CN105450123B - 一种基于神经网络的永磁同步电机混沌系统快速终端滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于神经网络的永磁同步电机混沌系统快速终端滑模控制方法，包括:建立永磁同步电机混沌系统的模型，初始化系统状态及控制参数；设计神经网络，逼近系统中的非线性不确定项；基于神经网络，设计快速终端滑模控制器。本发明能够有效解决永磁同步电机混沌系统的镇定问题，并提高系统的快速收敛性能，实现永磁同步电机混沌系统地精确控制。

Description

一种基于神经网络的永磁同步电机混沌系统快速终端滑模控 制方法

技术领域

本发明属于永磁同步电机控制技术领域，涉及一种基于神经网络的永磁同步电机混沌系统快速终端滑模控制方法，特别是对于含有不确定项的永磁同步电机混沌系统的快速终端滑模控制方法。

背景技术

永磁同步电机(Permanent Magnet Synchronous Motor,PMSM)在现代工业生产发展过程中起着重要的作用。近年来，国内外学者的研究表明，在一些情况下，永磁同步电机存在混沌现象，这导致系统出现了转矩或转速的间歇振荡、控制不稳定、系统无规律电磁噪声等现象，严重影响了PMSM的稳定工作。由于混沌的存在，对PMSM控制系统的稳定，会产生极强的破坏，同时传统的线性控制方法对抑制或消除混沌的存在已失去效用，因此研究有效的PMSM控制系统的混沌镇定方法是很有意义的。

混沌系统在很多领域中得到了广泛应用，自从1990年控制混沌的思想被提出后，混沌系统的控制研究引起了人们极大的兴趣，创造了众多新的控制理论和方法,主要包括时滞反馈控制方法、反步法、自适应控制方法、滑模控制方法、Lyapunov函数控制法和线性控制方法，使得混沌系统控制在稳定区域内。目前，对PMSM控制系统的混沌研究，还处于一种初级阶段，且在PMSM混沌控制的研究模型中，电动机的控制电压都没有得到考虑，即只考虑在稳定运行一段时间后，电机系统突然断电的情形。但在实际的应用中，电机的动态行为是由电机的控制电压决定的。因此，针对PMSM控制系统的混沌运动，寻找工程上易于快速实现且具备较强鲁棒性的控制方法并对其进行镇定是很有必要的，特别是在提高PMSM控制系统的运行性能方面。

发明内容

为了解决带有不确定项的永磁同步电机混沌系统镇定问题，使PMSM混沌系统能够在有限时间内稳定并具备较强的鲁棒性，本发明提供了一种基于神经网络的快速终端滑模控制方法，该方法采用神经网络逼近系统中的不确定项，并基于逼近值设计快速终端滑模控制器。该设计同时包含了线性滑模与终端滑模的优点，使系统具有快速的全局收敛能力。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种基于神经网络的永磁同步电机混沌系统快速终端滑模控制方法，包括以下步骤：

步骤1,建立永磁同步电机混沌系统模型，初始化系统状态及控制参数；

1.1,永磁同步电机的数学模型表示如下：

T_e＝n_p[ψ_fi_q+(L_d-L_q)i_di_q] (3)

其中u_d,u_q为定子电压在d、q轴上的分量；i_d,i_q为定子电流在d、q轴上的分量；ψ_d,ψ_q是定子磁链在d、q轴上的分量；L_d,L_q是在d、q轴上时，定子绕组的等效电感；ψ_f表示转子永磁体产生的磁链；R_s是定子电阻；T_e表示电机电磁转矩；T_L是负载转矩；J是转动惯量；B为摩擦系数；n_p是电机极对数；ω_m是转子机械角速度；ω_r＝n_pω_m为转子电角速度；

1.2,结合式(1)-(4)将永磁同步电机数学模型写成如下形式：

1.3,对式(5)进行仿射变换和时间尺度变换得：

1.4,基于均匀气隙，对永磁同步电机的数学模型进行探讨，即在的条件下，在d-q坐标轴下，PMSM均匀气息模型写为：

其中，i_d,i_q,ω作为系统的状态变量-d，q轴定子电流和转子角速度；u_d,u_q参数和T_L分别为d，q轴外加电压和外部扭矩；σ，γ是系统的运行参数；

1.5,令那么式(7)等效为：

其中，x₁,x₂,x₃,为系统状态，并且x₂,x₃不可测；σ和γ为未知参数；u为控制信号，

1.6,将式(8)分解为以下两个子系统：

和

其中，式(10)是式(9)的内动态方程：当x₁,x₂收敛至0时，有成立，从而x₃渐近收敛至零点，设：

则式(9)变换为以下的Brunovsky标准形式：

其中，a(x)＝σ[-x₂-x₁x₃+γx₁-σ(x₂-x₁)]；b＝σ；

步骤2,基于神经网络的快速终端滑模控制器设计；

2.1,定义跟踪误差s₁及快速终端滑模面为：

s₁＝y₁-y_d (13)

其中，y_d为系统期望输入；α₁＞0,β₁＞0；p₁,q₁是正奇数，且p₁＜q₁；

2.2,对式(13)、(14)分别进行求导得：

根据式(12)、(15)，式(16)变为：

2.3,考虑式(17)，由于a(x)未知，采用神经网络逼近非线性函数H＝a(x)：

H＝W^*Tφ(X)+ε (18)

其中，W^*＝[w₁,w₂,…,w_L]^T∈R^L是理想的有界权值矩阵；ε是有界逼近误差，且满足||W^*||≤W_N，|ε|≤ε_N，W_N,ε_N是正数；φ(X)＝[φ₁(X),φ₂(X),…,φ_L(X)]^T∈R^L是神经网络的基函数，并且采用以下高阶激活函数：

其中，J_k是1,2,…,n的L非有序子集的采样；d_j(k)是非负整数；φ(X_j)由以下sigmoid函数所得：

其中，a,b,c,d是控制参数，H＝a(x)通过带输入矢量X＝[x₁ ^T,x₂ ^T,x₃ ^T]^T∈R³的逼近子逼近；

2.4,设计式(12)的快速终端滑模控制器为：

其中，是理想权值W^*的估计值；是神经网络不确定估计项；(δ₁+δ₂)sgn(s₂)是在神经网络逼近和权值估计误差时，保证鲁棒性；δ₁＞ε_N,δ₂是正数，满足

权值调节律由下式所给：

其中，Γ是正定义的对角矩阵；

2.5,选择以下Lyapunov函数：

对V求导并将快速终端滑模控制器、权值调节律代入，得判定系统是稳定的。

本发明基于神经网络，设计了一种永磁同步电机混沌系统的快速终端滑模控制方法，在解决混沌系统镇定问题的同时，有效提高系统的快速收敛性能，实现永磁同步电机混沌系统地精确控制。

本发明的技术构思为：针对带有非线性不确定项的永磁同步电机混沌系统，本发明采用神经网络来逼近系统中的非线性不确定项，并根据逼近值设计了一种快速终端滑模控制器，该控制器在传统终端滑模的基础上，增加了线性项，在保留传统滑模鲁棒性的同时，使其同时具有线性滑模和终端滑模的优点，使得永磁同步电机混沌系统具有快速全局收敛能力，在有限时间内镇定。本发明提供了一种能够有效镇定永磁同步电机系统的混沌现象，并使系统在有限时间内快速收敛的基于神经网络的快速终端滑模控制方法，确保永磁同步电机混沌系统能够实现较好的控制效果。

本发明的有益效果为：实现永磁同步电机的精确控制，有效镇定永磁同步电机控制系统的混沌现象，提高系统的快速收敛性能。

附图说明

图1为本发明的控制流程图；

图2为不加控制器时y₁的状态轨迹；

图3为不加控制器时y₂的状态轨迹；

图4为加入传统终端滑模控制器时y₁的状态轨迹；

图5为加入传统终端滑模控制器时y₂的状态轨迹；

图6为传统终端滑模控制器u的信号曲线；

图7为加入本发明的快速终端滑模控制器时y₁的状态轨迹；

图8为加入本发明的快速终端滑模控制器时y₂的状态轨迹；

图9为本发明的快速终端滑模控制器u的信号曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1-图9，一种基于神经网络的永磁同步电机混沌系统快速终端滑模控制方法，包括以下步骤：

步骤1,建立永磁同步电机混沌系统模型，初始化系统状态及控制参数；

1.1,永磁同步电机的数学模型表示如下：

T_e＝n_p[ψ_fi_q+(L_d-L_q)i_di_q] (3)

其中u_d,u_q为定子电压在d、q轴上的分量；i_d,i_q为定子电流在d、q轴上的分量；ψ_d,ψ_q是定子磁链在d、q轴上的分量；L_d,L_q是在d、q轴上时，定子绕组的等效电感；ψ_f表示转子永磁体产生的磁链；R_s是定子电阻；T_e表示电机电磁转矩；T_L是负载转矩；J是转动惯量；B为摩擦系数；n_p是电机极对数；ω_m是转子机械角速度；ω_r＝n_pω_m为转子电角速度；

1.2,结合式(1)-(4)将永磁同步电机数学模型写成如下形式：

1.3,对式(5)进行仿射变换和时间尺度变换得：

1.4,基于均匀气隙，对永磁同步电机的数学模型进行探讨，即在的条件下，在d-q坐标轴下，PMSM均匀气息模型可写为：

其中，i_d,i_q,ω作为系统的状态变量-d，q轴定子电流和转子角速度；u_d,u_q参数和T_L分别为d，q轴外加电压和外部扭矩；σ，γ是系统的运行参数；

1.5,令那么式(7)等效为：

其中，x₁,x₂,x₃,为系统状态，并且x₂,x₃不可测；σ和γ为未知参数；u为控制信号，

1.6,将式(8)分解为以下两个子系统：

和

其中，式(10)是式(9)的内动态方程：当x₁,x₂收敛至0时，有成立，从而x₃渐近收敛至零点，设：

则式(9)变换为以下的Brunovsky标准形式：

其中，a(x)＝σ[-x₂-x₁x₃+γx₁-σ(x₂-x₁)]；b＝σ；

步骤2,基于神经网络的快速终端滑模控制器设计；

2.1,定义跟踪误差s₁及快速终端滑模面为：

s₁＝y₁-y_d (13)

其中，y_d为系统期望输入；α₁＞0,β₁＞0；p₁,q₁是正奇数，且p₁＜q₁；

2.2,对式(13)、(14)分别进行求导得：

根据式(12)、(15)，式(16)变为：

2.3,考虑式(17)，由于a(x)未知，采用神经网络逼近非线性函数H＝a(x)：

H＝W^*Tφ(X)+ε (18)

其中，W^*＝[w₁,w₂,…,w_L]^T∈R^L是理想的有界权值矩阵；ε是有界逼近误差，且满足||W^*||≤W_N，|ε|≤ε_N，W_N,ε_N是正数；φ(X)＝[φ₁(X),φ₂(X),…,φ_L(X)]^T∈R^L是神经网络的基函数，并且可采用以下高阶激活函数：

其中，J_k是1,2,…,n的L非有序子集的采样；d_j(k)是非负整数；φ(X_j)由以下sigmoid函数所得：

其中，a,b,c,d是控制参数，H＝a(x)通过带输入矢量X＝[x₁ ^T,x₂ ^T,x₃ ^T]^T∈R³的逼近子逼近；

2.4,设计式(12)的快速终端滑模控制器为：

其中，是理想权值W^*的估计值；是神经网络不确定估计项；(δ₁+δ₂)sgn(s₂)是在神经网络逼近和权值估计误差时，保证鲁棒性；δ₁＞ε_N,δ₂是正数，满足

权值调节律由下式所给：

其中，Γ是正定义的对角矩阵；

2.5,选择以下Lyapunov函数：

对V求导并将快速终端滑模控制器、权值调节律代入，得判定系统是稳定的。

为验证所提方法的有效性，本发明对由式(21)所示的基于神经网络的永磁同步电机混沌系统快速终端滑模控制器(fast terminal sliding mode control based onneural network，NN+FTSM)的控制效果进行仿真实验，并与无控制器(No controller,NC)、基于神经网络的传统终端滑模控制器(terminal sliding mode control based onneural network，NN+TSM)效果进行了对比。设置实验中的初始条件和控制参数为：采取仿真步长0.01s；取系统参数为λ＝1，σ＝0.1；控制器参数为ε＝0.5,α₁＝50,β₁＝0.5，p₁＝p₂＝5,q₁＝q₂＝7,δ＝60,μ＝0.8，期望信号为y_1d＝y_2d＝0，初始状态为(x₁(0),x₂(0),x₃(0))＝(0.1,0.1,0.1)；神经网络参数a＝2,b＝10,c＝1。

图2-图9是对含有非线性不确定项的永磁同步电机混沌系统的仿真效果对比图。图2和图3是不加入控制器的系统(12)仿真状态轨迹图y₁,y₂，由图可看出y₁状态已失稳，y₂在10s左右进入稳定状态；图4至图6是在系统(12)中加入基于神经网络的传统终端滑模控制器的状态轨迹图y₁,y₂,u，由图可看出，y₁,y₂皆在23s左右进入稳定状态。图7至图9是加入本发明的基于神经网络快速终端滑模控制器的状态轨迹图y₁,y₂,u，由图可看出，y₁,y₂皆可在0.1s左右进入稳定状态。由三种仿真效果对比可知，与传统终端滑模控制器和不加控制器相比较，基于本发明的快速终端滑模控制器，能使系统状态更快速的收敛至平衡点，且利用神经网络逼近不确定项a(x)设计控制器能有效提高系统的控制效果。从仿真实验的结果来看，基于神经网络的永磁同步电机混沌系统快速终端滑模控制方法能有效解决永磁同步电机混沌系统的镇定问题，并提高系统的快速收敛性能，实现永磁同步电机混沌系统地精确控制。

以上阐述的是本发明给出的仿真对比实验用以表明所设计方法的优越性，显然本发明不只是局限于上述实例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。本发明所设计的控制方案对含有不确定项的永磁同步电机混沌系统具有良好的镇定效果，能有效提高系统的快速收敛性能，使永磁同步电机混沌系统能够实现较好的镇定控制效果。

Claims (1)

1.一种基于神经网络的永磁同步电机混沌系统快速终端滑模控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1,建立永磁同步电机混沌系统模型，初始化系统状态及控制参数；

1.1,永磁同步电机的数学模型表示如下：

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T_e＝n_p[ψ_fi_q+(L_d-L_q)i_di_q] (3)

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其中u_d,u_q为定子电压在d、q轴上的分量；i_d,i_q为定子电流在d、q轴上的分量；ψ_d,ψ_q是定子磁链在d、q轴上的分量；L_d,L_q是在d、q轴上时，定子绕组的等效电感；ψ_f表示转子永磁体产生的磁链；R_s是定子电阻；T_e表示电机电磁转矩；T_L是负载转矩；J是转动惯量；B为摩擦系数；n_p是电机极对数；ω_m是转子机械角速度；ω_r＝n_pω_m为转子电角速度；

1.2,结合式(1)-(4)永磁同步电机数学模型写成如下形式：

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1.3,对式(5)进行仿射变换和时间尺度变换得：

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1.4,基于均匀气隙，对永磁同步电机的数学模型进行探讨，即在的条件下，在d-q坐标轴下，PMSM均匀气息模型写为：

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其中，i_d,i_q,ω作为系统的状态变量-定子电流在d、q轴上的分量和转子角速度；u_d,u_q参数和T_L分别为定子电压在d、q轴上的分量和负载转矩；σ，γ是系统的运行参数；

1.5,令那么式(7)等效为：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>u</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，x₁,x₂,x₃,为系统状态，并且x₂,x₃不可测；σ和γ为未知参数；u为控制信号，

1.6,将式(8)分解为以下两个子系统：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>u</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

和

<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，式(10)是式(9)的内动态方程：当x₁,x₂收敛至0时，有成立，从而x₃渐近收敛至零点，设：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

则式(9)变换为以下的Brunovsky标准形式：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>u</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，a(x)＝σ[-x₂-x₁x₃+γx₁-σ(x₂-x₁)]；b＝σ；

步骤2,基于神经网络的快速终端滑模控制器设计；

2.1,定义跟踪误差s₁及快速终端滑模面为：

s₁＝y₁-y_d (13)

<mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，y_d为系统期望输入；α₁＞0,β₁＞0；p₁,q₁是正奇数，且p₁＜q₁；

2.2,对式(13)、(14)分别进行求导得：

<mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

根据式(12)、(15)，式(16)变为：

<mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

2.3,考虑式(17)，由于a(x)未知，采用神经网络逼近非线性函数H＝a(x)：

其中，W^*＝[w₁,w₂,…,w_L]^T∈R^L是理想的有界权值矩阵；ε是有界逼近误差，且满足||W^*||≤W_N，|ε|≤ε_N，W_N,ε_N是正数；是神经网络的基函数，并且可采用以下高阶激活函数：

其中，J_k是1,2,…,n的L非有序子集的采样；d_j(k)是非负整数；由以下sigmoid函数所得：

其中，a,b,c,d是控制参数，H＝a(x)通过带输入矢量X＝[x₁ ^T,x₂ ^T,x₃ ^T]^T∈R³的逼近子逼近；

2.4,设计式(12)的快速终端滑模控制器为：

其中，是理想权值W^*的估计值；是神经网络不确定估计项；(δ₁+δ₂)sgn(s₂)是在神经网络逼近和权值估计误差时，保证鲁棒性；δ₁＞ε_N,δ₂是正数，满足

权值调节律由下式所给：

其中，Γ是正定义的对角矩阵；

2.5,选择以下Lyapunov函数：

<mrow> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

对V求导并将快速终端滑模控制器、权值调节律代入，得判定系统是稳定的。