CN106325075A - 一类时滞线性参数变化离散系统的h∞控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种时滞线性参数变化离散系统的Η∞控制方法，考虑线性参数变化控制系统存在有界非线性、时滞、模型参数的时变、控制器增益可变情况下，首先建立闭环时滞线性参数变化离散控制系统模型，再构造恰当的Lyapunov函数，利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式分析方法，得到系统稳定和Η∞控制器存在的充分条件，同时利用近似基函数和网格技术将无限维的线性矩阵不等式组的求解问题近似为有限维线性矩阵不等式组的求解问题。最后，利用Matlab LMI工具箱进行求解，给出时滞线性参数变化离散系统的Η∞控制器增益矩阵为K＝R(ρ)V^‑1。本发明考虑了时滞和随机扰动情况，更具有实际意义，适用于一般的Η∞控制，降低了Η∞控制器设计的保守性。

Description

一类时滞线性参数变化离散系统的H∞控制方法

技术领域

本发明涉及时滞线性参数变化离散时间控制系统和H∞控制，特别是涉及一类具有状态时滞的线性参数变化离散时间控制系统的H∞控制方法。

背景技术

线性参数变化系统(Linear Parameter-Varying Systems，LPV)是一类重要的时变系统，其状态空间矩阵是实时可测且在闭集上变化的时变参数的确定函数。由于能够描述一类实际动态系统本身存在的非线性和时变特性，线性参数变化系统成为近年来倍受控制理论界关注的一个热点，其理论已经成功地应用在航空、航天、机器人和工业过程控制等领域。同时，由于大惯性环节、信号传输过程及复杂的在线分析仪等不可避免地会导致滞后现象的产生，这些滞后特性往往会严重影响系统的稳定性并使系统的性能指标变差，从而使得对时滞线性参数变化系统的研究成为控制理论界迫切需要解决的问题之一。LPV控制系统理论最早是由Sham ma在1988年的增益调度控制系统的分析与设计中提出来的，其动态特性依赖于实时可测的外部参数，用于描述非线性系统，运用线性化方法设计增益调度控制器，从而使控制器的增益随参数的变化而变化，其中调节参数反映了模型的非线性特性。增益调度控制器的设计有四个步骤：

第一步：计算系统的LPV模型。把非线性系统用LPV模型描述有两种方法：线性化方法和二次LPV方法，其中最常用的线性化方法是在一组工作点上做雅可比线性化，产生一组参数化线性模型，二次LPV方法则是将非线性作为时变调节参数。

第二步：用线性设计方法设计LPV模型的线性控制器，设计过程会对应线性参数相关模型产生一组线性控制器或随参数变化控制器。传统的设计方法是对应参数每个固定点，使闭环系统满足规定的性能指标，而近年来的设计目标是保证时变参数的变化轨迹满足性能指标。

第三步：所设计的线性控制器实现增益调度，即控制器的系数随调节参数的变化而变化。

第四步：性能评价。分析性能的保证是设计的一部分，全局性能的评价是基于进一步的仿真研究的。因而，用LPV系统理论可以设计随参数变化控制器，在许多LPV系统的控制过程中得到非常广泛的应用，早期多用于军事领域，近年来其应用领域不断拓宽，从航空、航天、机器人到工业过程控制领域等都有广泛的应用，是非线性控制方法中最有效的方法之一。近年来，H∞控制成为了许多学者研究的热点问题。H∞控制提取了信息的增益，可以很好的评价系统的性能。因此，研究时滞LPV离散时间控制系统的H∞控制并保持较好的抗干扰性能力具有十分重要的理论意义和实践价值。

在工程实际中，时滞现象是极其普遍的，通信系统、传送系统、化工过程系统、冶金过程系统、环境系统、电力系统等都是典型的时滞系统。时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难，同时时滞的存在也往往是系统不稳定和系统性能变差的根源之一。忽略系统中固有的时滞现象设计出的控制器或滤波器在实际应用中会出现不稳定或使性能下降。因此，对时滞线性参数变化系统的研究具有重要的理论意义和广泛的应用前景。

发明内容

针对上述现有技术中存在的问题，本发明提供了一种具有状态时滞的线性参数变化离散时间控制系统的H∞控制方法。考虑线性参数变化离散控制系统存在时滞、控制器增益变化的情况下，设计了时滞线性参数变化离散系统的H∞控制器，使得时滞线性参数变化离散控制系统在上述情况下仍能保持系统稳定，并且满足性能指标。

本发明所采用的技术方案是：一种具有状态时滞的线性参数变化离散时间控制系统的H∞控制方法，包括以下步骤：

1)对时滞线性参数变化离散控制系统设计状态反馈控制器，闭环时滞线性参数变化离散控制系统为：

$\left\{\begin{array}{c}x(k+1)=A\left(\mathrm{\ρ}\right(k\left)\right)x\left(k\right)+A_d\left(\mathrm{\ρ}\right(k\left)\right)x(k-d)+B_1\left(\mathrm{\ρ}\right(k\left)\right)\mathrm{\ω}\left(k\right)+B_2\left(\mathrm{\ρ}\right(k\left)\right)u\left(k\right)\\ z\left(k\right)=C\left(\mathrm{\ρ}\right(k\left)\right)x\left(k\right)+C_d\left(\mathrm{\ρ}\right(k\left)\right)x(k-d)+D\left(\mathrm{\ρ}\right(k\left)\right)u\left(k\right)\end{array}\right.$

x(k)＝Φ(k),k∈[-d,0]

其中，为状态变量；为控制输出量；为控制输入量；为扰动输入。假定系统矩阵 为时变参数ρ(k)的函数,{Φ(k),k＝-d,-d+1,…,0},是一个已知初始条件序列,d≥0是已知的常时滞。

参数向量ρ(k)＝[ρ₁(k) ρ₂(k) … ρ_s(k)]^T满足ρ_i(k)实时可测且 ρ _i 表示ρ_i(k)的下限，表示ρ_i(k)的上限。

设计如下形式的无记忆状态反馈控制器：

u(k)＝K(ρ)x(k)

其中K(ρ)为待求的依赖于参数的反馈增益矩阵。

2)构造Lyapunov函数：

$V\left(k\right)=x{\left(k\right)}^{T}P\left(\mathrm{\ρ}\right)x\left(k\right)+\underset{s=k-d}{\overset{k-1}{\Σ}}x{\left(s\right)}^{T}Q\left(\mathrm{\ρ}\right)x\left(s\right)$

其中，为已知正定对称矩阵。

3)计算时滞线性参数变化离散系统的H∞控制器增益矩阵K(ρ)，系统稳定和时滞线性参数变化离散系统的H∞控制器存在的充分条件为：

针对下列线性矩阵不等式：

$\left[\begin{array}{ccccccc}-(V+V^T)& *& *& *& *& *& *\\ -0.5V+X_1& -X_1& *& *& *& *& *\\ H& 0& q& *& *& *& *\\ V^T{A_d}^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)& 0& 0& -Y_d& *& *& *\\ {B_1}^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)& 0& 0& 0& -\mathrm{\&gamma;}I& *& *\\ 0& M& C_d\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)V& 0& 0& -\mathrm{\&gamma;}I& *\\ V^T& 0& 0& 0& 0& 0& -X_1\end{array}\right]<0$

其中，*代表对称对角块的转置。

$\begin{array}{c}H=V^T{A}^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)+R^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)B_2^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)\\ M=C\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)V+D\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)R\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)\\ X_1=X\left(\mathrm{\&rho;}\right(k+1\left)\right),Y_d=Y\left(\mathrm{\&rho;}\right(k-d\left)\right)\\ q=-X\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)+Y\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)\end{array},$

是对称正定矩阵，是对称正定矩阵，矩阵和矩阵γ为给定的正常数和ρ为已知的可变参数。利用Matlab LMI工具箱进行求解，如果存在对称正定矩阵实矩阵实数γ>0，则该时滞线性参数变化离散系统的H∞控制系统是稳定的，且满足H∞性能指标，控制器增益矩阵为K(ρ)＝R(ρ)V^-1。

根据γ＝Σ(||z_k||)/Σ(||w_k||)求出对应的系统性能指标γ，H∞控制下最优扰动抑制比γ_opt优化的条件为：

如果以下优化问题成立：

$\begin{array}{ccc}\min r& s.t.& \left[\begin{array}{ccccccc}-(V+V^T)& *& *& *& *& *& *\\ -0.5V+X_1& -X_1& *& *& *& *& *\\ H& 0& q& *& *& *& *\\ V^T{A_d}^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)& 0& 0& -Y_d& *& *& *\\ {B_1}^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)& 0& 0& 0& -\mathrm{\&gamma;}I& *& *\\ 0& M& C_d\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)V& 0& 0& -\mathrm{\&gamma;}I& *\\ V^T& 0& 0& 0& 0& 0& -X_1\end{array}\right]<0\end{array}$

则可获得闭环系统在符合时滞线性参数变化离散H∞控制条件下，系统的最优扰动抑制比γ_opt，同时时滞线性参数变化离散系统控制器增益矩阵K(ρ)被优化为K^*(ρ)＝R(ρ)V^-1。

与现有技术相比，本发明具有以下有益技术效果：

1)本发明针对离散线性参数变化控制系统，同时考虑了系统中的不完整测量因素和不确定因素，包括系统中存在的时滞、外界扰动以及由于模型简化或者其它物理因素带来的不确定性，通过一系列的推导、转化建立了闭环离散线性参数变化控制系统模型，给出了该系统的时滞H∞控制器的设计方法。

2)本发明考虑了信号传输的时滞因素，更具有实际意义。

3)本发明适用于一般的H∞控制，降低了该离散线性参数变化控制器设计方法的保守性。

附图说明

图1是一类时滞线性参数变化离散系统的H∞控制方法的流程图。

图2是γ＝1.8230时的时滞线性参数变化离散系统的H∞开环控制状态响应图。

图3是γ＝1.8230时的时滞线性参数变化离散系统的H∞闭环控制状态响应图。

图4是γ＝1.8230，ω＝0.5，d＝1时的时滞线性参数变化离散系统的H∞闭环控制状态响应图。

图5是其他条件不变的情况，d＝2时的时滞线性参数变化离散系统的H∞闭环控制状态响应图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。

参照附图1，一类时滞线性参数变化离散系统的H∞控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立时滞LPV离散控制系统模型

$\left\{\begin{array}{c}x(k+1)=A\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)x\left(k\right)+A_d\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)x(k-d)+B_1\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)\mathrm{\&omega;}\left(k\right)+B_2\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)u\left(k\right)\\ z\left(k\right)=C\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)x\left(k\right)+C_d\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)x(k-d)+D\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)u\left(k\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

x(k)＝Φ(k),k∈[-d,0]

其中，为状态变量；为控制输出量；为控制输入量；为扰动输入。假定系统矩阵 为时变参数ρ(k)的函数，{Φ(k),k＝-d,-d+1,...,0},是一个已知初始条件序列,d≥0是已知的常时滞。

参数向量ρ(k)＝[ρ₁(k) ρ₂(k) … ρ_s(k)]^T满足ρ_i(k)实时可测且 ρ _i 表示ρ_i(k)的下限，表示ρ_i(k)的上限。

设计如下形式的无记忆状态反馈控制器：

u(k)＝K(ρ)x(k) (2)

其中K(ρ)为待求的依赖于参数的反馈增益矩阵。

结合式(1)和(2)，得闭环时滞LPV离散控制系统模型：

$\left\{\begin{array}{c}x(k+1)=\stackrel{\&OverBar;}{A}\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)x\left(k\right)+\stackrel{\&OverBar;}{A_d}\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)x(k-d)+\stackrel{\&OverBar;}{B}\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)\mathrm{\&omega;}\left(k\right)\\ z\left(k\right)=\stackrel{\&OverBar;}{C}\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)x\left(k\right)+\stackrel{\&OverBar;}{C_d}\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)x(k-d)\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，

步骤2：构造合适的Lyapunov函数

$V\left(k\right)=x{\left(k\right)}^{T}P\left(\mathrm{\&rho;}\right)x\left(k\right)+\underset{s=k-d}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}x{\left(s\right)}^{T}Q\left(\mathrm{\&rho;}\right)x\left(s\right)$

其中，是正定对称矩阵。

可以得到：

$\left[\begin{array}{ccc}-P\left(\mathrm{\&rho;}\right(k+1\left)\right)& P\left(\mathrm{\&rho;}\right(k+1\left)\right)\stackrel{\&OverBar;}{A}& P\left(\mathrm{\&rho;}\right(k+1\left)\right)\stackrel{\&OverBar;}{A_d}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A}}^{T}P\left(\mathrm{\&rho;}\right(k+1\left)\right)& -P\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)+Q\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)& 0\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A_d}}^{T}P\left(\mathrm{\&rho;}\right(k+1\left)\right)& 0& Q\left(\mathrm{\&rho;}\right(k-d\left)\right)\end{array}\right]<0---\left(4\right)$

步骤3：基于步骤2构造的Lyapunov函数，利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式分析方法，得到时滞线性参数变化离散控制系统稳定和H∞控制器存在的充分条件，步骤如下：

步骤3.1：首先判断时滞线性参数变化离散控制系统的稳定性，得到时滞线性参数变化离散控制系统稳定的充分条件。

假设不等式(4)成立，根据Schur引理

$\left[\begin{array}{ccccc}-P\left(\mathrm{\&rho;}\right(k+1\left)\right)& *& *& *& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A}}^{T}P\left(\mathrm{\&rho;}\right(k+1\left)\right)& -P\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)+Q\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)& *& *& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A_d}}^{T}P\left(\mathrm{\&rho;}\right(k+1\left)\right)& 0& -Q\left(\mathrm{\&rho;}\right(k-d\left)\right)& *& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{B}}^{T}P\left(\mathrm{\&rho;}\right(k+1\left)\right)& 0& 0& -\mathrm{\&gamma;}I& *\\ \stackrel{\&OverBar;}{C}& \stackrel{\&OverBar;}{C_d}& 0& 0& -\mathrm{\&gamma;}I\end{array}\right]<0---\left(5\right)$

其中，

$\stackrel{\&OverBar;}{A}\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)=A\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)+B_2\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)K\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{B}\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)=B_1\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{C}\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)=C\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)+D\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)K\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{A_d}\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)=A_d\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{C_d}\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)=C_d\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)$

根据Lyapunov稳定性理论，公式(4)所示的时滞线性参数变化离散控制系统随机稳定的充分条件是：存在正定矩阵γ＞0，使得线性矩阵不等式(5)成立。

条件(5)中存在Lyapunov函数矩阵P(ρ)与闭环系统矩阵的乘积项，条件(5)为双线性矩阵不等式。为解决这一问题,引入附加矩阵来解耦,从而得到新的H∞性能准则。

$\left[\begin{array}{ccccccc}-(V+V^T)& *& *& *& *& *& *\\ -0.5V+X_1& -X_1& *& *& *& *& *\\ H& 0& q& *& *& *& *\\ V^T{A_d}^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)& 0& 0& -Y_d& *& *& *\\ {B_1}^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)& 0& 0& 0& -\mathrm{\&gamma;}I& *& *\\ 0& M& C_d\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)V& 0& 0& -\mathrm{\&gamma;}I& *\\ V^T& 0& 0& 0& 0& 0& -X_1\end{array}\right]<0---\left(6\right)$

其中，

γ＞0,为对称正定矩阵和矩阵

步骤3.2：利用近似基函数和网格技术可以将条件(6)的无限维的线性矩阵不等式组转化为有限维的线性矩阵不等式组。选取近似基函数为则有

$X\left(\mathrm{\&rho;}\right)=\underset{j=1}{\overset{n_f}{\&Sigma;}}{f}_j\left(\mathrm{\&rho;}\right)X_j>0$

$Y\left(\mathrm{\&rho;}\right)=\underset{j=1}{\overset{n_f}{\&Sigma;}}{f}_j\left(\mathrm{\&rho;}\right)Y_j>0$

$R\left(\mathrm{\&rho;}\right)=\underset{j=1}{\overset{n_f}{\&Sigma;}}{f}_j\left(\mathrm{\&rho;}\right)R_j>0$

利用Matlab LMI工具箱进行求解，存在正定矩阵实矩阵实数γ＞0满足矩阵不等式(6)。那么系统(5)稳定，并且满足H∞性能指标。时滞线性参数变化离散控制系统控制器增益矩阵K(ρ)＝R(ρ)V^-1；如果上述未知变量没有解，则时滞线性参数变化离散控制系统不是稳定，不能获得时滞线性参数变化离散H∞控制器增益矩阵，也不可以进行步骤4。

步骤4：利用γ＝Σ(||z_k||)/Σ(||w_k||)求出对应的系统性能指标γ，给出H∞控制下最优扰动抑制比γ_opt优化的条件为：

如果以下优化问题成立：

$\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\min r& s.t.& \left[\begin{array}{ccccccc}-(V+V^T)& *& *& *& *& *& *\\ -0.5V+X_1& -X_1& *& *& *& *& *\\ H& 0& q& *& *& *& *\\ V^T{A_d}^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)& 0& 0& -Y_d& *& *& *\\ {B_1}^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)& 0& 0& 0& -\mathrm{\&gamma;}I& *& *\\ 0& M& C_d\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)V& 0& 0& -\mathrm{\&gamma;}I& *\\ V^T& 0& 0& 0& 0& 0& -X_1\end{array}\right]<0\end{array}\\ X\left(\mathrm{\&rho;}\right)>0,Y\left(\mathrm{\&rho;}\right)>0,\mathrm{\&gamma;}>0\end{array}---\left(7\right)$

则可获得闭环系统(3)在符合时滞线性参数变化离散H∞控制条件下，系统的最优扰动抑制比γ_opt，同时时滞线性参数变化离散H∞控制器增益矩阵K(ρ)被优化为K^*(ρ)＝R(ρ)V^-1。

实施例：

采用本发明提出的一类时滞线性参数变化离散系统的H∞控制方法。具体实现方法如下：步骤1：被控对象为闭环时滞线性参数变化离散控制系统，其状态空间模型为公式(1)，给定其系统参数为

$A=\left[\begin{array}{cc}0.8& 0.1+0.2{\mathrm{\&rho;}}_1\left(k\right)\\ -2& -1.4+0.1{\mathrm{\&rho;}}_1\left(k\right)\end{array}\right],A_d=\left[\begin{array}{cc}0.2{\mathrm{\&rho;}}_1\left(k\right)& 0.1\\ -0.2+0.1{\mathrm{\&rho;}}_1\left(k\right)& -0.3\end{array}\right],$

$B_1=\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0.2\end{array}\right],B_2=\left[\begin{array}{c}0.2{\mathrm{\&rho;}}_1\left(k\right)\\ 0.1+0.1{\mathrm{\&rho;}}_1\left(k\right)\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

假设扰动信号为ω＝0.5,ρ₁(k)＝sin(k)，d＝1。

步骤2：针对ρ(k)选取不同值，根据步骤1给出不同的取值，通过Matlab LMI工具箱求解不同参数ρ(k)情况下控制器参数，以及对应的H∞性能指标。

假定H∞控制：通过Matlab LMI工具箱求解不同情况下控制器优化后的参数和H∞扰动抑制水平γ_opt，并利用γ＝Σ(||z_k||)/Σ(||w_k||)求出对应的系统性能指标γ。随着系统中参数的变化，系统的性能指标γ也随之变化，说明参数对系统的性能是有重要影响。而且，γ＜γ_opt对不同的参数均成立，表明所设计的控制器满足H∞性能指标。

步骤3：给定初始状态为x(0)＝[1 -0.5]^T，利用步骤2中Matlab里LMI工具箱求解的结果，用Matlab仿真出不同情况下,如图3至图5所示，系统在H∞控制下闭环状态响应，由图3和图4可以看出，在容许的扰动下，系统的闭环状态响应曲线最终均趋向于零，而且系统的性能指标γ越大，系统到达稳定的时间越长。由图4可以看出，在系统中出现随机扰动时，在控制器的作用下系统仍然能够保持稳定，并且系统具有良好的抗干扰性能。由图5可以看出，时滞增大时，系统就不再稳定了，变成发散了，说明时滞对系统影响很大，因此，研究时滞对线性参数变化系统稳定性的影响很有必要。

以上是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何简单修改、等同变化与修饰，均属于发明技术方案的范围内。

Claims (1)

1.一类时滞线性参数变化离散系统的H∞控制方法，其特征在于，具体包括以下步骤：

1)对时滞线性参数变化离散系统设计状态反馈控制器，闭环时滞线性参数变化离散系统为：

$\left\{\begin{array}{c}x(k+1)=A\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)x\left(k\right)+A_d\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)x(k-d)+B_1\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)\mathrm{\&omega;}\left(k\right)+B_2\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)u\left(k\right)\\ z\left(k\right)=C\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)x\left(k\right)+C_d\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)x(k-d)+D\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)u\left(k\right)\end{array}\right.$

x(k)＝Φ(k),k∈[-d,0]

其中，为状态变量；为控制输出量；为控制输入量；为扰动输入。假定系统矩阵 为时变参数ρ(k)的函数，{Φ(k),k＝-d,-d+1,...,0},是一个已知初始条件序列,d≥0是已知的常时滞；

参数向量ρ(k)＝[ρ₁(k) ρ₂(k) … ρ_s(k)]^T满足ρ_i(k)实时可测且 ρ _i 表示ρ_i(k)的下限，表示ρ_i(k)的上限；

设计如下形式的无记忆状态反馈控制器：

u(k)＝K(ρ)x(k)

其中K(ρ)为待求的依赖于参数的反馈增益矩阵；

2)构造Lyapunov函数：

$V\left(k\right)=x{\left(k\right)}^{T}P\left(\mathrm{\&rho;}\right)x\left(k\right)+\underset{s=k-d}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}x{\left(s\right)}^{T}Q\left(\mathrm{\&rho;}\right)x\left(s\right)$

其中，为已知正定对称矩阵；

3)计算时滞线性参数变化离散系统的H∞控制器增益矩阵K(ρ)，系统稳定和时滞线性参数变化离散系统的H∞控制器存在的充分条件为：

针对下列线性矩阵不等式：

$\left[\begin{array}{ccccccc}-(V+V^T)& *& *& *& *& *& *\\ -0.5V+X_1& -X_1& *& *& *& *& *\\ H& 0& q& *& *& *& *\\ V^T{A_d}^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)& 0& 0& -Y_d& *& *& *\\ {B_1}^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)& 0& 0& 0& -\mathrm{\&gamma;}I& *& *\\ 0& M& C_d\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)V& 0& 0& -\mathrm{\&gamma;}I& *\\ V^T& 0& 0& 0& 0& 0& -X_1\end{array}\right]<0$

其中，*代表对称对角块的转置；

$H=V^T{A}^T\left(\mathrm{\&rho;}\left(k\right)\right)+R^T\left(\mathrm{\&rho;}\left(k\right)\right)B_2^T\left(\mathrm{\&rho;}\left(k\right)\right)$

M＝C(ρ(k))V+D(ρ(k))R(ρ(k))

X₁＝X(ρ(k+1))

Y_d＝Y(ρ(k-d))

q＝-X(ρ(k))+Y(ρ(k))

是对称正定矩阵，是对称正定矩阵，矩阵和矩阵γ为给定的正常数和ρ为已知的可变参数。利用Matlab LMI工具箱进行求解，如果存在对称正定矩阵实矩阵实数γ>0，则该时滞线性参数变化离散系统的H∞控制系统是稳定的，且满足H∞性能指标，控制器增益矩阵为K(ρ)＝R(ρ)V^-1；

根据γ＝Σ(||z_k||)/Σ(||w_k||)求出对应的系统性能指标γ，H∞控制下最优扰动抑制比γ_opt优化的条件为：

如果以下优化问题成立：

$\begin{array}{ccc}\min r& s.t.& \left[\begin{array}{ccccccc}-(V+V^T)& *& *& *& *& *& *\\ -0.5V+X_1& -X_1& *& *& *& *& *\\ H& 0& q& *& *& *& *\\ V^T{A_d}^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)& 0& 0& -Y_d& *& *& *\\ {B_1}^T\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)& 0& 0& 0& -\mathrm{\&gamma;}I& *& *\\ 0& M& C_d\left(\mathrm{\&rho;}\right(k\left)\right)V& 0& 0& -\mathrm{\&gamma;}I& *\\ V^T& 0& 0& 0& 0& 0& -X_1\end{array}\right]<0\end{array}$

则可获得闭环系统在符合时滞线性参数变化离散系统H∞控制条件下，系统的最优扰动抑制比γ_opt，同时时滞线性参数变化离散系统控制器增益矩阵K(ρ)被优化为K^*(ρ)＝R(ρ)V^-1。