CN104932259A - 一种电液位置伺服系统的增益自调节的超螺旋滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电液位置伺服系统的增益自调节的超螺旋滑模控制方法。利用已知的系统模型信息，在传统超螺旋滑模控制算法中引入基于模型的前馈控制律，提升系统伺服精度。采用自适应律实时更新控制器增益，无需先验地获知系统建模不确定性的确切界，避免了传统算法中由人为设定与该界相关的控制增益造成的保守性。基于Lyapunov稳定性理论证明了闭环系统全局稳定，系统跟踪误差可在有限时间内渐近收敛到零附近任意小的范围内，且收敛的速度和稳态误差的界可通过参数进行调节。

Description

一种电液位置伺服系统的增益自调节的超螺旋滑模控制方法

技术领域

本发明涉及电液伺服控制技术领域，主要涉及一种电液位置伺服系统的增益自调节的超螺旋滑模控制方法。

背景技术

电液伺服系统具有功率密度大、输出力/力矩大及抗负载刚性强等突出优点，在众多重要领域有着广泛的应用。随着现代工业技术的快速发展，对于电液伺服系统的伺服精度要求也越来越高。电液伺服系统是一个复杂的非线性控制对象，存在由于工作环境变化(如温度变化)和组件磨损等引起的系统参数不确定性以及非线性摩擦和外负载干扰等不确定性非线性，这些建模不确定性会严重恶化所设计的控制器的性能，导致系统出现跟踪误差、极限环振荡甚至失稳。为提升伺服系统的性能，需要设计高性能的控制器以抑制或消除建模不确定性对系统性能的影响。针对电液伺服系统高性能控制问题，许多方法被广泛研究。自适应控制通过设计参数自适应律实时更新系统的参数值以提高模型补偿精度，从而使系统获得良好的跟踪性能。然而自适应控制器设计都是基于系统只存在参数不确定性的前提，然而实际系统不可避免地存在难以建模的动态及外干扰等不确定性非线性，将会使所设计的自适应控制器性能降阶。

滑模控制是另一类有效的控制方法。传统的滑模控制可以处理所有有界的建模不确定性并获得渐近跟踪的性能，但其最大的缺点是存在的不连续的符号函数会造成控制器抖振，这对于实际系统是不允许的。为解决传统滑模控制器不连续的问题，可采用连续的饱和函数代替不连续的符号函数可有效地避免控制输入抖振，然而却只能保证跟踪误差有界，丧失了渐近跟踪的性能。另外，高阶滑模控制器在保证控制器的连续性的同时还可获得渐近跟踪，但是控制器的设计需要滑模变量的导数的信息，这在实际中往往是认为不可获知的，因此不易工程实现。超螺旋滑模控制是一种特殊的二阶滑模控制方法，其设计只需要滑模变量本身的信息。

发明内容

基于以上分析，针对存在各种建模不确定性的电液位置伺服系统，本发明提出一种能有效地抑制建模不确定性对系统性能影响的电液位置伺服系统的增益自调节的超螺旋滑模控制方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种电液位置伺服系统的增益自调节的超螺旋滑模控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立电液位置伺服系统的数学模型；

步骤2，设计具有自适应增益的超螺旋滑模控制器；

步骤3，具有自适应增益的超螺旋滑模控制器性能及稳定性测试。

本发明利用已知的系统模型信息，在传统超螺旋滑模控制算法中引入基于模型的前馈控制律，提升系统伺服精度。该方法无需知道建模不确定性的确切界，而是设计自适应律不断调整与该界相关的控制器增益。与现有技术相比，其显著优点是：控制器的设计无需先验地获知系统建模不确定性的确切界，而是采用自适应律实时更新控制器增益，避免了由人为设定与该界相关的控制器增益造成的保守性，同时所设计的控制器可保证跟踪误差在有限时间内渐近收敛到零附近任意小的范围。仿真结果验证了其有效性。

附图说明

图1是本发明电液位置伺服系统的原理图；

图2是具有自适应增益的电液位置伺服系统超螺旋滑模控制(ASTSC)方法原理示意图；

图3是ASTSC控制器作用下系统位置输出对期望输入指令的跟踪过程；

图4是三种控制器作用下系统的跟踪误差对比曲线；

图5是增益α随时间变化的曲线；

图6是传统滑模控制方法的控制输入信号；

图7是ASTSC和SSMC控制方法的控制输入信号。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。

结合图1～2本发明电液位置伺服系统的增益自调节的超螺旋滑模控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立液电液位置伺服系统的数学模型；

(1.1)本发明所考虑的液电液位置伺服系统如图1所示，是通过伺服阀控制的液压马达驱动惯性负载。

图1左侧是电液位置伺服系统结构，右侧是液压马达结构示意图。

因此，根据牛顿第二定律，惯性负载的运动方程为：

$J{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_m=P_L{D}_m-B{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_m-f\left(t\right)---\left(1\right)$

式(1)中J和θ_m分别为负载转动惯量和转角；P_L＝P₁-P₂为液压马达的负载压力，P₁和P₂分别为液压马达进油腔和回油腔压力；D_m为液压马达的体积排量；B为粘性摩擦系数；f(t)为系统建模不确定性，包含未建模的非线性摩擦、外负载干扰等。

忽略液压马达的外泄漏，则液压马达负载压力动态方程为：

$\frac{V_t}{4{\mathrm{\β}}_e}{\stackrel{\·}{P}}_L=-D_m{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_m-C_t{P}_L+Q_L---\left(2\right)$

式(2)中V_t为马达两腔的总控制容积；β_e为有效油液弹性模量；C_t为马达腔室的内泄漏系数；Q_L为负载流量。

将伺服阀的动态近似为比例环节，即伺服阀阀芯位移与控制输入成比例，因此负载流量可表示如下：

$Q_L=k_{t}u\sqrt{P_s-\mathrm{sign}\left(u\right)P_L}---\left(3\right)$

式(3)中k_t为总的流量增益；P_s为系统供油压力且sign(u)定义如下：

$\mathrm{sign}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& u\&GreaterEqual;0\\ -1,& u<0\end{array}\right.---\left(4\right)$

(1.2)假设系统建模不确定性f(t)是连续可微的，则基于式(1)、(2)和(3)，定义状态变量那么系统模型可以写成如下的状态空间的形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3---\left(5\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=f_1(P_L,u)u-f_2\left(x_2\right)-f_3\left(x_3\right)+d\left(t\right)$

式(5)中

$f_1(P_L,u)=\frac{4D_m{\mathrm{\&beta;}}_e{k}_t}{J{V}_t}\sqrt{P_s-\mathrm{sign}\left(u\right)P_L},$

$\begin{array}{c}{f}_2\left(x_2\right)=\frac{4D_m{\mathrm{\&beta;}}_e}{J{V}_t}(D_m+\frac{C_{t}B}{D_m})x_2,\\ f_3\left(x_3\right)=\frac{4{\mathrm{\&beta;}}_e}{J{V}_t}(C_{t}J+\frac{V_{t}B}{4{\mathrm{\&beta;}}_e})x_3,\end{array}---\left(6\right)$

$d\left(t\right)=-\frac{C_t}{D_m{k}_t}f\left(t\right)-\frac{V_t}{4D_m{\mathrm{\&beta;}}_e{k}_t}\stackrel{\&CenterDot;}{f}\left(t\right)$

对于系统物理参数J、D_m、B、β_e、C_t、k_t和P_s，尽管无法获取其精确值，但是可假设其名义值已知并用于控制器的设计，而将参数名义值与其真值之间的偏差归并到建模不确定性d(t)中。

系统控制器的设计目标为：给定系统参考信号y_d(t)＝x_1d(t)，设计一个连续且有界的控制输入u使系统输出y＝x₁尽可能地跟踪系统的参考信号。

步骤2，设计具有自适应增益的超螺旋滑模控制器，步骤如下：

(2.1)定义系统误差变量如下：

z₁＝x₁-x_1d

$z_2=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}---\left(7\right)$

$z_3=x_3-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}$

式(7)中z₁、z₂和z₃分别为惯性负载位置、速度和加速度跟踪误差。

定义如下的滑模变量：

s＝k₁z₁+k₂z₂+z₃    (8)

为便于控制器设计，假设如下：

假设1：系统参考指令信号x_1d(t)是三阶连续的，且系统期望位置指令、速度指令、加速度指令及加加速度指令都是有界的。液压马达位置伺服系统在一般工况下工作，即液压马达两腔压力P₁,P₂均小于供油压力P_s，且|P_L|也小于P_s以保证式(6)中的f₁＞0。

假设2：系统建模不确定性d(t)满足以下条件

|d(t)|≤δ|s|^1/2    (9)

式中：δ为未知的正数。

(2.2)对滑模变量求导可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{s}=k_1{z}_2+k_2{z}_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3\\ =k_1{z}_2+k_2{z}_3+f_1(P_L,u)u-f_2\left(x_2\right)-f_3\left(x_3\right)\\ +d\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}\end{array}---\left(10\right)$

基于式(10)中的滑模动态，设计超螺旋滑模控制器如下：

$u=\frac{1}{f_1(P_L,u)}(u_a+u_s),u_s=u_{s1}+u_{s2}$

$\begin{array}{c}{u}_a=f_2\left(x_2\right)+f_3\left(x_3\right)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}\\ u_{s1}=-k_1{z}_2-k_3{z}_3-\mathrm{\&alpha;}{\left|s\right|}^{1/2}\mathrm{sign}\left(s\right)\end{array}---\left(11\right)$

$u_{s2}=-{\&Integral;}_0^t\frac{\mathrm{\&beta;}}{2}\mathrm{sign}\left(s\right)\mathrm{d\&tau;}$

式中：u_a为用于改善模型补偿的前馈控制律；u_s为用于抑制建模不确定性d(t)对伺服系统性能影响的鲁棒控制律；和为时变的控制器增益。

(2.3)设计如下的自适应律实时更新增益α和β：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}={\mathrm{\&gamma;}}_1\sqrt{\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_1}{2}}\mathrm{sign}\left(\right|s|-v)---\left(12\right)$

β＝2εα

式(12)中γ₁、к₁和ν都是任意的正数；ε为任意的实数。

由式(11)中控制器的结构可知，超螺旋滑模控制器的设计只依赖于滑模变量本身，而不需要其导数的信息，这是超螺旋算法与其他高阶滑模控制算法的本质区别。而且，由于控制算法中含有的符号函数经由积分运算以及与滑模变量绝对值函数的乘积运算，使得控制输入连续化，更利于工程中的实际执行。

步骤3，具有自适应增益的超螺旋滑模控制器性能及稳定性测试，具体如下：

考虑由式(5)描述的电液位置伺服系统，满足假设1和2，则利用式(11)中的超螺旋滑模控制器，且其控制增益α和β由式(12)中的自适应律进行更新，则对于任意的系统初始条件，存在有限时间t_F>0使得滑模变量s渐近趋近于零附近任意小的范围内。

稳定性测速：

将式(11)代入(10)中可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-\mathrm{\&alpha;}{\left|s\right|}^{1/2}\mathrm{sign}\left(s\right)+\mathrm{\&eta;}+d\left(t\right)$ $\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}=-\frac{\mathrm{\&beta;}}{2}\mathrm{sign}\left(s\right)---\left(13\right)$

定义新的状态变量

$\mathrm{\&xi;}={[{\mathrm{\&xi;}}_1,{\mathrm{\&xi;}}_2]}^T={[{\left|s\right|}^{1/2}\mathrm{sign}\left(s\right),]\mathrm{\&eta;}}^T---\left(14\right)$

结合式(13)可得

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}=\frac{1}{2\left|{\mathrm{\&xi;}}_1\right|}(-\mathrm{\&alpha;}{\mathrm{\&xi;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_2+d\left(t\right))\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_2=-\frac{\mathrm{\&beta;}}{2\left|{\mathrm{\&xi;}}_1\right|}{\mathrm{\&xi;}}_1\end{array}---\left(15\right)$

由假设2可知，满足条件(9)的建模不确定性d(t)必然具有如下形式^[9]

d(t)＝ρ(x,t)|s|^1/2sign(s)＝ρ(x,t)ξ₁    (16)

式中：ρ(x,t)是正的函数且满足

0＜ρ(x,t)＜δ    (17)

联立式(15)和(16)可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}=\mathrm{A\&xi;}$

$A=\frac{1}{2\left|{\mathrm{\&xi;}}_1\right|}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&rho;}(x,t)-\mathrm{\&alpha;}& 1\\ -\mathrm{\&beta;}& 0\end{array}\right]---\left(18\right)$

定义Lyapunov函数

$V=V_0+\frac{1}{2{\mathrm{\&kappa;}}_1}{(\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0)}^2+\frac{1}{2{\mathrm{\&kappa;}}_2}{(\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0)}^2---\left(19\right)$

式中：α₀和β₀为正数，V₀的定义如下

$V_0={\mathrm{\&xi;}}^T\mathrm{P\&xi;},P=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&lambda;}+{4\mathrm{\&epsiv;}}^2& -2\mathrm{\&epsiv;}\\ -2\mathrm{\&epsiv;}& 1\end{array}\right]---\left(20\right)$

式(20)中λ为任意正数；矩阵P是正定对称的，从而保证了函数V₀为正。

先求函数V₀对时间t的导数，并联立式(18)和(20)可得

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_0={\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}^T\mathrm{P\&xi;}+{\mathrm{\&xi;}}^{T}P\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}={\mathrm{\&xi;}}^T(A^{T}P+\mathrm{PA})\mathrm{\&xi;}\\ =-\frac{1}{2\left|{\mathrm{\&xi;}}_1\right|}{\mathrm{\&xi;}}^T\mathrm{\&Lambda;\&xi;}\end{array}---\left(21\right)$

式(21)中对称矩阵Λ定义如下

$\mathrm{\&Lambda;}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Lambda;}}_{11}& {\mathrm{\&Lambda;}}_{12}\\ {\mathrm{\&Lambda;}}_{21}& {\mathrm{\&Lambda;}}_{22}\end{array}\right]---\left(22\right)$

式(22)中Λ₁₁＝-2(λ+4ε²)(ρ-α)-4εβ，Λ₂₂＝4ε,Λ₁₂＝Λ₂₁＝2ε(ρ-α)+β-λ-4ε²。

取β＝2εα，当α满足如下条件时，

$\mathrm{\&alpha;}>\frac{\mathrm{\&delta;}(\mathrm{\&lambda;}+{4\mathrm{\&epsiv;}}^2)-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&lambda;}(1-{\mathrm{\&kappa;}}_1)}+\frac{{(2\mathrm{\&epsiv;\&delta;}-\mathrm{\&lambda;}-{4\mathrm{\&epsiv;}}^2)}^2}{12\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}(1-{\mathrm{\&kappa;}}_1)}---\left(23\right)$

矩阵Λ的最小特征值λ_min(Λ)≥2ε，即保证了其正定性。

因此，当α满足式(23)中的条件时，对于式(21)有

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_0\&le;-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\left|{\mathrm{\&xi;}}_1\right|}{\mathrm{\&xi;}}^T\mathrm{\&xi;}=-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\left|{\mathrm{\&xi;}}_1\right|}{\left|\right|\mathrm{\&xi;}\left|\right|}^2---\left(24\right)$

由于有以下不等式成立，

λ_min(P)||ξ||²≤ξ^TPξ≤λ_max(P)||ξ||²    (25)

$\left|{\mathrm{\&xi;}}_1\right|={\left|s\right|}^{1/2}\&le;{\left|\right|\mathrm{\&xi;}\left|\right|}^2\&le;\frac{V_0^{1/2}}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }^{1/2}\left(P\right)}---\left(26\right)$

式(26)中λ_max(P)和λ_min(P)分别为矩阵P的最大和最小特征值。因此对于式(24)有

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_0\&le;-\mathrm{\&zeta;}{V}_0^{1/2},\mathrm{\&zeta;}=\frac{\mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }^{1/2}\left(P\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(P\right)}---\left(27\right)$

求式(19)中函数V对时间t的导数，并结合式(27)可得

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}={\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_0+\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_1}(\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_2}(\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}\\ \&le;-\mathrm{\&zeta;}{V}_0^{1/2}-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_1}}|\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0|-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_2}}|\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0|\\ +\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_1}(\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_2}(\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}\\ +\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_1}}|\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0|+\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_2}}|\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0|\end{array}---\left(28\right)$

利用不等式性质(a²+b²+c²)^1/2≤|a|+|b|+|c|，可得

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-\mathrm{\&sigma;}{V}^{1/2}+\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_1}(\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_2}(\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}\\ +\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_1}}|\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0|+\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_2}}|\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0|\end{array}---\left(29\right)$

式(29)中σ＝min{ζ,γ₁,γ₂}。

采用式(12)中的自适应律对增益α和β进行更新所得到的α和β都是有界的，这是由于当|s|>ν，0≤t≤t_F时，

$\mathrm{\&alpha;}=\mathrm{\&alpha;}\left(0\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_1\sqrt{\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_1}{2}}\&CenterDot;t---\left(30\right)$

t_F是有限时间，因此α和β是有界的；而当|s|≤ν时，α和β都在递减直到|s|>ν重新满足。

基于对α和β的有界性分析可知，必定存在正数α₀和β₀使得α-α₀<0和β-β₀<0成立，因此式(29)可化为

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-\mathrm{\&sigma;}\sqrt{V}-|\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0|(\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_1}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_1}})\\ -|\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0|(\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_2}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_2}})\end{array}---\left(31\right)$

当|s|>ν时，由式(12)知

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}={\mathrm{\&gamma;}}_1\sqrt{\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_1}{2}}---\left(32\right)$

取γ₂、к₂为任意正数，则

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}={2\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}=}\mathrm{\&gamma;}}_2\sqrt{\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_2}{2}}---\left(33\right)$

将式(32)和(33)代入(31)中可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-\mathrm{\&sigma;}{V}^{1/2}---\left(34\right)$

上式表明当滑模变量s远离零点即|s|>ν时，控制增益α和β分别以自适应律(32)和(33)递增直至条件(23)满足，使得矩阵Λ正定，从而保证滑模变量在有限时间t_F内渐近收敛到零点附近，即|s|≤ν。

而当|s|≤ν时，控制增益α和β分别以如下的自适应律递减，

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}=-{\mathrm{\&gamma;}}_1\sqrt{\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_1}{2}},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}=-{\mathrm{\&gamma;}}_2\sqrt{\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_2}{2}}---\left(35\right)$

直至|s|>ν重新满足，如此循环往复。

因此，采用超螺旋滑模控制器(11)和增益自适应律(12)可使得滑模变量s在有限时间t_F内渐近收敛到零附近任意小的范围内。由滑模变量s的定义可知系统输出的跟踪误差z₁在有限时间t_F内渐近收敛到零附近任意小的范围内，且该范围可通过参数进行调节。下面给出滑模变量s和系统输出的跟踪误差z₁趋近于零点附近的有限时间t_F的范围。

考虑|s|>ν时，增益α和β分别以自适应律(32)和(33)递增，条件(23)必在有限时间内满足。若ν＝0，

对式(34)两边积分可知，在有限时间t_s后，s→0，且

$t_s\&le;\frac{2V^{1/2}\left(t_0\right)}{\mathrm{\&sigma;}}---\left(36\right)$

则对于ν>0的情况，其有限时间t_F一定满足

$t_F\&le;t_s\&le;\frac{2V^{1/2}\left(t_0\right)}{\mathrm{\&sigma;}}---\left(37\right)$

电液位置伺服系统的增益自调节的超螺旋滑模控制方法原理示意图如图2所示。

为考核所设计的控制器性能，采用式(5)描述的电液位置伺服系统模型进行仿真。电液位置伺服系统参数的真值如表1所示。

用于控制器设计的系统参数名义值则取为：转动惯量J＝40kg·m²，粘性阻尼系数B＝85N·m/(rad·s)，马达排量D_m＝3×10^-4m³/rad，供油压力P_s＝7×10⁶Pa，回油压力P_r＝0Pa，马达腔总控制容积V_t＝2.2×10^-3m³，泄漏系数C_t＝1×10^-11m⁵/(N·s)，总流量系数k_t＝3.8×10^-8m⁴/(s·V·N^1/2)，油液有效弹性模量β_e＝2.2×10⁸Pa。系统参数的名义值与其真值之间的偏差归并到系统建模不确定性中。给定满足假设2的系统建模不确定性f(t)的取值为：f(t)＝10sint·|s|^1/2，期望跟踪的系统输入指令信号：x_1d(t)＝0.2sinπt·[1-exp(-0.01t³)]，仿真采样时间为T_s＝0.2ms。

表1电液位置伺服系统参数真值

为了便于分析本发明所提出控制器的有效性，分别使用本发明提出的具有自适应增益的超螺旋滑模控制(ASTSC)方法、传统的滑模控制(SMC)方法以及连续化近似的滑模控制(SSMC)方法进行仿真对比。三种控制器的参数选取如下：

1)ASTSC：控制器增益k₁＝5×10⁴，k₂＝2×10³；增益α和β的自适应律参数：γ₁＝150，к₁＝2，ε＝1，ν＝0.1；增益α和β的初值取为：α(0)＝30,β(0)＝0。

2)SMC：针对式(5)中的电液位置伺服系统，设计传统的滑模控制器如下：

$\begin{array}{c}u=\frac{1}{f_1(P_L,u)}[f_2\left(x_2\right)+f_3\left(x_3\right)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}-k_1{z}_2-k_2{z}_3\\ -k_3\mathrm{sign}\left(s\right)]\end{array}---\left(38\right)$

控制器参数取为：k₁＝5×10⁴，k₂＝2×10³，k₃＝200。

3)SSMC：运用饱和函数代替不连续的符号函数以使控制输入连续化，针对电液位置伺服系统(5)设计连续化近似的滑模控制器如下：

$\begin{array}{c}u=\frac{1}{f_1(P_L,u)}[f_2\left(x_2\right)+f_3\left(x_3\right)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}-k_1{z}_2-k_2{z}_3\\ -k_3\mathrm{sat}\left(\frac{k_3}{4\mathrm{\&chi;}}s\right)]\end{array}---\left(39\right)$

式中：sat(·)为饱和函数。控制器参数取为：k₁＝5×10⁴，k₂＝2×10³，k₃＝200，χ＝1。

ASTSC控制器作用下系统的实际位置输出跟踪输入指令信号的结果以及两种控制器跟踪误差对比曲线分别如图3和图4所示。由图4可以看出，在建模不确定性存在的情况下，ASTSC和SMC两种控制器都可以有效地抑制其对跟踪性能的影响，获得了很高的跟踪精度，而连续化的近似使得SSMC控制器的跟踪性能最差。由于选取的增益α和β的初值比较小使得ASTSC控制器的暂态性能不如SMC，但是在自适应律的作用下，增益α和β逐渐递增使ASTSC控制器的稳态性能明显优于SMC控制器。由于增益α和β呈比例关系，因此只给出增益α的自适应变化过程如图5所示。

尽管传统滑模控制器也获得了良好的跟踪精度，但是其付出的代价是控制输入发生如图6中所示的严重的颤振现象。由图7可见，在本发明提出的ASTSC控制器作用下，系统的控制输入信号是连续的，避免了SMC中的颤振问题。而且，值得注意的是，ASTSC的控制输入信号幅值比SMC小，却获得了更好的跟踪性能，这也说明了所提出的ASTSC控制方法更加高效。

综上所述，本发明公开的电液位置伺服系统的增益自调节的超螺旋滑模控制方法利用已知的系统模型信息，在传统超螺旋滑模控制算法中引入基于模型的前馈控制律，提升系统伺服精度。采用自适应律实时更新控制器增益，无需先验地获知系统建模不确定性的确切界，避免了传统算法中由人为设定与该界相关的控制增益造成的保守性。基于Lyapunov稳定性理论证明了闭环系统全局稳定，系统跟踪误差可在有限时间内渐近收敛到零附近任意小的范围内，且收敛的速度和稳态误差的界可通过参数进行调节。

虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰。因此，本发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。

Claims (4)

1.一种电液位置伺服系统的增益自调节的超螺旋滑模控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立电液位置伺服系统的数学模型；

步骤2，设计具有自适应增益的超螺旋滑模控制器；

步骤3，具有自适应增益的超螺旋滑模控制器性能及稳定性测试。

2.根据权利要求1所述的电液位置伺服系统的增益自调节的超螺旋滑模控制方法，其特征在于，步骤1所述建立电液位置伺服系统的数学模型，具体如下：

(1.1)根据牛顿第二定律，电液位置伺服系统的惯性负载的运动方程为：

$J{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_m=P_L{D}_m-B{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_m-f\left(t\right)---\left(1\right)$

式(1)中J和θ_m分别为负载转动惯量和转角；P_L＝P₁-P₂为液压马达的负载压力，P₁和P₂分别为液压马达进油腔和回油腔压力；D_m为液压马达的体积排量；B为粘性摩擦系数；f(t)为系统建模不确定性，包含未建模的非线性摩擦、外负载干扰；

忽略液压马达的外泄漏，则液压马达负载压力动态方程为：

$\frac{V_t}{4{\mathrm{\&beta;}}_e}{\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_L=-D_m{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_m-C_t{P}_L+Q_L---\left(2\right)$

式(2)中V_t为马达两腔的总控制容积；β_e为有效油液弹性模量；C_t为马达腔室的内泄漏系数；Q_L为负载流量；

将伺服阀的动态近似为比例环节，即伺服阀阀芯位移与控制输入成比例，因此负载流量可表示如下：

$Q_L=k_{t}u\sqrt{P_s-\mathrm{sign}\left(u\right)P_L}---\left(3\right)$

式(3)中k_t为总的流量增益；P_s为系统供油压力且sign(u)定义如下：

$\mathrm{sign}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& u\&GreaterEqual;0\\ -1,& u<0\end{array}\right.---\left(4\right)$

(2.2)假设系统建模不确定性f(t)是连续可微的，则基于式(1)、(2)和(3)，定义状态变量那么系统模型可以写成如下的状态空间的形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3---\left(5\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=f_1(P_L,u)u-f_2\left(x_2\right)-f_3\left(x_3\right)+d\left(t\right)$

式(5)中

$f_1(P_L,u)=\frac{4D_m{\mathrm{\&beta;}}_e{k}_t}{J{V}_t}\sqrt{P_s-\mathrm{sign}\left(u\right)P_L},$

$f_2\left(x_2\right)=\frac{4D_m{\mathrm{\&beta;}}_e}{{\mathrm{JV}}_t}(D_m+\frac{C_{t}B}{D_m})x_2,$               (6)

$f_3\left(x_3\right)=\frac{4{\mathrm{\&beta;}}_e}{{\mathrm{JV}}_t}(C_{t}J+\frac{V_{t}B}{4{\mathrm{\&beta;}}_e})x_3,$

$d\left(t\right)=-\frac{C_t}{D_m{k}_t}f\left(t\right)-\frac{V_t}{4D_m{\mathrm{\&beta;}}_e{k}_t}\stackrel{\&CenterDot;}{f}\left(t\right)$

对于系统物理参数J、D_m、B、β_e、C_t、k_t和P_s，尽管无法获取其精确值，但是可假设其名义值已知并用于控制器的设计，而将参数名义值与其真值之间的偏差归并到建模不确定性d(t)中；

系统控制器的设计目标为：给定系统参考信号y_d(t)＝x_1d(t)，设计一个连续且有界的控制输入u使系统输出y＝x₁尽可能地跟踪系统的参考信号。

3.根据权利要求2所述的电液位置伺服系统的增益自调节的超螺旋滑模控制方法，其特征在于，步骤2所述设计具有自适应增益的超螺旋滑模控制器，步骤如下：

(2.1)定义系统误差变量如下：

z₁＝x₁-x_1d

$z_2=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}---\left(7\right)$

$z_3=x_3-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}$

式(7)中z₁、z₂和z₃分别为惯性负载位置、速度和加速度跟踪误差；

定义如下的滑模变量：

s＝k₁z₁+k₂z₂+z₃             (8)

假设如下：

假设1：系统参考指令信号x_1d(t)是三阶连续的，且系统期望位置指令、速度指令、加速度指令及加加速度指令都是有界的。液压马达位置伺服系统在一般工况下工作，即液压马达两腔压力P₁,P₂均小于供油压力P_s，且|P_L|也小于P_s以保证式(6)中的f₁＞0；

假设2：系统建模不确定性d(t)满足以下条件

|d(t)|≤δ|s|^1/2          (9)

式中：δ为未知的正数；

(3.2)对滑模变量求导可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{s}=k_1{z}_2+k_2{z}_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3\\ =k_1{z}_2+k_2{z}_3+f_1(P_L,u)u-f_2\left(x_2\right)-f_3\left(x_3\right)\\ +d\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}\end{array}---\left(10\right)$

基于式(10)中的滑模动态，设计超螺旋滑模控制器如下：

$u=\frac{1}{f_1(P_L,u)}(u_a+u_s),u_s=u_{s1}+u_{s2}$

$\begin{array}{c}{u}_a=f_2\left(x_2\right)+f_3\left(x_3\right)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}\\ u_{s1}=-k_1{z}_2-k_3{z}_3-\mathrm{\&alpha;}{\left|s\right|}^{1/2}\mathrm{sign}\left(s\right)\end{array}---\left(11\right)$

$u_{s2}=-{\&Integral;}_0^t\frac{\mathrm{\&beta;}}{2}\mathrm{sign}\left(s\right)\mathrm{d\&tau;}$

式中：u_a为用于改善模型补偿的前馈控制律；u_s为用于抑制建模不确定性d(t)对伺服系统性能影响的鲁棒控制律；和为时变的控制器增益；

(3.3)设计如下的自适应律实时更新增益α和β：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}={\mathrm{\&gamma;}}_1\sqrt{\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_1}{2}}\mathrm{sign}\left(\right|s|-v)---\left(12\right)$

β＝2εα

式中：γ₁、к₁和ν都是任意的正数；ε为任意的实数。

4.根据权利要求3所述的电液位置伺服系统的增益自调节的超螺旋滑模控制方法，其特征在于，步骤3所述具有自适应增益的超螺旋滑模控制器性能及稳定性测试，具体如下：

将式(11)代入(10)中可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-\mathrm{\&alpha;}{\left|s\right|}^{1/2}\mathrm{sign}\left(s\right)+\mathrm{\&eta;}+d\left(t\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}=-\frac{\mathrm{\&beta;}}{2}\mathrm{sign}\left(s\right)---\left(13\right)$

定义新的状态变量

ξ＝[ξ₁,ξ₂]^T＝[|s|^1/2sign(s),η]^T           (14)

结合式(13)可得

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_1=\frac{1}{2\left|{\mathrm{\&xi;}}_1\right|}(-\mathrm{\&alpha;}{\mathrm{\&xi;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_2+d\left(t\right))\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_2=-\frac{\mathrm{\&beta;}}{2\left|{\mathrm{\&xi;}}_1\right|}{\mathrm{\&xi;}}_1\end{array}---\left(15\right)$

由假设2可知，满足条件(9)的建模不确定性d(t)必然具有如下形式^[9]

d(t)＝ρ(x,t)|s|^1/2sign(s)＝ρ(x,t)ξ₁         (16)

式中：ρ(x,t)是正的函数且满足

0＜ρ(x,t)＜δ              (17)

联立式(15)和(16)可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}=\mathrm{A\&xi;}$

$A=\frac{1}{2\left|{\mathrm{\&xi;}}_1\right|}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&rho;}(x,t)-\mathrm{\&alpha;}& 1\\ -\mathrm{\&beta;}& 0\end{array}\right]---\left(18\right)$

定义Lyapunov函数

$V=V_0+\frac{1}{2{\mathrm{\&kappa;}}_1}{(\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0)}^2+\frac{1}{2{\mathrm{\&kappa;}}_2}{(\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0)}^2---\left(19\right)$

式中：α₀和β₀为正数，V₀的定义如下

$V_0={\mathrm{\&xi;}}^T\mathrm{P\&xi;},P=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&lambda;}+4{\mathrm{\&epsiv;}}^2& -2\mathrm{\&epsiv;}\\ -2\mathrm{\&epsiv;}& 1\end{array}\right]---\left(20\right)$

式(20)中λ为任意正数；矩阵P是正定对称的，从而保证了函数V₀为正；

先求函数V₀对时间t的导数，并联立式(18)和(20)可得

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_0={\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}^T\mathrm{P\&xi;}+{\mathrm{\&xi;}}^{T}P\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}={\mathrm{\&xi;}}^T(A^{T}P+\mathrm{PA})\mathrm{\&xi;}\\ =-\frac{1}{2\left|{\mathrm{\&xi;}}_1\right|}{\mathrm{\&xi;}}^T\mathrm{\&Lambda;\&xi;}\end{array}---\left(21\right)$

式(21)中对称矩阵Λ定义如下

$\mathrm{\&Lambda;}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Lambda;}}_{11}& {\mathrm{\&Lambda;}}_{12}\\ {\mathrm{\&Lambda;}}_{21}& {\mathrm{\&Lambda;}}_{22}\end{array}\right]---\left(22\right)$

式(22)中Λ₁₁＝-2(λ+4ε²)(ρ-α)-4εβ，Λ₂₂＝4ε,Λ₁₂＝Λ₂₁＝2ε(ρ-α)+β-λ-4ε²。

取β＝2εα，当α满足如下条件时，

$\mathrm{\&alpha;}>\frac{\mathrm{\&delta;}(\mathrm{\&lambda;}+4{\mathrm{\&epsiv;}}^2)-\mathrm{\&epsiv;}}{\mathrm{\&lambda;}(1-{\mathrm{\&kappa;}}_1)}+\frac{{(2\mathrm{\&epsiv;\&delta;}-\mathrm{\&lambda;}-4{\mathrm{\&epsiv;}}^2)}^2}{12\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}(1-{\mathrm{\&kappa;}}_1)}---\left(23\right)$

矩阵Λ的最小特征值λ_min(Λ)≥2ε，即保证了其正定性；

因此，当α满足式(23)中的条件时，对于式(21)有

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_0\&le;-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\left|{\mathrm{\&xi;}}_1\right|}{\mathrm{\&xi;}}^T\mathrm{\&xi;}=-\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{\left|{\mathrm{\&xi;}}_1\right|}{\left|\right|\mathrm{\&xi;}\left|\right|}^2---\left(24\right)$

由于有以下不等式成立，

λ_min(P)||ξ||²≤ξ^TPξ≤λ_max(P)||ξ||²    (25)

$\left|{\mathrm{\&xi;}}_1\right|={\left|s\right|}^{1/2}\&le;{\left|\right|\mathrm{\&xi;}\left|\right|}^2\&le;\frac{V_0^{1/2}}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }^{1/2}\left(P\right)}---\left(26\right)$

式(26)中λ_max(P)和λ_min(P)分别为矩阵P的最大和最小特征值。因此对于式(24)有

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_0\&le;-\mathrm{\&zeta;}{V}_0^{1/2},\mathrm{\&zeta;}=\frac{\mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }^{1/2}\left(P\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(P\right)}---\left(27\right)$

求式(19)中函数V对时间t的导数，并结合式(27)可得

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}={\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_0+\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_1}(\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_2}(\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}\\ \&le;-\mathrm{\&zeta;}{V}_0^{1/2}-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_1}}|\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0|-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_2}}|\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0|\\ +\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_1}(\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_2}(\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}\\ +\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_1}}|\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0|+\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_2}}|\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0|\end{array}---\left(28\right)$

利用不等式性质(a²+b²+c²)^1/2≤|a|+|b|+|c|，可得

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-\mathrm{\&sigma;}{V}^{1/2}+\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_1}(\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_2}(\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}\\ +\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_1}}|\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0|+\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_2}}|\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0|\end{array}---\left(29\right)$

式(29)中σ＝min{ζ,γ₁,γ₂}；

采用式(12)中的自适应律对增益α和β进行更新所得到的α和β都是有界的，这是由于当|s|>ν，0≤t≤t_F时，

$\mathrm{\&alpha;}=\mathrm{\&alpha;}\left(0\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_1\sqrt{\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_1}{2}}\&CenterDot;t---\left(30\right)$

t_F是有限时间，因此α和β是有界的；而当|s|≤ν时，α和β都在递减直到|s|>ν重新满足；

基于对α和β的有界性分析可知，必定存在正数α₀和β₀使得α-α₀<0和β-β₀<0成立，因此式(29)可化为

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-\mathrm{\&sigma;}\sqrt{V}-|\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_0|(\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_1}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_1}})\\ -|\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&beta;}}_0|(\frac{1}{{\mathrm{\&kappa;}}_2}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2}{\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;}}_2}})\end{array}---\left(31\right)$

当|s|>ν时，由式(12)知

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}={\mathrm{\&gamma;}}_1\sqrt{\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_1}{2}}---\left(32\right)$

取γ₂、к₂为任意正数，则

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}=2\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}={\mathrm{\&gamma;}}_2\sqrt{\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_2}{2}}---\left(33\right)$

将式(32)和(33)代入(31)中可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-\mathrm{\&sigma;}{V}^{1/2}---\left(34\right)$

上式表明当滑模变量s远离零点即|s|>ν时，控制增益α和β分别以自适应律(32)和(33)递增直至条件(23)满足，使得矩阵Λ正定，从而保证滑模变量在有限时间t_F内渐近收敛到零点附近，即|s|≤ν；

而当|s|≤ν时，控制增益α和β分别以如下的自适应律递减，

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}=-{\mathrm{\&gamma;}}_1\sqrt{\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_1}{2}},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}=-{\mathrm{\&gamma;}}_2\sqrt{\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_2}{2}}---\left(35\right)$

直至|s|>ν重新满足，如此循环往复；

因此，采用超螺旋滑模控制器(11)和增益自适应律(12)可使得滑模变量s在有限时间t_F内渐近收敛到零附近任意小的范围内。由滑模变量s的定义可知系统输出的跟踪误差z₁在有限时间t_F内渐近收敛到零附近任意小的范围内，且该范围可通过参数进行调节。下面给出滑模变量s和系统输出的跟踪误差z₁趋近于零点附近的有限时间t_F的范围。

考虑|s|>ν时，增益α和β分别以自适应律(32)和(33)递增，条件(23)必在有限时间内满足；若ν＝0，对式(34)两边积分可知，在有限时间t_s后，s→0，且

$t_s\&le;\frac{2V^{1/2}\left(t_0\right)}{\mathrm{\&sigma;}}---\left(36\right)$

则对于ν>0的情况，其有限时间t_F一定满足

$t_F\&le;t_s\&le;\frac{2V^{1/2}\left(t_0\right)}{\mathrm{\&sigma;}}---\left(37\right)$