CN104950677B - 基于反演滑模控制的机械臂系统饱和补偿控制方法 - Google Patents

基于反演滑模控制的机械臂系统饱和补偿控制方法 Download PDF

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Abstract

一种基于反演滑模控制的机械臂系统饱和补偿控制方法，包括：建立机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数；根据微分中值定理，将系统中的非线性输入饱和线性化处理，推导出带有未知饱和的机械臂伺服系统模型；计算控制系统跟踪误差，滑模面及微分。本发明提供一种能够有效避免未知饱和输入对系统位置跟踪控制性能的影响，利用动态补偿的反演滑模控制方法，实现系统的稳定快速跟踪。

Description

基于反演滑模控制的机械臂系统饱和补偿控制方法
技术领域
本发明涉及一种基于反演滑模控制的机械臂系统饱和补偿控制方法，特别是带有输入饱和约束的机械臂伺服系统的控制方法。
背景技术
机械臂伺服系统在机器人、航空飞行器等高性能系统中得到了广泛的应用，如何实现机械臂伺服系统的快速精确控制已经成为了一个热点问题。机器臂的轨迹跟踪控制系统与柔性机械臂问题受到越来越多的重视。然而，未知饱和非线性环节广泛存在于机械臂伺服系统中，往往会导致控制系统的效率降低甚至是失效。因此,输入饱和的约束必须考虑在控制器设计过程中。针对机械臂伺服系统的控制问题，存在很多控制方法，例如PID控制，自适应控制，滑模控制等。
滑模控制在解决系统不确定性和外部扰动方面被认为是一个有效的鲁棒控制方法。滑模控制方法具有算法简单、响应速度快、对外界噪声干扰和参数摄动鲁棒性强等优点。因此，滑模控制方法被广泛应用于机器人、电机、飞行器等领域。然而，滑模控制在设计过程中需要满足匹配条件，实际系统匹配条件的不确定性成为了滑模控制设计的障碍。反演法具有改善滑模控制器性能，放松匹配条件的优点。将滑模控制与反演法相结合，在控制器的每一步设计中引入虚拟控制变量。因此，采用反演滑模控制，结合两者的优点，成为了一个重要的研究方向。
饱和非线性环节广泛存在于机械臂伺服系统、液压伺服系统以及其他工业工程领域。饱和的存在往往会导致控制系统的效率降低甚至是失效。因此，为提高控制性能，针对饱和的补偿和控制方法必不可少。传统的饱和补偿方法一般是建立饱和的逆模型或近似逆模型，并通过估计饱和的上下界参数设计自适应控制器，以补偿饱和的影响。然而，在机械臂伺服系统等非线性系统中，饱和的逆模型往往不易精确获得。对于系统中存在的未知饱和输入，基于微分中值定理经行线性化，使其成为一个简单的时变系统，避免了附加补偿。神经网络广泛应用于处理系统的非线性和不确定性，并取得了良好的控制效果。从而可以利用神经网络逼近未知函数和系统模型的未知参数，同时避免反演法带来的复杂度爆炸问题提高系统的跟踪控制性能。
发明内容
为了克服现有的机械臂伺服系统的无法有效地饱和补偿以及模型参数不确定性等的不足，本发明提供一种基于反演滑模控制的机械臂系统饱和补偿控制方法，实现了带饱和输入的机械臂系统位置跟踪控制，保证系统稳定快速跟踪。
为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：
一种基于反演滑模控制的机械臂系统饱和补偿控制方法，包括以下步骤：
步骤1，建立机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：
1.1 机械臂伺服系统的动态模型表达形式为
其中，q和θ分别为机械臂连杆和电机的角度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J是电机的惯量；K为弹簧刚度系数；M和L分别是连杆的质量和长度；u是控制信号；v(u)为饱和，表示为：
其中sgn(u)为未知非线性函数；vmax为未知饱和参数，满足vmax＞0；
定义x1＝q，x3＝θ，式(1)改写为
其中，y为系统输出轨迹；
1.2 定义变量z1＝x1，z2＝x2， 则式(3)改写成
其中，
步骤2，根据微分中值定理，将系统中的非线性输入饱和进行线性化处理，推导出带有未知饱和的机械臂伺服系统模型，过程如下：
2.1 对饱和模型进行光滑处理
则
v(u)＝sat(u)＝g(u)+d(u) (6)
其中，d(u)表示光滑函数与饱和模型之间存在的误差；
2.2 根据微分中值定理，存在δ∈(0,1)使
其中
选择u0＝0，将式(7)改写为
2.2 由式(6)和式(8)，将式(4)改写为以下等效形式：
其中，
步骤3，计算控制系统跟踪误差，滑模面及微分，过程如下：
3.1 定义控制系统的跟踪误差，滑模面为
其中，yd为二阶可导期望轨迹，λ为常数，且λ＞0；
3.2 对式(10)求导得：
步骤4，针对式(9)，选择神经网络逼近未知动态，根据李雅普诺夫函数和反演滑模理论，设计虚拟控制量，更新神经网络权值矩阵，过程如下：
4.1 计算李雅普诺夫函数的微分为
其中，s2＝z2-β1，β1为虚拟控制量，表达式为：
其中，k1为常数，且k1＞0；
于是，式(12)改写为
4.2 定义误差变量
si＝zi-βi-1,i＝2,3 (15)
式(15)的一阶微分为
4.3 为了逼近不能直接得到的非线性不确定项定义以下神经网络
其中，为理想权重，εj为神经网络误差值，表达式为：
其中，a,b,c,d为合适的常数，j＝1,2；
4.4 设计李雅普诺夫函数Vi,i＝2,3
其中，Γi-1＝Γi-1 T＞0， 为理想权重Wi-1的估计值，Γi-1是自适应增益矩阵，εN(i-1)满足|εi-1|≤εN(i-1)，为理想误差上界的估计值；
4.5 计算李雅普诺夫函数Vi的微分
将式(16)和式(17)代入式(20)得
4.6 设计虚拟控制量为
其中ki,i＝2,3，δ为正常数；
4.7 设计神经网络权重和自适应参数的调节规律为
其中，j＝1,2，3，σj，都是常数，且σj＞0，σj＞0；
步骤5，设计控制器输入，过程如下：
5.1 定义误差变量
s4＝z4-β3 (24)
计算式(24)的一阶微分为
5.2 为了逼近不能直接得到的非线性不确定项以及b2，定义以下神经网络
其中，为理想权重，ε3为神经网络误差值，表达式为：
其中，a,b,c,d为合适的常数；
5.3 设计李雅普诺夫函数V4
其中，Γ3＝Γ3 T＞0， 为理想权重W3的估计值，Γ3是自适应增益矩阵，εN3满足|ε3|≤εN3，为理想误差上界ε3的估计值；
5.4 计算李雅普诺夫函数V4的微分
将式(25)和式(26)代入式(29)得
5.5 设计控制器输入为
其中，k4，δ为正常数，的调节规律满足式(23)；
步骤6，设计李雅普诺夫函数
V＝V1+V2+V3+V4 (32)
对式(26)进行求导得：
将式(14)，(21)，(30)代入式(33)，如果则判定系统是稳定的。
本发明基于神经网络，反演滑模控制方法，考虑未知饱和输入情况下，设计机械臂伺服系统的饱和补偿的控制方法，实现系统的位置跟踪控制，保证跟踪误差在有限时间收敛。
本发明的技术构思为：针对机械臂伺服系统，考虑未知饱和输入的情况下，利用微分中值定理优化饱和结构，提出带有饱和模型的机械臂伺服系统。再结合神经网络、自适应控制以及反演滑模控制，设计一种机械臂伺服系统的饱和补偿控制方法。通过微分中值定理，使饱和连续可微，再通过神经网络逼近未知函数，取消了传统饱和的附加补偿。并且利用反演滑模设计虚拟误差变量，实现系统的位置跟踪控制。本发明提供一种能够有效避免未知饱和输入对系统位置跟踪控制性能的影响的反演滑模控制方法，实现系统的稳定快速跟踪。
本发明的优点为：避免未知饱和输入对系统位置跟踪控制性能的影响，补偿系统未知模型不确定项，实现系统的位置跟踪。
附图说明
图1为本发明的非线性饱和的示意图；
图2为本发明的跟踪效果的示意图；
图3为本发明的跟踪误差的示意图；
图4为本发明的控制器输入的示意图；
图5为本发明的控制流程图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做进一步说明。
参照图1-图5，一种基于反演滑模控制的机械臂系统饱和补偿控制方法，包括以下步骤：
步骤1，建立机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：
1.1 机械臂伺服系统的动态模型表达形式为
其中，q和θ分别为机械臂连杆和电机的角度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J是电机的惯量；K为弹簧刚度系数；M和L分别是连杆的质量和长度；u是控制信号；v(u)为饱和，表示为：
其中sgn(u)为未知非线性函数；vmax为未知饱和参数，满足vmax＞0；
定义x1＝q，x3＝θ，式(1)改写为
其中，y为系统输出轨迹；
1.2 定义变量z1＝x1，z2＝x2， 则式(3)改写成
其中，
步骤2，根据微分中值定理，将系统中的非线性输入饱和进行线性化处理，推导出带有未知饱和的机械臂伺服系统模型，过程如下：
2.1 对饱和模型进行光滑处理
则
v(u)＝sat(u)＝g(u)+d(u) (6)
其中，d(u)表示光滑函数与饱和模型之间存在的误差；
2.2 根据微分中值定理，存在δ∈(0,1)使
其中
选择u0＝0，将式(7)改写为
2.2 由式(6)和式(8)，将式(4)改写为以下等效形式：
其中，
步骤3，计算控制系统跟踪误差，滑模面及微分，过程如下：
3.1 定义控制系统的跟踪误差，滑模面为
其中，yd为二阶可导期望轨迹，λ为常数，且λ＞0；
3.2 对式(10)求导得：
步骤4，针对式(9)，选择神经网络逼近未知动态，根据李雅普诺夫函数和反演滑模理论，设计虚拟控制量，更新神经网络权值矩阵，过程如下：
4.1 计算李雅普诺夫函数的微分为
其中，s2＝z2-β1，β1为虚拟控制量，表达式为：
其中，k1为常数，且k1＞0；
于是，式(12)改写为
4.2 定义误差变量
si＝zi-βi-1,i＝2,3 (15)
式(15)的一阶微分为
4.3 为了逼近不能直接得到的非线性不确定项定义以下神经网络
其中，为理想权重，εj为神经网络误差值，表达式为：
其中，a,b,c,d为合适的常数，j＝1,2；
4.4 设计李雅普诺夫函数Vi,i＝2,3
其中，Γi-1＝Γi-1 T＞0， 为理想权重Wi-1的估计值，Γi-1是自适应增益矩阵，εN(i-1)满足|εi-1|≤εN(i-1)，为理想误差上界的估计值；
4.5 计算李雅普诺夫函数Vi的微分
将式(16)和式(17)代入式(20)得
4.6 设计虚拟控制量为
其中ki,i＝2,3，δ为正常数；
4.7 设计神经网络权重和自适应参数的调节规律为
其中，j＝1,2，3，σj，都是正常数；
步骤5，设计控制器输入，过程如下：
5.1 定义误差变量
s4＝z4-β3 (24)
计算式(24)的一阶微分为
5.2 为了逼近不能直接得到的非线性不确定项 以及b2，定义以下神经网络
其中，为理想权重，ε3为神经网络误差值，表达式为：
其中，a,b,c,d为合适的常数；
5.3 设计李雅普诺夫函数V4
其中，Γ3＝Γ3 T＞0， 为理想权重W3的估计值，Γ3是自适应增益矩阵，εN3满足|ε3|≤εN3，为理想误差上界ε3的估计值；
5.4 计算李雅普诺夫函数V4的微分
将式(25)和式(26)代入式(29)得
5.5 设计控制器输入为
其中，k4，δ为正常数，的调节规律满足式(23)；
步骤6，设计李雅普诺夫函数
V＝V1+V2+V3+V4 (32)
对式(26)进行求导得：
将式(14)，(21)，(30)代入式(33)，如果则判定系统是稳定的。
为验证所提方法的有效性，本发明给出了三种控制方法的对比：带饱和补偿的反演滑模控制方法(S1)、不带饱和补偿的反演滑模控制方法(S2)以及不带饱和补偿的反演控制方法(S3)。
为了更有效的进行对比，所有参数设置都是一致的系统初始化参数为[x1,x2,x3,x4]T＝[0,0,0,0]T；神经网络参数为Γ1＝Γ2＝Γ3＝diag{0.1}，a＝1，b＝10，c＝0.1，d＝-1；自适应控制率参数为σ＝0.01,δ＝0.1；系统模型参数为Mgl＝5，I＝1，J＝1，K＝40，I＝1；饱和参数为vmax＝1；控制器参数为k1＝0.01，k2＝8，k3＝1，k4＝1，λ＝1.8。
跟踪yd＝0.5sin(t)的信号，由图2可以看出，S1的跟踪效果比S2、S3更好；从图3可以看出，S1方法的跟踪稳态误差最小。从图4可以看出，在带有饱和输入控制器情况下，实现了系统的稳定跟踪。因此，本发明提供一种能够有效避免未知饱和输入对系统位置跟踪控制性能的影响的反演滑模控制方法，实现系统的稳定快速跟踪。
以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。

Claims (1)

1.一种基于反演滑模控制的机械臂系统饱和补偿控制方法，其特征在于：所述控制方法包括以下步骤：
步骤1，建立机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：
1.1机械臂伺服系统的动态模型表达形式为
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>I</mi> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mi>g</mi> <mi>L</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>J</mi> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，q和θ分别为机械臂连杆和电机的角度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J是电机的惯量；K为弹簧刚度系数；M和L分别是连杆的质量和长度；u是控制信号；v(u)为饱和函数，表示为：
<mrow> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>u</mi> <mo>|</mo> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>u</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>u</mi> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中sgn(u)为未知非线性函数；vmax为未知饱和参数，满足vmax＞0；
定义x1＝q，x3＝θ，式(1)改写为
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其中，y为系统输出轨迹；
1.2定义变量z1＝x1，z2＝x2， 则式(3)改写成
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其中，
步骤2，根据微分中值定理，将系统中的非线性输入饱和进行线性化处理，推导出带有未知饱和的机械臂伺服系统模型，过程如下：
2.1对饱和模型进行光滑处理
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则
v(u)＝sat(u)＝g(u)+d(u) (6)
其中，d(u)表示光滑函数与饱和模型之间存在的误差；
2.2根据微分中值定理，存在ξ∈(0,1)使
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其中uξ＝ξu+(1-ξ)u0，u0∈(0,u)；
选择u0＝0，将式(7)改写为
<mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>g</mi> <msub> <mi>u</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> </msub> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.3由式(6)和式(8)，将式(4)改写为以下等效形式：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>u</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，
步骤3，计算控制系统跟踪误差，滑模面及微分，过程如下：
3.1定义控制系统的跟踪误差，滑模面为
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>d</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>&amp;Integral;</mo> <mrow> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，yd为二阶可导期望轨迹，λ为常数，且λ＞0；
3.2对式(10)求导得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤4，针对式(9)，选择神经网络逼近未知动态，根据李雅普诺夫函数和反演滑模理论，设计虚拟控制量，更新神经网络权值矩阵，过程如下：
4.1计算李雅普诺夫函数的微分为
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>e</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>e</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，s2＝z2-β1，β1为虚拟控制量，表达式为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，k1为常数，且k1＞0；
于是，式(12)改写为
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
4.2定义误差变量
si＝zi-βi-1,i＝2,3 (15)
式(15)的一阶微分为
<mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
4.3为了逼近不能直接得到的非线性不确定项定义以下神经网络
其中，为理想权重，εj为神经网络误差值，表达式为：
其中，a,b,c,d为合适的常数，j＝1,2；
4.4设计李雅普诺夫函数Vi,i＝2,3
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Γi-1＝Γi-1 T＞0， 为理想权重Wi-1的估计值，Γi-1是自适应增益矩阵，εN(i-1)满足|εi-1|≤εN(i-1)，为理想误差上界的估计值；
4.5计算李雅普诺夫函数Vi的微分
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msubsup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mover> <mover> <mi>W</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(16)和式(17)代入式(20)得
4.6设计虚拟控制量为
其中ki,i＝2,3，δ为正常数；
4.7设计神经网络权重和自适应参数的调节规律为
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>W</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>tanh</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>/</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，j＝1,2，3，σj，都是正常数；
步骤5，设计控制器输入，过程如下：
5.1定义误差变量
s4＝z4-β3 (24)
计算式(24)的一阶微分为
<mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
5.2为了逼近不能直接得到的非线性不确定项以及b2，定义以下神经网络
其中，为理想权重，ε3为神经网络误差值，表达式为：
其中，a,b,c,d为合适的常数；
5.3设计李雅普诺夫函数V4
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mn>3</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Γ3＝Γ3 T＞0， 为理想权重W3的估计值，Γ3是自适应增益矩阵，εN3满足|ε3|≤εN3，为理想误差上界ε3的估计值；
5.4计算李雅普诺夫函数V4的微分
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mn>3</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mover> <mover> <mi>W</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(25)和式(26)代入式(29)得
5.5设计控制器输入为
其中，k4，δ为正常数，的调节规律满足式(23)；
步骤6，设计李雅普诺夫函数
V＝V1+V2+V3+V4 (32)
对式(26)进行求导得：
<mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(14)，(21)，(30)代入式(33)，如果则判定系统是稳定的。
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基于非线性干扰观测器的机械臂自适应反演滑模控制;席雷平 等;《信息与控制》;20130831;第42卷(第4期);全文 *
带有未知死区的转台伺服系统神经网络滑模控制;陈强 等;《第三十二届中国控制会议论文集（A卷）》;20131231;全文 *
机械臂位置跟踪自适应反演滑模控制律设计;席雷平 等;《河北科技大学学报》;20120630;第33卷(第3期);全文 *
空间机械臂关节积分反演滑模控制研究;贾庆轩 等;《系统仿真学报》;20090531;第21卷(第10期);全文 *

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