CN103336435A - 微陀螺仪基于角速度估计的自适应模糊滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于角速度估计的自适应模糊滑模控制方法，并将其应用于三轴微陀螺仪控制系统中，可以实现微陀螺仪系统的轨迹跟踪控制和参数估计。本发明基于微陀螺仪的状态空间方程进行控制器设计，首先，在滑模控制器的基础上设计了一种新型的自适应辨识方法，在线实时更新微陀螺仪的角速度和其它系统参数的估计值；另外利用自适应模糊系统来调节滑模控制切换项中的固定增益，对固定增益的上界值进行模糊逼近，可以减弱滑模控制中出现的抖振现象。应用本发明可以得到良好的跟踪性能，而且对参数变化和外部扰动具有鲁棒性。

Description

微陀螺仪基于角速度估计的自适应模糊滑模控制方法

技术领域

本发明涉及一种微陀螺仪的控制方法，特别涉及一种基于角速度估计的自适应模糊滑模控制方法。

背景技术

微陀螺仪是测量角速度的传感器，因其在结构、体积、成本方面的优势而广泛应用在航空、航海生物医药、汽车、军事和消费电子产品等领域中。但是，由于生产制造过程中的误差存在和环境温度的影响，造成原件特性与设计之间的差异，导致存在耦合的刚度系数和阻尼系数，降低了微陀螺仪的灵敏度和精度。此外，陀螺仪本身属于多输入多输出系统，存在参数的不确定性和外界干扰对系统参数的造成的波动。所以补偿制造误差和外界干扰成为微陀螺仪控制的主要问题。

传统的模糊控制器设计不依靠被控对象的模型，但它却非常依靠控制专家或操作者的经验知识，不便于控制参数的学习和调整，且难以保证控制系统的稳定性。自适应模糊控制则是具有自适应学习算法的模糊逻辑系统，其学习算法是依靠数据信息来调整模糊逻辑系统的参数，且可以保证控制系统的稳定性，但这些控制方案都是用误差和误差变化率作为模糊输入变量，所以在实际中需要较多的模糊规则。而模糊滑模控制是用滑模面作为模糊输入变量，可以大大的减少模糊规则。

发明内容

本发明是为避免参数不确定性和外界干扰对三轴微陀螺仪控制系统的影响，提供了一种基于角速度估计的自适应模糊滑模控制方法，该自适应模糊滑模控制方法可以补偿参数不确定性和环境干扰，并且正确估计出角速度和有效的降低传统滑模控制方法中的抖振现象。为达到上述技术目的，本发明采用的技术方案为：

微陀螺仪基于角速度估计的自适应模糊滑模控制方法，包括以下步骤

1）建立微陀螺仪无量纲动态方程；

2）建立微陀螺仪的参考模型；

3）设计基于角速度估计的自适应模糊滑模控制器，具体为

3-1）设计等效控制器，对滑模切换面S求导，令

不考虑不确定性和外加干扰，得到等效控制力u_eq，u_eq＝K^*TX-(CB)^-1CA_me

其中， $K^{*T}=\left[\begin{array}{cccccc}{{\mathrm{\ω}}_x}^2-{{\mathrm{\ω}}_1}^2& d_{\mathrm{xx}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xy}}-{2\mathrm{\Ω}}_z& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{xz}}+{2\mathrm{\Ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xy}}+{2\mathrm{\Ω}}_z& {{\mathrm{\ω}}_y}^2-{{\mathrm{\ω}}_2}^2& d_{\mathrm{yy}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{yz}}-{2\mathrm{\Ω}}_x\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{xz}}-{2\mathrm{\Ω}}_y& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& (d_{\mathrm{yz}}+{2\mathrm{\Ω}}_x)& {{\mathrm{\ω}}_z}^2-{{\mathrm{\ω}}_3}^2& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$ 为一个常数矩阵，满足A+BK^*T＝A_m，

X为微陀螺仪的轨迹状态，X_m为参考模型的轨迹状态

e为跟踪误差，满足e＝X-X_m

S为滑模切换面函数，满足S＝Ce，C为滑模系数

A和B为微陀螺仪状态方程的状态参量，A_m为参考模型状态方程的状态参量；

3-2）考虑到所述等效控制力u_eq中，K^*未知，用K^*的估计值K代替K^*，自适应调节K的参数，并增加切换控制器，

得到自适应滑模控制律φ，φ＝u_eq+u_sw＝K^TX-(CB)^-1CA_me-fsgn(S)

其中，u_eq=K^TX-(CB)^-1CA_me为等效控制器的输出；u_sw＝-fsgn(S)为切换控制器的输出，实现对不确定性和外加干扰的鲁棒控制，f为固定增益，是系统本身的不确定性和外加干扰总量f_m的上界值；

3-3）基于Lyapunov函数，设计等效控制器中的自适应参数K的自适应律，实现系统参数和角速度的自适应辨识，保证整个闭环系统的全局渐进稳定性，

Lyapunov函数V₁为， $V_1=\frac{1}{2}{S}^{T}S+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\tilde{K}}^T\right]$

自适应律

为， ${\stackrel{.}{K}}^T\left(t\right)=-{\mathrm{MB}}^T{C}^T{\mathrm{SX}}^T$

其中，估计误差

满足M为对称正定矩阵；

3-4）由于f_m未知，利用自适应模糊控制，设计切换控制器，使其输出u_sw满足，用自适应模糊系统的输出逼近切换控制器的固定增益值f，这样，切换控制器的输出变为

则得到自适应模糊滑模控制律为：

其中， ${\hat{f}}_i=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}{\mathrm{\μ}}_A\left(s_i\right)}{{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\μ}}_A\left(s_i\right)}={{\widehat{\mathrm{\α}}}_i}^T{\mathrm{\ξ}}_i,$

为

的子变量，

为可变参数，ξ_i为模糊向量，

ξ_i＝[ξ_i1,ξ_i2,...,ξ_im]^T，S＝[s₁ s₂ s₃]^T，μ_A(s_i)为滑模切换面函数的隶属函数，i=1,2,3，sgn(·)为符号函数，上限m是率属函数的个数；

3-5）基于Lyapunov函数，设计切换控制器中的可变参数

的自适应律

实现对外部扰动的鲁棒性，保证整个闭环系统的全局渐进稳定性，

Lyapunov函数V₂为， $V_2=\frac{1}{2}{S}^{T}S+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\tilde{K}}^T\right]+\frac{1}{2\mathrm{\η}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\α}}}_i}^T{\widetilde{\mathrm{\α}}}_i$

自适应律

为， ${\stackrel{\stackrel{.}{^}}{\mathrm{\α}}}_i=\mathrm{\η}{\mathrm{\λ}}_{i2}\left|s_i\right|{\mathrm{\ξ}}_i$

其中，η，λ_i2为正常数，可变参数的估计误差

满足

为最优可变参数。

前述步骤1），具体为，

1-1）假设三轴微陀螺仪在x轴、y轴和z轴三个方向上分别以匀速的角速度旋转，离心力忽略不计，则三轴微陀螺仪的动态方程的微分形式为

$\stackrel{..}{q}+\frac{D}{m}\stackrel{.}{q}+\frac{K_a}{m}q=\frac{u}{m}-2\mathrm{\Ω}\stackrel{.}{q}---\left(2\right)$

其中，m是质量块的质量， $q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的运动轨迹， $u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的控制输入， $\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\Ω}}_z& {\mathrm{\Ω}}_y\\ {\mathrm{\Ω}}_z& 0& -{\mathrm{\Ω}}_x\\ -{\mathrm{\Ω}}_y& {\mathrm{\Ω}}_x& 0\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的角速度， $D=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xz}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}& d_{\mathrm{yz}}\\ d_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的阻尼项， $K_a=\left[\begin{array}{ccc}{k}_{\mathrm{xx}}& k_{\mathrm{xy}}& k_{\mathrm{xz}}\\ k_{\mathrm{xy}}& k_{\mathrm{yy}}& k_{\mathrm{yz}}\\ k_{\mathrm{xz}}& k_{\mathrm{yz}}& k_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的弹簧系数；

1-2）将上述方程进行非量纲化处理，得到三轴微陀螺仪的无量纲动力学方程的微分形式

${\stackrel{..}{q}}^{*}+D^{*}{\stackrel{.}{q}}^{*}+K_b{q}^{*}=u^{*}-2{\mathrm{\Ω}}^{*}{\stackrel{.}{q}}^{*}---\left(3a\right)$

其中， $q^{*}=\frac{q}{q_0},D^{*}=\frac{D}{{\mathrm{m\ω}}_0},{\mathrm{\Ω}}^{*}=\frac{\mathrm{\Ω}}{{\mathrm{\ω}}_0},{u_x}^{*}=\frac{u_x}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2{q}_0},{u_y}^{*}=\frac{u_y}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2{q}_0},{u_z}^{*}=\frac{u_z}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2{q}_0},$ ${\mathrm{\ω}}_x=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{xx}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_y=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{yy}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_z=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{zz}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}=\frac{k_{\mathrm{xy}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2},{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}=\frac{k_{\mathrm{yz}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2},{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}=\frac{k_{\mathrm{xz}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2},$ $K_b=\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\ω}}^2}_x& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {{\mathrm{\ω}}^2}_y& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& {{\mathrm{\ω}}^2}_z\end{array}\right],$ q₀为参考长度，ω₀为参考频率；

忽略符号表示的不同，重新用q代替q^*，用D代替D^*，用Ω代替Ω^*，用u代替u^*，得到 $\stackrel{..}{q}+D\stackrel{.}{q}+K_{b}q=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{.}{q}---\left(3\right)$

将所述方程（3）作为三轴微陀螺仪的无量纲动力学方程

1-3）将所述步骤1-2）中的微分方程（3）写成状态方程的形式

$\stackrel{.}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}---\left(4\right)$

其中： $X=\left[\begin{array}{c}x\\ \stackrel{.}{x}\\ y\\ \stackrel{.}{y}\\ z\\ \stackrel{.}{z}\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的轨迹状态， $B=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right]$

$A=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ -{{\mathrm{\ω}}_x}^2& -d_{\mathrm{xx}}& -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& -(d_{\mathrm{xy}}-{2\mathrm{\Ω}}_z)& -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& -(d_{\mathrm{xz}}+{2\mathrm{\Ω}}_y)\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& -(d_{\mathrm{xy}}+{2\mathrm{\Ω}}_z)& {{-\mathrm{\ω}}_y}^2& -d_{\mathrm{yy}}& -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& -(d_{\mathrm{yz}}-{2\mathrm{\Ω}}_x)\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& -(d_{\mathrm{xz}}-{2\mathrm{\Ω}}_y)& -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& -(d_{\mathrm{yz}}+{2\mathrm{\Ω}}_x)& -{{\mathrm{\ω}}_z}^2& -d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right],$

1-4）考虑到系统存在外来的干扰和系统本身的不确定性，引入不确定性因子和外来的干扰项，系统的状态方程可表示为如下的形式

$\stackrel{.}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}+B{f}_m---\left(7\right)$

其中f_m＝EX+G，f_m为系统本身的不确定性和外加干扰总量，

函数E(t)和G(t)满足

d(t)＝BG(t)，ΔA(t)＝BE(t)

d(t)为外来的干扰，ΔA为系统的不确定性因子。

前述步骤2），微陀螺仪的参考模型选择三轴间无动态耦合的稳定正弦振荡，描述为：

$x_m=A_1\sin \left({\mathrm{\ω}}_{1}t\right),y_m=A_2\sin \left({\mathrm{\ω}}_{2}t\right),z_m=A_3\sin \left({\mathrm{\ω}}_{3}t\right)$

其中，x_m、y_m、z_m分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上的位置向量，A₁、A₂、A₃分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上给定的振幅，ω₁、ω₂、ω₃分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上给定的振动频率，t是时间变量，

写成状态方程形式：

${\stackrel{.}{X}}_m=A_m{X}_m---\left(8\right)$

其中： $X_m=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ {\stackrel{.}{x}}_m\\ y_m\\ {\stackrel{.}{y}}_m\\ z_m\\ {\stackrel{.}{z}}_m\end{array}\right]$ 为理想轨迹状态， $A_m=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ -{{\mathrm{\ω}}_1}^2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -{{\mathrm{\ω}}_2}^2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& -{{\mathrm{\ω}}_3}^2& 0\end{array}\right].$

通过采用上述技术手段，本发明的有益效果是，本发明利用自适应模糊控制方法和模糊滑模控制方法各自的优点，可以与自适应模糊控制一样自动调整模糊规则，通过动态自适应律来产生令人满意的系统响应，并且可以如模糊滑模控制一样显著地减少模糊规则的数量；系统达到稳态后，该方法具有良好的跟踪性能；设计的自适应辨识方法可以辨识出微陀螺仪的角速度和其它系统参数；基于Lyapunov方法设计的自适应算法能够保证整个闭环系统的全局渐进稳定性；由于对固定增益进行模糊逼近，明显的减少了抖振。

附图说明

图1为本发明的微陀螺仪基于角速度估计的自适应模糊滑模控制系统结构框图；

图2为本发明的具体实施例中微陀螺仪X、Y、Z轴方向上的跟踪曲线图；

图3为本发明的具体实施例中滑模面的动态曲线图；

图4为本发明的具体实施例中自适应参数K中的子变量K₁随时间变化的曲线图；

图5为本发明的具体实施例中自适应参数K中的子变量K₂随时间变化的曲线图；

图6为本发明的具体实施例中自适应参数K中的子变量K₃随时间变化的曲线图；

图7为本发明的具体实施例中微陀螺仪X、Y、Z轴三个方向上角速度Ω_x，Ω_y，Ω_z的自适应辨识过程曲线图；

图8为本发明的具体实施例中采用固定增益的传统滑模控制方法的控制输入曲线图；

图9为本发明的具体实施例中采用自适应模糊滑模控制方法的控制输入曲线图；

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式详细说明本发明。

微陀螺仪基于角速度估计的自适应模糊滑模控制方法，包括以下几个部分

一、建立三轴微陀螺仪的无量纲动态方程

对三轴微陀螺仪而言，可以认为质量块可在空间内运动。假设三轴微陀螺仪可在x轴、y轴和z轴三个方向上分别以匀速的角速度旋转，离心力可忽略不计，则三轴微陀螺仪的动态方程如下所示为：

$m\stackrel{..}{x}+d_{\mathrm{xx}}\stackrel{.}{x}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{.}{y}+d_{\mathrm{xz}}\stackrel{.}{z}+k_{\mathrm{xx}}x+k_{\mathrm{xy}}y+k_{\mathrm{xz}}z=u_x+{2\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{.}{y}-{2\mathrm{m\Ω}}_y\stackrel{.}{z}$

$m\stackrel{..}{y}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{.}{x}+d_{\mathrm{yy}}\stackrel{.}{y}+d_{\mathrm{yz}}\stackrel{.}{z}+k_{\mathrm{xy}}x+k_{\mathrm{yy}}y+k_{\mathrm{yz}}z=u_y-{2\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{.}{x}+{2\mathrm{m\Ω}}_x\stackrel{.}{z}---\left(1\right)$

$m\stackrel{..}{z}+d_{\mathrm{xz}}\stackrel{.}{x}+d_{\mathrm{yz}}\stackrel{.}{y}+d_{\mathrm{zz}}\stackrel{.}{z}+k_{\mathrm{xz}}x+k_{\mathrm{yz}}y+k_{\mathrm{zz}}z=u_z+2m{\mathrm{\Ω}}_y\stackrel{.}{x}-2m{\mathrm{\Ω}}_x\stackrel{.}{y}$

其中：m是质量块的质量，d_xy、d_xz、d_yz是非对称的阻尼项，d_xx、d_yy、d_zz分别是x，y，z轴方向上的阻尼项，k_xx、k_xy、k_xz、k_yy、k_yz、k_zz是系统的弹簧系数，Ω_x、Ω_y、Ω_z分别是x，y，z轴方向上的角速度，u_x、u_y、u_z分别是x，y，z轴方向上的控制输入。

方程两边同除以质量m，等效变换为微分方程形式如下：

$\stackrel{..}{q}+\frac{D}{m}\stackrel{.}{q}+\frac{K_a}{m}q=\frac{u}{m}-2\mathrm{\Ω}\stackrel{.}{q}---\left(2\right)$

其中： $q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right],u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right],\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\Ω}}_z& {\mathrm{\Ω}}_y\\ {\mathrm{\Ω}}_z& 0& -{\mathrm{\Ω}}_x\\ -{\mathrm{\Ω}}_y& {\mathrm{\Ω}}_x& 0\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xz}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}& d_{\mathrm{yz}}\\ d_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right],$ $K_a=\left[\begin{array}{ccc}{k}_{\mathrm{xx}}& k_{\mathrm{xy}}& k_{\mathrm{xz}}\\ k_{\mathrm{xy}}& k_{\mathrm{yy}}& k_{\mathrm{yz}}\\ k_{\mathrm{xz}}& k_{\mathrm{yz}}& k_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$

式（2）表示的微陀螺仪的微分方程是一种有量纲形式，即式中的各个物理量不仅要考虑数值大小，还要顾及各物理量单位的一致性，因此增加了控制器设计的复杂度。所以有必要对三轴微陀螺仪的数学模型进行非量纲化处理。因为时间t^*=ω₀t是无量纲的，方程两边同除以参考频率ω₀ ²和参考长度q₀，得到三轴微陀螺仪的无量纲运动方程的微分形式：

${\stackrel{..}{q}}^{*}+D^{*}{\stackrel{.}{q}}^{*}+K_b{q}^{*}=u^{*}-2{\mathrm{\Ω}}^{*}{\stackrel{.}{q}}^{*}---\left(3a\right)$

式中，各无量纲变量的表达式为：.

$q^{*}=\frac{q}{q_0},$ $D^{*}=\frac{D}{{\mathrm{m\ω}}_0},$ ${\mathrm{\Ω}}^{*}=\frac{\mathrm{\Ω}}{{\mathrm{\ω}}_0},$ ${u_x}^{*}=\frac{u_x}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2{q}_0},$ ${u_y}^{*}=\frac{u_y}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2{q}_0},$ ${u_z}^{*}=\frac{u_z}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2{q}_0},$ ${\mathrm{\ω}}_x=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{xx}}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2}},$ ${\mathrm{\ω}}_y=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{yy}}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2},}$ ${\mathrm{\ω}}_z=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{zz}}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2},}$ ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}=\frac{k_{\mathrm{xy}}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2},$ ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}=\frac{k_{\mathrm{yz}}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2},$ ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}=\frac{k_{\mathrm{xz}}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2},$ $K_b=\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\ω}}^2}_x& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {{\mathrm{\ω}}^2}_y& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& {{\mathrm{\ω}}^2}_z\end{array}\right],$

忽略符号表示的不同，重新用q代替q^*，用D代替D^*，用Ω代替Ω^*，用u代替u^*，得到 $\stackrel{..}{q}+D\stackrel{.}{q}+K_{b}q=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{.}{q}---\left(3\right)$

将方程（3）作为三轴微陀螺仪的无量纲动力学方程

式（3）写成状态方程形式为

$\stackrel{.}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}---\left(4\right)$

其中： $X=\left[\begin{array}{c}x\\ \stackrel{.}{x}\\ y\\ \stackrel{.}{y}\\ z\\ \stackrel{.}{z}\end{array}\right],$ 为微陀螺仪的状态变量， $B=\begin{array}{c}\end{array}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right]$

$A=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ -{{\mathrm{\ω}}_x}^2& -d_{\mathrm{xx}}& -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& -(d_{\mathrm{xy}}-{2\mathrm{\Ω}}_z)& -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& -(d_{\mathrm{xz}}+{2\mathrm{\Ω}}_y)\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& -(d_{\mathrm{xy}}+{2\mathrm{\Ω}}_z)& -{{\mathrm{\ω}}_y}^2& -d_{\mathrm{yy}}& -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& -(d_{\mathrm{yz}}-{2\mathrm{\Ω}}_x)\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& -(d_{\mathrm{xz}}-{2\mathrm{\Ω}}_y)& -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& -(d_{\mathrm{yz}}+{2\mathrm{\Ω}}_x)& -{{\mathrm{\ω}}_z}^2& -d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right],$

假设系统存在外来的干扰和系统本身的不确定性，其状态方程可表示为如下的形式

$\stackrel{.}{X}=(A+\mathrm{\ΔA})X+\mathrm{Bu}+d\left(t\right)---\left(5\right)$

式中：ΔA为系统的不确定性因子，d(t)为外来的干扰。

假定存在匹配条件：存在函数E(t)和G(t)使得下列条件满足：

d(t)＝BG(t)，ΔA(t)＝BE(t)                  （6）

由上式假定，式（5）可写为：

$\stackrel{.}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}+\mathrm{\ΔAX}+d\left(t\right)$

$=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}+\mathrm{BEX}+\mathrm{BG}---\left(7\right)$

$=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}+{\mathrm{Bf}}_m$

其中：f_m＝ΕX+G，f_m为系统本身的不确定性和外加干扰总量。

假定存在有界条件：存在正定矩阵f＝diag[f₁ f₂ f₃]，使得系统本身的不确定性和外来干扰总量f_m满足上界条件|f_mi|＜f_i，i＝1,2,3。

假定存在一个常数矩阵K^*，总使得A+BK^*T＝A_m方程满足。

其中 $K^{*T}=\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{cccccc}{{\mathrm{\ω}}_x}^2-{{\mathrm{\ω}}_1}^2& d_{\mathrm{xx}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xy}}-{2\mathrm{\Ω}}_z& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{xz}}+{2\mathrm{\Ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xy}}+{2\mathrm{\Ω}}_z& {{\mathrm{\ω}}_y}^2-{{\mathrm{\ω}}_2}^2& d_{\mathrm{yy}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{yz}}-{2\mathrm{\Ω}}_x\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{xz}}-{2\mathrm{\Ω}}_y& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& (d_{\mathrm{yz}}+{2\mathrm{\Ω}}_x)& {{\mathrm{\ω}}_z}^2-{{\mathrm{\ω}}_3}^2& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$

通过上式的等式变换，矩阵K^*T中包含了被控对象的所有系统参数、三个轴的输入的角速度和参考模型的三个振动频率。通过对K^*T进行估计，设计其自适应律，就可以从中计算出各个微陀螺仪参数和角速度。

二、建立微陀螺仪的参考模型

系统的参考模型选择三轴间无动态耦合的稳定正弦振荡，可以描述如下为：

x_m=A₁sin(ω₁t)，y_m＝A₂sin(ω₂t)，z_m＝A₃sin(ω₃t)

其中，x_m、y_m、z_m分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上的位置向量，A₁、A₂、A₃分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上给定的振幅，ω₁、ω₂、ω₃分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上给定的振动频率，t是时间变量，

也可以写成状态空间方程形式：

${\stackrel{.}{X}}_m=A_m{X}_m---\left(8\right)$

其中： $X_m=\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ {\stackrel{.}{x}}_m\\ y_m\\ {\stackrel{.}{y}}_m\\ z_m\\ {\stackrel{.}{z}}_m\end{array}\right],$ 为参考模型的轨迹状态， $A_m=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ -{{\mathrm{\ω}}_1}^2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -{{\mathrm{\ω}}_2}^2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& -{{\mathrm{\ω}}_3}^2& 0\end{array}\right]$

三、设计基于角速度估计的自适应模糊滑模控制器

三轴微陀螺仪自适应模糊滑模控制系统的结构框图如图1所示。

定义状态变量的跟踪误差e为：

e＝X-X_m    （9）

对其求导得：

$\stackrel{.}{e}=\stackrel{.}{X}-{\stackrel{.}{X}}_m$

$=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}+B{f}_m-A_m{X}_m---\left(10\right)$

$=A_{m}e+(A-A_m)X+\mathrm{Bu}+B{f}_m$

定义滑模切换面函数S为：

S＝Ce     （11）

其中：S＝[s₁ s₂ s₃]^T,C为滑模系数， $C=\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{\λ}}_{11}& {\mathrm{\λ}}_{12}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\λ}}_{21}& {\mathrm{\λ}}_{22}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\mathrm{\λ}}_{31}& {\mathrm{\λ}}_{32}\end{array}\right]$

对S求导得：

$\stackrel{.}{S}=C\stackrel{.}{e}={\mathrm{CA}}_{m}e+C(A-A_m)X+\mathrm{CBu}+{\mathrm{CBf}}_m$ （12）

$=C{A}_{m}e-\mathrm{CB}{K}^{*T}X+\mathrm{CBu}+\mathrm{CBf}$

令

不考虑不确定性和外加干扰f_m，可推导出等效控制力u_eq

u_eq＝K^*TX-(CB)^-1CA_me     （13）

将微陀螺仪的所有参数以及角速率都看作未知的变量时，A的参数就未知，即K^*未知，则控制力u_eq就难于用于实际的应用中。所以，我们有必要设计新的控制律，以适应实际的工程应用。

用K^*的估计值K代替K^*，自适应调节K的参数，考虑不确定性和外加干扰，增加切换控制器，设计新的自适应滑模控制律φ为：

φ＝u_eq+u_sw＝K^TX-(CB)^-1CA_me-fsgn(S)     （14）

其中，固定增益f是系统本身的不确定性和外加干扰总量f_m的上界值，u_eq=K^TX-(CB)^-1CA_me为等效控制器的输出，u_sw＝-fsgn(S)为切换控制器的输出，实现对不确定性和外加干扰的鲁棒控制。

将自适应滑模控制律φ作为微陀螺仪的控制输入代入式（12）可以得到：

$\stackrel{.}{S}=C\stackrel{.}{e}=\mathrm{CB}{\tilde{K}}^{T}X+{\mathrm{CBf}}_m-\mathrm{CBfsgn}\left(S\right)---\left(15\right)$

其中：估计误差 $\tilde{K}=K-K^{*}.$

基于Lyapunov函数，设计等效控制器中的自适应参数K的自适应律，

定义Lyapunov函数V₁为

$V_1=\frac{1}{2}{S}^{T}S+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\tilde{K}}^T\right]---\left(16\right)$

其中：M＝M^T＞0为对称正定矩阵，tr(A)表示矩阵A的迹。

对Lyapunov函数V₁求导得

${\stackrel{.}{V}}_1=\frac{1}{2}{S}^T\stackrel{.}{S}+\frac{1}{2}{\stackrel{.}{S}}^{T}S+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{K}}}^T\right]+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left[\stackrel{.}{\stackrel{~}{K}}{M}^{-1}{\tilde{K}}^T\right]$ （17）

$=\frac{1}{2}(S^T\stackrel{.}{S}+{\stackrel{.}{S}}^{T}S)+\frac{1}{2}\left(\mathrm{tr}\right[\tilde{K}{M}^{-1}{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{K}}^T]+\mathrm{tr}[\stackrel{\stackrel{.}{~}}{K}{M}^{-1}{\tilde{K}}^T\left]\right)$

因为

是标量，所以 $S^T\stackrel{.}{S}={\left(S^T\stackrel{.}{S}\right)}^T={\stackrel{.}{S}}^{T}S,$ 即 $S^T\stackrel{.}{S}+{\stackrel{.}{S}}^{T}S={2S}^T\stackrel{.}{S}$

再结合矩阵迹的几个性质：

tr(A+B)＝tr(A)+tr(B)

tr(AB)＝tr(BA)

tr(A)＝tr(A^T)

tr(αA)＝αtr(A)

于是将式（15）代入式（17）得到：

${\stackrel{.}{V}}_1=S^T\stackrel{.}{S}+\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{K}}}^T\right]$

$=S^T({\mathrm{CB}\tilde{K}}^{T}X+{\mathrm{CBf}}_m-\mathrm{CBfsgn}\left(S\right))+\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{K}}}^T\right]$ （18）

$=S^T\mathrm{CB}{\tilde{K}}^{T}X+\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{K}}}^T\right]+S^T{\mathrm{CBf}}_m-S^T\mathrm{CBfsgn}\left(S\right)$

$=\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{B}^T{C}^T{\mathrm{SX}}^T\right]+\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{K}}}^T\right]+S^T{\mathrm{CBf}}_m-S^T\mathrm{CBfsgn}\left(S\right)$

为使得

则令前两项之和等于0，所以采用以下的自适应律

${\stackrel{.}{K}}^T\left(t\right)={\stackrel{.}{\stackrel{~}{K}}}^T\left(t\right)=-{\mathrm{MB}}^T{C}^T{\mathrm{SX}}^T---\left(19\right)$

对于K(t)的初始值K(0)，可以任意设定。

定义自适应律

后，式（18）变为：

${\stackrel{.}{V}}_1=S^T\mathrm{CB}{f}_m-S^T\mathrm{CBfsgn}\left(S\right)$

$=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\λ}}_{i2}{s}_i{f}_{\mathrm{mi}}-{\mathrm{\λ}}_{i2}{s}_i{f}_i\mathrm{sgn}\left(s_i\right))$

$\≤\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\λ}}_{i2}\right|s_i\left|\right|f_{\mathrm{mi}}|-{\mathrm{\λ}}_{i2}|s_i\left|f_i\right)---\left(20\right)$

$=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{i2}\left|s_i\right|(f_i-|f_{\mathrm{mi}}\left|\right)\≤0$

λ_i2为正常数

因为

所以Lyapunov函数中的所有参数都是有界的。根据Barbalat定理及其推论，我们可以得到lim_t→∞s_i＝0，i=1,2,3，lim_t→∞K＝K^*，收敛到真值，从而实现参数和角速度的自适应辨识。

当K收敛到真值K^*时，根据假定3中K^*的表达式：

$K^{*T}=\left[\begin{array}{cccccc}{k}_{11}& k_{12}& k_{13}& k_{14}& k_{15}& k_{16}\\ k_{21}& k_{22}& k_{23}& k_{24}& k_{25}& k_{26}\\ k_{31}& k_{32}& k_{33}& k_{34}& k_{35}& k_{36}\end{array}\right]$ （21）

$=\left[\begin{array}{cccccc}{{\mathrm{\ω}}_x}^2-{{\mathrm{\ω}}_1}^2& d_{\mathrm{xx}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xy}}-{2\mathrm{\Ω}}_z& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{xz}}+{2\mathrm{\Ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xz}}+{2\mathrm{\Ω}}_y& {{\mathrm{\ω}}_y}^2-{{\mathrm{\ω}}_2}^2& d_{\mathrm{yy}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{yz}}-{2\mathrm{\Ω}}_x\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{xz}}-{2\mathrm{\Ω}}_y& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& (d_{\mathrm{yz}}+{2\mathrm{\Ω}}_x)& {{\mathrm{\ω}}_z}^2-{{\mathrm{\ω}}_3}^2& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$

则可以计算出微陀螺仪的各参数值和角速度的值为：

d_xx＝k₁₂，d_yy＝k₂₄，d_zz＝k₃₆，ω_xy＝k₁₃＝k₂₁，ω_yz＝k₂₅＝k₃₃，ω_xz＝k₁₅＝k₃₁，ω_x ²＝ω₁ ²+k₁₁，ω_y ²＝ω₂ ²+k₂₃，ω_z ²＝ω₃ ²+k₃₅， $d_{\mathrm{xy}}=\frac{1}{2}(k_{22}+k_{14}),$ $d_{\mathrm{yz}}=\frac{1}{2}(k_{34}+k_{26}),$ $d_{\mathrm{xz}}=\frac{1}{2}(k_{16}+k_{32}),$ ${\mathrm{\Ω}}_x=\frac{1}{4}(k_{34}-k_{26}),$ ${\mathrm{\Ω}}_y=\frac{1}{4}(k_{16}-k_{32}),$ ${\mathrm{\Ω}}_z=\frac{1}{4}(k_{22}-k_{14})$

考虑到f_m未知时，固定增益f的值很难确定，如果选择过小的话，可能不足以消除不确定项f_m的影响，从而不能保证系统运动到达滑模面，而造成系统不稳定；如果选择过大的话，会造成比较大的抖振。所以在参数辨识的基础上增加自适应模糊控制，通过将滑模控制项中的固定增益进行连续的有效的估计，从而有效的降低抖振。

重新设计切换控制器，采用自适应模糊系统的输出

来逼近固定增益f，将

代替f代入到式（14）中，则得到自适应模糊滑模控制律

为：

其中：

为f的估计值， $\hat{f}=\mathrm{diag}\left[\begin{array}{ccc}{\hat{f}}_1& {\hat{f}}_2& {\hat{f}}_3\end{array}\right],$ $u_{\mathrm{sw}}=-\hat{f}\mathrm{sgn}\left(S\right)$ 为切换控制器的输出，则（15）式改为

$\stackrel{.}{S}=C\stackrel{.}{e}=\mathrm{CB}{\tilde{K}}^{T}X+{\mathrm{CBf}}_m-\mathrm{CB}\hat{f}\mathrm{sgn}\left(S\right)---\left(23\right)$

采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器对模糊控制进行反模糊化，则自适应模糊系统的输出为：

${\hat{f}}_i=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}{\mathrm{\μ}}_A\left(S_i\right)}{{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\μ}}_A\left(S_i\right)}={{\hat{a}}_i}^T{\mathrm{\ξ}}_i---\left(24\right)$

其中：

为

的子变量，可变参数为

模糊向量ξ_i为ξ_i＝[ξ_i1,ξ_i2,...,ξ_im]^T，μ_A(s_i)为滑模切换面函数的隶属函数，i=1,2,3，sgn(·)为符号函数。

根据万能逼近定理，会存在一个最优的模糊控制系统输出f^*来逼近固定增益f，使得逼近误差最小，表达式为：

f^*＝f+ε=α_i ^*Tξ_i     （25）

其中：ε为逼近误差，α^* _i为最优可变参数。

最优可变参数定义为：

${\mathrm{\α}}^{*}=\arg \underset{\widehat{\mathrm{\α}}\∈{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{\α}}}{\min }\left[\sup \right|f-f^{*}\left|\right]---\left(26\right)$

其中：Ω_α为

的集合。

基于Lyapunov函数，设计切换控制器中的可变参数的自适应律

Lyapunov函数V₂为：

$V_2=\frac{1}{2}{S}^{T}S+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\tilde{K}}^T\right]+\frac{1}{2\mathrm{\η}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\tilde{a}}_i}^T{\tilde{a}}_i---\left(27\right)$

其中：M＝M^T＞0为对称正定矩阵，tr(A)表示矩阵A的迹，为各个可变参数子变量的估计误差，i=1,2,3，η为正常数。

对两边求导得：

${\stackrel{.}{V}}_2=S^T\stackrel{.}{S}+\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{K}}}^T\right]+\frac{1}{\mathrm{\η}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\tilde{a}}_i}^T{\stackrel{.}{\stackrel{~}{a}}}_i$

$=S^T(\mathrm{CB}{\tilde{K}}^{T}X+{\mathrm{CBf}}_m-\mathrm{CB}\hat{f}\mathrm{sgn}\left(S\right))+\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{K}}}^T\right]+\frac{1}{\mathrm{\η}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\tilde{a}}_i}^T{\stackrel{.}{\stackrel{~}{a}}}_i$

$=\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{B}^T{C}^{T}S{X}^T\right]+\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{K}}^T\right]+S^T\mathrm{CB}{f}_m-S^T\mathrm{CB}\hat{f}\mathrm{sgn}\left(S\right)+\frac{1}{\mathrm{\η}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\α}}}_i}^T{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{\mathrm{\α}}}_i$

$=S^T{\mathrm{CBf}}_m-S^T\mathrm{CB}\hat{f}\mathrm{sgn}\left(S\right)+\frac{1}{\mathrm{\η}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\tilde{a}}_i}^T{\stackrel{.}{\stackrel{~}{a}}}_i---\left(28\right)$

$=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\λ}}_{i2}{s}_i{f}_{\mathrm{mi}}-{\mathrm{\λ}}_{i2}{s}_i{\hat{f}}_i\mathrm{sgn}\left(s_i\right))+\frac{1}{\mathrm{\η}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\tilde{a}}_i}^T{\stackrel{.}{\stackrel{~}{a}}}_i$

$=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\λ}}_{i2}{s}_i{f}_{\mathrm{mi}}-{\mathrm{\λ}}_{i2}{s}_i{\hat{f}}_i\mathrm{sgn}\left(s_i\right)+{\mathrm{\λ}}_{i2}{s}_i{f_i}^{*}\mathrm{sgn}\left(s_i\right)-{\mathrm{\λ}}_{i2}{s}_i{f_i}^{*}\mathrm{sgn}\left(s_i\right))+\frac{1}{\mathrm{\η}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\α}}}_i}^T{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{\mathrm{\α}}}_i$

$=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\λ}}_{i2}{s}_i{f}_i^{*}\mathrm{sgn}\left(s_i\right)-{\mathrm{\λ}}_{i2}{s}_i{f}_{\mathrm{mi}})-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\λ}}_{i2}{s}_i{\hat{f}}_i\mathrm{sgn}\left(s_i\right)-{\mathrm{\λ}}_{i2}{s}_i{f}_i^{*}\mathrm{sgn}\left(s_i\right))+\frac{1}{\mathrm{\η}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\tilde{a}}_i}^T{\stackrel{.}{\stackrel{~}{a}}}_i$

$=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{i2}\left|s_i\right|(f_i+{\mathrm{\ϵ}}_i-|f_{\mathrm{mi}}\left|\right)-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{i2}\left|s_i\right|{{\widetilde{\mathrm{\α}}}_i}^T{\mathrm{\ξ}}_i+\frac{1}{\mathrm{\η}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\α}}}_i}^T{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{\mathrm{\α}}}_i$

λ_i2为正常数

为了使

令后面两项之和等于0，则得到自适应律为

${\stackrel{\stackrel{.}{^}}{\mathrm{\α}}}_i={\stackrel{\stackrel{.}{~}}{\mathrm{\α}}}_i=\mathrm{\η}{\mathrm{\λ}}_{i2}\left|s_i\right|{\mathrm{\ξ}}_i---\left(29\right)$

其中i=1,2,3

则

${\stackrel{.}{V}}_2=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{i2}\left|s_i\right|(f_i+{\mathrm{\ϵ}}_i-|f_{\mathrm{mi}}\left|\right)\≤0---\left(30\right)$

因为

根据Barbalat定理及其推论，我们可以得到lim_t→∞s_i＝0，i=1,2,3， ${\lim }_{t\→\∞}\tilde{K}=0,$ ${\lim }_{t\→\∞}{\widetilde{\mathrm{\α}}}_i=0.$

最后，进行数值仿真计算

根据上述自适应模糊滑模控制算法，在MATLAB/Simulink中对微陀螺仪控制系统进行数值仿真。三轴微陀螺仪参数如下：

m＝0.57×10^-8kg，q₀＝1μm，ω₀＝3kHz，d_xx＝0.429×10^-6N·s/m，

d_yy＝0.687×10^-6N·s/m，d_zz＝0.895×10^-6N·s/m，

d_xy＝0.0429×10^-6N·s/m，d_xz＝0.0687×10^-6N·s/m，

d_yz＝0.0895×10^-6N·s/m，k_xx＝80.98N/m，k_yy＝71.62N/m，

k_zz＝60.97N/m，k_xy＝5N/m，k_xz＝6N/m，k_yz＝7N/m。

假定未知的输入角速度为：

Ω_x＝3rad/s，Ω_y＝2rad/s，Ω_z＝5rad/s。

非量纲化后，各轴角速度参数如下：

Ω_x＝0.001，Ω_y＝0.000667，Ω_z＝0.00167

参考轨迹选择如下：

x_m＝sin(6.71t)，y_m＝1.2sin(5.11t)，z_m＝1.5sin(4.17t)

定义滑模切换面函数S的3种隶属函数为：

μ_NM(s)＝1/(1+exp(5(s+3)))，

μ_ZO(s)＝exp(-s²)，μ_PM(s)＝1/(1+exp(5(s-3)))

假定不确定性和外加干扰总量为：

f_m(t)＝[10sin(6.71t)  10cos(5.11t)  10cos(4.17t)]^T

被控对象的初始状态取X₀＝[0 0 0 0 0 0]，K的真值计算为

$K^{*T}=\left[\begin{array}{cccccc}1533.5& 0.0251& 97.4659& -0.00083& 116.9591& 0.0054\\ 97.4659& 0.0059& 1370& 0.0402& 136.4522& 0.0032\\ 116.9591& 0.0027& 136.4522& 0.0072& 1171.1& 0.0523\end{array}\right],$ K(t)的初始值取K(0)＝0.9K^*，滑模系数取 $C=\left[\begin{array}{cccccc}5& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 5& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 5& 1\end{array}\right],$ 固定增益取f＝diag[100 100 100]，自适应增益M＝diag[40  40  40]，η＝5。

仿真结果如图2-9所示。

图2为微陀螺仪X、Y、Z轴方向上的跟踪曲线，结果表明有外部干扰的情况下微陀螺仪的X、Y、Z轴轨迹能够很好的追踪上参考轨迹，说明该方法能很好的实现跟踪性能。

图3为滑模面的动态曲线图，结果表明系统在短时间内到达切换面并保持在滑模面上滑动，滑模面逐渐收敛于0。

图4至图6为自适应参数K中的子变量随时间变化的关系曲线，结果表明在一定时间内K的各个变量逐渐收敛于常数值，可以辨识出它的真值K^*中的各个变量值，通过计算就可以计算出微陀螺仪系统的未知参数。

图7为微陀螺仪X、Y、Z轴三个方向上角速度Ω_x，Ω_y，Ω_z的自适应辨识过程曲线图，结果表明它们都能够收敛到各自的非量纲化后的假定值。

图8为采用固定增益的传统滑模控制方法的控制输入曲线图，结果表明其控制量会出现比较大的抖振。

图9为采用自适应模糊滑模控制方法的控制输入曲线图，结果表明采用自适应模糊方法对控制器中的切换项增益进行逼近，可有效的降低抖振。

具体实施例的结果显示，本发明设计的自适应模糊滑模控制方法，能够使跟踪误差和滑模函数很快地收敛到零，具有良好的跟踪性能，能够正确地辨识出角速度，而且对参数变化和外部扰动具有鲁棒性，同时能够明显的改善传统滑模控制方法中的抖振现象。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明,任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内,当可利用上述揭示的技术内容作出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例,但凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (3)

1.微陀螺仪基于角速度估计的自适应模糊滑模控制方法，其特征在于，包括以下步骤

1）建立微陀螺仪无量纲动态方程；

2）建立微陀螺仪的参考模型；

3）设计基于角速度估计的自适应模糊滑模控制器，具体为

3-1）设计等效控制器，对滑模切换面S求导，令

不考虑不确定性和外加干扰，得到等效控制力u_eq，u_eq＝K^*TX-(CB)^-1CA_me

其中， $K^{*T}=\left[\begin{array}{cccccc}{{\mathrm{\ω}}_x}^2-{{\mathrm{\ω}}_1}^2& d_{\mathrm{xx}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xy}}-{2\mathrm{\Ω}}_z& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{xz}}+{2\mathrm{\Ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xy}}+{2\mathrm{\Ω}}_z& {{\mathrm{\ω}}_y}^2-{{\mathrm{\ω}}_2}^2& d_{\mathrm{yy}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{yz}}-{2\mathrm{\Ω}}_x\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{xz}}-{2\mathrm{\Ω}}_y& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& (d_{\mathrm{yz}}+{2\mathrm{\Ω}}_x)& {{\mathrm{\ω}}_z}^2-{{\mathrm{\ω}}_3}^2& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$ 为一个常数矩阵，满足A+BK^*T＝A_m，

X为微陀螺仪的轨迹状态，X_m为参考模型的轨迹状态

e为跟踪误差，满足e＝X-X_m

S为滑模切换面函数，满足S＝Ce，C为滑模系数

A和B为微陀螺仪状态方程的状态参量，A_m为参考模型状态方程的状态参量；

3-2）考虑到所述等效控制力u_eq中，K^*未知，用K^*的估计值K代替K^*，自适应调节K的参数，并增加切换控制器，实现对不确定性和外加干扰的鲁棒控制

得到自适应滑模控制律φ，φ＝u_eq+u_sw＝K^TX-(CB)^-1CA_me-fsgn(S)

其中，u_eq=K^TX-(CB)^-1CA_me为等效控制器的输出；u_sw＝-fsgn(S)为切换控制器的输出，实现对不确定性和外加干扰的鲁棒控制；f为固定增益，是系统本身的不确定性和外加干扰总量f_m的上界值；

3-3）基于Lyapunov函数，设计等效控制器中的自适应参数K的自适应律，实现系统参数和角速度的自适应辨识，保证整个闭环系统的全局渐进稳定性，

Lyapunov函数V₁为， $V_1=\frac{1}{2}{S}^{T}S+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\tilde{K}}^T\right]$

自适应律

为， ${\stackrel{.}{K}}^T\left(t\right)=-{\mathrm{MB}}^T{C}^T{\mathrm{SX}}^T$

其中，估计误差

满足M为对称正定矩阵；

3-4）由于f_m未知，用自适应模糊系统的输出

逼近切换控制器的固定增益值f，这样，切换控制器的输出变为

则得到自适应模糊滑模控制律

为：

其中， ${\hat{f}}_i=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}{\mathrm{\μ}}_A\left(s_i\right)}{{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\μ}}_A\left(s_i\right)}={{\hat{a}}_i}^T{\mathrm{\ξ}}_i,$ 为

的子变量，

为可变参数，ξ_i为模糊向量， ${\hat{a}}_i={[{\mathrm{\α}}_{i1},{\mathrm{\α}}_{i2},...,{\mathrm{\α}}_{\mathrm{im}}]}^T,$ ${\mathrm{\ξ}}_i={[{\mathrm{\ξ}}_{i1},{\mathrm{\ξ}}_{i2},...,{\mathrm{\ξ}}_{\mathrm{im}}]}^T,S={\left[\begin{array}{ccc}{S}_1& S_2& S_3\end{array}\right]}^T,$

μ_A(s_i)，i=1,2,3为滑模切换面函数的隶属函数，sgn(·)为符号函数，上限m是指隶属函数的个数；

3-5）基于Lyapunov函数，设计切换控制器中的可变参数

的自适应律

实现对外部扰动的鲁棒性，保证整个闭环系统的全局渐进稳定性，

Lyapunov函数V₂为， $V_2=\frac{1}{2}{S}^{T}S+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\tilde{K}}^T\right]+\frac{1}{2\mathrm{\η}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\tilde{a}}_i}^T{\tilde{a}}_i$

自适应律

为， ${\stackrel{\stackrel{.}{^}}{\mathrm{\α}}}_i=\mathrm{\η}{\mathrm{\λ}}_{i2}\left|s_i\right|{\mathrm{\ξ}}_i$

其中，η，λ_i2为正常数，可变参数的估计误差

满足

α_i ^*为最优可变参数。

2.根据权利要求1所述的微陀螺仪基于角速度估计的自适应模糊滑模控制方法，其特征在于，所述步骤1），具体为，

1-1）假设三轴微陀螺仪在x轴、y轴和z轴三个方向上分别以匀速的角速度旋转，离心力忽略不计，则三轴微陀螺仪的动态方程的微分形式为

$\stackrel{..}{q}+\frac{D}{m}\stackrel{.}{q}+\frac{K_a}{m}q=\frac{u}{m}-2\mathrm{\Ω}\stackrel{.}{q}---\left(2\right)$

其中，m是质量块的质量， $q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的运动轨迹， $u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的控制输入， $\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\Ω}}_z& {\mathrm{\Ω}}_y\\ {\mathrm{\Ω}}_z& 0& -{\mathrm{\Ω}}_x\\ -{\mathrm{\Ω}}_y& {\mathrm{\Ω}}_x& 0\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的角速度， $D=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xz}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}& d_{\mathrm{yz}}\\ d_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的阻尼项， $K_a=\left[\begin{array}{ccc}{k}_{\mathrm{xx}}& k_{\mathrm{xy}}& k_{\mathrm{xz}}\\ k_{\mathrm{xy}}& k_{\mathrm{yy}}& k_{\mathrm{yz}}\\ k_{\mathrm{xz}}& k_{\mathrm{yz}}& k_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的弹簧系数；

1-2）将上述方程进行非量纲化处理，得到三轴微陀螺仪的无量纲动力学方程的微分形式

${\stackrel{..}{q}}^{*}+D^{*}{\stackrel{.}{q}}^{*}+K_b{q}^{*}=u^{*}-2{\mathrm{\Ω}}^{*}{\stackrel{.}{q}}^{*}---\left(3a\right)$

其中， $q^{*}=\frac{q}{q_0},$ $D^{*}=\frac{D}{m{\mathrm{\ω}}_0},$ ${\mathrm{\Ω}}^{*}=\frac{\mathrm{\Ω}}{{\mathrm{\ω}}_0},$ ${u_x}^{*}=\frac{u_x}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2{q}_0},$ ${u_y}^{*}=\frac{u_y}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2{q}_0},$ ${u_z}^{*}=\frac{u_z}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2{q}_0},$ ${\mathrm{\ω}}_x=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{xx}}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2}},$ ${\mathrm{\ω}}_y=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{yy}}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2}},$ ${\mathrm{\ω}}_z=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{zz}}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2},}$ ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}=\frac{k_{\mathrm{xy}}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2},$ ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}=\frac{k_{\mathrm{yz}}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2},$ ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}=\frac{k_{\mathrm{xz}}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2},$ $K_b=\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\ω}}^2}_x& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {{\mathrm{\ω}}^2}_y& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& {{\mathrm{\ω}}^2}_z\end{array}\right],$ q₀为参考长度，ω₀为参考频率；

忽略符号表示的不同，重新用q代替q^*，用D代替D^*，用Ω代替Ω^*，用u代替u^*，得到 $\stackrel{..}{q}+D\stackrel{.}{q}+K_{b}q=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{.}{q}---\left(3\right)$

将所述方程（3）作为三轴微陀螺仪的无量纲动力学方程

1-3）将所述步骤1-2）中的微分方程（3）写成状态方程的形式

$\stackrel{.}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}---\left(4\right)$

其中： $X=\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{c}x\\ \stackrel{.}{x}\\ y\\ \stackrel{.}{y}\\ z\\ \stackrel{.}{z}\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的轨迹状态， $B=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],u=\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right]$

$A=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ -{{\mathrm{\ω}}_x}^2& -d_{\mathrm{xx}}& -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& -(d_{\mathrm{xy}}-{2\mathrm{\Ω}}_z)& -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& -(d_{\mathrm{xz}}+{2\mathrm{\Ω}}_y)\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& -(d_{\mathrm{xy}}+{2\mathrm{\Ω}}_z)& -{{\mathrm{\ω}}_y}^2& -d_{\mathrm{yy}}& -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& -(d_{\mathrm{yz}}-{2\mathrm{\Ω}}_x)\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& -(d_{\mathrm{xz}}-{2\mathrm{\Ω}}_y)& -{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& -(d_{\mathrm{yz}}+{2\mathrm{\Ω}}_x)& -{{\mathrm{\ω}}_z}^2& -d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right],$

1-4）考虑到系统存在外来的干扰和系统本身的不确定性，引入不确定性因子和外来的干扰项，系统的状态方程可表示为如下的形式

$\stackrel{.}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}+{\mathrm{Bf}}_m---\left(7\right)$

其中f_m＝EX+G，f_m为系统本身的不确定性和外加干扰总量，

函数E(t)和G(t)满足

d(t)＝BG(t)，ΔA(t)＝BE(t)

d(t)为外来的干扰，ΔA为系统的不确定性因子。

3.根据权利要求1所述的微陀螺仪基于角速度估计的自适应模糊滑模控制方法，其特征在于，所述步骤2），微陀螺仪的参考模型选择三轴间无动态耦合的稳定正弦振荡，描述为：

x_m＝A₁sin(ω₁t)，y_m＝A₂sin(ω₂t)，z_m＝A₃sin(ω₃t)

其中，x_m、y_m、z_m分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上的位置向量，A₁、A₂、A₃分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上给定的振幅，ω₁、ω₂、ω₃分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上给定的振动频率，t是时间变量，

写成状态方程形式：

${\stackrel{.}{X}}_m=A_m{X}_m---\left(8\right)$

其中： $X_m=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ {\stackrel{.}{x}}_m\\ y_m\\ {\stackrel{.}{y}}_m\\ z_m\\ {\stackrel{.}{z}}_m\end{array}\right]$ 为参考轨迹状态， $A_m=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ -{{\mathrm{\ω}}_1}^2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -{{\mathrm{\ω}}_2}^2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& -{{\mathrm{\ω}}_3}^2& 0\end{array}\right].$

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