CN113534777B - 一种针对二级化学反应器变时滞系统的故障估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种针对二级化学反应器变时滞系统的故障估计方法，包括：构造二级化学反应器数学模型；考虑变时滞、干扰、非线性和故障情况，给出系统delta算子状态方程的一般表达式；设计比例—积分观测器，给出误差动态方程以及达到故障估计目标需要满足的性能指标；给出系统全局一致指数稳定的充分条件；消除系统指数稳定的充分条件中的非线性项，将充分条件转化为线性矩阵不等式，得出观测器中的参数，实现故障估计。本发明中设计的故障估计方法，对未知输入具有鲁棒性，对故障也具有较高的敏感性，能够实现对二级化学反应器系统的故障估计。

Description

一种针对二级化学反应器变时滞系统的故障估计方法

技术领域

本发明涉及故障估计技术领域，具体涉及一种针对二级化学反应器变时滞系统的故障估计方法。

背景技术

随着社会生产力需求的增加，现代控制系统的任务变得越来越困难，系统的安全性和可靠性要求也越来越高，因此近年来故障诊断技术引起了广泛的关注。故障估计是故障诊断中最重要的部分之一。在过去的几十年中，由于故障定量分析的技术难点和研究方法的缺陷，使得对故障估计的研究相对较少。近年来，一些学者开始意识到这个问题，开始对其进行研究，并且得出了不少令人满意的结论。例如有些学者研究了一类具有噪音和外部干扰的非线性系统的故障估计和故障容错控制问题。在已有的文献中，有的对于具有过程故障，传感器故障和未知输入的非线性系统，考虑了故障估计问题。有的设计了用于同时估计多线性准参数变化系统的状态和执行器故障的广义学习观测器(GLO)。但是，对于时变时滞系统的故障估计技术的研究还不够成熟。

不管是在工程、物理学、生物学或者经济学中，大部分的系统可以将其作为时滞系统进行建模从而进行分析和研究。因此，时滞系统的研究具有非常重要的理论意义和实际应用价值，并且受到了学者们的广泛关注，近年来取得了一些良好的成果。有的对于具有可变时滞和Lipschitz连续激活功能的一般类别的递归神经网络，讨论了平衡点的存在性和唯一性及其全局渐进稳定性。有的研究了具有间隔时间变化延迟的静态神经网络的异步稳定性。

作为描述连续和离散系统的统一方法，delta算子方法实现了系统从离散到连续的平滑过渡。目前，delta算子方法在许多领域都很成功，例如自适应控制、预测控制、鲁棒控制、容错控制、故障检测和分散控制，并取得了一系列新进展和新成果。例如有的文献中讨论了基于delta算子的不确定时滞系统的L₂-L_∞滤波器设计。在有的文献中提出了基于delta算子方法的线性转向(SbW)系统的新故障估计和故障容错模型预测控制(MPC)方案。据作者所了解，基于delta算子的变时滞系统的故障估计技术还没有被深入研究过。

申请人与2021年5月20日申报的一件发明专利“一种基于delta算子的二级化学反应器故障估计方法”，其对应的二级化学反应器主要的区别在于后者研究的是定时滞系统，本申请研究的是变时滞系统。定时滞系统的时滞时间为一个定值，而在实际工程中，由于温度的变化、气压的变化等各种因素，时滞时间也将发生变化，这将会导致对控制系统的控制性能变的极为不利。而对于变时滞系统，时滞时间是随着时间的变化而一直变化的，与定时滞相比，更加的灵活。因此相对于定时滞系统，变时滞系统更加贴近实际系统，应用广泛。

发明内容

发明目的：针对现有技术中存在的问题，本发明提供了一种针对二级化学反应器变时滞系统的故障估计方法，能在线准确的实现故障估计，使误差系统指数稳定，可以实现二级化学反应器系统中的故障估计。

技术方案：本发明提供了一种针对二级化学反应器变时滞系统的故障估计方法，包括如下步骤：

步骤1：根据质量守恒原理构造二级化学反应器数学模型，所述数学模型引入变时滞，其具体为：

其中，第一反应器和第二反应器的组分产物流C₁和C₂是可变的，需要加以控制；C_2f是第二反应器的进料部件；R₁和R₂是循环流量，α₁和α₂是反应常数；F₂为进料速率，V₁和V₂分别为第一反应器和第二反应器的体积，θ₁和θ₂分别为反应器停留时间，F_p1是第一反应器的出料速率，F_p2是第二反应器的出料速率，τ(k)表示时变时滞。

步骤2：考虑变时滞、干扰、非线性和故障情况，给出系统delta算子状态方程的一般表达式；

步骤3：设计比例-积分观测器(PIO)，给出误差动态方程，以及达到故障估计目标需要满足的性能指标，所述比例-积分观测器(PIO)为：

delta算子误差系统为：

达到故障估计目标需要满足的性能指标为：对于||v(t)||₂∈[0，+∞)建立观测器使其满足：

(1)当v(t)＝0时，delta算子误差系统(10)是指数稳定的；

(2)当v(t)≠0时，H_∞性能指标应当满足

其中γ＞0；

其中，

表示状态x(t)的估计值，

为观测器输出，L是观测器的增益为设计对象，f_a(t)表示执行器故障，y(t)为系统输出，A，A_d，B，B_f，Bd，C为已知的具有适当维数的常数矩阵，Φ(t，x(t)，u(t))为具有Lipschitz常数θ的非线性向量函数；

分别表示增广状态和输入向量，

Γ为学习率，是对称正定矩阵，K₁和K₂分别是将被设计的比例和积分增益；，

步骤4：利用李亚普诺夫函数，给出系统指数稳定的充分条件；

步骤5：消除所述系统指数稳定的充分条件中的非线性项，将所述充分条件转化为线性矩阵不等式，得出比例-积分观测器中需要设计的参数，实现二级化学反应器的故障估计。

进一步地，所述步骤1中，因为

C₁(k)＝x₁(k)，C₂(k)＝x₂(k)且C_2f(k)＝u(k)，则系统模型可以写为：

其中，x₁(k)，x₂(k)是状态变量，x_2f为控制输入，若定义

u(k)＝x_2f(k)，则可得所述二级反应器系统模型的状态方程如下：

其中，

进一步地，所述步骤2中系统delta算子状态方程的一般表达式如下：

首先，考虑到两级化学反应器系统的执行器故障和扰动，系统的故障模型可以表示为：

其中，f_a(t)表示执行器故障，d(t)表示外部干扰，y(t)为系统输出，A，A_d，B，B_f，B_d，C为已知的具有适当维数的常数矩阵；Φ(t，x(t)，u(t))为具有Lipschitz常数θ的非线性向量函数，即：

Delta算子的定义如下：

其中，k表示采样时间，k≥0；给出以下假设，假设1：Delta算子非线性变时滞系统系统的故障模型是渐近稳定的；假设2：已知的具有适当维数的常数矩阵(A，C)为可观测的。

进一步地，所述步骤4中系统指数稳定的充分条件：

对于给定γ＞0，λ＞0，如果存在正定对称矩阵T、P和R满足：

其中，

则delta算子误差系统式指数稳定，且具有H_∞性能。

进一步地，所述步骤5中方便计算的线性矩阵不等式形式为：

对于给定的ε₁＞0，ε₂＞0，ε₃＞0，γ＞0，λ＞0，如果存在对称正定矩阵

P₁，P₂，R₁，R₂和矩阵M，N，Z，W满足：

其中，

η₆₆＝hΓ^-1I-γ²I

则delta算子误差系统指数稳定，且具有H_∞性能γ。

有益效果：

1、本发明提出了一种新颖的针对二级化学反应器变时滞系统的故障估计方法，采用了delta算子的方法实现了二级化学反应器系统的故障估计。delta算子方法是描述连续和离散系统的统一方法，可以实现从离散到连续的平滑过渡。

2、与现有的二级化学反应器故障估计结果相比，该系统的外部干扰，非线性和变时滞也在本发明中被考虑。同时，作为渐近稳定的一个特例，全局一致指数稳定的收敛速度可以被描述出来，并且收敛速度远快于渐近稳定的收敛速度。

附图说明

图1为本发明实施例具有延迟循环流的二级化学反应器示意图；

图2为本发明实施例外部干扰d(t)示意图；

图3为本发明实施例非线性函数Φ(t，x(t)，u(t))示意图；

图4为本发明实施例故障f₁(t)，f₁(t)的估计值

以及估计误差示意图；

图5为本发明实施例故障f₂(t)，f₂(t)的估计值

以及估计误差示意图；

图6为本发明实施例故障f₃(t)，f₃(t)的估计值

以及估计误差示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

本发明以具有延迟循环流的二级化学反应器为实施对象，针对该系统中出现故障，提出一种基于delta算子的和比例积分观测器(PIO)的二级化学反应器变时滞系统故障估计方法，该方法从理论上实现了对系统在线的进行故障估计。

包括如下步骤：

步骤1：根据质量守恒原理构造二级化学反应器数学模型：

循环反应器是工业中最常用的反应器。它不仅提高了总转化率，还降低了反应成本。附图1显示了一个具有延迟循环的二级化学反应器。假设两个反应器都是恒温连续搅拌槽式反应器。

我们假设反应温度保持恒定，只有来自第一反应器和第二反应器的组分产物流C₁和C₂是可变的，需要加以控制。C_2f是第二反应器的进料部件。R₁和R₂是循环流量，α₁和α₂是反应常数。F₂为进料速率，V₁和V₂分别为第一反应器和第二反应器的体积，θ₁和θ₂分别为第一反应器和第二反应器的停留时间，F_p1是第一反应器的出料速率，F_p2是第二反应器的出料速率，τ(t)为变时滞。图1所示二级化学反应器的质量平衡方程如下：

因为

C₁＝x₁(k)，C₂＝x₂(k)且C_2f(k)＝u(k)，则(1)式可以写为：

其中，x₁，x₂是状态变量，x_2f为控制输入，若定义

u(k)＝x_2f(k)，则可得所述二级反应器系统模型的状态方程如下：

式中，

取θ₁＝250，θ₂＝400，α₁＝0.0014，α₂＝0.0005，R₁＝16，R₂＝0.2，V₁＝160，V₂＝2，F₂＝1，τ＝1，可以得到系统模型(3)的系数矩阵，如下所示：

本发明的采样时间为T＝0.01。根据归一化技术，离散化上述矩阵得：

步骤2：考虑变时滞、干扰、非线性和故障情况，给出系统delta算子状态方程的一般表达式，具体内容如下：

在实际应用中，动态系统不可避免地会出现不确定性和模型失配，从而导致系统动态模型的不确定性。在这里，我们假设存在时变不确定性，并用一个预定义的非线性函数Φ(t，x(t)，u(t))来描述系统的不确定性和模型误差。考虑到两级化学反应器系统的执行器故障和扰动，系统的故障模型可以表示为：

其中，f_a(t)表示执行器故障，d(t)表示外部干扰，y(t)为系统输出，A，A_d，B，B_f，B_d，C为已知的具有适当维数的常数矩阵。Φ(t，x(t)，u(t))为具有Lipschitz常数θ的非线性向量函数，即：

Delta算子的定义如下：

为了实现本发明的目标，给出了以下假设：

假设1：Delta算子非线性时滞系统(4)是渐近稳定的；

假设2：(A，C)为可观测的。

步骤3：设计PIO，给出误差动态方程，以及达到故障估计目标需要达到的性能指标，具体过程如下：

首先，为了估计二级化学反应器系统中的执行器故障，设计如下形式的PIO：

其中，

表示状态x(t)的估计值，

为观测器输出，L是观测器的增益为设计对象。

其次，定义状态估计误差：

基于delta算子的执行器故障估计算法如下：

其中，Γ为学习率，是对称正定矩阵，K₁和K₂分别是将被设计的比例和积分增益；

定义故障估计误差为：

可得状态估计误差动态方程为：

其中，

故障估计误差动态方程为：

定义增广状态和输入向量如下：

则可得delta算子误差系统为：

其中，

然后，给出达到故障估计目标需要同时满足的性能指标，如下所示：

对于|v(t)||₂∈[0，+∞)建立观测器使其满足：

(1)当v(t)＝0时，系统(11)是指数稳定的；

(2)当υ(t)≠0时，H_∞性能指标应当满足

其中γ＞0。 (13)

为了本发明的目的，提供了以下引理：

引理1：给定对称矩阵

和具有适当维数的矩阵

则

对于χ^T(t)χ(t)≤I成立，当且仅当存在一个正数∈满足

引理2：设

为一个对称矩阵，S＜0等价于S₂₂＜0且

引理3：对于任意时间函数x(t)，y(t)，均存在：

δ(x(t)y(t))＝δ(x(t))y(t)+x(t)δ(y(t))+hδ(x(t))δ(y(t))

步骤4：利用李亚普诺夫函数，给出系统指数稳定的充分条件，具体过程如下：

为了估计式(9)中的执行器故障，我们利用李亚普诺夫函数给出充分条件来保证系统(14)在预先设计的H_∞性能指标下指数稳定。提出系统指数稳定的充分条件：

对于给定γ＞0，λ＞0，如果存在正定对称矩阵T，P，R满足：

其中，

则delta算子误差系统式(11)指数稳定，且具有H_∞性能γ。

证明.对于delta算子误差系统式(11)，我们构造了如下Lyapunov-krasovskii函数：

V(t)＝V₁(t)+V₂(t)+V₃(t)

其中：

其中：T＞0，P＞0，R＞0。

首先，当v(t)＝0，系统(11)可以写成如下形式：

根据引理3，我们可得Lyapunov-krasovskii函数的导数：

δV(t)＝δV₁(t)+δV₂(t)+δV₃(t)

其中：

将(5)式代入(15)式中，可得：

则可得：

即：

其中：

假设以下不等式成立

即：

δV(t)+λV(t)＜0 (19)

则有：

令k₁＝maxλ(T)，k₂＝maxλ(P)，k₃＝maxλ(R)，k₄＝minλ(T)，其中λ(T)表示矩阵T的所有特征值。

由于s∈[t₀-τ，t₀]且

则有：

即：

定义

且β＝λ，显然，α＞0，β＞0。根据定义1，可得系统(11)式全局一致指数稳定的。

当v(t)≠0，我们可得Lyapunov-krasovskii函数的导数：

δV(t)＝δV₁(t)+δV₂(t)+δV₃(t)

其中：

将(5)式代入(21)式中，可得：

则可得：

即：

其中：

考虑如下性能指标：

若要系统满足性能指标(13)，则必须满足下列条件：

即：

将(22)式代入不等式(25)，可得：

若要不等式(26)成立，则需满足：

利用Schur补引理和引理1，可得不等式(28)：

因为V(t₀)＝0且

因此J＜0，从而得到

最后证出系统指数稳定的充分条件。

步骤5：消除系统指数稳定的充分条件中的非线性项，将充分条件转化为方便计算的线性矩阵不等式，得出比例-积分观测器中需要设计的参数，实现二级化学反应器的故障估计，具体过程如下：

利用系统指数稳定的充分条件、引理1和引理2，可以用以下线性矩阵不等式求解观测器中需要设计的参数。

线性矩阵不等式：对于给定的ε₁＞0，ε₂＞0，ε₃＞0，γ＞0，λ＞0如果存在对称正定矩阵

P₂，R₁，R₂和矩阵M，N，Z，W满足：

其中：

η₆₆＝hΓ^-1I-γ²I

则式(11)是指数稳定的，且具有H_∞性能γ。

证明：首先根据系统指数稳定的充分条件的结果，我们定义：

将矩阵(12)代入(14)中，可得：

其中：

使用引理1和引理2处理式(30)中的非线性项，可以将矩阵П₁写为如下形式：

其中：

其中：

κ₁＝[LC 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

κ₂＝[0 K₁C 0 0 0 K₁C 0 0-K₁C 0 0]

κ₃＝[-hΓCLC 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

A₆₆＝hΓ^-1I-γ²I

令

N＝L^TM^T，

应用引理1和引理2，取χ＝I，可得不等式(29)，证明结束。

根据线性矩阵不等式，利用以下方法可以成功地求解观测器增益，从而实现故障估计。

求解观测器增益：

第一步：使用线性矩阵不等式计算M，N，Z，W。

第二步：观测器的参数K₁，K₂，

和L能分别从

N＝L^TM^T，

和中求得。

定义系统(6)中的其他矩阵为：

设非线性函数为

取ε₁＝1.5，ε₂＝2，ε₃＝1，γ＝1，h＝150，θ＝50，λ＝1，τ＝1，d＝2.5，学习率为Γ＝1，利用线性矩阵不等式可得：

P₂＝-5.6038e+08，

R₂＝2.8396e+08，M＝1.0e+07*[0.58853.0378]，

N＝-2.4071e+07，

Z＝-2.7905e+03，W＝-1.5685e+07.

然后，根据算法可得PIO(6)的系数矩阵：

K₁＝311.1462，K₂＝203.6589，

外部干扰设置为白噪声，如图2所示，非线性项函数如图3所示，常数故障f₁(t)、间接性故障f₂(t)、时变故障f₃(t)由下式给出：

f₁(t)、f₂(t)、f₃(t)的故障、故障估计值和故障估计误差，如图4、5、6所示，由仿真结果可知，无论故障是一个常数故障，间歇性故障，或时变故障，本发明均可以估计出高精度的故障。

从仿真结果中可以看出，针对二级化学反应器故障估计方法，本发明设计的故障估计观测器能够在线及时准确的估计出系统的故障，具有重要的实用参考价值。

上述实施方式只为说明本发明的技术构思及特点，其目的在于让熟悉此项技术的人能够了解本发明的内容并据以实施，并不能以此限制本发明的保护范围。凡根据本发明精神实质所做的等效变换或修饰，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种针对二级化学反应器变时滞系统的故障估计方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：根据质量守恒原理构造二级化学反应器数学模型，所述数学模型引入变时滞，其具体为：

其中，第一反应器和第二反应器的组分产物流C₁和C₂是可变的，需要加以控制；C_2f是第二反应器的进料部件；R₁和R₂是循环流量，α₁和α₂是反应常数；F₂为进料速率，V₁和V₂分别为第一反应器和第二反应器的体积，θ₁和θ₂分别为反应器停留时间，F_p1是第一反应器的出料速率，F_p2是第二反应器的出料速率，τ(k)表示时变时滞；

步骤2：考虑变时滞、干扰、非线性和故障情况，给出系统delta算子状态方程的一般表达式；

步骤3：设计比例-积分观测器(PIO)，给出误差动态方程，以及达到故障估计目标需要满足的性能指标，所述比例-积分观测器(PIO)为：

delta算子误差系统为：

达到故障估计目标需要满足的性能指标为：对于||v(t)||₂∈[0，+∞)建立观测器使其满足：

(1)当v(t)＝0时，delta算子误差系统(10)是指数稳定的；

(2)当v(t)≠0时，H_∞性能指标应当满足

其中γ＞0；

其中，

表示状态x(t)的估计值，

为观测器输出，L是观测器的增益为设计对象，f_a(t)表示执行器故障，y(t)为系统输出，A，A_d，B，B_f，B_d，C为已知的具有适当维数的常数矩阵，Φ(t，x(t)，u(t))为具有Lipschitz常数θ的非线性向量函数；

分别表示增广状态和输入向量，

Γ为学习率，是对称正定矩阵，K₁和K₂分别是将被设计的比例和积分增益；，

步骤4：利用李亚普诺夫函数，给出系统指数稳定的充分条件；

步骤5：消除所述系统指数稳定的充分条件中的非线性项，将所述充分条件转化为线性矩阵不等式，得出比例-积分观测器中需要设计的参数，实现二级化学反应器的故障估计。

2.根据权利要求1所述的针对二级化学反应器变时滞系统的故障估计方法，其特征在于，所述步骤1中，因为

C₁(k)＝x₁(k)，C₂(k)＝x₂(k)且C_2f(k)＝u(k)，则系统模型可以写为：

其中，x₁(k)，x₂(k)是状态变量，x_2f为控制输入，若定义

u(k)＝x_2f(k)，则可得所述二级反应器系统模型的状态方程如下：

其中，

3.根据权利要求1所述的针对二级化学反应器变时滞系统的故障估计方法，其特征在于，所述步骤2中系统delta算子状态方程的一般表达式如下：

首先，考虑到两级化学反应器系统的执行器故障和扰动，系统的故障模型可以表示为：

其中，f_a(t)表示执行器故障，d(t)表示外部干扰，y(t)为系统输出，A，A_d，B，B_f，B_d，C为已知的具有适当维数的常数矩阵；Φ(t，x(t)，u(t))为具有Lipschitz常数θ的非线性向量函数，即：

Delta算子的定义如下：

其中，k表示采样时间，k≥0；给出以下假设，假设1：Delta算子非线性变时滞系统系统的故障模型是渐近稳定的；假设2：已知的具有适当维数的常数矩阵(A，C)为可观测的。

4.根据权利要求1所述的针对二级化学反应器变时滞系统的故障估计方法，其特征在于，所述步骤4中系统指数稳定的充分条件：

对于给定γ＞0，λ＞0，如果存在正定对称矩阵T、P和R满足：

其中，

则delta算子误差系统指数稳定，且具有H_∞性能。

5.根据权利要求1所述的针对二级化学反应器变时滞系统的故障估计方法，其特征在于，所述步骤5中方便计算的线性矩阵不等式形式为：

对于给定的ε₁＞0，ε₂＞0，ε₃＞0，γ＞0，λ＞0，如果存在对称正定矩阵

P₁，P₂，R₁，R₂和矩阵M，N，Z，W满足：

其中，

η₆₆＝hΓ^-1I-γ²I

则delta算子误差系统指数稳定，且具有H_∞性能γ。

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