CN110928182B - 基于状态估计的液压伺服系统鲁棒自适应重复控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于状态估计的液压伺服系统鲁棒自适应重复控制方法，该方法步骤如下：首先建立液压系统的数学模型，做出如下假设：系统的未建模干扰足够光滑，使得其存在并有界；期望位置轨迹三阶可微并且有界；其次，构建鲁棒自适应重复控制器，并运用滑模观测器对鲁棒自适应重复控制器的各阶状态进行估计；最后，运用李雅普诺夫稳定性理论对液压伺服系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的渐进稳定的结果。本发明有效地解决了传统重复控制方法的控制律带宽很高的问题，获得了更好的跟踪性能。

Description

基于状态估计的液压伺服系统鲁棒自适应重复控制方法

技术领域

本发明涉及液压伺服控制领域，特别是一种基于状态估计的液压伺服系统鲁棒自适应重复控制方法。

背景技术

液压控制在工业界的应用有着近百年的历史，由于液压系统具有重量轻、尺寸小、反应迅速、负载刚度大等优点，所以被广泛应用在航天、军事、民用工业上，随着工业技术的快速发展，工业领域对液压系统的高精度、高效率控制提出了更高的要求，但由于液压系统是典型的非线性系统并具有固定的非线性特性以及存在于系统中的各种不确定性，因此，非线性、参数不确定性和未建模干扰在液压系统中逐渐成为现实开发先进控制器的主要障碍，使得传统的基于传递函数的线性化控制方法很难满足目前高精度、高性能的控制要求，非线性及建模不确定性已经成为限制液压伺服系统跟踪性能提升的瓶颈。

针对液压系统的建模不确定性和非线性控制问题，许多方法相继被提出，例如自适应控制，鲁棒控制等，自适应控制是估算未知但恒定参数并提高跟踪精度的有力工具。然而，当面对大的未建模干扰时，它可能会不稳定。另一方面，非线性鲁棒控制可以有效地增强闭环系统对未建模干扰的鲁棒性。事实上，在某些情况下，鲁棒控制可能等同于高增益反馈，同时也不适用于仅具有参数不确定性的良好建模的非线性系统。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于状态估计的液压伺服系统鲁棒自适应重复控制方法，有效地解决了传统重复控制方法的控制律带宽很高的问题。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于状态估计的液压伺服系统鲁棒自适应重复控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立液压伺服系统的数学模型；

步骤2，设计基于状态估计的鲁棒自适应重复控制器；

步骤3，运用李雅普诺夫稳定性理论对液压伺服系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的渐进稳定的结果。

本发明与现有技术相比，其显著优点是：(1)有效地解决了传统重复控制方法的控制律带宽很高的问题；(2)获得了更好的跟踪性能，仿真结果验证了其有效性；(3)可靠稳定，应用前景广阔。

附图说明

图1是本发明基于状态估计的液压伺服系统鲁棒自适应重复控制方法的流程图。

图2是单出杆液压缸系统的典型示意图。

图3是期望跟踪指令的示意图。

图4是状态估计和状态估计误差曲线图，其中图(a)是x₂的估计曲线图，图(b)是x₂的估计误差曲线图，图(c)是x₃估计曲线图，图(d)是x₃的估计误差曲线图。

图5中，图(a)、(b)、(c)、(d)分别是未知常值参数向量

中a₁、b₁、a₂、b₂估计值随时的变化曲线图。

图6是系统的控制输入曲线图。

图7是跟踪信号和跟踪误差曲线图，其中图(a)是跟踪信号曲线图，图(b) 是跟踪误差曲线图。

具体实施方式

下面结合实例及具体实施例对本发明做进一步详细说明

结合图1～2，本发明所述的基于状态估计的液压伺服系统鲁棒自适应重复控制方法，包括以下步骤：

步骤1、建立液压伺服系统的数学模型，具体如下：

步骤1.1、液压位置伺服系统为通过伺服阀控制的单出杆液压缸驱动惯性负载的系统，根据牛顿第二定律，单出杆液压缸惯性负载的动力学模型方程为：

式(1)中，m为负载的质量，B为粘性摩擦系数，

库伦摩擦力和与系统状态相关的建模不确定性，d(t)是其他未建模干扰，y为惯性负载的位移，

为惯性负载的速度，

为惯性负载的加速度，P_L为负载压力，A为负载面积， t为时间变量。

忽略液压缸外泄漏，负载压力动态方程可以写成：

其中β_e是有效容积模量、C_t是内泄露系数、V_t是总的作用体积、Q_L为负载流量，q(t)为建模误差；

对于电液伺服阀，阀芯位移x_v与控制输入u近似为比例环节，即x_v＝k_iu，因此，得到电液伺服阀流量方成为：

式中

为流量增益，k_i为伺服阀增益，u为实际控制输入，P_s为供油压力，C_d为流量系数，ω为阀芯面积梯度，ρ为液压油密度。sign(u)定义为：

步骤1.2、定义状态变量：

由式(1)、(2)、(3)由得：

即：

则系统的状态方程为：

式(5)中：

式(5)的空间状态方程可以写成：

式(7)中，中间变量θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]^T，

θ₁＝mV_t/(4β_eAk_t),θ₂＝A/k_t+BC_t/(Ak_t),θ₃＝C_tm/(Ak_t)+V_tB/(4β_eAk_t)

系统控制器设计的目标为给定系统位置参考信号y_d(t)＝x_1d(t)，设计一个有界的连续控制输入u使得系统的输出y＝x₁尽可能的跟踪系统的参考信号。

步骤1.3、构建液压伺服系统设计模型

尽管建模不确定性f(x₁,x₂,x₃)是未知的，但是对于执行周期性任务的液压伺服系统，其建模不确定性在一定时间以后也会呈现出相同的周期性，因此可以利用重复控制的方法处理此类周期性建模不确定性，而对于非周期性的建模不确定性和其他未建模干扰

可设计鲁棒控制器以抑制其对跟踪性能的影响。因此式 (7)可以写成如下形式：

式(8)中，中间变量

由(8)式可知，f(x_1d,x_2d,x_3d)只与参考位置信号及其导数有关，为了简便起见定义非线性函数：f_d(t)＝f(x_1d,x_2d,x_3d)，对于周期性位置参考信号x_1d(t)，具有如下性质：

x_1d(t-T)＝x_1d(t) (9)

式(9)中，T为已知的最小正周期，显然f_d(t)也是周期性的，因此

f_d(t-T)＝f_d(t) (10)

采用傅里叶级数对周期性的非线性函数f_d(t)进行近似可得

式中：a₀为非线性函数f_d(t)的傅里叶级数展开式中的常值；a_n和b_n均为常值系数，角速度ω＝2π/T，T为周期，n≥1为正整数，考虑到机械系统的传递函数在物理意义上等价于一个具有有限带宽的低通滤波器，因此f_d(t)可以用式 (11)中的有限频率部分表示，即在实际中，式(11)中的有限项傅里叶级数可以很好地近似为：

为简化系统方程，定义未知常值参数向量

和中间变量Φ为：

基于式(12)和(13)，式(8)可写成：

为了便于控制器设计，有如下假设：

假设1：系统参考指令信号x_1d(t)是三阶连续可微的，且其各阶导数有界；

假设2：不确定项

二阶连续可微且满足：

其中，δ₁、δ₂分别为

一阶导数绝对值数和二阶导数绝对值的上界；

假设3：期望的位置轨迹y_d∈C³且有界，在实际的液压系统中，P_L总是受限于P_s，即：0＜|P_L|＜P_s。

步骤2、设计基于状态估计的鲁棒自适应重复控制器

在实际工程中，所有的状态都需要测量，就导致了测量成本的增加，所以这里用滑模观测器对系统的各阶状态进行估计；

步骤2.1、令

表示x的估计，估计误差为：

根据式(14)构建滑模观测器：

式(17)中，L式观测器中的Lipschitz常数，λ₁、λ₂、λ₃、λ₄是正观测系数，v_i、e_i为观测器中间变量，i＝1,2,3,4；

由(14)可得系统加入观测器后的模型为：

步骤2.2、定义系统的跟踪误差z₁＝x₁-x_1d，x_1d是系统期望跟踪的位置指令且该指令三阶连续可微，根据式(14)中的第一个方程

选取x₂为虚拟控制，使方程

趋于稳定状态；令α₁为虚拟控制的期望值，α₁与真实状态x₂的误差z₂＝x₂-α₁，对z₁求导得：

设计虚拟控制律：

式(20)中，可调增益k₁＞0，则：

由于z₁(s)＝G(s)z₂(s)，式中，G(s)＝1/(s+k₁)，G(s)为一个稳定的传递函数，k₁为正反馈增益，s为复参数，当z₂趋于0时，z₁也必然趋于0，接下来以使z₂趋于0为设计目标；

选取x₃为虚拟控制，使方程

趋于稳定状态；令α₂为虚拟控制的期望值，α₂与真实状态x₃的误差z₃＝x₃-α₂，对z₂求导得：

设计虚拟控制律：

式(23)中，可调增益k₂＞0，则

由于z₂(s)＝G(s)z₃(s)，式中，G(s)＝1/(s+k₂)，G(s)为一个稳定的传递函数，当z₃趋于0时，z₂也必然趋于0，接下来以使z₃趋于0为设计目标；

定义如下状态变量：

式(25)中k₁、k₂、k₃是正反馈增益，在(25)中，我们定义了辅助误差信号r(t)以获得额外的设计自由。值得注意的是，滤波跟踪误差r(t)是不可测量的，因为它取决于加速度的时间导数，并且它仅被引入以辅助以下控制器设计。根据(25)，可以给出以下扩展公式

根据式(14)，可以得到r(t)的展开形式：

根据式(27)，基于模型的控制器设计为：

U＝U_a+U_s

式中：

中间变量

式(28)中

和

分别为参数θ和

的估计值，且定义

分别为参数θ和

的估计误差；k_r＞0为线性反馈增益；β＞0为积分鲁棒反馈增益；

为增益β的估计值，且定义估计误差

U_a为模型补偿项，U_s为鲁棒项；步骤2.3、参数自适应律及增益β自适应律设计为：

式(29)中Γ_θ和

均为正定常值对角自适应律矩阵；Γ_β为正定的自适应增益，sign(z₃)为符号函数，由于式(29)中含有不可测的信号r(t)，因此对其采用分部积分处理，得到实际执行的自适应律如下：

将式(28)和(29)代入式(27)中，并对式(27)求导可得：

步骤3、运用Lyapunov稳定性理论对液压伺服系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的渐进稳定的结果。

引理1：定义辅助函数：

若积分鲁棒反馈增益β的选取满足如下条件：

则如下定义的函数恒为非负，即：

引理1的证明：

对(32)式两边积分并运用式(33)得：

对式(35)后两项分部积分得：

故：

从式(37)可以看出，若β的选取满足式(33)所示的条件时，易推断引理1 的成立。

定理1、对于式(18)描述的系统，满足假设1、假设2，利用式(28)的鲁棒自适应重复控制器，当k₁,k₂,k₃,k_r取得足够大使得如下定义矩阵Λ为正定矩阵：

式(38)中k₄、c₁、c₂、c₃均为中间变量且分别对其作如下定义：

结合式(29)中的参数自适应律，则液压伺服系统的位置输出可渐进跟踪参考位置信号，即当t→∞时，跟踪误差z₁→0。

定义误差向量：

选取Lyapunov函数

显然函数V满足如下性质：

W₁(ξ)≤V≤W₂(ξ) (41)

式(41)中：

且λ_min(·)和λ_max(·)为矩阵的最小、最大特征值,v₁、v₂为中间变量，W(ξ)为对于任意ξ∈Ω都为正的连续函数；

求函数V对时间的微分，并结合式(25)、(26)、(27)、(32)可得

代入式(29)的自适应律可得

代入式(39)定义的c₁,c₂,c₃，得

代入式(39)中的k₄，式(38)的矩阵Λ为正定矩阵，可以将式(44)写成：

式(45)中

有：

基于式(25)可得：

将式(47)代入式(46)，可得：

基于假设(1)和假设(2)，并对式(48)运用均值定理可得：

式(49)中：ρ为恒正的不减函数。

因此，结合如下不等式的性质：

式(45)可简化为：

由式(51)可知，当

时，有：

式(52)中：系数μ为正数，W(ξ)为对于任意ξ∈Ω都为正的连续函数，且有：

因此，根据式(53)可以推断，在域Ω内，z、

和

有界，由假设(1) 可以推断x₁,x₂和x₃有界，因为常值参数θ和

及增益β有界，因此

和

有界，根据式(28)可以判断控制输入U有界，再根据假设(2)可得实际控制输入u有界，基于(25)、(27)可知

范数，即

范数，因此函数W(ξ)一致连续，由Barbalat引理可知当系统初始条件满足ξ(0)∈S时，且

则当t→∞,W(ξ)→0，进而有当t→∞,z₁→0；

因此有结论：针对液压伺服系统设计的状态可估计的误差符号疾风鲁棒重复控制器可使系统达到渐进稳定的结果。即系统获得渐进跟踪稳定。

实施例

为考核所设计的控制器性能，在仿真中取如下参数对液压系统进行建模：

m＝40kg，B＝4000，k_t＝1.18×10^-8m³/s/V/Pa^1/2，A＝904.778mm²， V＝3.98×10^{- 5}m³，P_s＝12MPa，P_r＝0，β_e＝700Mpa，C_t＝3×10^-12m³/s/Mpa。

近似的库伦摩擦力中：A_f＝100Nm,S_f(x₂)＝arctan(900x₂)。

给定系统的期望指令为：x_1d＝0.02sin(t)[1-exp(0.01t³)](rad)。

估计状态的滑模观测器中：L＝1,λ_i＝{12,8,5,3},i＝1,2,3,4。

鲁棒自适应重复控制器：其控制增益取为k₁＝1500，k₂＝300，k₃＝10， k_r＝10；傅里叶级数展开式中m＝2，建模不确定性近似项中的未知常值参数自适应增益

积分鲁棒反馈增益β＝10，θ₁＝mV_t/(4β_eAk_t)、θ₂＝A/k_t+BC_t/(Ak_t)、θ₃＝C_tm/(Ak_t)+V_tB/(4β_eAk_t)均取名义值且已知。

控制率作用效果：

结合图3～4，在给定期望指令时，在一定的误差范围内，滑模观测器可以准确估计出x₂、x₃的值；

图5是(a)、(b)、(c)、(d)分别是未知常值参数向量

中a₁、b₁、a₂、b₂估计值随时的变化曲线图，在给a₁、b₁、a₂、b₂任意初值的情况下，利用自适应律对其进行实时更新，获得了更小的跟踪误差；

结合图6～7，给定系统的期望指令x_1d＝0.02sin(t)[1-exp(0.01t³)](rad)，通过设计的控制器得到系统的实际控制输入，使系统的跟踪信号很好的跟踪期望指令，并且跟踪误差在有限时间后趋于稳态，如图7(b)所示，稳态跟踪误差的幅值约为8×10^-5(rad)

综上所述，基于状态估计的液压伺服系统鲁棒自适应重复控制方法在仿真环境下能够准确的估计出系统的状态，本发明设计的控制器能够极大的提高存在干扰的情况下系统的控制精度。

虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰，本发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。

Claims (1)

1.一种基于状态估计的液压伺服系统鲁棒自适应重复控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立液压伺服系统的数学模型，转入步骤2；

步骤2，设计基于状态估计的鲁棒自适应重复控制器，转入步骤3；

步骤3，运用李雅普诺夫稳定性理论对液压伺服系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的渐进稳定的结果；

步骤1所述建立液压伺服系统的数学模型，具体如下：

步骤1.1、液压位置伺服系统为通过伺服阀控制的单出杆液压缸驱动惯性负载的系统，根据牛顿第二定律，单出杆液压缸惯性负载的动力学模型方程为：

式(1)中，m为负载的质量，B为粘性摩擦系数，

库伦摩擦力和与系统状态相关的建模不确定性，d(t)是其他未建模干扰，y为惯性负载的位移，

为惯性负载的速度，

为惯性负载的加速度，P_L为负载压力，A为负载面积，t为时间变量；

步骤1.2、定义状态变量：

则式(1)运动方程转化为状态方程：

其中，中间变量θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]^T，θ₁＝mV_t/(4β_eAk_t),θ₂＝A/k_t+BC_t/(Ak_t),θ₃＝C_tm/(Ak_t)+V_tB/(4β_eAk_t)，u为系统的控制输入，

为系统未建模的非周期干扰，

未建模周期性干扰

β_e是有效容积模量、C_t是内泄露系数、V_t是总的作用体积、k_t是总的流量增益、P_s是供油压力、U是实际系统的输入、q(t)为系统压力动态建模误差；

步骤1.3、构建液压伺服系统的数学模型：

式(7)写成如下形式：

式(8)中，中间变量

定义：非线性函数f_d(t)＝f(x_1d,x_2d,x_3d)，且f_d(t)只与参考位置信号及其导数有关，采用傅里叶级数对周期性的非线性函数f_d(t)进行近似得：

式中：a₀为非线性函数f_d(t)的傅里叶级数展开式中的常值；a_n和b_n均为常值系数；角速度ω＝2π/T，T为周期，n≥1，且为正整数；考虑到机械系统的传递函数在物理意义上等价于一个具有有限带宽的低通滤波器，因此f_d(t)用式(4)中的有限频率部分表示，即在实际中，式(11)中的有限项傅里叶级数近似为：

基于式(12)，式(8)写成：

其中中间变量θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]^T，f_d(t)中未知常值参数向量定义为

中间变量Φ＝[cosωt,sinωt,…,coshωt,sinhωt]^T；

做如下假设：

假设1：系统参考指令信号x_1d(t)是三阶连续可微的，且其各阶导数有界；

假设2：不确定项

二阶连续可微且满足：

其中，δ₁、δ₂分别为

一阶导数绝对值数和二阶导数绝对值的上界；

假设3：期望的位置轨迹y_d∈C³，其中C³代表三阶可导，实际正常工作下的液压系统的P_L总是有界的，即：0＜|P_L|＜P_s；

步骤2所述的设计基于状态估计的鲁棒自适应重复控制器，步骤如下：

步骤2.1、令

表示x的估计，则估计误差为：

根据式(14)构建滑模观测器：

式(17)中，L为观测器中的Lipschitz常数，λ₁、λ₂、λ₃、λ₄均为正观测系数，v_i、e_i为观测器中间变量，i＝1,2,3,4；

由(14)可得加入观测器后的系统为：

步骤2.2、定义系统的跟踪误差z₁＝x₁-x_1d，x_1d是系统期望跟踪的位置指令且该指令三阶连续可微，根据式(6)中的第一个方程

选取x₂为虚拟控制，使方程

趋于稳定状态；令α₁为虚拟控制的期望值，α₁与真实状态x₂的误差z₂＝x₂-α₁，对z₁求导得：

设计虚拟控制律：

式(20)中，可调增益k₁＞0，则：

由于z₁(s)＝G(s)z₂(s)，式中，G(s)＝1/(s+k₁)，G(s)为一个稳定的传递函数，k₁为正反馈增益，s为复参数，当z₂趋于0时，z₁也必然趋于0，接下来以使z₂趋于0为设计目标；

选取x₃为虚拟控制，使方程

趋于稳定状态；令α₂为虚拟控制的期望值，α₂与真实状态x₃的误差z₃＝x₃-α₂，对z₂求导得：

设计虚拟控制律：

式(23)中，可调增益k₂＞0，则

由于z₂(s)＝G(s)z₃(s)，式中，G(s)＝1/(s+k₂)，G(s)为一个稳定的传递函数，当z₃趋于0时，z₂也必然趋于0，接下来以使z₃趋于0为设计目标；

定义如下状态变量：

z₁＝x₁-x_1d,

为了获得一个额外的控制器设计自由度，定义一个辅助误差信号r(t)式(25)中，可调增益k₃＞0；

根据式(14)和式(25)，有如下的r(t)展开形式：

根据式(27)，基于模型的控制器设计为：

U＝U_a+U_s，

中间变量

式(28)中

和

分别为参数θ和

的估计值，且定义

分别为参数θ和

的估计误差；k_r＞0为线性反馈增益；β＞0为积分鲁棒反馈增益；

为增益β的估计值，且定义估计误差

U_a为模型补偿项，U_s为鲁棒项；

步骤2.3、参数自适应律及增益β自适应律设计为：

式(29)中Γ_θ和

为正定常值对角自适应律矩阵；Γ_β为正定的自适应增益；由于式(29)中含有不可测的信号r(t)，因此对其采用分部积分处理，得到实际执行的自适应律如下：

步骤3所述，运用李雅普诺夫稳定性理论对液压伺服系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的渐进稳定的结果：

定义辅助函数：

经证明当

时，则如下定义函数非负，即：

因此定义Lyapunov函数如下：

运用Lyapunov稳定性理论进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的渐进稳定结果，因此调节增益k₁、k₂、k₃、k_r，Γ_θ、

及Γ_β使系统的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。

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