CN104345638A - 一种液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应控制(ADRAC)方法，该控制方法是基于线性扩张状态观测器(LESO)和自适应鲁棒控制(ARC)方法，并通过前馈相消方法使两者相互结合而得到的。该控制方法利用LESO对系统的不确定性非线性进行估计并在控制器设计中对其进行补偿，同时采用自适应控制处理系统的参数不确定性以提高控制器模型补偿的精度，获得了很好的跟踪性能。

Description

一种液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应控制方法

技术领域

本发明涉及电液伺服控制技术领域，主要涉及一种液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应控制方法。

背景技术

液压马达位置伺服系统凭借其功率密度大，力/转矩输出大，动态响应快等特性，在飞行器、重型机械、高性能旋转测试设备等领域有着举足轻重的地位。电液伺服系统是一个典型的非线性系统，包含许多建模不确定性，包括参数不确定性和不确定性非线性，其中参数不确定性主要有负载质量、执行器的粘性摩擦系数、泄漏系数、伺服阀流量增益、液压油弹性模量等，不确定性非线性主要有未建模的摩擦动态、系统高阶动态、外干扰及未建模泄漏等。建模不确定性的存在会大大恶化以系统名义模型设计的控制器的性能，造成系统跟踪误差增大、极限环振荡、甚至使系统失稳。因此探索能同时处理系统参数不确定性和不确定性非线性，从而使系统获得高精度跟踪性能的先进的控制策略显得尤为重要。

在现代非线性控制方法中，自适应鲁棒控制(ARC)可以同时解决参数不确定性和不确定性非线性的问题，该控制方法在两种建模不确定性同时存在的情况下可以使系统获得确定的暂态和稳态性能。但是在不确定性非线性为主要的建模不确定性时，如要获得高精度跟踪性能则必须通过提高反馈增益以减小跟踪误差，然而过大的反馈增益将提高闭环系统的频宽，从而可能激发系统的高频动态使系统失稳；为了克服强建模不确定性对系统性能的影响，自抗扰控制(ADRC)方法被提出。该控制方法对系统模型信息要求不多，即允许有很强的建模不确定性，主要运用一个扩张状态观测器(ESO)对系统的建模不确定性进行估计并在控制器的设计中对其进行前馈补偿。但是，ADRC将参数不确定性和不确定性非线性归并作为系统的集总的建模不确定性进行处理，而不是将两者分开单独处理，这样存在的问题是当参数不确定性占建模不确定性的绝大部分时，控制器的性能必将明显恶化。

发明内容

本发明的目的在于提供一种能有效地同时处理系统参数不确定性和不确定性非线性的液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应控制方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立液压马达位置伺服系统的数学模型；

步骤2，设计线性扩张状态观测器LESO；

步骤3，设计自抗扰自适应控制器ADRAC；

步骤4，ADRAC控制器性能定理及分析。

本发明与现有技术相比，本发明所提出的液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应控制方法，是一种基于线性扩张状态观测器(LESO)和自适应鲁棒控制(ARC)方法，并通过前馈相消方法使两者相互结合，得到一种新的自抗扰自适应控制(ADRAC)方法。该控制方法利用LESO对系统的不确定性非线性进行估计并在控制器设计中对其进行补偿，同时采用自适应控制处理系统的参数不确定性以提高控制器模型补偿的精度，获得了很好的跟踪性能。利用本发明的方案可更有效地同时处理系统的强参数不确定性和强不确定性非线性，克服了ARC和ADRC控制方法各自的保守性。仿真结果验证了其有效性。

附图说明

图1是液压马达位置伺服系统的原理图。

图2是液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应(ADRAC)控制方法原理示意图。

图3是ADRAC控制器作用下系统输出对期望指令的跟踪过程。

图4是ADRAC控制器作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线。

图5是ADRAC、ADRC和ARC控制器作用下系统的跟踪误差对比曲线。

图6是ADRAC控制器作用下系统参数估计值随时间变化的曲线。

图7是LESO对系统建模不确定性的估计。

图8是ADRAC控制器作用下系统的控制输入随时间变化的曲线。

图9是ARC控制器作用下系统参数估计值随时间变化的曲线。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。

结合图1～2本发明液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立液压马达位置伺服系统的数学模型；

(1.1)如图1所示为典型液压马达位置伺服系统的示意图，其中，是通过伺服阀控制的液压马达驱动惯性负载。

图1左侧是液压马达位置伺服系统结构，右侧是液压马达结构示意图。

根据牛顿第二定律，惯性负载的运动方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}=P_{L}A-B\stackrel{\·}{y}-A_f{S}_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)---\left(1\right)$

式(1)中m为惯性负载参数；P_L＝P₁-P₂为液压马达负载压力，_P1,P₂为液压马达两腔压力；A为液压马达的排量；B为粘性摩擦系数；A_fS_f为近似的非线性库伦摩擦力，其中A_f为库伦摩擦力的幅值，S_f为已知的形状函数。

忽略液压马达的外泄漏，则液压马达负载压力动态方程为：

$\frac{V_t}{4{\mathrm{\β}}_e}{\stackrel{\·}{P}}_L=-A\stackrel{\·}{y}-C_t{P}_L+Q\left(t\right)+Q_L---\left(2\right)$

式(2)中V_t表示液压马达两腔总的控制容积；β_e为有效油液弹性模量；C_t为内泄漏系数；Q(t)为时变的建模误差，包括复杂的内泄漏建模误差、未建模压力动态等；Q_L＝(Q₁+Q₂)/2为负载流量，Q₁和Q₂分别为液压马达的进油腔流量和回油腔流量。负载流量Q_L与伺服阀位移x_v的关系为：

$Q_L=k_q{x}_v\sqrt{P_s-\mathrm{sign}\left(x_v\right)P_L}---\left(3\right)$

式(3)中 $k_p=C_d\mathrm{\ω}\sqrt{1/\mathrm{\ρ}},$ s(x_v)的定义为：

$s\left(x_v\right)=\left\{\begin{array}{ccc}1,& \mathrm{if}& x_v\&GreaterEqual;0\\ 0,& \mathrm{if}& x_v<0\end{array}\right.---\left(4\right)$

式中C_d流量系数；ω为阀芯面积梯度；ρ为油液密度；P_s为供油压力，P_r为回油压力。

由于考虑伺服阀动态需要安装额外的位移传感器来获取伺服阀阀芯的位移，而且对于跟踪性能只有微小的提升。因此大量相关的研究都忽略伺服阀的动态，假设采用的是高响应的伺服阀，阀芯位移与控制输入近似为比例环节即x_v＝k_iu，故式(3)可以写成

$Q_L=k_{t}u\sqrt{P_s-\mathrm{sign}\left(u\right)P_L}---\left(5\right)$

式(5)中k_t＝k_qk_i代表总的流量增益。

(1.2)定义状态变量：则系统的状态方程为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3-\frac{B}{m}{x}_2-\frac{A_f}{m}{S}_f\left(x_2\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=\frac{4A{\mathrm{\&beta;}}_e{k}_t}{m{V}_t}u\sqrt{P_s\mathrm{sign}\left(u\right)\frac{m}{A}{x}_3}-\frac{4A^2{\mathrm{\&beta;}}_e}{m{V}_t}{x}_2-\frac{4{\mathrm{\&beta;}}_e}{V_t}{C}_t{x}_3+\frac{4A{\mathrm{\&beta;}}_{e}Q\left(t\right)}{m{V}_t}---\left(6\right)$

由于液压系统参数B,A_f和C_t受各种因素(如温度、组件磨损程度等)影响变化很大，因此为了简化系统状态方程，定义未知参数向量θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]^T,θ₁＝B/m,θ₂＝A_f/m,θ₃＝C_t。则式(6)可写成

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

式(7)中,

$f_1=\frac{4A{\mathrm{\&beta;}}_e{k}_t}{m{V}_t}\sqrt{P_s-\mathrm{sign}\left(u\right)\frac{m}{A}{x}_3}$

$f_2=\frac{4A^2{\mathrm{\&beta;}}_e}{m{V}_t}{x}_2,f_3=\frac{4{\mathrm{\&beta;}}_e}{V_t}{x}_3---\left(8\right)$

$q\left(t\right)=\frac{4A{\mathrm{\&beta;}}_{e}Q\left(t\right)}{m{V}_t}$

系统控制器的设计目标为：给定系统参考信号y_d(t)＝x_1d(t)，设计一个有界的控制输入u使系统输出y＝x₁尽可能地跟踪系统的参考信号。

为便于控制器设计，假设如下：

假设1：系统参考指令信号x_1d(t)是三阶连续的，且系统期望位置指令、速度指令、加速度指令及加加速度指令都是有界的。液压马达位置伺服系统在一般工况下工作，即液压马达两腔压力P₁,P₂均小于供油压力P_s，且|P_L|也小于P_s以保证式(9)中的f₁＞0。

假设2：参数不确定性θ的大小范围已知，即

$\mathrm{\&theta;}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&theta;}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\mathrm{\&theta;}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}$

式中θ_min＝[θ_1min,...,θ_3min]^T,θ_max＝[θ_1max,...,θ_3max]^T为向量θ的已知上下界。

步骤2，设计线性扩张状态观测器LESO，步骤如下：

(2.1)针对系统数学模型的第三个通道中的建模误差q(t),设计如下的线性扩张状态观测器：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_3=f_{1}u-f_2-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}^T{f}_3+{\hat{x}}_4+2{\mathrm{\&omega;}}_0(x_3-{\hat{x}}_3)$ (10)

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_4={\mathrm{\&omega;}}_0^2(x_3-{\hat{x}}_3)$

式(10)中分别是状态x₃和扩张状态x₄的估计值，ω₀是观测器的频宽。

(2.2)对于扩张状态x₄的定义有两种，第一种是将x₄定义为q(t)，第二种是将x₄定义为不论是哪种扩张状态的定义，可构建的LESO是相同的，不同的定义造成的仅仅是估计误差的动态不同而已。令为状态估计误差，为缩比的状态估计误差且ε＝[ε₁,ε₂]^T，并令扩张状态的导数为h(t)，分两种情况讨论状态估计误差的动态：

1.Case1

将x₄定义为q(t)，则系统的模型为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

(11)

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=h\left(t\right)$

由于仅对第三个通道设计LESO，故对应的状态估计误差的动态为：

(12)

${\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{x}}}_4=h\left(t\right)-{\mathrm{\&omega;}}_0^2{\tilde{x}}_3$

因此有

式(13)中A,B₁,B₂的定义为：

$A=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ -1& 0\end{array}\right],B_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],B_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]---\left(14\right)$

因此矩阵A是Hurwitz的，因此存在一个正定对称的矩阵P

$P=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right]---\left(15\right)$

使得A^TP+PA＝-I成立，I为单位矩阵。

2.Case2

将x₄定义为则系统的模型为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

(16)

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=h\left(t\right)$

第三个通道状态估计误差的动态为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{x}}}_3={\tilde{x}}_4-2{\mathrm{\&omega;}}_0{\tilde{x}}_3$ (17)

${\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{x}}}_4=h\left(t\right)-{\mathrm{\&omega;}}_0^2{\tilde{x}}_3$

因此有，

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}={\mathrm{\&omega;}}_0\mathrm{A\&epsiv;}+B_2\frac{h\left(t\right)}{{\mathrm{\&omega;}}_0}---\left(18\right)$

(2.3)由线性扩张状态观测器理论：假设h(t)有界，则对于任意的时间t＞0,状态估计误差有界，且存在常数σ_i＞0以及有限时间T₁＞0使得：

$\left|{\tilde{x}}_j\right|\&le;{\mathrm{\&sigma;}}_i,{\mathrm{\&sigma;}}_i=o\left(\frac{1}{{\mathrm{\&omega;}}_0^k}\right),i=\mathrm{1,2};j=i+2,\&ForAll;t\&GreaterEqual;T_1---\left(19\right)$

式(19)中k为正整数。

步骤3，设计自抗扰自适应控制器，步骤如下：

(3.1)在进行控制器设计之前先给出参数自适应所采用的不连续的参数映射：

另表示对系统未知参数θ的估计，为参数估计误差，即为确保自适应控制律的稳定性，基于系统的参数不确定性是有界的，即假设2，定义如下的参数自适应不连续映射：

$\mathrm{Pro}{j}_{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i}\left({\mathrm{\&tau;}}_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& \mathrm{if}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i={\mathrm{\&theta;}}_{i\max }\mathrm{and}{\mathrm{\&tau;}}_i>0\\ 0& \mathrm{if}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i={\mathrm{\&theta;}}_{i\min }\mathrm{and}{\mathrm{\&tau;}}_i<0\\ {\mathrm{\&tau;}}_i& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.---\left(20\right)$

式中i＝1,...,3；τ为参数自适应函数，并在后续的控制器设计中给出其具体的形式。

给定如下参数自适应率：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}=\mathrm{Pro}{j}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)\mathrm{with}{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(0\right)\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }---\left(21\right)$

式中Γ＞0为正定对角矩阵。

对于任意的自适应函数τ，不连续映射(21)具有如下性质：

(P1) $\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\widehat{\mathrm{\&theta;}}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}---\left(22\right)$

(P2) ${\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T\&lsqb;{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\mathrm{Pro}{j}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}\&rsqb;\&le;0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}---\left(23\right)$

对以上性质的证明：

性质P1的证明由不连续映射的定义很容易得到，故在此省略。

下面考虑性质P2的证明。当不连续映射不起作用时，此时有

${\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T({\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\mathrm{Pro}{j}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;})=0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}$

当且Γτ＞0时，此时

${\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\mathrm{Pro}{j}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}={\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\&lsqb;\mathrm{Pro}{j}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\&rsqb;={\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}(-\mathrm{\&Gamma;\&tau;})<0$

因此

${\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T({\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\mathrm{Pro}{j}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;})\&le;0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}$

当且Γτ＜0时，此时

${\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\mathrm{Pro}{j}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}={\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\&lsqb;\mathrm{Pro}{j}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\&rsqb;={\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}(-\mathrm{\&Gamma;\&tau;}>0$

由此证明了上述性质。

(3.2)用于控制器设计的模型为系统的原始模型，即：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

定义z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，根据式(24)中的第一个方程令x_2eq为虚拟控制，使方程趋于稳定状态；x_2eq与真实状态x₂的误差为z₂＝x₂-x_2eq，对z₁求导可得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}=z_2+x_{2\mathrm{eq}}-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}---\left(25\right)$

设计虚拟控制律：

$x_{2\mathrm{eq}}={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-k_1{z}_1---\left(26\right)$

式中k₁＞0为可调增益，则

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-k_1{z}_1---\left(27\right)$

由于z₁(s)＝G(s)z₂(s),式中G(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，当z₂趋于0时，z₁也必然趋于0。所以在接下来的设计中，将以使z₂趋于0为主要设计目标。

(3.3)考虑式(24)的第二个方程，选取α₂为x₃的虚拟控制，z₃为虚拟控制α₂与x₃之间的偏差。则z₂的动态方程为

设计虚拟控制律α₂如下：

${\mathrm{\&alpha;}}_{2s}={\mathrm{\&alpha;}}_{2s1}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2s2},{\mathrm{\&alpha;}}_{2s1}=-k_2{z}_2$

式中k₂为正的反馈增益，α_2a为用于改善模型补偿的基于模型的前馈控制律，α_2s1为线性鲁棒反馈项用于使系统稳定，α_2s2为非线性鲁棒项用于克服建模不确定性对系统性能的影响。对于α_2s2的选取，参考ARC控制器的设计方法，α_2s2应满足如下两个条件：

z₂α_2s2≤0   (30)

式(30)中γ₁为正数。

α_2s2可以取为：

${\mathrm{\&alpha;}}_{2s2}=-k_{s2}{z}_2=-g_1^2{z}_2/\left(4{\mathrm{\&gamma;}}_1\right)---\left(31\right)$

式(31)中g₁为光滑函数且满足如下不等式，k_s2可认为是非线性反馈增益。

式(32)中θ_M＝θ_max-θ_min。

将式(29)代入式(28)中得：

(3.4)考虑式(24)的第三个方程，设计实际的控制输入u。z₃的动态方程如下：

式(34)中，

表示中已知的部分，由于存在未知的参数估计误差，因此表示中的未知部分。

根据式(34)，基于模型的控制器u可设计为：

u＝u_a+u_s,u_s＝u_s1+u_s2

式中k₃为正的反馈增益，u_a为用于改善模型补偿的基于模型的前馈控制律，u_s1为线性鲁棒反馈项用于使系统稳定，u_s2为非线性鲁棒项用于克服建模不确定性对系统性能的影响。u_s2的选取同上，需满足以下条件：

z₃u_s2≤0

                                                      (37)

式(37)中γ₂为正数。

u_s2可以取为：

$u_{s2}=-k_{s3}{z}_3=-g_2^2{z}_3/\left(4{\mathrm{\&gamma;}}_2\right)---\left(38\right)$

式(38)中g₂为光滑函数且满足如下不等式，k_s3可认为是非线性反馈增益。

将式(36)代入式(34)中得：

步骤4，自抗扰自适应控制器的性能定理，具体如下：

对于系统未知参数，使用不连续映射自适应律(21)，自适应函数τ给定如下：

式(41)中c₂,c₃为正的可调增益。控制器反馈增益k₁,k₂和k₃以及观测器频宽ω₀取得足够大以使如下定义的矩阵Λ为正定矩阵：

$\mathrm{\&Lambda;}=\left[\begin{array}{ccccc}{k}_1& -\frac{1}{2}& 0& 0& 0\\ -\frac{1}{2}& k_2{c}_2& -\frac{c_2}{2}& 0& 0\\ 0& -\frac{c_2}{2}& k_3{c}_3& 0& -\frac{c_3{\mathrm{\&omega;}}_0}{2}\\ 0& 0& 0& \frac{{\mathrm{\&omega;}}_0-1}{2}& 0\\ 0& 0& 0& -\frac{c_3{\mathrm{\&omega;}}_0}{2}& \frac{{\mathrm{\&omega;}}_0-1}{2}\end{array}\right]---\left(42\right)$

Case1:若系统建模误差q(t)是常值，则系统具备渐进稳定性。

Case2:若系统建模误差q(t)是变值，则系统一致有界稳定，且系统的跟踪误差可由控制器参数任意调节，即随控制参数的增强，跟踪误差减小。

证明：

证明过程分成两步，对于Case1，定义x₄＝q(t)，选取李雅普诺夫函数：

$V=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}{c}_2{z}_2^2+\frac{1}{2}{c}_3{z}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}^T\mathrm{P\&epsiv;}+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&theta;}}---\left(43\right)$

在此情况下，h(t)＝0。

对式(43)求导可得：

根据式(41)中τ的定义以及式(30)和(37)中的第一个条件可知：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-k_1{z}_1^2+z_1{z}_2-k_2{c}_2{z}_2^2+c_2{z}_2{z}_3-k_3{c}_3{z}_3^2+c_3{z}_3{\mathrm{\&omega;}}_0{\mathrm{\&epsiv;}}_2-\frac{1}{2}({\mathrm{\&omega;}}_0-1){\left|\right|\mathrm{\&epsiv;}\left|\right|}^2\\ \&le;-{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)(z^{T}z+{\mathrm{\&epsiv;}}^T\mathrm{\&epsiv;})=-W<0\end{array}\left(45\right)$

式(45)中λ_min(Λ)为对称正定矩阵Λ的最小特征值，z＝[z₁,z₂,z₃]^T。

由式(45)可知,V(t)≤V(0)，因此V∈L_∞范数，进而可以得出z₁,z₂,z₃,ε₁,ε₂及范数。

对式(45)积分可得：

${\&Integral;}_0^{t}W\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}\&le;-{\&Integral;}_0^t\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}=V\left(0\right)-V\left(t\right)\&le;V\left(0\right)---\left(46\right)$

由式(46)可知z₁,z₂,z₃,ε₁,ε₂∈L₂范数，且根据式(13)、(27)、(33)、(40)可得：因此W是一致连续的，由Barbalat引理可知当时，即可推得结论：当时，由此证明了系统的渐进稳定性。

对于Case2，定义选取李雅普诺夫函数：

$V=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}{c}_2{z}_2^2+\frac{1}{2}{c}_3{z}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}^T\mathrm{P\&epsiv;}---\left(47\right)$

对式(47)求导可得：

由式(30)和(37)的第二个条件可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;k_1{z}_1^2+z_1{z}_2-k_2{c}_2{z}_2^2+c_2{z}_2{z}_3+c_2{\mathrm{\&gamma;}}_1-k_3{c}_3{z}_3^2+c_3{\mathrm{\&gamma;}}_2+c_3{z}_3{\mathrm{\&omega;}}_0{\mathrm{\&epsiv;}}_2\\ -\frac{1}{2}({\mathrm{\&omega;}}_0-1){\left|\right|\mathrm{\&epsiv;}\left|\right|}^2+\frac{1}{2}{\left(\frac{\left|\right|P{B}_2\left|\right|{\left|h\left(t\right)\right|}_{\max }}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\right)}^2\\ \&le;-{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)(z^{T}z+{\mathrm{\&epsiv;}}^T\mathrm{\&epsiv;})+c_2{\mathrm{\&gamma;}}_1+c_3{\mathrm{\&gamma;}}_2+\frac{1}{2}{\left(\frac{\left|\right|P{B}_2\left|\right|{\left|h\left(t\right)\right|}_{\max }}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\right)}^2\\ \&le;-\mathrm{\&lambda;V}+\mathrm{\&xi;}\end{array}---\left(49\right)$

式(49)中，λ_min(Λ)为对称正定矩阵Λ的最小特征值，λ_max(P)为矩阵P的最大特征值。且

$\mathrm{\&lambda;}=2{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)\min \{1,\frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(P\right)}\}$

$\mathrm{\&xi;}=c_2{\mathrm{\&gamma;}}_1+c_3{\mathrm{\&gamma;}}_2+\frac{1}{2}{\left(\frac{\left|\right|P{B}_2\left|\right|{\left|h\left(t\right)\right|}_{\max }}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\right)}^2$

由式(49)可得：

$V\left(t\right)\&le;V\left(0\right)\exp (-\mathrm{\&lambda;t})+\frac{\mathrm{\&xi;}}{\mathrm{\&lambda;}}\&lsqb;1-\exp (-\mathrm{\&lambda;t})\&rsqb;---\left(50\right)$

当时，因此获得了一致有界稳定的结果，且系统的跟踪误差可由参数控制。液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应(ADRAC)控制方法原理示意图如图2所示。

实施例

为考核所设计的控制器性能，在仿真中取如下参数对液压马达位置伺服系统进行建模：

负载转动惯量m＝40kg·m²,马达排量A＝2×10^-4m³/rad，粘性摩擦系数B＝80N·m·s/rad，供油压力P_s＝7MP_a，回油压力P_r＝0，油液弹性模量β_e＝2×10⁸P_a，马达两腔总控制容积V_t＝2×10^-3m³,泄漏系数C_t＝9×10^-12m³/s/P_a,总流量增益库伦摩擦力幅值A_f＝10N·m，形状函数压力动态建模误差Q(t)＝1×10^-4m³·rad/s。

给定系统的期望指令为x_1d＝sin(t)[1-exp(-0.01t³)](rad)。取如下的控制器以作对比：

自抗扰自适应(ADRAC)控制器：

取控制器参数： $k_1=500,k_2^{\&prime;}=k_2+k_{s2}=300,k_3^{\&prime;}=k_3+k_{s3}=200,$ 观测器频宽ω₀＝1000,c₂＝1.5,c₃＝1×10^-8,θ_min＝[-50,0,-1×10^-10]^T,θ_max＝[50,10,1×10^-10]^T,

自适应增益Γ＝diag{300,15,2×10^-24}。

自抗扰(ADRC)控制器：即所设计的ADRAC控制器中不加参数自适应律部分，考虑ADRC控制器是为了验证ADRAC控制器中自适应律对系统参数不确定性的抑制能力。由于ADRC控制器中不含参数自适应，因此其设计过程中采用的是系统参数的名义值，将其与系统参数的真值之间的误差归到建模不确定性中进行观测并补偿。参数名义值取为：θ_n＝[10,5,3×10^-11]^T,其余控制器参数与ADRAC控制器中对应的参数相同。

自适应鲁棒(ARC)控制器：即所设计的ADRAC控制器中去掉线性扩张状态观测器LESO，不对系统的建模不确定性进行观测和补偿。其控制器参数与ADRAC控制器中对应的参数相同。

ADRAC控制器作用下系统输出对期望指令的跟踪、ADRAC控制器跟踪误差、ADRAC、ADRC和ARC控制器的跟踪误差对比分别如图3，图4和图5所示。由图5可知，所设计的ADRAC控制器作用下系统获得了最好的跟踪性能，而ARC控制器尽管含有参数自适应的过程，但是由于不确定性非线性的存在使其跟踪性能得到削弱，ADRC控制器获得了最差的跟踪性能，这是由于强参数不确定性的存在，导致控制器设计中的模型补偿不准确从而导致跟踪性能急剧恶化。

图6是LESO对系统建模不确定性的估计，从图中可以看出，通过观测器频宽w0的选取，可以使估计误差减小。

图7和图9分别为ADRAC控制器和ARC控制器作用下系统参数估计随时间变化的曲线。从图中可以看出，ADRAC控制器作用下系统的参数估计能较好地收敛真值，而ARC控制器作用下系统的参数估计在强不确定性非线性的影响下发生漂移，不再收敛到真值，甚至有发散的趋势。

图8是系统在ADRAC控制器作用下系统控制输入随时间变化的曲线图。从图中可以看出，所获得的控制输入是低频连续的信号，更利于在实际应用中的执行。

Claims (5)

1.一种液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、建立液压马达位置伺服系统的数学模型；

步骤2、设计线性扩张状态观测器LESO；

步骤3、设计自抗扰自适应控制器ADRAC；

步骤4、自抗扰自适应控制器的性能定理。

2.根据权利要求1所述的液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应控制方法，其特征在于，步骤1所述建立液压马达位置伺服系统的数学模型，具体如下：

(2.1)针对典型液压马达位置伺服系统，通过伺服阀控制的液压马达驱动惯性负载，其惯性负载的运动方程为：

$m\stackrel{..}{y}=P_{L}A-B\stackrel{.}{y}-A_f{S}_f\left(\stackrel{.}{y}\right)---\left(1\right)$

式(1)中，m为惯性负载参数；P_L＝P₁-P₂为液压马达负载压力，P₁,P₂为液压马达两腔压力；A为液压马达的排量；B为粘性摩擦系数；A_fS_f为近似的非线性库伦摩擦力，其中A_f为库伦摩擦力的幅值，S_f为已知的形状函数；

忽略液压马达的外泄漏，则液压马达负载压力动态方程为：

$\frac{V_t}{{4\mathrm{\&beta;}}_e}{\stackrel{.}{P}}_L=-A\stackrel{.}{y}-C_t{P}_L+Q\left(t\right)+Q_L---\left(2\right)$

式(2)中，V_t表示液压马达两腔总的控制容积；β_e为有效油液弹性模量；C_t为内泄漏系数；Q(t)为时变的建模误差，包括复杂的内泄漏建模误差、未建模压力动态；Q_L＝(Q₁+Q₂)/2为负载流量，Q₁和Q₂分别为液压马达的进油腔流量和回油腔流量；

负载流量Q_L与伺服阀位移x_v的关系为：

$Q_L=k_q{x}_v\sqrt{P_s-\mathrm{sign}\left(x_v\right)P_L}---\left(3\right)$

式(3)中s(x_v)的定义为：

$s\left(x_v\right)=\left\{\begin{array}{ccc}1,& \mathrm{if}& x_v\&GreaterEqual;0\\ 0,& \mathrm{if}& x_v<0\end{array}\right.---\left(4\right)$

式中C_d流量系数；ω为阀芯面积梯度；ρ为油液密度；P_s为供油压力，P_r为回油压力；

假设采用高响应的伺服阀，则阀芯位移与控制输入近似为比例环节，即x_v＝k_iu，故式(3)可以写成：

$Q_L=k_{t}u\sqrt{P_s-\mathrm{sign}\left(u\right)P_L}---\left(5\right)$

式(5)中k_t＝k_qk_i代表总的流量增益；

(2.2)定义状态变量：则系统的状态方程为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{.}{x}}_2=x_3-\frac{B}{m}{x}_2-\frac{A_f}{m}{S}_f\left(x_2\right)\\ {\stackrel{.}{x}}_3=\frac{4A{\mathrm{\&beta;}}_e{k}_t}{{\mathrm{mV}}_t}u\sqrt{P_s-\mathrm{sign}\left(u\right)\frac{m}{A}{x}_3}-\frac{{4A}^2{\mathrm{\&beta;}}_e}{{\mathrm{mV}}_t}{x}_2-\frac{{4\mathrm{\&beta;}}_e}{V_t}{C}_t{x}_3+\frac{4A{\mathrm{\&beta;}}_{e}Q\left(t\right)}{{\mathrm{mV}}_t}\end{array}---\left(6\right)$

定义未知参数向量θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]^T,θ₁＝B/m,θ₂＝A_f/m,θ₃＝C_t，则式(6)可写成：

式(7)中,

系统控制器的设计目标为：给定系统参考信号y_d(t)＝x_1d(t)，设计一个有界的控制输入u使系统输出y＝x₁尽可能地跟踪系统的参考信号；

为便于控制器设计，假设如下：

假设1：系统参考指令信号x_1d(t)是三阶连续的，且系统期望位置指令、速度指令、加速度指令及加加速度指令都是有界的；液压马达位置伺服系统在一般工况下工作，即液压马达两腔压力P₁,P₂均小于供油压力P_s，且|P_L|也小于P_s以保证式(9)中的f₁＞0；

假设2：参数不确定性θ的大小范围已知，即

$\mathrm{\&theta;}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&theta;}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\mathrm{\&theta;}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}---\left(9\right)$

式中θ_min＝[θ_1min,...,θ_3min]^T,θ_max＝[θ_1max,...,θ_3max]^T为向量θ的已知上下界。

3.根据权利要求2所述的液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应控制方法，其特征在于，步骤2所述设计线性扩张状态观测器LESO，步骤如下：

(3.1)针对前述建立的系统数学模型的第三个通道中的建模误差q(t),设计如下的线性扩张状态观测器：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\stackrel{.}{^}}{x}}_3=f_{1}u-f_2-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}^T{f}_3+{\hat{x}}_4+{2\mathrm{\&omega;}}_0(x_3-{\hat{x}}_3)\\ {\stackrel{\stackrel{.}{^}}{x}}_4={\mathrm{\&omega;}}_0^2(x_3-{\hat{x}}_3)\end{array}---\left(10\right)$

式(10)中分别是状态x₃和扩张状态x₄的估计值，ω₀是观测器的频宽；

(3.2)对于扩张状态x₄，分两种情况定义：第一种是将x₄定义为q(t)，第二种是将x₄定义为令为状态估计误差，(i=1，2；j=i+2)为缩比的状态估计误差且ε＝[ε₁,ε₂]^T，并令扩张状态的导数为h(t)，状态估计误差的动态估计如下：

1.将x₄定义为_q(t)

将x₄定义为_q(t)，则系统的模型可表达为：

由于仅对第三个通道设计LESO，故对应的状态估计误差的动态为：

因此有：

式(13)中A,B₁,B₂的定义为：

$A=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ -1& 0\end{array}\right],B_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],B_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]---\left(14\right)$

因此矩阵A是Hurwitz的，因此存在一个正定对称的矩阵P：

$P=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right]---\left(15\right)$

使得A^TP+PA＝-I成立，I为单位矩阵；

2.将x₄定义为

将x₄定义为则系统的模型为：

第三个通道状态估计误差的动态为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{x}}_3={\tilde{x}}_4-{2\mathrm{\&omega;}}_0{\tilde{x}}_3\\ {\stackrel{\stackrel{.}{~}}{x}}_4=h\left(t\right)-{\mathrm{\&omega;}}_0^2{\tilde{x}}_3\end{array}---\left(17\right)$

因此有：

$\stackrel{.}{\mathrm{\&epsiv;}}={\mathrm{\&omega;}}_0\mathrm{A\&epsiv;}+B_2\frac{h\left(t\right)}{{\mathrm{\&omega;}}_0}---\left(18\right)$

(3.3)由线性扩张状态观测器理论：假设h(t)有界，则对于任意的时间t＞0,状态估计误差有界，且存在常数σ_i＞0以及有限时间T₁＞0使得：

$\left|{\tilde{x}}_j\right|\&le;{\mathrm{\&sigma;}}_i,{\mathrm{\&sigma;}}_i=o\left(\frac{1}{{\mathrm{\&omega;}}_0^k}\right),i=\mathrm{1,2};j=i+2,\&ForAll;t\&GreaterEqual;T_1---\left(19\right)$

式(19)中k为正整数。

4.根据权利要求3所述的液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应控制方法，其特征在于，步骤3所述设计自抗扰自适应控制器，步骤如下：

(4.1)在进行控制器设计之前决定参数自适应所采用的不连续的参数映射：

令表示对系统未知参数θ的估计，为参数估计误差，即为确保自适应控制律的稳定性，基于系统的参数不确定性是有界的，即前述假设2，定义如下的参数自适应不连续映射：

${\mathrm{Proj}}_{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i}\left({\mathrm{\&tau;}}_i\right)=\left\{\begin{array}{ccc}0& \mathrm{if}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i={\mathrm{\&theta;}}_{i\max }& \mathrm{and}{\mathrm{\&tau;}}_i>0\\ 0& \mathrm{if}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i={\mathrm{\&theta;}}_{i\min }& \mathrm{and}{\mathrm{\&tau;}}_i<0\\ {\mathrm{\&tau;}}_i& \mathrm{otherwise}& \end{array}\right.---\left(20\right)$

式中i＝1,...,3；τ为参数自适应函数，并在后续的控制器设计中给出其具体的形式；

给定如下参数自适应率：

$\stackrel{\stackrel{.}{^}}{\mathrm{\&theta;}}=\mathrm{Pro}{j}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)\mathrm{with}{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(0\right)\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }---\left(21\right)$

式中Γ＞0为正定对角矩阵；

对于任意的自适应函数τ，不连续映射(21)具有如下性质：

$\left(P1\right)\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\widehat{\mathrm{\&theta;}}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}---\left(22\right)$

$\left(P2\right){\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T[{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}]\&le;0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}---\left(23\right)$

(4.2)用于控制器设计的模型为系统的原始模型，即：

定义z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，根据式(24)中的第一个方程令x_2eq为虚拟控制，使方程趋于稳定状态；x_2eq与真实状态x₂的误差为z₂＝x₂-x_2eq，对z₁求导可得：

${\stackrel{.}{z}}_1=x_2-{\stackrel{.}{x}}_{1d}=z_2+x_{2\mathrm{ep}}-{\stackrel{.}{x}}_{1d}---\left(25\right)$

设计虚拟控制律：

$x_{2\mathrm{ep}}={\stackrel{.}{x}}_{1d}-k_1{z}_1---\left(26\right)$

式中k₁＞0为可调增益，则：

${\stackrel{.}{z}}_1=z_2-k_1{z}_1---\left(27\right)$

由于z₁(s)＝G(s)z₂(s),式中G(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，当z₂趋于0时，z₁也必然趋于0；

(4.3)考虑式(24)的第二个方程，选取α₂为x₃的虚拟控制，z₃为虚拟控制α₂与x₃之间的偏差，则z₂的动态方程为

设计虚拟控制律α₂如下：

式中k₂为正的反馈增益，α_2a为用于改善模型补偿的基于模型的前馈控制律，α_2s1为线性鲁棒反馈项用于使系统稳定，α_2s2为非线性鲁棒项用于克服建模不确定性对系统性能的影响；对于α_2s2的选取，参考ARC控制器的设计方法，α_2s2应满足如下两个条件：

式(30)中γ₁为正数；

α_2s2取为：

${\mathrm{\&alpha;}}_{2s2}=-k_{s2}{z}_2=-g_1^2{z}_2/\left({4\mathrm{\&gamma;}}_1\right)---\left(31\right)$

式(31)中g₁为光滑函数且满足如下不等式，k_s2可认为是非线性反馈增益：

式(32)中θ_M＝θ_max-θ_min；

将式(29)代入式(28)中得：

(4.4)考虑式(24)的第三个方程，设计实际的控制输入u

z₃的动态方程如下：

式(34)中：

表示中已知的部分，由于存在未知的参数估计误差，因此表示中的未知部分；

根据式(34)，基于模型的控制器u设计为：

式中k₃为正的反馈增益，u_a为用于改善模型补偿的基于模型的前馈控制律，u_s1为线性鲁棒反馈项用于使系统稳定，u_s2为非线性鲁棒项用于克服建模不确定性对系统性能的影响；u_s2的选取同上，需满足以下条件：

式(37)中γ₂为正数；

u_s2取为：

$u_{s2}=-k_{s3}{z}_3=-g_2^2{z}_3/\left({4\mathrm{\&gamma;}}_2\right)---\left(38\right)$

式(38)中g₂为光滑函数且满足如下不等式，k_s3可认为是非线性反馈增益：

将式(36)代入式(34)中得：

5.根据权利要求1所述的液压马达位置伺服系统的自抗扰自适应控制方法，其特征在于，步骤4所述自抗扰自适应控制器的性能定理，具体如下：

对于系统未知参数，使用不连续映射自适应律(21)，自适应函数τ给定如下：

式(41)中c₂,c₃为正的可调增益，控制器反馈增益k₁,k₂和k₃以及观测器频宽ω₀取得足够大以使如下定义的矩阵Λ为正定矩阵：

$\mathrm{\&Lambda;}=\left[\begin{array}{ccccc}{k}_1& -\frac{1}{2}& 0& 0& 0\\ -\frac{1}{2}& k_2{c}_2& -\frac{c_2}{2}& 0& 0\\ 0& -\frac{c_2}{2}& k_3{c}_3& 0& -\frac{c_3{\mathrm{\&omega;}}_0}{2}\\ 0& 0& 0& \frac{{\mathrm{\&omega;}}_0-1}{2}& 0\\ 0& 0& 0& -\frac{c_3{\mathrm{\&omega;}}_0}{2}& \frac{{\mathrm{\&omega;}}_0-1}{2}\end{array}\right]---\left(42\right)$

1)若系统建模误差q(t)是常值，则系统具备渐进稳定性；

2)若系统建模误差q(t)是变值，则系统一致有界稳定，且系统的跟踪误差可由控制器参数任意调节，即随控制参数的增强，跟踪误差减小。