CN105388758A - 一种基于Delta算子的液位控制系统的自适应滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Delta算子的液位控制系统的自适应滑模控制方法。在液位控制这类过程控制系统中，存在不确定性和时滞，这些都会影响系统的稳定性，基于delta算子，结合自适应控制，提出一种滑模控制方法。设计非线性滑模面，以线性矩阵不等式的形式给出时滞不确定系统渐进稳定的充分条件，考虑到输入扰动，用自适应边界估计的方法估计上界，从而最终构成完整的自适应滑模控制器。本发明通过设计一种特殊的非线性滑模面，改善了系统的运动品质；结合自适应控制和滑模控制的优点，所设计的控制律能够在系统具有时滞和不确定性有良好的控制效果。本发明用于带有时变时滞和系统建模不确定性的液位控制系统。

Description

一种基于Delta算子的液位控制系统的自适应滑模控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于Delta算子的液位控制系统的自适应滑模控制方法，属于过程控制领域。

背景技术

在现代工业中，自动控制技术被广泛的应用，不少控制系统以温度、压力、流量、液位和成分等工艺参数作为被控变量，实现对系统的稳定控制。另一方面，随着计算机普及，数字控制器越来越多的被应用工业系统控制中，因此对系统建模的准确性也有了越来越高的要求。然而，各类过程控制系统作为一个复杂的被控对象，具有多输入多输出以及非线性、强耦合、时滞等各种各样的复杂问题。因此控制器需要在系统存在时滞和不确定性的情况下仍然具备较强的控制能力。

近些年，针对系统及控制算法复杂程度的大幅提高，能够保证系统响应速度与稳定性能的高速采样控制器受到日益增多的关注。然而，传统移位算子在高速采样会使离散系统的控制性能变差，甚至出现不稳定的现象。为此，Goodwin教授提出了delta算子方法，可以有效解决传统移位算子存在的问题。delta算子系统是连续时间系统和离散时间系统的统一描述形式，非常适合处理复杂系统、网络系统中的高速采样控制问题。

由于滑模控制的滑动模态对系统参数摄动和外加干扰有完全的自适应性，因此非常适合处理四旋翼直升机飞控系统的控制问题。它的控制是不连续的，控制过程中，闭环系统的结构不停的变化，迫使系统状态沿着预先设计好的滑模面运动，渐渐“滑”向状态平衡点，即渐近稳定。其最主要的优点是一旦系统状态量到达滑模面，系统便不受参数变化和外界扰动的影响。而自适应控制可以处理未知的不确定性和扰动的上界，系统本身不断地检测运行参数，控制效果不断地改变，使系统处于最优工作状态。两者广泛用于飞控系统中，为飞控系统的控制提供了新思路。

为了有效处理控制系统中存在的时滞和不确定性，近些年，研究者提出了很多有效的方法。高存臣则研究了时滞离散系统的控制问题；张端金针对系统控制和信号处理研究了delta算子方法；张彩虹针对delta算子不确定系统提出了一种滑膜控制方法。但现有方法对于同时含有时滞和不确定性的液位控制系统却很难有很好的控制效果，因此本发明有很好的实用性。

发明内容

发明目的：针对上述现有技术，一种基于Delta算子的液位控制系统的自适应滑模控制方法，构造特殊的非线性滑模面，有效的改善了系统的运动品质，以线性矩阵不等式给出系统渐进稳定的充分条件，结合自适应控制，设计滑模控制器，有效克服不确定性和扰动带来的影响。

技术方案：一种基于Delta算子的液位控制系统的自适应滑模控制方法，其特征在于：考虑过程控制系统中存在时变时滞和建模的不确定性，结合自适应控制，提出一种自适应滑模控制方法，使得控制系统在发生执行器有输入扰动的情况下能够稳定运行，根据所获取的模型参数，设计一种特殊的非线性滑模面，求解出系统的滑动模态，通过求解线性矩阵不等式使得系统滑动模态渐进稳定，进而结合自适应边界估计和等效控制设计出滑模控制律，最终构成控制器，包括如下具体步骤：

步骤1)获取系统数学模型：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ}\stackrel{\‾}{x}\left(k\right)=(\stackrel{\‾}{A}+\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A})\stackrel{\‾}{x}\left(k\right)+({\stackrel{\‾}{A}}_d+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\‾}{A}}_d)\stackrel{\‾}{x}(k-{\mathrm{\τ}}_k)+\stackrel{\‾}{B}\left(u\right(k)+\mathrm{\φ}(k\left)\right)\\ y\left(k\right)=\stackrel{\‾}{C}x\left(k\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，为系统状态变量，u(k)为控制输入，y(k)为可测输出，τ_k是不确定时滞项，满足0≤τ_m≤τ_k≤τ_M，τ_m，τ_M都是正数， 都是常值矩阵，可控，且列满秩，为系统的建模不精确性以及参数摄动，φ(k)∈R^m为系统输入扰动；

步骤2)对系统(1)进行变换，存在非奇异变换：

将系统变为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ}x\left(k\right)=(A+\mathrm{\Δ}A)x\left(k\right)+(A_d+{\mathrm{\ΔA}}_d)x(k-{\mathrm{\τ}}_k)+B\left(u\right(k)+\mathrm{\φ}(k\left)\right)\\ y\left(k\right)=Cx\left(k\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中， $x\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(k\right)\\ x_2\left(k\right)\end{array}\right],$

Φ(k)＝ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ_k)+Bφ(k)，满足||Φ(k)||＜η₁+η₂||x(k)||+η₃||x(k-τ_k)||，η₁，η₂，η₃为待定的正常数；

步骤3)根据滑模控制器的设计方法，首先设计滑模面，为了提高复杂系统的运动品质，在传统滑模面中加入非线性，设计如下滑模面：

$s\left(k\right)=C\left(k\right)x\left(k\right)=\[\begin{array}{cc}{C}_m& I_m\end{array}\]\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(k\right)\\ x_2\left(k\right)\end{array}\right]=\[\begin{array}{cc}F-\mathrm{\ψ}\left(y\right(k),r)A_{12}^T& I_m\end{array}\]\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(k\right)\\ x_2\left(k\right)\end{array}\right]---\left(4\right)$

其中，ψ(y(k)，r)＝diag{ψ(y，r)₁，...，ψ(y，r)_m}，ψ(y(k)，r)_i＝α_ie^|y(k-1)-r|表示非线性项，r是一个预先给定的参考信号，α_i为一调节参数，用于决定最终闭环系统的阻尼比，从滑模面的形式可知，切换函数中非线性部分的存在，有助于增加对控制输入的有效值，从而获得良好的控制效果，在系统的输出值到达预先给定值的过程中，非线性函数的值逐渐变化，当输出值y(k)达到预先设定值r时，非线性ψ(y(k)，r)将逐渐到达设定值，闭环系统的阻尼比也将会被改变，满足上述条件的函数都可以作为非线性函数，因此该非线性切换函数具有一般性，系数F下面的不等式(5)(6)(7)确定

$\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{\Λ}}_{11}& A_{11}X-A_{12}J+{\mathrm{\Ω}}_{AA}& A_{d11}X-A_{d12}J& {\mathrm{\Ω}}_{AH}& 0& 0\\ *& {\mathrm{\Λ}}_{22}& A_{d1}X-A_{d12}J+L/{\mathrm{\τ}}_M& {(H_{1}X-H_{2}J)}^T+{\mathrm{\Ω}}_{AH}& {\mathrm{XA}}_{12}& 0\\ *& *& -N-L/{\mathrm{\τ}}_M& {(H_{3}X-H_{4}J)}^T& 0& {\mathrm{XA}}_{12}\\ *& *& *& -\mathrm{\β}I+{\mathrm{\Ω}}_{HH}& 0& 0\\ *& *& *& *& -{\mathrm{\γ}}_{1}I& 0\\ *& *& *& *& *& -{\mathrm{\γ}}_{2}I\end{array}\right]---\left(5\right)$

β，γ_i＞0，(i＝1，2)(6)

其中，N，L是正定矩阵，Λ₁₁＝(T-2)X+τ_ML+Ω_AA，

${\mathrm{\Λ}}_{22}={\mathrm{XA}}_{11}^T-J^T{A}_{12}^T+A_{11}X-A_{12}J+({\mathrm{\τ}}_M-{\mathrm{\τ}}_m+1)N-L/{\mathrm{\τ}}_M+{\mathrm{\Ω}}_{AA},$

${\mathrm{\Ω}}_{AA}={\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\α}}^2{A}_{12}{A}_{12}^T+{\mathrm{\γ}}_2{\mathrm{\α}}^2{A}_{d12}{A}_{d12}^T+{\mathrm{\βE}}_{\mathrm{\Δ}}{E}_{\mathrm{\Δ}}^T,{\mathrm{\Ω}}_{AH}={\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\α}}^2{A}_{12}{H}_2^T+{\mathrm{\γ}}_2{\mathrm{\α}}^2{A}_{d12}{H}_4^T,$

${\mathrm{\Ω}}_{HH}={\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\α}}^2{H}_2{H}_2^T+{\mathrm{\γ}}_2{\mathrm{\α}}^2{H}_4{H}_4^T.$ 解出J，X后，可得到F＝HX^-1；

步骤4)根据步骤3)中设计的滑模面，设计控制律；

步骤4.1)由滑动模态的特点，令δs(k)＝0，利用等效控制的思想求解出使得系统状态量维持在滑模面上的等效控制律如下：

u_x＝-(C(k+1)B)^-1{[C(k+1)A+(C(k+1)-C(k))/T]×x(k)+C(k+1)A_dx(k-d)}(7)

步骤4.2)还需要设计不连续切换控制，迫使系统状态量向滑模面上运动，由于切换控制律的设计需要一切标称系统参数以外的范数上界信息。根据假设可知，参数摄动以及输入不确定性均有已知上界，而扰动的上界是未知的，因此，根据自适应估计的方法，定义两个自适应变量和用以动态逼近η₁、η₂和η₃，且 和分别为对应估计偏差，取自适应律如下：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{\widehat{\mathrm{\η}}}_1\left(k\right)=-{\mathrm{\θ}}_1{\widehat{\mathrm{\η}}}_1\left(k\right)+{\mathrm{\ξ}}_1\left|\right|s\left|\right|\left|\right|c(k+1)\left|\right|\\ \mathrm{\δ}{\widehat{\mathrm{\η}}}_2\left(k\right)=-{\mathrm{\θ}}_2{\widehat{\mathrm{\η}}}_2\left(k\right)+{\mathrm{\ξ}}_2\left|\right|s\left|\right|\left|\right|c(k+1)\left|\right|\left|\right|x\left(k\right)\left|\right|\\ \mathrm{\δ}{\widehat{\mathrm{\η}}}_3\left(k\right)=-{\mathrm{\θ}}_3{\widehat{\mathrm{\η}}}_3\left(k\right)+{\mathrm{\ξ}}_3\left|\right|s\left|\right|\left|\right|c(k+1)\left|\right|\left|\right|x(k-d)\left|\right|\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，θ_i，ε_i(i＝1，2，3)是待取定的系数；

步骤4.3)根据步骤4.2)中不确定项和扰动的估计值，设计如下不连续切换控制律：

$\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{\Φ}}=-{\left(C\right(k+1\left)B\right)}^{-1}(\mathrm{\ϵ}+{\widehat{\mathrm{\η}}}_1|\left|C\right(k+1)\left|\right|+{\widehat{\mathrm{\η}}}_2\left|\right|C(k+1)\left|\right|\left|\right|x\left(k\right)\left|\right|\\ +{\widehat{\mathrm{\η}}}_3\left|\right|C(k+1)\left|\right|\left|\right|x(k-d)\left|\right|)\mathrm{sgn}\left(s\right)\end{array}---\left(9\right)$

其中，ε是一个很小的正常数；

步骤5)综合步骤4.1)和步骤4.3)，得出完整的控制律：

$\begin{array}{c}u=-{\left(C\right(k+1\left)B\right)}^{-1}\{\[C(k+1)A+\left(C\right(k+1)-C(k\left)\right)/T\]\×x\left(k\right)+C(k+1)A_{d}x(k-d)+\\ (\mathrm{\ϵ}+{\widehat{\mathrm{\η}}}_1|\left|C\right(k+1\left)\right||+{\widehat{\mathrm{\η}}}_2|\left|C\right(k+1\left)\right|\left|\right|\left|x\right(k\left)\right||+{\widehat{\mathrm{\η}}}_3|\left|C\right(k+1\left)\right|\left|\right|\left|x\right(k-d\left)\right|\left|\right)\mathrm{sgn}\left(s\right)\}\end{array}---\left(10\right)$

步骤6)根据系统状态，选择合适的参数，完成对其的自适应滑模控制。

具有如下优点：

(1)通过构造特殊的非线性滑模面，有助于增加对控制输入的有效值，从而获得良好的控制效果，使得控制系统具有更好的鲁棒性；

(2)利用线性矩阵不等式给出保证系统渐进稳定的充分条件，充分考虑到过程控制在实际运行过程中可能存在的不确定性和时滞现象，使得控制器的设计具有更好的实用性；

(3)引入自适应边界估计的方法估计出输入不确定性和扰动的大小，滑模控制律不断地改变参数，使得系统保守性更小，控制效果更佳。

本发明所用方法作为一种基于Delta算子的液位控制系统的自适应滑模控制方法，具有一定的实际应用价值，易于实现，容错能力强，能够有效提高液位控制系统的安全性。该方法可操作性强，应用方便、可靠。

附图说明

图1是本发明方法自适应滑模控制所基于的硬件结构示意图；

图2是本发明的方法的流程图；

图3是三容水箱的结构示意图；

图4是状态量响应曲线；

图5是控制输入响应曲线；

图6是MATLAB工具搭建的仿真模型。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做更进一步的解释。

如图1所示，一种基于Delta算子的液位控制系统的自适应滑模控制方法基于入选装置实现：作为上位机的计算机1，计算机中将会实现自适应滑模算法2，并发出控制信号3；数据采集卡5，采集电压信号，并传递给计算机；三容水箱7，水箱底部装有液压传感器6，输水管道装有比例阀4，阀门比例由计算机进行控制。

如图2所示，一种基于Delta算子的液位控制系统的自适应滑模控制方法，其特征在于：考虑过程控制系统中存在时变时滞和建模的不确定性，结合自适应控制，提出一种自适应滑模控制方法，使得控制系统在发生执行器有输入扰动的情况下能够稳定运行，根据所获取的模型参数，设计一种特殊的非线性滑模面，求解出系统的滑动模态，通过求解线性矩阵不等式使得系统滑动模态渐进稳定，进而结合自适应边界估计和等效控制设计出滑模控制律，最终构成控制器，包括如下具体步骤：

步骤1)获取系统数学模型：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ}\stackrel{\‾}{x}\left(k\right)=(\stackrel{\‾}{A}+\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A})\stackrel{\‾}{x}\left(k\right)+({\stackrel{\‾}{A}}_d+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\‾}{A}}_d)\stackrel{\‾}{x}(k-{\mathrm{\τ}}_k)+\stackrel{\‾}{B}\left(u\right(k)+\mathrm{\φ}(k\left)\right)\\ y\left(k\right)=\stackrel{\‾}{C}x\left(k\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，为系统状态变量，u(k)为控制输入，y(k)为可测输出，τ_k是不确定时滞项，满足0≤τ_m≤τ_k≤τ_M，τ_m，τ_M都是正数， 都是常值矩阵，可控，且列满秩，为系统的建模不精确性以及参数摄动，φ(k)∈R^m为系统输入扰动；

步骤2)对系统(1)进行变换，存在非奇异变换：

将系统变为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ}x\left(k\right)=(A+\mathrm{\Δ}A)x\left(k\right)+(A_d+{\mathrm{\ΔA}}_d)x(k-{\mathrm{\τ}}_k)+B\left(u\right(k)+\mathrm{\φ}(k\left)\right)\\ y\left(k\right)=Cx\left(k\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中， $x\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(k\right)\\ x_2\left(k\right)\end{array}\right],$

Φ(k)＝ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ_k)+Bφ(k)，满足||Φ(k)||＜η₁+η₂||x(k)||+η₃||x(k-τ_k)||，η₁，η₂，η₃为待定的正常数；

步骤3)根据滑模控制器的设计方法，首先设计滑模面，为了提高复杂系统的运动品质，在传统滑模面中加入非线性，设计如下滑模面：

$s\left(k\right)=C\left(k\right)x\left(k\right)=\[\begin{array}{cc}{C}_m& I_m\end{array}\]\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(k\right)\\ x_2\left(k\right)\end{array}\right]=\[\begin{array}{cc}F-\mathrm{\ψ}\left(y\right(k),r)A_{12}^T& I_m\end{array}\]\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(k\right)\\ x_2\left(k\right)\end{array}\right]---\left(4\right)$

其中，ψ(y(k)，r)＝diag{ψ(y，r)₁，...，ψ(y，r)_m}，ψ(y(k)，r)_i＝α_ie^|y(k-1)-r|表示非线性项，r是一个预先给定的参考信号，α_i为一调节参数，用于决定最终闭环系统的阻尼比，从滑模面的形式可知，切换函数中非线性部分的存在，有助于增加对控制输入的有效值，从而获得良好的控制效果，在系统的输出值到达预先给定值的过程中，非线性函数的值逐渐变化，当输出值y(k)达到预先设定值r时，非线性ψ(y(k)，r)将逐渐到达设定值，闭环系统的阻尼比也将会被改变，满足上述条件的函数都可以作为非线性函数，因此该非线性切换函数具有一般性，系数F下面的不等式(5)(6)(7)确定

$\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{\Λ}}_{11}& A_{11}X-A_{12}J+{\mathrm{\Ω}}_{AA}& A_{d11}X-A_{d12}J& {\mathrm{\Ω}}_{AH}& 0& 0\\ *& {\mathrm{\Λ}}_{22}& A_{d1}X-A_{d12}J+L/{\mathrm{\τ}}_M& {(H_{1}X-H_{2}J)}^T+{\mathrm{\Ω}}_{AH}& {\mathrm{XA}}_{12}& 0\\ *& *& -N-L/{\mathrm{\τ}}_M& {(H_{3}X-H_{4}J)}^T& 0& {\mathrm{XA}}_{12}\\ *& *& *& -\mathrm{\β}I+{\mathrm{\Ω}}_{HH}& 0& 0\\ *& *& *& *& -{\mathrm{\γ}}_{1}I& 0\\ *& *& *& *& *& -{\mathrm{\γ}}_{2}I\end{array}\right]---\left(5\right)$

β，γ_i＞0，(i＝1，2)(6)

其中，N，L是正定矩阵，Λ₁₁＝(T-2)X+τ_ML+Ω_AA，

${\mathrm{\Λ}}_{22}=X{4}_{11}^T-J^T{A}_{12}^T+A_{11}X-A_{12}J+({\mathrm{\τ}}_M-{\mathrm{\τ}}_m+1)N-L/{\mathrm{\τ}}_M+{\mathrm{\Ω}}_{AA},$

${\mathrm{\Ω}}_{AA}={\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\α}}^2{A}_{12}{A}_{12}^T+{\mathrm{\γ}}_2{\mathrm{\α}}^2{A}_{d12}{A}_{d12}^T+{\mathrm{\βE}}_{\mathrm{\Δ}}{E}_{\mathrm{\Δ}}^T,{\mathrm{\Ω}}_{AH}={\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\α}}^2{A}_{12}{H}_2^T+{\mathrm{\γ}}_2{\mathrm{\α}}^2{A}_{d12}{H}_4^T,$

${\mathrm{\Ω}}_{HH}={\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\α}}^2{H}_2{H}_2^T+{\mathrm{\γ}}_2{\mathrm{\α}}^2{H}_4{H}_4^T.$ 解出J，X后，可得到F＝JX^-1；

步骤4)根据步骤3)中设计的滑模面，设计控制律；

步骤4.1)由滑动模态的特点，令δs(k)＝0，利用等效控制的思想求解出使得系统状态量维持在滑模面上的等效控制律如下：

u_x＝-(C(k+1)B)^-1{[C(k+1)A+(C(k+1)-C(k))/T]×x(k)+C(k+1)A_dx(k-d)}(7)

步骤4.2)还需要设计不连续切换控制，迫使系统状态量向滑模面上运动，由于切换控制律的设计需要一切标称系统参数以外的范数上界信息。根据假设可知，参数摄动以及输入不确定性均有已知上界，而扰动的上界是未知的，因此，根据自适应估计的方法，定义两个自适应变量和用以动态逼近η₁、η₂和η₃，且 和分别为对应估计偏差，取自适应律如下：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{\widehat{\mathrm{\η}}}_1\left(k\right)=-{\mathrm{\θ}}_1{\widehat{\mathrm{\η}}}_1\left(k\right)+{\mathrm{\ξ}}_1\left|\right|s\left|\right|\left|\right|c(k+1)\left|\right|\\ \mathrm{\δ}{\widehat{\mathrm{\η}}}_2\left(k\right)=-{\mathrm{\θ}}_2{\widehat{\mathrm{\η}}}_2\left(k\right)+{\mathrm{\ξ}}_2\left|\right|s\left|\right|\left|\right|c(k+1)\left|\right|\left|\right|x\left(k\right)\left|\right|\\ \mathrm{\δ}{\widehat{\mathrm{\η}}}_3\left(k\right)=-{\mathrm{\θ}}_3{\widehat{\mathrm{\η}}}_3\left(k\right)+{\mathrm{\ξ}}_3\left|\right|s\left|\right|\left|\right|c(k+1)\left|\right|\left|\right|x(k-d)\left|\right|\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，θ_i，ε_i(i＝1，2，3)是待取定的系数；

步骤4.3)根据步骤4.2)中不确定项和扰动的估计值，设计如下不连续切换控制律：

$\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{\Φ}}=-{\left(C\right(k+1\left)B\right)}^{-1}(\mathrm{\ϵ}+{\widehat{\mathrm{\η}}}_1|\left|C\right(k+1)\left|\right|+{\widehat{\mathrm{\η}}}_2\left|\right|C(k+1)\left|\right|\left|\right|x\left(k\right)\left|\right|\\ +{\widehat{\mathrm{\η}}}_3\left|\right|C(k+1)\left|\right|\left|\right|x(k-d)\left|\right|)\mathrm{sgn}\left(s\right)\end{array}---\left(9\right)$

其中，ε是一个很小的正常数；

步骤5)综合步骤4.1)和步骤4.3)，得出完整的控制律：

$\begin{array}{c}u=-{\left(C\right(k+1\left)B\right)}^{-1}\{\[C(k+1)A+\left(C\right(k+1)-C(k\left)\right)/T\]\×x\left(k\right)+C(k+1)A_{d}x(k-d)+\\ (\mathrm{\ϵ}+{\widehat{\mathrm{\η}}}_1|\left|C\right(k+1\left)\right||+{\widehat{\mathrm{\η}}}_2|\left|C\right(k+1\left)\right|\left|\right|\left|x\right(k\left)\right||+{\widehat{\mathrm{\η}}}_3|\left|C\right(k+1\left)\right|\left|\right|\left|x\right(k-d\left)\right|\left|\right)\mathrm{sgn}\left(s\right)\}\end{array}---\left(10\right)$

步骤6)根据系统状态，选择合适的参数，完成对其的自适应滑模控制。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围，

下面以实际案例仿真说明实施方案的有效性。

采用浙江天煌科技实业有限公司生产的THJS-1三容水箱仿真平台作为具体的算法实验仿真对象。图3是其基本结构示意图。天煌THJS-1三容水箱实验装置由左、中、右三个水箱、储水箱及相应管路(含管路上手动阀)组成，每个水箱都装有液位传感器；三个水箱由两个泵供水，两套动力系统管道支路上都装有压力表来指示和测量管道内压力变化。管路上任一个手动阀都可作为干扰源，用以产生干扰信号；两套动力系统，其中任意一套可作为调节通道，另一套作为干扰通道，也可产生阶跃干扰信号，整个被控对象组成了一个复杂的过程控制系统。

考虑到系统参数摄动以及外界干扰，结合信号传输可能产生的时滞，设定高速采样周期T＝0.01秒，应用delta算子系统模型，得到三容水箱单输入单输出的状态空间模型如下：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ}\stackrel{\‾}{h}\left(k\right)=(\stackrel{\‾}{A}+\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A})\stackrel{\‾}{h}\left(k\right)+({\stackrel{\‾}{A}}_d+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\‾}{A}}_d)\stackrel{\‾}{h}(k-d)\\ +\stackrel{\‾}{B}\left(u\right(k)+\mathrm{\φ}(k\left)\right)\\ \stackrel{\‾}{y}\left(k\right)=\stackrel{\‾}{C}\stackrel{\‾}{h}\left(k\right)\end{array}\right.$

其中， $\stackrel{\‾}{h}=\[\begin{array}{ccc}{h}_3& h_2& h_1\end{array}\],$ h_i(i＝1，2，3)代表着水箱的高度，并取如下的仿真参数：

$\stackrel{\‾}{A}=\left[\begin{array}{ccc}-0.0788& 0.0746& 0\\ 0.0746& -0.149& 0.0373\\ 0& 0.1492& -0.0746\end{array}\right],$ ${\stackrel{\‾}{A}}_d=\left[\begin{array}{ccc}0.0030& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],$ $\stackrel{\‾}{B}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0.5\end{array}\right],$

$\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0.01sin\left(0.1\mathrm{\π}k\right)\\ 0& 0& 0.03sin\left(0.1\mathrm{\π}k\right)\\ 0& 0& 0\end{array}\right],$ $\mathrm{\Δ}{\stackrel{\‾}{A}}_d=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0.02sin\left(0.1\mathrm{\π}k\right)& 0& 0\\ 0& 0& 0.04sin\left(0.1\mathrm{\π}k\right)\end{array}\right]$

φ(k)＝0.01sin(0.1πk)，并设时滞τ_M＝0.36，τ_m＝0秒。

根据步骤2)可以得到非奇异矩阵为：

$H=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$

进而求得各个矩阵系数为：

$A_{11}=\left[\begin{array}{cc}-0.0788& 0.0746\\ 0.0746& -0.149\end{array}\right],$ $A_{12}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.0373\end{array}\right],$ A₂₁＝[00.1492]，A₂₂＝-0.0746，

B＝[001]^T，并设C＝[100]，可以得到新的系统模型(3)。

根据步骤3)到5)，取各参数r＝0，α＝0.1，θ_i＝1，ε_i＝0.1(i＝1，2，3)，E_Δ为适当维的单位矩阵，取初始时刻系统的状态量矢量为(此时模型中的变量转化成x(k))：

x₀＝[x₁x₂x₃]＝[111]

根据本发明方法，对三容水箱进行自适应滑模控制，图4-图5为自适应滑模控制结果。图4是状态的响应曲线，图5是控制输入的曲线。

由图4可知，当系统发生执行器故障后，在本发明的滑模控制下，水箱液位在较短的时间内趋于稳定，且响应速度快，超调小。由图5的控制曲线可知，即使系统存在时滞和不确定性，自适应滑模控制律变化幅度很小，即该自适应滑模控制律能够很好地保证水箱的控制精度和安全性。

Claims (1)

1.一种基于Delta算子的液位控制系统的自适应滑模控制方法，其特征在于：考虑液位控制系统中存在时变时滞和建模的不确定性，结合自适应控制，提出一种自适应滑模控制方法，使得控制系统在发生执行器有输入扰动的情况下能够稳定运行，根据所获取的模型参数，设计一种特殊的非线性滑模面，求解出系统的滑动模态，通过求解线性矩阵不等式使得系统滑动模态渐进稳定，进而结合自适应边界估计和等效控制设计出滑模控制律，最终构成控制器，包括如下具体步骤：

步骤1)获取系统数学模型：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ}\stackrel{\‾}{x}\left(k\right)=\left(\stackrel{\‾}{A}+\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\right)\stackrel{\‾}{x}\left(k\right)+\left({\stackrel{\‾}{A}}_d+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\‾}{A}}_d\right)\stackrel{\‾}{x}\left(k-{\mathrm{\τ}}_k\right)+\stackrel{\‾}{B}\left(u\left(k\right)+\mathrm{\φ}\left(k\right)\right)\\ y\left(k\right)=\stackrel{\‾}{C}x\left(k\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，为系统状态变量，u(k)为控制输入，y(k)为可测输出，τ_k是不确定时滞项，满足0≤τ_m≤τ_k≤τ_M，τ_m，τ_M都是正数，都是常值矩阵，可控，且列满秩，为系统的建模不精确性以及参数摄动，φ(k)∈R^m为系统输入扰动；

步骤2)对系统(1)进行变换，存在非奇异变换：

将系统变为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ}x\left(k\right)=\left(A+\mathrm{\Δ}A\right)x\left(k\right)+\left(A_d+{\mathrm{\ΔA}}_d\right)x\left(k-{\mathrm{\τ}}_k\right)+B\left(u\left(k\right)+\mathrm{\φ}\left(k\right)\right)\\ y\left(k\right)=Cx\left(k\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，

Φ(k)＝ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ_k)+Bφ(k)，满足||Φ(k)||＜η₁+η₂||x(k)||+η₃||x(k-τ_k)||，η₁，η₂，η₃为待定的正常数；

步骤3)根据滑模控制器的设计方法，首先设计滑模面，为了提高复杂系统的运动品质，在传统滑模面中加入非线性，设计如下滑模面：

$s\left(k\right)=C\left(k\right)x\left(k\right)=\left[\begin{array}{cc}{C}_m& I_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(k\right)\\ x_2\left(k\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}F-\mathrm{\ψ}\left(y\right(k),r)A_{12}^T& I_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(k\right)\\ x_2\left(k\right)\end{array}\right]---\left(4\right)$

其中，ψ(y(k)，r)＝diag{ψ(y，r)₁，...，ψ(y，r)_m}，ψ(y(k)，r)_i＝α_ie^|y(k-1)-r|表示非线性项，r是一个预先给定的参考信号，α_i为一调节参数，用于决定最终闭环系统的阻尼比，从滑模面的形式可知，切换函数中非线性部分的存在，有助于增加对控制输入的有效值，从而获得良好的控制效果，在系统的输出值到达预先给定值的过程中，非线性函数的值逐渐变化，当输出值y(k)达到预先设定值r时，非线性ψ(y(k)，r)将逐渐到达设定值，闭环系统的阻尼比也将会被改变，满足上述条件的函数都可以作为非线性函数，因此该非线性切换函数具有一般性，系数F下面的不等式(5)(6)(7)确定

$\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{\Λ}}_{11}& A_{11}X-A_{12}J+{\mathrm{\Ω}}_{AA}& A_{d11}X-A_{d12}J& {\mathrm{\Ω}}_{AH}& 0& 0\\ *& {\mathrm{\Λ}}_{22}& A_{d1}X-A_{d12}J+L/{\mathrm{\τ}}_M& {(H_{1}X-H_{2}J)}^T+{\mathrm{\Ω}}_{AH}& {\mathrm{XA}}_{12}& 0\\ *& *& -N-L/{\mathrm{\τ}}_M& {(H_{3}X-H_{4}J)}^T& 0& {\mathrm{XA}}_{12}\\ *& *& *& -\mathrm{\β}I+{\mathrm{\Ω}}_{HH}& 0& 0\\ *& *& *& *& -{\mathrm{\γ}}_{1}I& 0\\ *& *& *& *& *& -{\mathrm{\γ}}_{2}I\end{array}\right]---\left(5\right)$

β，γ_i＞0，(i＝1，2)(6)

其中，N，L是正定矩阵，Λ₁₁＝(T-2)X+τ_ML+Ω_AA，

${\mathrm{\Λ}}_{22}={\mathrm{XA}}_{11}^T-J^T{A}_{12}^T+A_{11}X-A_{12}J+({\mathrm{\τ}}_M-{\mathrm{\τ}}_m+1)N-L/{\mathrm{\τ}}_M+{\mathrm{\Ω}}_{AA},$

${\mathrm{\Ω}}_{AA}={\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\α}}^2{A}_{12}{A}_{12}^T+{\mathrm{\γ}}_2{\mathrm{\α}}^2{A}_{d12}{A}_{d12}^T+{\mathrm{\βE}}_{\mathrm{\Δ}}{E}_{\mathrm{\Δ}}^T,{\mathrm{\Ω}}_{AH}={\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\α}}^2{A}_{12}{H}_2^T+{\mathrm{\γ}}_2{\mathrm{\α}}^2{A}_{d12}{H}_4^T,$

${\mathrm{\Ω}}_{HH}={\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\α}}^2{H}_2{H}_2^T+{\mathrm{\γ}}_2{\mathrm{\α}}^2{H}_4{H}_4^T.$ 解出J，X后，可得到F＝JX^-1；

步骤4)根据步骤3)中设计的滑模面，设计控制律；

步骤4.1)由滑动模态的特点，令δs(k)＝0，利用等效控制的思想求解出使得系统状态量维持在滑模面上的等效控制律如下：

u_x＝-(C(k+1)B)^-1{[C(k+1)A+(C(k+1)-C(k))/T]×x(k)+C(k+1)A_dx(k-d))(7)

步骤4.2)还需要设计不连续切换控制，迫使系统状态量向滑模面上运动，由于切换控制律的设计需要一切标称系统参数以外的范数上界信息。根据假设可知，参数摄动以及输入不确定性均有已知上界，而扰动的上界是未知的，因此，根据自适应估计的方法，定义两个自适应变量和用以动态逼近η₁、η₂和η₃，且 和分别为对应估计偏差，取自适应律如下：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{\widehat{\mathrm{\η}}}_1\left(k\right)=-{\mathrm{\θ}}_1{\widehat{\mathrm{\η}}}_1\left(k\right)+{\mathrm{\ξ}}_1\left|\right|s\left|\right|\left|\right|c\left(k+1\right)\left|\right|\\ \mathrm{\δ}{\widehat{\mathrm{\η}}}_2\left(k\right)=-{\mathrm{\θ}}_2{\widehat{\mathrm{\η}}}_2\left(k\right)+{\mathrm{\ξ}}_2\left|\right|s\left|\right|\left|\right|c\left(k+1\right)\left|\right|\left|\right|x\left(k\right)\left|\right|\\ \mathrm{\δ}{\widehat{\mathrm{\η}}}_3\left(k\right)=-{\mathrm{\θ}}_3{\widehat{\mathrm{\η}}}_3\left(k\right)+{\mathrm{\ξ}}_3\left|\right|s\left|\right|\left|\right|c\left(k+1\right)\left|\right|\left|\right|x\left(k-d\right)\left|\right|\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，θ_i，ε_i(i＝1，2，3)是待取定的系数；

步骤4.3)根据步骤4.2)中不确定项和扰动的估计值，设计如下不连续切换控制律：

$\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{\Φ}}=-{\left(C\right(k+1\left)B\right)}^{-1}(\mathrm{\ϵ}+{\widehat{\mathrm{\η}}}_1|\left|C\right(k+1)\left|\right|+{\widehat{\mathrm{\η}}}_2\left|\right|C(k+1)\left|\right|\left|\right|x\left(k\right)\left|\right|\\ +{\widehat{\mathrm{\η}}}_3\left|\right|C\left(k+1\right)\left|\right|\left|\right|x\left(k-d\right)\left|\right|\left)\mathrm{sgn}\right(s)\end{array}---\left(9\right)$

其中，ε是一个很小的正常数；

步骤5)综合步骤4.1)和步骤4.3)，得出完整的控制律：

$\begin{array}{c}u=-{\left(C\right(k+1\left)B\right)}^{-1}\{\[C(k+1)A+\left(C\right(k+1)-C(k\left)\right)/T\]\×x\left(k\right)+C(k+1)A_{d}x(k-d)+\\ (\mathrm{\ϵ}+{\widehat{\mathrm{\η}}}_1|\left|C\right(k+1\left)\right||+{\widehat{\mathrm{\η}}}_2|\left|C\right(k+1\left)\right|\left|\right|\left|x\right(k\left)\right||+{\widehat{\mathrm{\η}}}_3|\left|C\right(k+1\left)\right|\left|\right|\left|x\right(k-d\left)\right|\left|\right)\mathrm{sgn}\left(s\right)\}\end{array}---\left(10\right)$

步骤6)根据系统状态，选择合适的参数，完成对其的自适应滑模控制。