CN106066603B - 具有精确跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制器的实现方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于机电液伺服控制领域，提供一种具有精确跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制器的实现方法，以电液位置伺服系统作为研究对象，建立系统的非线性模型，同时考虑了系统的参数不确定性以及外干扰等不确定性。所设计的控制器针对系统的参数不确定性所设计的参数自适应算法能准确的对未知参数进行估计，通过引入辅助函数所设计的控制器针对系统存在的外部干扰以及未建模动态等不确定性具有良好的鲁棒性；本发明所设计的自适应鲁棒控制器为全状态反馈控制器，能使电液伺服系统的位置输出具有渐近跟踪性能，即当时间趋于无穷时跟踪误差为零；本发明所设计的控制器的控制电压连续，更利于在工程实际中应用。

Description

具有精确跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制器的 实现方法

技术领域

本发明涉及机电液伺服控制领域，具体涉及一种具有精确跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制器的实现方法。

背景技术

电液伺服系统由于具有功率重量比大、动态响应快、压力、流量可控性好以及可柔性传送动力等突出优点，广泛应用于航空、航天、汽车、船舶、和工程机械等领域。随着这些领域的发展和技术水平的不断进步，迫切需要高性能的电液伺服系统作为支撑，传统基于线性化方法得到的控制性能逐渐不能满足系统需求。电液伺服系统的非线性，如压力动态非线性、伺服阀压力流量非线性、摩擦非线性等，逐渐成为限制电液伺服系统性能提升的瓶颈因素。除此之外，电液伺服系统还存在诸多参数不确定性(如负载惯量、泄漏系数、液压油弹性模量等)和不确定性非线性(如未建模的摩擦动态、外干扰等)。这些不确定性的存在逐渐成为发展先进控制器的主要障碍。

一般地，自适应控制能有效的估计未知常数参数并能提高其跟踪精度，然而当系统遭受大的未建模扰动时可能会不稳定。非线性鲁棒控制器可以有效提高整个闭环系统对未建模扰动的鲁棒性，但是不适用于建模充分只存在参数不确定性的非线性系统。总的来看，自适应控制和非线性鲁棒控制有它们各自的优缺点。美国普渡大学的Bin Yao教授团队针对非线性系统的所有不确定性，提出了一种数学论证严格的非线性自适应鲁棒控制(ARC)理论框架。其团队主要基于系统非线性数学模型设计非线性控制器，针对参数不确定性，设计恰当的在线参数估计策略，以提高系统的跟踪性能；对可能发生的外干扰等不确定性非线性，通过强增益非线性反馈控制予以抑制。由于强增益非线性反馈控制往往导致较强的保守性(即高增益反馈)，在工程使用中有一定困难，并且系统中潜在的大的未建模扰动可能会使系统的跟踪性能变差。为了补偿在ARC设计时的扰动，有学者设计了基于扩张状态观测器的ARC设计方法，并从理论和实验结果上验证了所提出的控制器能使系统具有良好的跟踪性能。然而，以上所提出的非线性设计方法仅仅只能确保系统的跟踪误差有界，这样的性能可能会在实际高精度需求的场合难以满足。对此有学者提出了基于误差符号积分的鲁棒控制(RISE)方法对存在匹配性扰动的系统能确保其跟踪误差在稳态时趋于零，然而这种控制器设计方法相对复杂并且只能保证整个系统局部渐近稳定。如何恰当的设计出能保证系统的跟踪误差在稳态时趋于零并且简单的控制器仍是目前研究的焦点。

总结来说，现有电液伺服系统的控制策略的不足之处主要有以下几点：

1.简化系统非线性模型为线性或忽略系统建模不确定性。简化系统非线性模型为线性难以准确描述实际电液伺服系统，会使控制精度降低。电液伺服系统的建模不确定性主要有未建模摩擦和未建模扰动等。存在于电液伺服系统中的摩擦会引起极限环振荡、粘滑运动等不利因素，对系统的高精度运动控制产生不利的影响。同时，实际的电液伺服系统不可避免的会受到外界负载的干扰，若忽略将会降低系统的跟踪性能；

2.传统的自适应鲁棒控制存在高增益反馈现象。传统自适应鲁棒控制存在高增益反馈的问题，也就是通过增加反馈增益来减小跟踪误差。然而高增益反馈易受测量噪声影响且可能激发系统的高频动态进而降低系统的跟踪性能，甚至导致系统不稳定；

3.传统的自适应鲁棒控制对同时存在参数不确定性和不确定性非线性的系统只能保证跟踪误差有界。传统的自适应鲁棒控制对同时存在参数不确定性和不确定性非线性的系统只能确保系统的跟踪误差有界，这样的性能可能会在实际高精度需求的场合难以满足。

基于误差符号积分的鲁棒控制(RISE)器设计相对复杂并且只能保证整个系统局部渐近稳定。

发明内容

本发明为解决现有电液伺服系统控制中简化系统非线性模型为线性或忽略系统建模不确定性、传统的自适应鲁棒控制存在高增益反馈现象以及对同时存在参数不确定性和不确定性非线性的系统只能保证跟踪误差有界，同时基于误差符号积分的鲁棒控制(RISE)器设计相对复杂并且只能保证整个系统局部渐近稳定的问题，提出一种具有精确跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制器的实现方法。

本发明为解决上述问题采取的技术方案是：

具有精确跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制器的实现方法，包括以下步骤：

步骤一、建立电液位置伺服系统的数学模型：

公式(1)中J为负载的转动惯量；y为负载的角位移；P_L＝P₁-P₂为液压马达的负载压力，P₁、P₂分别为液压马达两腔的油压；D_m为液压马达的排量；为可建模的非线性摩擦模型，其中代表不同的摩擦水平，φ代表不同的形状函数矢量用来描述各种非线性摩擦的影响，即其中B为粘性摩擦系数；f(t)为包括外干扰及未建模的摩擦的不确定性项；

负载压力的动态方程为：

公式(2)中V_t、β_e、C_t、Q_L分别为液压马达控制腔的总容积、液压油弹性模量、液压马达泄漏系数及伺服阀负载流量，Q_L＝(Q₁+Q₂)/2，其中Q₁为由伺服阀进入液压马达进油腔的液压流量，Q₂为由伺服阀流出液压马达回油腔的液压流量，q(t)为建模误差；

假设伺服阀响应速度非常快即伺服阀频宽远远高于系统频宽，即可简化伺服动态为比例环节，伺服阀负载流量可以建模为：

公式(3)中k_t为与控制输入u相关的总的流量增益；P_s为与回油压力P_r相关的供油压力；sign(·)表示为：

针对电液马达伺服系统，由式(1)(2)及(3)表征的非线性模型，定义系统状态变量为则系统非线性模型的状态空间形式表达为：

其中:

在公式(5)中，定义了一个新的变量U来代表系统的控制输入,由于系统中安装了压力传感器,(P_s-sign(u)P_L)^1/2的值可以实时获得，那么实际的控制输入u可以通过U/(P_s-sign(u)P_L)^1/2来计算，因此在以下的控制器实现过程中主要致力于通过实现具有渐近跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制U来处理参数不确定性和未建模扰动；

由于系统的参数J、B、β_e、k_t以及C_t存在大的变化从而使系统遭受参数不确定性，同时建模误差Δ(t)可能存在未知的常值，因此，为了简化(5)式，定义不确定参数集θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]^T，其中θ₁＝JV_t/(4D_mβ_ek_t)，θ₂＝D_m/k_t+C_tB/(D_mk_t)以及θ₃＝C_tm/(Ak_t)+V_tB/(4D_mβ_ek_t)；

状态空间等式(5)写为：

假设1：期望跟踪的理想轨迹x_1d＝y_d(t)∈C⁵并且有界；在正常工作条件下的实际液压系统中，P_L有界，即0＜P_L＜P_s；

假设2：公式(7)中的时变不确定性足够光滑并且其中δ₁为已知常数；

由假设1可以看出(P_s-sign(u)P_L)^1/2总是有界，因此，若实现的U有界，那么实际的控制输入u将会有界；

步骤二、针对公式(7)中的状态方程，配置具有渐近跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制器，其具体步骤如下：

步骤二(一)、定义一组类似开关函数的变量为：

公式(8)中z₁为系统的跟踪误差，k₁、k₂、k₃为正的反馈增益；在公式(8)中引入了一个辅助误差信号z₄来获得额外的实现自由；

步骤二(二)、实现自适应律以及控制器输入U，使得电液伺服系统具有渐近跟踪性能

根据公式(8)，辅助误差信号z₄可以整理为：

基于系统模型(7)，可以得到：

根据公式(11)的结构，自适应律以及基于模型的控制器可以实现为：

其中为θ的估计值，为估计误差(即)；k_r为正反馈增益；Γ＞0为对角自适应律矩阵；U_a为可调节的基于模型的前馈控制律，通过参数自适应来获得提高的模型补偿；U_s和U_n为鲁棒控制律，用来处理时变的扰动，U_n的值将在以下的步骤中给出；

由公式(11)中的自适应律可以看出，信号z₄未知，但是基于理想轨迹的矢量以及它的微分是已知的，通过积分自适应律可以得到：

由公式(12)，实际上参数的估计值并没有用到信号z₄；

把(11)带入到(10)中，可以得到：

对公式(13)进行微分可以得到：

把公式(11)中的参数自适应律带入到(14)中，可以得到：

根据公式(15)可以实现鲁棒控制律为：

其中ξ＞0，由于信号z₄未知，为了计算公式(16)中的sign(z₄)，定义函数h(t)为：

由于z₄(t)＝lim_τ→0(h(t)-h(t-τ))/τ，τ可以选取为采样时间，根据(16)可知只需要知道z₄的符号sign(z₄)即可，因此只需要知道h(t)增加还是减小就可以获得sign(z₄)，其中sign(z₄)＝sign(h(t)-h(t-τ))；

步骤三、选取反馈增益δ₁、ξ、τ、k₁、k₂、k₃以及k_r，同时选取合适的参数自适应对角矩阵Γ以及让参数θ的估计值的初始值为0来验证参数自适应的有效性和所提出控制器的鲁棒性，从而来确保整个系统稳定，并使电液位置伺服系统的位置输出y(t)跟踪期望的位置指令y_d。

本发明的有益效果是：选取电液位置伺服系统作为研究对象，建立了系统的非线性模型，同时考虑了系统的参数不确定性以及外干扰等不确定性；所设计的控制器针对系统的参数不确定性所设计的参数自适应算法能准确的对未知参数进行估计；通过引入辅助函数所设计的控制器针对系统存在的外部干扰以及未建模动态等不确定性具有良好的鲁棒性；本发明所设计的自适应鲁棒控制器为全状态反馈控制器，并能使电液伺服系统的位置输出具有渐近跟踪性能，即当时间趋于无穷时跟踪误差为零；本发明所设计的控制器的控制电压连续，更利于在工程实际中应用。仿真结果验证了其有效性。

应当理解，前述构思以及在下面更加详细地描述的额外构思的所有组合只要在这样的构思不相互矛盾的情况下都可以被视为本公开的发明主题的一部分。另外，所要求保护的主题的所有组合都被视为本公开的发明主题的一部分。

结合附图从下面的描述中可以更加全面地理解本发明教导的前述和其他方面、实施例和特征。本发明的其他附加方面例如示例性实施方式的特征和/或有益效果将在下面的描述中显见，或通过根据本发明教导的具体实施方式的实践中得知。

附图说明

附图不意在按比例绘制。在附图中，在各个图中示出的每个相同或近似相同的组成部分可以用相同的标号表示。为了清晰起见，在每个图中，并非每个组成部分均被标记。现在，将通过例子并参考附图来描述本发明的各个方面的实施例，其中：

图1是本发明电液伺服位置控制系统图。

图2是具有渐近跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制器原理示意及流程图。

图3是电液位置伺服系统的参数的真值及其估计值随时间变化的曲线示意图。

图4是本发明所设计的控制器(图中以GARC标识)和传统PID控制器(图中以PID标识)分别作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线示意图。

图5是电液位置伺服系统的实际控制输入u随时间变化的曲线示意图。

具体实施方式

为了更了解本发明的技术内容，特举具体实施例并配合所附图式说明如下。

在本公开中参照附图来描述本发明的各方面，附图中示出了许多说明的实施例。本公开的实施例不必定意在包括本发明的所有方面。应当理解，上面介绍的多种构思和实施例，以及下面更加详细地描述的那些构思和实施方式可以以很多方式中任意一种来实施，这是应为本发明所公开的构思和实施例并不限于任何实施方式。另外，本发明公开的一些方面可以单独使用，或者与本发明公开的其他方面的任何适当组合来使用。

结合图1、图2说明本实施方式，具有精确跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制器的实现方法。其具体步骤如下：

步骤一、建立电液位置伺服系统(如图1所示)的数学模型，根据牛顿第二定律可得系统的运动学方程为：

公式(1)中J为负载的转动惯量；y为负载的角位移；P_L＝P₁-P₂为液压马达的负载压力(P₁、P₂分别为液压马达两腔的油压)；D_m为液压马达的排量；为可建模的非线性摩擦模型，其中代表不同的摩擦水平，φ代表不同的形状函数矢量用来描述各种非线性摩擦的影响，本发明为了提高控制器设计的可理解性，着重验证控制器对未建模动态的鲁棒性，从而简化控制器的补偿部分，因而采用线性摩擦模型，即其中B为粘性摩擦系数；f(t)为外干扰及未建模的摩擦等不确定性项。

负载压力的动态方程为：

公式(2)中V_t、β_e、C_t、Q_L分别为液压马达控制腔的总容积、液压油弹性模量、液压马达泄漏系数及伺服阀负载流量，Q_L＝(Q₁+Q₂)/2(其中Q₁为由伺服阀进入液压马达进油腔的液压流量，Q₂为由伺服阀流出液压马达回油腔的液压流量)，q(t)为建模误差。

假设伺服阀响应速度非常快即伺服阀频宽远远高于系统频宽，即可简化伺服动态为比例环节，伺服阀负载流量可以建模为：

公式(3)中k_t为与控制输入u相关的总的流量增益；P_s为与回油压力P_r相关的供油压力；sign(·)表示为：

为使控制器的设计更具广泛性，针对电液马达伺服系统，由式(1)(2)及(3)表征的非线性模型，定义系统状态变量为则系统非线性模型的状态空间形式可以表达为：

其中:

在公式(5)中，我们定义了一个新的变量U来代表系统的控制输入,由于系统中安装了压力传感器,(P_s-sign(u)P_L)^1/2的值可以实时获得，那么实际的控制输入u可以通过U/(P_s-sign(u)P_L)^1/2来计算，因此在以下的控制器设计过程中主要致力于通过设计具有渐近跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制U来处理参数不确定性和未建模扰动。

由于系统的参数J、B、β_e、k_t以及C_t存在大的变化从而使系统遭受参数不确定性，同时建模误差Δ(t)可能存在未知的常值，因此，为了简化(5)式，定义不确定参数集θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]^T，其中θ₁＝JV_t/(4D_mβ_ek_t)，θ₂＝D_m/k_t+C_tB/(D_mk_t)以及θ₃＝C_tm/(Ak_t)+V_tB/(4D_mβ_ek_t)。状态空间等式(5)可以写为：

假设1：期望跟踪的理想轨迹x_1d＝y_d(t)∈C⁵并且有界；在正常工作条件下的实际液压系统中，P_L有界，即0＜P_L＜P_s。

假设2：公式(7)中的时变不确定性足够光滑并且其中δ₁为已知常数。

由假设1可以看出(P_s-sign(u)P_L)^1/2总是有界，因此，若设计的U有界，那么实际的控制输入u将会有界。在以下的控制器设计中，假设2给未建模扰动施加了一些约束。虽然摩擦一般被建模为不连续函数，但是在基于模型的控制器设计时仍然有一些连续的摩擦模型，这是因为没有哪个执行器可以产生不连续的力来补偿不连续摩擦力的影响。

步骤二、针对公式(7)中的状态方程，设计具有渐近跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制器，其具体步骤如下：

步骤二(一)、定义一组类似开关函数的变量为：

公式(8)中z₁为系统的跟踪误差，k₁、k₂、k₃为正的反馈增益。我们在公式(8)中引入了一个辅助误差信号z₄来获得额外的设计自由。值得注意的是，由于滤波的跟踪误差z₄依赖于加速度的时间微分从而使得它不可测，这里仅仅用来协助以下的控制器设计。

步骤二(二)、设计自适应律以及控制器输入U，使得电液伺服系统具有渐近跟踪性能。

根据公式(8)，辅助误差信号z₄可以整理为：

基于系统模型(7)，我们可以得到：

根据公式(11)的结构，自适应律以及基于模型的控制器可以设计为：

其中为θ的估计值，为估计误差(即)；k_r为正反馈增益；Γ＞0为对角自适应律矩阵；U_a为可调节的基于模型的前馈控制律，通过参数自适应来获得提高的模型补偿；U_s和U_n为鲁棒控制律，用来处理时变的扰动，U_n的值将在以下的步骤中给出。

由公式(11)中的自适应律可以看出，信号z₄未知，但是基于理想轨迹的矢量以及它的微分是知道的，通过积分自适应律可以得到：

由公式(12)可以看出，实际上参数的估计值并没有用到信号z₄。

把(11)带入到(10)中，我们可以得到：

对公式(13)进行微分可以得到：

把公式(11)中的参数自适应律带入到(14)中，我们可以得到：

根据公式(15)可以设计鲁棒控制律为：

其中ξ＞0，由于信号z₄未知，为了计算公式(16)中的sign(z₄)，定义函数h(t)为：

由于z₄(t)＝lim_τ→0(h(t)-h(t-τ))/τ，τ可以选取为采样时间，根据(16)可知我们只需要知道z₄的符号sign(z₄)即可，因此我们只需要知道h(t)增加还是减小就可以获得sign(z₄)，其中sign(z₄)＝sign(h(t)-h(t-τ))，这样看来，获得sign(z₄)就比获得z₄容易多了。

步骤四、恰当的选取反馈增益δ₁、ξ(ξ＞0)、τ(τ＞0)、k₁(k₁＞0)、k₂(k₂＞0)、k₃(k₃＞0)以及k_r(k_r＞0)，同时选取合适的参数自适应对角矩阵Γ(Γ＞0)以及让参数θ的估计值的初始值为0来验证参数自适应的有效性和所提出控制器的鲁棒性，从而来确保整个系统稳定，并使电液位置伺服系统的位置输出y(t)准确地跟踪期望的位置指令y_d。

本公开中，选用Lyapunov方程来分析前述基于控制器(11)作用下的电液位置伺服系统的稳定性：

理论1：通过自适应律(12)以及选取足够大的反馈增益k₁、k₂、k₃、k_r，使得以下定义的矩阵Λ正定，那么提出的控制律能够确保电液伺服系统在闭环情况下所有信号有界，并且获得渐近跟踪性能，即当t→∞时z₁→0。Λ定义为：

其中：

选取Lyapunov方程为：

对公式(20)关于时间进行求导可得：

把公式(8)和(15)代入公式(21)，并经过转换可得：

根据公式(18)中定义的Λ为正定矩阵，对公式(22)进一步转换可得：

公式(23)中z定义为z＝[z₁,z₂,z₃,z₄]^T，λ_min(Λ)为矩阵Λ的最小特征值。

根据公式(23)可以得到V∈L_∞以及W∈L₂，同时信号z以及参数估计值有界。因此，可以得出x以及控制输入U有界。通过假设1可以得到实际控制输入u有界。基于z₁、z₂、z₃以及z₄的动态，可以得到W的时间导数有界，因此W一致连续。从而，根据Barbalat引理可以得到当t→∞时W→0，理论1即得到证明。

下面结合一个具体实例对本公开的前述实施方式的效果进行说明。

电液位置伺服系统参数为：负载惯量J＝0.2kg·m²；液压马达排量D_m＝5.8×10^{- 5}m³/rad；总泄漏系数C_t＝1×10^-12m³/s/Pa；供油压力P_s＝1×10⁷Pa；粘性摩擦系数B＝90N·m·s/rad；液压油弹性模量β_e＝7×10⁸Pa；伺服阀总流量增益k_t＝1.1969×10^-8m³/s/V/Pa^-1/2；控制腔总容积V_t＝1.16×10^-4m³；时变外干扰为f(t)＝2sin(2πt)N·m；系统期望跟踪的位置指令为曲线x_1d(t)＝sin(t)[1-exp(-t³)]rad。

本发明所设计的控制器的参数选取为:δ₁＝10、ξ＝0.1、τ＝0.001、k₁＝1000、k₂＝100、k₃＝5以及k_r＝5(k_r＞0)，Γ＝diag{2.1×10^-8,6,6.45×10^-3}；PID控制器参数选取为：k_P＝600,k_I＝500,k_D＝0。

对比仿真结果：

图3是电液位置伺服系统的参数的真值及其估计值随时间变化的曲线示意图，从曲线可以看出所设计的自适应律能使系统的参数估计值精确地跟踪其真值，从而能够准确地将系统的未知常数参数估计出来。

控制器作用效果：图4是本发明所设计的控制器(图中以GARC标识)和传统PID控制器(图中以PID标识)分别作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线示意图，从图中可以看出，本发明所设计的控制器作用下系统的跟踪误差明显小于PID控制器作用下系统的跟踪误差，从而使其跟踪性能获得很大的提高。

图5是电液位置伺服系统的控制输入u随时间变化的曲线示意图，从图中可以看出，本发明所得到的控制输入信号连续，有利于在工程实际中应用。

虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰。因此，本发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。

Claims (1)

1.一种具有精确跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制器的实现方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、建立电液位置伺服系统的数学模型：

公式(1)中J为负载的转动惯量；y为负载的角位移；P_L＝P₁-P₂为液压马达的负载压力，P₁、P₂分别为液压马达两腔的油压；D_m为液压马达的排量；为可建模的非线性摩擦模型，其中代表不同的摩擦水平，φ代表不同的形状函数矢量用来描述各种非线性摩擦的影响，即其中B为粘性摩擦系数；f(t)为包括外干扰及未建模的摩擦的不确定性项；

负载压力的动态方程为：

公式(2)中V_t、β_e、C_t、Q_L分别为液压马达控制腔的总容积、液压油弹性模量、液压马达泄漏系数及伺服阀负载流量，Q_L＝(Q₁+Q₂)/2，其中Q₁为由伺服阀进入液压马达进油腔的液压流量，Q₂为由伺服阀流出液压马达回油腔的液压流量，q(t)为建模误差；

假设伺服阀响应速度非常快即伺服阀频宽远远高于系统频宽，即可简化伺服动态为比例环节，伺服阀负载流量可以建模为：

公式(3)中k_t为与控制输入u相关的总的流量增益；P_s为与回油压力P_r相关的供油压力；sign(·)表示为：

针对电液马达伺服系统，由式(1)(2)及(3)表征的非线性模型，定义系统状态变量为则系统非线性模型的状态空间形式表达为：

其中:

在公式(5)中，定义了一个新的变量U来代表系统的控制输入,由于系统中安装了压力传感器,(P_s-sign(u)P_L)^1/2的值可以实时获得，那么实际的控制输入u可以通过U/(P_s-sign(u)P_L)^1/2来计算，因此在以下的控制器实现过程中主要致力于通过实现具有渐近跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制U来处理参数不确定性和未建模扰动；

由于系统的参数J、B、β_e、k_t以及C_t存在大的变化从而使系统遭受参数不确定性，同时建模误差Δ(t)可能存在未知的常值，因此，为了简化(5)式，定义不确定参数集θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]^T，其中θ₁＝JV_t/(4D_mβ_ek_t)，θ₂＝D_m/k_t+C_tB/(D_mk_t)以及

状态空间等式(5)写为：

假设1：期望跟踪的理想轨迹x_1d＝y_d(t)∈C⁵并且有界；在正常工作条件下的实际液压系统中，P_L有界，即0＜P_L＜P_s；

假设2：公式(7)中的时变不确定性足够光滑并且其中δ₁为已知常数；

由假设1可以看出(P_s-sign(u)P_L)^1/2总是有界，因此，若实现的U有界，那么实际的控制输入u将会有界；

步骤二、针对公式(7)中的状态方程，配置具有渐近跟踪性能的电液伺服系统自适应鲁棒位置控制器，其具体步骤如下：

步骤二(一)、定义一组类似开关函数的变量为：

公式(8)中z₁为系统的跟踪误差，k₁、k₂、k₃为正的反馈增益；在公式(8)中引入了一个辅助误差信号z₄来获得额外的实现自由；

步骤二(二)、实现自适应律以及控制器输入U，使得电液伺服系统具有渐近跟踪性能

根据公式(8)，辅助误差信号z₄可以整理为：

基于系统模型(7)，可以得到：

根据公式(11)的结构，自适应律以及基于模型的控制器可以实现为：

其中为θ的估计值，为估计误差，即k_r为正反馈增益；Γ＞0为对角自适应律矩阵；U_a为可调节的基于模型的前馈控制律，通过参数自适应来获得提高的模型补偿；U_s和U_n为鲁棒控制律，用来处理时变的扰动，U_n的值将在以下的步骤中给出；

由公式(11)中的自适应律可以看出，信号z₄未知，但是基于理想轨迹的矢量以及它的微分是已知的，通过积分自适应律可以得到：

由公式(12)，实际上参数的估计值并没有用到信号z₄；

把(11)带入到(10)中，可以得到：

对公式(13)进行微分可以得到：

把公式(11)中的参数自适应律带入到(14)中，可以得到：

根据公式(15)可以实现鲁棒控制律为：

其中ξ＞0，由于信号z₄未知，为了计算公式(16)中的sign(z₄)，定义函数h(t)为：

由于z₄(t)＝lim_τ→0(h(t)-h(t-τ))/τ，τ可以选取为采样时间，根据(16)可知只需要知道z₄的符号sign(z₄)即可，因此只需要知道h(t)增加还是减小就可以获得sign(z₄)，其中sign(z₄)＝sign(h(t)-h(t-τ))；

步骤三、选取反馈增益δ₁、ξ、τ、k₁、k₂、k₃以及k_r，同时选取合适的参数自适应对角矩阵Γ以及让参数θ的估计值的初始值为0来验证参数自适应的有效性和所提出控制器的鲁棒性，从而来确保整个系统稳定，并使电液位置伺服系统的位置输出y(t)跟踪期望的位置指令y_d。