CN114545779B - 一种基于直驱泵的快速起竖系统自调节积分鲁棒控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于直驱泵的快速起竖系统自调节积分鲁棒控制方法，以伺服液压泵直接驱动起竖系统的动作，调节伺服电机的转速直接控制液压泵输出流量，并融合了自适应控制的思想，使得起竖过程的跟踪精度满足更高的要求。该方法是针对如下问题提出的：重载起竖机构广泛采用电液伺服系统驱动负载从水平状态举升到垂直工作状态，直驱泵系统具有结构紧凑、元件少、对油品要求低、功率损失小、效率高等优势。传统泵控方法在面对参数不确定性和模型不确定性时，控制精度难以保证。同时，系统的外部干扰没有在传统控制算法中加以抑制，系统鲁棒性较差。所公开的基于直驱泵的快速起竖系统自调节积分鲁棒控制方法可以很好的解决上述问题。

Description

一种基于直驱泵的快速起竖系统自调节积分鲁棒控制方法

技术领域

本发明属于电液伺服控制技术领域，具体涉及一种基于直驱泵的快速起竖系统自调节积分鲁棒(ARISE)控制方法。

背景技术

重载起竖系统在车辆、起重及工业制造领域有着广泛的应用，尤其对于某些特种设备，因使用需要，最大起竖角度要求达到90°，并且由于起竖完成后的工作要求，必须保证起竖到位时间尽可能短、到位角度满足一定的精度。基于直驱泵的电液伺服系统由于其出力大、功率密度大、布局紧凑、效率高等优点，能够满足系统负载大、空间布局受限制的特种工程车辆起竖作业需求。目前，经典的线性控制方法凭借其简单且易于实现的优点仍在工业及国防领域伺服控制中占据统治地位。然而，基于直驱泵的起竖系统是高度非线性的系统，主要表现在起竖机构自身的非线性(液压缸活塞的位移与起竖负载的转角之间的非线性关系)、重力矩非线性、摩擦非线性等。为满足起竖系统高精度控制技术发展需求，必须着重考虑非线性特性对控制性能的影响，而基于线性模型的经典电液伺服控制方法难以解决非线性特性所带来的问题，因此探索先进的控制器设计方法来保证起竖系统的高精度控制性能仍是实际工程应用领域的迫切需求。

针对基于直驱泵的起竖系统非线性控制问题，自适应控制方法对于处理参数不确定性问题是非常有效的方法，能够获得渐近跟踪的稳态性能。但是对于外干扰等不确定性非线性却显得力不从心，当不确定性非线性过大时可能会使系统失稳。而实际的液压系统都存在不确定性非线性，因此自适应控制方法在实际应用中并不能获得高精度的控制性能；积分鲁棒控制方法也可以有效地处理建模不确定性的问题，而且可以获得连续的控制输入和渐近的跟踪性能。但是该控制方法所设计的控制器中的非线性鲁棒增益的取值跟系统的建模不确定性对时间的一阶导数和二阶导数的上界密切相关。因此该控制方法存在的问题是：在实际工程应用中，系统建模不确定性对时间的一阶导数和二阶导数的界在大多情况下难以获取，由于测量噪声的存在，该增益取得过大往往会导致高增益反馈从而造成控制输入的抖振，进而恶化控制性能，甚至引起系统失稳。因此，本发明基于传统的积分鲁棒控制方法，融合自适应控制的思想，设计增益自调节律对控制器积分鲁棒项中误差符号函数的增益取值进行在线调节，有效地解决了传统积分鲁棒控制方法中符号函数增益调节的随机性、保守性、局限性以及潜在的高增益反馈的问题，获得了更好的跟踪性能。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于直驱泵的快速起竖系统自调节积分鲁棒控制方法，在起竖系统存在各种参数不确定性和未建模干扰的情况下，可以保证在连续控制输入下获得渐近跟踪性能。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于直驱泵的快速起竖系统自调节积分鲁棒控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立基于直驱泵的起竖系统数学模型；

步骤2，根据上述基于直驱泵的起竖系统数学模型，设计自调节积分鲁棒控制器；

步骤3，运用李雅普诺夫稳定性理论对设计的自调节积分鲁棒控制器进行稳定性证明，得到起竖系统的渐近稳定的结果。

本发明与现有技术相比，其显著优点是：提升了基于直驱泵的快速起竖系统的跟踪精度，有效地解决了基于直驱泵的电液伺服系统存在参数不确定性和未建模干扰时的控制问题。仿真结果验证了其有效性。

附图说明

图1是基于直驱泵的起竖系统自调节积分鲁棒控制方法原理示意图。

图2是起竖机构运动学简图。

图3是期望的起竖角度指令信号及其一阶与二阶微分曲线图。

图4是ARISE控制器作用下系统输出对期望指令的跟踪过程图。

图5是ARISE控制器作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线图。

图6是ARISE控制器和ARC控制器作用下系统的跟踪误差对比曲线图。

图7是ARISE控制器参数θ₁和θ₂估计值随时间变化的曲线图。

图8是ARISE控制器参数θ₃～θ₅估计值随时间变化的曲线图。

图9是ARISE控制器增益β估计值随时间变化的曲线图。

图10是ARISE控制器作用下起竖系统的控制输入曲线图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

下面将结合本设计实例对具体实施方式、以及本次发明的技术难点、发明点进行进一步介绍。

结合图1，一种基于直驱泵的快速起竖系统自调节积分鲁棒控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立基于直驱泵的起竖系统的数学模型，步骤如下：

步骤1.1、起竖系统采用三铰点直推式布局，机构简单、可靠性高，能够满足平稳起竖的需求。其运动学简图如图2所示，O点为起竖负载回转点，O₁为液压缸的上支点，O₂为液压缸的下支点，O₃为负载质心。起竖系统的力矩平衡方程为：

式(1)中J为起竖负载相对回转轴的等效转动惯量；q为负载起竖角度，为负载起竖角加速度；F为液压缸作用在起竖机构上的驱动力，即液压缸推力；m为起竖负载总质量；g为重力加速度；L₃为液压缸上支点到回转轴的距离；L₄为负载质心到回转轴的距离；α为液压缸上下支点连线与上支点到回转轴连线的夹角；β₀为负载质心到回转轴的水平夹角。

根据余弦定理，计算得到：

式(2)中L为液压缸上下支点的距离；L₁为液压缸下支点到回转轴的距离；q₀为液压缸下支点到回转轴的水平夹角。

再由正弦定理，得：

根据式(1)、(2)、(3)计算得到液压缸的推力F为：

步骤1.2、为了便于起竖系统数学模型的建立，假设如下：

假设1：油液的体积弹性模量为常数。

假设2：液压缸只有内泄漏，没有外泄漏。

假设3：忽略管道压力损失和插装阀压降。

假设4：不考虑回油背压的影响。

根据牛顿第二定律，起竖系统动力学方程为：

p₂≈0 (6)

式(5)中，A₁为液压缸无杆腔的活塞作用面积，A₂为液压缸有杆腔的活塞作用面积；p₁为液压缸无杆腔的压力，p₂为液压缸有杆腔的压力；B为粘性摩擦系数；负载起竖角速度；/>表征的是库伦摩擦力矩，其中A_f为库伦摩擦的幅值，S_f(·)为连续的近似库伦摩擦形状函数；t为起竖系统的时间常量；d(t)为起竖系统未建模干扰项，包括未建模的非线性摩擦和外部干扰；y为液压缸活塞的位移。

直驱泵的输出流量与伺服电机转速有关，而转速又与控制电压成正比。因此直驱泵的流量Q为：

Q＝K_ωV_gu (7)

式(7)中，K_ω为伺服电机的转速增益系数；V_g为直驱泵的排量；u为控制电压，即自调节积分鲁棒控制器。

起竖系统流量连续性方程为：

式(8)中，V₁＝V₀₁+A₁y为液压缸无杆腔的容积，且V₀₁为无杆腔的初始容积；为液压缸活塞的运动速度；β_e为液压油的有效体积弹性模量；C_t为液压缸的内泄漏系数；/>为无杆腔压力变化速率。

步骤1.3、定义起竖系统状态变量其中x₁为起竖系统角度位置变量，起竖系统角速度变量/>为起竖系统角加速度变量，x₃为压力变量，/>为驱动力变化速率，得到基于直驱泵的起竖系统的状态空间方程为：

式(9)中，中间变量函数中间变量函数/>中间变量函数/>中间变量函数/>中间变量函数中间变量函数/>中间变量函数/>关于未建模干扰的中间变量函数/>θ₁＝B、θ₂＝A_f、θ₃＝K_ωβ_eV_g、θ₄＝β_e、θ₅＝β_eC_t均为中间变量。

定义未知参数向量θ＝[θ₁,θ₂]^T，其中向量θ₁＝[θ₁,θ₂]^T，未知参数子向量θ₂＝[θ₃,θ₄,θ₅]^T，表示θ的估计值，且参数估计误差/>

为便于控制器设计，假设如下：

假设1：基于直驱泵的起竖系统未知参数向量θ的大小范围已知，即

θ∈{θ:θ_min≤θ≤θ_max} (10)

式(10)中，θ_max和θ_min分别对应为θ的已知上下界。

假设2：关于未建模干扰的中间变量函数D(t)足够光滑，使得均存在并有界即：

式(11)中为D(t)的一阶微分项，/>为D(t)的二阶微分项；δ₁、δ₂均为未知正常数。

步骤2，设计基于直驱泵的起竖系统自调节积分鲁棒控制器，步骤如下：

步骤2.1、定义z₁＝x₁-x_1d为基于直驱泵的起竖系统的跟踪误差，x_1d是系统期望跟踪的位置指令且该指令二阶连续可微，为期望速度，/>为期望加速度，根据式(9)中的第一个方程/>选取x₂作为虚拟控制对象，使方程/>趋于稳定状态；设计α₁为x₂的虚拟控制律，第二通道误差z₂＝x₂-α₁，对z₁求导，得：

式(13)中，为中间变量，可调增益k₁＞0，则

步骤2.2、为获得一个额外的控制器设计自由度，定义一个辅助的误差信号r：

式(15)中，为中间变量，可调增益k₂＞0，由于r中含有位置的加速度信号，因此在实际中认为是不可测量的，即r为辅助设计所用，并不具体出现在所设计的控制器中。

根据式(9)和(15)，r的展开式如下：

式(16)中，为中间变量，将x₃视为虚拟控制输入，设计α₂为虚拟控制函数，第三通道误差z₃＝x₃-α₂，虚拟控制函数α₂设计为：

式(17)中，k_r为正的反馈增益，为θ₁的估计值，/>为θ₂的估计值，α_2a为基于直驱泵的起竖系统模型的前馈补偿项，α_2s为鲁棒控制律，且其中α_2s1为线性鲁棒反馈项，α_2s2为用于抑制未建模扰动项的非线性鲁棒项。

将式(17)代入式(16)中得：

式(18)中，为θ₁的参数估计误差，/>参数自适应回归函数。

根据积分鲁棒控制器设计方法，用于抑制未建模扰动项的非线性鲁棒项α_2s2设计为：

式(19)中，τ为积分变量；sign(·)为标准的符号函数；β为鲁棒增益，为β的估计值。β需满足以下条件：

其中，δ₁、δ₂均为未知正常数。

式(18)对r求导，再结合式(9)、式(15)、式(19)，得：

式(21)中，为中间变量，/>为中间变量函数，/>为中间变量，/>为中间变量，为中间变量向量，/>为中间变量函数，/>为中间变量。

根据式(21)，自调节积分鲁棒控制器可设计为：

式(22)中，k₃为正的反馈增益，u_a为基于直驱泵的起竖系统模型的前馈补偿项，u_s为鲁棒控制项，为θ₃的估计，/>为θ₄的估计，/>为θ₅的估计。将式(22)代入式(21)中得：

式(22)中，为θ₂的参数估计误差，/>为参数自适应回归函数。此外，z₃的动态方程为

式(24)中，为中间变量。

步骤2.3、的在线参数自调节误差符号律：

式(25)中，为中间变量，γ是可调的正的自调节误差符号律增益。

步骤3，运用李雅普诺夫稳定性理论对设计的自调节积分鲁棒控制器进行稳定性证明，并运用Barbalat得到基于直驱泵的起竖系统的全局渐近稳定的跟踪结果，具体如下：

先给出如下引理：

定义辅助函数L(t)：

如果控制增益β的选取满足式(20)所示的条件即：

则

式(28)中，ζ_b为中间变量，z₂(0)表示z₂的初始值，表示/>的初始值；/>为D(t)的一阶微分项。

对该引理的证明：

式(26)两边积分并结合式(15)得：

上述为/>的简化形式。

对式(29)中后两项进行分步积分可得：

故

根据式(31)，若β的选取满足式(20)所示的条件时，式(27)、式(28)成立，即引理得证。

定义辅助函数P(t)：

根据上述引理证明，当时，P(t)≥0，因此定义李雅普诺夫函数V如下：

其中，是β的估计误差，Γ₁和Γ₂均为正定对角矩阵。

对式(33)求导并将式(14)、式(15)、式(23)、式(32)代入，得中间变量函数

式(34)中，为中间变量函数，/>为中间变量向量。

定义中间变量向量Z和中间变量矩阵Λ：

Z＝[z₁,z₂,z₃,r]^T (35)

通过调整参数k₁，k₂，k₃，k_r使对称矩阵Λ正定，且满足条件时，式(34)可进一步写成：

式(37)中λ_min(Λ)为对称正定矩阵Λ的最小特征值，W为中间变量函数。

由式(37)得，因此V∈L_∞范数，进而得出z₁，z₂，z₃，r以及/>范数。

对式(37)积分，得：

由式(38)得，z₁，z₂，z₃，r∈L₂范数，且根据式(14)、式(15)、式(23)和假设1得：范数，因此W是一致连续的，结合Barbalat引理：t→∞时，W→0。故t→∞时，z₁→0。

因此有如下结论：

针对基于直驱泵的起竖系统所设计的自调节积分鲁棒控制器能够得到全局渐近稳定的跟踪结果，通过调节增益k₁、k₂、k₃、k_r及λ能够使系统的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。

实施例

本发明所考虑的基于直驱泵的起竖系统负载总重约40t。起竖总体方案为双缸起竖，起竖油缸为二级液压缸，收拢长度2988mm，展开长度7868mm，每级行程2440mm；一级缸活塞直径185mm，活塞杆直径160mm，二级缸活塞直径135mm，活塞杆直径110mm。

为考核所设计的自调节积分鲁棒控制器性能，在仿真中取如下参数进行建模：

粘性摩擦系数B＝2.5×10⁵N·m·s/rad；库伦摩擦幅值A_f＝3×10³N·m；液压油弹性模量β_e＝700MPa；内泄漏系数C_t＝9.6×10^-13m⁵/N/s；为了满足快速起竖的要求，基于恒功率起竖的轨迹规划方法规划期望的起竖角度、角速度和角加速度曲线，结果如图3所示，起竖到位时间20s。

取如下的控制器作对比：

自调节误差符号积分鲁棒(ARISE)控制器：取控制器参数k₁＝100，k₂＝50，k₃＝1×10^-5，k_r＝10。

系统未知参数的范围θ_max＝[5×10⁵,5×10³,1×10⁶,1.2×10⁹,0.01]^T，θ_min＝[1×10⁵,1.5×10³,3×10⁵,2×10⁸,1×10^-4]^T。

参数估计的初值参数自适应增益矩阵Γ＝diag{2.3×10⁵,1×10⁴,6.5×10^-2,2.6×10⁵,8×10^-18}；鲁棒增益β估计的初值其自调节误差符号增益γ＝10。

自适应积分鲁棒(ARC)控制器：取控制器参数k₁β100，k₂＝50，k₃＝1×10^-5。

ARISE控制器作用下系统输出对期望指令的跟踪如图4所示，ARISE控制器跟踪误差如图5所示，ARISE控制器与ARC控制器的跟踪误差对比如图6所示。由图4和图5可知，在ARISE控制器作用下，基于直驱泵的起竖系统位置指令稳态跟踪精度较高，一级缸起竖过程的稳态跟踪误差幅值约为6.001×10^-4(°)，二级缸起竖过程的稳态跟踪误差幅值约为7.421×10^-4(°)，从图6中两种控制器的跟踪误差对比能够看出本发明所提出的ARISE控制器的跟踪误差相较于ARC控制器要小很多，在起竖的初始阶段、起竖油缸的换级阶段以及起竖负载质心过平衡点阶段，ARISE控制器和ARC控制器的跟踪性能均有不同程度的劣化，尤其在起竖的换级阶段以及起竖负载质心过平衡点阶段，此时起竖系统的瞬时状态发生突变，ARC控制器无法在有限时间内获得稳态跟踪性能，而对于ARISE控制器，由于在线自调节律的作用，增益β的估计值也会相应地增加以增强非线性鲁棒项对干扰的鲁棒性，因此ARISE控制器的瞬态跟踪性能大大优于ARC控制器。综合起竖全程的跟踪结果来看，ARISE控制器更能满足基于直驱泵的起竖系统快速性、平稳性、高精度的起竖需求。

图7是参数θ₁和θ₂估计值随时间变化的曲线图，图8是参数θ₃～θ₅估计值随时间变化的曲线图，结果表明，ARISE控制器中所有的估计参数趋于稳定。

图9是ARISE控制器增益β估计值随时间变化的曲线，从图中能够看出，该增益的初始值虽是人为随意给定的，但是由于自调节误差符号律的作用，随着时间的变化该增益值将自动收敛到一个合适的值，因此避免了传统积分鲁棒控制器对于该参数调节的随机性和保守性。

图10是ARISE控制器作用下起竖系统的控制输入随时间变化的曲线图。从图中能够看出，所获得的控制输入是低频连续的信号，利于在实际应用中的执行。

Claims (2)

1.一种基于直驱泵的快速起竖系统自调节积分鲁棒控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立基于直驱泵的起竖系统数学模型，步骤如下：

步骤1.1、起竖系统采用三铰点直推式布局，得到起竖系统的力矩平衡方程：

式(1)中J为起竖负载相对回转轴的等效转动惯量；q为负载起竖角度，为负载起竖角加速度；F为液压缸作用在起竖机构上的驱动力，即液压缸推力；m为起竖负载总质量；g为重力加速度；L₃为液压缸的上支点到回转轴的距离；L₄为负载质心到回转轴的距离；α为液压缸的上下支点连线与上支点到回转轴连线的夹角；β₀为负载质心到回转轴的水平夹角；

根据余弦定理，计算得到：

式(2)中L为液压缸的上下支点距离；L₁为液压缸的下支点到回转轴的距离；q₀为液压缸的下支点到回转轴的水平夹角；

再由正弦定理，得：

根据式(1)、(2)、(3)，计算得到液压缸推力F为：

步骤1.2、为了便于起竖系统数学模型的建立，作出如下假设：

假设1：油液的体积弹性模量为常数；

假设2：液压缸只有内泄漏，没有外泄漏；

假设3：忽略管道压力损失和插装阀压降；

假设4：不考虑回油背压的影响；

根据牛顿第二定律，起竖系统动力学方程为：

p₂≈0 (6)

式(5)中，A₁为液压缸无杆腔的活塞作用面积，A₂为液压缸有杆腔的活塞作用面积；p₁为液压缸无杆腔的压力，p₂为液压缸有杆腔的压力；B为粘性摩擦系数；为负载起竖角速度；表征的是库伦摩擦力矩，其中A_f为库伦摩擦的幅值，S_f(·)为连续的近似库伦摩擦形状函数；t为起竖系统的时间常量；d(t)为起竖系统未建模干扰项；y为液压缸活塞的位移；

直驱泵的输出流量与伺服电机转速有关，而转速又与控制电压成正比；因此直驱泵的流量Q为：

Q＝K_ωV_gu (7)

式(7)中，K_ω为伺服电机的转速增益系数；V_g为直驱泵的排量；u为控制电压，即自调节积分鲁棒控制器；

起竖系统流量连续性方程为：

式(8)中，V₁＝V₀₁+A₁y为液压缸无杆腔的容积，且V₀₁为无杆腔的初始容积；为液压缸活塞的运动速度；β_e为液压油的有效体积弹性模量；C_t为液压缸的内泄漏系数；/>为无杆腔压力变化速率；

步骤1.3、定义起竖系统状态变量其中x₁为起竖系统角度位置变量，起竖系统角速度变量/>为起竖系统角加速度变量，x₃为压力变量，/>为驱动力变化速率，得到基于直驱泵的起竖系统的状态空间方程为：

式(9)中，中间变量函数中间变量函数/>中间变量函数/>中间变量函数/>中间变量函数中间变量函数/>中间变量函数/>关于未建模干扰的中间变量函数/>θ₁＝B、θ₂＝A_f、θ₃＝K_ωβ_eV_g、θ₄＝β_e、θ₅＝β_eC_t均为中间变量；

定义未知参数向量θ＝[θ₁,θ₂]^T，其中向量θ₁＝[θ₁,θ₂]^T，未知参数子向量θ₂＝[θ₃,θ₄,θ₅]^T，表示θ的估计值，且参数估计误差/>

为便于控制器设计，假设如下：

假设1：基于直驱泵的起竖系统未知参数向量θ的大小范围已知，即

θ∈{θ:θ_min≤θ≤θ_max} (10)

式(10)中，θ_max和θ_min分别对应为θ的已知上下界；

假设2：关于未建模干扰的中间变量函数D(t)足够光滑，使得均存在并有界即：

式(11)中为D(t)的一阶微分项，/>为D(t)的二阶微分项；δ₁、δ₂均为未知正常数；

步骤2，根据上述基于直驱泵的起竖系统数学模型，设计自调节积分鲁棒控制器，具体如下：

步骤2.1、定义z₁＝x₁-x_1d为基于直驱泵的起竖系统的跟踪误差，x_1d是系统期望跟踪的位置指令且该指令二阶连续可微，为期望速度，/>为期望加速度，根据式(9)中的第一个方程/>选取x₂作为虚拟控制对象，使方程/>趋于稳定状态；设计α₁为x₂的虚拟控制律，第二通道误差z₂＝x₂-α₁，对z₁求导，得：

式(13)中，为中间变量，可调增益k₁＞0，则

步骤2.2、为获得一个额外的控制器设计自由度，定义一个辅助的误差信号r：

式(15)中，为中间变量，可调增益k₂＞0，根据式(9)和(15)，r的展开式如下：

式(16)中，为中间变量，将x₃视为虚拟控制输入，设计α₂为虚拟控制函数，第三通道误差z₃＝x₃-α₂，虚拟控制函数α₂设计为：

式(17)中，k_r为正的反馈增益，为θ₁的估计值，/>为θ₂的估计值，α_2a为基于直驱泵的起竖系统模型的前馈补偿项，α_2s为鲁棒控制律，且其中α_2s1为线性鲁棒反馈项，α_2s2为用于抑制未建模扰动项的非线性鲁棒项；

将式(17)代入式(16)中得：

式(18)中，为θ₁的参数估计误差，/>为参数自适应回归函数；

根据积分鲁棒控制器设计方法，用于抑制未建模扰动项的非线性鲁棒项α_2s2设计为：

式(19)中，τ为积分变量；sign(·)为标准的符号函数；β为鲁棒增益，为β的估计值；β需满足以下条件：

其中，δ₁、δ₂均为未知正常数；

式(18)对r求导，再结合式(9)、式(15)、式(19)，得：

式(21)中，为中间变量，/>为中间变量函数，/>为中间变量，/>为中间变量，/>为中间变量向量，/>为中间变量函数，/>为中间变量；

根据式(21)，自调节积分鲁棒控制器设计为：

式(22)中，k₃为正的反馈增益，u_a为基于直驱泵的起竖系统模型的前馈补偿项，u_s为鲁棒控制项，为θ₃的估计，/>为θ₄的估计，/>为θ₅的估计；将式(22)代入式(21)中得：

式(22)中，为θ₂的参数估计误差，/>为参数自适应回归函数；此外，z₃的动态方程为

式(24)中，为中间变量；

步骤2.3、的在线参数自调节误差符号律：

式(25)中，为中间变量，γ是可调的正的自调节误差符号律增益；

转入步骤3；

步骤3，运用李雅普诺夫稳定性理论对设计的自调节积分鲁棒控制器进行稳定性证明，得到起竖系统的渐近稳定的结果，具体如下：

定义辅助函数L(t)、辅助函数P(t)：

其中：

式(28)中，ζ_b为中间变量，z₂(0)表示z₂的初始值，表示/>的初始值；/>为D(t)的一阶微分项；

当时，P(t)≥0，因此定义李雅普诺夫函数V如下：

其中，是β的估计误差，Γ₁和Γ₂均为正定对角矩阵；

运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的渐近稳定的结果，因此通过调节增益k₁、k₂、k₃、k_r及γ，使得系统的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。

2.根据权利要求1所述的基于直驱泵的快速起竖系统自调节积分鲁棒控制方法，其特征在于：上述起竖系统未建模干扰项包括未建模的非线性摩擦、外部干扰。