CN106094533B - 基于一致鲁棒精确微分器的液压系统自适应鲁棒控制方法 - Google Patents

基于一致鲁棒精确微分器的液压系统自适应鲁棒控制方法 Download PDF

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CN106094533B CN201610717186.1A CN201610717186A CN106094533B CN 106094533 B CN106094533 B CN 106094533B CN 201610717186 A CN201610717186 A CN 201610717186A CN 106094533 B CN106094533 B CN 106094533B
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Abstract

本发明提供一种基于一致鲁棒精确微分器的液压系统自适应鲁棒控制方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1，建立双出杆液压缸位置伺服系统模型；步骤2，设计基于一致鲁棒精确微分器的液压系统自适应鲁棒控制器；步骤3，调节控制器的参数使其满足控制性能指标。

Description

基于一致鲁棒精确微分器的液压系统自适应鲁棒控制方法
技术领域
本发明涉及一种控制方法，特别是一种基于一致鲁棒精确微分器的液压系统自适应鲁棒控制方法。
背景技术
液压系统由于高响应、输出力大、体积小等优点，在工业中得到了广泛的应用。然而，严重的非线性行为,如控制输入饱和，阀门开度，非线性摩擦，模型的不确定性(负载变化、液压参数变化(如体积模量)以及元件磨损引起的参数不确定性和包含外部干扰，泄漏等的不确定非线性)，这些因素使设计人员很难开发出高性能闭环控制器。
为减小不确定非线性对物理系统的影响，鲁棒控制作为一种主要的方法，应用于许多控制对象。这些鲁棒控制器保证规定的输出跟踪瞬态性能和最终跟踪精度，但是，在实际的应用中，高跟踪精度可能是通过采用大反馈增益获得。为了减少参数的不确定性的影响，自适应控制器已被广泛用于伺服系统。然而，这些控制器不能减弱不确定非线性对系统的影响。
为了在同一个控制器中克服参数不确定性和不确定性非线性，自适应鲁棒控制被广泛应用。这些自适应控制器保证了规定的输出跟踪的瞬态性能和最终的跟踪精度，同时在不存在不确定非线性的情况下实现渐近输出跟踪。
然而，上述应用于液压伺服系统的自适应鲁棒控制器均使用反步方法设计，由于干扰的存在，虚拟控制律派生的不可计算部分是不可避免和不能通过前馈补偿的。一般来说，如果不可计算的部分太小，对控制器的设计影响很小。然而，在某些情况下，不可计算部分可能较大以至于是不可忽视的。为了处理不可计算部分的影响和为液压系统设计高性能控制器，本文设计了基于虚拟控制补偿的液压系统自适应鲁棒控制器。
发明内容
本发明为解决电液伺服伺服系统中参数确定性、不确定非线性问题，进而提出一种基于一致鲁棒精确微分器的液压系统自适应鲁棒控制方法。
本发明为解决上述问题采取的具体步骤如下：
步骤1，建立双出杆液压缸位置伺服系统模型，根据牛顿第二定律，双出杆液压缸惯性负载的动力学模型方程为：
式中：y为负载位移；m表示惯性负载；PL＝P1-P2是负载驱动压力；P1和P2分别为液压缸两腔压力；A为活塞杆有效工作面积；b代表粘性摩擦系数；f代表其他未建模干扰，比如非线性摩擦，外部干扰以及未建模动态。液压缸负载压力动态方程为：
式中：Vt为液压缸两腔总有效容积；Ct为液压缸泄露系数；QL＝(Q1+Q2)/2为负载流量；Q1为液压缸供油流量；Q2为液压缸回油流量；qn代表常值建模误差，代表时变建模误差。
QL为伺服阀阀芯位移xv的函数：
式中：为伺服阀的增益系数；Cd为伺服阀的流量系数；w为伺服阀的面积梯度；ρ为液压油的密度；Ps为供油压力；Pr为回油压力。sign(xv)为
假设伺服阀阀芯位移正比于控制输入u，即xv＝kiu，其中ki>0是比例系数，u是控制输入电压。因此，等式(3)可以转化为
式中：kt＝kqki表示总的流量增益。
定义状态变量那么整个系统可以写成如下状态空间形式：
定义未知参数集为θ＝[θ1，θ2，θ3，θ4，θ5]T，其中θ1＝b/m，θ2＝4βekt/mVt，θ3＝4βeA2/mVt，θ4＝4βeCt/Vt，θ5＝4βeqn/Vt， 对于具体的实际应用系统，其大致信息是可以知道的。此外，系统的未建模动态和干扰总是有界的。因而，以下假设总是成立的：
假设1：参数不确定性θ满足：
式中：θmin＝[θ1min，θ2min，θ3min，θ4min，θ5min]T和θmax＝[θ1max，θ2max，θ3max，θ4max，θ5max]T，它们都是已知的，此外θ1min>0，θ2min>0，θ3min>0，θ4min>0。
假设2：d(x，t)，d2(t)有界且界已知，即
|d(x,t)|≤δ1,|d2(x,t)|≤δ2 (8)
式中：δ1和δ2已知。
步骤2，设计基于一致鲁棒精确微分器的液压系统自适应鲁棒控制器的具体步骤如下：
步骤2.1连续投影函数设计
定义一个连续的投影函数Π:R5→R5
Π(v)＝[π1(v1),…,π5(v5)]T (9)
式中：v∈R5，v＝[v1，…，v5]T，πi:R→R的定义如下：εθi为足够小的正实数，那么存在函数πi满足
且πi具有有界的二阶导数。因此
式中：是已知有界紧集，ΩΠj是有界紧集。定义 及
由假设(1)可知是正定的。此外，
式中：Γ＝diag{γ1，…，γ5}。
步骤2.2，设计一致鲁棒精确微分器。
设计一致鲁棒精确微分器用于估计反步设计中出现的虚拟控制器的时间导数，进而前馈补偿，以处理不可计算项。其能够保证有限时间的精确估计，且收敛时间是有界的。
令f0(t)表示一个二阶可微信号。令ζ0＝f0(t)，则
假设L是已知Lipschitz常数。一致鲁棒精确微分器结构如下:
式中：σ0＝e0-ζ0，c1>0，c2>0为设计增益。函数φ1(σ0)和φ2(σ0)为
式中：b1≥0和b2≥0是常数。e0和e1分别为f0(t)和的估计。
则估计误差动态为
式中：σ1＝e1-ζ1。
Lemma1:在不考虑系统噪声的情况下，如果则系统(15)是一致精确收敛的，其收敛时间上界是和初始条件无关的常值。即
式中：T为常数。
步骤2.3，设计控制器如下：
定义变量如下：
式中：z1＝x1-x1d(t)是输出跟踪误差，k1>0为反馈增益。由于G(s)＝z1(s)/z2(s)＝1/(s+k1)是一个稳定的传递函数，当z2趋于0时，z1必然也趋于0。因此，以下将设计控制器使z2趋于0。对式(19)微分并把式(6)代入，可得：
此时x3为一个虚拟控制输入。接下来将针对虚拟控制量x3设计控制律α2来保证输出跟踪精度。
令z3＝x3-α2表示输入误差，由式(20)可得：
由此，可设计虚拟控制律a2为
式中：k2>0为线性反馈增益，tanh(·)具有如下性质:
式中：κ＝0.2785，ε2为有界正常数(即0＜ε2(t)≤ε2max)，h2满足
由于Ωθ是已知紧集且d1(x,t)有界的。可知h2满足
式中：θjM＝θjmax-θjmin+εθj，
把(22)代入(20)，可得z2的动态方程
由式(6)，微分z3可得：
在之前研究中，由于是未知的，分为可计算部分和不可计算部分，即
式中：为可计算部分，为不可计算部分。控制器设计中，可计算部分可以前馈补偿掉，但不可计算部分只能通过鲁棒控制器处理。在某些情况下，如果比较大，就会降低系统的控制精度。为了处理不可计算项，引入一致鲁棒精确微分器。令f0＝α2，基于微分器对的估计，控制器设计为
式中：k3>0为反馈增益，ε3为有界正常数(即0＜ε3(t)≤ε3max)，h3满足
由于Ωθ是已知紧集且d2(t)有界的，可知h3满足
式中：θjM＝θjmax-θjmin+εθj，
把(29)代入(27)，可得z3的动态方程
定理1：基于自适应律
假设d(x,t)是有界的，选择合适的参数使如下定义的矩阵Λ正定
由自适应函数则控制器(29)有如下性质：
A)闭环系统所有信号有界的，定义李雅普诺夫方程
满足如下的不等式
式中：k＝2λmin。
B)一段时间t0后，d1(x，t)＝0，d2(t)＝0，除了能够得到结论A，还能保证输出信号的渐进跟踪性能，即当t→∞，z3(t)→0，z2(t)→0，z1(t)→0。
步骤2.4，验证系统稳定性：
证明：微分(35)并代入(25)，(26)，(31)，(32)，可得
由(23)，可得
由于
然后，可得
式中：λmin(·)表示矩阵·的最小特征值，λmax(·)表示矩阵·的最大特征值，σ＝κε2+κε3，β1>0，C＝[1 0]。
对式(40)进行积分可得(36)，很明显V全局有界的，因此z3，z2是有界的。此外假设参考信号有界，由式(19)可知，输出信号有界，由式(29)及假设1，可知控制输入u有界，因此可以证明A。下面证明B，定义李雅普诺夫函数为
微分(41)，可得
式中：W恒为非负，且W∈L2，由(26)和(32)，可知有界的，因此W是一致连续的。通过Barbalat’s引理，可得当t→∞，W→0。由此证明了结论B。
因此控制器是收敛的，系统是稳定的。
步骤3，调节基于控制律u的参数k1，k2，k3，b1，b2，c1，c2使系统满足控制性能指标。
本发明的有益效果是：本发明针对电液伺服系统的特点，建立了双出杆系统模型；本发明设计的一致鲁棒精确微分器的液压系统自适应鲁棒控制器，对系统干扰和未知参数进行估计并用于控制器设计，能有效解决电机伺服系统的参数不确定性和不确定非线性问题；同时通过一致鲁棒精确微分器，解决了系统反步设计中出现的不可计算部分问题；本发明简化了控制器设计，实验结果表明了其有效性。
下面结合说明书对本发明做进一步描述。
附图说明
图1是本发明的方法流程图。
图2是ARCURED控制器作用下参数估计曲线示意图。
图3是两个控制器的跟踪误差示意图。
图4是ARCURED控制器作用下控制输入信号曲线示意图。
图5是ARCURED控制器作用下液压缸腔内压强示意图。
具体实施方式
结合图1，本实施方式所述一种考虑状态约束的液压系统自适应控制方法的具体步骤如下：
步骤1，建立双出杆液压缸位置伺服系统模型，根据牛顿第二定律，双出杆液压缸惯性负载的动力学模型方程为：
式中：y为负载位移；m表示惯性负载；PL＝P1-P2是负载驱动压力；P1和P2分别为液压缸两腔压力；A为活塞杆有效工作面积；b代表粘性摩擦系数；f代表其他未建模干扰，比如非线性摩擦，外部干扰以及未建模动态。液压缸负载压力动态方程为：
式中：Vt为液压缸两腔总有效容积；Ct为液压缸泄露系数；QL＝(Q1+Q2)/2为负载流量；Q1为液压缸供油流量；Q2为液压缸回油流量；qn代表常值建模误差，代表时变建模误差。
QL为伺服阀阀芯位移xv的函数：
式中：为伺服阀的增益系数；Cd为伺服阀的流量系数；w为伺服阀的面积梯度；ρ为液压油的密度；Ps为供油压力；Pr为回油压力。sign(xv)为
假设伺服阀阀芯位移正比于控制输入u，即xv＝kiu，其中ki>0是比例系数，u是控制输入电压。因此，等式(3)可以转化为
式中：kt＝kqki表示总的流量增益。
定义状态变量那么整个系统可以写成如下状态空间形式：
定义未知参数集为θ＝[θ1,θ2,θ3,θ4,θ5]T，其中θ1＝b/m，θ2＝4βekt/mVt，θ3＝4βeA2/mVt，θ4＝4βeCt/Vt，θ5＝4βeqn/Vt， 对于具体的实际应用系统，其大致信息是可以知道的。此外，系统的未建模动态和干扰总是有界的。因而，以下假设总是成立的：
假设1：参数不确定性θ满足：
式中：θmin＝[θ1min,θ2min,θ3min,θ4min,θ5min]T和θmax＝[θ1max,θ2max,θ3max,θ4max,θ5max]T，它们都是已知的，此外θ1min>0,θ2min>0,θ3min>0,θ4min>0。
假设2：d(x,t)，d2(t)有界且界已知，即
|d(x,t)|≤δ1,|d2(x,t)|≤δ2 (8)
式中：δ1和δ2已知。
步骤2，设计基于一致鲁棒精确微分器的液压系统自适应鲁棒控制器的具体步骤如下：
步骤2.1，连续投影函数设计
定义一个连续的投影函数Π:R5→R5
Π(v)＝[π1(v1),…,π5(v5)]T (9)
式中：v∈R5，v＝[v1,…,v5]T，πi:R→R的定义如下：εθi为足够小的正实数，那么存在函数πi满足
且πi具有有界的二阶导数。因此
式中：是已知有界紧集，ΩПj是有界紧集。定义 及
由假设(1)可知是正定的。此外，
式中：Γ＝diag{γ1，…，γ5}。
步骤2.2，设计一致鲁棒精确微分器。
设计一致鲁棒精确微分器用于估计反步设计中出现的虚拟控制器的时间导数，进而前馈补偿，以处理不可计算项。其能够保证有限时间的精确估计，且收敛时间是有界的。
令f0(t)表示一个二阶可微信号。令ζ0＝f0(t)，则
假设L是已知Lipschitz常数。一致鲁棒精确微分器结构如下:
式中：σ0＝e0-ζ0,c1>0，c2>0为设计增益。函数φ1(σ0)和φ2(σ0)为
式中：b1≥0和b2≥0是常数。e0和e1分别为f0(t)和的估计。
则估计误差动态为
式中：σ1＝e1-ζ1。
Lemma1:在不考虑系统噪声的情况下，如果则系统(15)是一致精确收敛的，其收敛时间上界是和初始条件无关的常值。即
式中：T为常数。
步骤2.3，设计控制器如下：
定义变量如下：
式中：z1＝x1-x1d(t)是输出跟踪误差，k1>0为反馈增益。由于G(s)＝z1(s)/z2(s)＝1/(s+k1)是一个稳定的传递函数，当z2趋于0时，z1必然也趋于0。因此，以下将设计控制器使z2趋于0。对式(19)微分并把式(6)代入，可得：
此时x3为一个虚拟控制输入。接下来将针对虚拟控制量x3设计控制律α2来保证输出跟踪精度。
令z3＝x3-α2表示输入误差，由式(20)可得：
由此，可设计虚拟控制律a2为
式中：k2>0为线性反馈增益，tanh(·)具有如下性质:
式中：κ＝0.2785，ε2为有界正常数(即0＜ε2(t)≤ε2max)，h2满足
由于Ωθ是已知紧集且d1(x,t)有界的。可知h2满足
式中：θjM＝θjmax-θjmin+εθj,
把(22)代入(20)，可得z2的动态方程
由式(6)，微分z3可得：
在之前研究中，由于是未知的,分为可计算部分和不可计算部分，即
式中：为可计算部分，为不可计算部分。控制器设计中，可计算部分可以前馈补偿掉，但不可计算部分只能通过鲁棒控制器处理。在某些情况下，如果比较大，就会降低系统的控制精度。为了处理不可计算项，引入一致鲁棒精确微分器。令f0＝α2，基于微分器对的估计，控制器设计为
式中：k3>0为反馈增益，ε3为有界正常数(即0＜ε3(t)≤ε3max)，h3满足
由于Ωθ是已知紧集且d2(t)有界的，可知h3满足
式中：θjM＝θjmax-θjmin+εθj，
把(29)代入(27)，可得z3的动态方程
定理1：基于自适应律
假设d(x,t)是有界的，选择合适的参数使如下定义的矩阵Λ正定
由自适应函数则控制器(29)有如下性质：
A)闭环系统所有信号有界的，定义李雅普诺夫方程
满足如下的不等式
式中：k＝2λmin。
B)一段时间t0后,d1(x,t)＝0,d2(t)＝0,除了能够得到结论A,还能保证输出信号的渐进跟踪性能，即当t→∞，z3(t)→0,z2(t)→0,z1(t)→0。
步骤2.4验证系统稳定性：
证明:微分(35)并代入(25)、(26)、(31)、(32)可得
由(23)，可得
由于
然后，可得
式中：λmin(·)表示矩阵·的最小特征值，λmax(·)表示矩阵·的最大特征值，σ＝κε2+κε3，β1>0,C＝[1 0]。
对式(40)进行积分可得(36)，很明显V全局有界的，因此z3,z2是有界的。此外假设参考信号有界，由式(19)可知，输出信号有界，由式(29)及假设1，可知控制输入u有界，因此可以证明A。下面证明B，定义李雅普诺夫函数为
微分(41)，可得
式中：W恒为非负，且W∈L2，由(26)和(32)，可知有界的，因此W是一致连续的。通过Barbalat’s引理，可得当t→∞，W→0。由此证明了结论B。
因此控制器是收敛的，系统是稳定的。
实施例：
本文提出的基于虚拟控制补偿的自适应鲁棒控制器(ARCURED)。系统参数为:m＝30kg,A＝9.05×10-4m2,Vt＝7.96×10-5m3,Ps＝10Mpa,Pr＝0.08Mpa。选取参数不确定范围为θmin＝[0.1,0.1,1×105,0.1,-1×105]T，θmax＝[300,100,1×107,1000,1×105]T,给定参数估计初值为和εθ＝[0.2，10，1，3，1]T，ε2＝1，ε3＝1，适应增益为Г＝diag{3×10-6,700,0.006，13，0.08}，控制器设计参数k1＝1200，k2＝700，k3＝200，b1＝3，b2＝3，c1＝1，c2＝1。位置角度输入信号x1d＝40arctan(sin(0.4πt))[1-exp(-t)](mm)。为了验证本文提出控制策略的有效性，引入自适应鲁棒控制器(ARC)做对比，自适应鲁棒控制器参数和本文设计控制器参数一致。
控制律作用效果：
图2是ARCURED控制器作用下参数估计曲线。
图3是两个控制器的跟踪误差。
图4是ARCURED控制器作用下控制输入信号曲线。
图5是ARCURED控制器作用下液压缸腔内压强。
由上图可知，本发明提出的算法在实验环境下能够准确的估计出系统参数。相比ARC控制器，本发明设计的控制器能够取得更好的控制精度。研究结果表明在参数不确定性和不确定非线性性影响下，本文提出的方法能够取得良好的性能。

Claims (5)

1.一种基于一致鲁棒精确微分器的液压系统自适应鲁棒控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，建立双出杆液压缸位置伺服系统模型；
步骤2，设计基于一致鲁棒精确微分器的液压系统自适应鲁棒控制器；
步骤3，调节控制器的参数使其满足控制性能指标；
所述步骤1具体包括以下步骤：
步骤1.1，建立双出杆液压缸惯性负载的动力学模型方程为：
式中，y为负载位移，m表示惯性负载，PL＝P1-P2是负载驱动压力，其中P1和P2分别为液压缸两腔压力，AL为活塞杆有效工作面积，b代表粘性摩擦系数，f代表其他未建模干扰；
步骤1.2，建立液压缸负载压力动态方程为：
式中，Vt为液压缸两腔总有效容积，Ct为液压缸泄露系数，qn代表常值建模误差，代表时变建模误差，βe是液压弹性模量，
QL为伺服阀阀芯位移xv的函数：
式中，为伺服阀的增益系数，Cd为伺服阀的流量系数，w为伺服阀的面积梯度，ρ为液压油的密度，Ps为供油压力，sign(xv)为
步骤1.3，定义状态变量则整个系统模型转换为如下状态空间形式：
定义未知参数集为θ＝[θ1，θ2，θ3，θ4，θ5]T，其中θ1＝b/m，θ2＝4βekt/mVt，θ3＝4βeAL 2/mVt，θ4＝4βeCt/Vt，θ5＝4βeqn/Vt， 且满足：
假设(1)，参数不确定性θ满足
式中，θmin＝[θ1min，θ2min，θ3min，θ4min，θ5min]T和θmax＝[θ1max，θ2max，θ3max，θ4max，θ5max]T都是已知的，此外θ1min>0，θ2min>0，θ3min>0，θ4min>0。
假设(2)d1(x,t),d2(x,t)有界且界已知，
|d1(x,t)|≤δ1，|d2(x,t)|≤δ2 (8)
式中，δ1和δ2已知；
设伺服阀阀芯位移正比于控制输入u，xv＝kiu，其中ki>0是比例系数，u是控制输入电压，等式(3)可以转化为
式中，kt＝kqki表示总的流量增益；
所述步骤2具体包括以下步骤：
步骤2.1，设计连续投影函数；
步骤2.2，设计一致鲁棒精确微分器；
步骤2.3，设计控制器；
所述步骤2.1具体包括以下步骤：
定义一个连续的投影函数Π:R5→R5
Π(v)＝[π1(v1),…,π5(v5)]T (9)
式中，R为五阶实数集合，v∈R5，v＝[v1，…，v5]T，πi:R→R定义为当εθi为足够小的正实数，那么存在函数πi满足
且πi具有有界的二阶导数，因此
式中，是已知有界紧集，ΩΠj是有界紧集，
定义 及
且是正定的，表示θ的估计，表示θ的估计误差，此外，
式中，Γ＝diag{γ1，…，γ5}。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤2.2具体包括以下步骤：
步骤2.2.1，令f0(t)表示一个二阶可微信号，令ζ0＝f0(t)，则
设L是已知Lipschitz常数；
步骤2.2.2，设计一致鲁棒精确微分器结构如下
式中，σ0＝e0-ζ0，c1>0，c2>0为设计增益，函数φ1(σ0)和φ2(σ0)为
式中，b1≥0和b2≥0是常数，e0和e1分别为f0(t)和的估计；
估计误差动态为
式中，σ1＝e1-ζ1；
在不考虑系统噪声的情况下，如果则系统(15)是一致精确收敛的，其收敛时间t上界是和初始条件无关的常值
式中，T为常数。
3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述步骤2.3具体包括以下步骤：
步骤2.3.1，定义变量如下
式中，z1＝x1-x1d(t)是输出跟踪误差，x1d(t)是期望指令函数，k1>0为反馈增益，
步骤2.3.2，对式(19)微分并把式(6)代入得
此时x3为一个虚拟控制输入；
步骤2.3.3，令z3＝x3-α2表示输入误差，由式(20)可得：
步骤2.3.4，设计虚拟控制律a2为
式中，k2>0为线性反馈增益，tanh(*)具有如下性质
式中，κ＝0.2785，ε2为有界正常数，0＜ε2(t)≤ε2max，h2满足
由于Ωθ是已知紧集且d1(x,t)有界的，得h2满足
式中，θjM＝θjmax-θjmin+εθj，
步骤2.3.5，把(22)代入(20)，可得z2的动态方程
步骤2.3.6，由式(6)，微分z3可得
步骤2.3.7，令由于是未知的，分为可计算部分和不可计算部分，
式中，为可计算部分，为不可计算部分，其中可计算部分前馈补偿掉，不可计算部分通过鲁棒控制器处理；
步骤2.3.8，为了处理不可计算项，引入一致鲁棒精确微分器，令f0＝α2，基于微分器对的估计，控制器设计为
式中，k3>0为反馈增益，ε3为有界正常数，0＜ε3(t)≤ε3max，h3满足
由于Ωθ是已知紧集且d2(t)有界的，可知h3满足
式中，θjM＝θjmax-θjmin+εθj，
把(29)代入(27)，可得z3的动态方程
步骤2.3.9，基于自适应律
假设干扰是有界的，选择合适的参数使如下定义的矩阵Λ正定
β1>0，由自适应函数则控制器(29)有如下性质：
(A)闭环系统所有信号有界，定义李雅普诺夫方程
满足如下的不等式
式中，k＝2λmin；
(B)一段时间t0后，d1(x，t)＝0，d2(x，t)＝0，除了能够得到结论A，还能保证输出信号的渐进跟踪性能，即当t→∞，z3(t)→0，z2(t)→0，z1(t)→0。
4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，根据以下步骤对控制器进行验证：
步骤2.4.1，微分(35)并代入(25)、(26)、(31)、(32)得
步骤2.4.2，由(23)得
由于
得
式中，λmin(·)表示矩阵·的最小特征值，λmax(·)表示矩阵·的最大特征值，σ＝κε2+κε3，β1>0，C＝[1 0]；
步骤2.4.3，对式(40)进行积分可得(36)且V全局有界的，因此z3，z2是有界的；
步骤2.4.4，此外假设参考信号有界，由式(19)可知，输出信号有界，由式(29)及假设(1)，知控制输入u有界，因此证明(A)成立；
步骤2.4.5，定义李雅普诺夫函数为
微分(41)得
式中，W恒为非负，且W∈L2，由(26)和(32)知有界的，因此W是一致连续的，通过Barbalat’s引理，可得当t→∞，W→0；由此证明结论B正确。
5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，调节参数k1，k2，k3，b1，b2，c1，c2使系统满足控制性能指标。
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