是观测器的增益矩阵，根据LMI优化技术进行设计，设计的矩阵L不仅要保证是稳定的，并且使故障检测的敏感性最大化。

步骤三、定义根据式(3)和式(4)，估计误差的动态方程能够转化为下面的形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{e}}_{{\stackrel{\‾}{x}}_1}\left(t\right){\stackrel{\‾}{A}}_0{e}_{{\stackrel{\‾}{x}}_1}\left(t\right)+{\tilde{B}}_{f0}f\left(t\right)\\ e_{{\stackrel{\‾}{y}}_2}\left(t\right)={\stackrel{\‾}{C}}_1{e}_{{\stackrel{\‾}{x}}_1}\left(t\right)+{\stackrel{\‾}{D}}_{f}f\left(t\right)\end{array}---\left(5\right)$

其中，式(5)给出了故障向量f(t)与输出观测误差之间的关系。经过有限时间的状态转移，鲁棒故障检测观测器仅仅对故障向量f(t)敏感。当f(t)＝0，如果是Hurwitz的，则将指数趋近与零。因此，对于给定的式(1)，状态向量的估计值为：

$\hat{x}\left(t\right)=T\widehat{\stackrel{\‾}{x}}\left(t\right)=T\left[\begin{array}{c}\widehat{\stackrel{\‾}{x}}\left(t\right)\\ \widehat{\stackrel{\‾}{x}}\left(t\right)\end{array}\right]=T\left[\begin{array}{c}\widehat{\stackrel{\‾}{x}}\left(t\right)\\ U_{1}y\left(t\right)\end{array}\right]---\left(6\right)$

其中， ${\stackrel{\‾}{x}}_2\left(t\right)=U_{1}y\left(t\right)-U_1{D}_{f}f\left(t\right).$

残差信号由下式产生：

$r\left(t\right)=V({\stackrel{\‾}{y}}_2\left(t\right)-{\widehat{\stackrel{\‾}{y}}}_2\left(t\right))={\mathrm{Ve}}_{{\stackrel{\‾}{y}}_2}\left(t\right)=V{\stackrel{\‾}{C}}_1{e}_{{\stackrel{\‾}{x}}_1}\left(t\right)+V{\stackrel{\‾}{D}}_{f}f\left(t\right)---\left(7\right)$

其中，r是残差信号，V∈R^(p-l)×(p-l)是需要设计的残差权重矩阵。

在频率域，残差信号定义为：

r(s)＝T_rf(s)f(s)  (8)

其中， $T_{rf}\left(s\right)=V{\stackrel{\‾}{C}}_1{({\mathrm{sI}}_{n-l}-\stackrel{\‾}{L})}^{-1}{\tilde{B}}_{fo}+V{\stackrel{\‾}{D}}_f.$

残差信号的动态特性仅仅依赖于故障f(t)，因此，故障检测问题转换成寻求增加残差对故障的敏感性和对未知输入的不敏感性。上述问题转换成设计观测器增益矩阵L和残差信号的权重矩阵V满足下述两个目标要求：使||T_rf(s)||得H_-指数最大化和残差误差的动态方程的极点配置在稳定的LMI区域。

步骤四、基于H_{_}与区域极点配置的观测器增益矩阵设计。

求解观测器增益矩阵和残差权重矩阵，在约束下的maxβ问题。其中β>0。β越大，观测器具有更大的灵敏度和更好的故障检测性能。

定理1：对于给定的式(3)、式(4)、式(5)和式(7)，是渐进稳定的，并且满足β最大化，当且仅当存在对称正定矩阵P_f>0和矩阵F_f,V满足下面的不等式。

$\left[\begin{array}{cc}{P}_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^{T}W{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T& P_f{\tilde{B}}_{f1}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^{T}W{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_f\\ *& {\mathrm{\&beta;}}^2{I}_q-{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_f^{T}W{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_f\end{array}\right]<0---\left(9\right)$

其中， $W=V^{T}V,L=P_f^{-1}{F}_f.$

通过LMI优化问题计算观测器的增益矩阵。

定理2：由式(4)描述的故障检测观测器的动态方程的所有特征值都位于直线α的左边，其中α≥0，当且仅当存在一对陈正定矩阵和矩阵F_f满足下面的LMI。

$P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T+2{\mathrm{\&alpha;P}}_f<0---\left(10\right)$

则观测器增益矩阵

定理3：由式(4)描述的故障检测观测器的动态方程的所有特征值都位于半径为r，中心在原点的区域时，当且仅当存在对陈正定矩阵和矩阵F_f满足下面的LMI。

$\left[\begin{array}{cc}-{\mathrm{rp}}_f& P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1\\ *& -{\mathrm{rp}}_f\end{array}\right]<0---\left(11\right)$

则观测器增益矩阵

定理4：由式(4)描述的故障检测观测器的动态方程的所有特征值都位于中心在原点，顶角为2θ的圆锥区域时，当且仅当存在对陈正定矩阵和矩阵F_f满足下面的LMI。

$\left[\begin{array}{cc}\left(\right(P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1)+({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T\left)\right)sin\mathrm{\&theta;}& \left(\right(P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1)-({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T\left)\right)cos\mathrm{\&theta;}\\ *& \left(\right(P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1)+({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T\left)\right)sin\mathrm{\&theta;}\end{array}\right]<0---\left(12\right)$

则观测器增益矩阵

本发明的有益效果是：该方法首先对原系统进行等价变换，其次设计故障检测观测器，再生成残差，最后，设计基于H_{_}与区域极点配置的观测器增益矩阵。由于等价变换后其中一个子系统不受模型不确定性和未知输入的影响，故采用该子系统进行故障检测观测器设计，可以提高系统对模型不确定性和未知输入的鲁棒性，另外，在进行观测器增益矩阵设计时，考虑区域极点配置，把观测器的极点配置在理想的稳定区域，即在复平面的左半平面以直线、圆锥和半圆组成的区域，以提高故障检测的灵敏度。应用本发明方法可以对航天器的弱小故障进行快速、准确的检测，提高了航天器弱小故障检测的效果。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明方法中区域极点配置示意图。

图2是本发明方法中故障检测残差幅值图，极点配置区域为：L(0,5,40)、L(0,5,60)和L(0,5,90)。

图3是本发明方法中故障检测残差幅值图，极点配置区域为：L(0.1,5,90)、L(0.2,5,90)和L(0.2,5,60)。

图4是背景技术方法中故障检测残差幅值图。

图5是本发明方法与背景技术方法对弱小故障检测的残差幅值对比图。

具体实施方式

参照图1-5。本发明基于故障敏感性约束的航天器弱小故障检测方法具体步骤如下：

1、首先对原系统进行等价变换。

等价变换时考虑如下的线性时不变系统，包含故障和模型不确定性、未知输入等未知扰动：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+B_{f}f\left(t\right)+B_{w}w\left(t\right)\\ y\left(t\right)=Cx\left(t\right)+D_{f}f\left(t\right)\end{array}---\left(1\right)$

其中，x(t)∈Rⁿ是状态向量，n为系统阶数，y(t)∈R^p是测量输出向量，p是系统输出维数，w(t)∈R^l代表模型不确定性、未知输入等未知扰动，l是未知扰动维数，f(t)∈R^q代表待检测的故障，q为待检测故障维数。故障向量f(t)可以是系统部件故障、执行器故障或者传感器故障。矩阵A,B_f,B_w,C,D_f是具有适当维数的已知实常数矩阵。

对于系统(1)，则存在两个转换矩阵T、U，令：

$x\left(t\right)=T\stackrel{\&OverBar;}{x}\left(t\right),\stackrel{\&OverBar;}{x}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\end{array}\right],y\left(t\right)=U\stackrel{\&OverBar;}{y}\left(t\right),\stackrel{\&OverBar;}{y}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&OverBar;}{y}}_2\left(t\right)\end{array}\right]---\left(2\right)$

则系统能够相应的转换成下面的形式：

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}& {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{12}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{21}& {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{B}_{f1}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{f2}\end{array}\right]f\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}0\\ I_l\end{array}\right]w\left(t\right)\\ \left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&OverBar;}{y}}_2\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& I_l\\ {\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right]D_{f}f\left(t\right)\end{array}---\left(3\right)$

其中， ${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\left(t\right)\&Element;R^{n-l},{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\&Element;R^l,{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1=U_{2}CN,U^{-1}=\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right].$

则子系统可以描述为：

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1\left(t\right)={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\left(t\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{12}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{f1}f\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2\left(t\right)={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{21}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\left(t\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{22}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{f2}f\left(t\right)+I_{t}w\left(t\right)\end{array}.$

2、故障检测观测器设计。

一个典型的故障检测观测器系统包含残差产生和残差评价过程。为了产生残差，假设是可检测的，其中分别是子系统1的状态矩阵和观测矩阵，设计如下形式的降维鲁棒故障检测观测器，如式(2)所示。

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}}_1\left(t\right)={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_0{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1\left(t\right)+L{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_2\left(t\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{12}{U}_{1}y\left(t\right)={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_0{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1\left(t\right)+({\mathrm{LU}}_2+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{12}{U}_1)y\left(t\right)\\ {\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{y}}}_2\left(t\right)={\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1\left(t\right)\end{array}---\left(4\right)$

其中，是的估计值，是的估计值，矩阵L∈R^(n-l)×(p-l)是观测器的增益矩阵，根据LMI优化技术进行设计，设计的矩阵L不仅要保证是稳定的，并且使故障检测的敏感性最大化。

3、残差生成。

定义根据式(3)和(4)，估计误差的动态方程能够转化为下面的形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_{{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1}\left(t\right)={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_0{e}_{{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1}\left(t\right)+{\tilde{B}}_{f0}f\left(t\right)\\ e_{{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_2}\left(t\right)={\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1{e}_{{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1}\left(t\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{f}f\left(t\right)\end{array}---\left(5\right)$

其中，式(5)给出了故障向量f(t)与输出观测误差之间的关系。经过有限时间的状态转移，鲁棒故障检测观测器仅仅对故障向量f(t)敏感。当f(t)＝0，如果是Hurwitz的，则将指数趋近与零。因此，对于给定的系统(1)，状态向量的估计值为：

$\hat{x}\left(t\right)T\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}\left(t\right)=T\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1\left(t\right)\\ {\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2\left(t\right)\end{array}\right]=T\left[\begin{array}{c}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1\left(t\right)\\ U_{1}y\left(t\right)\end{array}\right]---\left(6\right)$

其中， ${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)=U_{1}y\left(t\right)-U_1{D}_{f}f\left(t\right).$

残差信号由下式产生：

$r\left(t\right)=V({\stackrel{\&OverBar;}{y}}_2\left(t\right)-{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{y}}}_2\left(t\right))=V{e}_{{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_2}\left(t\right)=V{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1{e}_{{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1}\left(t\right)+V{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{f}f\left(t\right)---\left(7\right)$

其中，r是残差信号，V∈R^(p-l)×(p-l)是需要设计的残差权重矩阵。

在频率域，残差信号定义为：

r(s)＝T_rf(s)f(s)  (8)

其中， $T_{rf}\left(s\right)=V{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1{({\mathrm{sI}}_{n-l}-{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_0)}^{-1}{\tilde{B}}_{fo}+V{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_f.$

残差信号的动态特性仅仅依赖于故障f(t)，因此，故障检测问题转换成寻求增加残差对故障的敏感性和对未知输入的不敏感性。上述问题转换成设计观测器增益矩阵L和残差信号的权重矩阵V满足下述两个目标要求：使||T_rf(s)||得H_-指数最大化和残差误差的动态方程的极点配置在稳定的LMI区域。

4、基于H_{_}与区域极点配置的观测器增益矩阵设计。

在这一部分，在H_-性能指数和鲁棒区域极点配置约束下，通过求解LMI，给出故障检测观测器的增益矩阵和残差权重矩阵的设计方法，以满足残差对故障的最优敏感性约束。

下面的目标是求解观测器增益矩阵和残差权重矩阵，在约束下的maxβ问题。其中β>0。β越大，观测器具有更大的灵敏度和更好的故障检测性能。

定理1：对于给定的降维系统(3)和观测器(4)，动态误差估计方程(5)和残差方程(7)，是渐进稳定的，并且满足β最大化，当且仅当存在对称正定矩阵P_f>0和矩阵F_f,V满足下面的不等式。

$\left[\begin{array}{cc}{P}_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^{T}W{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T& P_f{\tilde{B}}_{f1}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^{T}W{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_f\\ *& {\mathrm{\&beta;}}^2{I}_q-{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_f^{T}W{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_f\end{array}\right]<0---\left(9\right)$

其中， $W=V^{T}V,L=P_f^{-1}{F}_f.$

通过LMI优化问题计算观测器的增益矩阵，可以灵活的增加区域极点配置约束。观测器的极点配置目标在复平面以线性不等式形式给出。LMI区域包括圆形、椭圆、线条、抛物线和双曲线等。

定理2：由式(4)描述的故障检测观测器的动态方程的所有特征值都位于直线α的左边，其中α≥0，当且仅当存在一对陈正定矩阵和矩阵F_f满足下面的LMI。

$P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T+2{\mathrm{\&alpha;P}}_f<0---\left(10\right)$

则观测器增益矩阵

定理3：由式(4)描述的故障检测观测器的动态方程的所有特征值都位于半径为r，中心在原点的区域时，当且仅当存在对陈正定矩阵和矩阵F_f满足下面的LMI。

$\left[\begin{array}{cc}-{\mathrm{rP}}_f& P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1\\ *& -{\mathrm{rP}}_f\end{array}\right]<0---\left(11\right)$

则观测器增益矩阵

定理4：由式(4)描述的故障检测观测器的动态方程的所有特征值都位于中心在原点，顶角为2θ的圆锥区域时，当且仅当存在对陈正定矩阵和矩阵F_f满足下面的LMI。

$\left[\begin{array}{cc}\left(\left(P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1\right)+\left({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T\right)\right)\sin \mathrm{\&theta;}& \left(\left(P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1\right)+\left({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T\right)\right)\cos \mathrm{\&theta;}\\ *& \left(\left(P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1\right)+\left({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T\right)\right)\sin \mathrm{\&theta;}\end{array}\right]<0---\left(12\right)$

则观测器增益矩阵

下面通过具体仿真实例说明本方法的有效性。首先给出系统系数矩阵，如下所示：

$A=\left[\begin{array}{cccc}-2.1210& -0.5624& -0.2651& -0.2500\\ 4.0000& 0& 0& 0\\ 0& 1.0000& 0& 0\\ 0& 0& 0.2500& 0\end{array}\right],B_f=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],B_w=\left[\begin{array}{c}0.02\\ 0.02\\ 0.02\\ 0.02\end{array}\right]$

$C=\left[\begin{array}{cccc}-1.4140& -0.4374& -0.1768& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],D_f=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$

系统的转换矩阵：

$T\left[\begin{array}{cccc}0.2436& -0.1735& 0.2657& 0.02\\ -0.7564& 0.8265& -0.2657& 0.02\\ -0.7564& -0.1735& 0.7343& 0.02\\ 0.2436& -0.1735& 0.7343& 0.02\end{array}\right],U^{-1}=\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-19.831& 9.7779\\ 1& 2.0282\end{array}\right]$

下面是根据上述方法和系数矩阵给出的设计结果。

表1基于故障敏感性约束的观测器增益矩阵设计结果

下面是没有考虑区域极点配置情况下得到的观测器增益矩阵：

L_PP＝[-17.9330,-6.4198,8.6781]^T。

由上表可以明显看出，当把极点配置在L_P(0,5,40)时，β_opt的最优值为0.0085；当把极点配置在L_P(0,5,60)时，β_opt的最优值为0.0573；当把极点配置在L_P(0,5,90)时，β_opt的最优值为2。从而可以说明，当选择α＝0,r＝5,θ＝90时，设计结果最优。

图2中点画线代表约束条件为L_P(0,5,40)，虚线代表约束条件为L_P(0,5,60)，实线代表约束条件为L_P(0,5,90)。横坐标为时间，纵坐标为残差幅值大小。从图2中可以看出，实线能够快速的检测出系统故障，且稳定性强。点画线和虚线虽然残差的幅值高于实线，但是故障检测的快速性不如实线，且稳定性较差。对于其他仿真情况可以说明同样的问题。

图3是极点配置在L_P(0.1,5,90)、L_P(0.2,5,90)与L_P(0.2,5,60)的仿真结果。实线代表约束条件为L_P(0.1,5,90)、点画线线代表约束条件为L_P(0.2,5,90)，虚线代表约束条件为L_P(0.2,5,60)。坐标同上所述。从图3中可以看出，实线能够快速的检测出系统故障，且稳定性强。点画线和虚线的残差的幅值低于实线，故障检测的快速性不如实线，且稳定性较差。

从图4可以看出，所得到的结果明显比图2、图3的结果差，故障的残差幅值很小，稳定性较差。

图5中实线为本发明方法的残差幅值图，虚线为背景技术方法的残差幅值图。从图5中可以看出，虚线的残差幅值非常小，实线的残差幅值也比较小，但是实线的残差幅值是虚线幅值的十倍左右，因此利用该方法能够进行弱小故障的检测。同样说明了该方法的优越性，同时说明，对于一般意义下的故障检测，针对弱小故障检测显得无能为力，同时证明了本方法对于弱小故障检测的有效性。

Claims (1)

1.一种基于故障敏感性约束的航天器弱小故障检测方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、首先对原系统进行等价变换；

等价变换时考虑如下的线性时不变系统，包含故障和模型不确定性和未知输入：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+B_{f}f\left(t\right)+B_{w}w\left(t\right)$   (1)

y(t)＝Cx(t)+D_ff(t)

其中，x(t)∈Rⁿ是状态向量，n为系统阶数，y(t)∈R^p是测量输出向量，p是系统输出维数，w(t)∈R^l代表模型不确定性和未知输入等未知扰动，l是未知扰动维数，f(t)∈R^q代表待检测的故障，q为待检测故障维数；故障向量f(t)是系统部件故障、执行器故障或者传感器故障；矩阵A,B_f,B_w,C,D_f是具有适当维数的已知实常数矩阵；

对于式(1)，则存在两个转换矩阵T、U，令：

$x\left(t\right)=T\stackrel{\&OverBar;}{x}\left(t\right),\stackrel{\&OverBar;}{x}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\end{array}\right],y\left(t\right)=U\stackrel{\&OverBar;}{y}\left(t\right),\stackrel{\&OverBar;}{y}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&OverBar;}{y}}_2\left(t\right)\end{array}\right]---\left(2\right)$

则系统能够相应的转换成下面的形式：

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{-}}{x}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{-}}{x}}_2\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}& {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{12}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{21}& {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{B}_{f1}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{f2}\end{array}\right]f\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}0\\ I_l\end{array}\right]w\left(t\right)\\ \left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&OverBar;}{y}}_2\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& I_l\\ {\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right]D_{f}f\left(t\right)\end{array}---\left(3\right)$

其中， ${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\left(t\right)\&Element;R^{n-1},{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)\&Element;R^l,{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1=U_{2}CN,U^{-1}=\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right];$

则子系统描述为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{-}}{x}}_1\left(t\right)={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\left(t\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{12}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{f1}f\left(t\right)\\ {\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{-}}{x}}_2\left(t\right)={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{21}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\left(t\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{22}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{f2}f\left(t\right)+I_{t}w\left(t\right)\end{array}\right.;$

步骤二、为了产生残差，假设是可检测的，其中分别是子式(1)的状态矩阵和观测矩阵，设计如下形式的降维鲁棒故障检测观测器，如式(2)所示；

$\begin{array}{c}{\stackrel{\stackrel{\stackrel{.}{^}}{-}}{x}}_1\left(t\right)={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_0{\stackrel{\widehat{-}}{x}}_1\left(t\right)+L{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_2\left(t\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{12}{U}_{1}y\left(t\right)={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_0{\stackrel{\widehat{-}}{x}}_1\left(t\right)+({\mathrm{LU}}_2+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{12}{U}_1)y\left(t\right)\\ {\stackrel{\widehat{-}}{y}}_2\left(t\right)={\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1\left(t\right)\end{array}---\left(4\right)$

其中， ${\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1\left(t\right)\&Element;R^{n-l}$ 是的估计值， ${\stackrel{\widehat{-}}{y}}_2\left(t\right)\&Element;R^{p-l}$ 是的估计值， ${\stackrel{\&OverBar;}{A}}_0={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-L{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1;$ 矩阵L∈R^(n-l)×(p-l)是观测器的增益矩阵，根据LMI优化技术进行设计，设计的矩阵L不仅要保证是稳定的，并且使故障检测的敏感性最大化；

步骤三、定义 根据式(3)和式(4)，估计误差的动态方程能够转化为下面的形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_{{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1}\left(t\right)={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_0{e}_{{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1}\left(t\right)+{\tilde{B}}_{f0}f\left(t\right)\\ e_{{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_2}\left(t\right)={\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1{e}_{{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1}\left(t\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{f}f\left(t\right)\end{array}---\left(5\right)$

其中，式(5)给出了故障向量f(t)与输出观测误差之间的关系；经过有限时间的状态转移，鲁棒故障检测观测器仅仅对故障向量f(t)敏感；当f(t)＝0，如果是Hurwitz的，则将指数趋近与零；因此，对于给定的式(1)，状态向量的估计值为：

$\hat{x}\left(t\right)=T\stackrel{\widehat{-}}{x}\left(t\right)=T\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\widehat{-}}{x}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\widehat{-}}{x}}_2\left(t\right)\end{array}\right]=T\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\widehat{-}}{x}}_1\left(t\right)\\ U_{1}y\left(t\right)\end{array}\right]---\left(6\right)$

其中， ${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\left(t\right)=U_{1}y\left(t\right)-U_1{D}_{f}f\left(t\right);$

残差信号由下式产生：

$r\left(t\right)=V({\stackrel{\&OverBar;}{y}}_2\left(t\right)-{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{y}}}_2\left(t\right))={\mathrm{Ve}}_{{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_2}\left(t\right)=V{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1{e}_{{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1}\left(t\right)+V{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{f}f\left(t\right)---\left(7\right)$

其中，r是残差信号，V∈R^(p-l)×(p-l)是需要设计的残差权重矩阵；

在频率域，残差信号定义为：

r(s)＝T_rf(s)f(s)  (8)

其中， $T_{rf}\left(s\right)=V{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1{({\mathrm{sI}}_{n-l}-{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_0)}^{-1}{\tilde{B}}_{fo}+V{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_f;$

残差信号的动态特性仅仅依赖于故障f(t)，因此，故障检测问题转换成寻求增加残差对故障的敏感性和对未知输入的不敏感性；上述问题转换成设计观测器增益矩阵L和残差信号的权重矩阵V满足下述两个目标要求：使||T_rf(s)||得H_-指数最大化和残差误差的动态方程的极点配置在稳定的LMI区域；

步骤四、基于H_-与区域极点配置的观测器增益矩阵设计；

求解观测器增益矩阵和残差权重矩阵，在约束下的maxβ问题；其中β>0；β越大，观测器具有更大的灵敏度和更好的故障检测性能；

定理1：对于给定的式(3)、式(4)、式(5)和式(7)，是渐进稳定的，并且满足β最大化，当且仅当存在对称正定矩阵P_f>0和矩阵F_f,V满足下面的不等式；

$\left[\begin{array}{cc}{P}_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^{T}W{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T& P_f{\tilde{B}}_{f1}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^{T}W{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_f\\ *& {\mathrm{\&beta;}}^2{I}_q-{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_f^{T}W{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_f\end{array}\right]<0---\left(9\right)$

其中，W＝V^TV,

通过LMI优化问题计算观测器的增益矩阵；

定理2：由式(4)描述的故障检测观测器的动态方程的所有特征值都位于直线α的左边，其中α≥0，当且仅当存在一对陈正定矩阵和矩阵F_f满足下面的LMI；

$P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T+2{\mathrm{\&alpha;P}}_f<0---\left(10\right)$

则观测器增益矩阵

定理3：由式(4)描述的故障检测观测器的动态方程的所有特征值都位于半径为r，中心在原点的区域时，当且仅当存在对陈正定矩阵和矩阵F_f满足下面的LMI；

$\left[\begin{array}{cc}-{\mathrm{rP}}_f& P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1\\ *& -{\mathrm{rP}}_f\end{array}\right]<0---\left(11\right)$

则观测器增益矩阵

定理4：由式(4)描述的故障检测观测器的动态方程的所有特征值都位于中心在原点，顶角为2θ的圆锥区域时，当且仅当存在对陈正定矩阵和矩阵F_f满足下面的LMI；

$\left[\begin{array}{cc}\left(\right(P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1)+({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T\left)\right)sin\mathrm{\&theta;}& \left(\right(P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1)-({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T\left)\right)cos\mathrm{\&theta;}\\ *& \left(\right(P_f{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}-F_f{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1)+({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{11}^T{P}_f-{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1^T{F}_f^T\left)\right)sin\mathrm{\&theta;}\end{array}\right]<0---\left(12\right)$

则观测器增益矩阵