CN105988368A - 一种具有时变时延的网络化控制系统的容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有时变时延的网络化控制系统的容错控制方法，针对存在参数摄动、时变时延、外界扰动和执行器发生随机故障的情况，首先建立离散时间闭环非线性网络化控制系统模型，再构造包含具有时延信息的Lyapunov‑Krasovskii函数，利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式分析方法，得到非线性网络化控制系统渐进稳定和H_∞容错控制器存在的充分条件，利用Matlab LMI工具箱进行求解，给出非脆弱容错控制器增益矩阵为给出最小扰动抑制率γ可以优化的条件，获得最小扰动抑制率下优化的控制器增益矩阵K^*。本发明考虑了系统存在时变时延的情况，基于自由权矩阵法对时变时延进行分析和处理，降低了保守性。

Description

一种具有时变时延的网络化控制系统的容错控制方法

技术领域

本发明涉及网络化控制系统和容错控制，特别是涉及一种具有时变时延和执行器随机故障的非线性网络化控制系统的非脆弱H_∞容错控制方法。

背景技术

在过去的二十年中，许多专家和学者对网络化控制系统(networked controlsystems，简记NCSs)已经进行了大量的研究，寻求新的设计方法处理执行器发生的故障和维护系统的稳定性并且使系统具有可接受的性能。在相关的研究中，执行器故障的模型大体上分为三种类型：1)执行器的故障参数是已知的常数，只有完全正常或完全失效两种情况；2)执行器的故障参数是未知的，故障参数的下限和上限是已知的；3)执行器故障参数是未知的随机变量，故障参数的期望和方差是已知的。大多数研究集中在第一种和第二种类型，第三类型研究较少。

时间延迟的现象是在许多实际的NCSs普遍存在的问题，时间延迟的问题已经成为一个很重要的研究课题，吸引了许多学者的研究兴趣。由于时间延迟的影响是不可避免的，考虑系统的性能时将时间延迟考虑在内是重要的和必要的。此外，在实际的系统中，研究时变时延的控制方案比研究恒定延迟的控制方案更重要。另一方面，设计H_∞鲁棒控制器具有良好的优势，这与系统的抗干扰抑制能力密切相关。Alwan M S在论文“On design ofrobust reliable H∞control and input-to-state stabilization of uncertainstochastic systems with state delay”中，对存在时变时延和范数有界参数不确定性的系统进行了H_∞鲁棒可靠控制的研究，但其执行器发生的故障被认为是一种输入系统的干扰信号；He X在论文“Robust filtering for time-delay systems with probabilisticsensor faults”中，针对非线性系统存在时变时延、范数有界参数不确定性和传感器饱和增益的问题，研究了一种新的鲁棒H_∞滤波器。

目前非脆弱鲁棒H_∞容错控制问题虽然已经得到了大量研究，但是针对非线性系统存在外部扰动和执行器发生随机故障的问题研究相对较少，尤其是关于执行器发生随机故障方面的研究更少。为了满足实际NCSs的需要，使非线性NCSs在时变时延的影响下，仍然具有容错能力并保持较好的抗干扰性能具有十分重要的理论意义和实践价值。

发明内容

针对现有技术中存在的问题，本发明提供了一种具有时变时延的网络化控制系统的容错控制方法。针对非线性网络化控制系统存在参数摄动、时变时延、外界扰动和执行器发生随机故障的问题，设计了非脆弱状态反馈H_∞容错控制器，使得非线性网络化控制系统在上述情况下仍能保持稳定，并具有较好的H_∞扰动抑制率γ。

本发明所采用的技术方案是：一种具有时变时延的网络化控制系统的容错控制方法，包括以下步骤：

1)建立离散时间闭环非线性网络化控制系统模型：

$\left\{\begin{array}{c}x(k+1)={\stackrel{\‾}{A}}_{0}x\left(k\right)+{\stackrel{\‾}{A}}_1(k-d(k\left)\right)+{\stackrel{\‾}{B}}_{0}u\left(k\right)+Rw\left(k\right)+f(k,x(k\left)\right)\\ z\left(k\right)=Cx\left(k\right)+Dw\left(k\right)\end{array}\right.$

其中，x(k)∈Rⁿ为状态向量，u(k)∈R^P为控制输入量，w(k)∈R^l为有限能量的外部扰动且w(k)∈L₂[0,∞)，z(k)∈R^q为控制输出量，f(k,x(k))∈Rⁿ满足Lipschitz条件非线性向量项，||f(k,x(k))||≤||F₁x(k)||；A₀∈R^n×n、A₁∈R^n×n、B₀∈R^n×p、C∈R^q×n、D∈R^q×l、R∈R^q×l和F₁∈R^n×n为常数矩阵；ΔA₀∈R^n×n、ΔA₁∈R^n×p和ΔB₀∈R^n×p是时延和系统参数摄动的不确定部分，具有如下形式：

[ΔA₀ ΔA₁ ΔB₀]＝D₁F(k)[E₁ E₂ E₃]

其中，D₁∈R^n×n、E₁∈R^n×n、E₂∈R^n×n和E₃∈R^n×p为常数矩阵，F(k)∈R^n×n为满足以下条件的未知不确定矩阵，其元素Lebesgue可测且有界F(k)^TF(k)≤I；d(k)是取值为正整数变得时变时滞，以d₁和d₂分别表示其下界与上界，即

状态反馈控制器为K∈R^p×n为控制增益阵，ΔK为控制增益摄动阵，ΔK＝D₁F(k)E₄，E₄∈R^n×p为常数矩阵；

2)构造包含具有时延信息的Lyapunov-Krasovskii函数：V(k)＝V₁(k)+V₂(k)+V₃(k)，

其中，V₁(k)＝x^T(k)Px(k)，

$V_2\left(k\right)=\underset{\mathrm{\θ}=-d_2+1}{\overset{0}{\Σ}}\underset{l=k-1+\mathrm{\θ}}{\overset{k-1}{\Σ}}{y}^T\left(l\right)Zy\left(l\right),$

$V_3\left(k\right)=\underset{\mathrm{\θ}=-d_2+1}{\overset{-d_1+1}{\Σ}}\underset{l=k-1+\mathrm{\θ}}{\overset{k-1}{\Σ}}{x}^T\left(l\right)Qx\left(l\right);$

设y(l)＝x(l+1)-x(l)，则有x(k+1)＝x(k)+y(k)并且P∈R^n×n、Q∈R^n×n和Z∈R^n×n为未知正定对称矩阵；

3)计算非脆弱容错控制器增益矩阵为K

利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式分析方法，得到非线性网络化控制系统渐进稳定和H_∞容错控制器存在的充分条件为：

针对下列线性矩阵不等式：

${\mathrm{\&Phi;}}_1=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Omega;}}_{11}& *\\ {\mathrm{\&Omega;}}_{21}& {\mathrm{\&Omega;}}_{22}\end{array}\right]<0$

${\mathrm{\&Psi;}}_1=\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{11}& *& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{21}& {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{22}& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_1^T& {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_2^T& 2P^{-1}-Z^{-1}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

其中，

${\mathrm{\&Omega;}}_{11}=\left[\begin{array}{cccccc}{v}_{11}& *& *& *& *& *\\ v_{21}& v_{22}& *& *& *& *\\ R^T& 0& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I& *& *& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k{P}^{-1}+{\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_1& A_1{P}^{-1}& R& \begin{array}{c}-P^{-1}+{\mathrm{\&epsiv;}}_3{D}_1{D}_1^T\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_1\end{array}& *& *\\ d_2{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k{P}^{-1}+{\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{H}_1& d_2{A}_1{P}^{-1}& d_{2}R& \begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_3{d}_2{D}_1{D}_1^T\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{H}_1\end{array}& \begin{array}{c}-d_2{Z}^{-1}+{\mathrm{\&epsiv;}}_3{d}_2^2{D}_1{D}_1^T\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2^2{H}_1\end{array}& *\\ {\mathrm{CP}}^{-1}& 0& D& 0& 0& -I\end{array}\right]$

${\mathrm{\&Omega;}}_{21}=\left[\begin{array}{cccccc}\begin{array}{c}{E}_1{P}^{-1}+E_{3}M\stackrel{\&OverBar;}{K}\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_2\end{array}& E_2{P}^{-1}& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_2& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{H}_2& 0\\ E_2{P}^{-1}& 0& 0& 0& 0& 0\\ \begin{array}{c}{E}_1{P}^{-1}+E_{3}M\stackrel{\&OverBar;}{K}\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_2\end{array}& 0& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_2& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{H}_2& 0\\ E_4{P}^{-1}& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right],{\mathrm{\&Omega;}}_{22}=\left[\begin{array}{cccc}\begin{array}{c}-\mathrm{\&epsiv;}I+\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_3\end{array}& *& *& *\\ 0& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{2}I& *& *\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_3& 0& \begin{array}{c}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{1}I+\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_3\end{array}& *\\ 0& 0& 0& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{4}I\end{array}\right]$

$v_{11}={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k{P}^{-1}+P^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k^T+P^{-1}{N}_1{P}^{-1}+P^{-1}{N}_1^T{P}^{-1}+(\mathrm{\&tau;}+1)P^{-1}{\mathrm{QP}}^{-1}+d_2{P}^{-1}{X}_{11}{P}^{-1}+({\mathrm{\&epsiv;}}_1+{\mathrm{\&epsiv;}}_2)D_1{D}_1^T+{\mathrm{\&epsiv;}}_4{\mathrm{\&beta;}}_i{H}_1$

$v_{21}=P^{-1}{A}_1^T-P^{-1}{N}_1^T{P}^{-1}+P^{-1}{N}_2{P}^{-1}+d_2{P}^{-1}{X}_{21}{P}^{-1},v_{22}=-P^{-1}{N}_2{P}^{-1}-P^{-1}{N}_2^T{P}^{-1}-P^{-1}{\mathrm{QP}}^{-1}+d_2{P}^{-1}{X}_{22}{P}^{-1}$

${\stackrel{\&OverBar;}{N}}_1=P^{-1}{N}_1{P}^{-1},{\stackrel{\&OverBar;}{N}}_2=P^{-1}{N}_2{P}^{-1},{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{11}=P^{-1}{X}_{11}{P}^{-1},{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{21}=P^{-1}{X}_{21}{P}^{-1},{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{22}=P^{-1}{X}_{22}{P}^{-1},\stackrel{\&OverBar;}{Q}=P^{-1}{\mathrm{QP}}^{-1},\stackrel{\&OverBar;}{K}={\mathrm{KP}}^{-1}$

${\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k=A_0-I+B_{0}MK+F_1,H_1=\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\left({\mathrm{\&beta;}}_i{B}_0{\mathrm{\&theta;}}_i{D}_1{\left(B_0{\mathrm{\&theta;}}_i{D}_1\right)}^T\right),H_2=\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\left({\mathrm{\&beta;}}_i{E}_3{\mathrm{\&theta;}}_i{D}_1{\left(B_0{\mathrm{\&theta;}}_i{D}_1\right)}^T\right)$

γ为扰动抑制率；

故障矩阵M＝diag{m₁,m₂,…,m_n}，其中，m₁,m₂,…,m_n为n个互不相关的随机变量，m_i＝1为执行器正常，m_i＝0为执行器彻底失效，当0＜m_i＜1时,表示执行器部分失效；m_i的期望α_i和方差是已知的常数；其中Θ_i是一个对角阵，第i个元素是1，其他元素为0；

P∈R^n×n、Q∈R^n×n、Z∈R^n×n、N₁∈R^n×n、N₂∈R^n×n和标量ε_i(i＝1,2,3,4)，为未知；利用Matlab LMI工具箱进行求解，如果存在对称正定矩阵P和Z、适当维数的正定矩阵矩阵和标量ε_i＞0(i＝1,2,3,4)，对称矩阵以及任意合适维数的矩阵和则非线性网络化控制系统是渐进稳定的且具有H_∞扰动抑制率γ，非脆弱容错控制器增益矩阵为且可以继续进行步骤4)；如果上述未知变量没有解，则非线性网络化控制系统不是渐进稳定的且不具有H_∞性能γ，不能获得非脆弱容错控制器增益矩阵，也不可以进行步骤4)；

4)计算最小扰动抑制率γ_min下，非脆弱容错控制器增益矩阵K

给出最小扰动抑制率γ可以优化的条件为：

令e＝γ²，如果以下优化问题成立：

$\begin{array}{ccc}\min e& s.t.& {\mathrm{\&Phi;}}_1=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Omega;}}_{11}& *\\ {\mathrm{\&Omega;}}_{21}& {\mathrm{\&Omega;}}_{22}\end{array}\right]\end{array}<0$

${\mathrm{\&Psi;}}_1=\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{11}& *& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{21}& {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{22}& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_1^T& {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_2^T& 2P^{-1}-Z^{-1}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

$P>0,\stackrel{\&OverBar;}{Q}>0,\stackrel{\&OverBar;}{Z}>0,\stackrel{\&OverBar;}{X}\&GreaterEqual;0,{\mathrm{\&epsiv;}}_i>0,(i=1,2,3,4)$

则可获得闭环非线性网络化控制系统在符合非脆弱H_∞容错控制条件下，系统的最小扰动抑制率同时非脆弱容错控制器增益矩阵K也会被优化为

与现有技术相比，本发明具有以下有益技术效果：

1)本发明针对具有时变时延的非线性网络化控制系统，同时考虑到模型参数的不确定性、控制器增益摄动和外界扰动的影响，建立了离散时间的闭环非线性网络化控制系统模型，给出了执行器发生随机故障时系统的稳定性和非脆弱H_∞容错控制的解决方法。

2)本发明考虑了系统存在时变时延的情况，建立了包含时延信息的Lyapunov-Krasovskii函数，基于自由权矩阵法对时变时延进行分析和处理，得到系统稳定的充分条件，降低了保守性。

3)本发明优化了最小扰动抑制率γ，使得非线性网络化控制系统具有更好的抗干扰性能。

附图说明

附图1是非线性网络化控制系统容错控制方法的流程图。

附图2是执行器发生随机故障期望为方差为且优化后的闭环非线性网络化控制系统状态响应图。

附图3是执行器发生随机故障期望为方差为且优化后的闭环非线性网络化控制系统状态响应图。

附图4是执行器发生随机故障期望为方差为且优化后的闭环非线性网络化控制系统状态响应图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。

参照附图1，一种具有时变时延的网络化控制系统的容错控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立离散时间闭环非线性网络化控制系统模型

考虑到具有外部扰动的和参数的不确定性的非线性系统，其离散时间模型为

$\{\begin{array}{c}x(k+1)=\hat{A}x\left(k\right)+{\hat{B}}_{0}u\left(k\right)+{\hat{B}}_{1}u(k-1)+Rw\left(k\right)+f(k,x(k\left)\right)\\ z\left(k\right)=Cx\left(k\right)+Dw\left(k\right)\end{array}---\left(1\right)$

其中，x(k)∈Rⁿ为状态向量，u(k)∈R^P为控制输入量，w(k)∈R^l为有限能量的外部扰动且w(k)∈L₂[0,∞)，z(k)∈R^q为控制输出量，f(k,x(k))满足Lipschitz条件非线性向量项，||f(k,x(k))||≤||F₁x(k)||；A₀∈R^n×n、A₁∈R^{n ×n}、B₀∈R^n×p、C∈R^q×n、D∈R^q×l、R∈R^q×l和F₁∈R^n×n为常数矩阵；ΔA₀∈R^n×n、ΔA₁∈R^n×p和ΔB₀∈R^n×p是系统参数摄动的不确定部分，具有如下形式：

[ΔA₀ ΔA₁ ΔB₀]＝D₁F(k)[E₁ E₂ E₃] (2)

其中，D₁∈R^n×n、E₁∈R^n×n、E₂∈R^n×n和E₃∈R^n×p为常数矩阵，F(k)∈R^n×n为满足以下条件的未知不确定矩阵，其元素Lebesgue可测且有界F(k)^TF(k)≤I；d(k)是取值为正整数变得时变时滞，以d₁和d₂分别表示其下界与上界，即

$0<d_1\&le;d\left(k\right)\&le;d_2,\&ForAll;k---\left(3\right)$

定义τ＝d₂-d₁,于是当τ＝0,d(k)是时不变的,即常数时滞；为了描述执行器的发生的随机故障，引入故障矩阵M，其形式为

M＝diag{m₁,m₂,…,m_n} (4)

其中，m₁,m₂,…,m_n为n个互不相关的随机变量，m_i＝1为执行器正常，m_i＝0为执行器彻底失效，当0＜m_i＜1时,表示执行器部分失效；m_i的期望α_i和方差是已知的常数；定义则有

$\stackrel{\&OverBar;}{M}=diag\{{\mathrm{\&alpha;}}_1,{\mathrm{\&alpha;}}_2,...,{\mathrm{\&alpha;}}_n\}=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&alpha;}}_i{\mathrm{\&Theta;}}_i---\left(5\right)$

其中Θ_i是一个对角阵，第i个元素是1，其他元素为0；

设计状态反馈控制器为：

$u\left(k\right)=(K+\mathrm{\&Delta;}K)x\left(k\right)=\hat{K}x\left(k\right)---\left(6\right)$

其中，K∈R^p×n为控制增益阵，ΔK为控制增益摄动阵。ΔK＝D₁F(k)E₄，E₄∈R^n×p为常数矩阵。

将执行器故障考虑在内，则控制律(6)可以重新定义为

$u\left(k\right)=M\hat{K}x\left(k\right)---\left(7\right)$

将式(7)代入到式(1)，可以得到如下闭环非线性网络化控制系统：

$\left\{\begin{array}{c}x(k+1)=A_{k}x\left(k\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1}x(k-d(k\left)\right)+Rw\left(k\right)\\ z\left(k\right)=Cx\left(k\right)+Dw\left(k\right)\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，

步骤2：构造包含具有时延信息的Lyapunov-Krasovskii函数

V(k)＝V₁(k)+V₂(k)+V₃(k) (9)

其中，V₁(k)＝x^T(k)Px(k)，P∈R^n×n、Q∈R^n×n和Z∈R^n×n为未知正定对称矩阵；设y(l)＝x(l+1)-x(l)，则有x(k+1)＝x(k)+y(k)并且

$x\left(k\right)-x(k-d_k)-\underset{l=k-d_k}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}y\left(l\right)=0---\left(10\right)$

定义ΔV(k)＝V(k+1)-V(k)，则有

ΔV₁(k)＝2x^T(k)Py(k)

${\mathrm{\&Delta;V}}_2\left(k\right)=y^T\left(k\right)(P+d_{2}Z)y\left(k\right)-\underset{l=k-d_2}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}{y}^T\left(j\right)Zy\left(j\right)$

ΔV₃(k)≤(τ+1)x^T(k)Qx(k)-x^T(k-d_k)Qx(k-d_k)

同时，利用式(10)和自由权矩阵法，对任意矩阵N_i∈R^n×n(i＝1,2)，都有

$2\&lsqb;x^T\left(k\right)N_1+x^T(k-d_k)N_2\&rsqb;\&times;\&lsqb;x\left(k\right)-x(k-d_k)-\underset{l=k-d_k}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}y\left(l\right)\&rsqb;=0---\left(11\right)$

另一方面，对于任意合适维数的矩阵X∈R^2n×2n，可以得到

$\underset{l=k-d_2}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&zeta;}}_1^T\left(k\right){\mathrm{X\&zeta;}}_1\left(k\right)-\underset{l=k-d_k}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&zeta;}}_1^T\left(k\right){\mathrm{X\&zeta;}}_1\left(k\right)=d_2{\mathrm{\&zeta;}}_1^T\left(k\right){\mathrm{X\&zeta;}}_1\left(k\right)-\underset{l=k-d_k}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&zeta;}}_1^T\left(k\right){\mathrm{X\&zeta;}}_1\left(k\right)\&GreaterEqual;0---\left(12\right)$

其中，ζ₁(k)＝[x^T(k) x^T(k-d_k)]^T。

将式(11)和(12)的左边加入到ΔV(k)，则ΔV(k)可以表示成

$\mathrm{\&Delta;}V\left(k\right)\&le;{\mathrm{\&zeta;}}_2^T\left(k\right)\{\mathrm{\&Xi;}+{\mathrm{\&Gamma;}}_1^T(P+d_{2}Z){\mathrm{\&Gamma;}}_1\}{\mathrm{\&zeta;}}_2\left(k\right)-\underset{l=k-d_k}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&zeta;}}_3^T(k,l){\mathrm{\&Psi;\&zeta;}}_3(k,l)+{\mathrm{\&gamma;}}^2{w}^T\left(k\right)w\left(k\right)---\left(13\right)$

其中，ζ₂(k)＝[x^T(k) x^T(k-d_k) w^T(k)]^T，ζ₃(k,l)＝[x^T(k) x^T(k-d_k) y^T(l)]^T

步骤3：利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式分析方法，得到非线性网络化控制系统渐进稳定和非脆弱H_∞容错控制器存在的充分条件，步骤如下：

步骤3.1：基于步骤2)构造的Lyapunov-Krasovskii函数，利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式分析方法，首先判断非线性网络化控制系统的渐进稳定性，得到非线性网络化控制系统渐进稳定的充分条件。

当外部扰动w(k)＝0时，如果ΔV(k)＜0成立，根据Schur引理，ΔV(k)可以被写成如下形式：

根据Lyapunov稳定性理论，式(8)所示的非线性网络化控制系统渐进稳定的充分条件是：当外部扰动w(k)＝0时,对于给定的正整数d₁和d₂，如果存在对称正定矩阵P＝P^T＞0,Q＝Q^T＞0,Z＝Z^T＞0，对称矩阵以及任意合适维数的矩阵N₁和N₂使得线性矩阵不等式(14)和Ψ≥0成立。当步骤3.1的充分条件成立时，再执行步骤3.2；如果步骤3.1的充分条件不成立，则系统不是渐进稳定的且系统不存在H_∞扰动抑制率，不能执行步骤3.2。步骤3.2：判断非线性网络化控制系统是否具有H_∞扰动抑制率γ，得到非线性网络化控制系统具有H_∞扰动抑制率γ的充分条件。

在零初始条件下，当外部扰动w(k)≠0时，根据Schur引理，由式(13)可以得到：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}V\left(k\right)+z^T\left(k\right)z\left(k\right)-{\mathrm{\&gamma;}}^2{w}^T\left(k\right)w\left(k\right)\\ \&le;{\mathrm{\&zeta;}}_2^T\left(k\right)\{\mathrm{\&Xi;}+{\mathrm{\&Gamma;}}_1^T(P+d_{2}R){\mathrm{\&Gamma;}}_1+{\mathrm{\&Gamma;}}_2^T{\mathrm{\&Gamma;}}_2\}{\mathrm{\&zeta;}}_2\left(k\right)-\underset{l=k-d_k}{\overset{k-1}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&zeta;}}_3^T(k,l){\mathrm{\&Psi;\&zeta;}}_3(k,l)\end{array}---\left(15\right)$

其中Γ₂＝[C 0 D]。如果式(15)的右边小于0成立,根据Schur引理，可以得到

并且以下不等式成立：

ΔV(k)+z^T(k)z(k)-γ²w^T(k)w(k)＜0 (17)

对k从0到∞求和，得到当V(0)＝0，于是可以得到：

$\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\&infin;}}{\&Sigma;}}\&lsqb;z^T\left(k\right)z\left(k\right)-{\mathrm{\&gamma;}}^2{w}^T\left(k\right)w\left(k\right)\&rsqb;<0---\left(18\right)$

即||z||₂＜γ||w||₂

根据Lyapunov稳定性理论，式(8)所示的非线性网络化控制系统具有H_∞扰动抑制率γ的充分条件是：当外部扰动w(k)≠0时,对于给定的正整数d₁和d₂，如果存在对称正定矩阵P＝P^T＞0,Q＝Q^T＞0,Z＝Z^T＞0，对称矩阵以及任意合适维数的矩阵N₁和N₂使得线性矩阵不等式(14)和Ψ≥0成立。当步骤3.2的充分条件成立时，再执行步骤3.3；如果步骤3.2的充分条件不成立，则系统不具有H_∞扰动抑制率γ且系统不存在非脆弱H_∞容错控制器，不能执行步骤3.3。

步骤3.3：求解非脆弱H_∞容错控制器

将式(16)中的ΔA₀、ΔA₁、ΔB₀展开，根据Schur引理可以得到

$\left[\begin{array}{ccccccccc}\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_1{\mathrm{PD}}_1{\left({\mathrm{PD}}_1\right)}^T+\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_1{\mathrm{PD}}_1{\left({\mathrm{PD}}_1\right)}^T\end{array}& *& *& *& *& *& *& *& *\\ 0& 0& *& *& *& *& *& *& *\\ 0& 0& 0& *& *& *& *& *& *\\ 0& 0& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_3{D}_1{D}_1^T& *& *& *& *& *\\ 0& 0& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_3{d}_2{D}_1{D}_1^T& {\mathrm{\&epsiv;}}_3{d}_2^2{D}_1{D}_1^T& *& *& *& *\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& *& *& *\\ (E_1+E_{3}M\hat{K})& E_2& 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{3}I& *& *\\ 0& E_2& 0& 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{2}I& *\\ (E_1+E_{3}M\hat{K})& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{1}I\end{array}\right]---\left(19\right)$

根据式(16)和式(19)，将ΔK展开，根据Schur引理可以得到

$\left[\begin{array}{cccccccccc}{\mathrm{\&epsiv;}}_4{\mathrm{PC}}_{1}P& *& *& *& *& *& *& *& *& *\\ 0& 0& *& *& *& *& *& *& *& *\\ 0& 0& 0& *& *& *& *& *& *& *\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_4{C}_{1}P& 0& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{C}_1& *& *& *& *& *& *\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{C}_{1}P& 0& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{C}_1& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2^2{C}_1& *& *& *& *& *\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& *& *& *& *\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_4{C}_{2}P& 0& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{C}_2& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{C}_2& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{C}_3& *& *& *\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& *& *\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_4{C}_{2}P& 0& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{C}_2& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{C}_2& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{C}_3& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{C}_3& *\\ E_4& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{4}I\end{array}\right]---\left(20\right)$

其中，C₁＝B₀MD₁(B₀MD₁)^T，C₂＝E₃MD₁(B₀MD₁)^T，C₃＝E₃MD₁(E₃MD₁)^T

根据式(5)，可以得到

$\begin{array}{c}{E}_1\left(C_1\right)=E\left\{B_0{\mathrm{MD}}_1{\left(B_0{\mathrm{MD}}_1\right)}^T\right\}=E\left\{B_0(M-\stackrel{\&OverBar;}{M}+\stackrel{\&OverBar;}{M})D_1{\left(B_0\right(M-\stackrel{\&OverBar;}{M}+\stackrel{\&OverBar;}{M}\left)D_1\right)}^T\right\}\\ =E\left\{B_0(M-\stackrel{\&OverBar;}{M})D_1{\left(B_0\right(M-\stackrel{\&OverBar;}{M}\left)D_1\right)}^T\right\}+E\left\{B_0\stackrel{\&OverBar;}{M}{D}_1{\left(B_0\stackrel{\&OverBar;}{M}{D}_1\right)}^T\right\}\\ =\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}({\mathrm{\&delta;}}_i^2{B}_0{\mathrm{\&Theta;}}_i{D}_1{\left(B_0{\mathrm{\&Theta;}}_i{D}_1\right)}^T+{\mathrm{\&alpha;}}_i{B}_0{\mathrm{\&Theta;}}_i{D}_1{\left(B_0{\mathrm{\&Theta;}}_i{D}_1\right)}^T)\\ =\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\left({\mathrm{\&beta;}}_i{B}_0{\mathrm{\&Theta;}}_i{D}_1{\left(B_0{\mathrm{\&Theta;}}_i{D}_1\right)}^T\right)\end{array}$

$E\left(C_2\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\left({\mathrm{\&beta;}}_i{E}_3{\mathrm{\&Theta;}}_i{D}_1{\left(B_0{\mathrm{\&Theta;}}_i{D}_1\right)}^T\right)$

$E\left(C_3\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\left({\mathrm{\&beta;}}_i{E}_3{\mathrm{\&Theta;}}_i{D}_1{\left(E_3{\mathrm{\&Theta;}}_i{D}_1\right)}^T\right)$

因此，式(20)又可以写成：

$\left[\begin{array}{cccccccccc}{\mathrm{\&epsiv;}}_4{\mathrm{PH}}_{1}P& *& *& *& *& *& *& *& *& *\\ 0& 0& *& *& *& *& *& *& *& *\\ 0& 0& 0& *& *& *& *& *& *& *\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_{1}P& 0& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_1& *& *& *& *& *& *\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{H}_{1}P& 0& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{H}_1& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2^2{H}_1& *& *& *& *& *\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& *& *& *& *\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_{2}P& 0& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_2& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{H}_2& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_3& *& *& *\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& *& *\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_{2}P& 0& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_2& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{H}_2& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_3& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_3& *\\ E_4& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{4}I\end{array}\right]---\left(21\right)$

其中，

${\mathrm{\&beta;}}_i={\mathrm{\&alpha;}}_i+{\mathrm{\&delta;}}_i^2$

根据式(16)，式(19)和式(21)，可以得到

其中，

$w_{11}=P{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k^{T}P+N_1+N_1^T+(\mathrm{\&tau;}+1)Q+d_2{X}_{11}+({\mathrm{\&epsiv;}}_1+{\mathrm{\&epsiv;}}_2){\mathrm{PD}}_1{D}_1^{T}P+{\mathrm{\&epsiv;}}_4{\mathrm{PH}}_{1}P$

$w_{21}=A_1^{T}P-N_1^T+N_2+d_2{X}_{21},w_{22}=-N_2-N_2^T-Q+d_2{X}_{22}$

将式(22)分别左乘和右乘对角阵diag{P^-1,P^-1,I,I,I,I,I,I,I,I}，并且将Ψ≥0分别左乘和右乘对角阵diag{P^-1,P^-1,P^-1}，可以得到：

${\mathrm{\&Phi;}}_1=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Omega;}}_{11}& *\\ {\mathrm{\&Omega;}}_{21}& {\mathrm{\&Omega;}}_{22}\end{array}\right]<0---\left(23\right)$

${\mathrm{\&Psi;}}_2=\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{11}& *& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{21}& {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{22}& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_1^T& {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_2^T& P^{-1}{\mathrm{ZP}}^{-1}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0---\left(24\right)$

其中，

$v_{11}={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k{P}^{-1}+P^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k^T+P^{-1}{N}_1{P}^{-1}+P^{-1}{N}_1^T{P}^{-1}+(\mathrm{\&tau;}+1)P^{-1}{\mathrm{QP}}^{-1}+d_2{P}^{-1}{X}_{11}{P}^{-1}+({\mathrm{\&epsiv;}}_1+{\mathrm{\&epsiv;}}_2)D_1{D}_1^T+{\mathrm{\&epsiv;}}_4{\mathrm{\&beta;}}_i{H}_1$

$v_{21}=P^{-1}{A}_1^T-P^{-1}{N}_1^T{P}^{-1}+P^{-1}{N}_2{P}^{-1}+d_2{P}^{-1}{X}_{21}{P}^{-1},v_{22}=-P^{-1}{N}_2{P}^{-1}-P^{-1}{N}_2^T{P}^{-1}-P^{-1}{\mathrm{QP}}^{-1}+d_2{P}^{-1}{X}_{22}{P}^{-1}$

${\stackrel{\&OverBar;}{N}}_1=P^{-1}{N}_1{P}^{-1},{\stackrel{\&OverBar;}{N}}_2=P^{-1}{N}_2{P}^{-1},{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{11}=P^{-1}{X}_{11}{P}^{-1},{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{21}=P^{-1}{X}_{21}{P}^{-1},{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{22}=P^{-1}{X}_{22}{P}^{-1},\stackrel{\&OverBar;}{Q}=P^{-1}{\mathrm{QP}}^{-1}$

$\stackrel{\&OverBar;}{K}={\mathrm{KP}}^{-1},{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k=A_0-I+B_{0}MK+F_1$

因为在式(24)中有非线性项P^-1ZP^-1，所以它不是严格的线性矩阵不等式；注意到Z和是正定对称矩阵，从而可以得到(Z^-1-P^-1)V(Z^-1-P^-1)≥0，这表明

P^-1ZP^-1≥2P^-1-Z^-1 (25)

由式(24)和式(25)可得：

${\mathrm{\&Psi;}}_1=\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{11}& *& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{21}& {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{22}& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_1^T& {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_2^T& 2P^{-1}-Z^{-1}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0---\left(26\right)$

根据Lyapunov稳定性理论，式(8)所示的非线性网络化控制系统具有H_∞容错控制器存在的充分条件是：利用Matlab LMI工具箱进行求解，对于给定的正整数d₁和d₂，如果存在对称正定矩阵P＝P^T＞0,Z＝Z^T＞0，适当维数的正定矩阵对称矩阵矩阵和标量ε_i＞0(i＝1,2,3,4)，以及任意合适维数的矩阵和使得线性矩阵不等式(23)和(26)成立。则非线性网络化控制系统(6)是渐进稳定的且具有H_∞扰动抑制率γ，非脆弱容错控制器增益矩阵且可以继续进行步骤4；如果上述未知变量没有解，则非线性网络化控制系统不是渐进稳定的且不具有H_∞扰动抑制率γ，不能获得非脆弱容错控制器增益矩阵，也不可以进行步骤4。

步骤4：给出最小扰动抑制率γ可以优化的条件。

令e＝γ²，如果以下优化问题成立：

$\begin{array}{ccc}\min e& s.t.& {\mathrm{\&Phi;}}_1=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Omega;}}_{11}& *\\ {\mathrm{\&Omega;}}_{21}& {\mathrm{\&Omega;}}_{22}\end{array}\right]\end{array}<0$

${\mathrm{\&Psi;}}_1=\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{11}& *& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{21}& {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{22}& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_1^T& {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_2^T& 2P^{-1}-Z^{-1}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

$P>0,\stackrel{\&OverBar;}{Q}>0,\stackrel{\&OverBar;}{Z}>0,\stackrel{\&OverBar;}{X}\&GreaterEqual;0,{\mathrm{\&epsiv;}}_i>0,(i=1,2,3,4)---\left(14\right)$

则可获得闭环系统(6)在符合非脆弱H_∞容错控制条件下，系统的最小扰动抑制率同时非脆弱容错控制器增益矩阵K也会被优化为

实施例：

采用本发明提出的一种具有时变时延的网络化控制系统的容错控制方法，系统在时变时延的影响下，当没有外界扰动即w(k)＝0时，非线性闭环非线性网络化控制系统是渐进稳定的；当存在外界扰动时，系统也是渐进稳定的且具有一定的抗干扰能力。具体实现方法如下：

步骤1：被控对象为闭环非线性网络化控制系统，其状态空间模型为式(8)，给定其系统参数为

$\begin{array}{ccccc}{A}_0=\left[\begin{array}{cc}0& 0.1\\ -0.14& 0.9\end{array}\right],& A_1=\left[\begin{array}{cc}0.2& 0\\ 0& 0.1\end{array}\right],& B_0=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],& D_1=\left[\begin{array}{cc}0.01& 0.02\\ 0.02& 0.02\end{array}\right],& E_1=\left[\begin{array}{cc}0.1& 0.2\\ 0.3& 0.1\end{array}\right]\end{array},$

$\begin{array}{ccccc}{E}_2=\left[\begin{array}{cc}0.2& 0.1\\ 0.3& 0.2\end{array}\right]& E_3=\left[\begin{array}{cc}0.2& 0.2\\ 0.1& 0.2\end{array}\right],& E_4=\left[\begin{array}{cc}0.01& 0.02\\ 0.01& 0.02\end{array}\right],& R=\left[\begin{array}{c}0.5\\ 0.3\end{array}\right],& f(k,x(k\left)\right)=\left[\begin{array}{c}0.3\sin \left(0.01k\right)\\ 0.3\cos \left(0.01k\right)\end{array}\right]/k\end{array}$

C＝[0.1 0.1]，D＝0.6，d₁＝1，d₂＝4

假设扰动信号为

$w\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}0.3& 60\&le;k\&le;65\\ 0& otherwise\end{array}\right.$

假设系统具有2个执行器，选取期望相同，方差不同的3种随机故障情形；期望为方差分别为

步骤2：利用Matlab LMI工具箱求解，不同随机故障情形下，正定矩阵P＝P^T＞0,Z＝Z^T＞0，适当维数的正定矩阵对称矩阵矩阵和标量ε_i＞0(i＝1,2,3,4)，以及任意合适维数的矩阵N₁和N₂，见表1；根据表1可以求得非脆弱控制器K和H_∞性能指标γ，见表2；并对得到的结果进行优化得到K^*和γ^*，具体结果，见表3。

表1不同随机故障参数下系统未知参数的可行解

表2时优化前的控制器参数和H_∞性能指标

表3时优化后的控制器参数和H_∞性能指标

步骤3：给定初始状态为x(0)＝[1,-0.5]^T，利用步骤2中Matlab LMI工具箱求解的结果，用Matlab仿真出不同随机故障情况的闭环非线性网络化控制系统状态响应，如图2至图4所示。

由图2至图4可以看出，当系统抗干扰性能γ^*最小即γ^*＝1.6205时，图2的系统状态响应曲线收敛速度比图3和图4快；此外，在执行器发生随机故障时，即使系统外部出现扰动，在控制器的作用下系统仍然能够保持渐进稳定，并且系统具有良好的抗干扰性能。

以上是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何简单修改、等同变化与修饰，均属于发明技术方案的范围内。

Claims (1)

1.一种具有时变时延的网络化控制系统的容错控制方法，其特征在于，具体包括以下步骤：

1)建立离散时间闭环非线性网络化控制系统模型：

$\left\{\begin{array}{c}x(k+1)={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{0}x\left(k\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1(k-d(k\left)\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{0}u\left(k\right)+Rw\left(k\right)+f(k,x(k\left)\right)\\ z\left(k\right)=Cx\left(k\right)+Dw\left(k\right)\end{array}\right.$

其中，x(k)∈Rⁿ为状态向量，u(k)∈R^P为控制输入量，w(k)∈R^l为有限能量的外部扰动且w(k)∈L₂[0,∞)，z(k)∈R^q为控制输出量，f(k,x(k))满足Lipschitz条件非线性向量项，||f(k,x(k))||≤||F₁x(k)||；A₀∈R^n×n、A₁∈R^n×n、B₀∈R^n×p、C∈R^q×n、D∈R^q×l、R∈R^q×l和F₁∈R^n×n为常数矩阵；ΔA₀∈R^n×n、ΔA₁∈R^n×p和ΔB₀∈R^n×p是时延和系统参数摄动的不确定部分，具有如下形式：

[ΔA₀ ΔA₁ ΔB₀]＝D₁F(k)[E₁ E₂ E₃]

其中，D₁∈R^n×n、E₁∈R^n×n、E₂∈R^n×n和E₃∈R^n×p为常数矩阵，F(k)∈R^n×n为满足以下条件的未知不确定矩阵，其元素Lebesgue可测且有界F(k)^TF(k)≤I；d(k)是取值为正整数变得时变时滞，以d₁和d₂分别表示其下界与上界，即0＜d₁≤d(k)≤d₂,

状态反馈控制器为K∈R^p×n为控制增益阵，ΔK为控制增益摄动阵，ΔK＝D₁F(k)E₄，E₄∈R^n×p为常数矩阵；

2)构造包含具有时延信息的Lyapunov-Krasovskii函数V(k)＝V₁(k)+V₂(k)+V₃(k)；

其中，V₁(k)＝x^T(k)Px(k)，y(l)＝x(l+1)-x(l)，P∈R^n×n、Q∈R^n×n和Z∈R^n×n为正定对称矩阵；

3)计算非脆弱容错控制器增益矩阵为K，非线性网络化控制系统渐进稳定和H_∞容错控制器存在的充分条件：

针对下列线性矩阵不等式：

${\mathrm{\&Phi;}}_1=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Omega;}}_{11}& *\\ {\mathrm{\&Omega;}}_{21}& {\mathrm{\&Omega;}}_{22}\end{array}\right]<0$

${\mathrm{\&Psi;}}_1=\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{11}& *& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{21}& {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{22}& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_1^T& {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_2^T& 2P^{-1}-Z^{-1}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

其中，

${\mathrm{\&Omega;}}_{11}=\left[\begin{array}{cccccc}{v}_{11}& *& *& *& *& *\\ v_{21}& v_{22}& *& *& *& *\\ R^T& 0& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I& *& *& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k{P}^{-1}+{\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_1& A_1{P}^{-1}& R& \begin{array}{c}-P^{-1}+{\mathrm{\&epsiv;}}_3{D}_1{D}_1^T\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_1\end{array}& *& *\\ d_2{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k{P}^{-1}+{\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{H}_1& d_2{A}_1{P}^{-1}& d_{2}R& \begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_3{d}_2{D}_1{D}_1^T\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{H}_1\end{array}& \begin{array}{c}-d_2{Z}^{-1}+{\mathrm{\&epsiv;}}_3{d}_2^2{D}_1{D}_1^T\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2^2{H}_1\end{array}& *\\ {\mathrm{CP}}^{-1}& 0& D& 0& 0& -I\end{array}\right]$

${\mathrm{\&Omega;}}_{21}=\left[\begin{array}{cccccc}\begin{array}{c}{E}_1{P}^{-1}+E_{3}M\stackrel{\&OverBar;}{K}\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_2\end{array}& E_2{P}^{-1}& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_2& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{H}_2& 0\\ E_2{P}^{-1}& 0& 0& 0& 0& 0\\ \begin{array}{c}{E}_1{P}^{-1}+E_{3}M\stackrel{\&OverBar;}{K}\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_2\end{array}& 0& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_2& {\mathrm{\&epsiv;}}_4{d}_2{H}_2& 0\\ E_4{P}^{-1}& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right],{\mathrm{\&Omega;}}_{22}=\left[\begin{array}{cccc}\begin{array}{c}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{3}I+\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_3\end{array}& *& *& *\\ 0& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{2}I& *& *\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_3& 0& \begin{array}{c}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{1}I+\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_4{H}_3\end{array}& *\\ 0& 0& 0& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{4}I\end{array}\right]$

$v_{11}={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k{P}^{-1}+P^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k^T+P^{-1}{N}_1{P}^{-1}+P^{-1}{N}_1^T{P}^{-1}+(\mathrm{\&tau;}+1)P^{-1}{\mathrm{QP}}^{-1}+d_2{P}^{-1}{X}_{11}{P}^{-1}+({\mathrm{\&epsiv;}}_1+{\mathrm{\&epsiv;}}_2)D_1{D}_1^T+{\mathrm{\&epsiv;}}_4{\mathrm{\&beta;}}_i{H}_1$

$v_{21}=P^{-1}{A}_1^T-P^{-1}{N}_1^T{P}^{-1}+P^{-1}{N}_2{P}^{-1}+d_2{P}^{-1}{X}_{21}{P}^{-1},v_{22}=-P^{-1}{N}_2{P}^{-1}-P^{-1}{N}_2^T{P}^{-1}-P^{-1}{\mathrm{QP}}^{-1}+d_2{P}^{-1}{X}_{22}{P}^{-1}$

${\stackrel{\&OverBar;}{N}}_1=P^{-1}{N}_1{P}^{-1},{\stackrel{\&OverBar;}{N}}_2=P^{-1}{N}_2{P}^{-1},{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{11}=P^{-1}{X}_{11}{P}^{-1},{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{21}=P^{-1}{X}_{21}{P}^{-1},{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{22}=P^{-1}{X}_{22}{P}^{-1},\stackrel{\&OverBar;}{Q}=P^{-1}{\mathrm{QP}}^{-1},\stackrel{\&OverBar;}{K}={\mathrm{KP}}^{-1}$

${\stackrel{\&OverBar;}{A}}_k=A_0-I+B_{0}MK+F_1,H_1=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left({\mathrm{\&beta;}}_i{B}_0{\mathrm{\&theta;}}_i{D}_1{\left(B_0{\mathrm{\&theta;}}_i{D}_1\right)}^T\right),H_2=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left({\mathrm{\&beta;}}_i{E}_3{\mathrm{\&theta;}}_i{D}_1{\left(B_0{\mathrm{\&theta;}}_i{D}_1\right)}^T\right),$

γ为扰动抑制率；

故障矩阵M＝diag{m₁,m₂,…,m_n}，其中，m₁,m₂,…,m_n为n个互不相关的随机变量，m_i＝1为执行器正常，m_i＝0为执行器彻底失效，当0＜m_i＜1时,表示执行器部分失效；m_i的期望α_i和方差是已知的常数；其中Θ_i是一个对角阵，第i个元素是1，其他元素为0；

P、Q、Z、N₁∈R^n×n、N₂∈R^n×n和标量ε_i(i＝1,2,3,4)，矩阵为未知变量，其他变量都是已知的，可以根据系统参数得出或直接给定；

利用Matlab LMI工具箱进行求解，如果存在对称正定矩阵P和Z，适当维数的正定矩阵矩阵和标量ε_i＞0(i＝1,2,3,4)，对称矩阵以及任意合适维数的矩阵和则非线性网络化控制系统是渐进稳定的且具有H_∞性能γ，非脆弱容错控制器增益矩阵为且可以继续进行步骤4)；如果上述未知变量没有解，则非线性网络化控制系统不是渐进稳定的且不具有H_∞扰动抑制率γ，不能获得非脆弱容错控制器增益矩阵，也不可以进行步骤4)；

4)计算最小扰动抑制率γ_min下非脆弱容错控制器增益矩阵K，给出最小扰动抑制率γ可以优化的条件：

令e＝γ²，如果以下优化问题成立：

$\begin{array}{ccc}\min e& s.t.& {\mathrm{\&Phi;}}_1=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Omega;}}_{11}& *\\ {\mathrm{\&Omega;}}_{21}& {\mathrm{\&Omega;}}_{22}\end{array}\right]<0\end{array}$

${\mathrm{\&Psi;}}_1=\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{11}& *& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{21}& {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{22}& *\\ {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_1^T& {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_2^T& 2P^{-1}-Z^{-1}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0$

P＞0，ε_i＞0(i＝1,2,3,4)

则可获得闭环非线性网络化控制系统在符合非脆弱H_∞容错控制条件下，系统的最小扰动抑制率同时非脆弱容错控制器增益矩阵K也会被优化为