CN105301968B

CN105301968B - 一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法

Info

Publication number: CN105301968B
Application number: CN201510861726.9A
Authority: CN
Inventors: 李传江; 孙延超; 高寒; 马晶晶; 常雅杰; 马广富
Original assignee: Harbin Institute of Technology
Current assignee: Harbin Institute of Technology
Priority date: 2015-11-30
Filing date: 2015-11-30
Publication date: 2018-04-24
Anticipated expiration: 2035-11-30
Also published as: CN105301968A

Abstract

本发明是一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法，属于航天领域。本发明为解决敏感载荷的隔振问题提供了一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法。具体步骤包括：步骤一、通过建立Stewart平台的运动学及动力学模型；步骤二、计算Stewart平台的状态空间；步骤三、根据状态空间表达式设计反步滑模控制器；步骤四、计算反步滑模控制器的稳定性。本发明方法具有控制精度高，鲁棒性好的优点。

Description

一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法

技术领域

本发明属于航天领域，具体涉及一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法。

背景技术

在航天领域许多高精密的仪器、设备在使用过程中，都需要一个相对稳定环境，因此无法避免的要面对隔振的问题，隔振性能的优劣决定着仪器性能的发挥。面对越来越复杂的外部环境和性能要求，采用被动隔振方式已经难以满足需求。相比于被动隔振，主动隔振系统精度高、响应快、隔振性能优良。在主动隔振中，Stewart平台是目前被广泛研究的隔振系统之一，它是一种具有6个自由度的并联机构，可以隔离来自多个方向的振动。采用主动控制设计的Stewart平台，能够取得良好的隔振效果，国内外许多学者都对此进行了深入研究。

2003年Chen H J和Bishop Jr发表的《使用负载指向和主动隔振平台》文章介绍了采用多误差最小均方算法的Stewart平台隔振控制方法如图3，设计时通过LMS算法修正滤波器的参数动态调整前馈信号的大小，使得平台输出与扰动的误差最小以达到隔振的目的。但通过观察滤波器更新公式的可以发现，公式中需要选取合适的调整系数以达到较好收敛性，同时在整体设计过程中，需要知道一个或者多个与扰动相关的信号，才能达到预期的隔振效果。

2008年Lei L和Benli W发表的《通过H∞和μ合成多目标稳健为挠曲振动主动控制贴合Stewart平台》文章针对Stewart平台的隔振问题，提出了一种多目标的Η∞和μ综合控制算法如图4，用来识别较低频率的姿态指向指令同时抑制较高频的振动干扰。但方案中只建立了单一支杆的模型，在控制器设计时也只简单考虑了作动器的输出不确定性，并没有对Stewart平台的其他不确定性进行了综合考虑。

2015年徐高楠,黄海,李伟鹏发表的《空间挠性结构的Stewart平台主动基座振动控制》，文章介绍了空针对卫星所带挠性附件的振动问题，采用基于线性自抗扰控制器的Stewart平台的主动基座振动控制策略。建立平台上平面基座和柔性梁刚柔耦合动力学模型如图5；针对挠性结构的一阶和二阶模态设计线性自抗扰控制器，包括扩张观测器以及PD控制器，并分析了控制器的输入输出稳定性。该控制算法对低频模态的振动有较好的抑制效果，但实验过程中并没有对高频模态的振动进行分析，且振动衰减时间有待提高。

发明内容

本发明为了解决6自由度主被动隔振问题，进而提出了一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法，建立以音圈电机为执行机构的Stewart平台的运动学和动力学模型并对模型进行合理变换，将平台等效成6个单入单出的子系统，计算反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制的稳定性。

步骤一：建立Stewart平台的运动学和动力学模型；

步骤二：计算Stewart平台的状态空间；

步骤三：根据Stewart平台的状态空间，设计反步法滑模控制器；

根据Stewart平台的状态空间，设计反步法滑模控制器，如下式：

其中，u＝[u₁,u₂,…,u₆]^T,u_i(i＝1,…,6)为控制律即反步滑模控制器表达式，B∈R^6×6为Stewart平台的阻尼矩阵，A表示平台的系数矩阵，x＝[x₁,x₂,x₃]^T,x₁＝χ,χ表示上平台的广义位置向量；s为滑模面，w_m∈R⁶—电机中外部振动引起的干扰向量；c₁,c₂,k_t1,k_t2,k,η,——反步滑模控制器参数，其中，k_t1>0,k_t2>0，k>0,η>0, 为控制器待设计参数，z₁为跟踪误差，为跟踪误差的二阶导数，z₂为虚拟控制量，广义加速度的一阶导数，x_d,分别为期望广义位置，速度，加速度；

在控制律(28)的作用下

|H|>0 (29)

其中，正定的矩阵得到如下公式；

步骤四、计算反步滑模器的稳定性。

发明效果

(1)现有技术的控制方法都没有考虑执行机构，本发明建立了音圈电机作动器的动力学方程；

(2)现有技术的控制方法是基于关节空间进行设计，控制精度有限，本发明基于工作空间进行控制，控制精度更高；

(3)本发明专利设计的基于反步滑模的主动隔振控制器，相比于现有技术，具有更高的干扰抑制能力与更好的鲁棒性。

附图说明

图1是基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法的流程框图；

图2是Stewart平台的向量表示图；

图3是平台结构框图，其中Disturbance Sourece是干扰源；Disturbance，d(k)是干扰信号；Reference，x(k)是参考信号；Control Signal，g(k)是控制信号；p₁是主平台；p₂是UQP平台；W是FIR Filter即FIR滤波器；C是UQP平台的FIR滤波器模型；Error，ε(k)是误差信号；Filtered Reference，r(k)是滤波参考信号；Sensor是传感器；LMS Algorithm是LMS算法；

图4是执行机构结构图，其中，m_b是平台质量，m_s是支柱质量，m_p是负荷质量，k_p是寄生刚度系数，c_p是寄生阻尼系数，k₂是连接器刚度系数，c₂是连接阻尼系数，k₁是执行器刚度系数，c₁执行器阻尼系数，u是执行器输出，r是姿态控制信号，x_s是支柱质量块位移，x_p是负荷质量块位移，x_b是平台质量块位移；

图5是鲁棒控制器结构图，其中，Gaugm是动力学模型即G，K是控制器，W1是性能权重，W2是控制权重，Wn是噪声权重，Wr是干扰权重，Wu是不确定性权重，y是控制输入，u是控制输出，z₁性能权重输出，z₂是控制权重输出，r是输入，Noise是噪声信号；

图6是开环状态干扰为幅值为1，频率为10Hz的正弦信号时的位移图，其中左图为平动位移、右图为转动位移；

图7是闭环状态干扰为幅值为1，频率为10Hz的正弦信号时的位移图，其中左图为平动位移、右图为转动位移；

图8是开环状态干扰为幅值为1，频率为50Hz的正弦信号时的位移图，其中左图为平动位移、右图为转动位移；

图9是闭环状态干扰为幅值为1，频率为50Hz的正弦信号时的位移图，其中左图为平动位移、右图为转动位移；

图10是开环状态干扰为幅值为1，频率为100Hz的正弦信号时的位移图，其中左图为平动位移、右图为转动位移；

图11是闭环状态干扰为幅值为1，频率为100Hz的正弦信号时的位移图，其中左图为平动位移、右图为转动位移；

图12是开环状态干扰为随机噪声(均值为0，方差为25)时的位移图，其中左图为平动位移、右图为转动位移；

图13是闭环状态干扰为随机噪声(均值为0，方差为25)时的位移图，其中左图为平动位移、右图为转动位移。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法，具体步骤如下：

步骤一：建立Stewart平台的运动学和动力学模型；

步骤二：计算Stewart平台的状态空间；

其中，u＝[u₁,u₂,…,u₆]^T,u_i(i＝1,…,6)为控制律即反步滑模控制器表达式，B∈R^6×6为Stewart平台的阻尼矩阵，A表示平台的系数矩阵，x＝[x₁,x₂,x₃]^T,x₁＝χ,χ表示上平台的广义位置向量；s为滑模面，w_m∈R⁶—电机中外部振动引起的干扰向量；c₁,c₂,k_t1,k_t2,k，η，——反步滑模控制器参数，其中，k_t1>0，k_t2>0，k>0，η>0，为控制器待设计参数，z₁为跟踪误差，为跟踪误差的二阶导数，z₂为虚拟控制量，广义加速度的一阶导数，x_d，分别为期望广义位置，速度，加速度；

在控制律(28)的作用下

|H|>0 (29)

其中，正定的矩阵得到如下公式；

步骤四、计算反步滑模器的稳定性。

本实施方式的有益效果：

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同，所述的一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法，其特征在于所述的步骤一建立隔振平台的运动学和动力学模型：

Stewart平台的上平台和6个支杆的连接点为末端器A_i，i＝1，2，3，下平台与6个支杆的连接点为B_i，i＝1，2，3；{B}为固联于下平台的惯性参考坐标系，{B}原点与下平台的质心重合，{P}为动平台的参考坐标系；r_base是{B}的原点到基座连接点B_i的径向距离，r_end是{P}的原点到基座连接点A_i的径向距离；

隔振平台到基座的转换矩阵表达式如下：

q_i＝x₀+[R₁]p_i-r_i (9)

其中，r_i是在基座坐标系中表示的连接点B_i的位置向量，p_i是在动平台坐标系{P}中表示的末端器A_i的位置向量，x₀是动平台质心C的位置向量，q_i是从B_i到A_i的支杆向量，R₁是动平台到基座的转换矩阵；

支杆的长度定义为

l_i＝|q_i|＝(q_i ^Tq_i)^1/2 (11)

雅克比矩阵J，它把支杆的长度变化与动平台的运动联系到一起，可由虚功原理获得，

其中，q＝(q₁,q₂,…,q₆)^T表示支杆长度的变化，表示上平台的广义位置向量；

立方体构型的Stewart平台的雅克比矩阵可由式(14)给出

其中，L为每个支杆的长度；

由Newton-Euler方法描述的Stewart平台的动力学模型如式(15)所示：

其中，χ∈R⁶，M,B,K∈R^6×6分别表示惯性矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，表示向心力和柯氏加速度向量，Δ_s∈R⁶表示模型不确定性，包括参数不确定性、未建模动态等，τ∈R⁶表示由6个支杆的执行机构产生的广义驱动力，w_s∈R⁶表示由外部振动引起的干扰向量；

惯性矩阵公式如下：

M＝M_x+J^TM_sJ (16)

其中，m为载荷的质量，I∈R^3×3为转动惯量矩阵，J∈R^6×6为Jacobian矩阵，M_s＝diag([m₁,m₂,m₃,m₄,m₅,m₆]),m_i(i＝1,…6)为可动支杆的质量；

阻尼矩阵公式如下：

其中，b_i,k_i(i＝1,…,6)分别为支杆的阻尼系数和刚度系数；

τ＝J^Tf_m，f_m∈R⁶是由每个支杆产生的驱动力；

每个支杆的驱动力由一个线性的音圈电机产生的，根据音圈电机的电磁特性，沿支杆轴向方向的驱动力表示为f_m＝K_mi_m，其中，

K_m＝diag([k_m1,k_m2,k_m3,k_m4,k_m5,k_m6]),k_mi(i＝1,…,6)为音圈驱动电机的力矩系数，

i_m＝[i₁,i₂,…,i₆]^T,i_j(j＝1,…,6)为线圈的电流强度；

根据音圈驱动电机的电压平衡方程，Stewart平台的六个执行机构的动力学模型如以下公式：

其中，Δ_m∈R⁶表示音圈电机的不确定性；

L＝diag([l_m1，l_m2,l_m3,l_m4,l_m5,l_m6]),l_mi(i＝1,…,6)表示电感系数；

R＝diag([r_m1,r_m2,r_m3,r_m4,r_m5,r_m6]),r_mi(i＝1,…,6)表示直流电机的电阻；

K_e＝diag([k_e1,k_e2,k_e3,k_e4,k_e5,k_e6]),k_ei(i＝1，…，6)表示反电动势；

u＝[u₁，u₂，…，u₆]^T，u_i(i＝1，…，6)表示控制电压即控制律，w_m∈R⁶表示由外部振动引起的干扰向量，将会影响执行机构的性能；

将执行机构的动力学方程(18)代入Stewart平台的动力学方程(15)中，忽略向心力和柯氏加速度项，得到动力学方程如式(19)所示：

设Stewart平台各个支杆的参数都相同，

M_s＝m_sI₆，R＝r_mI₆，K_m＝k_mI₆，L＝l_mI₆，K_e＝k_eI₆，其中，是单位阵，得到

其中

高度耦合的Stewart平台被解耦成6个单入单出的通道，每个通道设计单入单出的主动隔振控制器。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同，所述的一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法，其特征在于所述的步骤二计算Stewart平台的状态空间：

根据公式(20)为令x₁＝χ，得到Stewart平台的状态空间表示如式(21)所示：

其中

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一或二不同，所述的一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法，其特征在于所述的步骤三根据Stewart平台的状态空间，设计反步法滑模控制器的过程如下：

设期望广义位置，速度，加速度指令为x_d,

步骤三一、跟踪误差为z₁＝x₁-x_d，则

选取Lyapunov函数为

设其中，c₁为正常数，z₂为虚拟控制量，则且

步骤三二、定义其中，c₂为正常数，z₃为虚拟控制量，则

选取Lyapunov函数为

对公式(25)求导得

步骤三三、设滑模面s为

s＝k_t1z₁+k_t2z₂+z₃ (27)

其中，k_t1>0，k_t2>0；

通过公式(23)-(27)得到(28)反步法滑模控制器的表达式。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一或二不同，所述的一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法，其特征在于对设计的反步法滑模控制器进行稳定性计算的步骤，具体为：

Lyapunov函数为

得到

带入控制律(28)，得

设

定义z＝[z₁，z₂，z₃]^T，则

选择参数|H|>0，H正定的矩阵为，

V₃在t∈[0，∞)上是非增函数，V₃(t)≤V₃(0)<∞；

根据式(27)和式(36)，z₁(t)，z₂(t)，z₃(t)，s(t)，当t≥0时是有界的，又

有设x_d，又

得到由式(37)知是一致连续的；

根据式(38)，得到根据Barbalat引理得到得到即得到

实施例

步骤一、设置仿真参数

载荷质量m＝12.4kg，上平台和有效载荷的转动惯I_sx＝I_sy＝0.157kg·m²,I_sz＝0.313kg·m²；每个支杆标称长度：L＝0.2m；每个支杆质量：m_s＝1kg；每个支杆的阻尼系数和刚度系数分别为：b＝19.1kg/s,k＝2000N/m；音圈电机的参数：力矩系数k_m＝68.9N/A，电感l_m＝4.57mH，直流电机阻抗r_m＝6.05Ω，反电动势系数k_e＝68.9V·s/m；反步滑模控制控制器参数分别为c₁＝10,c₂＝15,k_t1＝10,k_t2＝2.5,k＝1,η＝0.001，

步骤二、仿真分析

选取有代表性的宽频带的正弦信号干扰和随机噪声进行仿真验证，仿真结果如图6-图13所示：

由图6-图13得出，本发明设计的反步滑模控制有效隔离了系统的振动，尤其对中高频的正弦信号的干扰和随机噪声的隔振作用更明显；由于反步滑模控制通过在每一步的设计中引入后一个子系统的虚拟控制量进行镇定，采用静态补偿，完成对整个系统的镇定；与滑模控制相结合，对干扰的抑制能力得到进一步的提高。

Claims

1.一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法，其特征在于所述的反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法按照以下步骤实现：

步骤一：建立Stewart平台的运动学和动力学模型；

步骤二：计算Stewart平台的状态空间；

<mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>B</mi> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mover> <mi>D</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mi>&eta;</mi> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

设计反步法滑模控制器的具体过程如下：

步骤三一、跟踪误差为z₁＝x₁-x_d，则

选取Lyapunov函数为

设其中，c₁为正常数，z₂为虚拟控制量，则且

<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

步骤三二、定义其中，c₂为正常数，z₃为虚拟控制量，则

选取Lyapunov函数为

对公式(25)求导得

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

步骤三三、设滑模面s为

s＝k_t1z₁+k_t2z₂+z₃ (27)

其中，k_t1>0,k_t2>0；

通过公式(23)-(27)得到(28)反步法滑模控制器的表达式；

在控制律(28)的作用下

|H|>0 (29)

其中，正定的矩阵得到如下公式；

<mrow> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&RightArrow;</mo> <mi>&infin;</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&RightArrow;</mo> <mi>&infin;</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&RightArrow;</mo> <mi>&infin;</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&RightArrow;</mo> <mi>&infin;</mi> </mrow> </munder> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

2.根据权利要求1所述的一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法，其特征在于所述的步骤一建立Stewart平台的运动学和动力学模型：

Stewart平台的上平台和6个支杆的连接点为末端器A_i,i＝1,2,3，下平台与6个支杆的连接点为B_i，i＝1，2，3；{B}为固联于下平台的惯性参考坐标系，{B}原点与下平台的质心重合，{P}为动平台的参考坐标系；r_base是{B}的原点到基座连接点B_i的径向距离，r_end是{P}的原点到基座连接点A_i的径向距离；

隔振平台到基座的转换矩阵表达式如下：

q_i＝x₀+[R₁]p_i-r_i (9)

<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>&phi;</mi> <mi>c</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>&phi;</mi> <mi>c</mi> <mi>&psi;</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>&phi;</mi> <mi>s</mi> <mi>&theta;</mi> <mi>s</mi> <mi>&psi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&phi;</mi> <mi>s</mi> <mi>&psi;</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>&phi;</mi> <mi>s</mi> <mi>&theta;</mi> <mi>c</mi> <mi>&psi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&phi;</mi> <mi>c</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>&phi;</mi> <mi>c</mi> <mi>&psi;</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>&phi;</mi> <mi>s</mi> <mi>&theta;</mi> <mi>s</mi> <mi>&psi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> <mi>&phi;</mi> <mi>s</mi> <mi>&psi;</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>&phi;</mi> <mi>s</mi> <mi>&theta;</mi> <mi>c</mi> <mi>&psi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>&theta;</mi> <mi>s</mi> <mi>&psi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>&theta;</mi> <mi>c</mi> <mi>&psi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

支杆的长度定义为

l_i＝|q_i|＝(q_i ^Tq_i)^1/2 (11)

雅克比矩阵J，它把支杆的长度变化与动平台的运动联系到一起，可由虚功原理获得，即

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>J</mi> <mi>&chi;</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>B</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>&chi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>J</mi> <mover> <mi>&chi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mi>B</mi> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&chi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>J</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mrow> <mmultiscripts> <mi>a</mi> <mi>i</mi> <mo>&times;</mo> <mi>B</mi> </mmultiscripts> <mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mn>6</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mmultiscripts> <mi>a</mi> <mi>B</mi> </mmultiscripts> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mi>R</mi> <mo>&rsqb;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

立方体构型的Stewart平台的雅克比矩阵可由式(14)给出

其中，L为每个支杆的长度；

<mrow> <mi>M</mi> <mover> <mi>&chi;</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mover> <mi>&chi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mover> <mi>&chi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mi>&chi;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>&tau;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，χ∈R⁶，M,B,K∈R^6×6分别表示惯性矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，表示向心力和柯氏加速度向量，Δ_s∈R⁶表示模型不确定性，包括参数不确定性、未建模动态，τ∈R⁶表示由6个支杆的执行机构产生的广义驱动力，w_s∈R⁶表示由外部振动引起的干扰向量；

惯性矩阵公式如下：

M＝M_x+J^TM_sJ (16)

其中，m为载荷的质量，I∈R^3×3为转动惯量矩阵，J∈R^6×6为Jacobian矩阵，M_s＝diag([m₁,m₂,m₃,m₄,m₅,m₆])，m_i(i＝1，…6)为可动支杆的质量；

阻尼矩阵公式如下：

<mrow> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>J</mi> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>B</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>J</mi> <mo>,</mo> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>J</mi> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>K</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>J</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，b_i,k_i(i＝1,…，6)分别为支杆的阻尼系数和刚度系数；

τ＝J^Tf_m，f_m∈R⁶是由每个支杆产生的驱动力；

每个支杆的驱动力由一个线性的音圈电机产生的，根据音圈电机的电磁特性，沿支杆轴向方向的驱动力表示为f_m＝K_mi_m，其中，K_m＝diag([k_m1,k_m2,k_m3,k_m4,k_m5,k_m6]),k_mi(i＝1，…,6)为音圈驱动电机的力矩系数，i_m＝[i₁,i₂,…,i₆]^T,i_j(j＝1,…,6)为线圈的电流强度；

<mrow> <mi>L</mi> <msub> <mover> <mi>i</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Ri</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>e</mi> </msub> <mi>U</mi> </msup> <mi>J</mi> <mover> <mi>&chi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，Δ_m∈R⁶表示音圈电机的不确定性；

L＝diag([l_m1，l_m2，l_m3，l_m4，l_m5，l_m6])，l_mi(i＝1,…，6)表示电感系数；

R＝diag([r_m1，r_m2,r_m3,r_m4,r_m5,r_m6]),r_mi(i＝1,…,6)表示直流电机的电阻；

K_e＝diag([k_e1,k_e2,k_e3,k_e4,k_e5,k_e6]),k_ei(i＝1,…,6)表示反电动势；

u＝[u₁,u₂,…,u₆]^T,u_i(i＝1,…,6)表示控制电压即控制律，w_m∈R⁶表示由外部振动引起的干扰向量，将会影响执行机构的性能；

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>L</mi> <mi>M</mi> <mover> <mi>&chi;</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mi>B</mi> <mo>+</mo> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&chi;</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mi>R</mi> <mi>B</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>e</mi> </msub> <msup> <mi>J</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>J</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&chi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>R</mi> <mi>K</mi> <mi>&chi;</mi> <mo>+</mo> <mi>L</mi> <msub> <mover> <mi>&Delta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R&Delta;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>J</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&Delta;</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>J</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>L</mi> <msub> <mover> <mi>w</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Rw</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>J</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>K</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>w</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

设Stewart平台各个支杆的参数都相同，

M_s＝m_sI₆,R＝r_mI₆,K_m＝k_mI₆,L＝l_mI₆,K_e＝k_eI₆，其中，是单位阵，得到

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>M</mi> <mover> <mi>&chi;</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>bJ</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>J</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>r</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> </mfrac> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&chi;</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>b</mi> </mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>J</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>J</mi> <mover> <mi>&chi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>k</mi> </mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> </mfrac> <msup> <mi>J</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>J</mi> <mi>&chi;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mo>+</mo> <mi>w</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中

3.根据权利要求1或2所述的一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法，其特征在于所述的步骤二计算Stewart平台的状态空间：

根据公式(20)为令得到Stewart平台的状态空间表示如式(21)所示：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>w</mi> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>V</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>d</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中

4.根据权利要求1所述的一种基于反步滑模技术的Stewart平台主动隔振控制方法，其特征在于对设计的所述反步法滑模控制器进行稳定性计算的步骤，具体为：

定义z＝[z₁,z₂,z₃]^T，

根据式(27)和式(36)z₁(t)，z₂(t)，z₃(t),s(t)，当t≥0时是有界的，又有设又得到由式(37)知是一致连续的；

<mrow> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>&infin;</mi> </msubsup> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&infin;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo><</mo> <mi>&infin;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>38</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

根据式(38)，得到根据Barbalat引理得到得到即得到

<mrow> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&RightArrow;</mo> <mi>&infin;</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&RightArrow;</mo> <mi>&infin;</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&RightArrow;</mo> <mi>&infin;</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&RightArrow;</mo> <mi>&infin;</mi> </mrow> </munder> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>39</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>