CN106527148A - 一种离散时滞不确定系统的滑模鲁棒控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种离散时滞不确定系统的滑模鲁棒控制方法。利用多群体混沌模拟退火粒子群优化算法优化支持向量回归机(SVR)结构参数，采用组合核函数支持向量回归机给出系统预测模型，通过一种新型滑模趋近律求解出控制律，并能保证该滑动模态的可达性。本发明用于一类带有状态时滞的不确定离散系统的鲁棒控制。

Description

一种离散时滞不确定系统的滑模鲁棒控制方法

技术领域

本发明涉及一种离散时滞不确定系统的滑模鲁棒控制方法，属于时滞不确定离散系统的鲁棒控制技术领域。

背景技术

在工程实践中，由于建模过程存在误差，运行过程存在干扰，这些不确定因素深刻影响着离散控制系统的最终控制效果。此外，随着实际离散控制系统组成结构的日益复杂化，时间延迟不可避免的存在于信号传输、计算求解、远程控制等过程中，时滞现象往往会造成系统的控制精度大幅降低，严重的甚至可能造成系统失稳等后果。因此，分析与设计适用于时滞离散不确定系统的鲁棒控制算法，已成为当前亟待解决的工程应用问题。

滑模控制对于系统中存在的参数摄动、外部扰动等不确定性因素具有较强的鲁棒性，因而目前在不确定离散系统控制中得到了广泛的研究与应用。然而当离散系统存在时滞现象时，滑模控制在控制效果上表现出明显的性能降低，尤其当时间滞后较大，而系统对快速性要求较高时，滑模控制往往难以满足实际控制要求，甚至会出现失稳现象。支持向量回归机预测方法能够预测估计未来一段时间的系统状态，进而将其应用于时滞系统可以消除时滞对离散系统性能造成的影响。因此，对于带有时滞的不确定离散系统，将滑模控制与支持向量回归机预测相结合，不仅能够充分利用滑模控制在处理含有参数摄动和外部扰动的不确定离散系统上具有的良好的鲁棒性能优势，还可以通过预测控制有效避免时滞对系统稳定性的影响，进一步优化控制效果。

支持向量回归机(SVR)是一种基于结构风险最小化的机器学习方法，该方法已在时间序列领域取得了较好的预测效果，解决了小样本、过拟合等问题。在支持向量回归机的实际应用中，选择适合样本数据的有效核函数，能够增强支持向量回归机的可解释性与鲁棒性。将不同类型的核函数进行组合得到的新核函数可以兼顾支持向量机的学习和泛化特性。核函数的参数与惩罚因子等规则化参数通常被统称为支持向量机的结构参数。目前，对支持向量机结构参数的优化方法主要有：网格搜索法、遗传算法、人工免疫算法、蚁群算法等。其中，粒子群优化算法具有结构简单，容易实现，收敛速度快等优势，但极易陷入局部极值，无法寻找出全局最优解。将混沌思想、模拟退火算法引入粒子群优化算法，不仅改善了粒子群优化算法跳出局部极值点的能力，也在一定程度上提高了算法的收敛速度和精度。

发明内容

发明目的：针对上述现有技术，提出一种离散时滞不确定系统的滑模鲁棒控制方法，能够在所设计的离散滑模预测控制律的作用下，通过利用粒子群快速准确寻优，并通过一种含有补偿项的参考轨迹有效地不确定性、多时滞以及传感器故障对系统性能造成的不良影响，使得在传感器故障情况下，多时滞不确定离散系统保持鲁棒稳定。

技术方案：一种离散时滞不确定系统的滑模鲁棒控制方法，利用多群体混沌模拟退火粒子群优化算法优化支持向量回归机结构参数；采用组合核函数支持向量回归机给出系统预测模型；设计了一种能够确保整个动态过程的全局鲁棒性的拟积分型滑模面；通过一种新型滑模趋近律求解出控制律，并能保证该滑动模态的可达性，用以针对一类带有状态时滞的不确定离散系统的鲁棒控制，包括如下具体步骤：

步骤1)确定含有内部摄动、外部扰动和已知定常时滞的不确定系统为式(1)，其中，x(k)∈Rⁿ为系统状态，u(k)∈R^p为系统输入，A∈R^n×n、B∈R^n×p和A_d∈R^n×n为常值矩阵，(A，B)完全可控，矩阵B列满秩，ΔA和ΔA_d为系统的参数摄动，v(k)∈Rⁿ为外部干扰，τ∈R⁺为已知定常时滞；系统(1)可以改写为式(2)，其中d(k)＝ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ)+v(k)，且满足|d(k)-d(k-1)|≤d₀和d_L≤|d(k)|≤d_U；系统参数不确定性满足式(3)，其中，E，H，H_d，H_v为适当维数的常数矩阵，矩阵F(k)满足F^T(k)F(k)≤I；

x(k+1)＝(A+ΔA)x(k)+(A_d+ΔA_d)x(k-τ)+Bu(k)+v(k) (1)

x(k+1)＝Ax(k)+A_dx(k-τ)+Bu(k)+d(k) (2)

[ΔA ΔA_d v]＝EF(k)[H H_d H_v] (3)

步骤2)组合核函数支持向量回归机的构造：

步骤2.1)构造由高斯核函数与多项式核函数相结合的组合核函数(4)，式中，d为多项式核函数的阶数，σ为高斯核函数的核半径，ρ为权重；

K＝ρK_poly+(1-ρ)K_RBF＝ρ(xx_i+1)^d+(1-ρ)exp(-||x-x_i||²/σ²) (4)

步骤2.2)根据组合核函数的公式，得出组合核函数支持向量回归机的决策函数为(5)，式中，l是训练样本个数，K(x_i，x_j)是给定的核函数，α_i和b为根据训练样本得出的参数；

步骤2.3)表示出基于组合核函数支持向量回归机的优化模型(6)，式中，C为惩罚因子，ξ_i为松弛变量，ε为不敏感函数；式(6)的优化问题可以转化为(7)；

步骤2.4)利用Largrange乘数法和Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件，将(7)转化为其对偶问题(8)，求解式(8)，解得b^*，ρ^*，C^*为最优解，则最优分类函数为式(9)；

步骤3)组合核函数支持向量回归机结构参数的优化：

步骤3.1)初始化：分别对主粒子群和从粒子群的粒子群规模L、维度D、粒子i的位置x_i＝(x_i1，x_i2，…，x_iD)、速度v_i＝(v_i1，v_i2，…，v_iD)、惯性权重w、学习因子c₁，c₂、当前温度T、结束温度T₀、退火速度K_T、最大迭代次数t_max进行初始化；

步骤3.2)从群更新：计算从粒子群每个粒子的当前适应值Ψ_i，并和自身最优适应值p_ibest比较，更新自身最优适应值p_ibest和全局最优适应值g_best；根据式(10)分别各自更新粒子的速度和位置；式中，c₁、c₂为学习因子，r₁，r₂∈[0，1]为随机数，p_ibest＝(p_i1，p_i2，…，p_iD)为粒子历史最优适应值，g_best＝(g₁，g₂，…，g_D)为全局最优适应值，w为权重系数，t_max为最大迭代次数，w_min，w_max是惯性权重w的最值，sin(α)^β为加速收敛因子，(10-b)为混沌变量，影响粒子群优化的混沌程度，r_i是[0，1]之间的正常数，(10-c)在PS0的位置更新中引入混沌，分别表示搜索测度和粒子i的搜索空间向负方向的移动比例；

步骤3.3)主群更新：在每一代主群选取从群体中最好的粒子，并根据从群的经验进行状态更新，其速度和位置更新方程为式(11)，式中，M为主群，S为从群，为主群粒子在t次迭代时的位置，为主群粒子在t次迭代时的速度，c₃为学习因子，r₃为介于[0，1]之间的随机数，φ为满足(12)的迁移因子，g_Mbest，gS_best分别为主群和从群中的全局最优适应值；

步骤3.4)退火优化：计算每个粒子更新后的适应值Ψ′_i及适应值变化量ΔΨ_i＝Ψ′_i-Ψ_i；若ΔΨ_i＜0，或ΔΨ_i＞0时exp(-ΔΨ/T)在区间[0，1]上，则进行降温操作T←K_TT，否则温度不变；

步骤3.5)终止条件：当满足温度降至T₀，或达到最大迭代次数t_max时停止迭代；否则返回步骤3.2；

步骤4)控制器设计：

步骤4.1)设计拟积分型滑模面(13)，其中，σ(0)＝0，G∈R^p×n为满足GB非奇异的常值矩阵；

步骤4.2)由于系统存在τ步滞后，因此此时实际获得的状态量利用已有的有限数据，根据式(9)可得到预测模型为式(14)，其中，为状态量的1步预测值，为前m步历史数据，则τ步预测值为式(15)；

步骤4.3)设计参考轨迹为式(16)，其中，ζ(k)＝Gd(k)＝G[ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ)+v(k)]表示系统不确定性对滑模输出值的影响，

步骤4.4)将式(1)和式(13)代入式(15)，可得控制律为式(17)；

步骤5)实施当前控制律。

有益效果：一种离散时滞不确定系统的滑模鲁棒控制方法，利用多群体混沌模拟退火粒子群优化算法优化支持向量回归机结构参数；采用组合核函数支持向量回归机给出系统预测模型；设计了一种能够确保整个动态过程的全局鲁棒性的拟积分型滑模面；通过一种新型滑模趋近律求解出控制律，并能保证该滑动模态的可达性，用以针对一类带有状态时滞的不确定离散系统的鲁棒控制。具有如下具体优点：

①利用多群体混沌模拟退火粒子群优化算法优化支持向量回归机结构参数，该优化方法能够有效避免粒子群早熟，而且能够提高算法的收敛速度与优化精度；

②采用组合核函数保证了支持向量回归机良好的泛化能力与学习能力；

③设计的拟积分型滑模面，能够确保整个动态过程的全局鲁棒性；

④该控制器不仅能保证系统鲁棒渐近稳定，而且具有响应速度快、超调量较小、控制抖振小等优点。

本发明所提方法作为一种针对一类带有状态时滞的不确定离散系统的鲁棒控制方法，具有一定的应用意义，易于实现，实时性好，准确性高，能够有效提高控制系统安全性且可操作性强，节省时间，效率更高，可广泛应用于时滞不确定离散控制系统的鲁棒控制中。

附图说明

图1是本发明方法的流程图；

图2是Quanser公司研制的用以研究四旋翼直升机控制的实验装置Qball-X4四旋翼直升机；

图3是Qball-X4四旋翼直升机X轴位置曲线图；

图4是Qball-X4四旋翼直升机X轴方向速度曲线图；

图5是Qball-X4四旋翼直升机执行器动态曲线图；

图6是Qball-X4四旋翼直升机控制律曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做更进一步的解释。

如图1所示，一种离散时滞不确定系统的滑模鲁棒控制方法，利用多群体混沌模拟退火粒子群优化算法优化支持向量回归机结构参数；采用组合核函数支持向量回归机给出系统预测模型；设计了一种能够确保整个动态过程的全局鲁棒性的拟积分型滑模面；通过一种新型滑模趋近律求解出控制律，并能保证该滑动模态的可达性，用以针对一类带有状态时滞的不确定离散系统的鲁棒控制，包括如下具体步骤：

步骤1)确定含有内部摄动、外部扰动和已知定常时滞的不确定系统为式(1)，其中，x(k)∈Rⁿ为系统状态，u(k)∈R^p为系统输入，A∈R^n×n、B∈R^n×p和A_d∈R^n×n为常值矩阵，(A，B)完全可控，矩阵B列满秩，ΔA和ΔA_d为系统的参数摄动，v(k)∈Rⁿ为外部干扰，τ∈R⁺为已知定常时滞；系统(1)可以改写为式(2)，其中d(k)＝ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ)+v(k)，且满足|d(k)-d(k-1)|≤d₀和d_L≤|d(k)|≤d_U；系统参数不确定性满足式(3)，其中，E，H，H_d，H_v为适当维数的常数矩阵，矩阵F(k)满足F^T(k)F(k)≤I；

x(k+1)＝(A+ΔA)x(k)+(A_d+ΔA_d)x(k-τ)+Bu(k)+v(k) (1)

x(k+1)＝Ax(k)+A_dx(k-τ)+Bu(k)+d(k) (2)

[ΔA ΔA_d v]＝EF(k)[H H_d H_v] (3)

步骤2)组合核函数支持向量回归机的构造：

步骤2.1)构造由高斯核函数与多项式核函数相结合的组合核函数(4)，式中，d为多项式核函数的阶数，σ为高斯核函数的核半径，ρ为权重；

K＝ρK_poly+(1-ρ)K_RBF＝ρ(xx_i+1)^d+(1-ρ)exp(-||x-x_i||²/σ²) (4)

步骤2.2)根据组合核函数的公式，得出组合核函数支持向量回归机的决策函数为(5)，式中，l是训练样本个数，K(x_i，x_j)是给定的核函数，α_i和b为根据训练样本得出的参数；

步骤2.3)表示出基于组合核函数支持向量回归机的优化模型(6)，式中，C为惩罚因子，ξ_i为松弛变量，ε为不敏感函数；式(6)的优化问题可以转化为(7)；

步骤2.4)利用Largrange乘数法和Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件，将(7)转化为其对偶问题(8)，求解式(8)，解得b^*，ρ^*，C^*为最优解，则最优分类函数为式(9)；

步骤3)组合核函数支持同量回归机结构参数的优化：

步骤3.1)初始化：分别对主粒子群和从粒子群的粒子群规模L、维度D、粒子i的位置x_i＝(x_i1，x_i2，…，x_iD)、速度v_i＝(v_i1，v_i2，…，v_iD)、惯性权重w、学习因子c₁，c₂、当前温度T、结束温度T₀、退火速度K_T、最大迭代次数t_max进行初始化；

步骤3.2)从群更新：计算从粒子群每个粒子的当前适应值Ψ_i，并和自身最优适应值p_ibest比较，更新自身最优适应值p_ibest和全局最优适应值g_best；根据式(10)分别各自更新粒子的速度和位置；式中，c₁、c₂为学习因子，r₁，r₂∈[0，1]为随机数，p_ibest＝(p_i1，p_i2，…，p_iD)为粒子历史最优适应值，g_best＝(g₁，g₂，…，g_D)为全局最优适应值，w为权重系数，t_max为最大迭代次数，w_min，w_max是惯性权重w的最值，sin(α)^β为加速收敛因子，(10-b)为混沌变量，影响粒子群优化的混沌程度，r_i是[0，1]之间的正常数，(10-c)在PSO的位置更新中引入混沌，分别表示搜索测度和粒子i的搜索空间向负方向的移动比例；

步骤3.3)主群更新：在每一代主群选取从群体中最好的粒子，并根据从群的经验进行状态更新，其速度和位置更新方程为式(11)，式中，M为主群，S为从群，为主群粒子在t次迭代时的位置，为主群粒子在t次迭代时的速度，c₃为学习因子，r₃为介于[0，1]之间的随机数，φ为满足(12)的迁移因子，g_Mbest，g_Sbest分别为主群和从群中的全局最优适应值；

步骤3.4)退火优化：计算每个粒子更新后的适应值Ψ′_i及适应值变化量ΔΨ_i＝Ψ′_i-Ψ_i；若ΔΨ_i＜0，或ΔΨ_i＞0时exp(-ΔΨ/T)在区间[0，1]上，则进行降温操作T←K_TT，否则温度不变；

步骤3.5)终止条件：当满足温度降至T₀，或达到最大迭代次数t_max时停止迭代；否则返回步骤3.2；

步骤4)控制器设计：

步骤4.1)设计拟积分型滑模面(13)，其中，σ(0)＝0，G∈R^p×n为满足GB非奇异的常值矩阵；

步骤4.2)由于系统存在τ步滞后，因此此时实际获得的状态量利用已有的有限数据，根据式(9)可得到预测模型为式(14)，其中，为状态量的1步预测值，为前m步历史数据，则τ步预测值为式(15)；

步骤4.3)设计参考轨迹为式(16)，其中，ζ(k)＝Gd(k)＝G[ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ)+v(k)]表示系统不确定性对滑模输出值的影响，

步骤4.4)将式(1)和式(13)代入式(15)，可得控制律为式(17)；

步骤5)实施当前控制律。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

下面以实际案例仿真说明实施方案的有效性。

采用由加拿大Quanser公司研制的Qball-X4四旋翼直升机飞行控制系统执行器作为应用研究对象。Qball-X4实验主体如图2。Qball-X4四旋翼直升机，系统存在六维度变量即(X，Y，Z，ψ，θ，φ)，其中X，Y，Z为位置变量，ψ为偏航角，θ为俯仰角，φ为滚转角。本案例仿真选择X轴前进方向通道信号作为研究对象。

机体关于X轴的运动受总推力以及横滚角φ/俯仰角θ的影响。假设偏航角ψ为0，那么X轴的动态方程描述如下：

其中M_g为机体质量，X为X轴方向位置。F为旋翼产生的推力：

其中，K_g为正值增益，ω为执行器带宽。定义v为执行器动态：

其状态空间表达式为：

在X轴位置控制模型中，俯仰角θ是与其相耦合的，整体的控制可以分为两个阶段，一个是俯仰角控制阶段，等俯仰角控制到预设值之后，就进入第二阶段——位置控制阶段。在位置到达设定位置时，通过俯仰角控制通道将俯仰角θ归零。在θ较小的情况下，通过线性化得到在不含外界扰动、参数摄动以及时变时滞的理想情况下的X轴方向的模型为：

假设在X轴位置控制阶段，俯仰角已经定在2°＝0.035rad，考虑外界扰动、参数摄动、网络延迟及执行器故障，引入执行器动态相关的扰动、摄动、时滞与故障，四旋翼直升机系统中各矩阵的取值如下：

其中，机体参数取值为K_g＝120N，ω＝15rad/s，M_g＝1.4kg。不确定性参数为ΔA＝0.1A，ΔA_d＝0.1A_d，外部干扰为v(k)＝rand·sin²(k)。其余矩阵取为F(k)＝sin(k)，H＝[0 0.4 0.2]，H_d＝[0 0.2 -0.2]，H_v＝[0.1 0.2 -0.1]。由于控制输入PWM可能带来的时滞，以及进而影响到垂直方向加速度动态而产生的时滞的大小是不确定的，因此本案例仿真时滞选为τ＝5。系统初始状态为x(0)＝[1 1.2 1]^T。

粒子群主群数为1，从群数为3，粒子群规模为L＝30，最大迭代次数t_max＝500，学习因子c₁＝2.05，c₂＝2.05，权重系数w_min＝0.2，w_max＝0.9，环境范围δ＝6，加速收敛因子中的参数为α∈[0，π/8]，β＝3，搜索测度为粒子i的搜索空间向负方向的移动比例为混沌因子为初始温度T＝100，结束温度T₀＝0.01，退火速度K_T＝0.9。本案例仿真时域取k＝1000。

由图3-图5不难看出，本发明所提出的基于多群体混沌粒子群优化支持向量回归机的离散滑模预测控制方法对实际系统中常见的状态时滞不确定系统具有较强的鲁棒性并能使其快速趋于稳定。相较于传统离散滑模控制算法，四旋翼直升机机体在本发明所设计的控制方法的作用下，X轴位置、X轴位置速度及执行器动态变化曲线更为平缓，说明了在执行器故障条件下，飞行器依旧能够平稳安全的飞行。图6表明，控制律快速收敛且不会产生较大波动，在收敛后不存在明显的抖振。由上述实验结果可知，对于含有参数摄动、外部扰动和状态时滞的系统，本发明所提出的基于支持向量回归机预测的滑模控制方法是行之有效的。

Claims (1)

1.一种离散时滞不确定系统的滑模鲁棒控制方法，其特征在于：利用多群体混沌模拟退火粒子群优化算法优化支持向量回归机结构参数；采用组合核函数支持向量回归机(SVR)给出系统预测模型；设计了一种能够确保整个动态过程的全局鲁棒性的拟积分型滑模面；通过一种新型滑模趋近律求解出控制律，并能保证该滑动模态的可达性，用以针对一类带有状态时滞的不确定离散系统的鲁棒控制，包括如下具体步骤：

步骤1)确定含有内部摄动、外部扰动和已知定常时滞的不确定系统为式(1)，其中，x(k)∈Rⁿ为系统状态，u(k)∈R^p为系统输入，A∈R^n×n、B∈R^n×p和A_d∈R^n×n为常值矩阵，(A，B)完全可控，矩阵B列满秩，ΔA和ΔA_d为系统的参数摄动，v(k)∈Rⁿ为外部干扰，τ∈R⁺为已知定常时滞；系统(1)可以改写为式(2)，其中d(k)＝ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ)+v(k)，且满足|d(k)-d(k-1)|≤d₀和d_L≤|d(k)|≤d_U；系统参数不确定性满足式(3)，其中，E，H，H_d，H_v为适当维数的常数矩阵，矩阵F(k)满足F^T(k)F(k)≤I；

x(k+1)＝(A+ΔA)x(k)+(A_d+ΔA_d)x(k-τ)+Bu(k)+v(k) (1)

x(k+1)＝Ax(k)+A_dx(k-τ)+Bu(k)+d(k) (2)

[ΔA ΔA_d v]＝EF(k)[H H_d H_v] (3)

步骤2)组合核函数支持向量回归机的构造：

步骤2.1)构造由高斯核函数与多项式核函数相结合的组合核函数(4)，式中，d为多项式核函数的阶数，σ为高斯核函数的核半径，ρ为权重；

K＝ρK_poly+(1-ρ)K_RBF＝ρ(xx_i+1)^d+(1-ρ)exp(-||x-x_i||²/σ²) (4)

步骤2.2)根据组合核函数的公式，得出组合核函数支持向量回归机的决策函数为(5)，式中，l是训练样本个数，K(x_i，x_j)是给定的核函数，α_i和b为根据训练样本得出的参数；

$f\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{l}{\Σ}}({\mathrm{\α}}_i^{*}-{\mathrm{\α}}_i)\left({\mathrm{\ρK}}_{poly}\right(x_i,x_j)+(1-\mathrm{\ρ}\left)K_{RBF}\right(x_i,x_j\left)\right)+b---\left(5\right)$

步骤2.3)表示出基于组合核函数支持向量回归机的优化模型(6)，式中，C为惩罚因子，ξ_i为松弛变量，ε为不敏感函数；式(6)的优化问题可以转化为(7)；

$\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\ρ},(1-\mathrm{\ρ}),f_{poly},f_{RBF},b,{\mathrm{\ξ}}_i}{\min }& \left(\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\right|\left|f_{poly}\right|{|}^2\left)\right(\frac{1}{(1-\mathrm{\ρ})}\left|\right|f_{RBF}\left|{|}^2\right)+C\underset{i=1}{\overset{l}{\Σ}}({\mathrm{\ξ}}_i+{\mathrm{\ξ}}_i^{*})\\ s.t.& y_i-(f_{poly}+f_{RBF}+b)\≤\mathrm{\ϵ}+{\mathrm{\ξ}}_i\\ & (f_{poly}+f_{RBF}+b)-y_i\≤\mathrm{\ϵ}+{\mathrm{\ξ}}_i^{*}\\ & {\mathrm{\ξ}}_i\≥0,{\mathrm{\ξ}}_i^{*}\≥0,0\≤\mathrm{\ρ}\≤1,i=1,2,\mathrm{...},l\end{array}---\left(6\right)$

$\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\ρ},(1-\mathrm{\ρ}),f_{poly},f_{RBF},b,{\mathrm{\ξ}}_i}{\min }& \frac{1}{2}\[\left(\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\right|\left|f_{poly}\right|{|}^2)\left(\frac{1}{(1-\mathrm{\ρ})}\right|\left|f_{RBF}\right|{|}^2)\]+C\underset{i=1}{\overset{l}{\Σ}}({\mathrm{\ξ}}_i+{\mathrm{\ξ}}_i^{*})\\ s.t.& y_i-(f_{poly}+f_{RBF}+b)\≤\mathrm{\ϵ}+{\mathrm{\ξ}}_i\\ & (f_{poly}+f_{RBF}+b)-y_i\≤\mathrm{\ϵ}+{\mathrm{\ξ}}_i^{*}\\ & {\mathrm{\ξ}}_i\≥0,{\mathrm{\ξ}}_i^{*}\≥0,0\≤\mathrm{\ρ}\≤1,i=1,2,\mathrm{...},l\end{array}---\left(7\right)$

步骤2.4)利用Largrange乘数法和Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件，将(7)转化为其对偶问题(8)，求解式(8)，解得b^*，ρ^*，C^*为最优解，则最优分类函数为式(9)；

$\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\α}}{\max }-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{l}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{l}{\Σ}}({\mathrm{\α}}_i^{*}-{\mathrm{\α}}_i)({\mathrm{\α}}_j^{*}-{\mathrm{\α}}_j)\left({\mathrm{\ρK}}_{poly}\right(x_i,x_j)+(1-\mathrm{\ρ}\left)K_{RBF}\right(x_i,x_j\left)\right)\\ +\mathrm{\ϵ}\underset{i=1}{\overset{l}{\Σ}}({\mathrm{\α}}_i^{*}-{\mathrm{\α}}_i)-\underset{i=1}{\overset{l}{\Σ}}{y}_i({\mathrm{\α}}_i^{*}-{\mathrm{\α}}_i)\end{array}---\left(8\right)$

$\begin{array}{cc}s.t.& \underset{i=1}{\overset{l}{\Σ}}({\mathrm{\α}}_i^{*}-{\mathrm{\α}}_i)=0,0\≤{\mathrm{\α}}_i,{\mathrm{\α}}_i^{*}\≤C,i=1,\mathrm{...},l,0\≤\mathrm{\ρ}\≤1\end{array}$

$f\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{l}{\Σ}}({\mathrm{\α}}_i^{*}-{\mathrm{\α}}_i)\left({\mathrm{\ρ}}^{*}{K}_{poly}\right(x_i,x_j)+(1-{\mathrm{\ρ}}^{*}\left)K_{RBF}\right(x_i,x_j\left)\right)+b^{*}---\left(9\right)$

步骤3)组合核函数支持向量回归机结构参数的优化：

步骤3.1)初始化：分别对主粒子群和从粒子群的粒子群规模L、维度D、粒子i的位置x_i＝(x_i1，x_i2，…，x_iD)、速度v_i＝(v_i1，v_i2，…，v_iD)、惯性权重w、学习因子c₁，c₂、当前温度T、结束温度T₀、退火速度K_T、最大迭代次数t_max进行初始化；

步骤3.2)从群更新：计算从粒子群每个粒子的当前适应值Ψ_i，并和自身最优适应值p_ibest比较，更新自身最优适应值p_ibest和全局最优适应值g_best；根据式(10)分别各自更新粒子的速度和位置；式中，c₁、c₂为学习因子，r₁，r₂∈[0，1]为随机数，p_ibest＝(p_i1，p_i2，…，p_iD)为粒子历史最优适应值，g_best＝(g₁，g₂，…，g_D)为全局最优适应值，w为权重系数，t_max为最大迭代次数，w_min，w_max是惯性权重w的最值，sin(α)^β为加速收敛因子，(10-b)为混沌变量，影响粒子群优化的混沌程度，r_i是[0，1]之间的正常数，(10-c)在PSO的位置更新中引入混沌，分别表示搜索测度和粒子i的搜索空间向负方向的移动比例；

步骤3.3)主群更新：在每一代主群选取从群体中最好的粒子，并根据从群的经验进行状态更新，其速度和位置更新方程为式(11)，式中，M为主群，S为从群，为主群粒子在t次迭代时的位置，为主群粒子在t次迭代时的速度，c₃为学习因子，r₃为介于[0，1]之间的随机数，φ为满足(12)的迁移因子，g_Mbest，g_Sbest分别为主群和从群中的全局最优适应值；

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{Mi}^{t+1}=\mathrm{\δ}({\mathrm{wv}}_{Mi}^t+c_1{r}_1(p_{Mibest}-x_{Mi}^t)+{\mathrm{\φc}}_2{r}_2(g_{Mbest}-x_{Mi}^t)+(1-\mathrm{\φ}\left)c_3{r}_3\right(g_{Sbest}-x_{Si}^t\left)\right)\\ x_{Mi}^{t+1}=x_{Mi}^t+v_{Mi}^{t+1}\end{array}\right.---\left(11\right)$

$\mathrm{\&phi;}=\left\{\begin{array}{c}0,g_{Sbest}<g_{Mbest}\\ 0.5,g_{Sbest}=g_{Mbest}\\ 1,g_{Sbest}>g_{Mbest}\end{array}\right.---\left(12\right)$

步骤3.4)退火优化：计算每个粒子更新后的适应值Ψ′_i及适应值变化量ΔΨ_i＝Ψ′_i-Ψ_i；若ΔΨ_i＜0，或ΔΨ_i＞0时exp(-ΔΨ/T)在区间[0，1]上，则进行降温操作T←K_TT，否则温度不变；

步骤3.5)终止条件：当满足温度降至T₀，或达到最大迭代次数t_max时停止迭代；否则返回步骤3.2；

步骤4)控制器设计：

步骤4.1)设计拟积分型滑模面(13)，其中，σ(0)＝0，G∈R^p×n为满足GB非奇异的常值矩阵；

$\{\begin{array}{c}s\left(k\right)=Gx\left(k\right)+\mathrm{\&sigma;}\left(k\right)-Gx\left(0\right)\\ \mathrm{\&sigma;}(k+1)-\mathrm{\&sigma;}\left(k\right)=Gx\left(k\right)-GAx\left(k\right)-{\mathrm{GA}}_{d}x(k-\mathrm{\&tau;})\end{array}---\left(13\right)$

步骤4.2)由于系统存在τ步滞后，因此此时实际获得的状态量利用已有的有限数据，根据式(9)可得到预测模型为式(14)，其中，为状态量的1步预测值，为前m步历史数据，则τ步预测值为式(15)；

$\hat{x}(k-\mathrm{\&tau;}+1)=\hat{\tilde{x}}(k+1)=\underset{i=k-m}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}({\mathrm{\&alpha;}}_i^{*}-{\mathrm{\&alpha;}}_i)\left({\mathrm{\&rho;}}^{*}{K}_{poly}\right(\tilde{x}\left(i\right),X\left(k\right))+(1-{\mathrm{\&rho;}}^{*}\left)K_{RBF}\right(\tilde{x}\left(i\right),X\left(k\right)\left)\right)+b^{*}---\left(14\right)$

$\hat{x}\left(k\right)=\hat{\tilde{x}}(k+\mathrm{\&tau;})=\underset{i=k+\mathrm{\&tau;}-m}{\overset{k+\mathrm{\&tau;}-1}{\&Sigma;}}({\mathrm{\&alpha;}}_i^{*}-{\mathrm{\&alpha;}}_i)\left({\mathrm{\&rho;}}^{*}{K}_{poly}\right(x\left(i\right),X\left(k+\mathrm{\&tau;}\right))+(1-{\mathrm{\&rho;}}^{*}\left)K_{RBF}\right(x\left(i\right),X\left(k+\mathrm{\&tau;}\right)\left)\right)+b^{*}---\left(15\right)$

步骤4.3)设计参考轨迹为式(16)，其中，ζ(k)＝Gd(k)＝G[ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ)+v(k)]表示系统不确定性对滑模输出值的影响，

$s(k+1)=(1-\frac{s_0}{s_0+\left|s\left(k\right)\right|})s\left(k\right)-\mathrm{\&zeta;}\left(k\right)+{\mathrm{\&zeta;}}_1---\left(16\right)$

步骤4.4)将式(1)和式(13)代入式(15)，可得控制律为式(17)；

$\begin{array}{c}u\left(k\right)={\left(GB\right)}^{-1}\&lsqb;(1-\frac{s_0}{s_0+\left|s\left(k\right)\right|})s\left(k\right)-\mathrm{\&zeta;}\left(k\right)+{\mathrm{\&zeta;}}_1\&rsqb;\\ -G\&lsqb;(A+\mathrm{\&Delta;}A)\hat{x}\left(k\right)\\ +(A_d+{\mathrm{\&Delta;A}}_d)\hat{x}(k-\mathrm{\&tau;})+v\left(k\right)\&rsqb;\\ -\mathrm{\&sigma;}(k+1)+Gx\left(0\right)\&rsqb;\end{array}---\left(17\right)$

步骤5)实施当前控制律。