CN107168053B - 一种具有随机滤波增益变化的有限域滤波器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种具有随机滤波增益变化的有限域滤波器设计方法，包括：步骤1，建立具有随机滤波增益变化和量化效应的离散时变随机非线性系统数学模型；步骤2，设计方差约束和H_∞有限域滤波器。

Description

一种具有随机滤波增益变化的有限域滤波器设计方法

技术领域

本发明涉及一种滤波器设计方法，特别是一种具有随机滤波增益变化的有限域滤波器设计方法。

背景技术

滤波或状态估计是控制工程和信号处理领域的基础性问题，在航空航天、工业过程控制、自动控制系统中得到了广泛的应用。在实际过程中，通常使用估计误差小于某一上界作为滤波系统的性能指标。比如，在高机动目标的跟踪中，只需要估计误差小于某一上界，而并不需要最小，因此，对方差约束滤波问题的研究具有重要的意义。

网络技术在带来便利的同时，也从以下两个方面对滤波器的设计提出了挑战：一方面，网络技术实现了被控对象和滤波器在地理空间上的分离，滤波参数通过网络传输时，可能会发生微小的随机变化；另一方面，由于数字计算机存储系统的字长是有限的，滤波参数连续信号在进入计算机系统之前必须进行量化，所以会产生截断误差。

现有的滤波器设计研究大都默认滤波器参数能够准确实现，而实际情况中，由于环境变化、仪器精度、未知干扰等因素的影响，滤波器结构参数会发生摄动。Keer等证明，对于通过H₂，H_∞，l₁及μ等方法得到的控制器，其参数极其微小的摄动会破坏系统的稳定性。

发明内容

本发明提供一种具有随机滤波增益变化的有限域滤波器设计方法，该方法对具有随机滤波增益变化和量化效应的一类离散时变随机非线性系统，提出基于方差约束下的H_∞有限域滤波器设计方法。

一种具有随机滤波增益变化的有限域滤波器设计方法，包括：

步骤1，建立具有随机滤波增益变化和量化效应的离散时变随机非线性系统数学模型；

步骤2，设计方差约束和H_∞有限域滤波器；

步骤3，验证方差约束和H_∞有限域滤波器设计方法的有效性。

本发明使用方差约束和H_∞技术来设计一类离散时变随机非线性系统的有限域滤波器。所设计的滤波器考虑了随机发生的网络诱导滤波增益变化，并利用扇形有界不确定性技术处理量化效应，降低系统运算的复杂度。综合运用Schur complement和S-procedure引理得到滤波器的LMI表达形式，并给出了有限域滤波器参数求解的迭代算法。同时本发明能够处理网络诱导参数增益变化和量化效应对滤波性能的影响，在滤波器LMIs表达形式有解的情况下，保证系统满足H_∞性能指标和协方差性能指标。仿真结果验证了算法的有效性，说明达到了预期的设计目标。

下面结合说明书附图对本发明作进一步描述。

附图说明

图1是本发明的方法流程图。

图2是状态x₁(k)及其估计

示意图。

图3是状态x₂(k)及其估计

示意图。

图4是输出z(k)及其估计

示意图。

具体实施方式

一种具有随机滤波增益变化的有限域滤波器设计方法，按以下步骤实现：

步骤一、建立具有随机滤波增益变化和量化效应的离散时变随机非线性系统数学模型；

步骤二、设计方差约束和H_∞有限域滤波器；

步骤三、验证方差约束和H_∞有限域滤波器设计方法的有效性。

步骤一中所述建立具有随机滤波增益变化和量化效应的离散时变随机非线性系统数学模型具体为：

考虑定义在k∈[0，N]上的离散时变随机非线性系统：

其中

是状态向量，

是过程输出，

是待估信号。w(k)是定义在概率空间(Ω，F，Prob)上的一维零均值高斯白噪声序列并且满足

A(k)，A₁(k)，B(k)，C(k)，D₁(k)，D₂(k)是维数适当的已知实时变矩阵。

r(k)是取值为1或0且服从如下Bernoulli分布的随机变量：

其中

是已知常数。

f(k，x(k))是满足下面条件的非线性函数

||f(k，x(k))|²≤θ(k)||G(k)x(k)||² (3)

其中k∈[0，N]，θ(k)＞0为已知正实数，G(k)是已知矩阵。

和

是l₂[0，N]中的外部扰动且满足

其中W是一已知正定矩阵。

考虑测量信号的量化效应，定义量化器h(·)＝[h₁(·) h₂(·) … h_r(·)]^T，则量化过程的对应关系为：h(y(k))＝[h₁(y⁽¹⁾(k)) h₂(y⁽²⁾(k)) … h_r(y^(r)(k))]^T

量化器为对数量化器，并满足对称关系，即h_j(-y)＝-h_j(y) (j＝1，2，…，r)，对每一个h_j(·)(1≤j≤r)，量化水平集具有如下形式：

其中χ_j(j＝1，2，…，r)为量化密度。每个量化水平对应一个区间，则每个量化水平集正好覆盖整个区间。选取如下的量化函数：

其中

由上式可知：h_j(y^(j)(k))＝(1+Δ(j)(k))y^(j)(k)|Δ^(j)(k)|≤δ_j。所以，可以将量化效应转化成扇形有界的不确定性。

定义Δ(k)＝diag{Δ⁽¹⁾(k)，Δ⁽²⁾(k)…，Δ^(r)(k)}，Δ＝diag{δ₁，δ₂，…，δ_r}，则未知实值时变矩阵

满足F(k)F^T(k)≤I。具有量化效应的测量输出可以表示如下：

h(y(k))＝(I+Δ(k))y(k)＝(I+Δ(k))(B(k)x(k)+D2(k)v(k)) (5)

考虑到随机发生的滤波增益变化，采用如下的时变滤波器结构：

其中

是状态估计，

是估计输出，A_f(k)，B_f(k)，C_f(k)是待求的适维滤波器参数矩阵。参数不确定性ΔA_f(k)，ΔB_f(k)，ΔC_f(k)定义为：

ΔA_f(k)=H_A(k)Δ_A(k)E_A(k)

ΔB_f(k)＝H_B(k)Δ_B(k)E_B(k)

ΔC_f(k)＝H_C(k)Δ_C(k)E_C(k)

矩阵H_o(k)，E_o(k)已知，不确定矩阵Δ_o(k)满足

其中o＝A，B，C。

随机变量α(k)，β(k)，γ(k)互不相关且服从Bernoulli分布，它们满足

其中

是已知实数。

令

得到如下增广系统

其中

增广系统(8)的状态协方差矩阵定义为

滤波器设计的目标是使得下列两个条件同时成立：

对于给定的实数γ＞0，矩阵S＞0及初始状态η(0)，系统的H_∞性能指标：

其中

对于给定的正定矩阵序列{Ψ(k)}0＜k≤N，采样时刻k，估计误差协方差指标满足：

步骤二中所述设计方差约束和H_∞有限域滤波器包括以下五个部分

在滤波器设计之前，先给出下面将要用到的引理：

引理1:(Schur complement)给定常数矩阵S₁，S₂和S₃，其中

那么

当且仅当

引理2:(S-procedure)N＝N^T，H和E是适当维数的实矩阵，且F^T(t)F(t)≤I。

则不等式N+HFE+(HFE)^T＜0，当且仅当存在一个正实数ε使得N+εHH^T+ε^-1E^TE＜0，或者，等价地，

引理3：对于任意向量a,b∈Rⁿ，有

ab^T+ba^T≤aa^T+bb^T (14)

引理4：对于任意向量a∈Rⁿ，总有

aa^T≤trace(aa^T)I (15)

(一)H_∞性能分析，为了方便讨论，做如下假设：

其中，γ为正实数，S为正定矩阵，{τ₁(k)}_0≤k≤N-1为实数序列，{Q(k)}_1≤k≤N为正定矩阵序列，且满足满足Q(0)≤γ²[I -I]^TS[I -I]，

定义

代入(8)，得到

其中

添加零项

到

得到

其中

根据(3)，容易得到

对上式两边令k从0到N-1求和，得到

根据上面的不等式可以得到

注意到Λ＜0,Q(N)＞0及初始条件Q(0)≤γ²[I -I]^TS[I -I]，所以J＜0，那么系统的H_∞性能指标得到满足。

(二)方差性能分析，为了讨论的方便，做如下假设：

P(k+1)≥Φ(P(k)) (23)

其中{P(k+1)}_0≤k≤N为正定矩阵序列，且满足

由(9)，知

根据引理4，得到

及引理3，有

以，由(24)，得到

运用归纳法，很显然

成立，令

那么

有如下不等式成立

那么系统的方差约束性能指标得到满足。

(三)在统一的框架下考虑系统方差约束和H_∞性能指标，运用Schur Complement引理对(一)(二)的假设条件进行处理，得到假设条件如下等价表述：

其中，(29)对应于(16)，(30)对应于(23)。

(四)方差约束和H_∞有限域非脆弱滤波器设计，在(三)工作的基础上，综合运用S-procedure和Schur Complement引理，消除矩阵不等式(29)(30)中的非线性项，从而得到一组线性矩阵不等式(LMIs)，如下所示：

其中，

Ξ₅＝[A₁(k) 0 0 0 0 0]，Ξ₆＝[C(k) -C_f(k) 0 0 0 0]

γ为正实数，S为正定矩阵，{Ψ(k)}_0≤k≤N+1为方差上界矩阵序列，

及

为正定矩阵序列，

{τ₁(k)}_0≤k≤N，{∈₁(k)}_0≤k≤N，{∈₂(k)}_0≤k≤N，{∈₃(k)}_0≤k≤N，{∈_A(k)}_0≤k≤N，

{∈_B(k)}_0≤k≤N，{∈_C(k)}_0≤k≤N，

为实数序列，

{P₃(k)}_1≤k≤N+1，{A_f(k)}_0≤k≤N，{B_f(k)}_0≤k≤N，{C_f(k)}_0≤k≤N为实值矩阵序列，且满足

下面介绍详细设计过程，首先对变量P(k)和Q(k)做如下分解：

因此，条件Q(0)≤γ²[I -I]^TS[I -I]和

与(34)等价。

为了对(29)中的不确定参数Δ(k)进行估计，将(29)重写为如下等价式：

N(k)+H(k)F(k)E(k)+(H(k)F(k)E(k))T＜0 (36)

其中

根据S-procedure引理，得到

很明显在(37)只存在不确定性参数Δ_A(k)，Δ_B(k)，Δ_C(k)，为了估计它们，可以将上式重写为

其中

那么，由SchurComplement和S-procedure引理，(29)等效于(31)。类似地，可以得到(30)等效于(32)，至此完成了方差约束和H_∞有限域非脆弱滤波器的设计。

(五)H_∞和协方差有限域滤波器设计算法(NFD)概括如下

步骤1，对于给定的正实数γ＞0，正定矩阵S＞0,初始状态误差

及方差约束矩阵Ψ(0)。选取合适的初始值{Q₁(0)，Q₂(0)，Q₃(0)，P₁(0)，P₂(0)，P₃(0)}满足初始条件(32)，令k＝0；

步骤2，时刻k，通过求解线性矩阵不等式组(31)-(33)得到矩阵

及滤波器矩阵参数A_f(k)，B_f(k)，C_f(k)；

步骤3，令k＝k+1，调用更新表达式(35)得

步骤4，如果k＜N,那么执行步骤2,否则执行下一步；

步骤5，结束。

步骤三中验证方差约束和H_∞有限域滤波器设计方法有效性的具体方式如下：

通过给出一个数值仿真实例，利用Matlab/LMI工具箱对所设计的滤波器参数进行求解，并验证方差约束和H_∞性能指标。

考虑如下离散系统：

零均值噪声ω(k)服从标准正态分布，非线性函数f(k，x(k))及外部扰动w(k)，v(k)如

下

随机变量r(k)，α(k)，β(k)，γ(k)的期望为

指数量化器h(·)的参数为χ₁＝0.3，χ₂＝0.6且不确定参数F(k)满足F^T(k)F(k)≤I。

滤波器增益变化中的已知矩阵参数H_o(k)，E_o(k) (o＝A，B，C)如下

H_C(k)＝0.2，H_C(k)＝[0.1+0.2exp(-k) 0]

且不确定参数Δ_o(k)满足

初始状态x(0)＝[0.26 -0.4]^T，初始估计状态

正实数γ＝0.5，正定矩阵S＝diag{8，8},Ψ(0)＝[1.4036，-0.0144；-0.0144，1.4036]，

Ψ(k)＝diag{0.2，0.2} （k＝1，…，N)，Q₁(0)＝diag{1，1},Q₂(0)＝diag{1，1},Q₃(0)＝0及

验证结果如图2-4所示，图2、3分别给出了状态变量x₁(k)-x₂(k)及它们的估计量

图4给出了输出z(k)和它的估计量

通过对仿真结果的计算得到H_∞性能指标J＝-0.1236，并验证了

对所有的k＝0，…，N成立。仿真结果说明了本发明所提出的滤波器设计方法的有效性。

综上所述，本发明给出了一类离散时变随机非线性系统的方差约束和H_∞有限域滤波器设计方法，所设计的滤波器具有随机发生的滤波增益变化且受量化作用影响。随机非线性现象是由服从Bernoulli分布规律的随机变量描述的在两种非线性扰动之间的二元切换；滤波增益的随机变化用来描述受网络带宽影响发生的滤波器参数的微小随机变化；量化器采用指数型，并通过一定的方法将量化不确定转化为扇形有界不确定以降低问题的复杂性。在非线性干扰和外部扰动为非零均值时，成功进行方差约束设计。通过解一组递推线性矩阵不等式，给出了使滤波误差系统同时满足方差约束和H_∞性能指标的滤波器存在的充分条件。最后，通过一个仿真实例说明了所提出的滤波器设计方法的有效性。

Claims (1)

1.一种具有随机滤波增益变化的有限域滤波器设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立具有随机滤波增益变化和量化效应的离散时变随机非线性系统数学模型；

步骤2，设计H_∞和L₂-L_∞有限域滤波器；

步骤1中所述建立具有随机滤波增益变化和量化效应的离散时变随机非线性系统数学模型具体为：

考虑定义在k∈[0，N]上的离散时变随机非线性系统：

其中

是状态向量；

是过程输出；

是待估信号；

和

是l₂[0，N]中的外部扰动输入；A(k)，C(k)，L(k)，D₁(k)，D₂(k)是维数合适的已知实时变矩阵，r(k)是取值为1或0且服从如下Bemoulli分布的随机变量，期望值为

f(.，.)：R⁺×Rⁿ→Rⁿ和g(.，.)：R⁺×Rⁿ→Rⁿ是非线性向量函数且满足条件f(k，0)＝0，g(k，0)＝0及

其中矩阵B₁(k)，B₂(k)已知，δ(k)是任意列向量；

具有量化效应的测量输出可以表示如下：

h(y(k))＝(I+Δ(k))y(k)＝(I+Δ(k))(C(k)x(k)+D₂(k)v(k)) (3)

考虑到随机发生的滤波增益变化，采用如下的时变滤波器结构：

其中

是状态估计，

是估计输出，K(k)是待求的滤波器矩阵，随机发生的滤波器增益变化定义为：ΔK(k)＝H_o(k)Δ_o(k)E_o(k)，其中H_o，E_o已知，未知不确定矩阵Δ_o满足

与r(k)不相关的随机变量α(k)服从Bernoulli分布，它被用来描述随机发生的滤波增益变化，期望值为

令

η(k)＝[x^T(k) e^T(k)]^T，结合(1)、(3)、(4)，得到如下增广系统：

其中

H(k，x(k))＝[f^T(k，x(k))g^T(k，x(k))]^T

滤波器设计的目标是使得下列两个条件同时成立：

对于给定的实数γ＞0，矩阵S＞0及初始状态η(0)，系统的H_∞性能指标：

其中

对于给定的实数δ＞0，矩阵R＞0及初始状态η(0)，系统的L₂-L_∞性能指标：

其中

步骤2包括以下五个部分：

(一)H_∞性能分析，定义J₁(k)：＝η^T(k+1)Q(k+1)η(k+1)-η^T(k)Q(k)η(k)，代入(5)，得到

在上式两边添加零项

并考虑

得到

在式(9)两边对k从0到N-1求和，得到

从而得到，满足H_∞性能的充分条件；

(二)L₂-L_∞性能分析，定义

运用与H_∞性能分析中类似的处理方法，得到

假设Ω＜0及

得到

从而得到满足L₂-L_∞性能的充分条件；

(三)在统一的框架下考虑系统H_∞和L₂-L_∞性能指标，运用Schur Complement引理对(一)(二)满足性能指标的充分条件进行处理，得到充分条件如下等价表述，是(四)滤波器设计的基础工作；

(四)H_∞和L₂-L_∞有限域非脆弱滤波器设计，在(三)工作的基础上，综合运用S-procedure和Schur Complement引理，消除矩阵不等式中的非线性项，从而得到一组LMIs，如下所示：

其中

γ和δ为正实数，S和R为正定矩阵，{∈₁(k)}_0≤k≤N-1，{∈₂(k)}_0≤k≤N-1，{ε₁(k)}_0≤k≤N-1，{ε₂(k)}_0≤k≤N-1，{ε₃(k)}_0≤k≤N-1及{ε₄(k)}_0≤k≤N-1为正实数序列，

及

为正定矩阵序列，{K(k)}_0≤k≤N-1为实值矩阵簇，且满足

(五)H_∞和L₂-L_∞有限域非脆弱滤波器设计求解算法概括如下

步骤5.1，给定正实数γ＞0，δ＞0，正定矩阵S＞0，R＞0，L(0)，选取合适的初始值{Q₁(0)，Q₂(0)，P₁(0)，P₂(0)}满足初始条件(19)，令k＝0；

步骤5.2，在时刻k求解线性矩阵不等式组(16)-(18)得到矩阵

及滤波器矩阵参数K(k)；

步骤5.3，令k＝k+1，调用更新表达式(20)得到{Q₁(k)，Q₂(k)，P₁(k)，P₂(k)}；

步骤5.4，如果k＜N，那么跳到步骤5.2，否则进入下一步；

步骤5.5，结束。

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