CN104614993A - 微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法，通过预先设置期望的性能指标然后完成系统的控制，从而达到控制的性能指标满足设计的要求。在完成预设性能的同时，系统的所有参数都能通过自适应过程辨识出来，并且采用神经网络对系统不确定性和外界干扰的上界进行了估计，保证了系统的稳定性。

Description

微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法

技术领域

本发明涉及一种微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法，属于自动控制系统领域。

背景技术

微陀螺仪是很常见的测量角速度的传感器，在很多领域得到应用，如导航、手机、航模以及军事制导等等。微陀螺仪是一种能够将一个轴上的能量转移到令一个轴上的装置，其原理是利用科里奥利力(即地球自转偏向力)。测量角速度的过程需要在驱动轴上加上振幅和频率都稳定的振动信号，感应轴和驱动轴出于同一平面并与驱动轴垂直，当有与驱动轴和感应轴都垂直的角速度输入时，感应轴上会感应到科里奥利力，科里奥利力的大小与角速度成正比关系。

而由于机械加工的误差，驱动轴和感应轴并不完全垂直，造成两轴之间产生附加耦合。此外，机械噪声，热噪声，感测电路的噪声，微陀螺仪本身参数的偏差和外部干扰都会造成微陀螺仪的性能下降。因此，有必要对微陀螺仪采用先进的控制方法来进行控制。

通常方法能够在经过调试后，通过观测跟踪误差的情况来得到系统误差性能指标，带有一定的盲目性。

发明内容

为了克服传统控制方法不能够反映微陀螺仪暂态性质指标，包括暂态误差以及误差收敛率，以及系统参数及外界干扰上界未知问题。本发明提供一种微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法。

为了解决上述问题，本发明所采用的技术方案是：

微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法，包括以下步骤：

1)建立微陀螺仪的非量纲化数学模型；

2)设计预设性能轨迹；

3)设计误差指标，并采用双曲正切函数进行误差变换；

4)采用变换后的误差指标设计滑模面；

5)设计控制律；

6)采用自适应算法对微陀螺仪数学模型的参数矩阵进行估计，得到改进的控制律；

7)采用自适应神经网络对系统的干扰上界进行估计，得到改进的控制律；

8)设计Lyapunov函数，并设计微陀螺仪数学模型的参数矩阵和神经网络权值的自适应律，确保所设计的微陀螺自适应滑模预设性能控制系统的稳定性。

前述的步骤1)中，微陀螺仪的非量纲化数学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{q}}_1=q_2\\ {\stackrel{\·}{q}}_2=u-(D+2\mathrm{\Ω}){\stackrel{\·}{q}}_1-K{q}_1+F\end{array}\right.$

其中，q₁＝q， $q_2=\stackrel{\·}{q},q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的运动轨迹， $u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的控制输入，D，K，Ω为微陀螺仪数学模型的参数矩阵，F为参数不确定和外界干扰总和。

前述的步骤2)中，预设性能轨迹ρ(t)为：

ρ(t)＝(ρ₀-ρ_∞)e^-lt+ρ_∞，

其中，ρ_∞为最终误差界，ρ₀为初始误差界，t→0时ρ(t)→ρ₀，t→∞，ρ(t)→ρ_∞，e^-lt代表ρ(t)的收敛速率，l表示收敛速率参数。

前述的步骤3)中，误差指标θ(ε)定义为：

$\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\ϵ}\right)=\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}$

其中，e(t)为跟踪误差；

所述经过变换的误差指标ε为：

$\mathrm{\ϵ}=\mathrm{\θ}{\left(\mathrm{\ϵ}\right)}^{-1}\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right).$

前述的步骤4)中，所述滑模面函数S设计为：

$S=\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}+\mathrm{\λ\ϵ}$

其中，λ为滑模面参数。

前述的步骤5)中，所述控制律设计为：

其中，为等效控制项，u_s＝α·sign(S)为鲁棒项，

q_d为微陀螺仪的理想振动轨迹，α为参数不确定和外界干扰总和的上界，sign()为符号函数。

前述的步骤6)中，所述改进的控制律为：

其中，为D，K，Ω的估计值。

前述的步骤7)中，所述改进的控制律为：

其中， 为参数不确定和外界干扰总和的上界α的估计值，为神经网络权值的估计值，φ为高斯基函数。

前述的步骤8)中，所述Lyapunov函数V设计为：

$V=\frac{1}{2}{S}^{T}S+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\tilde{D}}^T{\mathrm{\η}}_1^{-1}\tilde{D}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\tilde{K}}^T{\mathrm{\η}}_2^{-1}\tilde{K}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\widetilde{\mathrm{\Ω}}}^T{\mathrm{\η}}_3^{-1}\widetilde{\mathrm{\Ω}}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\widetilde{\mathrm{\ω}}}^T{\mathrm{\η}}_4^{-1}\widetilde{\mathrm{\ω}}\right)$

其中，η₁，η₂，η₃，η₄为自适应参数，分别为微陀螺仪数学模型的参数矩阵D，K，Ω的估计误差；

所述微陀螺仪数学模型的参数矩阵的自适应律为：

${\stackrel{\·}{\tilde{D}}}^T=-{\stackrel{\·}{\hat{D}}}^T=-{\mathrm{\η}}_1{\stackrel{\·}{q}}_1{S}^{T}R;$

${\stackrel{\·}{\tilde{K}}}^T=-{\stackrel{\·}{\hat{K}}}^T=-{2\mathrm{\η}}_2{\stackrel{\·}{q}}_1{S}^{T}R;$

${\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\Ω}}}}^T=-{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\Ω}}}}^T=-{\mathrm{\η}}_3{q}_1{S}^{T}R;$

所述神经网络权值的自适应律为：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}=-\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\ω}}}={\mathrm{\η}}_4\left|{\mathrm{RS}}^T\right|\mathrm{\φ};$

其中， $R=\frac{d\left(\mathrm{\θ}{\left(\mathrm{\ϵ}\right)}^{-1}\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right)\right)}{d\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right)}\·\frac{1}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)},$ 为神经网络权值误差。

本发明方法能够在进行控制之前就对系统性能进行设定，使得系统性能能够满足所设定的要求，并所设计的性能曲线能够反映系统的暂态误差、稳态误差以及误差收敛率；在系统参数未知的情况下，通过设计自适应机制，实时在线估计系统参数；在干扰上界未知的情况下，采用自适应神经网络来对干扰上界进行估计，实时在线对神经网络权值进行更新，保证系统的稳定性。

附图说明

图1为本发明的微陀螺自适应滑模预设性能控制方法的原理图；

图2为本发明具体实施实例中X,Y轴位置跟踪曲线；

图3为本发明具体实施实例中X,Y轴位置跟踪误差曲线；

图4为本发明具体实施实例中角速度辨识曲线；

图5为本发明具体实施实例中微陀螺仪模型参数辨识曲线。

具体实施方式

现结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细说明。

本发明的微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法如图1所示，包括如下几个部分：

1.微陀螺仪数学模型的建立

微陀螺仪的数学模型为：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{\mathrm{xx}}\stackrel{\·}{x}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{\·}{y}+k_{\mathrm{xx}}x+k_{\mathrm{xy}}y=u_x+2m{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{\·}{x}+d_{\mathrm{yy}}\stackrel{\·}{y}+k_{\mathrm{xy}}x+k_{\mathrm{yy}}y=u_y-2m{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(1\right)$

其中，x、y代表微陀螺仪在X、Y轴方向上的位移，u_x、u_y代表微陀螺仪在X、Y轴方向上的控制输入，d_xx、d_yy为X、Y轴方向弹簧的弹性系数，k_xx、k_yy为X、Y轴方向的阻尼系数，d_xy、k_xy是由于加工误差等引起的耦合参数，m为陀螺仪质量块的质量，Ω_z为质量块自转的角速度。

由于等式中除了数值量还有单位量，增加了控制器的设计的复杂度。在微陀螺仪模型中质量块的振动频率达到KHz数量级，而同时质量块自转的角速度却只有几度一小时数量级，数量级差别很大会给仿真带来不便。为了解决不同单位量和数量级差别大的问题，可以对等式进行非量纲化处理。将等式两侧同除以微陀螺仪的质量m，参考长度q₀，两轴共振频率的平方得到非量纲化模型：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}+d_{\mathrm{xx}}\stackrel{\·}{x}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{\·}{y}+{{\mathrm{\ω}}_x}^{2}x+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}y=u_x+2{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ \stackrel{\·\·}{y}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{\·}{x}+d_{\mathrm{yy}}\stackrel{\·}{y}+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}x+{{\mathrm{\ω}}_y}^{2}y=u_y-2{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(2\right)$

其中 $\frac{d_{\mathrm{xx}}}{m{\mathrm{\ω}}_0}\→d_{\mathrm{xx}},\frac{d_{\mathrm{xy}}}{m{\mathrm{\ω}}_0}\→d_{\mathrm{xy}},\frac{d_{\mathrm{yy}}}{m{\mathrm{\ω}}_0}\→d_{\mathrm{yy}},\frac{{\mathrm{\Ω}}_z}{{\mathrm{\ω}}_0}\→{\mathrm{\Ω}}_z,\sqrt{\frac{k_{\mathrm{xx}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2}}\→{\mathrm{\ω}}_x,\sqrt{\frac{k_{\mathrm{yy}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2}}\→{\mathrm{\ω}}_y,$ $\frac{k_{\mathrm{xy}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2}\→{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}.$

将模型改写成向量形式：

$\stackrel{\·\·}{q}+D\stackrel{\·}{q}+\mathrm{Kq}=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}---\left(3\right)$

其中， $q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的运动轨迹， $u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的控制输入， $D=\left[\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}\end{array}\right],$ $K=\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\ω}}_x}^2& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {{\mathrm{\ω}}_y}^2\end{array}\right],\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{cc}0& -{\mathrm{\Ω}}_z\\ {\mathrm{\Ω}}_z& 0\end{array}\right].$

考虑系统参数不确定和外界干扰，数学模型可以写成

$\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{q}=u-(D+2\mathrm{\Ω})\stackrel{\·}{q}-\mathrm{Kq}-(\mathrm{\ΔD}+2\mathrm{\Δ\Ω})\stackrel{\·}{q}-\mathrm{\ΔKq}+d\\ =u-(D+2\mathrm{\Ω})\stackrel{\·}{q}-\mathrm{Kq}+F\end{array}---\left(4\right)$

其中，ΔD,ΔΩ,ΔK代表系统参数矩阵的不确定部分，d为外界干扰，令：

为系统参数不确定和外界干扰的总和，

假设F的上界为α，满足：α-|F|＞σ₁，σ₁是一个正数。

写成状态方程形式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{q}}_1=q_2\\ {\stackrel{\·}{q}}_2=u-(D+2\mathrm{\Ω}){\stackrel{\·}{q}}_1-K{q}_1+F\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，q₁＝q， $q_2=\stackrel{\·}{q}.$

2.预设性能轨迹及误差变换

传统微陀螺仪的控制方法只能保证系统的渐进稳定性和误差收敛，能够保证系统的跟踪误差最终趋于0或者是稳定在一个很小的范围之内。对于系统响应的中间过程及收敛速率并没有做任何研究，而且传统方法对于误差的最终收敛界及收敛率只能通过误差的结果来观察，在没进行仿真之前，误差的界及误差收敛率的信息都不能提前获知。为此，采用预设性能控制来对系统进行控制，能够使系统的响应(动态误差界、误差收敛率，稳态误差界)在人为设定的性能指标之内。

为了反映误差的收敛速率及误差的大小，需要人为设定误差的界限来作为比较，即预设性能的轨迹，系统的跟踪误差和误差收敛速率都会处于预设性能之内。

定义预设性能轨迹ρ(t)为：

ρ(t)＝(ρ₀-ρ_∞)e^-lt+ρ_∞  (6)

其中，ρ_∞为最终误差界，ρ₀为初始误差界，t→0时ρ(t)→ρ₀，t→∞，ρ(t)→ρ_∞，e^-lt代表ρ(t)的收敛速度，l表示收敛速率参数。

通过设计预设性能轨迹ρ(t)，可以反映系统的暂态性能，稳态性能，而性能曲线的收敛速率能够表示跟踪误差e(t)的收敛速度。

定义误差指标为θ(ε)：

$\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\ϵ}\right)=\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}---\left(7\right)$

若系统误差在设定误差界内，则-1≤θ(ε)≤1。

可对误差指标进行误差变换(使用双曲正切函数)，把受限的误差指标 转换成不受限制的误差指标ε。

而且当ε→0，θ(ε)→0，e(t)→0。

误差变换方式如下：

选择双曲正切函数作为误差变换函数，定义：

$\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\ϵ}\right)=\frac{e^{\mathrm{\δ\ϵ}}-e^{-\mathrm{\δ\ϵ}}}{e^{\mathrm{\δ\ϵ}}+e^{-\mathrm{\δ\ϵ}}}---\left(8\right)$

其中，δ为双曲正切函数可调参数，为一可调正数。

通过求解ε，可以得到变换过后的误差指标，记经过变换的误差指标为：

$\mathrm{\ϵ}=\mathrm{\θ}{\left(\mathrm{\ϵ}\right)}^{-1}\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right)---\left(9\right).$

3.带干扰上限估计的自适应滑模控制器设计

定义 $q_d=\left[\begin{array}{c}{x}_d\\ y_d\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的理想振动轨迹，定义微陀螺仪的跟踪误差为

e(t)＝q_d-q₁  (10)

其中q₁为微陀螺仪实际振动轨迹。

一般情况下，滑模控制采用误差及误差的导数来设计滑模面。

采用预设性能控制，对误差指标进行转换之后，采用新的误差指标来进行滑模面的设计。

设计滑模面S为：

$S=\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}+\mathrm{\λ\ϵ}---\left(11\right)$

所设计的滑模面使用的误差指标为经过变换后的误差指标ε及其导数

其中，λ＝λ^T，λ为设计的滑模面参数，一般取成对角元素都为正数的对角矩阵。

对所设计的滑模面S进行求导，可以得到滑模面的导数为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{S}=\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}+\mathrm{\λ}\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}\\ =\frac{d\left(\mathrm{\θ}{\left(\mathrm{\ϵ}\right)}^{-1}\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right)\right)}{d\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right)}\·\frac{\stackrel{\·\·}{e}\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}+\mathrm{\λ}\frac{d\left(\mathrm{\θ}{\left(\mathrm{\ϵ}\right)}^{-1}\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right)\right)}{d\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right)}\·\frac{\stackrel{\·}{e}\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\end{array}---\left(12\right)$

其中，经过变换的误差指标为：

$\mathrm{\ϵ}=\mathrm{\θ}{\left(\mathrm{\ϵ}\right)}^{-1}\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right),$

经过变换的误差指标的导数为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}=\frac{d\left(\mathrm{\θ}{\left(\mathrm{\ϵ}\right)}^{-1}\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right)\right)}{d\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right)}\·\frac{\stackrel{\·}{e}\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)},$

经过变换的误差指标的二阶导数为：

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}=\frac{d\left(\mathrm{\θ}{\left(\mathrm{\ϵ}\right)}^{-1}\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right)\right)}{d\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right)}\·\frac{\stackrel{\·\·}{e}\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}$

对跟踪误差式(10)对时间t分别求一阶导数和求二阶导数，则跟踪误差的一阶导数和二阶导数可以写成：

$\stackrel{\·}{e}\left(t\right)={\stackrel{\·}{q}}_d-{\stackrel{\·}{q}}_1---\left(13\right)$

$\stackrel{\·\·}{e}\left(t\right)={\stackrel{\·\·}{q}}_d-{\stackrel{\·\·}{q}}_1---\left(14\right)$

将微陀螺仪的状态方程式(5)代入跟踪误差的二阶导数式(14)中，可以得到跟踪误差的二阶导数为：

$\stackrel{\·\·}{e}={\stackrel{\·\·}{q}}_d-{\stackrel{\·\·}{q}}_1={\stackrel{\·\·}{q}}_d-{\stackrel{\·}{q}}_2={\stackrel{\·\·}{q}}_d-(u-(D+2\mathrm{\Ω}){\stackrel{\·}{q}}_1-{\mathrm{Kq}}_1+F)---\left(15\right)$

为了书写方便，记 $\frac{d\left(\mathrm{\θ}{\left(\mathrm{\ϵ}\right)}^{-1}\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right)\right)}{d\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}\right)}\·\frac{1}{\mathrm{\ρ}\left(t\right)}=R,R=\left[\begin{array}{cc}{R}_1& 0\\ 0& R_2\end{array}\right],$ R₁,R₂都为正数。

设计控制律为：

控制律包括等效控制项u_eq和鲁棒项u_s。其中，等效控制项保持系统状态处于滑模面上，鲁棒项能够补偿系统不确定性和外界干扰的影响，保证系统状态趋于滑模面，并且阻止系统状态离开滑模面。

不考虑系统参数不确定性及外界干扰F，令滑模面的导数可以得到等效控制项为：

$u_{\mathrm{eq}}=\mathrm{\λ}({\stackrel{\·}{q}}_d-{\stackrel{\·}{q}}_1)+{\stackrel{\·\·}{q}}_d+(D+2\mathrm{\Ω}){\stackrel{\·}{q}}_1+{\mathrm{Kq}}_1---\left(17\right)$

鲁棒项设计为：

u_s＝α·sign(S)  (18)

其中，α为系统参数不确定和外界干扰的总和F的上界，将其作为鲁棒项增益，取对角元素为正数的正对角矩阵。

sign()为符号函数，表示为：

$\mathrm{sign}\left(a\right)=\left\{\begin{array}{ccc}1& \mathrm{if}& a>0\\ 0& \mathrm{if}& a=0\\ -1& \mathrm{if}& a<0\end{array}\right.$

由此，得到控制律为：

但是控制律式(19)中包含系统的参数矩阵D，K，Ω，而在实际情况中D，K，Ω是未知参数或者所知道的标称值与实际值间存在误差。因此，所设计的控制律是难以实施的。为此，需要对控制力信号进行改进，根据自适应控制的原理，自适应机制能够根据系统的状态调整自身参数，可以使用自适应机制对微陀螺仪数学模型的参数矩阵进行估计并且自适应机制本身会进行调整，利用系统参数矩阵的估计值来代替其真实值设计控制力信号，并设计自适应算法，在线更新系统参数矩阵的估计值，保证系统的稳定性。

取为D，K，Ω的估计值，

定义参数矩阵估计误差为：

$\tilde{D}=D-\hat{D},\tilde{K}=K-\hat{K},\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}=\mathrm{\&Omega;}-\widehat{\mathrm{\&Omega;}}$

使用参数矩阵的估计值来代替实际值，得到新的控制律为

参数矩阵的自适应律为

${\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{D}}}^T=-{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{D}}}^T=-{\mathrm{\&eta;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1{S}^{T}R---\left(23\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{K}}}^T=-{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{K}}}^T=-2{\mathrm{\&eta;}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1{S}^{T}R---\left(24\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}}}^T=-{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&Omega;}}}}^T=-{\mathrm{\&eta;}}_3{q}_1{S}^{T}R---\left(25\right)$

其中，η₁，η₂，η₃为自适应参数。

在上述自适应律设计部分，被控系统的各个参数矩阵都是确定的数值，是确定常数，只是因为参数未知，所以设计自适应律进行估计。

由于存在系统参数不确定性和外界干扰，因此在控制力设计中设计了鲁棒项来补偿由于干扰造成的影响。在前面的设计中，取鲁棒项的增益稍大于干扰上界；而在实际情况中，干扰的上界是很难甚至不可能取到的。因此，实际情况中，一般采取比较保守的做法，人为设置一个比较大的鲁棒项增益来对干扰进行处理；而由于滑模控制自身的特点，滑模面不可能总是零，而是出于一种高频来回穿越零的情况，此时，比较大的鲁棒增益所造成的影响就是控制力信号的抖振。因此，需要对鲁棒项进行改进。由于干扰上界一般很难确定，为此可以设计神经网络来对系统参数不确定和外界干扰的总和F的上界值α进行估计。

假设系统参数不确定和外界干扰的总和的上界估计值设为利用神经网络来逼近上界值α可以表示为：

$\widehat{\mathrm{\&alpha;}}={\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{\&phi;}---\left(26\right)$

其中，为神经网络权值的估计值，φ为高斯基函数。

在使用神经网络逼近系统参数不确定和外界干扰的总和的上界α时，存在最优权值ω^*，满足ω^*Tφ-α＝σ₂，σ₂为逼近误差，并且逼近误差是有界的，即满足|σ₂|＜σ_*，σ_*为逼近误差的上界，是一个正数。且α，|F|，σ₁，σ_*满足：α-|F|≥σ₁＞σ_*。

定义神经网络权值误差为：

$\widetilde{\mathrm{\&omega;}}={\mathrm{\&omega;}}^{*}-\widehat{\mathrm{\&omega;}}---\left(27\right)$

利用神经网络对系统参数不确定和外界干扰的总和的上界进行估计，并代入到式(22)的控制律中，可以得到改进的控制律为：

其中为系统参数矩阵D，K，Ω的估计值，鲁棒项增益为使用神经网络对

系统参数不确定和外界干扰的总和的上界估计得到的值

设计Lyapunov函数V为：

$V=\frac{1}{2}{S}^{T}S+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\tilde{D}}^T{\mathrm{\&eta;}}_1^{-1}\tilde{D}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\tilde{K}}^T{\mathrm{\&eta;}}_2^{-1}\tilde{K}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_3^{-1}\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_4^{-1}\widetilde{\mathrm{\&omega;}}\right)---\left(29\right)$

其中，分别为系统参数矩阵D，K，Ω的估计误差，η₄为自适应参数。

对(29)两边求导，并将改进的控制律作为微陀螺仪的控制输入u代入得到：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=S^T\stackrel{\&CenterDot;}{S}+\mathrm{tr}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{D}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_1^{-1}\tilde{D}\right)+\mathrm{tr}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{K}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_2^{-1}\tilde{K}\right)+\mathrm{tr}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_3^{-1}\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}\right)+\mathrm{tr}\left({\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_4^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}\right)\\ =S^{T}R(\mathrm{\&lambda;}({\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_d+(D+2\mathrm{\&Omega;}){\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1+{\mathrm{Kq}}_1-u-F\left)\right)+\mathrm{tr}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{D}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_1^{-1}\tilde{D}\right)+\mathrm{tr}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{K}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_2^{-1}\tilde{K}\right)+\mathrm{tr}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_3^{-1}\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}\right)+\mathrm{tr}\left({\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_4^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}\right)\\ =S^{T}R(-{\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{\&phi;sign}\left(S\right)-F+\tilde{D}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1+2\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1+\tilde{K}{q}_1)+\mathrm{tr}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{D}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_1^{-1}\tilde{D}\right)+\mathrm{tr}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{K}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_2^{-1}\tilde{K}\right)+\mathrm{tr}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_3^{-1}\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}\right)+\mathrm{tr}\left({\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_4^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}\right)\\ =S^{T}R(-{\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{\&phi;sign}\left(S\right)-F)+\mathrm{tr}\left({\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_4^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}\right)+S^{T}R\tilde{D}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1+\mathrm{tr}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{D}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_1^{-1}\tilde{D}\right)+2S^{T}R\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1+\mathrm{tr}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_3^{-1}\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}\right)+S^{T}R\tilde{K}{q}_1+\mathrm{tr}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{K}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_2^{-1}\tilde{K}\right)\\ =R(-{\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{\&phi;}|S^T|-F|S^T\left|\right)+\mathrm{tr}\left({\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_4^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}\right)\end{array}$

设计神经网络权值自适应律为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&omega;}}}=-\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}={\mathrm{\&eta;}}_4\left|{\mathrm{RS}}^T\right|\mathrm{\&phi;}---\left(30\right)$

结合自适应律式(23)、式(24)、式(25)得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=-\left|{\mathrm{RS}}^T\right|({\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{\&phi;}-\mathrm{\&alpha;})-\left|{\mathrm{RS}}^T\right|(\mathrm{\&alpha;}-|F\left|\right)+\mathrm{tr}\left({\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_4^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}\right)\\ =-\left|{\mathrm{RS}}^T\right|({\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{\&phi;}-{\mathrm{\&omega;}}^{*T}\mathrm{\&phi;}+{\mathrm{\&sigma;}}_2)-\left|{\mathrm{RS}}^T\right|(\mathrm{\&alpha;}-|F\left|\right)+\mathrm{tr}\left({\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_4^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}\right)\\ =-\left|{\mathrm{RS}}^T\right|(-{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{\&phi;}+{\mathrm{\&sigma;}}_2)-\left|{\mathrm{RS}}^T\right|(\mathrm{\&alpha;}-|F\left|\right)+\mathrm{tr}\left({\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_4^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}\right)\end{array}$

代入神经网络权值自适应律式(30)得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-\left|{\mathrm{RS}}^T\right|{\mathrm{\&sigma;}}_2-\left|{\mathrm{RS}}^T\right|(\mathrm{\&alpha;}-|F\left|\right)\\ \&le;\left|{\mathrm{RS}}^T\right|\left|{\mathrm{\&sigma;}}_2\right|-\left|{\mathrm{RS}}^T\right|(\mathrm{\&alpha;}-|F\left|\right)\\ =\left|{\mathrm{RS}}^T\right|\left(\right|{\mathrm{\&sigma;}}_2|-(\mathrm{\&alpha;}-|F\left|\right))\\ <\left|{\mathrm{RS}}^T\right|({\mathrm{\&sigma;}}_{*}-{\mathrm{\&sigma;}}_1)\\ <0\end{array}$

因此，能够保证Lyapunov函数的导数是负定的，根据Lyapunov稳定性第二方法，可以判定系统的渐进稳定性。

4.仿真实验验证

根据预设控制滑模自适应控制的算法，在MATLAB/Simulink中对控制系统进行数值仿真。仿真实验的微振动陀螺仪参数如下：

m＝1.8×10^-7kg，k_xx＝63.955N/m，k_yy＝95.92N/m，k_xy＝12.779N/m，

d_xx＝1.8×10^-6N·s/m，d_yy＝1.8×10^-6N·s/m，d_xy＝3.6×10^-7N·s/m

未知的输入角速度假定为Ω_z＝100rad/s。参考长度选取为q₀＝1μm，参考频率ω₀＝1000Hz，非量纲化后，微陀螺仪各参数如下：

ω_x ²＝355.3，ω_y ²＝532.9，ω_xy＝70.99，d_xx＝0.01，

d_yy＝0.01，d_xy＝0.002，Ω＝0.1

被控对象的初始状态取 $q_0=\left[\begin{array}{c}0.7\\ 0\end{array}\right],$ 参考轨迹 $q_d=\left[\begin{array}{c}{x}_d\\ y_d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sin \left(4.17t\right)\\ 0.7\sin \left(5.67t\right)\end{array}\right],$

外界干扰为随机干扰 $d=\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{rand}\left(1\right)\\ \mathrm{rand}\left(1\right)\end{array}\right].$

预设性能曲线设计为：ρ(t)＝(1-0.05)e^-0.28t+0.05，其中最终误差界ρ_∞为ρ_∞＝0.05，初始误差界ρ₀＝1，ρ(t)的收敛速率e^-lt中的收敛速率参数l＝0.28。

滑模面参数取： $\mathrm{\&lambda;}={\mathrm{\&lambda;}}^T=\left[\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right].$

参数辨识部分自适应参数取为：η₁＝2、η₂＝1、η₃＝50。

神经网络估计上界部分自适应参数取为：η₄＝0.7。

图2为采用状态观测器反演控制方法得到的X、Y轴方向上的位置跟踪曲线，其中虚线为理想轨迹，实线为实际跟踪曲线。从图中可以看出，经过控制的轨迹能够很好的跟踪上理想轨迹。

图3为X、Y轴方向上的轨迹跟踪误差，可以看出经过很短的时间，跟踪误差就能基本收敛到0，并基本保持在0。

图4为本发明具体实施实例中角速度辨识曲线，可以看出，经过自适应算法的调整，角速度能够被正确估计出来。

图5为本发明具体实施实例中参数辨识曲线，可以看出经过自适应算法的调整，自适应算法对于系统的参数的辨识值都能趋于真值并保持稳定。图中第一行第一幅图代表d_xx，第一行第二幅图代表d_xy，第一行第三幅图代表d_yy，第二行第一幅图代表ω_x ²，第二行第二幅图代表ω_xy，第二行第三幅图代表ω_y ²。

Claims (9)

1.微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立微陀螺仪的非量纲化数学模型；

2)设计预设性能轨迹；

3)设计误差指标，并采用双曲正切函数进行误差变换；

4)采用变换后的误差指标设计滑模面；

5)设计控制律；

6)采用自适应算法对微陀螺仪数学模型的参数矩阵进行估计，得到改进的控制律；

7)采用自适应神经网络对系统的干扰上界进行估计，得到改进的控制律；

8)设计Lyapunov函数，并设计微陀螺仪数学模型的参数矩阵和神经网络权值的自适应律，确保所设计的微陀螺自适应滑模预设性能控制系统的稳定性。

2.根据权利要求1所述的微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法，其特征在于，所述步骤1)中，微陀螺仪的非量纲化数学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{q}}_1=q_2\\ {\stackrel{.}{q}}_2=u-(D-2\mathrm{\&Omega;}){\stackrel{.}{q}}_1-{\mathrm{Kq}}_1+F\end{array}\right.$

其中，q₁＝q， $q_2=\stackrel{.}{q},$ $q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的运动轨迹， $u\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的控制输入，D，K，Ω为微陀螺仪数学模型的参数矩阵，F为参数不确定和外界干扰总和。

3.根据权利要求1所述的微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法，其特征在于，所述步骤2)中，预设性能轨迹ρ(t)为：

ρ(t)＝(ρ₀-ρ_∞)e^-lt+ρ_∞，

其中，ρ_∞为最终误差界，ρ₀为初始误差界，t→0时ρ(t)→ρ₀，t→∞，ρ(t)→ρ_∞，e^-lt代表ρ(t)的收敛速率，l表示收敛速率参数。

4.根据权利要求1所述的微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法，其特征在于，所述步骤3)中，误差指标θ(ε)定义为：

$\mathrm{\&theta;}\left(\mathrm{\&epsiv;}\right)=\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\&rho;}\left(t\right)}$

其中，e(t)为跟踪误差；

所述经过变换的误差指标ε为：

$\mathrm{\&epsiv;}=\mathrm{\&theta;}{\left(\mathrm{\&epsiv;}\right)}^{-1}\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\&rho;}\left(t\right)}\right).$

5.根据权利要求1所述的微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法，其特征在于，所述步骤4)中，所述滑模面函数S设计为：

$S=\stackrel{.}{\mathrm{\&epsiv;}}+\mathrm{\&lambda;\&epsiv;}$

其中，λ为滑模面参数。

6.根据权利要求1所述的微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法，其特征在于，所述步骤5)中，所述控制律设计为：

其中，为等效控制项，u_s＝α·sign(S)为鲁棒项，

q_d为微陀螺仪的理想振动轨迹，α为参数不确定和外界干扰总和的上界，sign()为符号函数。

7.根据权利要求1所述的微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法，其特征在于，所述步骤6)中，所述改进的控制律为：

其中，为D，K，Ω的估计值。

8.根据权利要求1所述的微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法，其特征在于，所述步骤7)中，所述改进的控制律为：

其中， 为参数不确定和外界干扰总和的上界α的估计值，为神经网络权值的估计值，φ为高斯基函数。

9.根据权利要求1所述的微陀螺仪自适应滑模预设性能控制方法，其特征在于，所述步骤8)中，所述Lyapunov函数V设计为：

$V=\frac{1}{2}{S}^{T}S+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\tilde{D}}^T{\mathrm{\&eta;}}_1^{-1}\tilde{D}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\tilde{K}}^T{\mathrm{\&eta;}}_2^{-1}\tilde{K}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_3^{-1}\widetilde{\mathrm{\&Omega;}}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T{\mathrm{\&eta;}}_4^{-1}\widetilde{\mathrm{\&omega;}}\right)$

其中，η₁，η₂，η₃，η₄为自适应参数， 分别为微陀螺仪数学模型的参数矩阵D，K，Ω的估计误差；

所述微陀螺仪数学模型的参数矩阵的自适应律为：

${\stackrel{.}{\stackrel{~}{D}}}^T=-{\stackrel{.}{\hat{D}}}^T=-{\mathrm{\&eta;}}_1{\stackrel{.}{q}}_1{S}^{T}R;$

${\stackrel{.}{\stackrel{~}{K}}}^T=-{\stackrel{.}{\hat{K}}}^T=-{2\mathrm{\&eta;}}_2{\stackrel{.}{q}}_1{S}^{T}R;$

${\stackrel{.}{\stackrel{~}{\mathrm{\&Omega;}}}}^T=-{\stackrel{.}{\widehat{\mathrm{\&Omega;}}}}^T=-{\mathrm{\&eta;}}_3{\stackrel{.}{q}}_1{S}^{T}R;$

所述神经网络权值的自适应律为：

$\stackrel{.}{\widehat{\mathrm{\&omega;}}}=-\stackrel{.}{\stackrel{~}{\mathrm{\&omega;}}}={\mathrm{\&eta;}}_4\left|{\mathrm{RS}}^T\right|\mathrm{\&phi;};$

其中， $R=\frac{d\left(\mathrm{\&theta;}{\left(\mathrm{\&epsiv;}\right)}^{-1}\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\&rho;}\left(t\right)}\right)\right)}{d\left(\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\&rho;}\left(t\right)}\right)}\&CenterDot;\frac{1}{\mathrm{\&rho;}\left(t\right)},$ 为神经网络权值误差。