CN104345640A - 一种输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制方法和系统 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制方法及控制系统，控制方法包括以下步骤：建立电机伺服系统模型；设计输入受限渐进跟踪控制器；合理的设计参数，实现在输入受限情况下的渐进跟踪控制。控制系统包括第一模块和第二模块，第一模块用于建立电机伺服系统模型，第二模块用于设计输入受限渐进跟踪控制器。本发明提供的输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制方法及控制系统采用基于误差符号积分的鲁棒控制器，实现了在干扰存在的情况下的渐进跟踪性能，同时避免了控制量的抖振。

Description

一种输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制方法和系统

技术领域

本发明涉及电机伺服控制领域，特别涉及一种输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制方法。

背景技术

电机伺服系统具有响应速度快、维护方便、传动效率高及能源获取方便等突出优点，在工业领域得到了广泛的应用，如电动汽车、机床进给、工业机械手等。近年来这些领域的蓬勃发展，迫切需要设计新型的电机伺服系统运动控制器，以满足越来越苛刻的性能指标需求。电机伺服系统存在诸多的模型不确定性，包括参数不确定性(如电气增益、随温度及磨损变化的摩擦特性参数等)和不确定非线性(如未建模外干扰、非线性摩擦、输入饱和等)，这些不确定性的存在，必然导致原有基于名义模型设计的控制器的性能衰减甚至导致系统不稳定。

针对电机伺服系统以上诸多复杂问题，先进控制策略的研究工作已大量开展，目前常用的控制方法有自适应、滑膜、自适应鲁棒、误差符号积分等。自适应控制对参数不确定性和不确定非线性中的可参数化部分，可以有效的估计并实现一定的模型补偿，然而对于不可参数化的不确定非线性项，自适应控制无能为力，这一定程度上限制了其在高精度跟踪控制场合的适用性；滑膜控制方法简单，且对于存在有界干扰的系统可以实现渐进的跟踪控制，然而滑膜控制器中不连续符号函数所带来的颤振现象，易导致系统控制性能的衰减，甚至容易激发系统的高频未建模动态，造成系统失稳，现有的改善滑膜抖动措施的控制方法较少且复杂；自适应鲁棒控制兼顾了系统的参数不确定性和不确定非线性，在工业领域得到了很多的较好的尝试，然而自适应鲁棒控制中的鲁棒项，其设计依赖所有不确定项的最大上界，这不可避免的存在高增益反馈的保守性，当外干扰逐渐增大时，这种保守型将愈发明显，此外在干扰存在的情况下，自适应鲁棒控制器只可实现有界稳定；误差符号积分鲁棒控制可以实现存在不确定非线性的情况下的渐进跟踪控制，在电动机械手上得到了很好的应用，而传统误差符号积分鲁棒控制器只能实现半全局稳定。此外，以上各控制方法，在应用时对于系统物理限制(如输入受限)并未充分考虑。

总的来说，现有电机伺服系统控制技术的不足之处主要有以下几点：(1)系统不确定非线性考虑不充分。这主要包括两方面，首先是系统的非线性摩擦项，以往的控制器设计中，大多只考虑系统粘性摩擦，而对于摩擦中存在的低速时的Stribeck效应并未考虑，这对于低速跟踪控制场合极为不利，此外，虽然LuGre摩擦模型中考虑了Stribeck效应，但相应的摩擦特性参数较难获取；其次是系统不可避免的外部干扰项，这必然导致所涉及控制器的性能降价。(2)未考虑实际物理限制。由于实际硬件条件或者其他特殊指标需求，系统的输入常常会有预设的幅值限制，这给原控制器的有效性带来很大的威胁，应该加以考虑。(3)高增益反馈。这在滑膜和自适应鲁棒的设计中都有一定的体现，以不确定项的最大上界作为反馈来减小跟踪误差，在存在设计保守性的同时，甚至容易激发系统高频未建模动态，造成系统失稳。

发明内容

为了克服上述现有技术的不足，本发明提供一种输入受限时电机伺服系统的渐进跟踪控制方法及控制系统，采用基于误差符号积分的鲁棒控制器，实现了在干扰存在的情况下的渐进跟踪性能，同时避免了控制量的抖振。

一种输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立电机伺服系统模型；

步骤2，设计输入受限渐进跟踪控制器；

步骤3，合理的设计参数，在输入受限情况下的渐进跟踪控制。

作为本发明的改进，步骤1中电机伺服系统模型的建立过程为：

步骤1.1，建立电机伺服系统的动力学方程(1)、(2)，

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{i}u-F_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)+\mathrm{\Δ}---\left(1\right)$

$F_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)=r_1(\tanh \left(s_1\stackrel{\·}{y}\right)-\tanh \left(s_2\stackrel{\·}{y}\right))+r_2\tanh \left(s_3\stackrel{\·}{y}\right)+r_3\stackrel{\·}{y}---\left(2\right)$

其中m为惯性负载，y是系统输出的位置，u是控制输入，k_i为电压力矩常数，Δ为未建模干扰项；为摩擦项，具体形式如公式(2)所示，其中r₁，r₂，r₃为表征摩擦特性的权重因子，s₁，s₂，s₃为不同摩擦部分的形状因子；

步骤1.2，定义状态变量则动力学方程转化为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ \stackrel{\‾}{m}{\stackrel{\·}{x}}_2=u-{\mathrm{\θ}}_1{f}_1\left(x_2\right)-{\mathrm{\θ}}_2{f}_2\left(x_2\right)-{\mathrm{\θ}}_3{x}_2+d\end{array}---\left(3\right)$

其中θ₁＝r₁/k_i，θ₂＝r₂/k_i，θ₃＝r₃/k_i，d＝Δ/k_i，

f₁(x₂)＝tanh(s₁x₂)-tanh(s₂x₂)，f₂(x₂)＝tanh(s₃x₂)，为等效已知惯性负载；

假设非线性项d存在二阶导数，且有界，即满足σ₁，σ₂大于零的已知常数。

作为本发明的一种改进，步骤2的具体过程为：

步骤2.1，定义电机伺服系统误差变量：

根据公式(3)定义如下系列误差变量：

$\begin{array}{c}{z}_2={\stackrel{\·}{z}}_1+k_1{z}_1+\tanh \left(z_f\right)=x_2-x_{2\mathrm{eq}}+\tanh \left(z_f\right)\\ x_{2\mathrm{eq}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\stackrel{\·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1\\ {\stackrel{\·}{z}}_f={\cosh }^2\left(z_f\right)(-{\mathrm{\γ}}_1{k}_{r1}{z}_2-k_{r2}\tanh \left(z_f\right))\\ r={\stackrel{\·}{z}}_2+k_2{z}_2\end{array}---\left(4\right)$

公式(4)中，z₂为辅助误差量，x_1d为系统跟踪位置指令，z₁＝x₁-x_1d为系统跟踪误差，x_2eq为辅助信号量，r和z_f为辅助误差量，用于随后的控制器设计，k₁，k₂，k_r1，k_r2均为正的反馈增益；

结合公式(4)的第四个方程和公式(2)可得：

公式(5)中 $B_1={\mathrm{\θ}}_1[f_1\left(x_2\right)-f_1\left({\stackrel{\·}{x}}_{1d}\right)],B_2={\mathrm{\θ}}_2[f_2\left(x_2\right)-f_2\left({\stackrel{\·}{x}}_{1d}\right)],$ B₁+B₂满足利普希茨条件；

步骤2.2，确定实际控制器输入u：

公式(6)中u_a表示模型补偿控制器，u_s表示鲁棒控制器，v表示虚拟辅助控制量，β表示正的可调参数，γ₁表示一个正实数用于调节鲁棒控制器，θ₁、θ₂、θ₃都是将系统方程参数化后，系统的未知参数，便于使用自适应律；表示系统各未知参数估计值，表示参数自适应律，Γ表示自适应回归参数矩阵，表示基于指令的参数回归器，公式(6)第六个方程表示实际应用时参数估计值的计算方法；

将公式(6)中控制量u代入公式(5)中，可得

其中

进一步对公式(7)求导可得

公式(7)、(8)中，表示参数估计误差；

步骤2.3，验证系统稳定性：

定义李亚普诺夫函数如下：

$V=\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{1}{2}{z_2}^2+\frac{1}{2}\stackrel{\‾}{m}{r}^2+\frac{1}{2}{\tanh }^2\left(z_f\right)+P+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\θ}}---\left(9\right)$

公式(9)所示李亚普诺夫函数中P的选取满足下式：

$\begin{array}{c}P={\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\β}\left|z_2\left(0\right)\right|-z_2\left(0\right)\stackrel{\·}{d}\left(0\right)-{\∫}_0^{t}R\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}\\ R\left(t\right)=r[\stackrel{\·}{d}-{\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\βsign}\left(z_2\right)]\end{array}---\left(10\right)$

公式(10)中β选取β≥(σ₁+σ₂/k₂)/γ₁；

对李亚普诺夫函数求导，结合公式(4)、(6)、(8)和利普希茨条件证明控制器稳定性。

作为本发明的一种改进步骤3参数包括k₁，k₂，k_r1，k_r2，γ₁，参数设计合理的标准为：

(1)满足矩阵Λ为正定矩阵，

$\mathrm{\Λ}=\left[\begin{array}{cccc}{k}_1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{c_2}{2}\\ -\frac{1}{2}& k_2& -\frac{{\mathrm{\γ}}_1{k}_{r1}}{2}& -\frac{c_3}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{{\mathrm{\γ}}_1{k}_{r1}}{2}& k_{r2}& -\frac{c_4}{2}\\ -\frac{c_2}{2}& -\frac{c_3}{2}& -\frac{c_4}{2}& c_1\end{array}\right]---\left(16\right)$

(2)保证电机伺服系统的控制输入u在冒犯输入约束值时能迅速降幅并稳定在系统允许的正常值，同时保证控制器的有效作用；

(3)系统跟踪误差明显小于PID控制器作用下的跟踪误差，其中PID控制器的参数由MATLAB自带的PID工具箱自整定得到。

一种输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制系统，包括第一模块和第二模块：

第一模块用于建立电机伺服系统模型；

第二模块用于设计输入受限渐进跟踪控制器。

本发明与现有技术相比，具有以下优点：本发明选用电机伺服作为研究对象，同时考虑了系统参数不确定性、非线性摩擦特性、未建模外干扰以及输入受限，设计了精确的渐进跟踪控制器；针对系统参数不确定性，采用基于指令的参数回归器进行自适应律的设计，降低了状态噪声对参数估计过程的影响；针对非线性摩擦特性，采用连续可微摩擦模型，较好的逼近了摩擦中的Stribeck效应，改善了电机伺服系统的低速跟踪特性；针对未建模外干扰，采用基于误差符号积分的鲁棒控制器，实现了在干扰存在的情况下的渐进跟踪性能，同时避免了控制量的抖振；针对输入物理限制，利用双曲正切函数的固有性质，实现了对控制量幅值的有效规划，避免了因输入受限导致的控制器失效，同时保证渐进跟踪。对比仿真结果验证了控制器的有效性。

下面结合附图进一步说明本发明所提供的一种输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制方法和系统。

附图说明

图1是本发明的电机伺服系统示意图；

图2是本发明控制方法原理示意图；

图3是实施例一系统跟踪的位置指令曲线；

图4是实施例一系统跟踪的控制输入对比曲线；

图5是实施例一系统跟踪的位置跟踪误差对比曲线；

图6是实施例一系统跟踪的系统各参数的估计值曲线；

图7是实施例二系统跟踪的位置指令曲线；

图8是实施例二系统跟踪的控制输入对比曲线；

图9是实施例二系统跟踪的位置跟踪误差对比曲线；

图10是实施例二系统跟踪的系统各参数的估计值曲线；

图11是本发明控制系统示意图。

具体实施方式

结合图1和图2说明本实施方式，本实施方式所述一种输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制方法的具体步骤如下：

步骤1，建立电机伺服系统模型，根据牛顿第二定律，电机伺服系统的动力学方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{i}u-F_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)+\mathrm{\Δ}---\left(1\right)$

$F_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)=r_1(\tanh \left(s_1\stackrel{\·}{y}\right)-\tanh \left(s_2\stackrel{\·}{y}\right))+r_2\tanh \left(s_3\stackrel{\·}{y}\right)+r_3\stackrel{\·}{y}---\left(2\right)$

公式(1)为电机伺服系统动力学方程，由于电气部分的带宽远远高于机械部分带宽，工程实际中关注的系统性能一般多受机械部分性能制约，因此本发明中的电机伺服系统建模忽略了电气部分动态。公式(1)中m为惯性负载，k_i为电压力矩常数，Δ为未建模干扰项；为非线性摩擦项，具体为公式(2)所示连续可微形式，其中r₁,r₂,r₃为表征摩擦特性的权重因子，s₁,s₂,s₃为表征不同摩擦部分的形状因子；定义状态变量则动力学方程转化为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ \stackrel{\‾}{m}{\stackrel{\·}{x}}_2=u-{\mathrm{\θ}}_1{f}_1\left(x_2\right)-{\mathrm{\θ}}_2{f}_2\left(x_2\right)-{\mathrm{\θ}}_3{x}_2+d\end{array}---\left(3\right)$

公式(3)中θ₁＝r₁/k_i,θ₂＝r₂/k_i,θ₃＝r₃/k_i,d＝Δ/k_i,f₁(x₂)＝tanh(s₁x₂)-tanh(s₂x₂),f₂(x₂)＝tanh(s₃x₂)，为等效已知惯性负载。

在介绍控制器设计步骤前，先作假设：非线性项干扰d存在二阶导数，且有界，即满足其中σ1和σ2为正的已知常数。

步骤2，设计输入受限渐进跟踪控制器的具体步骤如下：

步骤2.1，定义系统误差变量：

根据公式(3)定义如下系列误差变量：

$\begin{array}{c}{z}_2={\stackrel{\·}{z}}_1+k_1{z}_1+\tanh \left(z_f\right)=x_2-x_{2\mathrm{eq}}+\tanh \left(z_f\right)\\ x_{2\mathrm{eq}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\stackrel{\·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1\\ {\stackrel{\·}{z}}_f={\cosh }^2\left(z_f\right)(-{\mathrm{\γ}}_1{k}_{r1}{z}_2-k_{r2}\tanh \left(z_f\right))\\ r={\stackrel{\·}{z}}_2+k_2{z}_2\end{array}---\left(4\right)$

公式(4)中，z₂为辅助误差量，z₁＝x₁-x_1d为系统跟踪误差，r和z_f为辅助误差量，用于随后的控制器设计，其中r不出现在最终控制律中。k₁,k₂,k_r1,k_r2均为正的反馈增益；结合公式(4)的第四个方程和公式(2)可得：

公式(5)中 $B_1={\mathrm{\θ}}_1[f_1\left(x_2\right)-f_1\left({\stackrel{\·}{x}}_{1d}\right)],B_2={\mathrm{\θ}}_2[f_2\left(x_2\right)-f_2\left({\stackrel{\·}{x}}_{1d}\right)],$ 由前文f₁和f₂表达式可知，B₁+B₂满足利普希茨条件；

步骤2.2，确定实际控制器输入u：

设计系统最终控制律为：

公式(6)中u_a表示模型补偿控制器，u_s表示鲁棒控制器，v表示虚拟辅助控制量，β表示正的可调参数，γ1同公式(4)中γ1表示一个正实数，用于调节鲁棒控制器，θ₁、θ₂、θ₃都是将系统方程参数化后，系统的未知参数，便于使用自适应律；表示系统各未知参数估计值，表示参数自适应律，Γ表示自适应回归参数矩阵，表示基于指令的参数回归器，。

分析公式(6)，可知模型补偿控制器u_a仅与参数估计和指令有关，必然始终有界，由性质-1≤tanh(v)≤1可得鲁棒控制器u_s也始终有界，且上界可由参数γ1调节，从而可保证在输入受限时控制器的有效性；由于辅助误差信号r中含有系统输出加速度信息，而加速度信息通常较难以获取，所以实际应用中参数自适应律的计算方法采用公式(6)第六个方程。

将公式(6)中控制量u代入公式(5)中，可得

进一步对公式(7)求得可得

公式(7)、(8)中，表示参数估计误差；

步骤2.3，验证系统稳定性：

定义李亚普诺夫函数如下：

$V=\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{1}{2}{z_2}^2+\frac{1}{2}\stackrel{\‾}{m}{r}^2+\frac{1}{2}{\tanh }^2\left(z_f\right)+P+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\θ}}---\left(9\right)$

公式(9)所示李亚普诺夫函数中P的选取满足下式：

$\begin{array}{c}P={\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\β}\left|z_2\left(0\right)\right|-z_2\left(0\right)\stackrel{\·}{d}\left(0\right)-{\∫}_0^{t}R\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}\\ R\left(t\right)=r[\stackrel{\·}{d}-{\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\βsign}\left(z_2\right)]\end{array}---\left(10\right)$

结合公式(4)第四个方程和公式(10)第二个方程，可得：

$\begin{array}{c}{\∫}_0^{t}R\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}={\∫}_0^t({\stackrel{\·}{z}}_2+k_2{z}_2)[\stackrel{\·}{d}-{\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\βsign}\left(z_2\right)]\mathrm{d\τ}\\ ={\∫}_0^t{\stackrel{\·}{z}}_2\stackrel{\·}{d}\mathrm{d\τ}-{\∫}_0^t{\stackrel{\·}{z}}_2{\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\βsign}\left(z_2\right)\mathrm{d\τ}+{\∫}_0^t{k}_2{z}_2[\stackrel{\·}{d}-{\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\βsign}\left(z_2\right)]\mathrm{d\τ}\\ =z_2\stackrel{\·}{d}{|}_0^t-{\∫}_0^t{z}_2\stackrel{\·\·}{d}\mathrm{d\τ}-{\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\β}{\left|z_2\right||}_0^t+{\∫}_0^t{k}_2{z}_2[\stackrel{\·}{d}-{\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\βsign}\left(z_2\right)]\mathrm{d\τ}\\ =z_2\stackrel{\·}{d}-z_2\left(0\right)\stackrel{\·}{d}\left(0\right)-{\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\β}\left|z_2\right|+{\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\β}\left|z_2\left(0\right)\right|+{\∫}_0^t{k}_2[z_2\stackrel{\·}{d}-\frac{1}{k_2}{z}_2\stackrel{\·\·}{d}-{\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\β}|z_2\left|\right]\mathrm{d\τ}\\ =\left|z_2\right|\left|\stackrel{\·}{d}\right|-z_2\left(0\right)\stackrel{\·}{d}\left(0\right)-{\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\β}\left|z_2\right|+{\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\β}\left|z_2\left(0\right)\right|+{\∫}_0^t{k}_2\left|z_2\right|\left[\right|\stackrel{\·}{d}|+\frac{1}{k_2}|\stackrel{\·\·}{d}|-{\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\β}]\mathrm{d\τ}\end{array}$

显然，若选取β≥(σ₁+σ₂/k₂)/γ₁，可保证P始终非负，则李亚普诺夫函数(9)成立。进一步对李亚普诺夫函数求导可得：

对于公式(11)中的项根据公式(4)可得

${\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}=r-(k_1+k_2-{\mathrm{\γ}}_1{k}_{r1})z_2+{k_1}^2{z}_1+(k_1+k_{r2})\tanh \left(z_f\right)---\left(12\right)$

根据利普希茨条件，易知满足以下不等式：

$\begin{array}{c}|{\stackrel{\·}{B}}_1+{\stackrel{\·}{B}}_2|\≤\left|\mathrm{\θ}\right[\frac{{\∂f}_1\left(x_2\right)}{{\∂x}_2}{\stackrel{\·}{x}}_2-\frac{{\∂f}_1\left({\stackrel{\·}{x}}_{1d}\right)}{\∂{\stackrel{\·}{x}}_{1d}}{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}]+{\mathrm{\θ}}_2[\frac{{\∂f}_2\left(x_2\right)}{\∂x_2}{\stackrel{\·}{x}}_2-\frac{{\∂f}_2\left({\stackrel{\·}{x}}_{1d}\right)}{\∂{\stackrel{\·}{x}}_{1d}}{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}\left]\right|\\ \≤\left|{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}\right\{{\mathrm{\θ}}_1[\frac{{\∂f}_1\left(x_2\right)}{{\∂x}_2}-\frac{{\∂f}_1\left({\stackrel{\·}{x}}_{1d}\right)}{\∂{\stackrel{\·}{x}}_{1d}}]+{\mathrm{\θ}}_2[\frac{{\∂f}_2\left(x_2\right)}{{\∂x}_2}-\frac{{\∂f}_2\left({\stackrel{\·}{x}}_{1d}\right)}{\∂{\stackrel{\·}{x}}_{1d}}]\}\\ +[r-(k_1+k_2-{\mathrm{\γ}}_1{k}_{r1})z_2+{k_1}^2{z}_1+(k_1+k_{r2})\tanh \left(z_f\right)][\frac{{\∂f}_1\left(x_2\right)}{{\∂x}_2}+\frac{{\∂f}_2\left(x_2\right)}{{\∂x}_2}]|\end{array}---\left(13\right)$

对于公式(13)，若定义

${\mathrm{\ρ}}_2\left(x_2\right)=|{\∂}^2{f}_2\left(x_2\right)/{\∂x}_2^2{|}_{\max },$

${\mathrm{\ρ}}_3\left(x_2\right)={|\∂f_1\left(x_2\right)/{\∂x}_2|}_{\max },{\mathrm{\ρ}}_4\left(x_4\right)={|{\∂f}_2\left(x_2\right)/{\∂x}_2|}_{\max },$ 则公式(13)转化为：

$\begin{array}{c}|{\stackrel{\·}{B}}_1+{\stackrel{\·}{B}}_2|\≤\left|{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}\right\{{\mathrm{\θ}}_1{\mathrm{\ρ}}_1\left(x_2\right)[z_2-k_1{z}_1-\tanh \left(z_f\right)]+{\mathrm{\θ}}_2{\mathrm{\ρ}}_2\left(x_2\right)[z_2-k_1{z}_1-\tanh \left(z_f\right)]\}\\ +[r-(k_1+k_2-k_{r1})z_2+{k_1}^2{z}_1+(k_1+k_{r2})\tanh \left(z_f\right)][{\mathrm{\ρ}}_3\left(x_2\right)+{\mathrm{\ρ}}_4\left(x_2\right)]|\\ {\≤\mathrm{\ϵ}}_1\left|z_1\right|+{\mathrm{\ϵ}}_2\left|z_2\right|+{\mathrm{\ϵ}}_3\left|r\right|+{\mathrm{\ϵ}}_4\left|\tanh \left(z_f\right)\right|\end{array}---\left(14\right)$

定义误差向量Z＝[|z₁|,|z₂|,|r|,|tanh(z_f)|]^T，将公式(10)、(14)代入公式(11)，则李亚普诺夫函数的导数满足下式：

公式(15)中矩阵Λ定义如下：

$\mathrm{\Λ}=\left[\begin{array}{cccc}{k}_1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{c_2}{2}\\ -\frac{1}{2}& k_2& -\frac{{\mathrm{\γ}}_1{k}_{r1}}{2}& -\frac{c_3}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{{\mathrm{\γ}}_1{k}_{r1}}{2}& k_{r2}& -\frac{c_4}{2}\\ -\frac{c_2}{2}& -\frac{c_3}{2}& -\frac{c_4}{2}& c_1\end{array}\right]---\left(16\right)$

公式(16)中各参数定义如下：

显然，通过合理的设计参数k₁,k₂,k_r1,k_r2,γ₁使矩阵Λ为正定矩阵，可使下式满足：

$\stackrel{\·}{V}\≤-{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(\mathrm{\Λ}\right)[z_1^2+z_2^2+r^2+{\tanh }^2\left(z_f\right)]=-W---\left(18\right)$

公式(18)中λ_min(Λ)表示矩阵Λ的最小特征值，分析公式(18)可知李亚普诺夫函数有界，同时W积分有界，进而可知误差量z₁,z₂,r,tanh(z_f)均有界，结合公式(3)、(4)、(8)可知，系统中所有信号均有界，从而可知W的导数有界，由巴巴拉特引理可知，当时间趋于无穷大时，W趋近于零，也即跟踪误差趋近于零，从而实现在输入受限情况下的渐进跟踪控制。

保证电机伺服系统的控制输入u在冒犯输入约束值时能迅速降幅并稳定在系统允许的正常值，同时保证控制器的有效作用；

系统跟踪误差明显小于PID控制器作用下的跟踪误差，其中PID控制器的参数由MATLAB自带的PID工具箱自整定得到。

结合图11，一种输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制系统，包括第一模块和第二模块：

第一模块用于建立电机伺服系统模型；

第二模块用于设计输入受限渐进跟踪控制器。

第一模块具体建立方式如下：

根据牛顿第二定律，电机伺服系统的动力学方程为

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{i}u-F_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)+\mathrm{\Δ}---\left(1\right)$

$F_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)=r_1(\tanh \left(s_1\stackrel{\·}{y}\right)-\tanh \left(s_2\stackrel{\·}{y}\right))+r_2\tanh \left(s_3\stackrel{\·}{y}\right)+r_3\stackrel{\·}{y}---\left(2\right)$

其中m为惯性负载，y是系统输出的位置，u是控制输入，k_i为电压力矩常数，Δ为未建模干扰项；为摩擦项，其中r₁，r₂，r₃为表征摩擦特性的权重因子，s₁，s₂，s₃为不同摩擦部分的形状因子；

定义状态变量则动力学方程转化为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ \stackrel{\‾}{m}{\stackrel{\·}{x}}_2=u-{\mathrm{\θ}}_1{f}_1\left(x_2\right)-{\mathrm{\θ}}_2{f}_2\left(x_2\right)-{\mathrm{\θ}}_3{x}_2+d\end{array}---\left(3\right)$

其中θ₁＝r₁/k_i，θ₂＝r₂/k_i，θ₃＝r₃/k_i，d＝Δ/k_i，

f₁(x₂)＝tanh(s₁x₂)-tanh(s₂x₂)，f₂(x₂)＝tanh(s₃x₂)，为等效已知惯性负载；

假设非线性项d存在二阶导数，且有界，即满足σ₁，σ₂大于零的已知常数；

第二模块设计方式为：

首先，定义电机伺服系统误差变量：

根据公式(3)定义如下系列误差变量：

$\begin{array}{c}{z}_2={\stackrel{\·}{z}}_1+k_1{z}_1+\tanh \left(z_f\right)=x_2-x_{2\mathrm{eq}}+\tanh \left(z_f\right)\\ x_{2\mathrm{eq}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\stackrel{\·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1\\ {\stackrel{\·}{z}}_f={\cosh }^2\left(z_f\right)(-{\mathrm{\γ}}_1{k}_{r1}{z}_2-k_{r2}\tanh \left(z_f\right))\\ r={\stackrel{\·}{z}}_2+k_2{z}_2\end{array}---\left(4\right)$

公式(4)中x_1d为系统跟踪位置指令，z₁＝x₁-x_1d为系统跟踪误差，x_2eq为辅助信号量，r和z_f为辅助误差量，用于随后的控制器设计，k₁，k₂，k_r1，k_r2均为正的反馈增益；

结合公式(4)的第四个方程和公式(2)可得：

公式(5)中 $B_1={\mathrm{\θ}}_1[f_1\left(x_2\right)-f_1\left({\stackrel{\·}{x}}_{1d}\right)],B_2={\mathrm{\θ}}_2[f_2\left(x_2\right)-f_2\left({\stackrel{\·}{x}}_{1d}\right)],$ B₁+B₂满足利普希茨条件；

其次，确定实际控制器输入u：

公式(6)中u_a表示模型补偿控制器，u_s表示鲁棒控制器，v表示虚拟辅助控制量，β表示正的可调参数，γ₁表示一个正实数用于调节鲁棒控制器，θ₁、θ₂、θ₃都是将系统方程参数化后，系统的未知参数，便于使用自适应律；表示系统各未知参数估计值，表示参数自适应律，Γ表示自适应回归参数矩阵，表示基于指令的参数回归器，公式(6)第六个方程表示实际应用时参数估计值的计算方法；

将公式(6)中控制量u代入公式(5)中，可得

其中

进一步对公式(7)求导可得

公式(7)、(8)中，表示参数估计误差；

第三，验证系统稳定性：

定义李亚普诺夫函数如下：

$V=\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{1}{2}{z_2}^2+\frac{1}{2}\stackrel{\‾}{m}{r}^2+\frac{1}{2}{\tanh }^2\left(z_f\right)+P+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\θ}}---\left(9\right)$

公式(9)所示李亚普诺夫函数中P的选取满足下式：

$\begin{array}{c}P={\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\β}\left|z_2\left(0\right)\right|-z_2\left(0\right)\stackrel{\·}{d}\left(0\right)-{\∫}_0^{t}R\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}\\ R\left(t\right)=r[\stackrel{\·}{d}-{\mathrm{\γ}}_1\mathrm{\βsign}\left(z_2\right)]\end{array}---\left(10\right)$

公式(10)中β选取β≥(σ₁+σ₂/k₂)/γ₁；

对李亚普诺夫函数求导，结合公式(4)、(6)、(8)和利普希茨条件证明控制器稳定性。

参数k₁，k₂，k_r1，k_r2，γ₁满足以下标准：

(1)满足矩阵Λ为正定矩阵，

$\mathrm{\Λ}=\left[\begin{array}{cccc}{k}_1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{c_2}{2}\\ -\frac{1}{2}& k_2& -\frac{{\mathrm{\γ}}_1{k}_{r1}}{2}& -\frac{c_3}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{{\mathrm{\γ}}_1{k}_{r1}}{2}& k_{r2}& -\frac{c_4}{2}\\ -\frac{c_2}{2}& -\frac{c_3}{2}& -\frac{c_4}{2}& c_1\end{array}\right]---\left(16\right)$

(2)保证电机伺服系统的控制输入u在冒犯输入约束值时能迅速降幅并稳定在系统允许的正常值，同时保证控制器的有效作用；

(3)系统跟踪误差明显小于PID控制器作用下的跟踪误差，其中PID控制器的参数由MATLAB自带的PID工具箱自整定得到。

实施例一

电机伺服系统参数为惯性负载：m＝0.01kg·m²；电压力矩常数：k_i＝5N·m/V；摩擦特性的权重因子：r₁＝0.1N·m，r₂＝0.05N·m，r₃＝1.025N·m；摩擦形状因子：s₁＝700s/rad,s₂＝15s/rad,s₃＝1.5s/rad。

为了充分验证本发明控制方法对于电机伺服系统的有效性，选取以下两种工况分别进行仿真验证，同时选取工程实际中大量使用的PID控制器作为对比进行仿真验证，其各参数由MATLAB自带的PID工具箱自整定得到。

系统跟踪位置指令选取为：x_1d＝2[sin(0.5πt)][1-exp(-0.1t²)](如图3所示)；系统外干扰的选取为d＝0.5[sin(0.5πt)][1-exp(-0.1t²)]。

控制律参数选取为反馈增益参数：k₁＝3,k₂＝700,k_r1＝1,k_r2＝1；鲁棒项调节增益为：γ₁＝10；自适应回归参数：Γ₁＝2e-4，Γ₂＝6.5e-4，Γ₃＝7.5e-3；参数β＝0.1。

选取系统控制输入电压约束值为|u|≤2V，系统初值条件位移x₁(0)＝1rad。

图4代表系统控制输入对比曲线，从中可以看出，PID控制器在初始段出现了较大的震荡，这是因为控制输入电压约束值的存在，不匹配的初始状态使得PID控制器在初始段超过了该约束值；而本发明控制方法中双曲正切函数可实现对控制量较好的规划作用，从而保证控制输入在冒犯输入约束值能及时降幅并稳定在正常值。稳态段两控制器无明显差别。

图5给出系统跟踪误差对比曲线，从中可以看出，由于初始段的输入震荡，PID控制器下的跟踪误差在初始段出现较大抖动，而本发明控制方法在初始段较平滑；对比稳态段的跟踪精度，本发明控制方法的效果明显优于PID控制器。

图6给出了系统各参数的估计值，显然在本发明中自适应律作用下，系统运行一段时间后，各参数实现了很好的收敛并趋于稳定。

实施例二

电机伺服系统参数为惯性负载：m＝0.01kg·m²；电压力矩常数：k_i＝5N·m/V；摩擦特性的权重因子：r₁＝0.1N·m，r₂＝0.05N·m，r₃＝1.025N·m；摩擦形状因子：s₁＝700s/rad,s₂＝15s/rad,s₃＝1.5s/rad。

为了充分验证本发明控制方法对于电机伺服系统的有效性，选取以下两种工况分别进行仿真验证，同时选取工程实际中大量使用的PID控制器作为对比进行仿真验证，其各参数由MATLAB自带的PID工具箱自整定得到。

结合图7，系统跟踪位置指令选取为：幅值为1rad的点点指令；系统外干扰的选取为d＝0.5[sin(0.5πt)][1-exp(-0.1t²)]。

控制律参数选取为反馈增益参数：k₁＝3,k₂＝200,k_r1＝20,k_r2＝1；鲁棒项调节增益为：γ₁＝6；自适应回归参数：Γ₁＝4e-3，Γ₂＝4e-3，Γ₃＝7.5e-3；参数β＝0.1。

实施例二中不作输入电压约束，同时初始状态x₁(0)＝0。

控制方法作用效果(本发明控制方法在附图中记为SARISE)：

图8代表系统控制输入对比曲线，从中可以看出，点点指令中的速度较大段控制输入存在明显峰值，PID控制器对输出速度更为敏感，控制输入峰值较高(0.75V)，而本发明控制方法中双曲正切函数可实现对控制量较(0.75V)好的规划作用，控制输入峰值较低(0.5V)。

图9给出系统跟踪误差对比曲线，从中可以看出，本发明控制方法下的系统跟踪精度明显优于PID控制器。

图10给出了系统各参数的估计值，显然在本发明中自适应律作用下，系统运行一段时间后，各参数实现了很好的收敛并趋于稳定。

Claims (8)

1.一种输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤： 

步骤1，建立电机伺服系统模型； 

步骤2，设计输入受限渐进跟踪控制器； 

步骤3，合理的设计参数，实现在输入受限情况下的渐进跟踪控制。 

2.根据权利要求1所述的输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制方法，其特征在于，步骤1中电机伺服系统模型的建立过程为： 

步骤1.1，建立电机伺服系统的动力学方程(1)、(2)， 

其中m为惯性负载，y是系统输出的位置，u是控制输入，k_i为电压力矩常数，Δ为未建模干扰项；为摩擦项，具体形式如公式(2)，其中r₁，r₂，r₃为表征摩擦特性的权重因子，s₁，s₂，s₃为不同摩擦部分的形状因子； 

步骤1.2，定义状态变量则动力学方程转化为： 

其中θ₁＝r₁/k_i，θ₂＝r₂/k_i，θ₃＝r₃/k_i，d＝Δ/k_i， 

f₁(x₂)＝tanh(s₁x₂)-tanh(s₂x₂)，f₂(x₂)＝tanh(s₃x₂)，为等效已知惯性负载； 

假设非线性项d存在二阶导数，且有界，即满足σ₁，σ₂为大于零的已知常数。 

3.根据权利要求1所述的输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制方法，其特征在于，步骤2的具体过程为： 

步骤2.1，定义电机伺服系统误差变量： 

根据公式(3)定义如下系列误差变量： 

公式(4)中，z₂为辅助误差量，x_1d为系统跟踪位置指令，z₁＝x₁-x_1d为系统跟踪误差，x_2eq为辅助信号量，r和z_f为辅助误差量，用于随后的控制器设计，k₁，k₂，k_r1，k_r2均为正的反馈增益； 

结合公式(4)的第四个方程和公式(2)可得： 

公式(5)中B₁+B₂满足利普希茨条件； 

步骤2.2，确定实际控制器输入u： 

u＝u_a+u_s

u_s＝γ₁tanh(v) 

公式(6)中u_a表示模型补偿控制器，u_s表示鲁棒控制器，v表示虚拟辅助控制量，β表示正的可调参数，γ₁表示一个正实数用于调节鲁棒控制器， 表示系统各未知参数估计值，表示参数自适应律，Γ表示自适应回归参数矩阵，表示基于指令的参数回归器，公式(6)第六个方程表示实际应用时参数估计值的计算方法； 

将公式(6)中控制量u代入公式(5)中，可得 

其中

进一步对公式(7)求导可得 

公式(7)、(8)中，表示参数估计误差； 

步骤2.3，验证系统稳定性： 

定义李亚普诺夫函数如下： 

公式(9)所示李亚普诺夫函数中P的选取满足下式： 

公式(10)中β选取β≥(σ₁+σ₂/k₂)/γ₁； 

对李亚普诺夫函数求导，结合公式(4)、(6)、(8)和利普希茨条件证明控制器稳定性。 

4.根据权利要求1所述的输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制方法，其特征在于，步骤3参数包括k₁，k₂，k_r1，k_r2，γ₁，参数设计合理的标准为： 

(1)满足矩阵Λ为正定矩阵， 

(2)保证电机伺服系统的控制输入u在冒犯输入约束值时能迅速降幅并稳定在系统允许的正常值，同时保证控制器的有效作用； 

(3)系统跟踪误差明显小于PID控制器作用下的跟踪误差，其中PID控制器的参数由MATLAB自带的PID工具箱自整定得到。 

5.一种输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制系统，包括第一模块和第二模块，其特征在于： 

第一模块用于建立电机伺服系统模型； 

第二模块用于设计输入受限渐进跟踪控制器。 

6.根据权利要求5所述的输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制系统，其特征在于，第一模块具体建立方式如下： 

根据牛顿第二定律，电机伺服系统的动力学方程为 

其中m为惯性负载，y是系统输出的位置，u是控制输入，k_i为电压力矩常数，Δ为未建模干扰项；为摩擦项，具体形式如公式(2)所示，其中r₁，r₂，r₃为表征摩擦特性的权重因子，s₁，s₂，s₃为不同摩擦部分的形状因子； 

定义状态变量则动力学方程转化为： 

其中θ₁＝r₁/k_i，θ₂＝r₂/k_i，θ₃＝r₃/k_i，d＝Δ/k_i， 

f₁(x₂)＝tanh(s₁x₂)-tanh(s₂x₂)，f₂(x₂)＝tanh(s₃x₂)，m为等效已知惯性负载； 

假设非线性项d存在二阶导数，且有界，即满足σ₁，σ₂为大于零的已知常数。 

7.根据权利要求5所述的输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制系统，其特征在于，第二模块设计方式为： 

首先，定义电机伺服系统误差变量： 

根据公式(3)定义如下系列误差变量： 

公式(4)中，z₂为辅助误差量，x_1d为系统跟踪位置指令，z₁＝x₁-x_1d为系统跟踪误差，x_2eq为辅助信号量，r和z_f为辅助误差量，用于随后的控制器设计，k₁，k₂，k_r1，k_r2均为正的反馈增益； 

结合公式(4)的第四个方程和公式(2)可得： 

公式(5)中B₁+B₂满足利普希茨条件； 

其次，确定实际控制器输入u： 

u＝u_a+u_s

u_s＝γ₁tanh(v) 

公式(6)中u_a表示模型补偿控制器，u_s表示鲁棒控制器，v表示虚拟辅助控制量，β表示正的可调参数，γ₁表示一个正实数用于调节鲁棒控制器， 表示系统各未知参数估计值，表示参数自适应律，Γ表示自适 应回归参数矩阵，表示基于指令的参数回归器，公式(6)第六个方程表示实际应用时参数估计值的计算方法； 

将公式(6)中控制量u代入公式(5)中，可得 

其中

进一步对公式(7)求导可得 

公式(7)、(8)中，表示参数估计误差； 

第三，验证系统稳定性： 

定义李亚普诺夫函数如下： 

公式(9)所示李亚普诺夫函数中P的选取满足下式： 

公式(10)中β选取β≥(σ₁+σ₂/k₂)/γ₁； 

对李亚普诺夫函数求导，结合公式(4)、(6)、(8)和利普希茨条件证明控制器稳定性。 

8.根据权利要求7所述的输入受限时电机伺服系统渐进跟踪控制系统，其特征在于，参数k₁，k₂，k_r1，k_r2，γ₁满足以下标准： 

(1)满足矩阵Λ为正定矩阵， 

(2)保证电机伺服系统的控制输入u在冒犯输入约束值时能迅速降幅并稳定在系统允许的正常值，同时保证控制器的有效作用； 

(3)系统跟踪误差明显小于PID控制器作用下的跟踪误差，其中PID控制器的参数由MATLAB自带的PID工具箱自整定得到。