JP4247699B2 - 非線形制御対象のフィードバック制御方法 - Google Patents

Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、非線形制御対象である油圧シリンダによる位置決め制御などに適用される、非線形制御対象のフィードバック制御方法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】
まず、従来技術として、油圧シリンダを用いてアームの角度を制御する位置決め制御の例を示す。
図４は、直線動作する油圧シリンダによりアーム角度を制御する位置決め制御の実験装置である。同図において、５１は油圧シリンダ、５２は油圧シリンダ５１の基準位置、５３は油圧シリンダ５１により駆動されるアーム、５４はアーム５３の回転軸であり、Ｍ（ｍｍ）は油圧シリンダ５１の長さ（基準位置５２からアーム５３までの長さ）、θ（ｄｅｇ．）はアーム５３の角度（回転軸５４と基準位置５２とを結んだ線とアーム５３との間の角度）である。
【０００３】
この実験装置ではアーム角度θを１２ｂｉｔのエンコーダにより検出しており、アーム角度θは、油圧シリンダ５１の長さＭから数式１により求められる。
【０００４】
【数１】

【０００５】
数式１によれば、この実験装置はＭとθとの間に非線形性を持ち、従来ではこの非線形性を解決するために、角度指令値及び角度検出値を数式１によりシリンダ長さ指令値及び検出値に変換し、フィードバック制御を行っている。
図７はこの従来のフィードバック制御ブロック図であり、１１，１７は角度−長さ変換器、１２，１４，１６は加算器、１３はゲインＫを有するフィードバック制御器、１５は油圧シリンダ５１及びアーム５３からなる制御対象、θ^＊はアーム５３の角度指令値、Ｍ^＊は油圧シリンダ５１の長さ指令値、θはアーム５３の角度検出値、Ｍは油圧シリンダ５１の長さ検出値、ｄは外乱、ｎは観測ノイズを示す。
【０００６】
このフィードバック制御系では、数式１による角度−長さの変換精度が悪ければ、位置制御応答はアーム５３の姿勢（角度）に依存してしまう。
また、油圧シリンダ５１自身も、動作方向や負荷の大きさにより特性が変わる非線形性を有しているが、従来技術では、この非線形性を無視している。このため、油圧シリンダ５１の動作方向や負荷の大きさにより位置制御応答が変化してしまう欠点がある。
【０００７】
図８，図９に、従来技術による図４の実験装置での制御例を示す。
図８は、角度指令値を６０→１２５ｄｅｇ．と変化させた場合のランプ応答であり、図９は同じく１２５→６０ｄｅｇ．と変化させた場合のランプ応答である。図８，図９のいずれも、１段目が油圧シリンダ５１を駆動するバルブに対する電圧指令値ｕ_ｐ、２段目が角度指令値θ^＊、３段目が角度検出値θ、４段目が角度偏差（θ^＊−θ）である。
【０００８】
図７に示したフィードバック制御器１３は、例えば比例調節器であり、角度指令値θ^＊から角度検出値θまでをオーバーシュートのない一次遅れ要素として調整している。
このため、ランプ応答では、角度偏差が一次遅れ要素にステップ入力した時の出力波形と同一となり、図８，図９とも角度偏差はこのようになっている。ただし、図８，図９において角度偏差の大きさがそれぞれ約３．５ｄｅｇ，約４．２ｄｅｇと異なった値になっているが、これは油圧シリンダのバルブに対する電圧指令値からシリンダ速度までのゲインがシリンダの動作方向の正逆で異なっているためである。
【０００９】
このように従来の制御方法では、油圧シリンダの非線形性により位置制御応答が変化してしまう欠点がある。
そこで本発明は、油圧シリンダの直線運動をアーム角度に変換するような非線形制御対象において所望の応答を容易に得ることができるようにした非線形制御対象のフィードバック制御方法を提供しようとするものである。
【００１０】
【課題を解決するための手段】
上記課題を解決するため、請求項１記載の発明は、操作量が入力される規範モデル（伝達関数をＰ_ｍとする）と、この規範モデルの出力と非線形制御対象の出力との偏差が入力されるモデル追従ゲインと、このモデル追従ゲインの出力と前記操作量との和に外乱ｄを加えた信号が入力される非線形制御対象と、から構成されるモデル追従制御系を対象として、モデル化誤差Δ_ｕを用いて非線形制御対象をＰ_ｍ（１＋Δ_ｕ）と表し、Ｐ_ｍに対して目標の制御応答を得るようにフィードバック制御器を設計するフィードバック制御系において、
油圧シリンダによりアームを駆動してその角度を制御する前記非線形制御対象としての位置決め制御装置（伝達関数をＰとする）と、
外乱オブザーバゲインＬと積分要素である前記規範モデル（伝達関数Ｐ _ｍ を１／Ｊｓとし、Ｊを積分定数とする）とによって閉ループを構成する外乱オブザーバと、
前記位置決め制御装置の位置指令値θ ^＊ と位置検出値θとの偏差が入力されるフィードバック制御器（ゲインをＫとする）と、を備え、
前記フィードバック制御器の出力ｕ _１ と前記外乱オブザーバの出力との加算結果を前記位置決め制御装置への操作量ｕ _ｐ とし、この操作量ｕ _ｐ と外乱ｄとの和を前記位置決め制御装置の入力とし、前記操作量ｕ _ｐ と外乱オブザーバゲインＬの出力との偏差を前記規範モデルの入力とし、この規範モデルの出力と位置検出値θとの偏差を前記外乱オブザーバゲインＬの入力とすると共に、
前記フィードバック制御系が目標とする制御応答の時定数σに対して、前記モデル追従制御系が必要とする制御帯域をω＝α／σと定め（αは係数）、前記ωより低い周波数領域で｜ＰＬ｜≫１，｜ＬＰ_ｍ｜≫１，｜Ｌ｜≫１となり、かつ、｜Δ_ｕ｜≦｜Ｒ_ｍ｜である関数Ｒ_ｍと相補感度関数Ｔ（＝Ｐ_ｍ（１＋ＫＰ_ｍ）^−１Ｋ）とを用いて‖Ｒ_ｍＴ‖＜１となるように規範モデルの伝達関数Ｐ_ｍ及び外乱オブザーバゲインＬを定め、
前記フィードバック制御器を比例調節器により構成してそのゲインＫをＫ＝Ｊ／σとし、かつ、｜Ｊｓ／Ｌ｜≪１となるように定めるものである。
【００１３】
【発明の実施の形態】
以下、図に沿って本発明の実施形態を説明する。
本実施形態では、従来のような油圧シリンダの長さとアーム角度との変換を行わずに、油圧シリンダ等の位置決め制御にモデル追従制御を導入し、フィードバック制御器をモデル追従の規範モデルに対して設計するようにした。
ここで、モデル追従（モデル・フォロイング）とは、例えば「制御システム設計」（金井喜美雄著，1982年，槇書店発行）ｐ９０〜ｐ１１６の第４章「モデル・フォロイング制御システムの設計」に記載されているように、設計者が要求する性能またはプラントの動特性を予め規範モデルとして規定し、このモデルに一致するようにプラント等の動特性を修正する制御法則を決定することを指す。
【００１４】
まず、図１に示すようなモデル追従制御系を考える。図において、２１は規範となるモデル（伝達関数をＰ_ｍとする）、２２，２４，２５は加算器、２３はモデル追従ゲイン（ゲインをＬとする）、２６は制御対象（伝達関数をＰとする）、ｕ_１は操作量、ｄは外乱、ｙは出力である。
このようなモデル追従制御系は、外乱オブザーバ、２自由度ロバストサーボ系等と等価なものであり、多軸マニピュレータの運動制御方法として既に知られている。
【００１５】
ここで、フィードバック制御が目標とする制御応答を時定数σとすると、このσに対して、モデル追従が必要とする制御帯域をω＝α／σとして定め（αは経験的に４以上あれば十分な係数である）、ωより低い周波数領域で｜ＰＬ｜≫１、｜ＬＰ_ｍ｜≫１、｜Ｌ｜≫１となるようにモデル２１の伝達関数Ｐ_ｍ、モデル追従ゲインＬを求める。
まず、図１において、制御対象出力ｙは数式２によって表される。
【００１６】
【数２】
ｙ＝(１＋ＰＬ)^−１｛Ｐ(ＬＰ_ｍ＋１)ｕ_１＋Ｐｄ｝
【００１７】
いま、数式２の右辺の分母、分子をＰＬで割ると、数式３が得られる。
【００１８】
【数３】

【００１９】
数式３において、｜ＰＬ｜≫１とすると、数式４を得る。
【００２０】
【数４】

【００２１】
数式４の右辺第１項の分母、分子をＬＰ_ｍで割ると、数式５を得る。
【００２２】
【数５】

【００２３】
数式５において、｜ＬＰ_ｍ｜≫１であれば、数式６が成り立つ。
【００２４】
【数６】

【００２５】
数式６において、｜Ｌ｜≫１であれば、数式７が成り立ち、出力ｙが操作量ｕ_１及びモデルの伝達関数Ｐ_ｍに依存するモデル追従制御系を実現することができる。
【００２６】
【数７】
ｙ＝Ｐ_ｍｕ_１
【００２７】
いま、数式２を数式８により表すものとすると、数式８におけるΔ_ｕ，Δ_ｄは数式９，数式１０となる。
【００２８】
【数８】
ｙ＝Ｐ_ｍ(１＋Δ_ｕ)ｕ_１＋Δ_ｄｄ
【００２９】
【数９】
Δ_ｕ＝Ｐ_ｍ ^−１(１＋ＰＬ)^−１(Ｐ−Ｐ_ｍ)
【００３０】
【数１０】
Δ_ｄ＝(１＋ＰＬ)^−１Ｐ
【００３１】
ここで、数式９で示されるΔ_ｕをモデル化誤差とする。
次に、モデル追従制御系に対するフィードバック制御器を、モデルＰ_ｍに対して目標の応答が得られるように設計する。
図２は、モデル追従のフィードバック制御系を示す制御ブロック図である。図において、２７，３０は加算器、２８は比例調節器からなるフィードバック制御器（ゲインＫ）、２９はモデル化誤差Δ_ｕを含む制御対象を示す。また、ｒは出力指令値である。
【００３２】
図２におけるフィードバックループでは、
相補感度関数であるＴ＝Ｐ_ｍ(１＋ＫＰ_ｍ)^−１Ｋを用いて、‖Ｒ_ｍＴ‖＜１となるようにして安定性を保証する。ここで、Ｒ_ｍは、モデル化誤差Δ_ｕ(Ｐ＝Ｐ_ｍ(１＋Δ_ｕ))に対して｜Δ_ｕ｜≦｜Ｒ_ｍ｜となるような関数である。
【００３３】
次に、モデル追従によるフィードバック制御を油圧サーボ系の位置決め制御に適用し、図４の直線動作する油圧シリンダによりアーム角度の位置制御（角度制御）を行う場合の実施形態を説明する。
図３はこの実施形態の制御ブロック図を示しており、２４，２５，３１，３２，３３，３５は加算器、２６は油圧シリンダ及びアームからなる制御対象（伝達関数Ｐ）、２８は比例調節器からなるフィードバック制御器（ゲインＫ）である。
【００３４】
また、３７は外乱オブザーバであり、上記加算器３３，３５と、外乱オブザーバゲイン３４（スカラー量であり、Ｌとする）及び規範モデル３６（図１における規範モデル２１に相当）から構成されている。ここで、規範モデル３６は、構造が簡単な積分要素（伝達関数は１／Ｊｓ）とする。なお、積分定数Ｊはモデル追従の条件によって後述のように決定する。
【００３５】
更に図３において、θ^＊はアームの角度指令値、ｕ_１はフィードバック制御器２８の出力、ｕ_ｐは油圧シリンダを駆動するバルブに対する電圧指令値、ｄは外乱、θはアームの角度検出値、ｎは観測ノイズである。
【００３６】
上記フィードバック制御器２８の入力は角度指令値θ^＊と角度検出値θとの偏差とし、フィードバック制御器２８の出力ｕ_１と外乱オブザーバ３７の出力とを加算したものを制御対象２６に対する操作量（電圧指令値）ｕ_ｐとする。
また、外乱オブザーバ３７において、上記操作量ｕ_ｐとオブザーバゲイン３４の出力との差をモデル３６の入力とし、このモデル３６の出力と角度検出値θとの偏差をオブザーバゲイン３４の入力とする。
【００３７】
図３におけるフィードバック制御器２８の出力ｕ_１から角度検出値θまでの関係を求めると、数式１１のようになる。
【００３８】
【数１１】

【００３９】
ここで、Ｐはｕ_ｐからθまでの非線形制御対象をまとめたものである。これより、｜ＰＬ｜≫１，｜Ｊｓ／Ｌ｜≪１がモデル追従の条件となる。
すなわち、この条件下で数式１２が成立するので、非線形制御対象Ｐの線形化が達成される。
【００４０】
【数１２】
θ＝(１／Ｊｓ)ｕ₁ +(１／Ｌ)ｄ
【００４１】
なお、Ｐは虚軸に極を持っているため、ｓ→０でも数式１２が成立する。このためフィードバック制御器２８を比例調節器としても定常偏差は生じない。ここでは、フィードバック制御器２８として比例調節器を用いることにより、角度制御を一次遅れで実現している。
すなわち、目標とする角度制御の応答時間を時定数σによって定め、フィードバック制御器２８のゲインをＫ＝Ｊ／σとすると、数式１３が得られる。
【００４２】
【数１３】

【００４３】
モデル追従が必要とする制御帯域は、目標とする制御応答の時定数σに対してω＝α／σとなる。ここで、αは経験的に４以上あれば十分な係数である。
【００４４】
次いで、図３に示したフィードバック制御系の安定性について考察する。
フィードバックループの安定性は、前述したように、相補感度関数Ｔ＝Ｐ_ｍ(１＋ＫＰ_ｍ)^−１Ｋを用いて、‖Ｒ_ｍＴ‖＜１となればよい。Ｒ_ｍは、モデル化誤差Δ_ｕ(Ｐ＝Ｐ_ｍ(１＋Δ_ｕ))に対して｜Δ_ｕ｜≦｜Ｒ_ｍ｜となるような関数である。
Ｐ_ｍ＝１／Ｊｓ，Ｋ＝Ｊ／σとすると、数式１４が得られる。
【００４５】
【数１４】

【００４６】
次に、図４の実験装置における角度θと長さＭとの間には前述の数式１に示す非線形性があり、油圧シリンダ５１の駆動はバルブへ−１０〜１０Ｖの電圧を印加することにより行うものとする。この電圧指令ｕ_ｐとＭとの間には、およそ数式１５に示す関係がある。
なお、油圧シリンダ自体も非線形性を有しており、動作点によって速度ｖが変動する。ここでは、ｖ＝５〜２０の範囲の値をとる。
【００４７】
【数１５】

【００４８】
まず、Ｍとθとの関係を線形化する。数式１を変形して、数式１６が得られる。
【００４９】
【数１６】
３４０１８１−Ｍ^２＝１７７５３３cosθ
【００５０】
数式１６の両辺を微分すると、数式１７が得られる。
【００５１】
【数１７】
−２ＭｄＭ＝−１７７５３３sinθｄθ
【００５２】
数式１７を変形し、更に図４におけるＭ，θの値を代入すると、数式１８を得る。
【００５３】
【数１８】

【００５４】
数式１８及び数式１５から、数式１９を得る。なお、数式１９におけるθ_０＋εは外乱とみなす。
【００５５】
【数１９】

【００５６】
従って、伝達関数Ｐは数式２０によって表される。
【００５７】
【数２０】

【００５８】
モデル化誤差Δ_ｕは、Ｐ＝Ｐ_ｍ（１＋Δ_ｕ）より、数式２１となる。なお、数式２１において、Ｂ＝１−ＡＪ＝−０．２５〜０．９９９６６である。
【００５９】
【数２１】

【００６０】
ここで、｜Δ_ｕ｜≦Ｒ_ｍとなるＲ_ｍを選ぶと、数式２２が得られ、Ｒ_ｍＴは数式２３で表される。
【００６１】
【数２２】

【００６２】
【数２３】

【００６３】
従って、明らかに‖Ｒ_ｍＴ‖＜１となり、フィードバックループは安定であることがわかる。
【００６４】
次いで、前述の図４の実験装置を対象とした本実施形態による実験結果を説明する。
図５は、角度指令値を６０→１２５ｄｅｇと変化させた場合のランプ応答であり、図６は同じく１２５→６０ｄｅｇと変化させた場合のランプ応答である。図５，図６のいずれも、１段目が油圧シリンダ５１を駆動するバルブに対する電圧指令値ｕ_ｐ、２段目が角度指令値θ^＊、３段目が角度検出値θ、４段目が角度偏差（θ^＊−θ）である。
【００６５】
本実施形態では、角度指令値θ^＊から角度検出値θまでをオーバーシュートのない一次遅れ要素として調整している。このため、ランプ応答では、角度偏差が一次遅れ要素にステップ入力を加えた時の出力波形と同一になる。実際上、図５，図６とも角度偏差はこのようになっている。
従来技術によれば、図８，図９に示したように角度偏差の大きさがそれぞれ約３．５ｄｅｇ、約４．２ｄｅｇと異なった値になったのに対し、本実施形態では、図５，図６とも角度偏差は約３．５ｄｅｇとなっている。これにより、本実施形態では油圧シリンダ自体の非線形性まで十分対応できていることが確認できる。
【００６６】
【発明の効果】
以上のように本発明によれば、油圧サーボ系の位置決め制御のような非線形制御対象において所望の応答を容易に得ることができ、その結果、複数軸を有する大型マニピュレータなどの各アクチュエータの揃速性（制御応答を一致させること）を向上させ、直線性の良い位置制御を実現することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の実施形態を示すモデル追従制御系の制御ブロック図である。
【図２】モデル追従のフィードバック制御系を示す制御ブロック図である。
【図３】モデル追従によるフィードバック制御を油圧サーボ系の位置決め制御に適用した場合の制御ブロック図である。
【図４】従来技術及び本発明が適用される実験装置の説明図である。
【図５】本発明の実施形態における制御応答を示す図である。
【図６】本発明の実施形態における制御応答を示す図である。
【図７】従来技術を示すブロック線図である。
【図８】従来技術による制御応答を示す図である。
【図９】従来技術による制御応答を示す図である。
【符号の説明】
２２，２４，２５，２７，３０，３１，３２，３３，３５ 加算器
２１，３６ 規範モデル
２３ モデル追従ゲイン
２８ フィードバック制御器
２９ 制御対象
３４ 外乱オブザーバゲイン
３７ 外乱オブザーバ

Claims (1)

1. 操作量が入力される規範モデル（伝達関数をＰ_ｍとする）と、この規範モデルの出力と非線形制御対象の出力との偏差が入力されるモデル追従ゲインと、このモデル追従ゲインの出力と前記操作量との和に外乱ｄを加えた信号が入力される非線形制御対象と、から構成されるモデル追従制御系を対象として、モデル化誤差Δ_ｕを用いて非線形制御対象をＰ_ｍ（１＋Δ_ｕ）と表し、Ｐ_ｍに対して目標の制御応答を得るようにフィードバック制御器を設計するフィードバック制御系において、
   油圧シリンダによりアームを駆動してその角度を制御する前記非線形制御対象としての位置決め制御装置（伝達関数をＰとする）と、
   外乱オブザーバゲインＬと積分要素である前記規範モデル（伝達関数Ｐ _ｍ を１／Ｊｓとし、Ｊを積分定数とする）とによって閉ループを構成する外乱オブザーバと、
   前記位置決め制御装置の位置指令値θ ^＊ と位置検出値θとの偏差が入力されるフィードバック制御器（ゲインをＫとする）と、を備え、
   前記フィードバック制御器の出力ｕ _１ と前記外乱オブザーバの出力との加算結果を前記位置決め制御装置への操作量ｕ _ｐ とし、この操作量ｕ _ｐ と外乱ｄとの和を前記位置決め制御装置の入力とし、前記操作量ｕ _ｐ と外乱オブザーバゲインＬの出力との偏差を前記規範モデルの入力とし、この規範モデルの出力と位置検出値θとの偏差を前記外乱オブザーバゲインＬの入力とすると共に、
   前記フィードバック制御系が目標とする制御応答の時定数σに対して、前記モデル追従制御系が必要とする制御帯域をω＝α／σと定め（αは係数）、前記ωより低い周波数領域で｜ＰＬ｜≫１，｜ＬＰ_ｍ｜≫１，｜Ｌ｜≫１となり、かつ、｜Δ_ｕ｜≦｜Ｒ_ｍ｜である関数Ｒ_ｍと相補感度関数Ｔ（＝Ｐ_ｍ（１＋ＫＰ_ｍ）^−１Ｋ）とを用いて‖Ｒ_ｍＴ‖＜１となるように規範モデルの伝達関数Ｐ_ｍ及び外乱オブザーバゲインＬを定め、
   前記フィードバック制御器を比例調節器により構成してそのゲインＫをＫ＝Ｊ／σとし、かつ、｜Ｊｓ／Ｌ｜≪１となるように定めることを特徴とする非線形制御対象のフィードバック制御方法。

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