CN108572552B - 一种基于故障报警的混合无源/h∞的混杂控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于故障报警的混合无源/H_∞的混杂控制方法。本方法先得出使闭环系统混合无源/H_∞的充分条件，再基于此条件得到鲁棒控制器、容错控制器以及相对应的观测器。之后，通过设计一种基于多阈值的报警系统来排除误报并帮助系统调用合适的控制器。相比于直接调用容错控制器的方法，本发明具有可靠性强、保守性小、资源利用率高等优点，此外本发明针对的被控系统具有一般性，这使得本发明具有广阔的发展前景。

Description

一种基于故障报警的混合无源/H∞的混杂控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于故障报警的混合无源/H_∞的混杂控制方法，属于系统安全领域。

背景技术

随着当今工业技术的迅速发展，其所依赖控制系统的精密度的要求不断提高，相应的，控制系统也变得越来越复杂。然而当系统部件故障、部件维修、子系统间互连突变、突发性外部扰动等等这些不可避免的随机因素发生时，系统的结构与参数难免会产生一定程度上的突变，这也使得控制系统的故障率越来越高，从而导致控制系统的不稳定。Markovian跳变系统模型则能很好地描述这类混杂系统，正因如此，对Markovian跳变系统的研究不仅仅局限于理论意义，在现实技术发展领域也有不可忽视的重大价值。

在系统控制的研究领域中，无源性理论是其重要组成部分。系统的无源性是从电子网络的无源性以及物理学分支中延伸出来的，是耗散系统的一种特例。它将系统的输入和输出的乘积(输入、输出为向量时，则为内积)作为系统的供给率，在系统的输入是有界的条件下能反映出系统能量是衰减的这一重要性质。这也体现了无源性与稳定性的相关性，事实上，无源性是稳定性的一种更高层次的抽象体现，其存储函数也往往被用作系统稳定性分析的Lyapunov函数。因此，当被控系统存在扰动的情况下，可以通过无源性理论来设计反馈控制器，使得闭环系统是无源的，进而也是稳定的。

同时，本发明还涉及到了H_∞控制。H_∞控制是一种优化控制，其优化指标是控制系统内部一些信号之间(一般为噪声到期望输出之间)传递函数矩阵的H_∞范数。在所设计的反馈控制器能保证闭环系统稳定的条件下，还要满足闭环系统传递函数的H_∞范数小于预先设定的一个正数值。因为该方法具有普适性，其应用已经日趋成熟，成为现如今控制理论的重要组成部分。

此外，不可忽视的是当控制系统内子系统之间传递数据时，不可避免地会存在时滞现象，这会导致控制效果的滞后。而与此同时，因硬件设备的限制，控制系统还存在执行器部分失效和执行器饱和现象使得控制效果无法达到预期目标。这些局限性条件，在一定程度上会导致控制系统的性能下降，甚至还会造成系统的不稳定乃至系统彻底崩溃。因此，这些问题成为了当今控制系统领域无法回避的挑战。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：针对现实控制系统领域中伴随着执行器部分失效以及执行器偏移故障的时滞系统(这里选用Markovian跳变系统为具体模型)，并且同时考虑外部扰动对系统的影响，提供一种基于故障报警的混合无源/H_∞的混杂控制方法，来解决该系统的混合无源/H_∞问题并保证其稳定性。

本发明的技术解决方案是：首先，对被控对象进行建模，选定时滞Markovian 跳变系统作为合适的模型，采用状态反馈控制器来控制被控对象，从而形成闭环系统，并选取合适的Lyapunov-krasovskii函数得到使闭环系统混合随机无源/H_∞的充分条件；基于该充分条件，利用LMI方法分别求得正常情况下的鲁棒控制器和执行器发生故障情况下的容错控制器的增益矩阵，类似地，还可以得到两种情况下分别对应的观测器来估计实时的执行器偏移故障；之后，为了减小控制器选取方法的保守性，通过设计一种基于多阈值的报警系统来达到切换控制器的目的；具体步骤如下：

(1)被控对象建模、相关约束条件申明、状态反馈控制器构造以及混合无源 /H_∞性能定义，具体如下：

(1-1)选取时滞Markovian跳变系统作为被控对象的模型，具体模型如下：

其中

是系统(1)的状态向量；

是控制信号；

是实际影响到被控对象的执行器偏移故障；

是外部扰动信号，并且属于l₂[0，∞)；

是系统(1)的控制输出；

是定义在

上的初始条件；d(t)为时变状态时滞，并且满足以下条件：

{r(t)}为在有限集合S＝{1,2,3,…,s}上关于时间连续取值的Markov过程，其跳变转移概率矩阵为

其中：Δ>0,

π_ij为在t+Δ时刻从模态i到模态j的转移概率且满足以下关系：

此外，跳变概率矩阵定义如下：

其中“？”代表不可测得的元素，α_ij代表上下界已知的元素，即

为了后续证明描述的方便，定义如下：

对于

其中：

当

时，将其表示成如下形式：

其中

和

分别表示为

的第m个元素和

的第n个元素；

和

分别为已知的与模态r(t)相关的适当维数的常数矩阵；当r(t)＝i时，用N_i来表征N(r(t))；

(1-2)构造状态反馈控制器，代入公式(1)所描述的系统模型，得到闭环控制系统(9)，具体步骤如下：

状态反馈控制器设计如下：

其中

为控制器增益矩阵，

为

的估计值，带入公式(1)所描述的开环系统，得到如下的闭环控制系统：

根据执行器偏移故障的特性，将其分为以下两种情况：

情况1：当执行器偏移故障不发生时，即

时，其估计值从公式(9)所描述的闭环系统中被移除；这种情况下，

因此，闭环系统(9)重新描述如下：

情况2：当

被用于补偿

时，即

定义D_i＝[W_iB_i] 和

因此，闭环系统(9)重新描述成如下形式：

(1-3)混合无源/H_∞性能的定义具体如下:

在零初始条件下，且当

时

对于任意属于l₂[0，∞)的扰动ω(t)、公式(10)所描述的闭环系统的任意解以及任意的

使得闭环系统(10)具有混合无源/H_∞性能γ即满足

其中γ为大于0的常数，α∈[0,1]为H_∞性能和无源性之间的权重参数；

(2)闭环系统(10)的混合随机无源/H_∞性能分析，具体如下：

(2-1)充分利用闭环控制系统(10)的相关信息，选取合适的 Lyapunov-Krasovskii函数如下：

其中：

V₁(r(t),t)＝x^T(t)P_ix(t),

(2-2)利用弱无穷小算子、放缩法以及自由权矩阵方法，得到使公式(10)所描述的闭环系统混合随机无源/H_∞的充分条件：

结论1：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵P_i>0，Q>0，R>0以及合适维度的可逆矩阵N和常数γ>0,使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

Ψ_1，2＝[C_i，0，0，0]^T，

Φ_2，3＝NA_di-δ₂N^T，

Φ_3，3＝-(1-h)Q-R+He(δ₂NA_di)，

则闭环系统(10)具有混合随机无源/H_∞性能γ；

(2-3)利用弱无穷小算子、放缩法以及自由权矩阵方法，得到使公式(11)所描述的闭环系统具有H_∞性能γ′的充分条件：

结论2：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵P_i>0，Q>0，R>0以及合适维度的可逆矩阵N和常数γ′>0，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

则闭环系统(11)具有H_∞性能γ′；

(3)基于混合随机无源/H_∞充分条件，设计鲁棒控制器、容错控制器以及相对应的观测器，具体步骤如下：

(3-1)鲁棒控制器设计：

基于步骤(2)中公式(10)所描述的闭环系统的混合随机无源/H_∞充分条件，在正常情况下，将

替换成K_i1，再左乘

以及右乘

并记

接着通过LMI方法求得各个模态下的鲁棒控制器；

结论3：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵

以及合适维度的可逆矩阵

和常数γ>0，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

则鲁棒控制器的状态反馈增益为

且正常情况下的闭环系统具有混合随机无源/H_∞性能γ；

(3-2)容错控制器设计：

根据执行器故障的类型，分为以下三种情况进行讨论：

(3-2-1)当执行器只发生偏移故障且被补偿时，

和

成立，公式(11)所描述的闭环系统重新描述如下：

其中：F(x(t),t)是未知的，且满足||F(x(t),t)||≤F_α+F_β||x(t)||≤F_max，F_α、F_β和F_max均是已知正常数；此外，F(x(t),t)的b阶微分是有界的，b＝1,2,…,r；

结论4：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵

以及合适维度的可逆矩阵

和常数γ′>0,使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

则容错控制器的状态反馈增益为

且公式(20)所描述的闭环系统具有H _∞性能γ′；

(3-2-2)当执行器只发生部分失效故障时，

用MK_i3来替换，其中 M＝diag{m₁,m₂,…,m_m}，对角线上的各个元素则代表执行器的有效工作率，同样，左乘

以及右乘

通过放缩来找到符合范围的通解并降低其保守性；即令M＝M₀(I+G)且G满足 |G|≤H≤I；其中：

M₀＝diag{m₀₁,m₀₂,…,m_0m},H＝diag{h₁,h₂,…,h_m},

G＝diag{g₁,g₂,…,g_m},|G|＝diag{|g₁|,|g₂|,…,|g_m|},

公式(10)所描述的闭环系统重新描述如下：

结论5：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵

以及合适维度的可逆矩阵

和常数γ>0，ε_i,m>0，m＝1,2,3，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

则容错控制器的状态反馈增益为

且公式(23)所描述的闭环系统具有混合随机无源/H_∞性能γ；

(3-2-3)当执行器偏移故障和执行器部分失效故障都发生且偏移故障得到补偿时，

和

成立，公式(11)所描述的闭环系统重新描述如下：

结论6：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵

以及合适维度的可逆矩阵

和常数γ>0，ε_i,m>0，m＝1,2,3，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

则容错控制器的状态反馈增益为

且公式(26)所描述的闭环系统具有H _∞性能γ′；

(3-3)容错观测器设计：

根据是否存在执行器部分失效故障，分成以下2种情况来讨论：

(3-3-1)当执行器不存在部分失效故障而存在偏移故障时，令 F_i＝F^(r-i)(x(t),t),i＝1,2,…,r,公式(20)所描述闭环系统相对应的增广系统写成如下形式：

其中：

为了实时估计执行器偏移故障，设计如下观测器：

其中：

为观测器的状态，

为的F_i观测值，

为观测器输出，

为观测器增益矩阵；

定义状态残差值以及输出残差值分别为

和

得到如下残差值相关的残差系统：

值得指出的是F_r＝F(x(t),t)，

而且发现L_i2不受K_i2的影响，然而F(x(t),t)＝0 看成是执行器偏移故障存在的一种特殊情况，所以当执行器偏移故障不存在时，其观测器的增益矩阵L_i1等于L_i2；此外，根据执行器偏移故障有界的特性，

的值满足以下等式：

结论7：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵P_i>0，Q>0，R>0以及合适维度的可逆矩阵N和常数γ>0,使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

则观测器增益为L_i2＝N^-1Z_i2，且公式(31)所描述的闭环系统具有混合随机无源/H_∞性能γ；

(3-3-2)当执行器存在部分失效故障且存在偏移故障时，执行器的输出描述成MK_ikx(t)+MF(x(t),t),k＝3,4；因此，公式(9)所描述的闭环系统重新描述成

则对应的增广闭环系统描述成如下形式：

其中：

所述的观测器描述如下：

其中：

为观测器增益；且u(k)＝K_ikx(t)；定义此状态残差值为

得到如下残差值相关的残差系统：

此外，根据执行器偏移故障有界的特性，

的值满足以下等式：

其中：

且

结论8：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵P_i>0，Q>0，R>0以及合适维度的可逆矩阵N和常数γ>0，ε>0，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

则公式(38)所描述的闭环系统具有H_∞性能γ，观测器的增益为L_ik＝N^-1Z_ik,k＝3,4；

(4)设计基于多阈值的报警系统，具体步骤如下：

(4-1)执行器偏移故障阈值设计：

当公式(9)所描述的闭环系统状态收敛至0的一个极小的邻域时，x(t)和x(t-d(t)) 均近似成0；此时，如果执行器偏移故障不发生，即F(x(t),t)＝0，

与ω(t)的临界关系表示如下：

其中：

为B_i的广义逆矩阵；整理可得：

其中：

为||ω(t)||的上界；定义

作为执行器偏移故障阈值；考虑到当执行器偏移故障存在时，

可能存在振荡现象，这会使

的值偶尔会小于执行器偏移故障阈值；因此，在判断语句中加入关于时间持续的相关条件防止误判，故该阈值的工作原理如下：

其中：s∈[t-t_l,t],t_l为预先设定的持续时间；

(4-2)执行器部分失效故障阈值设计：

当

未被调用，如果只发生执行器偏移故障，e(t)会在之后的一小段时间内发散，设计一个合适的阈值来防止错误的切换；

从鲁棒观测器系统，即将公式(31)所描述的闭环系统中的L_i2替换成L_i1后所得的系统，可以得到以下等式：

其中：L_xi1为L_i1的前n行提取出来的矩阵；之后

F(x(t),t)，

和ω(t)之间的临界关系如下：

当d(t)大于之前所谓的小段时间时，

被忽略，因此，得到以下不等式：

其中：

当d(t)小于之前所谓的小段时间时，

被近似成

得到以下不等式：

其中：

如果

未被调用，

否则，

显然

定义

作为执行器部分失效故障阈值，且其故障诊断的逻辑算法如下：

基于之前两种阈值，混杂控制器描述如下：

混杂观测器则为：

其中：L_i＝(1-S_w(t))L_i1+S_w(t)((1-Ob_w(t))L_i3+Ob_w(t)L_i4)；

此外，还需设计一种报警信号来提高混杂控制器的可靠性；定义

作为报警阈值，其工作原理如下：

以下两种可能发生的情况，即图1和图2能体现出这种设计的优越性：

在图1中，||e(t)||的值多次超过报警阈值A_th，但是并没有达到执行器部分失效阈值J_th，因此系统将发出报警信号但是不会切换控制器；之后的结果也证明了这些报警信号只是一系列的误报而已；在图2中，当||e(t)||的值超过执行器部分失效阈值J_th时，系统将调用合适的控制器，这样之前一系列的报警信号将给系统提供足够的时间来应对执行器部分失效故障。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

1.控制器结构简单。在设计过程中，只需根据预定的执行器失效范围，通过求解线性矩阵不等式，即可得到相应的鲁棒控制器、容错控制器以及相对应的观测器的增益矩阵；

2.能维持一定程度的控制性能。在步骤(4)中得到三种阈值信息，并且通过设计合适的逻辑关系将执行器偏移故障阈值、执行器部分失效故障阈值与各个控制器组合成一个混杂控制器，避免了容错控制器再正常情况下的滥用，也能保持被控系统的高性能；

3.考虑的时滞现象、执行器故障以及跳变概率部分未知等现象符合现实情况，具有普适性；

4.采用了“双阈值”的阈值选取思想，除了切换阈值(执行器部分失效故障阈值)外再选取一个报警阈值，可以让报警系统更为快速地进入切换控制器的预备状态并及时地给操作人员提供报警信息，而且能一定程度上地减少误报信息。

附图说明：

图1.多阈值设计举例(1)；

图2.多阈值设计举例(2)；

图3.开环系统的输出响应；

图4.只发生执行器偏移故障的闭环系统的输出响应(只调用鲁棒控制器)；

图5.两种执行器故障都发生的闭环系统的输出响应(不调用K_i3和K_i4)；

图6.混杂控制器控制下的闭环系统的输出响应。

具体实施步骤：

下面结合附图所示实施例，对本发明作进一步详细描述。

本发明是一种基于故障报警的混合无源/H_∞的混杂控制方式，包括以下步骤：

(1)被控对象建模、相关约束条件申明、状态反馈控制器构造以及混合无源 /H_∞性能定义

(2)闭环系统混合随机无源/H_∞性能分析

(3)基于混合随机无源/H_∞充分条件，设计鲁棒控制器、容错控制器以及相对应的观测器

(4)设计基于多阈值的报警系统

(5)仿真实验验证

下面介绍具体步骤：本发明的技术解决方案是：首先，对被控对象进行建模，选定时滞Markovian跳变系统作为合适的模型，采用状态反馈控制器来控制被控对象，从而形成闭环系统，并选取合适的Lyapunov-krasovskii函数得到使闭环系统混合随机无源/H_∞的充分条件；基于该充分条件，利用LMI方法分别求得正常情况下的鲁棒控制器和执行器发生故障情况下的容错控制器的增益矩阵，类似地，还可以得到两种情况下分别对应的观测器来估计实时的执行器偏移故障；之后，为了减小控制器选取方法的保守性，通过设计一种基于多阈值的报警系统来达到切换控制器的目的；具体步骤如下：

(1)被控对象建模、相关约束条件申明、状态反馈控制器构造以及混合无源 /H_∞性能定义，具体如下：

(1-1)选取时滞Markovian跳变系统作为被控对象的模型，具体模型如下：

(1-2)构造状态反馈控制器，代入公式(1)所描述的系统模型，得到闭环控制系统(3)，具体步骤如下：

状态反馈控制器设计如下：

带入公式(1)所描述的开环系统，得到如下的闭环控制系统：

根据执行器偏移故障的特性，将其分为以下两种情况：

情况1：当执行器偏移故障不发生时，即

时，其估计值从公式(3)所描述的闭环系统中被移除；这种情况下，

因此，闭环系统(3)重新描述如下：

情况2：当

被用于补偿

时，即

定义D_i＝[W_iB_i] 和

因此，闭环系统(3)重新描述成如下形式：

(1-3)混合无源/H_∞性能的定义具体如下:

在零初始条件下，且当

时

对于任意属于l₂[0，∞)的扰动ω(t)、公式(4)所描述的闭环系统的任意解以及任意的

使得闭环系统(4)具有混合无源/H_∞性能γ即满足

(2)闭环系统(4)的混合随机无源/H_∞性能分析，具体如下：

(2-1)充分利用闭环控制系统(4)的相关信息，选取合适的Lyapunov-Krasovskii函数如下：

其中：

V₁(r(t),t)＝x^T(t)P_ix(t),

(2-2)利用弱无穷小算子、放缩法以及自由权矩阵方法，得到使公式(4)所描述的闭环系统混合随机无源/H_∞的充分条件：

结论1：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵P_i>0，Q>0，R>0以及合适维度的可逆矩阵N和常数γ>0,使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

则闭环系统(4)具有混合随机无源/H_∞性能γ；

(2-3)利用弱无穷小算子、放缩法以及自由权矩阵方法，得到使公式(11)所描述的闭环系统具有H_∞性能γ′的充分条件：

结论2：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵P_i>0，Q>0，R>0以及合适维度的可逆矩阵N和常数γ′>0，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

则闭环系统(5)具有H_∞性能γ′；

(3)基于混合随机无源/H_∞充分条件，设计鲁棒控制器、容错控制器以及相对应的观测器，具体步骤如下：

(3-1)鲁棒控制器设计：

基于步骤(2)中公式(4)所描述的闭环系统的混合随机无源/H_∞充分条件，在正常情况下，将

替换成K_i1，再左乘

以及右乘

并记

接着通过LMI方法求得各个模态下的鲁棒控制器；

结论3：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵

以及合适维度的可逆矩阵

和常数γ>0，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

则鲁棒控制器的状态反馈增益为

且正常情况下的闭环系统具有混合随机无源/H_∞性能γ；

(3-2)容错控制器设计：

根据执行器故障的类型，分为以下三种情况进行讨论：

(3-2-1)当执行器只发生偏移故障且被补偿时，

和

成立，公式(5)所描述的闭环系统重新描述如下：

其中：F(x(t),t)是未知的，且满足||F(x(t),t)||≤F_α+F_β||x(t)||≤F_max，F_α、F_β和F_max均是已知正常数；此外，F(x(t),t)的b阶微分是有界的，b＝1,2,…,r；

结论4：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵

以及合适维度的可逆矩阵

和常数γ′>0,使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

则容错控制器的状态反馈增益为

且公式(14)所描述的闭环系统具有H _∞性能γ′；

(3-2-2)当执行器只发生部分失效故障时，

用MK_i3来替换，其中 M＝diag{m₁,m₂,…,m_m}，对角线上的各个元素则代表执行器的有效工作率，同样，左乘

以及右乘

通过放缩来找到符合范围的通解并降低其保守性；即令M＝M₀(I+G)且G满足 |G|≤H≤I；

公式(4)所描述的闭环系统重新描述如下：

结论5：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵

以及合适维度的可逆矩阵

和常数γ>0，ε_i,m>0，m＝1,2,3，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

则容错控制器的状态反馈增益为

且公式(17)所描述的闭环系统具有混合随机无源/H_∞性能γ；

(3-2-3)当执行器偏移故障和执行器部分失效故障都发生且偏移故障得到补偿时，

和

成立，公式(5)所描述的闭环系统重新描述如下：

结论6：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵

以及合适维度的可逆矩阵

和常数γ>0，ε_i,m>0，m＝1,2,3，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

则容错控制器的状态反馈增益为

且公式(20)所描述的闭环系统具有H _∞性能γ′；

(3-3)容错观测器设计：

根据是否存在执行器部分失效故障，分成以下2种情况来讨论：

(3-3-1)当执行器不存在部分失效故障而存在偏移故障时，令 F_i＝F^(r-i)(x(t),t),i＝1,2,…,r,公式(14)所描述闭环系统相对应的增广系统写成如下形式：

为了实时估计执行器偏移故障，设计如下观测器：

定义状态残差值以及输出残差值分别为

和

得到如下残差值相关的残差系统：

值得指出的是F_r＝F(x(t),t)，

而且发现L_i2不受K_i2的影响，然而F(x(t),t)＝0 看成是执行器偏移故障存在的一种特殊情况，所以当执行器偏移故障不存在时，其观测器的增益矩阵L_i1等于L_i2；此外，根据执行器偏移故障有界的特性，

的值满足以下等式：

结论7：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵P_i>0，Q>0，R>0以及合适维度的可逆矩阵N和常数γ>0,使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

则观测器增益为L_i2＝N^-1Z_i2，且公式(25)所描述的闭环系统具有混合随机无源/H_∞性能γ；

(3-3-2)当执行器存在部分失效故障且存在偏移故障时，执行器的输出描述成MK_ikx(t)+MF(x(t),t),k＝3,4；因此，公式(3)所描述的闭环系统重新描述成

则对应的增广闭环系统描述成如下形式：

所述的观测器描述如下：

得到如下残差值相关的残差系统：

此外，根据执行器偏移故障有界的特性，

的值满足以下等式：

结论8：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵P_i>0，Q>0，R>0以及合适维度的可逆矩阵N和常数γ>0，ε>0，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

则公式(32)所描述的闭环系统具有H_∞性能γ，观测器的增益为L_ik＝N^-1Z_ik,k＝3,4；

(4)设计基于多阈值的报警系统，具体步骤如下：

(4-1)执行器偏移故障阈值设计：

当公式(3)所描述的闭环系统状态收敛至0的一个极小的邻域时，x(t)和x(t-d(t)) 均近似成0；此时，如果执行器偏移故障不发生，即F(x(t),t)＝0，

与ω(t)的临界关系表示如下：

整理可得：

定义

作为执行器偏移故障阈值；考虑到当执行器偏移故障存在时，

可能存在振荡现象，这会使

的值偶尔会小于执行器偏移故障阈值；因此，在判断语句中加入关于时间持续的相关条件防止误判，故该阈值的工作原理如下：

(4-2)执行器部分失效故障阈值设计：

当

未被调用，如果只发生执行器偏移故障，e(t)会在之后的一小段时间内发散，设计一个合适的阈值来防止错误的切换；

从鲁棒观测器系统，即将公式(25)所描述的闭环系统中的L_i2替换成L_i1后所得的系统，可以得到以下等式：

之后

F(x(t),t)，

和ω(t)之间的临界关系如下：

当d(t)大于之前所谓的小段时间时，

被忽略，因此，得到以下不等式：

当d(t)小于之前所谓的小段时间时，

被近似成

得到以下不等式：

如果

未被调用，

否则，

显然

定义

作为执行器部分失效故障阈值，且其故障诊断的逻辑算法如下：

基于之前两种阈值，混杂控制器描述如下：

混杂观测器则为：

此外，还需设计一种报警信号来提高混杂控制器的可靠性；定义

作为报警阈值，其工作原理如下：

以下两种可能发生的情况，即图1和图2能体现出这种设计的优越性：

在图1中，||e(t)||的值多次超过报警阈值A_th，但是并没有达到执行器部分失效阈值J_th，因此系统将发出报警信号但是不会切换控制器；之后的结果也证明了这些报警信号只是一系列的误报而已；在图2中，当||e(t)||的值超过执行器部分失效阈值J_th时，系统将调用合适的控制器，这样之前一系列的报警信号将给系统提供足够的时间来应对执行器部分失效故障；

以下两种可能发生的情况，即图1和图2能体现出这种设计的优越性：

在图1中，||e(t)||的值多次超过报警阈值A_th，但是并没有达到执行器部分失效阈值J_th，因此系统将发出报警信号但是不会切换控制器；之后的结果也证明了这些报警信号只是一系列的误报而已；在图2中，当||e(t)||的值超过执行器部分失效阈值J_th时，系统将调用合适的控制器，这样之前一系列的报警信号将给系统提供足够的时间来应对执行器部分失效故障；

(5)仿真实验验证

为了验证本发明的有效性和优越性，将给出一个实例仿真；考虑被控系统如下：

W₁＝W₂＝W₃＝C₁＝C₂＝C₃＝I,δ₁＝0.13，δ₂＝0.3，

d(t)＝0.62|sin(t)|，

h＝0.7，

状态转移矩阵为部分未知的，如下：

其中α₂₃∈[0.1,0.3]，α₃₂∈[0.1,0.25]；

执行器偏移故障的相关信息则为F(x(t),t)^T＝[f₁ f₂]^T，其中 f₁＝f₂＝10+[0.50.3]x(t)+1.5rand(t)；F_α＝11.5，F_β＝0.5，F_max＝15；通过结论3、结论4以及结论7，可以得到以下鲁棒控制器增益K_i1、容错控制器增益K_i2以及对应的观测器增益L_i1和L_i2：

考虑实际的执行器部分失效故障为M＝diag{0.27,0.33}，其已知上界为 diag{0.3,0.4}，已知下界为diag{0.25,0.2}；根据结论5、结论6以及结论8，可以得到以下容错控制器增益K_i3、K_i4以及相对应的观测器增益L_i3、L_i4：

为了体现本发明的有效性和优越性，被控系统的开环输出响应在图3中体现，其闭环输出响应分别在图4、图5和图6中体现；容易得知：被控系统的开环系统是不稳定的，在调用了鲁棒控制器后，如果未出现执行器故障，则被控系统将变稳定；当发生执行器偏移故障时，被控系统的输出响应将收敛至一个区间，且此区间距离0的距离将取决与执行器偏移故障的程度；此时如果调用合适的容错控制器K_i2以及

则被控系统的输出响应又将收敛至0的一个极小邻域内；在此基础上如果又出现了执行器部分失效故障，则被控系统的输出响应将发散，这时，调用合适的容错控制K_i4以及

则被控系统又重新回归稳定的状态。

Claims (1)

1.一种基于故障报警的混合无源/H_∞的混杂控制方法，其特征在与该方法包括以下步骤：

(1)被控对象建模、相关约束条件申明、状态反馈控制器构造以及混合无源/H_∞性能定义，具体如下：

(1-1)选取时滞Markovian跳变系统作为被控对象的模型，具体模型如下：

其中

是系统(1)的状态向量；

是控制信号；

是实际影响到被控对象的执行器偏移故障；

是外部扰动信号，并且属于l₂[0，∞)；

是系统(1)的控制输出；

是定义在

上的初始条件；d(t)为时变状态时滞，并且满足以下条件：

{r(t)}为在有限集合S＝{1,2,3,…,s}上关于时间连续取值的Markov过程，其跳变转移概率矩阵为

其中：

π_ij为在t+Δ时刻从模态i到模态j的转移概率且满足以下关系：

此外，跳变概率矩阵定义如下：

其中“？”代表不可测得的元素，α_ij代表上下界已知的元素，即

为了后续证明描述的方便，定义如下：

对于

其中：

当

时，将其表示成如下形式：

其中

和

分别表示为

的第m个元素和

的第n个元素；

和

分别为已知的与模态r(t)相关的适当维数的常数矩阵；当r(t)＝i时，用N_i来表征N(r(t))；

(1-2)构造状态反馈控制器，代入公式(1)所描述的系统模型，得到闭环控制系统(9)，具体步骤如下：

状态反馈控制器设计如下：

其中

为控制器增益矩阵，

为

的估计值，带入公式(1)所描述的开环系统，得到如下的闭环控制系统：

根据执行器偏移故障的特性，将其分为以下两种情况：

情况1：当执行器偏移故障不发生时，即

时，其估计值从公式(9)所描述的闭环系统中被移除；这种情况下，

因此，闭环系统(9)重新描述如下：

情况2：当

被用于补偿

时，即

定义D_i＝[W_i B_i]和

因此，闭环系统(9)重新描述成如下形式：

(1-3)混合无源/H_∞性能的定义具体如下:

在零初始条件下，且当

时

对于任意属于l₂[0，∞)的扰动ω(t)、公式(10)所描述的闭环系统的任意解以及任意的

使得闭环系统(10)具有混合无源/H_∞性能γ即满足

其中γ为大于0的常数，α∈[0,1]为H_∞性能和无源性之间的权重参数；

(2)闭环系统(10)的混合随机无源/H_∞性能分析，具体如下：

(2-1)充分利用闭环控制系统(10)的相关信息，选取合适的Lyapunov-Krasovskii函数如下：

其中：

V₁(r(t),t)＝x^T(t)P_ix(t),

(2-2)利用弱无穷小算子、放缩法以及自由权矩阵方法，得到使公式(10)所描述的闭环系统混合随机无源/H_∞的充分条件：

结论1：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵P_i>0，Q>0，R>0以及合适维度的可逆矩阵N和常数γ>0,使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

Ψ_1,2＝[C_i,0,0,0]^T,

Φ_2,3＝NA_di-δ₂N^T,

Φ_3,3＝-(1-h)Q-R+He(δ₂NA_di),

则闭环系统(10)具有混合随机无源/H_∞性能γ；

(2-3)利用弱无穷小算子、放缩法以及自由权矩阵方法，得到使公式(11)所描述的闭环系统具有H_∞性能γ′的充分条件：

结论2：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵P_i>0，Q>0，R>0以及合适维度的可逆矩阵N和常数γ′>0，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

则闭环系统(11)具有H_∞性能γ′；

(3)基于混合随机无源/H_∞充分条件，设计鲁棒控制器、容错控制器以及相对应的观测器，具体步骤如下：

(3-1)鲁棒控制器设计：

基于步骤(2)中公式(10)所描述的闭环系统的混合随机无源/H_∞充分条件，在正常情况下，将

替换成K_i1，再左乘

以及右乘

并记

接着通过LMI方法求得各个模态下的鲁棒控制器；

结论3：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵

以及合适维度的可逆矩阵

和常数γ>0，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

则鲁棒控制器的状态反馈增益为

且正常情况下的闭环系统具有混合随机无源/H_∞性能γ；

(3-2)容错控制器设计：

根据执行器故障的类型，分为以下三种情况进行讨论：

(3-2-1)当执行器只发生偏移故障且被补偿时，

和

成立，公式(11)所描述的闭环系统重新描述如下：

其中：F(x(t),t)是未知的，且满足||F(x(t),t)||≤F_a+F_β||x(t)||≤F_max，F_α、F_β和F_max均是已知正常数；此外，F(x(t),t)的b阶微分是有界的，b＝1,2,…,r；

结论4：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵

以及合适维度的可逆矩阵

和常数γ′>0,使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

则容错控制器的状态反馈增益为

且公式(20)所描述的闭环系统具有H_∞性能γ′；

(3-2-2)当执行器只发生部分失效故障时，

用MK_i3来替换，其中M＝diag{m₁,m₂,…,m_m}，对角线上的各个元素则代表执行器的有效工作率，同样，左乘

以及右乘

通过放缩来找到符合范围的通解并降低其保守性；即令M＝M₀(I+G)且G满足|G|≤H≤I；其中：

M₀＝diag{m₀₁,m₀₂,…,m_0m},H＝diag{h₁,h₂,…,h_m},

G＝diag{g₁,g₂,…,g_m},|G|＝diag{|g₁|,|g₂|,…,|g_m|},

公式(10)所描述的闭环系统重新描述如下：

结论5：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵

以及合适维度的可逆矩阵

和常数γ>0，ε_i,m>0，m＝1,2,3，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

Θ₃＝diag{ε_i,1,ε_i,2,ε_i,3},

则容错控制器的状态反馈增益为

且公式(23)所描述的闭环系统具有混合随机无源/H_∞性能γ；

(3-2-3)当执行器偏移故障和执行器部分失效故障都发生且偏移故障得到补偿时，

和

成立，公式(11)所描述的闭环系统重新描述如下：

结论6：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵

以及合适维度的可逆矩阵

和常数γ>0，ε_i,m>0，m＝1,2,3，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

则容错控制器的状态反馈增益为

且公式(26)所描述的闭环系统具有H_∞性能γ′；

(3-3)容错观测器设计：

根据是否存在执行器部分失效故障，分成以下2种情况来讨论：

(3-3-1)当执行器不存在部分失效故障而存在偏移故障时，令F_i＝F^(r-i)(x(t),t),i＝1,2,…,r,公式(20)所描述闭环系统相对应的增广系统写成如下形式：

其中：

为了实时估计执行器偏移故障，设计如下观测器：

其中：

为观测器的状态，

为的F_i观测值，

为观测器输出，

为观测器增益矩阵；

定义状态残差值以及输出残差值分别为

和

得到如下残差值相关的残差系统：

值得指出的是F_r＝F(x(t),t)，

而且发现L_i2不受K_i2的影响，然而F(x(t),t)＝0看成是执行器偏移故障存在的一种特殊情况，所以当执行器偏移故障不存在时，其观测器的增益矩阵L_i1等于L_i2；此外，根据执行器偏移故障有界的特性，

的值满足以下等式：

结论7：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵P_i>0，Q>0，R>0以及合适维度的可逆矩阵N和常数γ>0,使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

则观测器增益为L_i2＝N^-1Z_i2，且公式(31)所描述的闭环系统具有混合随机无源/H_∞性能γ；

(3-3-2)当执行器存在部分失效故障且存在偏移故障时，执行器的输出描述成MK_ikx(t)+MF(x(t),t),k＝3,4；因此，公式(9)所描述的闭环系统重新描述成

则对应的增广闭环系统描述成如下形式：

其中：

所述的观测器描述如下：

其中：

为观测器增益；且u(k)＝K_ikx(t)；定义此状态残差值为

得到如下残差值相关的残差系统：

此外，根据执行器偏移故障有界的特性，

的值满足以下等式：

其中：

且

结论8：如果对于给定的正常数δ₁和δ₂，存在矩阵P_i>0，Q>0，R>0以及合适维度的可逆矩阵N和常数γ>0，ε>0，使得在所有模态下下述线性矩阵不等式都成立

其中：

则公式(38)所描述的闭环系统具有H_∞性能γ，观测器的增益为L_ik＝N^-1Z_ik,k＝3,4；

(4)设计基于多阈值的报警系统，具体步骤如下：

(4-1)执行器偏移故障阈值设计：

当公式(9)所描述的闭环系统状态收敛至0的一个极小的邻域时，x(t)和x(t-d(t))均近似成0；此时，如果执行器偏移故障不发生，即F(x(t),t)＝0，

与ω(t)的临界关系表示如下：

其中：

为B_i的广义逆矩阵；整理可得：

其中：

为||ω(t)||的上界；定义

作为执行器偏移故障阈值；考虑到当执行器偏移故障存在时，

可能存在振荡现象，这会使

的值偶尔会小于执行器偏移故障阈值；因此，在判断语句中加入关于时间持续的相关条件防止误判，故该阈值的工作原理如下：

其中：s∈[t-t_l,t],t_l为预先设定的持续时间；

(4-2)执行器部分失效故障阈值设计：

当

未被调用，如果只发生执行器偏移故障，e(t)会在之后的一小段时间内发散，设计一个合适的阈值来防止错误的切换；

从鲁棒观测器系统，即将公式(31)所描述的闭环系统中的L_i2替换成L_i1后所得的系统，可以得到以下等式：

其中：L_xi1为L_i1的前n行提取出来的矩阵；之后

F(x(t),t)，

和ω(t)之间的临界关系如下：

当d(t)大于之前所谓的小段时间时，

被忽略，因此，得到以下不等式：

其中：

当d(t)小于之前所谓的小段时间时，

被近似成

得到以下不等式：

其中：

如果

未被调用，

否则，

显然

定义

作为执行器部分失效故障阈值，且其故障诊断的逻辑算法如下：

基于之前两种阈值，混杂控制器描述如下：

混杂观测器则为：

其中：L_i＝(1-S_w(t))L_i1+S_w(t)((1-Ob_w(t))L_i3+Ob_w(t)L_i4)；

此外，还需设计一种报警信号来提高混杂控制器的可靠性；定义

作为报警阈值，其工作原理如下：

||e(t)||的值多次超过报警阈值A_th，但是并没有达到执行器部分失效阈值J_th，报警系统将发出报警信号但是不会切换控制器；当||e(t)||的值超过执行器部分失效阈值J_th时，报警系统将调用合适的控制器，这样之前一系列的报警信号将提供足够的时间来应对执行器部分失效故障。

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