CN104111607A - 一种考虑输入时滞的电机位置伺服系统的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑输入时滞的电机位置伺服系统的控制方法，属于机电伺服控制领域。该方法步骤如下：建立考虑输入时滞的电机位置伺服系统数学模型；设计扩张状态观测器，对数学模型中系统的状态和干扰进行观测；设计非线性输出反馈鲁棒控制器，对输入时滞进行补偿；运用李雅普诺夫稳定性理论对考虑输入时滞的电机位置伺服系统进行稳定分析，证明系统获得半全局的一致有界稳定。本发明采用基于扩张状态观测器的输出反馈控制方法，针对外干扰等非线性通过扩张状态观测器进行估计并在控制器设计中进行补偿，提高了实际电机位置伺服系统对外干扰的鲁棒性，克服了速度测量噪声对系统性能的影响，更利于在实际工程中的应用。

Description

一种考虑输入时滞的电机位置伺服系统的控制方法

技术领域

本发明属于机电伺服控制技术领域，特别是一种考虑输入时滞的电机位置伺服系统的控制方法。

背景技术

电机伺服系统具有响应快、维护方便、传动效率高以及能源获取方便等突出优点，广泛应用于各个重要领域，如机器人、机床、航空航天等。系统的性能和稳定与控制器的设计密切相关。电机伺服系统存在外干扰等不能精确建模的不确定性非线性可能会使以系统名义模型设计的控制器不稳定或者降阶。而且随着现代控制工程领域的快速发展，对控制系统的性能要求也越来越高。在工程实际应用中，工程师们往往要求所建立的模型尽可能接近实际系统，基于这样的模型设计出来的控制器才能使系统获得最佳的性能。对于一个实际控制系统而言，由于测量元件、测量过程、控制元件或执行元件造成的影响必然会产生一定的时滞，因此时滞几乎存在于所有的控制系统中。为了获得很好的性能，在设计控制器时考虑实际系统中的时滞是十分必要的。但是时滞的存在和系统的外干扰等不确定性非线性通常相互作用共同决定电机伺服系统的稳定性，这给控制器设计带来了非常大的困难。

目前对于电机伺服系统的控制，基于经典三环控制的方法仍是工业及国防领域的主要方法，其以线性控制理论为基础，由内向外逐层设计电流环(力矩环)，速度环及位置环，各环的控制策略大都采用PID校正及其变型。但是随着工业及国防领域技术水平的不断进步，传统基于线性理论的三环控制方法已逐渐不能满足系统的高性能需求，成为限制电机伺服系统发展的瓶颈因素之一。为了提高电机伺服系统的性能，许多先进的非线性控制方法相继被提出，如自适应反馈线性化控制、自适应鲁棒控制、自适应积分鲁棒控制、滑模控制等。但是这些控制方法都没有考虑电机伺服系统中的时滞问题，因此，探索新的控制策略来保证时滞电机伺服系统的高性能显得尤为重要。

电机伺服系统的时滞主要是伺服驱动器的电流环时滞。从后文实验获得的电机伺服系统电流环频域响应数据可以看出当电机位置控制需要具备快速响应能力时，电流环的频域响应近似为时滞环节，因此电流环的时滞在电机伺服系统数学模型中体现为控制输入的时滞。输入时滞对于电机伺服系统性能，尤其是快速响应能力有着重要的影响，因此在电机伺服系统控制器设计中考虑输入时滞可以使系统的伺服性能得到很大的提升。

针对考虑输入时滞的电机伺服系统的控制问题，许多控制方法被提出。在考虑输入时滞的线性系统控制中，运用Artstein模型降阶、有限频谱分配和连续极点配置等技术，或者是将考虑输入时滞的系统模型用双曲偏微分方程代替来设计所谓的预测控制器达到控制目的，但是上述方法的前提是忽略所有非线性动态；在考虑输入时滞的非线性系统控制中，基于Smith预测器的全局线性化控制方法以及在此方法的基础上做出的改进提供了一些可行的方案，但是，所处理的非线性模型要求完全已知或者非线性动态均可以被线性参数化，而实际系统往往存在不能精确建模的不确定性非线性，将会造成控制的误差。因此上述控制方法的前提假设并不适用于电机伺服系统。总结来说，现有电机伺服系统的控制技术的不足之处主要有以下几点：

一、忽略电机伺服系统的输入时滞。目前对于电机伺服系统控制的研究，主要将电气动态(电流环频域响应)近似为比例环节。然而实际上，当电机伺服控制需要具备快速响应能力时，电气动态更接近为时滞环节，因此忽略电机伺服系统的输入时滞会影响系统的高性能尤其是快速响应的性能；

二、目前电机伺服系统的控制多为全状态反馈控制。全状态反馈控制需要获取电机伺服系统的位置及速度信号，然而在工程实际中，速度信号的测量产生的测量噪声会对电机伺服系统性能产生不容忽视的影响；

三、忽略非线性摩擦及外干扰等非线性。摩擦是电机伺服系统阻尼的主要来源之一，摩擦的存在引起的粘滑运动、极限环振荡等不利因素对系统的性能有重要的影响。特别是在速度过零阶段摩擦现象最丰富，对电机伺服系统性能影响明显。对于高精度的电机伺服系统来说，低速伺服性能是其核心指标之一，因此摩擦建模与补偿是非常必要的。另外，实际的电机伺服系统都会受到外负载的干扰，若不考虑将会恶化系统跟踪性能。

发明内容

本发明的目的在于提供一种精度高、性能好的考虑输入时滞的电机位置伺服系统的控制方法，在控制器设计中对外干扰等非线性进行补偿，从而提高实际电机位置伺服系统对外干扰的鲁棒性。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种考虑输入时滞的电机位置伺服系统的控制方法，步骤如下：

步骤1，建立考虑输入时滞的电机位置伺服系统数学模型；

步骤2，设计扩张状态观测器，对步骤1数学模型中系统的状态和干扰进行观测；

步骤3，设计非线性输出反馈鲁棒控制器，对输入时滞进行补偿；

步骤4，运用李雅普诺夫稳定性理论对考虑输入时滞的电机位置伺服系统进行稳定分析，证明系统获得半全局的一致有界稳定。

本发明与现有技术相比，其显著优点在于：(1)设计的输出反馈鲁棒控制器对输入时滞进行了针对性的补偿，提高了电机位置伺服系统的快速响应性能；(2)采用基于扩张状态观测器的输出反馈控制方法，只需要获取电机位置伺服系统的位置信号即可进行伺服控制，克服了速度测量噪声对系统性能的影响，更利于在工程实际中的应用；(3)针对非线性摩擦进行了连续光滑的摩擦补偿，改善了电机位置伺服系统的伺服性能，同时获得的控制输入也是光滑的，因此更利于控制器的实际执行；(4)针对外干扰等非线性通过扩张状态观测器进行估计并在控制器设计中进行补偿，提高了实际电机位置伺服系统对外干扰的鲁棒性。

附图说明

图1是本发明电机位置伺服系统原理图。

图2是直流电机直驱系统电流环频域响应曲线。

图3是电动执行机构归一化静态摩擦实验数据及连续化摩擦模型，其中(a)是总摩擦辨识数据与拟合曲线；(b)是(a)中零速附近的放大图；(c)是利用光滑函数辨识获得的Stribeck效应。

图4是考虑输入时滞的电机位置伺服系统非线性控制原理示意及流程图。

图5是电机位置伺服系统期望跟踪的位置指令。

图6是本发明所设计的输出反馈鲁棒控制器(OFRC)和传统PID控制器作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线。

图7是电机位置伺服系统的控制输入随时间变化的曲线。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。

结合图1～4，本发明考虑输入时滞的电机位置伺服系统的控制方法，步骤如下：

步骤1，建立考虑输入时滞的电机位置伺服系统(如图1所示)数学模型；

由图2所示的某直流电机直驱系统电流环频域响应曲线可以看出，其幅频特性在很大的频率范围内是等幅的且幅值近似为零，而相频特性却发生了明显的滞后，这种频域特性恰好可以用典型的时滞环节来近似。

(1.1)根据牛顿第二定律，考虑输入时滞的电机位置伺服系统的运动方程为：

$m\stackrel{..}{y}=k_{i}u(t-\mathrm{\τ})-B\stackrel{.}{y}-F_f\left(\stackrel{.}{y}\right)-f(t,y,\stackrel{.}{y})---\left(1\right)$

公式(1)中m为惯性负载参数，k_i为力矩放大系数，B为粘性摩擦系数，F_f是非线性摩擦模型，是摩擦建模误差及外干扰的不确定性项，y为惯性负载的位移；u(t-τ)为系统的时滞控制输入，t为时间变量，τ为已知的电流环时滞常数，任意时刻的u(t)和u(t-θ)，能够通过测量得到；

对于非线性摩擦模型的选取，考虑经典的LuGre动态摩擦模型，不仅能够准确地描述大部分摩擦行为，而且结构简单，易于控制器设计。然而LuGre摩擦模型是分段连续的，当系统速度反向时必然出现非光滑的拐点，不利于控制器的实际执行，因此连续光滑的摩擦模型总是被实际系统所更欢迎的。选取式(2)所示的连续摩擦模型作为非线性摩擦模型：

$F_f\left(\stackrel{.}{y}\right)=a_1\tanh \left(c_1\stackrel{.}{y}\right)+a_2[\tanh \left(c_2\stackrel{.}{y}\right)-\tanh \left(c_3\stackrel{.}{y}\right)]---\left(2\right)$

公式(2)中a₁、a₂、c₁、c₂、c₃均为由实验辨识获得的已知常数，此连续摩擦模型的实验数据如图3所示。其主要特征如下：①此摩擦模型是连续可微并且关于原点对称的；②库伦摩擦特性可用表征；③静态摩擦系数可用a₁+a₂的值来近似；④可以表征Stribeck效应。

(1.2)定义状态变量：则式(1)运动方程转化为状态方程：

${\stackrel{.}{x}}_1=x_2$

y＝x₁

公式(3)中S_f(x₂)＝tanh(c₁x₂)，P_f(x₂)＝tanh(c₂x₂)-tanh(c₃x₂)，为系统总的干扰，f(t，x₁，x₂)即为上述x₁表示惯性负载的位移，x₂表示惯性负载的速度。

步骤2，设计扩张状态观测器，对步骤1数学模型中系统的状态和干扰进行观测，具体如下：

(2.1)首先将系统状态方程(3)中的干扰项扩张为冗余状态x₃，即x₃＝d(x，t)，并定义则扩张后的状态方程为：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_3=h\left(t\right)$

根据公式(4)中状态方程设计的扩张状态观测器为：

${\stackrel{\·}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+3{\mathrm{\ω}}_0(x_1-{\hat{x}}_1)$

${\stackrel{\·}{\hat{x}}}_3={{\mathrm{\ω}}_0}^3(x_1-{\hat{x}}_1)$

公式(5)中分别是状态x₁、x₂及冗余状态x₃的估计值，ω₀是观测器频宽；

(2.2)令为估计的误差，定义ε＝[ε₁，ε₂，ε₃]^T，得到估计误差的动态：

公式(6)中 $A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ -3& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right],B_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],B_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

对x₂满足Lipschitz条件，则c为已知正数，取值为的最大值；矩阵满足赫尔维茨准则，存在对称正定矩阵P使得A^TP+PA＝-2I成立，I为单位矩阵；

(2.3)由扩张状态观测器理论：假设h(t)有界，则状态及干扰的估计误差有界且存在常数σ_i＞0以及有限时间T₁＞0使得：

$\left|{\tilde{x}}_i\right|\≤{\mathrm{\σ}}_i,{\mathrm{\σ}}_i=o\left(\frac{1}{{{\mathrm{\ω}}_0}^k}\right),i=\mathrm{1,2,3},\∀t\≥T_1---\left(7\right)$

其中k为正整数，因此通过增加观测器的频宽ω₀可以使估计误差在有限时间内趋于一个非零但很小的界。这个界的值与参数调节时ω₀的取值有关，ω₀取的越大，估计误差的界越小，至于ω₀到底取多大，只要能保证状态的估计误差足够小，从而保证系统的跟踪精度就可以，理论上可以取无穷大，这样状态估计误差就趋于零，但是实际执行时总是给一个具体的数值，因此状态估计误差是趋于一个非零但很小的界。

步骤3，设计非线性输出反馈鲁棒控制器，对输入时滞进行补偿；具体如下：

(3.1)为简化系统模型的表达及便于控制器的设计，根据公式(3)所建立的数学模型，进行参数再定义后改为如下形式：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$                                       (8)

${\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_2=u(t-\mathrm{\τ})-{\mathrm{\θ}}_2{S}_f\left(x_2\right)-{\mathrm{\θ}}_3{P}_f\left(x_2\right)-{\mathrm{\θ}}_4{x}_2+{\mathrm{\θ}}_1{x}_3$

公式(8)中均为己知参数，且已知的θ₁、θ₂、θ_`、θ₄与系统对应真值之间的偏差归到系统干扰x₃中。这里的已知参数是假设通过测量等手段可以获取的，而并非其真值。例如测量得到系统的惯性负载m的值并将其当成已知条件，但是系统真实的惯性负载值是无法知道的，测量总会存在偏差，我们把这部分偏差就都归到建模误差中进行处理。

(3.2)定义z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，x_1d是期望跟踪的位置指令且该指令三阶连续可微，设计控制器的目标是使考虑输入时滞的电机位置伺服系统的位置输出y尽可能地跟踪期望跟踪的位置指令x_1d。将惯性负载的角速度x₂看作虚拟控制，确保系统跟踪误差z₁趋近于零或在零附近较小的界内：

根据公式(8)中的第一个方程，选取x₂为虚拟控制，使方程趋于稳定状态；令x_2eq为虚拟控制的期望值，x_2eq与真值的误差为z₂＝x₂-x_2eq，对z₁求导可得：

${\stackrel{\·}{z}}_1=x_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}=z_2+x_{2\mathrm{eq}}-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}---\left(9\right)$

设计虚拟控制律：

$x_{2\mathrm{eq}}={\stackrel{\·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1---\left(10\right)$

公式(10)中k₁＞0为可调增益，则

${\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-k_1{z}_1---\left(11\right)$

(3.3)确定实际控制器输入u，使得虚拟控制的期望值与真实状态值之间的误差z₂趋于零或有界。为了对时滞系统进行控制器的设计，需要独立出一个与时滞无关的系统输入u(t)，因此需要引入一个时滞补偿冗余误差信号r：

$r={\stackrel{\·}{z}}_2+k_2{z}_2-\frac{1}{{\mathrm{\θ}}_1}(u(t-\mathrm{\τ})-u\left(t\right))---\left(12\right)$

公式(12)中k₂为可调增益且在公式(12)两边同乘以θ₁，运用公式(8)得到开环误差系统：

${\mathrm{\θ}}_{1}r=u\left(t\right)-{\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}-{\mathrm{\θ}}_2{S}_f\left(x_2\right)-{\mathrm{\θ}}_3{P}_f\left(x_2\right)-{\mathrm{\θ}}_4{x}_2+{\mathrm{\θ}}_1{x}_3+(k_1+k_2){\mathrm{\θ}}_1{z}_2-{k_1}^2{\mathrm{\θ}}_1{z}_1---\left(13\right)$

运用期望补偿技术实现输出反馈控制，根据公式(10)、(11)，公式(13)改写成：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{1}r=u\left(t\right)-{\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}-{\mathrm{\θ}}_2{S}_f\left({\stackrel{\·}{x}}_{1d}\right)-{\mathrm{\θ}}_3{P}_f\left({\stackrel{\·}{x}}_{1d}\right)-{\mathrm{\θ}}_4{\stackrel{\·}{x}}_{1d}+{\mathrm{\θ}}_1{x}_3\\ +[(k_1+k_2){\mathrm{\θ}}_1-{\mathrm{\θ}}_4]z_2+k_1({\mathrm{\θ}}_4-k_1{\mathrm{\θ}}_1)z_1-N_1-N_2\end{array}---\left(14\right)$

公式(14)中：

$N_1={\mathrm{\θ}}_2{S}_f\left(x_2\right)-{\mathrm{\θ}}_2{S}_f\left({\stackrel{\·}{x}}_{1d}\right),N_2={\mathrm{\θ}}_3{P}_f\left(x_2\right)-{\mathrm{\θ}}_3{P}_f\left({\stackrel{\·}{x}}_{1d}\right)---\left(15\right)$

由于tanh函数具有性质： $0<\frac{\&PartialD;\tanh \left(v\right)}{\&PartialD;v}<1,-2\frac{{\&PartialD;}^2\tanh \left(v\right)}{{\&PartialD;v}^2}<2,$ 经证明：

$|{\stackrel{\&CenterDot;}{N}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{N}}_2|\&le;{\mathrm{\&zeta;}}_1\left|z_1\right|+{\mathrm{\&zeta;}}_2\left|z_2\right|+{\mathrm{\&zeta;}}_3\left|r\right|+{\mathrm{\&zeta;}}_4\left|z_a\right|---\left(16\right)$

其中ζ₁、ζ₂、ζ₃、ζ₄均为已知正数，z_a如下式所示：

$z_a=u\left(t\right)-u(t-\mathrm{\&tau;})={\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}}^t\stackrel{\&CenterDot;}{u}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\mathrm{d\&theta;}---\left(17\right)$

关于公式(16)的证明：

由公式(15)可得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{N}}_1={\mathrm{\&theta;}}_2\frac{{\&PartialD;S}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_2\frac{{\&PartialD;S}_f\left({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right)}{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{N}}_2={\mathrm{\&theta;}}_3\frac{{\&PartialD;P}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3\frac{{\&PartialD;P}_f\left({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right)}{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}\end{array}---\left(18\right)$

根据公式(10)、(11)、(12)可知：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}+r-(k_1+k_2)z_2+{k_1}^2{z}_1-\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_1}{z}_a---\left(19\right)$

将公式(19)代入公式(18)中可以求得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{N}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{N}}_2={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}\left\{{\mathrm{\&theta;}}_2\right[\frac{{\&PartialD;S}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}-\frac{{\&PartialD;S}_f\left({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right)}{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}}]+{\mathrm{\&theta;}}_3[\frac{{\&PartialD;P}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}-\frac{{\&PartialD;P}_f\left({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right)}{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}}\left]\right\}\\ +[{\mathrm{\&theta;}}_2\frac{{\&PartialD;S}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}+{{\mathrm{\&theta;}}_3}_{}\frac{{\&PartialD;P}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}][r-(k_1+k_2)z_2+{k_1}^2{z}_1-\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_1}{z}_a]\end{array}---\left(20\right)$

对公式(20)中的第一项运用均值定理，因此

$\begin{array}{c}|{\stackrel{\&CenterDot;}{N}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{N}}_2|\&le;\left|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right|\left[{\mathrm{\&theta;}}_2{\mathrm{\&rho;}}_1\left(x_2\right)\right|z_2-k_1{z}_1|+{\mathrm{\&theta;}}_3{\mathrm{\&rho;}}_2\left(x_2\right)|z_2-k_1{z}_1\left|\right]\\ +|{\mathrm{\&theta;}}_2\frac{{\&PartialD;S}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}+{\mathrm{\&theta;}}_3\frac{{\&PartialD;P}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}||r-(k_1+k_2)z_2+{k_1}^2{z}_1-\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_1}{z}_a|\end{array}---\left(21\right)$

公式(21)中：

${\mathrm{\&rho;}}_1\left(x_2\right)={\left|\frac{{\&PartialD;}^2{S}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2^2}\right|}_{\max },{\mathrm{\&rho;}}_2\left(x_2\right)={\left|\frac{{\&PartialD;}^2{P}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2^2}\right|}_{\max }---\left(22\right)$

根据S_f和P_f的定义，以及上述tanh函数的性质可知ρ₁、ρ₂，以及 部有界且界是已知的，由于期望跟踪的位置指令是三阶连续可微的的则的界也是已知的，故公式(16)得证。

且公式(16)中 ${\mathrm{\&zeta;}}_1=k_1\left|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right|({\mathrm{\&theta;}}_2{\mathrm{\&rho;}}_1\left(x_2\right)+{\mathrm{\&theta;}}_3{\mathrm{\&rho;}}_2\left(x_2\right))+{k_1}^2|{\mathrm{\&theta;}}_2\frac{{\&PartialD;S}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}+{\mathrm{\&theta;}}_3\frac{{\&PartialD;P}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}|,$

${\mathrm{\&zeta;}}_2=\left|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right|({\mathrm{\&theta;}}_2{\mathrm{\&rho;}}_1\left(x_2\right)+{\mathrm{\&theta;}}_3{\mathrm{\&rho;}}_2\left(x_2\right))+(k_1+k_2)|{\mathrm{\&theta;}}_2\frac{{\&PartialD;S}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}+{\mathrm{\&theta;}}_3\frac{{\&PartialD;P}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}|,$

${\mathrm{\&zeta;}}_3=|{\mathrm{\&theta;}}_2\frac{{\&PartialD;S}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}+{\mathrm{\&theta;}}_3\frac{{\&PartialD;P}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}|,{\mathrm{\&zeta;}}_4=\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_1}|{\mathrm{\&theta;}}_2\frac{{\&PartialD;S}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}+{\mathrm{\&theta;}}_3\frac{{\&PartialD;P}_f\left(x_2\right)}{{\&PartialD;x}_2}|$

根据公式(14)设计非线性输出反馈鲁棒控制器为：

u＝u_a+u_s

$u_a={\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}+{\mathrm{\&theta;}}_2{S}_f\left({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right)+{\mathrm{\&theta;}}_3{P}_f\left({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right)+{\mathrm{\&theta;}}_4{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-{\mathrm{\&theta;}}_1{\hat{x}}_3$

u_s＝u_s1+u_s2    (23)

$u_{s1}=-k_r({\hat{x}}_2-x_{2\mathrm{eq}})$

$u_{s2}=-k_r{\&Integral;}_0^t\{k_2({\hat{x}}_2\left(s\right)-x_{2\mathrm{eq}}\left(s\right))-\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_1}(u(s-\mathrm{\&tau;})-u\left(s\right))\}\mathrm{ds}$

公式(23)中u_a为基于模型的补偿项，u_s1为线性鲁棒反馈项，u_s2为非线性鲁棒项具有时滞补偿作用，k_r是正的增益常数且

步骤4，运用李雅普诺夫稳定性理论对考虑输入时滞的电机位置伺服系统进行稳定分析，证明系统获得半全局的一致有界稳定，具体如下：

定义：

z＝[z₁ z₂ r z_a]^T    (24)

$y={\left[\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& r& \sqrt{Q}\end{array}\right]}^T---\left(25\right)$

$Q=2\mathrm{\&omega;}{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}}^t\left({\&Integral;}_s^t{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{u}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&theta;}\right)\mathrm{ds}---\left(26\right)$

其中ω为已知的正数且ω＞2τ；

定义李雅普诺夫函数：

$V=\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{1}{2}{z_2}^2+\frac{1}{2}{r}^2+\frac{1}{2}Q+\frac{1}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}^T\mathrm{P\&epsiv;}---\left(27\right)$

对公式(27)求导可得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=z_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1+z_2{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2+r\stackrel{\&CenterDot;}{r}+\frac{1}{2}\stackrel{\&CenterDot;}{Q}+\frac{1}{2}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}^T\mathrm{P\&epsiv;}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}^{T}P\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}---\left(28\right)$

将公式(23)代入公式(14)中并求导，运用公式(6)可得：

定义 $N+\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_1}[(k_1+k_2){\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_4]{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2+\frac{k_1}{{\mathrm{\&theta;}}_1}({\mathrm{\&theta;}}_4-k_1{\mathrm{\&theta;}}_1)z_2-\frac{{k_1}^2}{{\mathrm{\&theta;}}_1}({\mathrm{\&theta;}}_4-k_1{z}_1)z_1,{k_r}^{\&prime;}=\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_1}{k}_r,$ 且

k_r′＝1+k_r1+k_r2，k_r1和k_r2都是可调正的增益。k_r的范围已知，k_r′和k_r相关，k_r1和k_r2是k_r′分成的部分，故只需给出k_r的范围，其他值的范围均可知。所以公式(29)改写成：

对于N由均值定理得：||N||≤ρ(||z||)||z||，ρ是一个已知正的可逆不减函数。

将公式(6)、(11)、(12)、(26)、(30)代入公式(28)中可得：

因为下面的不等式成立：

$\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_1}\left|z_2\right|\left|z_a\right|\&le;\frac{1}{4{{\mathrm{\&theta;}}_1}^2}{\left|z_2\right|}^2+{\left|z_a\right|}^2---\left(32\right)$

${\left|z_a\right|}^2\&le;\mathrm{\&tau;}{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}}^t{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{u}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&theta;}---\left(33\right)$

以及对公式(23)求导可得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{u}=S-k_{r}r---\left(34\right)$

其中，

结合公式(7)及tanh函数的性质可知S有界，即：

|S|≤ξ    (35)

公式(35)中ξ是一个正的常数，ξ如下所示：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&xi;}={\mathrm{\&theta;}}_1\left|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right|+{\mathrm{\&theta;}}_2\left|\frac{\&PartialD;S_f\left({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right)}{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}}\right|\left|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right|+{\mathrm{\&theta;}}_3\left|\frac{\&PartialD;P_f\left({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right)}{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}}\right|\left|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right|+{\mathrm{\&theta;}}_4\left|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}\right|+\\ ({\mathrm{\&theta;}}_1{{\mathrm{\&omega;}}_0}^3+3k_r{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2)\left|{\mathrm{\&epsiv;}}_1\right|+k_r(k_2{\mathrm{\&omega;}}_0+c)\left|{\mathrm{\&epsiv;}}_2\right|+k_r{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2\left|{\mathrm{\&epsiv;}}_3\right|\end{array}$

将公式(32)至(35)及公式(16)代入公式(31)中得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-k_1{z_1}^2+\left|z_1\right|\left|z_2\right|-(k_2-\frac{1}{4{{\mathrm{\&theta;}}_1}^2}){z_2}^2+\left|z_2\right|\left|r\right|-(1-\mathrm{\&omega;}{k_r}^2)r^2-k_{r1}{r}^2+\mathrm{\&rho;}\left(\right|\left|z\right|\left|\right)\left|\right|z\left|\right|\left|r\right|-k_{r2}{r}^2\\ +\left|r\right|(2\mathrm{\&omega;}{k}_r\mathrm{\&xi;}+{\left|h\left(t\right)\right|}_{\max })+{\mathrm{\&gamma;}}_1\left|r\right|\left|{\mathrm{\&epsiv;}}_1\right|+{\mathrm{\&gamma;}}_2\left|r\right|\left|{\mathrm{\&epsiv;}}_2\right|+{\mathrm{\&gamma;}}_3\left|r\right|\left|{\mathrm{\&epsiv;}}_3\right|+\frac{k_{r}c}{{\mathrm{\&theta;}}_1}\left|r\right|\left|{\mathrm{\&epsiv;}}_2\right|+\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_1}{{\mathrm{\&theta;}}_1}\left|r\right|\left|z_1\right|+\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_2}{{\mathrm{\&theta;}}_1}\left|r\right|\left|z_2\right|\\ +\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_3}{{\mathrm{\&theta;}}_1}{\left|r\right|}^2+\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_4}{{\mathrm{\&theta;}}_1}\left|r\right|\left|z_a\right|+\mathrm{\&omega;}{\mathrm{\&xi;}}^2-(\mathrm{\&omega;}-2\mathrm{\&tau;}){\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}}^t{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{u}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&theta;}-\mathrm{\&tau;}{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}}^t{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{u}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&theta;}-{\mathrm{\&omega;}}_0{\left|\right|\mathrm{\&epsiv;}\left|\right|}^2+\frac{c{\mathrm{\&delta;}}_1}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\left|\right|\mathrm{\&epsiv;}\left|\right|}^2\\ +\frac{1}{2}{\left|\right|\mathrm{\&epsiv;}\left|\right|}^2+\frac{1}{2}\frac{{{\left|h\left(t\right)\right|}^2}_{\max }{{\mathrm{\&delta;}}_2}^2}{{{\mathrm{\&omega;}}_0}^4}\end{array}---\left(36\right)$

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-k_1{z_1}^2+\left|z_1\right|\left|z_2\right|-(k_2-\frac{1}{4{{\mathrm{\&theta;}}_1}^2}){z_2}^2-(1-\mathrm{\&omega;}{k_r}^2-\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_3}{{\mathrm{\&theta;}}_1})r^2+\frac{{\mathrm{\&rho;}}^2\left(\right|\left|z\right|\left|\right)}{4k_{r1}}{\left|\right|z\left|\right|}^2+\frac{{(2\mathrm{\&omega;}{k}_r\mathrm{\&xi;}+{\left|h\left(t\right)\right|}_{\max })}^2}{4k_{r2}}\\ {\mathrm{\&gamma;}}_1\left|r\right|\left|{\mathrm{\&epsiv;}}_1\right|+({\mathrm{\&gamma;}}_2+\frac{k_{r}c}{{\mathrm{\&theta;}}_1})\left|r\right|\left|{\mathrm{\&epsiv;}}_2\right|+{\mathrm{\&gamma;}}_3\left|r\right|\left|{\mathrm{\&epsiv;}}_3\right|+\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_1}{{\mathrm{\&theta;}}_1}\left|r\right|\left|z_1\right|+(1+\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_2}{{\mathrm{\&theta;}}_1})\left|r\right|\left|z_2\right|+\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_4}{{\mathrm{\&theta;}}_1}\left|r\right|\left|z_a\right|-\frac{1}{\mathrm{\&tau;}}(\mathrm{\&omega;}-2\mathrm{\&tau;}){z_a}^2\\ -\mathrm{\&tau;}{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}}^t{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{u}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&theta;}-({\mathrm{\&omega;}}_0-\frac{c{\mathrm{\&delta;}}_1}{{\mathrm{\&omega;}}_0}-\frac{1}{2}){\left|\right|\mathrm{\&epsiv;}\left|\right|}^2+\mathrm{\&omega;}{\mathrm{\&xi;}}^2+\frac{1}{2}\frac{{{\left|h\left(t\right)\right|}^2}_{\max }{{\mathrm{\&delta;}}_2}^2}{{{\mathrm{\&omega;}}_0}^4}\end{array}---\left(37\right)$

其中 ${\mathrm{\&gamma;}}_1={{\mathrm{\&omega;}}_0}^3+\frac{3k_r{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2}{{\mathrm{\&theta;}}_1},{\mathrm{\&gamma;}}_2=\frac{k_r{k}_2{\mathrm{\&omega;}}_0}{{\mathrm{\&theta;}}_1},{\mathrm{\&gamma;}}_3=\frac{k_r{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2}{{\mathrm{\&theta;}}_1},$ δ_i＝||PB_i||，(i＝1，2)

定义：

$\mathrm{\&eta;}={\left[\right|z_1|,|z_2|,|r|,|z_a|,|{\mathrm{\&epsiv;}}_1|,|{\mathrm{\&epsiv;}}_2|,|{\mathrm{\&epsiv;}}_3\left|\right]}^T,\mathrm{\&Lambda;}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&Lambda;}}_1& -\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_4}{2{\mathrm{\&theta;}}_1}& {\mathrm{\&Lambda;}}_2\\ -\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_4}{2{\mathrm{\&theta;}}_1}& \frac{1}{\mathrm{\&tau;}}(\mathrm{\&omega;}-2\mathrm{\&tau;})& 0\\ {\mathrm{\&Lambda;}}_2^T& 0& {\mathrm{\&Lambda;}}_3\end{array}\right]---\left(38\right)$

其中 ${\mathrm{\&Lambda;}}_1=\left[\begin{array}{ccc}{k}_1& -\frac{1}{2}& -\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_1}{2{\mathrm{\&theta;}}_1}\\ -\frac{1}{2}& k_2-\frac{1}{4{{\mathrm{\&theta;}}_1}^2}& -\frac{1}{2}(1+\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_2}{{\mathrm{\&theta;}}_1})\\ -\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_1}{2{\mathrm{\&theta;}}_1}& -\frac{1}{2}(1+\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_2}{{\mathrm{\&theta;}}_1})& 1-\mathrm{\&omega;}{k_r}^2-\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_3}{{\mathrm{\&theta;}}_1}\end{array}\right],{\mathrm{\&Lambda;}}_2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ -\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{2}& -\frac{1}{2}({\mathrm{\&gamma;}}_2+\frac{k_{r}c}{{\mathrm{\&theta;}}_1})& -\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_3}{2}\end{array}\right]$

${\mathrm{\&Lambda;}}_3=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&omega;}}_0-\frac{c{\mathrm{\&delta;}}_1}{{\mathrm{\&omega;}}_0}-\frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\&omega;}}_0-\frac{c{\mathrm{\&delta;}}_1}{{\mathrm{\&omega;}}_0}-\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\&omega;}}_0-\frac{c{\mathrm{\&delta;}}_1}{{\mathrm{\&omega;}}_0}-\frac{1}{2}\end{array}\right]$

通过调整参数使公式(38)定义的矩阵Λ是正定的，则有

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-{\mathrm{\&eta;}}^T\mathrm{\&Lambda;\&eta;}-\mathrm{\&tau;}{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}}^t{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{u}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&theta;}+\frac{{\mathrm{\&rho;}}^2\left(\right|\left|z\right|\left|\right)}{4k_{r1}}{\left|\right|z\left|\right|}^2+\mathrm{\&delta;}\\ \&le;-{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)({\left|\right|z\left|\right|}^2+\frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(P\right)}{\left|\right|\mathrm{\&epsiv;}\left|\right|}^2)-\mathrm{\&tau;}{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}}^t{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{u}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&theta;}+\frac{{\mathrm{\&rho;}}^2\left(\right|\left|z\right|\left|\right)}{4k_{r1}}{\left|\right|z\left|\right|}^2+\mathrm{\&delta;}\end{array}---\left(39\right)$

其中 $\mathrm{\&delta;}=\mathrm{\&omega;}{\mathrm{\&xi;}}^2+\frac{{(2\mathrm{\&omega;}{k}_r\mathrm{\&xi;}+{\left|h\left(t\right)\right|}_{\max })}^2}{4k_{r2}}+\frac{1}{2}\frac{{{\left|h\left(t\right)\right|}^2}_{\max }{{\mathrm{\&delta;}}_2}^2}{{{\mathrm{\&omega;}}_0}^4},$ 因为有不等式：

${\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}}^t\left({\&Integral;}_s^t{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{u}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&theta;}\right)\mathrm{ds}\&le;\mathrm{\&tau;}\underset{s\&Element;[t,t-\mathrm{\&tau;}]}{\sup }\left[{\&Integral;}_s^t{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{u}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&theta;}\right]=\mathrm{\&tau;}{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}}^t{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{u}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&theta;}$ 成立，则

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-({\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)-\frac{{\mathrm{\&rho;}}^2\left(\right|\left|z\right|\left|\right)}{4k_{r1}})({\left|\right|z\left|\right|}^2-{\left|z_a\right|}^2)-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(P\right)}{\mathrm{\&epsiv;}}^T\mathrm{P\&epsiv;}-\frac{1}{2\mathrm{\&omega;}}2\mathrm{\&omega;}{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}}^t\left({\&Integral;}_s^t{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{u}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&theta;}\right)\mathrm{ds}\\ -({\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)-\frac{{\mathrm{\&rho;}}^2\left(\right|\left|z\right|\left|\right)}{4k_{r1}}){\left|z_a\right|}^2+\mathrm{\&delta;}\end{array}---\left(40\right)$

考虑在集合 $\mathrm{\&Omega;}=\left\{z_a\left(t\right)\right|\left|z_a\right|\&le;{\mathrm{\&rho;}}^{-1}\left(2\sqrt{k_{r1}{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)}\right)\}$ 中，有下式成立：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-\mathrm{\&beta;}({\left|\right|y\left|\right|}^2+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(P\right)}{\mathrm{\&epsiv;}}^T\mathrm{P\&epsiv;})+\mathrm{\&delta;}\\ \&le;-\mathrm{\&zeta;V}+\mathrm{\&delta;}\end{array}---\left(41\right)$

公式(35)中λ_min(Λ)是矩阵Λ的最小特征值，λ_max(P)是矩阵P的最大特征值， $\mathrm{\&beta;}=\min \{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)-\frac{{\mathrm{\&rho;}}^2\left(\right|\left|z\right|\left|\right)}{4k_{r1}},\frac{1}{2\mathrm{\&omega;}}\},\mathrm{\&zeta;}=2\mathrm{\&beta;}\min \{1,\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(P\right)}\}.$

由公式(41)得：

$V\left(t\right)\&le;V\left(0\right)\exp (-\mathrm{\&zeta;t})+\frac{\mathrm{\&delta;}}{\mathrm{\&zeta;}}[1-\exp (-\mathrm{\&zeta;t})]---\left(42\right)$

故当t→∞时，通过参数调节可以增大ζ或减小δ的值从而使跟踪误差的稳态值减小。

因此有结论：针对考虑输入时滞的电机位置伺服系统(3)设计的非线性输出反馈鲁棒控制器(23)可以使系统获得半全局的一致有界稳定。调节增益k₁，k₂，k_r及观测器频宽ω₀可以使系统跟踪误差趋于很小的值，考虑输入时滞的电机位置伺服系统非线性控制原理及流程如图4所示。

实施例

考虑输入时滞的电机位置伺服系统参数为惯性负载参数：m＝0.02kg；粘性摩擦系数B＝10N·m·s/°；力矩放大系数k_i＝6N/V；时滞常数τ＝3ms；时变外干扰f(t)＝sin t；连续摩擦模型中的参数：a₁＝0.1；a₂＝0.06；c₁＝700；c₂＝15；c₃＝1.5。

系统期望跟踪的位置指令是如图5所示的点点指令(P2P)，指令的最大速度为1°/s，指令最大加速度为5°/s²。

控制器参数选取：

输出反馈鲁棒控制器(OFRC)：k₁＝900；k₂＝40；k_r＝1；ω₀＝200，PID控制器参数选取：k_P＝115；k_I＝5；k_D＝0，其中PID控制器参数的选取步骤是：首先在忽略电机伺服系统非线性动态的情况下，通过Matlab中的PID参数自整定功能获得一组控制器参数，然后在将系统的非线性动态加上后对已获得的自整定参数进行微调使系统获得最佳的跟踪性能。k_D取为零的原因是在工程实际中可以避免产生速度测量噪声，影响系统的性能，故实际上获得的是PI控制器。

控制器作用效果：图6表示PID控制器和OFRC控制器作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线，从图中可以看出，PID控制器的最大跟踪误差为0.0148°，而OFRC控制器只有0.00175°。因此在考虑输入时滞的电机位置伺服系统跟踪控制问题中，本发明所设计的输出反馈鲁棒控制器相比传统的PID控制器在跟踪性能上有很大的提高，特别是在位置指令幅值变化很快(骤增或骤减)的阶段，使电机位置伺服系统具备快速响应的能力。

图7是本发明的控制输入随时间变化的曲线，从图中可以看出，本发明所得到的控制输入是低频连续的信号，更利于控制器的实际执行。

Claims (5)

1.一种考虑输入时滞的电机位置伺服系统的控制方法，其特征在于，步骤如下：

步骤1，建立考虑输入时滞的电机位置伺服系统数学模型；

步骤2，设计扩张状态观测器，对步骤1数学模型中系统的状态和干扰进行观测；

步骤3，设计非线性输出反馈鲁棒控制器，对输入时滞进行补偿；

步骤4，运用李雅普诺夫稳定性理论对考虑输入时滞的电机位置伺服系统进行稳定分析，证明系统获得半全局的一致有界稳定。

2.根据权利要求1所述的考虑输入时滞的电机位置伺服系统的控制方法，其特征在于，步骤1所述建立考虑输入时滞的电机位置伺服系统数学模型，具体如下：

(1.1)根据牛顿第二定律，考虑输入时滞的电机位置伺服系统的运动方程为：

$m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=k_{i}u(t-\mathrm{\&tau;})-B\stackrel{\&CenterDot;}{y}-F_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)-f(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(1\right)$

公式(1)中m为惯性负载参数，k_i为力矩放大系数，B为粘性摩擦系数，F_f是非线性摩擦模型，是摩擦建模误差及外干扰的不确定性项，y为惯性负载的位移；u(t-τ)为系统的时滞控制输入，t为时间变量，τ为已知的电流环时滞常数，任意时刻的u(t)和u(t-θ)，能够通过测量得到；

选取式(2)所示的连续摩擦模型作为非线性摩擦模型：

$F_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right){=a}_1\tanh \left(c_1\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+a_2[\tanh \left(c_2\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)-\tanh \left(c_3\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)]---\left(2\right)$

公式(2)中a₁、a₂、c₁、c₂、c₃均为由实验辨识获得的已知常数；

(1.2)定义状态变量：则式(1)运动方程转化为状态方程：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

y＝x₁

公式(3)中S_f(x₂)＝tanh(c₁x₂)，P_f(x₂)＝tanh(c₂x₂)-tanh(c₃x₂)，为系统总的干扰，f(t，x₁，x₂)即为上述，x₁表示惯性负载的位移，x₂表示惯性负载的速度。

3.根据权利要求2所述的考虑输入时滞的电机位置伺服系统的控制方法，其特征在于，步骤2所述设计扩张状态观测器，对步骤1数学模型中系统的状态和干扰进行观测，具体如下：

(2.1)首先将系统状态方程中的干扰项扩张为冗余状态x₃，即x₃＝d(x，t)，并定义则扩张后的状态方程为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=h\left(t\right)$

根据公式(4)中状态方程设计的扩张状态观测器为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+3{\mathrm{\&omega;}}_0(x_1-{\hat{x}}_1)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_3={{\mathrm{\&omega;}}_0}^3(x_1-{\hat{x}}_1)$

公式(5)中分别是状态x₁、x₂及冗余状态x₃的估计值，ω₀是观测器频宽；

(2.2)令为估计的误差，定义ε＝[ε₁，ε₂，ε₃]^T，得到估计误差的动态：

公式(6)中 $A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ -3& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right],B_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],B_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

对x₂满足Lipschitz条件，则c为已知正数，取值为的最大值；矩阵A满足赫尔维茨准则，存在对称正定矩阵P使得A^TP+PA＝-2I成立，I为单位矩阵；

(2.3)由扩张状态观测器理论：假设h(t)有界，则状态及干扰的估计误差有界且存在常数σ_i＞0以及有限时间T₁＞0使得：

$\left|{\tilde{x}}_i\right|\&le;{\mathrm{\&sigma;}}_i,{\mathrm{\&sigma;}}_i=o\left(\frac{1}{{{\mathrm{\&omega;}}_0}^k}\right),i=\mathrm{1,2,3},\&ForAll;t\&GreaterEqual;T_1---\left(7\right)$

其中k为正整数。

4.根据权利要求3所述的考虑输入时滞的电机位置伺服系统的控制方法，其特征在于，步骤3所述设计非线性输出反馈鲁棒控制器，对输入时滞进行补偿，具体如下：

(3.1)根据公式(3)所建立的数学模型，进行参数再定义后改为如下形式：

${\stackrel{.}{x}}_1=x_2$    (8)

${\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=u(t-\mathrm{\&tau;})-{\mathrm{\&theta;}}_2{S}_f\left(x_2\right)-{\mathrm{\&theta;}}_3{P}_f\left(x_2\right)-{\mathrm{\&theta;}}_4{x}_2+{\mathrm{\&theta;}}_1{x}_3$

公式(8)中均为已知参数，且已知的θ₁、θ₂、θ₃、θ₄与系统对应真值之间的偏差归到系统干扰x₃中；

(3.2)定义z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，x_1d是期望跟踪的位置指令且该指令三阶连续可微，根据公式(8)中的第一个方程选取x₂为虚拟控制，使方程趋于稳定状态；令x_2eq为虚拟控制的期望值，x_2eq与真值的误差为z₂＝x₂-x_2eq，对z₁求导可得：

${\stackrel{.}{z}}_1=x_2-{\stackrel{.}{x}}_{1d}=z_2+x_{2\mathrm{eq}}-{\stackrel{.}{x}}_{1d}---\left(9\right)$

设计虚拟控制律：

$x_{2\mathrm{eq}}={\stackrel{.}{x}}_{1d}-k_1{z}_1---\left(10\right)$

公式(10)中k₁＞0为可调增益，则

${\stackrel{.}{z}}_1=z_2-k_1{z}_1---\left(11\right)$

(3.3)确定实际控制器输入u，使得虚拟控制的期望值与真实状态值之间的误差z₂趋于零或有界，引入一个时滞补偿冗余误差信号r：

$r={\stackrel{.}{z}}_2+k_2{z}_2-\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_1}(u(t-\mathrm{\&tau;})-u\left(t\right))---\left(12\right)$

公式(12)中为可调增益，在公式(12)两边同乘以θ₁，运用公式(8)得到开环误差系统：

${\mathrm{\&theta;}}_{1}r=u\left(t\right)-{\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{..}{x}}_{1d}-{\mathrm{\&theta;}}_2{S}_f\left(x_2\right)-{\mathrm{\&theta;}}_3{P}_f\left(x_2\right)-{\mathrm{\&theta;}}_4{x}_2+{\mathrm{\&theta;}}_1{x}_3+(k_1+k_2){\mathrm{\&theta;}}_1{z}_2-{k_1}^2{\mathrm{\&theta;}}_1{z}_1---\left(13\right)$

运用期望补偿技术实现输出反馈控制，根据公式(10)、(11)将公式(13)改写成：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_{1}r=u\left(t\right)-{\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{..}{x}}_{1d}-{\mathrm{\&theta;}}_2{S}_f\left({\stackrel{.}{x}}_{1d}\right)-{\mathrm{\&theta;}}_3{P}_f\left({\stackrel{.}{x}}_{1d}\right)-{\mathrm{\&theta;}}_4{\stackrel{.}{x}}_{1d}+{\mathrm{\&theta;}}_1{x}_3\\ +[(k_1+k_2){\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_4]z_2+k_1({\mathrm{\&theta;}}_4-k_1{\mathrm{\&theta;}}_1)z_1-N_1-N_2\end{array}---\left(14\right)$

公式(14)中 $N_1={\mathrm{\&theta;}}_2{S}_f\left(x_2\right)-{\mathrm{\&theta;}}_2{S}_f\left({\stackrel{.}{x}}_{1d}\right),$ $N_2={\mathrm{\&theta;}}_3{P}_f\left(x_2\right)-{\mathrm{\&theta;}}_3{P}_f\left({\stackrel{.}{x}}_{1d}\right),$ 由于tanh函数具有性质： $0<\frac{\&PartialD;\tanh }{\&PartialD;v}<1,-2<\frac{{\&PartialD;}^2\tanh \left(v\right)}{\&PartialD;v^2}<2,$ 经证明：

$|{\stackrel{.}{N}}_1+{\stackrel{.}{N}}_2|\&le;{\mathrm{\&zeta;}}_1\left|z_1\right|+{\mathrm{\&zeta;}}_2\left|z_2\right|+{\mathrm{\&zeta;}}_3\left|r\right|+{\mathrm{\&zeta;}}_4\left|z_a\right|---\left(15\right)$

其中ζ₁、ζ₂、ζ₃、ζ₄均为已知正数，z_a如下式所示：

$z_a=u\left(t\right)-u(t-\mathrm{\&tau;})={\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}}^t\stackrel{.}{u}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\mathrm{d\&theta;}---\left(16\right)$

根据公式(14)设计非线性输出反馈鲁棒控制器为：

u＝u_a+u_s

$u_a={\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{..}{x}}_{1d}+{\mathrm{\&theta;}}_2{S}_f\left({\stackrel{.}{x}}_{1d}\right)+{\mathrm{\&theta;}}_3{P}_f\left({\stackrel{.}{x}}_{1d}\right)+{\mathrm{\&theta;}}_4{\stackrel{.}{x}}_{1d}-{\mathrm{\&theta;}}_1{\hat{x}}_3$

u_s＝u_s1+u_s2   (17)

$u_{s1}=-k_r({\hat{x}}_2-x_{2\mathrm{eq}})$

$u_{s2}=-k_r{\&Integral;}_0^t\{k_2({\hat{x}}_2\left(s\right)-x_{2\mathrm{eq}}\left(s\right))-\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_1}(u(s-\mathrm{\&tau;})-u\left(s\right))\}\mathrm{ds}$

公式(17)中u_a为基于模型的补偿项，u_s1为线性鲁棒反馈项，u_s2为非线性鲁棒项，k_r是正的增益常数且 $0<k_r<\sqrt{\frac{{\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&zeta;}}_3}{\mathrm{\&omega;}{\mathrm{\&theta;}}_1}}.$

5.根据权利要求4所述的考虑输入时滞的电机位置伺服系统的控制方法，其特征在于，步骤4所述运用李雅普诺夫稳定性理论对考虑输入时滞的电机位置伺服系统进行稳定分析，证明系统获得半全局的一致有界稳定，具体为：

定义

z＝[z₁ z₂ r z_a]^T    (18)

$y={\left[\begin{array}{cccc}{z}_1& z_2& r& \sqrt{Q}\end{array}\right]}^T---\left(19\right)$

$Q=2\mathrm{\&omega;}{\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}}^t\left({\&Integral;}_s^t{\left|\stackrel{.}{u}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\right|}^2\mathrm{d\&theta;}\right)\mathrm{ds}---\left(20\right)$

其中ω为已知的正数且ω＞2τ；

定义李雅普诺夫函数：

$V=\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{1}{2}{z_2}^2+\frac{1}{2}{r}^2+\frac{1}{2}Q+\frac{1}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}^T\mathrm{P\&epsiv;}---\left(21\right)$

运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，得到系统的半全局一致有界稳定的结果。