CN112486021B - 一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法 - Google Patents

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CN112486021B CN202011438457.2A CN202011438457A CN112486021B CN 112486021 B CN112486021 B CN 112486021B CN 202011438457 A CN202011438457 A CN 202011438457A CN 112486021 B CN112486021 B CN 112486021B
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Abstract

本发明公开了一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法，属于伺服液压位置控制领域，该方法包括以下步骤：建立单出杆的伺服液压系统模型；根据单出杆的伺服液压系统模型，采用低复杂控制策略设计出单出杆的伺服液压系统的控制器；根据单出杆的伺服液压系统的控制器及单出杆的伺服液压系统模型，证明单出杆的伺服液压系统的稳定性；以解决液压系统中存在的各种不确定性问题和未知的非线性问题，控制器的设计不依赖精确的数学模型，只需要能够测量的状态信号，控制率的计算与现有的在反步自适应基础上开发的算法相比，计算过程简单，计算量很小，便于实时控制，更加容易工程实现。

Description

一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法
技术领域
本发明涉及伺服液压位置控制领域，尤其涉及一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法。
背景技术
伺服液压系统具有出色的负载效率，较小的功率比，响应速度快等优点，因此，在现代工业中，它们被广泛应用(例如主动悬挂系统,液压挖掘机,机械手)。伺服液压系统包括两种液压执行机构，双出杆对称液压执行机构和单出杆非对称液压执行机构。在主动悬挂控制研究中常常将两个油腔面积视为相等，使用对称液压执行机构。对于非对称伺服液压系统，由于活塞杆的存在导致液压缸的有杆腔和无杆腔的有效面积不等，能够实现相同性能的对称液压执行机构往往比非对称液压执行机构体积要大，一般应用于少数特殊场合，工业上广泛应用的则是非对称液压执行机构。因此，在空间局限性很大的汽车悬挂系统中放置对称液压执行机构是不合理的。
然而，非对称伺服液压系统是一个复杂的非线性系统，同时它涉及了各种各样的不确定性，例如，负载变化，参数不确定以及未知的非线性，这将导致建立模型和设计控制器的困难性和复杂性，因此，对于非对称伺服液压系统，高精度的位置控制正在面临巨大的挑战。其中，参数不确定主要包括泄露系数，油膜粘度和粘滞摩擦系数，未知的非线性主要包括阀芯死区和外部扰动，这些因素阻碍了高性能控制器的发展。为了满足位置跟踪系统的操作性能，在过去的十几年里已经发展了许多控制技术，例如神经网络自适应,模糊逻辑控制，鲁棒自适应控制,反步自适应控制。在这些控制方式中，自适应控制，由于它的在线学习能力，可以处理参数不确定问题，鲁棒自适应控制可以处理未知扰动问题。尽管上述基于自适应控制的算法可以获得很好的仿真结果，但是，一个关键的问题是，这些算法具有沉重的计算负担，需要很长时间才能达到收敛，所以，在液压系统中，应用基于自适应的上述控制算法是困难的。此外，伺服液压系统现有的控制方法大多数是在反步控制的基础上进行开发的。众所周知，在高阶系统的反步设计过程中，由于虚拟控制函数反复求导，将导致计算爆炸问题。因此，寻找设计对系统依赖程度低，计算负担轻的，没有函数逼近功能的新颖的控制策略是很有必要的。
另外，在伺服液压位置跟踪系统中，从实际的应用角度来看，上述方法中如果存在潜在的不好的瞬态响应(超调过大，收敛缓慢)，这将可能导致跟踪性能恶化，发生危险甚至造成硬件的损坏。Bechlioulis CP,Rovithakis GA等人最初提出了能够保证跟踪误差瞬态性能的新颖的控制器设计方法。该方法通过引入规定性能函数，规定跟踪误差瞬态和稳态性能，通过引入误差变换，将原始的带有限制的系统等效成没有限制的系统。这个思想进一步的被应用到高阶非线性容错控制系统，液压伺服系统,悬架系统。然而，使用规定性能函数的上述文献中，控制方案都与自适应控制方式相结合处理系统中未知动力学问题。
综上所述，伺服液压系统及其位置控制方法存在以下不足之处：一、单出杆非线性伺服液压系统是一种典型的复杂非线性系统，它涉及了负载变化，参数不确定以及未知的非线性等问题，以至于建立理论模型与实际系统之间存在巨大差距，导致设计控制器的困难性和复杂性；二、目前存在的伺服液压位置控制方式大多数是在反步控制自适应基础上进行开发的，然而这些控制方式对模型的依赖程度较高，并且在高阶系统的反步设计过程中，会产生较大的计算量，对不确定参数的在线学习，不利于实际试验中实时控制；三、从实际的应用角度来看，在伺服液压位置跟踪系统中，如果存在潜在的不好的瞬态响应(超调过大，收敛缓慢)，这将可能导致跟踪性能恶化，发生危险甚至造成硬件的损坏。
发明内容
根据现有技术存在的问题，本发明公开了一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法，包括以下步骤：S1：建立单出杆的伺服液压系统模型；S2：根据单出杆的伺服液压系统模型，采用低复杂控制策略设计出单出杆的伺服液压系统的控制器；S3：根据单出杆的伺服液压系统的控制器及单出杆的伺服液压系统模型，证明单出杆的伺服液压系统的稳定性。
进一步地，其特征还在于：所述建立单出杆的伺服液压系统模型表达式的过程如下：根据牛顿第二定律建立液压缸体的动力学模型：
Figure BDA0002821463260000021
其中：f(t)表示各种干扰，x和m分别表示负载的位置和质量，B是粘性阻尼系数，K是负载的等效弹簧刚度，当负载是惯性负载时，K＝0，F＝A1*P1-A2*P2是液压作动器输出的主动力，其中P1,P2是液压缸大小腔压力，A1,A2是大小腔活塞的有效面积；采用三位五通伺服阀，负载压力动力学通过如下公式表示：
Figure BDA0002821463260000022
Figure BDA0002821463260000023
式中：V1，V2分别为有杆腔和无杆腔容积，V1＝V01+A1x，V2＝V02-A2x，V01和V02分别为活塞处于初始位置时，无杆腔和有杆腔容积，Ct为液压缸内部的泄露系数，Ce为液压缸的外泄露系数。βe为油液弹性模量；Q1是有杆腔液压油流量，Q2是无杆腔液压油流量；
其中：
Figure BDA0002821463260000024
Figure BDA0002821463260000031
其中，
Figure BDA0002821463260000032
是流量增益，s(Γ(xv))表达式如下：
Figure BDA0002821463260000033
Ps为液压系统供油压力，Pr为液压系统回油压力，Cd为节流口的流量系数，w是滑阀面积梯度，ρ是油液密度，xv是伺服阀的阀芯；通过电压或电流输入u来控制伺服阀的阀芯位移xv，进而获得所需要的对应的力，伺服阀的动态特性如下所示：
Figure BDA0002821463260000034
τ是伺服阀动力学模型的时间常数，u(t)是电流输入；考虑了存在未知死区的阀芯位移Γ(xv)，其表达式如下：
Figure BDA0002821463260000035
参数mr和ml代表死区特性曲线的左右斜率，参数br和bl代表输入非线性的断点；阀芯死区表示为Γ(xv)＝m(t)xv+d(t)，m(t)，d(t)表达式如下所示：
Figure BDA0002821463260000036
Figure BDA0002821463260000037
由于mr，ml，br，bl有界，故d(t)有界，记d(t)上界为
Figure BDA0002821463260000038
定义状态变量如下：x1＝x,
Figure BDA0002821463260000039
x3＝P1,x4＝P2,x5＝xv，获得具有未知阀芯死区位置跟踪系统的状态方程如下：
Figure BDA00028214632600000310
其中：
Figure BDA00028214632600000311
进一步地：所述根据单出杆的伺服液压系统模型，采用低复杂控制策略设计出单出杆的伺服液压系统的控制器的过程如下：定义误差变量：
z1＝x1-xr z2＝x2-α1 z3＝F-α2 z4＝x5-α3 (17)
其中，α1，α2，α3是虚拟控制量，x1r是液压位置跟踪系统的指令信号，F(F＝A1x3-A2x4)是作动器输出的主动力，z1是位置跟踪误差，zi i＝2...4是控制误差，四个正的光滑递减函数
Figure BDA0002821463260000041
i＝1...4选做规定性能函数，定义标准化误差ζi，对zi i＝1...4做误差转换，转换后的误差
Figure BDA0002821463260000042
如下：
Figure BDA0002821463260000043
Figure BDA0002821463260000044
Figure BDA0002821463260000045
选取虚拟控制器如下：
Figure BDA0002821463260000046
Figure BDA0002821463260000047
Figure BDA0002821463260000048
伺服液压系统的控制器为：
Figure BDA0002821463260000049
进一步地，所述根据单出杆的伺服液压系统的控制器及单出杆的伺服液压系统模型，证明单出杆的伺服液压系统的稳定性的过程如下：S3-1:利用初值定理，证明标准化误差向量在时间段t∈[0,τmax)时，在非空开集合Ωζ中存在最大解；S3-2:当标准化误差向量在时间段t∈[0,τmax)上，在非空开集合Ωζ中存在最大解时，虚拟控制器以及伺服液压系统的控制器，对于t∈[0,τmax)能保证闭环信号有界；S3-3:利用初值提议证明当S3-2中的τmax＝+∞时，所有闭环信号有界仍是正确的。
进一步地，所述利用初值定理，证明标准化误差向量在时间段t∈[0,τmax)时，在非空开集合Ωζ中存在最大解：非空的开集合Ωζ，选择性能函数ρi时，满足：ρi(0)>min{δ-i,δ- i}|zi(0)|，i＝1...4由此可得：|ζi(0)|<min{δ-i,δ- i}，i＝1...4，因此，标准化误差向量ζ(0)∈Ωζ；由于期望的追踪轨迹xr，性能函数ρi(t)，i＝1...4，中间控制信号αi，i＝1...3和控制率u是连续光滑可导的，阀芯死区位置跟踪系统的状态方程中的动力学变量是连续可导的函数，故式标准化误差向量中函数L(t,ζ)关于时间t是分段连续的，且在开集合Ωζ中，ζ满足利普希茨条件；初值定理中的条件都满足，所以在时间段[0,τmax)中，标准化误差向量存在唯一的最大解ζ(t)∈Ωζ，对于
Figure BDA00028214632600000410
都能保证ζi(t)∈Ωζ,i＝1...4。
进一步地，所述当标准化误差向量在时间段t∈[0,τmax)上，在非空开集合Ωζ中存在最大解时，虚拟控制器以及伺服液压系统的控制器，对于t∈[0,τmax)能保证闭环信号有界的的过程如下：S3-2-1：根据式(18)求出
Figure BDA00028214632600000411
对时间的导数
Figure BDA00028214632600000412
Figure BDA0002821463260000051
其中
Figure BDA0002821463260000052
存在一个正常数rM1，使得0>r1>rM1；
进一步可得：
Figure BDA0002821463260000053
记
Figure BDA0002821463260000054
△1(t)＝r1k1 (32)
考虑到
Figure BDA0002821463260000055
且
Figure BDA0002821463260000056
Figure BDA0002821463260000057
ρ2是有界的，由极值定理可知a1有界；由(31)和(32)得：
Figure BDA0002821463260000058
选取李雅普诺夫函数
Figure BDA0002821463260000059
(33)和(34)符合不等式引理形式，由不等式引理可知，因为a1有界，即
Figure BDA00028214632600000519
|a1|<A1，0<△1(t)<rM1k1，所以
Figure BDA00028214632600000510
因为
Figure BDA00028214632600000511
有界，可得-δ-1ρ1(t)<z1<δ- 1ρ1(t)，所以对于
Figure BDA00028214632600000512
跟踪误差z1在规定的边界内衰减；保证在时间段t∈[0,τmax)跟踪误差z1在规定性能边界中收敛，因为指令是有界正弦信号，所以状态变量x1是有界的；
S3-2-2：根据式(18)求出
Figure BDA00028214632600000513
对时间的导数
Figure BDA00028214632600000514
Figure BDA00028214632600000515
其中
Figure BDA00028214632600000516
存在一个正常数rM2，使得0>r2>rM2；
进一步可得：
Figure BDA00028214632600000517
记：
Figure BDA00028214632600000518
考虑到
Figure BDA0002821463260000061
且
Figure BDA0002821463260000062
ρi,是有界的，f(t)是未知有界的扰动项，B是有界的不确定参数，由极值定理可知a2有界；由(36)和(37)得：
Figure BDA0002821463260000063
选取李雅普诺夫函数
Figure BDA0002821463260000064
(38)和(39)符合不等式引理形式，由不等式引理可知，因为a2有界即
Figure BDA0002821463260000065
使得|a2|<A2，
Figure BDA0002821463260000066
所以
Figure BDA0002821463260000067
由于
Figure BDA0002821463260000068
有界，可得-δ-2ρ2(t)<z2<δ- 2ρ2(t)，所以对于
Figure BDA0002821463260000069
保证控制误差z2有界和状态变量x2有界；
S3-2-3:根据式(18)求出
Figure BDA00028214632600000610
对时间的导数
Figure BDA00028214632600000611
Figure BDA00028214632600000612
其中
Figure BDA00028214632600000613
存在一个正常数rM3，使得0>r3>rM3；
将式(10)，(24)，(11)和(21)带入(40)中得：
Figure BDA00028214632600000614
记
Figure BDA00028214632600000615
Figure BDA00028214632600000616
其中V1＝V01+A1x，V2＝V02-A2x；
鉴于伺服液压系统作动器的安全运行，留出安全裕度，即根据物理结构，液压缸在中位附近上下最大可波动12厘米，指令信号的幅值小于等于10厘米保证了h1 h2 h3有界，即分别存在三个正数
Figure BDA00028214632600000617
使得
Figure BDA00028214632600000618
考虑到
Figure BDA00028214632600000619
且α1，
Figure BDA00028214632600000620
ρi是有界的，m(t)为阀芯死区的未知斜率，m(t)是有界的(即
Figure BDA00028214632600000621
)，由极值定理可知a3有界；
由(41)和(42)得：
Figure BDA0002821463260000071
选取李雅普诺夫函数
Figure BDA0002821463260000072
(43)和(44)符合不等式引理形式，由不等式引理可知，因为a3有界，即
Figure BDA0002821463260000073
使得|a3|<A3，
Figure BDA0002821463260000074
所以
Figure BDA0002821463260000075
由于
Figure BDA0002821463260000076
有界，可得-δ-3ρ3(t)<z3<δ- 3ρ3(t)，所以对于
Figure BDA0002821463260000077
保证控制误差z3有界和主动力ua有界，从状态方程的数学表达式上看，状态变量x3和x4是有界的，并且它们都小于液压源Ps的压力值；
S3-2-4：根据式(18)求出
Figure BDA0002821463260000078
对时间的导数
Figure BDA0002821463260000079
Figure BDA00028214632600000710
其中
Figure BDA00028214632600000711
存在一个正常数rM4，使得0>r4>rM4；
进一步得：
Figure BDA00028214632600000712
记
Figure BDA00028214632600000713
考虑到
Figure BDA00028214632600000714
且αi,
Figure BDA00028214632600000715
ρi是有界的，k4为设计控制器时自选参数，故a4有界；由(46)和(47)得：
Figure BDA00028214632600000716
选取李雅普诺夫函数：
Figure BDA00028214632600000717
(48)和(49)符合不等式引理形式，由不等式引理可知，因为a4有界，即
Figure BDA00028214632600000718
使得|a4|<A4，
Figure BDA00028214632600000719
所以
Figure BDA00028214632600000720
由于
Figure BDA00028214632600000721
有界，可得-δ-4ρ4(t)<z4<δ- 4ρ4(t)，所以对于
Figure BDA00028214632600000722
保证控制误差z4有界和状态变量x5有界。
进一步地，所述不等式引理表达式如下：
Figure BDA00028214632600000723
如果a有界(即
Figure BDA00028214632600000724
|a|<A)，
Figure BDA00028214632600000725
那么x必有界且
Figure BDA00028214632600000726
进一步地，所述利用初值提议证明当S3-2中的τmax＝+∞时，所有闭环信号有界仍是正确的过程如下：
因为
Figure BDA0002821463260000081
所以
Figure BDA0002821463260000082
是非空集合；
Figure BDA0002821463260000083
假设τmax<+∞，初值提议中强调存在一个时间常数t1∈[0,τmax)使得
Figure BDA0002821463260000084
造成矛盾，得出的假设是τmax＝+∞，对于任何t∈[0,+∞)，所有闭环系统信号是有界的，并且能够保证跟踪误差在规定边界内收敛。
由于采用了上述技术方案，本发明提供的一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法，可以解决液压系统中存在的各种不确定性问题(如，未知的摩擦效应，参数不确定以及负载变化)和未知的非线性问题(例如阀芯死区，外部扰动)，控制器的设计不依赖精确的数学模型，只需要能够测量的状态信号，控制率的计算与现有的在反步自适应基础上开发的算法相比，计算过程简单，计算量很小，便于实时控制，更加容易工程实现；本发明可以保证跟踪误差的收敛速度和稳态精度；最后，实验结果表明，本发明的位置跟踪效果与传统的pid控制方法相比，稳态精度更高，跟踪位移相位滞后程度更小。当期望轨迹信号频率提高时，pid算法控制得到的实际跟踪位移相位滞后程度越大，幅值衰减越厉害，位移跟踪误差越大，本发明的控制算法在期望轨迹信号频率提高时，得到的实际控制位移滞后程度基本不变，跟踪误差始终在规定边界内收敛，幅值基本没有衰减。当期望信号频率不变，幅值变大时，pid算法的位移跟踪误差越大，本发明控制算法，仍然可以保证跟踪误差在规定边界内收敛，相位之后程度很小，幅值基本没有衰减。
附图说明
为了更清楚地说明本申请实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本申请中记载的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1是本发明一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法流程图：
图2是单出杆的伺服液压系统模型框图；
图3(a)是实验平台结构组成图Ⅰ；
图3(b)是实验平台结构组成图Ⅱ；
图3(c)是实验平台结构组成图Ⅲ；
图3(d)是实验平台结构组成图Ⅳ；
图4是本发明控制器作用下的误差收敛仿真曲线图；
图5是扰动作用下的跟踪误差收敛仿真曲线图；
图6是具有未知阀芯死区作用下的误差收敛仿真曲线图；
图7是具有未知阀芯死区作用下的阀芯位移仿真曲线图；
图8是本发明控制方法与满足规定性能的具有阀芯未知死区的自适应反步控制方式(SPPFBSA)的误差收敛对比仿真曲线图；
图9是本发明控制方法与SPPFBSA仿真计算时间与误差调节时间统计图；
图10是指令信号为TS＝3s：xr＝100sin((2*pi*t)/3)mm，本发明控制方法与pid对比位移跟踪实验图；
图11是指令信号为TS＝3s：xr＝100sin((2*pi*t)/3)mm，本发明控制方法的跟踪误差实验图；
图12是指令信号为TS＝2s：xr＝100sin(pi*t)mm，本发明控制方法与pid对比位移跟踪实验图；
图13是指令信号为TS＝2s：xr＝100sin(pi*t)mm，本发明控制方法的跟踪误差实验图；
图14是指令信号为TS＝1s：xr＝50sin(2*pi*t)mm，本发明控制方法与pid对比位移跟踪实验图；
图15是指令信号为TS＝1s：xr＝50sin(2*pi*t)mm，本发明控制方法的跟踪误差实验图；
图16是指令信号为TS＝2s：xr＝100sin(pi*t)mm，本发明控制方法与pid对比位移跟踪实验图；
图17是指令信号为TS＝2s：xr＝100sin(pi*t)mm，本发明控制方法的跟踪误差实验图；
图18是指令信号为TS＝2s：xr＝80sin(pi*t)mm，本发明控制方法与pid对比位移跟踪实验图；
图19是指令信号为TS＝2s：xr＝80sin(pi*t)mm，本发明控制方法的跟踪误差实验图；
图20是指令信号为TS＝2s：xr＝60sin(pi*t)mm，本发明控制方法与pid对比位移跟踪实验图；
图21是指令信号为TS＝2s：xr＝60sin(pi*t)mm，本发明控制方法的跟踪误差实验图。
具体实施方式
为使本发明的技术方案和优点更加清楚，下面结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚完整的描述：
下面结合附图对本发明具体实施方式做进一步说明：
图1是本发明一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法流程图：一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法，包括以下步骤：S1：建立单出杆的伺服液压系统模型；图2是单出杆的伺服液压系统模型框图；S2：根据单出杆的伺服液压系统模型，采用低复杂控制策略设计出单出杆的伺服液压系统的控制器；S3：根据单出杆的伺服液压系统的控制器及单出杆的伺服液压系统模型，证明单出杆的伺服液压系统的稳定性。
所述建立单出杆的伺服液压系统模型表达式的过程如下：
首先，根据牛顿第二定律建立液压缸体的动力学模型：
Figure BDA0002821463260000101
力学方程(1)中额外项f(t)表示各种干扰(例如，未建模的摩擦效应，未建模的动力学，外部扰动等)，x和m分别表示负载的位置和质量，B是粘性阻尼系数，K是负载的等效弹簧刚度，负载主要是惯性负载，因此，K＝0；F＝A1*P1-A2*P2是液压作动器输出的主动力，其中P1，P2是液压缸大小腔压力，可以利用压力传感器测量出来，A1，A2是大小腔活塞的有效面积。
假设1：干扰项f(t)是有界的，即
Figure BDA0002821463260000102
使得|f(t)|<fm，粘性阻尼系数B是不确定的有界正的参数，即
Figure BDA0002821463260000103
使得
Figure BDA0002821463260000104
本发明采用三位五通阀活塞作动器，负载压力动力学描述如下：
Figure BDA0002821463260000105
Figure BDA0002821463260000106
式中V1，V2分别为有杆腔和无杆腔容积(V1＝V01+A1x，V2＝V02-A2x)，V01和V02分别为活塞处于初始位置时，无杆腔和有杆腔容积，Ct为液压缸内部的泄露系数，Ce为液压缸的外泄露系数，βe为油液弹性模量，Q1是无杆腔供(回)油流量，Q2是有杆腔回(供)油流量，Q1和Q2计算公式如下：
Figure BDA0002821463260000107
Figure BDA0002821463260000108
其中，
Figure BDA0002821463260000109
是流量增益，s(Γ(xv))表达式如下：
Figure BDA00028214632600001010
Ps为液压系统供油压力，Pr为液压系统回油压力，Cd为节流口的流量系数，w是滑阀面积梯度，ρ是油液密度，xv是伺服阀的阀芯位移；
假设2：不确定参数内泄系数Ct有界，即
Figure BDA00028214632600001011
使得
Figure BDA00028214632600001012
不确定参数外泄系数Ce有界，即
Figure BDA00028214632600001013
使得
Figure BDA00028214632600001014
不确定参数油液弹性模量βe有界，即
Figure BDA00028214632600001015
使得
Figure BDA00028214632600001016
在液压作动器操作中，实际是通过电压或电流输入u来控制伺服阀的阀芯位移xv，进而获得所需要的对应的力，伺服阀的动态特性如下所示：
Figure BDA00028214632600001017
τ是伺服阀动力学模型的时间常数，u(t)是电流输入。
本文考虑了存在未知死区的阀芯位移Γ(xv)，其表达式如下：
Figure BDA0002821463260000111
参数mr和ml代表死区特性曲线的左右斜率，参数br和bl代表输入非线性的断点；
假设3：参数mr，ml，br，bl是未知的正数且mr＝ml，在本文中，斜率上界是mmax，br的上界是
Figure BDA00028214632600001110
bl的上界是
Figure BDA00028214632600001111
阀芯死区可以表示为Γ(xv)＝m(t)xv+d(t)，m(t)，d(t)表达式如下所示：
Figure BDA0002821463260000112
Figure BDA0002821463260000113
由于mr，ml，br，bl有界，故d(t)有界，记d(t)上界为
Figure BDA0002821463260000114
众所周知，伺服阀在电液执行器中是关键的机械部件，电流或电压控制伺服阀的阀芯位移，进而控制油腔抽入或抽出液压油，最后执行器执行相应的运动；显然，在伺服液压位置跟踪系统中必然存在阀芯死区非线性的问题，因此，有必要考虑这种问题的不利影响以获得更好的系统性能；此外，考虑到实际应用中难以获得死区模型精确的斜率以及间隔点，因此提出了一种鲁棒很强的新颖控制策略来解决这一问题；
为将液压非对称缸位置跟踪系统推导成状态空间表达式的形式，定义状态变量如下：x1＝x,
Figure BDA0002821463260000115
x3＝P1,x4＝P2,x5＝xv，(1)到(6)动力学方程可以获得具有阀芯死区的状态方程如下：
Figure BDA0002821463260000116
其中
Figure BDA00028214632600001112
所述根据单出杆的伺服液压系统模型，采用低复杂控制策略设计出单出杆的伺服液压系统的控制器的过程如下：定义误差变量：
z1＝x1-xr z2＝x2-α1 z3＝F-α2 z4＝x5-α3 (17)
其中，α1，α2，α3是后续证明过程中获得的虚拟控制量，x1r是液压位置跟踪系统的指令信号，F(F＝A1x3-A2x4)是作动器输出的主动力；z1是位置跟踪误差，zi i＝2...4是控制误差；为了解决跟踪误差的瞬态和稳态问题且顺利选取虚拟控制量，四个正的光滑递减函数
Figure BDA0002821463260000119
i＝1...4被选做规定性能函数；定义标准化误差ζi，对zi i＝1...4做误差转换，转换后的误差
Figure BDA0002821463260000121
如下：
Figure BDA0002821463260000122
Figure BDA0002821463260000123
Figure BDA0002821463260000124
选取虚拟控制函数如下：
Figure BDA0002821463260000125
Figure BDA0002821463260000126
Figure BDA0002821463260000127
伺服液压系统的控制器为：
Figure BDA0002821463260000128
进一步地，所述根据单出杆的伺服液压系统的控制器及单出杆的伺服液压系统模型，证明单出杆的伺服液压系统的稳定性的过程如下：S3-1:利用初值定理，证明标准化误差向量在时间段t∈[0,τmax)时，在非空开集合Ωζ中存在最大解；S3-2:当标准化误差向量在时间段t∈[0,τmax)上，在非空开集合Ωζ中存在最大解时，虚拟控制器以及伺服液压系统的控制器，对于t∈[0,τmax)能保证闭环信号有界；S3-3:利用初值提议证明当S3-2中的τmax＝+∞时，所有闭环信号有界仍是正确的。为了顺利完成控制器稳定性证明，提出一项引理，并且证明该引理的正确性；
所述不等式引理表达式如下：
Figure BDA0002821463260000129
如果a有界(即
Figure BDA00028214632600001210
|a|<A)，
Figure BDA00028214632600001211
那么x必有界且
Figure BDA00028214632600001212
证明：
因为
Figure BDA00028214632600001213
所以
Figure BDA00028214632600001214
当|x|>A时，
Figure BDA00028214632600001215
所以
Figure BDA00028214632600001216
基于位置误差，误差变量(17)与标准化误差ζi(18)的关系，x1,x2,F,x5可以重新写成：x1＝ζ1ρ1+xr x2＝ζ2ρ2+α1 F＝ζ3ρ3+α2 x5＝ζ4ρ4+α3 (24)
对(18)中的ζi(i＝1...4)直接求导，可以得到：
Figure BDA0002821463260000131
Figure BDA0002821463260000132
Figure BDA0002821463260000133
其中：
Figure BDA00028214632600001310
Figure BDA0002821463260000137
通过定义标准化误差向量ζ＝[ζ1,ζ2,ζ3,ζ4]T，(25)-(28)能够写成如下形式：
Figure BDA0002821463260000138
定义开集合：
Figure BDA0002821463260000139
进一步地，利用初值定理，证明标准化误差向量在时间段t∈[0,τmax)时，在非空开集合Ωζ中存在最大解的过程如下：Ωζ是非空的开集合，选择性能函数ρi时满足ρi(0)>min{δ-i,δ- i}|zi(0)|，i＝1...4由此可以推导出|ζi(0)|<min{δ-i,δ- i}，i＝1...4，因此，对于式(29)ζ(0)∈Ωζ；此外，由于期望的追踪轨迹xr，性能函数ρi(t)，i＝1...4，中间控制信号αi，i＝1...3和控制率u是连续光滑可导的，阀芯死区位置跟踪系统的状态方程中的动力学变量是连续可导的函数，故式标准化误差向量中函数L(t,ζ)关于时间t是分段连续的，且在开集合Ωζ中，ζ满足利普希茨条件；不等式引理中的条件都满足，所以在时间段[0,τmax)中，标准化误差向量存在唯一的最大解ζ(t)∈Ωζ，对于
Figure BDA0002821463260000141
都能保证ζi(t)∈Ωζ,i＝1...4；
进一步地，所述当标准化误差向量在时间段t∈[0,τmax)上，在非空开集合Ωζ中存在最大解时，虚拟控制器以及伺服液压系统的控制器，对于t∈[0,τmax)能保证闭环信号有界的过程如下：
S3-2-1：根据式(18)求出
Figure BDA0002821463260000142
对时间的导数
Figure BDA0002821463260000143
Figure BDA0002821463260000144
其中
Figure BDA0002821463260000145
存在一个正常数rM1，使得0>r1>rM1；
将式(10)，(24)和(19)带入(30)中得：
Figure BDA0002821463260000146
记
Figure BDA0002821463260000147
△1(t)＝r1k1；(32)
考虑到
Figure BDA0002821463260000148
且
Figure BDA0002821463260000149
ρ2是有界的，由极值定理可知a1有界；由(31)和(32)得：
Figure BDA00028214632600001410
选取李雅普诺夫函数：
Figure BDA00028214632600001411
(33)和(34)符合不等式引理形式，由不等式引理可知，因为a1有界(
Figure BDA00028214632600001412
|a1|<A1)，0<△1(t)<rM1k1，所以
Figure BDA00028214632600001413
因为
Figure BDA00028214632600001414
有界，由(13)和(14)可得-δ-1ρ1(t)<z1<δ- 1ρ1(t)，所以对于
Figure BDA00028214632600001415
跟踪误差z1在规定的边界内衰减；所以能够保证在时间段t∈[0,τmax)跟踪误差z1在规定性能边界中收敛，因为指令是有界正弦信号，所以状态变量x1是有界的；S3-2-2:根据式(18)求出
Figure BDA00028214632600001416
对时间的导数
Figure BDA00028214632600001417
Figure BDA00028214632600001418
其中
Figure BDA00028214632600001419
存在一个正常数rM2，使得0>r2>rM2；将式(10)，(24)和(20)带入(35)中得：
Figure BDA0002821463260000151
记
Figure BDA0002821463260000152
Figure BDA0002821463260000153
考虑到
Figure BDA0002821463260000154
且
Figure BDA0002821463260000155
ρi,是有界的，f(t)是未知有界的扰动项，B是有界的不确定参数，由极值定理可知a2有界；由(36)和(37)得：
Figure BDA0002821463260000156
选取李雅普诺夫函数：
Figure BDA0002821463260000157
(38)和(39)符合不等式引理形式，由不等式引理可知，因为a2有界
Figure BDA0002821463260000158
使得|a2|<A2，
Figure BDA0002821463260000159
所以
Figure BDA00028214632600001510
由于
Figure BDA00028214632600001511
有界，由(13)和(14)可得-δ-2ρ2(t)<z2<δ- 2ρ2(t)，所以对于
Figure BDA00028214632600001512
能够保证控制误差z2有界和状态变量x2有界；
S3-2-3：根据式(18)求出
Figure BDA00028214632600001513
对时间的导数
Figure BDA00028214632600001514
Figure BDA00028214632600001515
其中：
Figure BDA00028214632600001516
存在一个正常数rM3，使得0>r3>rM3；将式(10)，(24)，(11)和(21)带入(40)中得：
Figure BDA00028214632600001517
Figure BDA00028214632600001518
记：△3(t)＝r3m(t)k3h1 (42)
其中：
Figure BDA00028214632600001628
其中：V1＝V01+A1x，V2＝V02-A2x；在实际问题中，考虑作动器的安全运行，留出安全裕度(即根据物理结构，液压缸在中位附近上下最大可波动12厘米，所给指令信号，一般不超过10厘米。)，这样我们可以保证h1 h2 h3有界，即分别存在三个正数
Figure BDA0002821463260000164
使得
Figure BDA0002821463260000165
考虑到
Figure BDA0002821463260000166
且α1，
Figure BDA00028214632600001627
ρi是有界的，m(t)为阀芯死区的未知斜率，m(t)是有界的(即
Figure BDA00028214632600001626
)，由极值定理可知a3有界；由(41)和(42)得：
Figure BDA00028214632600001610
选取李雅普诺夫函数：
Figure BDA00028214632600001611
(43)和(44)符合不等式引理形式，由不等式引理可知，因为a3有界
Figure BDA00028214632600001612
使得|a3|<A3，
Figure BDA00028214632600001613
所以
Figure BDA00028214632600001614
由于
Figure BDA00028214632600001615
有界，由(13)和(14)可得-δ-3ρ3(t)<z3<δ- 3ρ3(t)，所以对于
Figure BDA00028214632600001616
能够保证控制误差z3有界和主动力ua有界，从数学模型中H1和H2的数学表达式上看，状态变量x3和x4是有界的，并且它们都小于液压源Ps的压力值；
S3-2-4:根据式(18)求出
Figure BDA00028214632600001617
对时间的导数
Figure BDA00028214632600001618
Figure BDA00028214632600001619
其中
Figure BDA00028214632600001620
存在一个正常数rM4，使得0>r4>rM4；
将式(10)，(24)和(22)带入(45)中得：
Figure BDA00028214632600001621
记：
Figure BDA00028214632600001622
考虑到
Figure BDA00028214632600001623
且αi,
Figure BDA00028214632600001624
Figure BDA00028214632600001625
ρi是有界的，k4为设计控制器时自选参数，故a4有界；由(46)和(47)得：
Figure BDA0002821463260000171
选取李雅普诺夫函数：
Figure BDA0002821463260000172
(48)和(49)符合不等式引理形式，由不等式引理可知，因为a4有界
Figure BDA0002821463260000173
使得|a4|<A4，
Figure BDA0002821463260000174
所以
Figure BDA0002821463260000175
由于
Figure BDA0002821463260000176
有界，由(13)和(14)可得-δ-4ρ4(t)<z4<δ- 4ρ4(t)，所以对于
Figure BDA0002821463260000177
我们能够保证控制误差z4有界和状态变量x5有界。
进一步地，所述利用初值提议证明当S3-2中的τmax＝+∞时，所有闭环信号有界仍是正确的过程如下：从上证明中可知，
Figure BDA0002821463260000178
是有界的，即
Figure BDA0002821463260000179
从式(23)可知
Figure BDA00028214632600001710
这是非空集合；很明显
Figure BDA00028214632600001711
因此，假设τmax<+∞，初值提议中强调存在一个时间常数t1∈[0,τmax)使得
Figure BDA00028214632600001712
很明显造成矛盾。所以我们得出正确的假设是τmax＝+∞，因此，对于任何t∈[0,+∞)，所有闭环系统信号是有界的，并且能够保证跟踪误差在规定边界内收敛。
考虑初始值问题：ζ(t)＝ν(t,ζ),ζ(0)＝ζ0∈Ωζ (50)
其中ν:R+×Ωζ→Rn是连续函数向量，并且Ωζ∈Rn是非空的开集合。
定义1：初值问题(50)的一个解ζ(t)，没有适当的右扩展，则该解最大；
初值定理如下：对于初值问题(12)，如果ν(t,ζ)满足：(1)在t>0时，关于ζ，ν(t,ζ)满足局部Lipschitz条件；(2)对于ζ(t)∈Ωζ，ν(t,ζ)满足分段连续；(3)对于ζ(t)∈Ωζ，ν(t,ζ)关于t满足局部可积；那么在时间段t∈[0，τmax)上，初值问题(50)存在一个解ζ(t)∈Ωζ，其中τmax>0。初值提议如下：假设初值定理成立；对在时间段[0，τmax)上的最大解ζ(t)并且集合
Figure BDA00028214632600001713
当τmax<∞时，存在时间常数t1∈[0，τmax)，使得
Figure BDA00028214632600001714
进一步地，所述不等式引理表达式如下：
Figure BDA00028214632600001715
如果a有界(即
Figure BDA00028214632600001716
|a|<A)，
Figure BDA00028214632600001717
那么x必有界且
Figure BDA00028214632600001718
为了验证本发明控制器设计的正确性，搭建实验平台，进行实验软件程序调试，搭建实验平台主要分为软件设计和硬件线路连接两部分；图3(a)是实验平台结构组成图Ⅰ；图3(b)是实验平台结构组成图Ⅱ；图3(c)是实验平台结构组成图Ⅲ；图3(d)是实验平台结构组成图Ⅳ；实验平台的硬件主要分成三部分，第一部分是执行机构，主要包括液压源系统(如蓄能器，液压泵等)，伺服阀和单出杆的液压缸作动器，本发明实验平台采用三位五通伺服阀，其型号为FD234-01K004VSX2A。第二部分是信号采集机构，信号采集机构硬件主要是信号转换板和A/D板卡，信号转换板的功能是电压电流信号相互转换，具体来说，将传感器信号4-20ma电流信号转换成1-5v电压信号，将±5v的电压信号转换到±10ma的电流信号，本发明实验平台采用的A/D板卡是ADT882，其功能是实现模拟量连续信号与数字量离散信号的相互转换。第三部分是控制机构，控制机构的核心是工业控制计算机，本发明实验平台采用工控机pc104,其功能实现软件平台的搭建以及控制算法的实现。硬件线路连接主要指，各个传感器信号线以及伺服阀控制电流信号线与信号转换板的连接，信号转换板与ADT882板卡的连接。软件设计环境是VC++6.0，window操作系统，软件程序主要包括编写界面函数，配置A/D板卡，设置中断程序完成信号采集，控制量计算以及输出；
进一步地，调试实验，优化参数，直到实验结果达到预期的控制效果；第一步：调节本发明算法中规定边界的边界初值ρi0，误差收敛速率的上界hi以及收敛误差稳态残差集上界值ρi∞，其中i＝1...4。边界初值ρi0尽量大，误差收敛速率上界hi尽量小，收敛误差稳态残差集上界值ρi∞尽量大；第二步：调节虚拟控制率增益k1，k2，k3，k4，当控制率增益ki调到合适值后；第三步：慢慢适当缩小边界初值ρi0，增大误差收敛速率的上界hi，减小收敛误差稳态残差集上界值ρi∞，直到达到预期的控制效果。
图4是本发明控制器作用下的误差收敛仿真曲线图，从图4中可以看出，本发明控制器可以保证位移跟踪误差的收敛速度和控制精度；图5是扰动作用下的跟踪误差收敛仿真曲线图；图5所示系统模型在强扰动f(t)＝9000sin(10t)作用下的本发明控制器与反步控制器位移跟踪误差对比曲线，从图4和图5对比可以看出，强扰动的存在对反步控制器的控制效果影响很大，使得位移跟踪误差增大，波动频率变高。然而，从图4和图5中也可以看出，本发明控制器对强扰动具有很强的抑制作用，仍可以保证收敛误差的瞬态和稳态性能。
图6是具有未知阀芯死区作用下的误差收敛仿真曲线图；图7是具有未知阀芯死区作用下的阀芯位移仿真曲线图；图6和图7验证本文提出的低复杂控制方案处理未知阀芯死区问题具有更好的鲁棒性。在系统模型中加入阀芯未知死区非线性，为了更好的体现出阀芯死区的未知非线性特性，本文采用时变的死区模型斜率m(t)＝1+0.3sin(2t)，时变死区模型的间断点bl＝br＝0.3|sin(2t)|，从图7中可以看出，本发明控制器可以有效的补偿阀芯未知死区的不利影响，从图6中可以看出，系统即使存在未知的阀芯死区问题，本发明控制器仍能很好的保证跟踪误差的收敛速度和稳态精度。
图8是本发明控制方法与满足规定性能的具有阀芯未知死区的自适应反步控制方式(SPPFBSA)的误差收敛对比仿真曲线图；图9是本发明控制方法与SPPFBSA仿真计算时间与误差调节时间统计图；从图8中可以看出两种控制器都可以保证位移跟踪误差的收敛速度和稳态精度，但是从图9中可以看出，在仿真运行时间上，本发明控制器与SPPFBSA控制器相比减少91.7％，在误差收敛调节时间上减少95.5％。由于本发明控制器设计对模型依赖程度低，与基于反步自适应基础上开发算法相比，计算量很小，并且不用在线学习，故便于实时控制，易于工程实现。
图10是指令信号为TS＝3s：xr＝100sin((2*pi*t)/3)mm，本发明控制方法与pid对比位移跟踪实验图；图11是指令信号为TS＝3s：xr＝100sin((2*pi*t)/3)mm，本发明控制方法的跟踪误差实验图；图12是指令信号为TS＝2s：xr＝100sin(pi*t)mm，本发明控制方法与pid对比位移跟踪实验图；图13是指令信号为TS＝2s：xr＝100sin(pi*t)mm，本发明控制方法的跟踪误差实验图；图14是指令信号为TS＝1s：xr＝50sin(2*pi*t)mm，本发明控制方法与pid对比位移跟踪实验图；图15是指令信号为TS＝1s：xr＝50sin(2*pi*t)mm，本发明控制方法的跟踪误差实验图；图16是指令信号为TS＝2s：xr＝100sin(pi*t)mm，本发明控制方法与pid对比位移跟踪实验图；图17是指令信号为TS＝2s：xr＝100sin(pi*t)mm，本发明控制方法的跟踪误差实验图；图18是指令信号为TS＝2s：xr＝80sin(pi*t)mm，本发明控制方法与pid对比位移跟踪实验图；图19是指令信号为TS＝2s：xr＝80sin(pi*t)mm，本发明控制方法的跟踪误差实验图；图20是指令信号为TS＝2s：xr＝60sin(pi*t)mm，本发明控制方法与pid对比位移跟踪实验图；图21是指令信号为TS＝2s：xr＝60sin(pi*t)mm，本发明控制方法的跟踪误差实验图；从图11，图13，图15，图17，图19和图21中可以看出，不论指令信号的频率和幅值如何变化，本发明控制器可以保证跟踪误差在规定的性能边界中收敛，因此本发明控制器可以保证跟踪误差的收敛速度和稳态精度。从图10，图12，图14，图16，图18和图20中任何一图中可以看出，本发明控制器得到的位移跟踪曲线在缸体上升过程中几乎只有很小的相位滞后，与缸体上升过程相比，在缸体下降时，位移跟踪曲线相位滞后程度较大，但是，本发明控制器的控制效果在位移跟踪的整个过程中，位移跟踪曲线都要比pid位移跟踪曲线相位滞后程度小。
综合图10-图13来看，当指令信号频率越高时，pid跟踪曲线相位滞后程度越高，幅值衰减越大。在稳态时，本发明控制器控制效果，在缸体上升过程时，相位滞后程度基本不变，在缸体下降过程中，相位滞后程度越来越小，幅值基本无衰减。当指令信号频率越高时，pid跟踪误差越来越大，而本发明控制器的跟踪误差基本不变，并且在规定的性能边界中收敛。
综合图17，图19和图21来看，当指令信号频率越高时，pid跟踪误差越来越大，而本发明控制器的跟踪误差基本不变，并且在规定的性能边界中收敛。
以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法，其特征在于：包括以下步骤：
S1：建立单出杆的伺服液压系统模型；所述建立单出杆的伺服液压系统模型表达式的过程如下：
根据牛顿第二定律建立液压缸体的动力学模型：
Figure FDA0003210530010000011
其中：f(t)表示各种干扰，x和m分别表示负载的位置和质量，B是粘性阻尼系数，K是负载的等效弹簧刚度，当负载是惯性负载时，K＝0，F＝A1*P1-A2*P2是液压作动器输出的主动力，其中P1，P2是液压缸大小腔压力，A1，A2是大小腔活塞的有效面积；
采用三位五通伺服阀，负载压力动力学通过如下公式表示：
Figure FDA0003210530010000012
Figure FDA0003210530010000013
式中：V1，V2分别为有杆腔和无杆腔容积，V1＝V01+A1x，V2＝V02-A2x，V01和V02分别为活塞处于初始位置时，无杆腔和有杆腔容积，Ct为液压缸内部的泄露系数，Ce为液压缸的外泄露系数，βe为油液弹性模量；Q1是有杆腔液压油流量，Q2是无杆腔液压油流量；
其中：
Figure FDA0003210530010000014
Figure FDA0003210530010000015
其中，
Figure FDA0003210530010000016
是流量增益，s(Γ(xv))表达式如下：
Figure FDA0003210530010000017
Ps为液压系统供油压力，Pr为液压系统回油压力，Cd为节流口的流量系数，w是滑阀面积梯度，ρ是油液密度，xv是伺服阀的阀芯；
通过电压或电流输入u来控制伺服阀的阀芯位移xv，进而获得所需要的对应的力，伺服阀的动态特性如下所示：
Figure FDA0003210530010000018
τ是伺服阀动力学模型的时间常数，u(t)是电流输入；
考虑了存在未知死区的阀芯位移Γ(xv)，其表达式如下：
Figure FDA0003210530010000021
参数mr和ml代表死区特性曲线的左右斜率，参数br和bl代表输入非线性的断点；
阀芯死区表示为Γ(xv)＝m(t)xv+d(t)，m(t)，d(t)表达式如下所示：
Figure FDA0003210530010000022
Figure FDA0003210530010000023
由于mr，ml，br，bl有界，故d(t)有界，记d(t)上界为
Figure FDA0003210530010000024
定义状态变量如下：x1＝x，
Figure FDA0003210530010000025
x3＝P1，x4＝P2，x5＝xv，获得具有未知阀芯死区位置跟踪系统的状态方程如下：
Figure FDA0003210530010000026
其中：
Figure FDA0003210530010000027
Figure FDA0003210530010000028
S2：根据单出杆的伺服液压系统模型，采用低复杂控制策略设计出单出杆的伺服液压系统的控制器；
所述根据单出杆的伺服液压系统模型，采用低复杂控制策略设计出单出杆的伺服液压系统的控制器的过程如下：
定义误差变量：
z1＝x1-xr z2＝x2-α1 z3＝F-α2 z4＝x5-α3 (17)
其中，α1，α2，α3是虚拟控制量，x1r是液压位置跟踪系统的指令信号，F＝A1x3-A2x4是作动器输出的主动力，z1是位置跟踪误差，zii＝2...4是控制误差，四个正的光滑递减函数
Figure FDA0003210530010000029
选做规定性能函数，定义标准化误差ζi，对zii＝1...4做误差转换，转换后的误差
Figure FDA00032105300100000210
如下：
Figure FDA0003210530010000031
选取虚拟控制器如下：
Figure FDA0003210530010000032
Figure FDA0003210530010000033
Figure FDA0003210530010000034
伺服液压系统的控制器为
Figure FDA0003210530010000035
S3：根据单出杆的伺服液压系统的控制器及单出杆的伺服液压系统模型，证明单出杆的伺服液压系统的稳定性。
2.根据权利要求1所述的一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法，其特征还在于：所述根据单出杆的伺服液压系统的控制器及单出杆的伺服液压系统模型，证明单出杆的伺服液压系统的稳定性的过程如下：
S3-1:利用初值定理，证明标准化误差向量在时间段t∈[0,τmax)时，在非空开集合Ωζ中存在最大解；
S3-2:当标准化误差向量在时间段t∈[0,τmax)上，在非空开集合Ωζ中存在最大解时，虚拟控制器以及伺服液压系统的控制器，对于t∈[0,τmax)能保证闭环信号有界；
S3-3:利用初值提议证明当S3-2中的τmax＝+∞时，所有闭环信号有界仍是正确的。
3.根据权利要求2所述的一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法，其特征还在于：所述利用初值定理，证明标准化误差向量在时间段t∈[0,τmax)时，在非空开集合Ωζ中存在最大解：
非空的开集合Ωζ，选择性能函数ρi时，满足：ρi(0)＞min{δ-i,δ- i}|zi(0)|，i＝1...4由此可得：|ζi(0)|<min{δ-i,δ- i}，i＝1...4，因此，标准化误差向量ζ(0)∈Ωζ；由于期望的追踪轨迹xr，性能函数ρi(t)，i＝1...4，中间控制信号αi，i＝1...3和控制率u 是连续光滑可导的，阀芯死区位置跟踪系统的状态方程中的动力学变量是连续可导的函数，故式标准化误差向量中函数L(t,ζ)关于时间t是分段连续的，且在开集合Ωζ中，ζ满足利普希茨条件；初值定理中的条件都满足，所以在时间段[0,τmax)中，标准化误差向量存在唯一的最大解ζ(t)∈Ωζ，对于
Figure FDA0003210530010000041
都能保证ζi(t)∈Ωζ,i＝1...4。
4.根据权利要求3所述的一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法，其特征还在于：所述当标准化误差向量在时间段t∈[0,τmax)上，在非空开集合Ωζ中存在最大解时，虚拟控制器以及伺服液压系统的控制器，对于t∈[0,τmax)能保证闭环信号有界的的过程如下：
S3-2-1:根据式(18)求出
Figure FDA0003210530010000042
对时间的导数
Figure FDA0003210530010000043
Figure FDA0003210530010000044
其中
Figure FDA0003210530010000045
存在一个正常数rM1，使得0＞r1＞rM1；
进一步可得：
Figure FDA0003210530010000046
记
Figure FDA0003210530010000047
△1(t)＝r1k1 (32)
考虑到
Figure FDA0003210530010000048
且
Figure FDA0003210530010000049
ρ2是有界的，由极值定理可知a1有界；
由(31)和(32)得：
Figure FDA00032105300100000410
选取李雅普诺夫函数
Figure FDA00032105300100000411
(33)和(34)符合不等式引理形式，由不等式引理可知，因为a1有界，即
Figure FDA00032105300100000415
|a1|<A1，0<△1(t)<rM1k1，所以
Figure FDA00032105300100000412
因为
Figure FDA00032105300100000413
有界，可得-δ-1ρ1(t)<z1<δ- 1ρ1(t)，所以对于
Figure FDA00032105300100000414
跟踪误差z1在规定的边界内衰减；保证在时间段t∈[0,τmax)跟踪误差z1在规定性能边界中收敛，因为指令是有界正弦信号，所以状态变量x1是有界的；
S3-2-2：根据式(18)求出
Figure FDA0003210530010000051
对时间的导数
Figure FDA0003210530010000052
Figure FDA0003210530010000053
其中
Figure FDA0003210530010000054
存在一个正常数rM2，使得0＞r2＞rM2；
进一步可得：
Figure FDA0003210530010000055
记：
Figure FDA0003210530010000056
考虑到
Figure FDA0003210530010000057
且
Figure FDA0003210530010000058
ρi，是有界的，f(t)是未知有界的扰动项，B是有界的不确定参数，由极值定理可知a2有界；
由(36)和(37)得：
Figure FDA0003210530010000059
选取李雅普诺夫函数
Figure FDA00032105300100000510
(38)和(39)符合不等式引理形式，由不等式引理可知，因为a2有界即
Figure FDA00032105300100000511
使得|a2|<A2，
Figure FDA00032105300100000512
所以
Figure FDA00032105300100000513
由于
Figure FDA00032105300100000514
有界，可得-δ-2ρ2(t)<z2<δ- 2ρ2(t)，所以对于
Figure FDA00032105300100000515
保证控制误差z2有界和状态变量x2有界；
S3-2-3:根据式(18)求出
Figure FDA00032105300100000516
对时间的导数
Figure FDA00032105300100000517
Figure FDA0003210530010000061
其中
Figure FDA0003210530010000062
存在一个正常数rM3，使得0＞r3＞rM3；
将式(10)，(24)，(11)和(21)带入(40)中得：
Figure FDA0003210530010000063
记
Figure FDA0003210530010000064
Figure FDA0003210530010000065
其中V1＝V01+A1x，V2＝V02-A2x；
鉴于伺服液压系统作动器的安全运行，留出安全裕度，即根据物理结构，液压缸在中位附近上下最大可波动12厘米，指令信号的幅值小于等于10厘米保证了h1h2h3有界，即分别存在三个正数
Figure FDA0003210530010000066
使得
Figure FDA0003210530010000067
考虑到
Figure FDA0003210530010000068
且α1，
Figure FDA00032105300100000617
ρi是有界的，m(t)为阀芯死区的未知斜率，m(t)是有界的(即
Figure FDA00032105300100000616
0<m(t)<Mr)，由极值定理可知a3有界；
由(41)和(42)得：
Figure FDA0003210530010000069
选取李雅普诺夫函数
Figure FDA00032105300100000610
(43)和(44)符合不等式引理形式，由不等式引理可知，因为a3有界，即
Figure FDA00032105300100000611
使得|a3|<A3，
Figure FDA00032105300100000612
所以
Figure FDA00032105300100000613
由于
Figure FDA00032105300100000614
有界，可得-δ-3ρ3(t)<z3<δ- 3ρ3(t)，所以对于
Figure FDA00032105300100000615
保证控制误差z3有界和主动力ua有界，从状态方程的数学表达式上看，状态变量x3和x4是有界的，并且它们都小于液压源Ps的压力值；
S3-2-4:根据式(18)求出
Figure FDA0003210530010000071
对时间的导数
Figure FDA0003210530010000072
Figure FDA0003210530010000073
其中
Figure FDA0003210530010000074
存在一个正常数rM4，使得0＞r4＞rM4；
进一步得：
Figure FDA0003210530010000075
记
Figure FDA0003210530010000076
考虑到
Figure FDA0003210530010000077
且αi,
Figure FDA0003210530010000078
ρi是有界的，k4为设计控制器时自选参数，故a4有界；
由(46)和(47)得：
Figure FDA0003210530010000079
选取李雅普诺夫函数：
Figure FDA00032105300100000710
(48)和(49)符合不等式引理形式，由不等式引理可知，因为a4有界，即
Figure FDA00032105300100000711
使得|a4|<A4，
Figure FDA00032105300100000712
所以
Figure FDA00032105300100000713
由于
Figure FDA00032105300100000714
有界，可得-δ-4ρ4(t)<z4<δ- 4ρ4(t)，所以对于
Figure FDA00032105300100000715
保证控制误差z4有界和状态变量x5有界。
5.根据权利要求4所述的一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法，其特征还在于：
不等式引理表达式如下：
Figure FDA00032105300100000716
如果a有界,即
Figure FDA0003210530010000087
那么x必有界且
Figure FDA0003210530010000082
6.根据权利要求2所述的一种针对非对称伺服液压位置跟踪系统的低复杂控制方法，其特征还在于：所述利用初值提议证明当S3-2中的τmax＝+∞时，所有闭环信号有界仍是正确的过程如下：
因为
Figure FDA0003210530010000083
所以
Figure FDA0003210530010000084
是非空集合；
Figure FDA0003210530010000085
假设τmax<+∞，初值提议中强调存在一个时间常数t1∈[0,τmax)使得
Figure FDA0003210530010000086
造成矛盾，得出的假设是τmax＝+∞，对于任何t∈[0,+∞)，所有闭环系统信号是有界的，并且能够保证跟踪误差在规定边界内收敛。
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