CN110727196A - 基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统故障检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统故障检测方法。首先，针对具有时延和不确定性的网络控制系统现状，建立正线性网络控制系统的离散模型，并由此设计相应的鲁棒滤波器；根据此离散模型和滤波器，建立增广系统，从而生成残差；然后，通过对不确定参数的上下界放缩，导出该增广系统为正系统，稳定，且满足l₁/l_‑(鲁棒性/故障灵敏度)性能的充分条件；最后通过一个迭代算法，并结合优化目标，解出滤波器参数，即兼顾鲁棒性和故障灵敏度的同时，实现对正线性网络控制系统的故障检测。本发明通过迭代算法，大大拓宽了应用范围，且提高了故障检测的效率，可应用于具有参数不确定的各类有/无传感器故障系统。

Description

基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统故障检测方法

技术领域

本发明涉及系统控制领域，具体涉及一种基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统的故障检测方法。

背景技术

网络控制系统(NCS)，是指被控对象和控制器通过网络连接，其特点在于，系统输入输出等信息通过网络在系统元件(传感器，控制器，执行器)之间交换。NCS在社会基础设施中扮演着越来越重要的角色，如智能家居、智能电网和现代公共交通系统。在过去十年中，系统和控制的研究人员已经开发了机制系统科学和控制工程方法，如频域法、时域法、状态空间法、鲁棒控制法、随机控制法等，并且计算机科学和网络的研究人员已经在系统软件、高速计算、网络技术等方面取得了显著的成果。毫无疑问，将网络引入控制系统为其带来了许多优势和便利：更高的灵活性，更低的复杂性和更低的安装和维护成本。然而，网络环境对于网络控制的影响是不可忽略的，例如信道带宽的限制，时延与数据丢包等，加之网络本身的不确定性，即，每一次传输时参数都不能准确被外界获取，人们可能无法得知确切的参数信息，这使得分析网络控制系统问题变得复杂。

另一方面，正系统作为一类特殊的系统，对于任意非负初值和输入，其状态及输出均为非负。近几十年来，正系统凭借它的特有性质及其在系统生物学，经济学，工业过程和社会科学等领域的广泛应用，引起了众多学者的关注，并由此产生了大量研究成果。

众所周知，随着系统模型日益复杂化，以及对系统各元件精确度要求的日益提高，工业过程中发生故障的频率也日趋增加，因而，故障检测技术仍需不断进步和完善。一般说来，对于控制系统，故障大致可分为：过程故障，传感器故障和执行器故障。近年来，基于残差生成器的故障检测方法应用较为广泛。具体为：首先建立残差生成器，其次选取残差评价函数及阈值，当残差评价函数大于阈值则故障被成功检测。然而，对于故障灵敏度性能的分析，现有方法具有较大的保守性，应用范围也较为局限。

此外，受各种因素影响，系统参数或结构不能准确被外界获取，并具有参数不确定性，此时，研究对象变成带有参数不确定的系统，普通的系统分析方法将不再适用，因而，对具有参数不确定系统的研究就显得尤为重要。此外，由于人们可能无法获取确切的信息，可以利用参数不确定系统来描述网络控制系统本身的不确定性。

从实际角度出发，时延是另一个不容忽视的问题，它通常不可避免地存在于各工业过程中，并对系统性能造成一定的影响，有时它的存在甚至会导致系统的不稳定。NCS中的时间延迟基本上由三种延迟组成：(i)由于处理速度或数字设备的容量有限，系统组件中的计算延迟，例如传感器，控制器和执行器；(ii)网络队列中的网络访问延迟，因为数据以分组形式通过网络传输，并且排队的网络分组可能需要等待一段时间才能被发送出去；(iii)通信网络中的传输延迟。这种延迟可能依赖于可变网络条件，例如由于通信网络的有限带宽导致的网络信道质量和网络流量拥塞。综上所述，考虑到正系统的广泛应用背景，研究如附图2所示的时滞正线性网络控制系统的故障检测问题会有较为广泛的实际应用价值。

发明内容

发明目的：针对实际应用背景及上述现有方法的不足，本发明提供一种基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统故障检测方法，该方法通过一个迭代算法，将滤波器存在的双线性条件转化为标准的可解线性规划问题，大大拓宽了应用范围。

技术方案：为了实现上述目的，本发明采用以下技术方案：

一种基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统故障检测方法，包括如下步骤：

第一步，设定正线性网络控制系统的离散模型，并由此设计相应的鲁棒滤波器；

第二步，结合离散模型和所设计的滤波器，建立增广系统，从而生成残差；

第三步，选择适当的残差评价函数和阈值，并给出故障检测方案；

第四步，利用不确定参数的上下界信息，导出该增广系统为正系统，稳定、且满足l₁/l_-(鲁棒性/故障灵敏度)性能的充分条件；

第五步，利用迭代算法解出目标滤波器参数。

以上下界已知的不确定参数矩阵描述正线性控制系统的不确定性，则所述第一步中，正线性网络控制系统离散模型为：

其中，A,A_d,E,F,C,C_d,G,H均为非负矩阵，表示系统⑴的参数矩阵，且

其中，下横线和上横线分别表示相应矩阵的下界和上界，A,

分别表示矩阵A的下界和上界，A_d ,

分别表示矩阵A_d的下界和上界，E,

分别表示矩阵E的下界和上界，F,

分别表示矩阵F的下界和上界，C,

分别表示矩阵C的下界和上界，C_d ,

分别表示矩阵C_d的下界和上界，G,

分别表示矩阵G的下界和上界，H,

分别表示矩阵H的下界和上界；其中：x(k)表示系统状态，

表示n_x维空间，即系统状态属于n_x维空间，

其中：w(k)表示干扰输入，

表示n_w维空间，即干扰输入属于n_w维空间，其中：f(k)表示故障信号，

表示n_f维空间，即故障信号属于n_f维空间，表，其中：y(k)表示测量输出，

表示n_y维空间，即测量输出属于n_y维空间；状态方程中的故障称为过程故障，而输出方程中的则为传感器故障；k表示时刻，d代表网络中存在的时滞，x(θ)、Φ(θ)是系统的初始状态，基于上述给定离散模型⑴，设计如下滤波器：

其中，x_o(k)、y_o(k)分别为滤波器系统的状态和输出，

x_o(θ)表示滤波器系统的初始状态，L为待定滤波器增益矩阵。

定义误差e(k)＝x(k)-x_o(k),残差r(k)＝y(k)-y_o(k),增广向量ξ(k)＝[x^T(k) e^T(k)]^T，其中，上标T表示转置，得到所述第二步中的增广系统：

其中，A_ξ,A_ξd,E_ξ,F_ξ,C_ξ,C_ξd,G_ξ,H_ξ为增广系统的参数矩阵，当这些参数矩阵均为非负，则此系统为正系统；ψ(θ)为增广系统的初始状态；增广正系统满足l₁/l_-性能(鲁棒性/故障灵敏度)的充分条件分别如下：

其中，sup表示上确界，inf为下确界，‖■‖₁表示向量的一范数，∞表示无穷大；γ和β为两个给定正数，分别代表l₁和l_-性能指标。

所述第三步中，选择残差评价函数基于此，选定阈值为其中，T’表示时间窗口，

表示干扰w在区间[0,T’]内的l₁范数，当残差评价函数大于阈值时，就能成功检测出故障并报警，即如下故障检测方案：

所述第四步中，设L＝L⁺-L^-，L⁺为滤波器增益矩阵中正数位置元素不变，其余位置为0的矩阵，L^-为滤波器增益矩阵中负数位置元素取其绝对值，其余位置为0的矩阵；由此得知，L⁺,L^-所有元素均为非负，表示为L⁺≥0，L^-≥0；由已有的研究成果得知，增广系统⑶为正系统，稳定且满足l₁性能，以及l_-性能的充分条件为：

A_ξ≥0，A_ξd≥0，E_ξ≥0，F_ξ≥0，

C_ξ≥0，C_ξd≥0，G_ξ≥0，H_ξ≥0， ⑷

其中，1_c表示所有元素均为1的列向量，ν和μ分别代表满足l₁和l_-性能条件中的决策变量，且v＞0,μ＜0，通过参数的上下界放缩，得到上述条件⑷⑸⑹分别对应的充分条件：

A _ξ≥0,A _ξd≥0,E _ξ≥0,F _ξ≥0,

C _ξ≥0,C _ξd≥0,G _ξ≥0,H _ξ≥0, ⑺

所述第五步，包括以下步骤：

5.1)为了在增强鲁棒性的同时获得尽可能高的故障灵敏度，需要考虑带约束的优化目标：其约束为所述第四步具有高灵敏度的鲁棒滤波器存在的充分条件，且ν＝[ν₁ ^T,ν₂ ^T]^T,μ＝[μ₁ ^T,μ₂ ^T]^T，即，v₁,v₂和μ₁,μ₂分别为ν和μ向量的一部分。

5.2)由于所述第四步具有高灵敏度的鲁棒滤波器存在的充分条件求解为双线性问题，则采用一种迭代算法，将耦合的参数进行解耦，从而将双线性问题转化为线性规划问题，并利用YALMIP工具箱解出所需的滤波器参数。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

1、本发明针对正线性网络控制系统研究其故障检测方案，不仅考虑网络中的参数不确定性，还考虑了时滞对系统的影响，更具现实意义和实用价值。

2、本发明基于鲁棒滤波器的设计，兼顾了鲁棒性和故障灵敏度两个性能，能快速检测出正线性网络控制系统微小故障的同时，对外界未知扰动亦具有较好的抗干扰效果。

3、本发明在求解滤波器参数时运用了一个迭代算法，解决了现有方法不能处理无传感器故障系统的局限问题，将双线性问题转化为标准的线性规划，适用于各类有/无传感器故障的系统，大大拓宽了应用范围。

附图说明

图1是本发明方法的工作流程图。

图2是正线性网络控制系统结构图。

图3是故障检测方案流程图。

具体实施方式

为了详细的说明本发明公开的技术方案，下面结合说明书附图和具体实施方式做进一步的阐述。

一种基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统故障检测方法，包括以下步骤：

第一步，设定正线性网络控制系统的离散模型，并由此设计相应的鲁棒滤波器；

第二步，结合离散模型和所设计的滤波器，建立增广系统，从而生成残差；

第三步，选择适当的残差评价函数和阈值，并给出故障检测方案；

第四步，利用不确定参数的上下界信息，导出该增广系统为正系统，稳定、且满足l₁/l_-(鲁棒性/故障灵敏度)性能的充分条件；

第五步，利用迭代算法解出目标滤波器参数。

具体地讲，基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统故障检测方法，包括以下步骤：

第一步、以上下界已知的不确定参数矩阵描述正线性控制系统的不确定性，则正线性网络控制系统离散模型为：

其中，A,A_d,E,F,C,C_d,G,H均为非负矩阵，表示系统⑴的参数矩阵，且

其中，下横线和上横线分别表示相应矩阵的下界和上界，A,

分别表示矩阵A的下界和上界，A_d ,

分别表示矩阵A_d的下界和上界，E,

分别表示矩阵E的下界和上界，F,

分别表示矩阵F的下界和上界，C,

分别表示矩阵C的下界和上界，C_d ,

分别表示矩阵C_d的下界和上界，G,

分别表示矩阵G的下界和上界，H,

分别表示矩阵H的下界和上界；

其中：x(k)表示系统状态，

表示n_x维空间，即系统状态属于n_x维空间，

其中：w(k)表示干扰输入，

表示n_w维空间，即干扰输入属于n_w维空间，

其中：f(k)表示故障信号，表示n_f维空间，即故障信号属于n_f维空间，

表，其中：y(k)表示测量输出，

表示n_y维空间，即测量输出属于n_y维空间；状态方程中的故障称为过程故障，而输出方程中的则为传感器故障；k表示时刻，d代表网络中存在的时滞，x(θ)、Φ(θ)是系统的初始状态。

由于本发明的故障检测方案是基于残差信号(由正线性网络控制系统和滤波器产生)的生成，基于上述给定离散模型⑴，首先需要设计如下滤波器：

其中，x_o(k)、y_o(k)分别为滤波器系统的状态和输出，x_o(θ)表示滤波器系统的初始状态，L为待定滤波器增益矩阵。

第二步、基于以上离散模型⑴和滤波器⑵，则不难得到残差信号，定义误差e(k)＝x(k)-x_o(k),残差r(k)＝y(k)-y_o(k),增广向量ξ(k)＝[x^T(k) e^T(k)]^T，其中，上标T表示转置，得到所述第二步中的增广系统：

其中，A_ξ,A_ξd,E_ξ,F_ξ,C_ξ,C_ξd,G_ξ,H_ξ为增广系统的参数矩阵，当这些参数矩阵均为非负，则此系统为正系统；ψ(θ)为增广系统的初始状态；增广正系统满足l₁/l_-性能(鲁棒性/故障灵敏度)的充分条件分别如下：

其中，sup表示上确界，inf为下确界，‖■‖₁表示向量的一范数，■无特殊定义，仅为了说明‖‖₁表示向量的一范数，∞表示无穷大；γ和β为两个给定正数，分别代表l₁和l_-性能指标，γ越小，抗干扰性能越强，相反，β越大，则说明故障灵敏度越高。因而，理想的设计目标为在鲁棒性和故障灵敏度相互制约的情况下，尽可能使γ达到最小，同时得到尽可能大的β。

第三步、至此，我们完成了残差生成器的建立，接下来，引入残差评价函数和阈值的概念以评估故障何时能被成功检测。首先，选择残差评价函数

基于此，选定阈值为

其中，T’表示时间窗口，

表示干扰w在区间[0,T’]内的l₁范数，当残差评价函数大于阈值时，就能成功检测出故障并报警，即如下故障检测方案：

第四步、接下来，需要导出所设计的鲁棒滤波器存在的充分条件，然而确切的参数信息无法获得，因此，本发明通过不确定参数的上下界信息放缩得到所需充分条件，由于增益矩阵L正负未定，为便于放缩，设L＝L⁺-L^-，L⁺为滤波器增益矩阵中正数位置元素不变，其余位置为0的矩阵，L^-为滤波器增益矩阵中负数位置元素取其绝对值，其余位置为0的矩阵；由此得知，L⁺,L^-所有元素均为非负，表示为L⁺≥0，L^-≥0；由已有的研究成果得知，增广系统⑶为正系统，稳定且满足l₁性能，以及l-性能的充分条件为：

A_ξ≥0，A_ξd≥0，E_ξ≥0，F_ξ≥0，

C_ξ≥0，C_ξd≥0，G_ξ≥0，H_ξ≥0， ⑷

其中，1_c表示所有元素均为1的列向量，v和μ分别代表满足l₁和l-性能条件中的决策变量，且v＞0,μ＜0，通过参数的上下界放缩，得到上述条件⑷⑸⑹分别对应的充分条件：

A _ξ≥0,A _ξd≥0,E _ξ≥0,F _ξ≥0,

C _ξ≥0,C _ξd≥0,G _ξ≥0,H _ξ≥0, ⑺

通过系统⑴和⑵对应参数的替换，以及各矩阵上下界信息的放缩，上述充分条件可等价转化为以下线性规划条件：

第五步、为了尽可能大地增强此滤波器的鲁棒性，同时获得尽可能高的故障灵敏度，还需考虑下述优化目标，并结合鲁棒滤波器存在的充分条件⑽-⑿，解出滤波器参数。然而，由于第四步所得鲁棒滤波器存在的充分条件为双线性问题，目前的电脑软件尚且无法求解此类问题，于是，本发明方法通过一个迭代算法，将耦合非线性项解耦，将其转化为可解的线性规划问题，具体包括以下步骤：

5.1)为了在增强鲁棒性的同时获得尽可能高的故障灵敏度，需要考虑带约束的优化目标：

其约束为所述第四步具有高灵敏度的鲁棒滤波器存在的充分条件，且ν＝[ν₁ ^T,ν₂ ^T]^T,μ＝[μ₁ ^T,μ₂ ^T]^T，

即表示为，带约束的优化目标：

s.t.⑽-⑿.

其中：v₁,v₂和μ₁,μ₂分别为v和μ向量的一部分，且分别表示式⑾和⑿中的决策变量，即，v＝[v₁ ^T,v₂ ^T]^T,μ＝[μ₁ ^T,μ₂ ^T]^T，且ν₁＞0,ν₂＞0,μ₁＜0，μ₂＜0。该优化目标表明，未知干扰对残差的影响应达到最小，同时残差因故障产生的幅值上升应达到最大，从而实现抗干扰的同时又能有效检测出微小故障；

5.2)由于所述第四步具有高灵敏度的鲁棒滤波器存在的充分条件求解为双线性问题，则采用一种迭代算法，将耦合的参数进行解耦，从而将双线性问题转化为线性规划问题，并利用YALMIP工具箱解出所需的滤波器参数；

为了将式⑽-⑿中的非线性项进行解耦，采用如下迭代算法：

①设变量κ＝1，其中，κ表示参数处于第κ步迭代，找到使增广系统⑶为正系统且稳定的初始滤波器参数(L⁺)¹,(L^-)¹,即，求解以下线性规划问题：

v₁＞0,v₂＞0,

其中，M、N为待定未知矩阵，定义对角矩阵

M、N满足M＝(L⁺)^TV，N＝(L^-)^TV。利用YALMIP工具箱可直接解出M和N，并进一步得到(L⁺)¹＝(MV^-1)^T,(L^-)¹＝(NV^-1)^T。

②固定(L⁺)^κ,(L^-)^κ，最小化满足下列约束条件的γ^κ-β^κ：

可解出最优的决策变量

③固定最小化满足下列约束条件的γ^κ-β^κ：

可解出最优的滤波器参数(L⁺)^κ,(L^-)^κ。

④将前后两次所得γ-β的值作对比，如果|(γ^κ-β^κ)-(γ^κ-1-β^κ-1)|≤∈(∈为给定充分小的正数)，则停止迭代，此时的滤波器参数即为所求；否则，设置κ：＝κ+1，(L⁺)^κ:＝(L⁺)^κ-1，(L^-)^κ:＝(L^-)^κ-1，再返回步骤②。

至此，完成了兼有鲁棒性和故障灵敏度的滤波器设计，且本发明方法对于上下界信息已知的参数不确定系统均适用。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (7)

1.基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统故障检测方法，其特征在于，包括如下步骤：

第一步，设定正线性网络控制系统的离散模型，并由此设计相应的鲁棒滤波器；

第二步，结合离散模型和所设计的滤波器，建立增广系统，从而生成残差；

第三步，选择适当的残差评价函数和阈值，并给出故障检测方案；

第四步，利用不确定参数的上下界信息，导出该增广系统为正系统，稳定、且满足l₁/l_-，即鲁棒性/故障灵敏度性能的充分条件；

第五步，利用迭代算法解出目标滤波器参数。

2.根据权利要求1所述基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统故障检测方法，其特征在于，以上下界已知的不确定参数矩阵描述正线性控制系统的不确定性，则所述第一步中，正线性网络控制系统离散模型为：

其中，A，A_d，E，F，C，C_d，G，H均为非负矩阵，表示系统(1)的参数矩阵，且

其中，下横线和上横线分别表示相应矩阵的下界和上界，A，

分别表示矩阵A的下界和上界，A_d ，分别表示矩阵A_d的下界和上界，E，

分别表示矩阵E的下界和上界，F，

分别表示矩阵F的下界和上界，C，

分别表示矩阵C的下界和上界，C_d ，

分别表示矩阵C_d的下界和上界，G，

分别表示矩阵G的下界和上界，H，

分别表示矩阵H的下界和上界；

其中：x(k)表示系统状态，表示n_x维空间，即系统状态属于n_x维空间，

其中：w(k)表示干扰输入，

表示n_w维空间，即干扰输入属于n_w维空间，

其中：f(k)表示故障信号，

表示n_f维空间，即故障信号属于n_f维空间，

表，其中：y(k)表示测量输出，

表示n_y维空间，即测量输出属于n_y维空间；状态方程中的故障称为过程故障，而输出方程中的则为传感器故障；k表示时刻，d代表网络中存在的时滞，x(θ)、Ф(θ)是系统的初始状态，基于上述给定离散模型(1)，设计如下滤波器：

其中，x_o(k)、y_o(k)分别为滤波器系统的状态和输出，x_o(θ)表示滤波器系统的初始状态，L为待定滤波器增益矩阵。

3.根据权利要求2所述基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统故障检测方法，其特征在于，定义误差e(k)＝x(k)-x_o(k)，残差r(k)＝y(k)-y_o(k)，增广向量ξ(k)＝[x^T(k) e^T(k)]^T，其中，上标T表示转置，得到所述第二步中的增广系统：

其中，A_ξ，A_ξd，E_ξ，F_ξ，C_ξ，C_ξd，G_ξ，H_ξ为增广系统的参数矩阵，当这些参数矩阵均为非负，则此系统为正系统；ψ(θ)为增广系统的初始状态；增广正系统满足l₁/l_-性能，即鲁棒性/故障灵敏度的充分条件分别如下：

其中，sup表示上确界，inf为下确界，||■||₁表示向量的一范数，∞表示无穷大；γ和β为两个给定正数，分别代表l₁和l_-性能指标。

4.根据权利要求1所述基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统故障检测方法，其特征在于，所述第三步中，选择残差评价函数

基于此，选定阈值为

其中，T′表示时间窗口，

表示干扰w在区间[0，T′]内的l₁范数，当残差评价函数大于阈值时，就能成功检测出故障并报警，即如下故障检测方案：

5.根据权利要求1所述基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统故障检测方法，其特征在于，所述第四步中，设L＝L⁺-L^-，L⁺为滤波器增益矩阵中正数位置元素不变，其余位置为0的矩阵，L^-为滤波器增益矩阵中负数位置元素取其绝对值，其余位置为0的矩阵；由此得知，L⁺，L^-所有元素均为非负，表示为L⁺≥0，L^-≥0；由于其中的增广系统(3)为正系统，稳定且满足l₁性能，以及l_-性能的充分条件为：

A_ξ≥0，A_ξd≥0，E_ξ≥0，F_ξ≥0，

C_ξ≥0，C_ξd≥0，G_ξ≥0，H_ξ≥0， (4)

其中，1_c表示所有元素均为1的列向量，v和μ分别代表满足l₁和l_-性能条件中的决策变量，且

通过参数的上下界放缩，得到上述条件(4)(5)(6)分别对应的充分条件：

A _ξ≥0，A _ξd≥0，E _ξ≥0，F _ξ≥0，

C _ξ≥0，C _ξd≥0，G _ξ≥0，H _ξ≥0， (7)

6.根据权利要求5所述基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统故障检测方法，其特征在于，所述第五步，包括以下步骤：

5.1)考虑带约束的优化目标：

其约束为所述第四步具有高灵敏度的鲁棒滤波器存在的充分条件，且v＝[v₁ ^T，v₂ ^T]^T，μ＝[μ₁ ^T，μ₂ ^T]^T，即，v₁，v₂和μ₁，μ₂分别为v和μ向量的一部分；

5.2)由于所述第四步具有高灵敏度的鲁棒滤波器存在的充分条件求解为双线性问题，则采用一种迭代算法，将耦合的参数进行解耦，从而将双线性问题转化为线性规划问题，并利用YALMIP工具箱解出所需的滤波器参数。

7.根据权利要求6所述基于鲁棒滤波器的正线性网络控制系统故障检测方法，其特征在于，所述步骤5.2)中，迭代算法包括以下步骤：

①设变量κ＝1，其中，κ表示参数处于第κ步迭代，找到使增广系统(3)为正系统且稳定的初始滤波器参数(L⁺)¹，(L^-)¹，即求解以下线性规划问题：

其中，M、N为待定未知矩阵，定义对角矩阵

M、N满足M＝(L⁺)^TV，N＝(L^-)^TV；利用YALMIP工具箱可直接解出M和N，并进一步得到(L⁺)¹＝(MV^-1)^T，(L^-)¹＝(NV^-1)^T；

②固定(L⁺)^κ，(L^-)^κ，最小化满足下列约束条件的γ^κ-β^κ：

解出最优的决策变量

③固定

最小化满足下列约束条件的γ^κ-β^κ：

解出最优的滤波器参数(L⁺)^κ，(L^-)^κ。

④将前后两次所得γ-β的值作对比，若|(γ^κ-β^κ)-(γ^κ-1-β^κ-1)|≤∈，其中∈为给定充分小的正数，则停止迭代，此时的滤波器参数即为所求；否则，设置κ：＝κ+1，(L⁺)^κ：＝(L⁺)^κ-1，(L^-)^κ：＝(L^-)^κ-1，再返回步骤②。

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