CN105785764A - 一种输入时变时滞的挠性航天器多界依赖鲁棒容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种输入时变时滞的挠性航天器多界依赖鲁棒容错控制方法，首先，将挠性振动视为外部干扰，利用拉格朗日方法推导建立含有外部干扰、输入时滞的挠性航天器状态空间模型；然后，建立故障模型并将故障模型综合到需要容错的挠性航天器状态模型中，根据故障模型将执行机构部分失效容错控制问题转化为不确定参数鲁棒控制问题；最后，利用时滞依赖李亚普诺夫泛函和不确定参数鲁棒H_∞控制相结合的方法，基于线性矩阵不等式方法设计状态反馈的被动容错控制器。本方法具有设计简单易工程实现的优点，适用于航天领域挠性航天器中既存在输入时滞又可能执行器部分失效的容错控制中，使系统保持渐近稳定，并且能够对外部干扰进行抑制。

Description

一种输入时变时滞的挠性航天器多界依赖鲁棒容错控制方法

技术领域

本发明涉及一种输入时变时滞的挠性航天器多界依赖鲁棒容错控制方法，应用于在轨挠性航天器的输入时滞和执行器部分失效的姿态容错控制。

背景技术

随着航天技术的不断发展，航天器的功能多样化，带有大型挠性附件(如大型太阳能帆板等)的航天器愈来愈多，挠性振动对于实现航天器高精度姿态控制的影响不可忽视。同时由于航天器设计的寿命愈来愈长，在轨运行时间也更长，因此对于挠性航天器在轨运行时控制系统的可靠性和安全性也提出了更高的要求。然而，由于航天器长期工作在真空、失重、温度变化大和强辐射的恶劣环境下及长时间在轨运行，有可能引起系统部分零件的老化，导致航天器执行机构或传感器产生故障，从而影响航天器姿态控制的精度甚至影响整个控制系统的稳定性和可靠性。特别是执行器，它在航天器控制系统中扮演了尤为重要的角色，所有控制命令的执行都需要执行器的有效性作为保障。因此，当执行器出现故障时，可能不能完全实现控制策略计算出的控制命令，因此控制策略需要对于执行器故障有一定的鲁棒性，也就是说实现对于执行器部分失效故障的容错控制显得十分重要。另外，由于部件老化、机械磨损等，控制系统的测量信号传送都会产生时滞，时滞在挠性航天器的控制中是一个不可避免的问题。

在对于挠性航天器的高精度姿态控制中，国内外很多学者采用不同的方法对于挠性附件的振动对于航天器本体的影响做了充分的研究。但是对于同时存在挠性振动，输入时滞和执行器部分失效的挠性航天器的容错控制没有被广泛研究。

发明内容

本发明的技术解决问题是：针对挠性航天器在轨运行时输入时变时滞及执行器可能部分失效的问题，提供一种输入时变时滞的挠性航天器多界依赖鲁棒容错控制方法，无需在线故障信息，工程中易于实现，并且同时实现了对输入时滞的敏感，对部分失效故障的容错及对外部干扰的抑制，主要应用于在轨挠性航天器的姿态容错控制。

本发明的技术解决方案为：一种输入时变时滞的挠性航天器多界依赖鲁棒容错控制方法，其实现步骤如下：

第一步，将挠性附件的振动视为外部干扰，利用拉格朗日方法推导建立存在输入时变时滞的挠性航天器动力学模型；

第二步，对执行器部分失效故障进行建模，将故障模型添加到第一步建立的模型中去，建立考虑了执行器部分失效的系统状态空间模型，从而将执行器部分失效容错控制问题转化为不确定参数鲁棒控制问题；

第三步，针对第二步中建立的系统状态空间模型，利用时滞依赖李亚普诺夫泛函和不确定参数鲁棒H_∞控制相结合的方法，基于线性矩阵不等式方法设计被动容错反馈控制器。

所述第一步，建立存在输入时变时滞的挠性航天器系统的干扰动力学模型实现如下：

利用拉格朗日方法推导的存在输入时滞的挠性航天器的动力学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}J\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\left(t\right)+F\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}\left(t\right)=u^F(t-\mathrm{\τ}(t\left)\right)\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}\left(t\right)+2T\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}\left(t\right)+\mathrm{\Λ}\mathrm{\η}\left(t\right)+F^T\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\left(t\right)=0\end{array}\right.$

其中t表示时间，θ(t)∈R^m×1表示姿态角，J∈R^m×m为卫星的转动惯量，η(t)∈R^n×1为挠性附件的振动模态，T＝diag{2ξ₁ω₁,2ξ₂ω₂,......2ξ_nω_n}∈R^n×n表示模态阻尼矩阵，Λ＝diag{ω₁ ²,ω₂ ²,......ω_n ²}∈R^n×n表示刚度矩阵，ω_i为对应的振动模态的振动频率，ξ_i为对应的振动模态的阻尼，F∈R^m×n为航天器姿态与挠性结构之间的耦合系数，F^T∈R^n×m为矩阵F的转置，u^F(t-τ(t))是安装在挠性航天器反作用轮产生的控制力矩，其中τ(t)是时变时滞，且满足τ₀<τ(t)<τ_M，τ₀和τ_M分别为时变时滞τ(t)的上界和下界。

将挠性附件的振动视为对航天器本体的干扰，此模型改写为：

$(J-{\mathrm{FF}}^T)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)=F\left(2\mathrm{\&xi;}\mathrm{\&omega;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\right(t)+{\mathrm{\&omega;}}^2\mathrm{\&eta;}(t\left)\right)+u^F(t-\mathrm{\&tau;}(t\left)\right)$

其中，定义干扰

建立了将挠性视为扰动的存在输入时滞的航天器模型。

所述第二步，建立考虑了执行器部分失效的系统状态空间模型，将执行器部分失效容错控制问题转化为不确定参数鲁棒控制问题实现如下：

首先，建立了如下执行器部分失效的故障模型，

u^F(t-τ(t))＝Gu(t-τ(t))

其中，G表示执行器部分失效因子，且满足下面的条件：

G＝diag{g₁,g₂,...,g_n,}，g_i∈[g_xi,g_si]，

i＝1,2,...,n，0≤g_xi≤g_i≤g_si≤1

其中g_i是不确定的常数，g_xi和g_si分别表示不确定常数g_i的下限和上限。

进一步简化模型，定义中间变量 和L如下：

L＝diag{l₁,l₂,...,l_n,}

其中，

${\hat{g}}_i=\frac{g_{xi}+g_{si}}{2},{\stackrel{\&OverBar;}{g}}_i=\frac{g_{si}-g_{xi}}{g_{xi}+g_{si}},l_i=\frac{g_i-{\hat{g}}_i}{{\hat{g}}_i}$

则有：

|L|＝diag{|l₁|,|l₂|,...,|l_n|,}

当g_i＝0，表示第i个执行器失效，当g_i＝1，表示第i个执行器正常，当0<g_i<1，表示第i个执行器部分失效。

然后定义状态变量和参考输出方程如下：

z(t)＝Cx(t)

由此可得系统的状态方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+BGu(t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))+B\mathrm{\&omega;}\left(t\right)\\ z\left(t\right)=Cx\left(t\right)\end{array}\right.$

其中，各系数矩阵定义如下：

C＝[I_m×m0_m×m]

建立了考虑执行器部分失效的挠性航天器系统状态空间模型，从而将执行器部分失效容错控制问题转化为不确定参数鲁棒控制问题。

所述第三步，对于建立的系统状态空间模型设计多界依赖的状态反馈控制器实现如下：

设计控制器u(t-τ(t))＝Kx(t-τ(t))，使得闭环系统：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=Ax\left(t\right)+BGKx(t-\mathrm{\&tau;}(t\left)\right)+B\mathrm{\&omega;}\left(t\right)\\ z\left(t\right)=Cx\left(t\right)\end{array}\right.$

渐近稳定且满足H_∞性能指标。即：

(1)当ω(t)＝0时，上述闭环系统是渐近稳定的；

(2)对于任意非零的扰动输入ω(t)∈l₂[0,+∞)和给定的常数γ>0，在零初始条件下x(t)＝0(t∈[-h,0])下，扰动输入ω(t)到被控输出z(t)的H_∞范数满足：

||z(t)||₂≤γ||ω(t)||₂

其中控制器增益K基于线性矩阵不等式方法进行求解，即对于给定的标量γ>0，0≤a≤1，τ₀,τ_M,β_n>0,n＝(1,2,3,4)，如果存在矩阵P>0,S₁>0,Q₁>0,Q₂>0,，任意矩阵X和U使得下列不等式满足：

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}<0$

则反馈增益矩阵K^T＝U(X^T)^-1时，闭环系统是渐近稳定且在零初始条件下对于任意扰动输入ω(t)∈l₂[0,+∞)都有||z(t)||₂≤γ||ω(t)||₂。

其中，

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}=\left[\begin{array}{ccccccccccc}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{11}& -\frac{2a{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1}{{\mathrm{\&tau;}}_0}& 0& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{14}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{15}& {\mathrm{\&beta;}}_3{\mathrm{XA}}^T& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{17}& B\hat{G}& 0& {\mathrm{XC}}^T& B\\ *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{22}& -\frac{2a{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{24}& 6\frac{a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1& 6\frac{a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2& 0& 0& 0& 0& 0\\ *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{33}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{34}& 0& 6\frac{a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2& 0& 0& 0& 0& 0\\ *& *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{44}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{45}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{46}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{47}& {\mathrm{\&beta;}}_{1}B\hat{G}& {\mathrm{\&epsiv;U}}^T& 0& {\mathrm{\&beta;}}_{1}B\\ *& *& *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{55}& 0& -{\mathrm{\&beta;}}_2{X}^T& {\mathrm{\&beta;}}_{2}B\hat{G}& 0& 0& {\mathrm{\&beta;}}_{2}B\\ *& *& *& *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{66}& -{\mathrm{\&beta;}}_3{X}^T& {\mathrm{\&beta;}}_{3}B\hat{G}& 0& 0& {\mathrm{\&beta;}}_{3}B\\ *& *& *& *& *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{77}& {\mathrm{\&beta;}}_{4}B\hat{G}& 0& 0& {\mathrm{\&beta;}}_{4}B\\ *& *& *& *& *& *& *& -\mathrm{\&epsiv;}I& 0& 0& 0\\ *& *& *& *& *& *& *& *& -\mathrm{\&epsiv;}I& 0& 0\\ *& *& *& *& *& *& *& *& *& -I& 0\\ *& *& *& *& *& *& *& *& *& *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]$

为了书写简洁，对称矩阵中各中间变量及符号定义如下：

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{11}={\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1-\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1-\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2+sym\left({\mathrm{AX}}^T\right)-\frac{4a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{14}=\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1+\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2+{\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{XA}}^T+B\hat{G}U$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{15}={\mathrm{\&beta;}}_2{\mathrm{XA}}^T-6\frac{a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{17}=\stackrel{\&OverBar;}{P}+{\mathrm{\&beta;}}_4{\mathrm{XA}}^T-X^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{22}=-{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2-\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1-\frac{4a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1-\frac{4a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{24}=\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{33}=-{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2-\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2-\frac{4a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{34}=\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{44}=-\frac{2(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1-\frac{2(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2+{\mathrm{\&beta;}}_{1}sym\left(B\hat{G}U\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{45}={\mathrm{\&beta;}}_2{U}^T{\hat{G}}^T{B}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{46}={\mathrm{\&beta;}}_3{U}^T{\hat{G}}^T{B}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{47}={\mathrm{\&beta;}}_4{U}^T{\hat{G}}^T{B}^T-{\mathrm{\&beta;}}_1{X}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{55}=-\frac{12a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{66}=-\frac{12a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{77}=({\mathrm{\&tau;}}_0{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1+({\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0\left){\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2\right)-{\mathrm{\&beta;}}_4{X}^T-{\mathrm{\&beta;}}_{4}X$

对于方阵M，sym(M):＝M+M^T；

符号*表示对称方阵中的相应对称项。

本发明与现有技术相比的优点在于：本发明的在轨挠性航天器的姿态容错控制方法是被动容错，不需要在线的故障信息，降低了设计的难度。获得的控制器能同时实现对输入时滞的敏感，对部分失效故障的容错及对外部干扰的抑制，工程中易于实现。

附图说明

图1为本发明一种输入时变时滞的挠性航天器多界依赖鲁棒容错控制方法的设计流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明进行详细说明。

本发明针对挠性航天器在轨运行时存在输入时滞并且执行机构部分失效的状态空间模型，设计一种新的依赖多个参数界的状态反馈鲁棒H_∞容错控制方法；首先，将挠性振动视为外部干扰，利用拉格朗日方法推导建立含有外部干扰、输入时滞的挠性航天器状态空间模型；然后，建立故障模型并将故障模型综合到需要容错的挠性航天器状态模型中，根据故障模型将执行机构部分失效容错控制问题转化为不确定参数鲁棒控制问题；最后，利用时滞依赖李亚普诺夫泛函和不确定参数鲁棒H_∞控制相结合的方法，基于线性矩阵不等式方法设计状态反馈的被动容错控制器。

如图1所示，本发明具体实现步骤如下

1、建立存在输入时滞的挠性航天器系统的干扰动力学模型

利用拉格朗日方法推导的存在输入时滞的挠性航天器的动力学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}J\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)+F\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\left(t\right)=u^F(t-\mathrm{\&tau;}(t\left)\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\left(t\right)+2T\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\left(t\right)+\mathrm{\&Lambda;}\mathrm{\&eta;}\left(t\right)+F^T\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)=0\end{array}\right.$

其中t表示时间，θ(t)∈R^m×1表示姿态角，J∈R^m×m为卫星的转动惯量，η(t)∈R^n×1为挠性附件的振动模态，T＝diag{2ξ₁ω₁,2ξ₂ω₂,......2ξ_nω_n}∈R^n×n表示模态阻尼矩阵，Λ＝diag{ω₁ ²,ω₂ ²,......ω_n ²}∈R^n×n表示刚度矩阵，ω_i为对应的振动模态的振动频率，ξ_i为对应的振动模态的阻尼，F∈R^m×n为航天器姿态与挠性结构之间的耦合系数，F^T∈R^n×m为矩阵F的转置，u^F(t-τ(t))是安装在挠性航天器反作用轮产生的控制力矩，其中τ(t)是时变时滞，且满足τ₀<τ(t)<τ_M，τ₀和τ_M分别为时变时滞τ(t)的上界和下界。

将挠性附件的振动视为对航天器本体的干扰，将此模型改写为：

$(J-{\mathrm{FF}}^T)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)=F\left(2\mathrm{\&xi;}\mathrm{\&omega;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\right(t)+{\mathrm{\&omega;}}^2\mathrm{\&eta;}(t\left)\right)+u^F(t-\mathrm{\&tau;}(t\left)\right)$

其中，定义干扰

建立了将挠性视为扰动的存在输入时滞的航天器模型。

2、建立考虑了执行器部分失效的系统状态空间模型，将执行器部分失效容错控制问题转化为不确定参数鲁棒控制问题

首先，建立了如下执行器部分失效故障模型，

u^F(t-τ(t))＝Gu(t-τ(t))

其中，G表示执行器部分失效因子，且满足下面的条件：

G＝diag{g₁,g₂,...,g_n,}，g_i∈[g_xi,g_si]，

i＝1,2,...,n，0≤g_xi≤g_i≤g_si≤1

其中g_i是不确定的常数，g_xi和g_si分别表示不确定常数g_i的下限和上限。

进一步简化模型，定义中间变量 和L如下：：

L＝diag{l₁,l₂,...,l_n,}

其中，

${\hat{g}}_i=\frac{g_{xi}+g_{si}}{2},{\stackrel{\&OverBar;}{g}}_i=\frac{g_{si}-g_{xi}}{g_{xi}+g_{si}},l_i=\frac{g_i-{\hat{g}}_i}{{\hat{g}}_i}$

则有，

|L|＝diag{|l₁|,|l₂|,...,|l_n|,}

当g_i＝0，表示第i个执行器失效，当g_i＝1，表示第i个执行器正常，当0<g_i<1，表示第i个执行器部分失效。

然后定义状态变量和参考输出方程如下：

z(t)＝Cx(t)

由此可得系统的状态方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+BGu(t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))+B\mathrm{\&omega;}\left(t\right)\\ z\left(t\right)=Cx\left(t\right)\end{array}\right.$

其中，各系数矩阵定义如下：

C＝[I_m×m0_m×m]

建立了考虑执行器部分失效的挠性航天器系统状态空间模型，从而将执行器部分失效容错控制问题转化成为了不确定参数鲁棒控制问题。

3、对于建立的系统状态空间模型设计多界依赖的状态反馈控制器

设计控制器u(t-τ(t))＝Kx(t-τ(t))，使得闭环系统：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=Ax\left(t\right)+BGKx(t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))+B\mathrm{\&omega;}\left(t\right)\\ z\left(t\right)=Cx\left(t\right)\end{array}\right.$

渐近稳定且满足H_∞性能指标。即：

(1)当ω(t)＝0时，上述闭环系统是渐近稳定的；

(2)对于任意非零的扰动输入ω(t)∈l₂[0,+∞)和给定的常数γ>0，在零初始条件下x(t)＝0(t∈[-h,0])下，扰动输入ω(t)到被控输出z(t)的H_∞范数满足：

||z(t)||₂≤γ||ω(t)||₂

其中控制器增益K基于线性矩阵不等式方法进行求解，即对于给定的标量γ>0，0≤a≤1，τ₀,τ_M,β_n>0,n＝(1,2,3,4)，如果存在矩阵P>0,S₁>0,Q₁>0,Q₂>0,，任意矩阵X和U使得下列不等式满足：

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}<0$

则反馈增益矩阵K^T＝U(X^T)^-1时，闭环系统是渐近稳定且在零初始条件下对于任意扰动输入ω(t)∈l₂[0,+∞)都有||z(t)||₂≤γ||ω(t)||₂。

其中，

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}=\left[\begin{array}{ccccccccccc}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{11}& -\frac{2a{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1}{{\mathrm{\&tau;}}_0}& 0& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{14}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{15}& {\mathrm{\&beta;}}_3{\mathrm{XA}}^T& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{17}& B\hat{G}& 0& {\mathrm{XC}}^T& B\\ *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{22}& -\frac{2a{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{24}& 6\frac{a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1& 6\frac{a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2& 0& 0& 0& 0& 0\\ *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{33}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{34}& 0& 6\frac{a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2& 0& 0& 0& 0& 0\\ *& *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{44}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{45}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{46}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{47}& {\mathrm{\&beta;}}_{1}B\hat{G}& {\mathrm{\&epsiv;U}}^T& 0& {\mathrm{\&beta;}}_{1}B\\ *& *& *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{55}& 0& -{\mathrm{\&beta;}}_2{X}^T& {\mathrm{\&beta;}}_{2}B\hat{G}& 0& 0& {\mathrm{\&beta;}}_{2}B\\ *& *& *& *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{66}& -{\mathrm{\&beta;}}_3{X}^T& {\mathrm{\&beta;}}_{3}B\hat{G}& 0& 0& {\mathrm{\&beta;}}_{3}B\\ *& *& *& *& *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{77}& {\mathrm{\&beta;}}_{4}B\hat{G}& 0& 0& {\mathrm{\&beta;}}_{4}B\\ *& *& *& *& *& *& *& -\mathrm{\&epsiv;}I& 0& 0& 0\\ *& *& *& *& *& *& *& *& -\mathrm{\&epsiv;}I& 0& 0\\ *& *& *& *& *& *& *& *& *& -I& 0\\ *& *& *& *& *& *& *& *& *& *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]$

且为了书写简洁，定义各中间变量如下：

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{11}={\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1-\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1-\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2+sym\left({\mathrm{AX}}^T\right)-\frac{4a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{14}=\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1+\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2+{\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{XA}}^T+B\hat{G}U$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{15}={\mathrm{\&beta;}}_2{\mathrm{XA}}^T-6\frac{a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{17}=\stackrel{\&OverBar;}{P}+{\mathrm{\&beta;}}_4{\mathrm{XA}}^T-X^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{22}=-{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2-\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1-\frac{4a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1-\frac{4a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{24}=\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{33}=-\stackrel{\&OverBar;}{Q_2}-\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2-\frac{4a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{34}=\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{44}=-\frac{2(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1-\frac{2(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2+{\mathrm{\&beta;}}_{1}sym\left(B\hat{G}U\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{45}={\mathrm{\&beta;}}_2{U}^T{\hat{G}}^T{B}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{46}={\mathrm{\&beta;}}_3{U}^T{\hat{G}}^T{B}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{47}={\mathrm{\&beta;}}_4{U}^T{\hat{G}}^T{B}^T-{\mathrm{\&beta;}}_1{X}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{55}=-\frac{12a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{66}=-\frac{12a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{77}=({\mathrm{\&tau;}}_0{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1+({\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0){\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2)-{\mathrm{\&beta;}}_4{X}^T-{\mathrm{\&beta;}}_{4}X$

对于方阵M，sym(M):＝M+M^T；

符号*表示对称方阵中的相应对称项。

总之，本方发明具有设计简单易工程实现的优点，适用于航天领域挠性航天器中既存在输入时滞又可能执行器部分失效的容错控制中，使系统保持渐近稳定，并且能够对外部干扰进行抑制。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (4)

1.一种输入时变时滞的挠性航天器多界依赖鲁棒容错控制方法，其特征在于包括以下步骤：

第一步，将挠性附件的振动视为外部干扰，利用拉格朗日方法推导建立存在输入时变时滞的挠性航天器动力学模型；

第二步，对执行器部分失效故障进行建模，将故障模型添加到第一步建立的模型中去，建立考虑了执行器部分失效的系统状态空间模型，从而将执行器部分失效容错控制问题转化为不确定参数鲁棒控制问题；

第三步，针对第二步中建立的系统状态空间模型，利用时滞依赖李亚普诺夫泛函和不确定参数鲁棒H_∞控制相结合的方法，基于线性矩阵不等式方法设计被动容错反馈控制器。

2.根据权利要求1所述的一种输入时变时滞的挠性航天器多界依赖鲁棒容错控制方法，其特征在于：所述第一步，建立存在输入时滞的挠性航天器系统的干扰动力学模型实现如下：

利用拉格朗日方法推导的存在输入时滞的挠性航天器的动力学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}J\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)+F\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\left(t\right)=u^F(t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\left(t\right)+2T\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\left(t\right)+A\mathrm{\&eta;}\left(t\right)+F^T\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)=0\end{array}\right.$

其中t表示时间，θ(t)∈R^m×1表示姿态角，J∈R^m×m为卫星的转动惯量，η(t)∈R^n×1为挠性附件的振动模态，T＝diag{2ξ₁ω₁,2ξ₂ω₂,......2ξ_nω_n}∈R^n×n表示模态阻尼矩阵，Λ＝diag{ω₁ ²,ω₂ ²,......ω_n ²}∈R^n×n表示刚度矩阵，ω_i为对应的振动模态的振动频率，ξ_i为对应的振动模态的阻尼，F∈R^m×n为航天器姿态与挠性结构之间的耦合系数，F^T∈R^n×m为矩阵F的转置，u^F(t-τ(t))是安装在挠性航天器反作用轮产生的控制力矩，其中τ(t)是时变时滞，且满足τ₀<τ(t)<τ_M，τ₀和τ_M分别为时变时滞τ(t)的上界和下界；

将挠性附件的振动视为对航天器本体的干扰，此模型改写为：

$(J-{\mathrm{FF}}^T)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)=F\left(2\mathrm{\&xi;}\mathrm{\&omega;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\right(t)+{\mathrm{\&omega;}}^2\mathrm{\&eta;}(t\left)\right)+u^F(t-\mathrm{\&tau;}(t\left)\right)$

其中，定义干扰

建立了将挠性视为扰动的存在输入时滞的航天器模型。

3.根据权利要求1所述的一种输入时变时滞的挠性航天器多界依赖鲁棒容错控制方法，其特征在于：所述第二步，建立考虑了执行器部分失效的系统状态空间模型，将执行器部分失效容错控制问题转化为不确定参数鲁棒控制问题具体实现如下：

首先，建立了如下执行器部分失效的故障模型，

u^F(t-τ(t))＝Gu(t-τ(t))

其中，G表示执行器部分失效因子，且满足下面的条件：

G＝diag{g₁,g₂,...,g_n,}，g_i∈[g_xi,g_si]，

i＝1,2,...,n，0≤g_xi≤g_i≤g_si≤1

其中g_i是不确定的常数，g_xi和g_si分别表示不确定常数g_i的下限和上限；

进一步简化模型，定义中间变量 和L如下：

$\hat{G}=diag\{{\hat{g}}_1,{\hat{g}}_2,\mathrm{...},{\hat{g}}_n\},\stackrel{\&OverBar;}{G}=diag\{{\stackrel{\&OverBar;}{g}}_1,{\stackrel{\&OverBar;}{g}}_2,\mathrm{...},{\stackrel{\&OverBar;}{g}}_n\},L=diag\{l_1,l_2,\mathrm{...},l_n\}$

其中，

${\hat{g}}_i=\frac{g_{xi}+g_{si}}{2},{\stackrel{\&OverBar;}{g}}_i=\frac{g_{si}-g_{xi}}{g_{xi}+g_{si}},l_i=\frac{g_i-{\hat{g}}_i}{{\hat{g}}_i}$

则有，

$G=\hat{G}(I+L),\left|L\right|\&le;\stackrel{\&OverBar;}{G}\&le;I,\left|L\right|=diag\left\{\right|l_1|,|l_2|,\mathrm{...},|l_n\left|\right\}$

当g_i＝0，表示第i个执行器失效，当g_i＝1，表示第i个执行器正常，当0<g_i<1，表示第i个执行器部分失效；

然后定义状态变量和参考输出方程如下：

$x\left(t\right)={\&lsqb;{\mathrm{\&theta;}}^T\left(t\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^T\left(t\right)\&rsqb;}^T,z\left(t\right)=Cx\left(t\right)$

由此可得系统的状态方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+BGu(t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))+B\mathrm{\&omega;}\left(t\right)\\ z\left(t\right)=Cx\left(t\right)\end{array}\right.$

其中，各系数矩阵定义如下：

$A=\left[\begin{array}{cc}{0}_{m\&times;m}& I_{m\&times;m}\\ 0_{m\&times;m}& 0_{m\&times;m}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}{0}_{m\&times;m}\\ {(J-{\mathrm{FF}}^T)}^{-1}\end{array}\right],C=\&lsqb;\begin{array}{cc}{I}_{m\&times;m}& 0_{m\&times;m}\end{array}\&rsqb;$

建立了考虑执行器部分失效的挠性航天器系统状态空间模型，从而将执行器部分失效容错控制问题转化为不确定参数鲁棒控制问题。

4.根据权利要求1所述的一种输入时变时滞的挠性航天器多界依赖鲁棒容错控制方法，其特征在于：所述第三步，对于建立的系统状态空间模型设计依赖于多个参数界的状态反馈控制器具体实现如下：

设计控制器u(t-τ(t))＝Kx(t-τ(t))，使得闭环系统：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=Ax\left(t\right)+BGKx(t-\mathrm{\&tau;}\left(t\right))+B\mathrm{\&omega;}\left(t\right)\\ z\left(t\right)=Cx\left(t\right)\end{array}\right.$

渐近稳定且满足H_∞性能指标，即：

(1)当ω(t)＝0时，上述闭环系统是渐近稳定的；

(2)对于任意非零的扰动输入ω(t)∈l₂[0,+∞)和给定的常数γ>0，在零初始条件下x(t)＝0(t∈[-h,0])下，扰动输入ω(t)到被控输出z(t)的H_∞范数满足：

||z(t)||₂≤γ||ω(t)||₂

其中控制器增益K基于线性矩阵不等式方法进行求解，即对于给定的标量γ>0，0≤a≤1，τ₀,τ_M,β_n>0,n＝1，2,3,4，如果存在矩阵P>0,S₁>0,Q₁>0,Q₂>0,任意矩阵X和U使得下列不等式满足：

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}<0$

则反馈增益矩阵K^T＝U(X^T)^-1时，闭环系统是渐近稳定且在零初始条件下对于任意扰动输入ω(t)∈l₂[0,+∞)都有||z(t)||₂≤γ||ω(t)||₂，

其中，

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}}=\left[\begin{array}{ccccccccccc}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{11}& -\frac{2a{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1}{{\mathrm{\&tau;}}_0}& 0& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{14}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{15}& {\mathrm{\&beta;}}_3{\mathrm{XA}}^T& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{17}& B\hat{G}& 0& {\mathrm{XC}}^T& B\\ *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{22}& -\frac{2a{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{24}& 6\frac{a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1& 6\frac{a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2& 0& 0& 0& 0& 0\\ *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{33}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{34}& 0& 6\frac{a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2& 0& 0& 0& 0& 0\\ *& *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{44}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{45}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{46}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{47}& {\mathrm{\&beta;}}_{1}B\hat{G}& {\mathrm{\&epsiv;U}}^T& 0& {\mathrm{\&beta;}}_{1}B\\ *& *& *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{55}& 0& -{\mathrm{\&beta;}}_2{X}^T& {\mathrm{\&beta;}}_{2}B\hat{G}& 0& 0& {\mathrm{\&beta;}}_{2}B\\ *& *& *& *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{66}& -{\mathrm{\&beta;}}_3{X}^T& {\mathrm{\&beta;}}_{3}B\hat{G}& 0& 0& {\mathrm{\&beta;}}_{3}B\\ *& *& *& *& *& *& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{77}& {\mathrm{\&beta;}}_{4}B\hat{G}& 0& 0& {\mathrm{\&beta;}}_{4}B\\ *& *& *& *& *& *& *& -\mathrm{\&epsiv;}I& 0& 0& 0\\ *& *& *& *& *& *& *& *& -\mathrm{\&epsiv;}I& 0& 0\\ *& *& *& *& *& *& *& *& *& -I& 0\\ *& *& *& *& *& *& *& *& *& *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]$

对称矩阵中各中间变量及符号定义如下：

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{11}={\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1-\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1-\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2+sym\left({\mathrm{AX}}^T\right)-\frac{4a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{14}=\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1+\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2+{\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{XA}}^T+B\hat{G}U$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{15}={\mathrm{\&beta;}}_2{\mathrm{XA}}^T-6\frac{a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{17}=\stackrel{\&OverBar;}{P}+{\mathrm{\&beta;}}_4{\mathrm{XA}}^T-X^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{22}=-{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2-\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1-\frac{4a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1-\frac{4a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{24}=\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{33}=-{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2-\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2-\frac{4a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{34}=\frac{(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{44}=-\frac{2(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1-\frac{2(1-a)}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2+{\mathrm{\&beta;}}_{1}sym\left(B\hat{G}U\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{45}={\mathrm{\&beta;}}_2{U}^T{\hat{G}}^T{B}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{46}={\mathrm{\&beta;}}_3{U}^T{\hat{G}}^T{B}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{47}={\mathrm{\&beta;}}_4{U}^T{\hat{G}}^T{B}^T-{\mathrm{\&beta;}}_1{X}^T$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{55}=-\frac{12a}{{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{66}=-\frac{12a}{{\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0}{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Omega;}}}_{77}=({\mathrm{\&tau;}}_0{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_1+({\mathrm{\&tau;}}_M-{\mathrm{\&tau;}}_0\left){\stackrel{\&OverBar;}{S}}_2\right)-{\mathrm{\&beta;}}_4{X}^T-{\mathrm{\&beta;}}_{4}X$

对于方阵M，sym(M):＝M+M^T；

符号*表示对称方阵中的相应对称项。