CN102736518A - 一种含测量和输入时滞的挠性航天器复合抗干扰控制器 - Google Patents

Abstract

一种含测量和输入时滞的挠性航天器复合抗干扰控制器，涉及多时变时滞及多源干扰下挠性航天器的姿态控制。首先，建立挠性航天器动力学模型；其次，构造含测量和输入时滞的复合抗干扰控制器，针对由挠性附件振动引起的干扰设计含测量时滞的干扰观测器对其进行估计并前馈补偿，针对范数有界干扰设计状态反馈H_∞控制器对其进行抑制；再次，根据3/2稳定性定理设计干扰观测器增益以保证干扰估计误差纯时滞方程的稳定性；最后，基于凸优化算法对含测量和输入时滞的复合控制系统设计状态反馈H_∞控制器增益，使系统实现稳定并满足一定的H_∞性能。本发明具有抗干扰能力强、便于设计等优点，可用于含测量和输入时滞的挠性航天器姿态控制。

Description

一种含测量和输入时滞的挠性航天器复合抗干扰控制器

技术领域

本发明涉及一种挠性航天器姿态控制器，特别是一种含测量和输入时变时滞的抗干扰姿态控制器设计，可用于含多时变时滞及多源干扰的挠性航天器姿态控制。

背景技术

随着航天技术的快速发展，对卫星、空间站等航天器提出了越来越高的要求，使得航天器的结构也越来越复杂，往往携带大型挠性太阳帆板、大型天线阵列等挠性附件，这给航天器姿态控制系统的设计带来了很大的难度。

各种先进的控制方法纷纷应用在挠性航天器的姿态控制当中，例如滑模变结构控制、自适应控制等，其中鲁棒H_∞控制方法可以有效地抑制范数有界干扰对系统造成的影响，日本航天局已经成功在ETS-VI和ETS-VIII实验卫星上进行了在轨H_∞姿态控制的实验。但是由于挠性航天器的模态不可测量，一般采用输出反馈H_∞控制器，该控制器的维数较高，不利于实时计算。为了减少控制器的维数，采用状态反馈是一种可行的方法，而把动力学方程中与模态有关的项看作干扰。可是由挠性附件振动引起的干扰比其他外部干扰要大得多，如果仅仅采用状态反馈H_∞控制器的话，干扰抑制的效果恐怕难以得到保证。因此可以对干扰进行分类，对于由挠性附件振动引起的干扰采用干扰抵消方法进行抵消，而对于空间干扰力矩、建模误差等其他干扰采用状态反馈H_∞控制器进行抑制。基于干扰观测器的控制方法(DOBC)是近年来得到许多关注的一种干扰抵消方法，比输出调节理论更加灵活且有更广泛的研究对象，并且可以灵活地与现有的先进控制方法相结合。干扰观测器与H_∞控制器相结合的复合控制方法已得到较多研究，但是目前的研究很少考虑时滞。然而时滞是影响挠性航天器姿态控制精度及稳定度的重要因素，它会使控制系统的可靠性变差，稳定性降低，控制效果不好，甚至会导致反馈控制系统失稳，对航天器的安全极为不利，其中测量和输入时滞是存在于挠性航天器中的两种主要时滞。目前的研究即使考虑时滞也往往只考虑了模型中的状态时滞，目前尚没有考虑测量和输入时滞的复合控制方法的研究，此外还常常假设该状态时滞是已知定常的，约束条件过于苛刻，而挠性航天器中的时滞应是时变的。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种含测量和输入时变时滞的挠性航天器系统干扰观测器与状态反馈H_∞控制器相结合的复合抗干扰姿态控制器，该复合控制器提高了姿态控制的稳定度。

本发明的技术解决方案是：一种含测量和输入时滞的挠性航天器复合抗干扰控制器，其实现步骤如下：

（1）建立挠性航天器动力学模型，写成状态空间形式为：

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+B[u(t-h\left(t\right))+w_0\left(t\right)]+B{w}_1\left(t\right)$

其中 $x\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\θ}\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\left(t\right)\end{array}\right],$ $\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\left(t\right)\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\left(t\right)\end{array}\right],$ $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}0\\ {(J-{\mathrm{FF}}^T)}^{-1}\end{array}\right],$ $w_0\left(t\right)=F[C_d\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}\left(t\right)+\mathrm{\Λ\η}\left(t\right)],$ θ(t)、

η(t)、

J、F、C_d、Λ分别是姿态角、姿态角速度、姿态角加速度、挠性附件的模态、模态速率、航天器的转动惯量、挠性附件与本体的耦合矩阵、模态阻尼矩阵、模态刚度矩阵，w₀(t)是由挠性附件振动引起的干扰，w₁(t)是范数有界干扰力矩（包括太空环境力矩、未建模不确定、传感器和发动机的噪声等），u(t-h(t))是待设计的控制输入，h(t)是时变的输入时滞，是由于得到控制指令以后执行机构需要一定的响应时间才能输出相应的控制力矩而产生的，并满足0≤h(t)≤τ_h<∞和

τ_h和

分别为输入时滞的上界和输入时滞变化率的上界；

（2）针对步骤（1）中挠性附件振动引起的干扰w₀(t)构造含测量时滞的干扰观测器为：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{w}}_0\left(t\right)=p\left(t\right)+\mathrm{Lx}(t-r\left(t\right))\\ \stackrel{\&CenterDot;}{p}\left(t\right)=-\mathrm{LB}[p\left(t\right)+\mathrm{Lx}(t-r\left(t\right))]-L[\mathrm{Ax}(t-r\left(t\right))+\mathrm{Bu}\left(t\right)]\end{array}\right.$

其中

是对w₀(t)的估计，p(t)是干扰观测器的一个辅助状态向量，L是待定的干扰观测器增益，A、B由步骤（1）得到；是输入到干扰观测器中的不含输入时滞的控制输入；x(t-r(t))是含测量时滞的测量输出，r(t)是时变的测量时滞，是由于对当前时刻的姿态角和姿态角速度的测量有一定时间延迟而产生的，并满足0≤r(t)≤τ_r<∞和

τ_r和

分别为测量时滞的上界和测量时滞变化率的上界。

（3）构造含测量和输入时滞的复合抗干扰控制器为：

$u(t-h\left(t\right))=-{\hat{w}}_0(t-h\left(t\right))+\mathrm{Kx}(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))$

其中K是待定的状态反馈H_∞控制器增益，

是含有输入时滞的干扰w₀(t)估计值，由步骤（2）得到，x(t-r(t)-h(t))是含有测量和输入时滞的测量输出；u(t-h(t))是步骤（1）中输入到挠性航天器中的控制输入；

结合步骤（1）的状态空间动力学方程得挠性航天器姿态控制方程为

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{BKx}(t-d\left(t\right))+\mathrm{Be}\left(t\right)+B{w}_1\left(t\right)$

其中

为干扰估计误差，d(t)=r(t)+h(t)，并且d(t)满足0≤d(t)≤τ<∞，

其中τ=τ_r+τ_h，

（4）利用3/2稳定性定理设计步骤（2）中的干扰观测器增益L：由步骤（2）和步骤（3）求得干扰估计误差方程为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}\left(t\right)=-\mathrm{LBe}(t-d\left(t\right))+\mathrm{LBKx}(t-d\left(t\right))-\mathrm{LBKx}(t-d\left(t\right)-d_1\left(t\right))+{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_0\left(t\right)-{\mathrm{LBw}}_1(t-d\left(t\right))$

其中d₁(t)=r₁(t)+h₁(t)，r₁(t)表示t-d(t)时刻的测量时滞，h₁(t)表示t-d(t)时刻的输入时滞；r₁(t)、h₁(t)分别满足0≤r₁(t)≤τ_r<∞、

0≤h₁(t)≤τ_h<∞、故d₁(t)满足0≤d₁(t)≤τ<∞，

由于干扰估计误差方程为纯时滞方程，故根据3/2稳定性定理设计干扰观测器增益L使其满足τLB<3/2，可保证干扰估计误差方程的稳定性；LB越大，e(t)的稳态值越小，干扰观测器的干扰抑制能力越强；

（5）利用凸优化算法求解步骤（3）中的状态反馈H_∞控制器增益K：

由步骤（3）的挠性航天器姿态控制方程和步骤（4）的干扰估计误差方程得到含测量和输入时滞的闭环系统方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;}{e}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ e\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\mathrm{BK}& 0\\ \mathrm{LBK}& -\mathrm{LB}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(t-d\left(t\right))\\ e(t-d\left(t\right))\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ -\mathrm{LBK}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(t-d\left(t\right)-d_1\left(t\right))\\ e(t-d\left(t\right)-d_1\left(t\right))\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_0\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}B\\ 0\end{array}\right]w_{1}t+\left[\begin{array}{c}0\\ -\mathrm{LB}\end{array}\right]w_1(t-d\left(t\right))\\ z_{\&infin;}\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}{C}_{11}& C_{21}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ e\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{C}_{12}& C_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(t-d\left(t\right))\\ e(t-d\left(t\right))\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{C}_{13}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(t-d\left(t\right)-d_1\left(t\right))\\ e(t-d\left(t\right)-d_1\left(t\right))\end{array}\right]\\ +D_1{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_0\left(t\right)+D_2{w}_1\left(t\right)+D_3{w}_1(t-d\left(t\right))\end{array}\right.$

其中z_∞(t)为H_∞性能参考输出，矩阵C₁₁、C₁₂、C₁₃、C₂₁、C₂₂、D₁、D₂、D₃为的H_∞性能参考输出可调增益阵；

基于凸优化算法得步骤（3）中的状态反馈H_∞控制器增益为

其中P₁、R₁由以下线性矩阵不等式求得：

$\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\&Xi;}}_{11}& {\mathrm{\&Xi;}}_{12}& {\mathrm{\&Xi;}}_{13}& {\mathrm{\&Xi;}}_{14}& {\mathrm{\&Xi;}}_{15}\\ *& {\mathrm{\&Xi;}}_{22}& {\mathrm{\&Xi;}}_{23}& 0& {\mathrm{\&Xi;}}_{25}\\ *& *& {\mathrm{\&Xi;}}_{33}& 0& 0\\ *& *& *& {\mathrm{\&Xi;}}_{44}& 0\\ *& *& *& *& -I\end{array}\right]<0$

其中

${\mathrm{\&Xi;}}_{11}=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\&Phi;}}_{11}& {\mathrm{BR}}_1-N_1+N_2^T& 0& {\mathrm{BP}}_2& 0\\ *& {\mathrm{\&Phi;}}_{22}& -N_3+N_4^T& {\left({\mathrm{LBP}}_1\right)}^T& 0\\ *& *& \mathrm{sym}(-N_4)-(1-2\stackrel{\&OverBar;}{d})Q_2& -{\left({\mathrm{LBR}}_1\right)}^T& 0\\ *& *& *& \mathrm{sym}\left(N_5\right)+Q_3& -{\mathrm{LBP}}_2-N_5+N_6^T\\ *& *& *& *& \mathrm{sym}(-N_6)-(1-\stackrel{\&OverBar;}{d})Q_3\end{array}\right],$

${\mathrm{\&Phi;}}_{11}=\mathrm{sym}({\mathrm{AP}}_1+N_1)+Q_1,{\mathrm{\&Phi;}}_{22}=\mathrm{sym}(-N_2+N_3)-(1-\stackrel{\&OverBar;}{d})(Q_1-Q_2),$

${\mathrm{\&Xi;}}_{22}=\mathrm{diag}\{-{\mathrm{\&gamma;}}_1^{2}I,-{\mathrm{\&gamma;}}_2^{2}I,-{\mathrm{\&gamma;}}_3^{2}I\},$ Ξ₃₃＝diag{-τ^-1M₁,-τ^-1M₂,-τ^-1M₃}，Ξ₄₄＝diag{τ^-1(M₁-2P₁),τ^-1(M₂-2P₁),τ^-1(M₃-2P₂)}，

${\mathrm{\&Xi;}}_{12}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&phi;}}_1\\ 0\\ 0\\ {\mathrm{\&phi;}}_2\\ 0\end{array}\right],$ ${\mathrm{\&Xi;}}_{13}={\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{AP}}_1& {\mathrm{BR}}_1& 0& {\mathrm{BP}}_2& 0\\ {\mathrm{AP}}_1& {\mathrm{BR}}_1& 0& {\mathrm{BP}}_2& 0\\ 0& {\mathrm{LBR}}_1& -{\mathrm{LBR}}_1& 0& -{\mathrm{LBP}}_2\end{array}\right]}^T,$ ${\mathrm{\&Xi;}}_{14}=\left[\begin{array}{ccc}{N}_1& 0& 0\\ N_2& N_3& 0\\ 0& N_4& 0\\ 0& 0& N_5\\ 0& 0& N_6\end{array}\right],$

Ξ₁₅＝[C₁₁P₁ C₁₂P₁ C₁₃P₁ C₂₁P₂ C₂₂P₂]^T， ${\mathrm{\&Xi;}}_{23}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&phi;}}_1^T& {\mathrm{\&phi;}}_1^T& {\mathrm{\&phi;}}_2^T\end{array}\right],$ Ξ₂₅＝[D₁ D₂ D₃]^T，φ₁＝[0B0]，φ₂＝[I0-LB]，γ₁、γ₂、γ₃为给定的干扰抑制度，干扰观测器增益L由步骤（4）求得，矩阵P₁、P₂、Q₁、Q₂、Q₃、M₁、M₂、M₃、N₁、N₂、N₃、N₄、N₅、N₆、R₁可通过上述线性矩阵不等式求得，并且满足条件P₁>0、P₂>0、Q₂≥Q₁>0、Q₃>0、M₂≥M₁>0、M₃>0，则闭环系统渐近稳定并满足一定的H_∞性能；M^T表示矩阵M的转置，M>0表示矩阵M正定，sym(M)=M+M^T，diag{}表示对角块，符号*表示对称矩阵中相应部分的对称块。

本发明的原理是：挠性航天器的挠性附件模态不可测量，因此可以将动力学模型中与模态有关的项看成由挠性附件振动引起的干扰，这样便可以用常规的状态反馈来设计控制器。挠性附件振动干扰的数量级比其他有界干扰（如太空环境力矩、未建模不确定、传感器和发动机的噪声等）要大得多，因此需要将干扰进行分类，对于由挠性附件振动引起的干扰利用干扰观测器对其进行估计并前馈补偿，对于范数有界干扰采用状态反馈H_∞控制器对进行有效抑制，从而提高了挠性航天器系统的姿态稳定度以及干扰抑制能力。为了得到更精确的姿态控制算法，需要在挠性航天器模型中考虑更多因素，而测量时滞和输入时滞是影响姿态控制精度及稳定度的重要因素，同时它们的加入也使得复合控制器的设计变得更加复杂，因此可以考虑将干扰观测器增益和状态反馈H_∞控制器增益分开设计。考虑到干扰估计误差方程为纯时滞方程，很容易就会出现不稳定的情况，因此首先根据3/2稳定性定理设计干扰观测器增益，以保证其稳定性和并具备一定的干扰抑制能力，同时也使得状态反馈H_∞控制器增益的设计得到简化。在设计状态反馈H_∞控制器增益时，考虑到复合控制闭环系统含有测量和输入时滞，为了保证闭环系统的稳定性和H_∞性能，利用李亚普诺夫稳定性理论得到本发明中的线性矩阵不等式，采用凸优化算法可以求解该线性矩阵不等式即可得到状态反馈H_∞控制器增益。

本发明与现有技术相比的优点在于：

（1）本发明采用复合抗干扰控制器，将动力学模型中与模态有关的项看成由挠性附件振动引起的干扰，采用干扰观测器进行估计并抵消，并采用常规的状态反馈H_∞控制器来抑制范数有界干扰，从而降低了控制器设计的难度，并克服了输出反馈控制器阶数太高以及仅仅采用状态反馈H_∞控制器对挠性附件振动干扰进行抑制可能造成精度下降的缺点。

（2）在设计干扰观测器和状态反馈H_∞控制器时，充分考虑了测量时滞和输入时滞对挠性航天器系统和干扰观测器的影响，有利于设计更高精度的姿态控制算法。

（3）本发明考虑的测量时滞和输入时滞都是时变时滞，只需要知道时滞的上界和时滞变化率的上界即可，约束更小，更符合实际情况，适用范围更广。

附图说明

图1为本发明的设计流程图。

具体实施方式

如图1所示，本发明的实现包括以下步骤：首先，建立航天器动力学模型；其次，构造含测量和输入时滞的复合抗干扰控制器，针对由挠性附件振动引起的干扰设计含测量时滞的干扰观测器对其进行估计并前馈补偿，针对范数有界干扰设计状态反馈H_∞控制器对其进行抑制；再次，根据3/2稳定性定理设计干扰观测器增益以保证干扰估计误差纯时滞方程的稳定性；最后，基于凸优化算法对含测量和输入时滞的复合控制系统设计状态反馈H_∞控制器增益，使系统实现稳定并满足一定的H_∞性能。具体步骤如下：

1、建立挠性航天器动力学模型

挠性航天器由航天器本体、挠性太阳帆板、姿态测量系统及执行机构等构成，通过执行机构实现俯仰、滚转、偏航姿态的控制。

本发明基于惯性坐标系建立挠性航天器动力学模型，并做如下假设：

（1）挠性航天器本体是圆柱形刚体，航天器在太空运行，忽略重力；

（2）本体和太阳帆板振动模态存在耦合效应，在太阳帆板的多阶振动模态中，能量主要集中在低阶模态，因此可以对模态进行截断，只考虑主要振动模态的影响；

（3）挠性附件采用欧拉-伯努利梁模型，假设姿态角和姿态角速度均为小量，忽略三阶以上的小量，航天器仅做单轴转动，不考虑各轴之间的耦合。

使用混合坐标形式的Lagrange方程可得到挠性航天器动力学方程为：

$\left\{\begin{array}{c}J\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)+F\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\left(t\right)=u(t-h\left(t\right))+w_1\left(t\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\left(t\right)+C_d\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\left(t\right)+\mathrm{\&Lambda;\&eta;}\left(t\right)+F^T\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)=0\end{array}\right.$

其中θ(t)是姿态角，

是姿态角速度，

是姿态角加速度，J是航天器的转动惯量，w₁(t)是范数有界干扰力矩（包括太空环境力矩、未建模不确定、传感器和发动机的噪声等）。η(t)∈Rⁿ是挠性附件的模态，

是模态速率，

是模态加速度，n表示考虑前n阶模态，Rⁿ表示n维实向量空间，F∈R^1×n是挠性附件与本体的耦合矩阵，R^1×n表示1×n维实矩阵空间，C_d∈R^n×n是模态阻尼矩阵diag{2ξ_iω_i,i＝1,2,…,n}，Λ∈R^n×n是刚度矩阵

diag{}表示对角块，ξ_i是阻尼比，ω_i是模态频率。

是含测量时滞的测量输出，其中r(t)是时变的测量时滞，是由于对当前时刻的姿态角和姿态角速度的测量有一定时间延迟而产生的，并满足0≤r(t)≤τ_r<∞和

τ_r和分别是测量时滞的上界和测量时滞变化率的上界。u(t-h(t))是待设计的控制输入，其中h(t)是时变的输入时滞，是由于得到控制指令以后执行机构需要一定的响应时间才能输出相应的控制力矩而产生的，并满足0≤h(t)≤τ_h<∞和

τ_h和

分别是输入时滞的上界和输入时滞变化率的上界。τ_r和

根据姿态测量系统的时滞特性来选取，多次测量姿态测量系统测出姿态角和姿态角速度所需要的时间，取其中的最大值为τ_r；τ_h和

可根据执行机构的时滞特性来选取，多次测量执行机构将控制指令转化成实际控制力矩所需要的时间，取其中的最大值为τ_h；

和分别根据测量时滞和输入时滞的变化大小来选取，一般在[0,1]之间取值。由于能量主要集中在低阶模态，本实施例中n取为2。

将挠性航天器动力学方程写成状态空间的形式为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+B[u(t-h\left(t\right))+w_0\left(t\right)]+B{w}_1\left(t\right)$

其中 $x\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&theta;}\left(t\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)\end{array}\right],$ $\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)\end{array}\right],$ $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}0\\ {(J-{\mathrm{FF}}^T)}^{-1}\end{array}\right],$ $w_0\left(t\right)=F[C_d\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\left(t\right)+\mathrm{\&Lambda;\&eta;}\left(t\right)].$

w₀(t)∈R¹是由挠性附件振动引起的干扰。

挠性附件与本体的耦合矩阵F的获取过程如下：由挠性附件自由端和连接端的边界条件得到关于挠性附件振动的特征值λ_i的超越方程为1+cosλ_icoshλ_i＝0，其中

ρ是挠性附件的单位长度质量，l是挠性附件的长度，EI是挠性附件的抗弯刚度，由于n取为2，求出该超越方程的前两个解为λ₁=1.8751，λ₂=4.6941。由挠性附件的动力学方程和边界条件，再根据线性代数理论，得到挠性附件的第j个振型函数X_j(ζ)为：

$X_j\left(\mathrm{\&zeta;}\right)=a_j(-\cos {\mathrm{\&lambda;}}_j\mathrm{\&zeta;}+\cosh {\mathrm{\&lambda;}}_j\mathrm{\&zeta;}+\frac{1+\sin {\mathrm{\&lambda;}}_j\sinh {\mathrm{\&lambda;}}_j+\cos {\mathrm{\&lambda;}}_j\cosh {\mathrm{\&lambda;}}_j}{\sin {\mathrm{\&lambda;}}_j\cosh {\mathrm{\&lambda;}}_j-\cos {\mathrm{\&lambda;}}_j\sinh {\mathrm{\&lambda;}}_j}\sin {\mathrm{\&lambda;}}_j\mathrm{\&zeta;}$

$+\frac{1-\sin {\mathrm{\&lambda;}}_j\sinh {\mathrm{\&lambda;}}_j+\cos {\mathrm{\&lambda;}}_j\cosh {\mathrm{\&lambda;}}_j}{\sin {\mathrm{\&lambda;}}_j\cosh {\mathrm{\&lambda;}}_j-\cos {\mathrm{\&lambda;}}_j\sinh {\mathrm{\&lambda;}}_j}\sinh {\mathrm{\&lambda;}}_j\mathrm{\&zeta;})$

其中ζ是无量纲变量，

挠性附件的振型参数a_j通过归一化条件求得，则挠性附件与本体的耦合系数

其中r₀是挠性附件安装点的等价半径，则挠性附件与本体的耦合矩阵为F＝[μ₁μ₂]。

2、针对步骤1中挠性航天器系统中由挠性附件振动引起的干扰w₀(t)构造含测量时滞r(t)的干扰观测器：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{w}}_0\left(t\right)=p\left(t\right)+\mathrm{Lx}(t-r\left(t\right))\\ \stackrel{\&CenterDot;}{p}\left(t\right)=-\mathrm{LB}[p\left(t\right)+\mathrm{Lx}(t-r\left(t\right))]-L[\mathrm{Ax}(t-r\left(t\right))+\mathrm{Bu}\left(t\right)]\end{array}\right.$

其中

是对w₀(t)的估计，p(t)∈R¹是干扰观测器的一个辅助状态向量，L∈R^1×2是待定的干扰观测器增益，A、B由步骤1得到，x(t-r(t))是含测量时滞的测量输出，

是输入到干扰观测器中的不含输入时滞的控制输入。

3、构造含测量和输入时滞的复合抗干扰控制器为：

$u(t-h\left(t\right))=-{\hat{w}}_0(t-h\left(t\right))+\mathrm{Kx}(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))$

其中K∈R^1×2是待定的状态反馈H_∞控制器增益，

是含有输入时滞的干扰w₀(t)估计值，由步骤2得到，x(t-r(t)-h(t))是含有测量和输入时滞的测量输出。u(t-h(t))是步骤1中输入到挠性航天器中的控制输入，而步骤2中输入到干扰观测器中的控制输入仅仅是计算得到的控制指令，不需要转换成实际的控制力矩，不受输入时滞的影响，故为

结合步骤1的状态空间动力学方程得挠性航天器姿态控制方程为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{BKx}(t-d\left(t\right))+\mathrm{Be}\left(t\right)+B{w}_1\left(t\right)$

其中为干扰估计误差，d(t)=r(t)+h(t)，并且d(t)满足0≤d(t)≤τ<∞，其中τ=τ_r+τ_h，

4、利用3/2稳定性定理设计步骤2中的干扰观测器增益L：

由步骤2和步骤3有：

$\stackrel{\&CenterDot;}{p}(t-h\left(t\right))=-\mathrm{LB}{\hat{w}}_0(t-h\left(t\right))-L[\mathrm{Ax}(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))+\mathrm{Bu}(t-h\left(t\right))]=-L(A+\mathrm{BK})x(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))$

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))$

$=\mathrm{Ax}(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))+B[u(t-r\left(t\right)-h\left(t\right)-h_1\left(t\right))+w_0(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))]+B{w}_1(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))$

$=\mathrm{Ax}(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))+B[\mathrm{Kx}(t-r\left(t\right)-h\left(t\right)-h_1\left(t\right)-r_1\left(t\right))+e(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))]+B{w}_1(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))$

其中 $u(t-r\left(t\right)-h\left(t\right)-h_1\left(t\right))=-{\hat{w}}_0(t-r\left(t\right)-h\left(t\right)-h_1\left(t\right))+\mathrm{Kx}(t-r\left(t\right)-h\left(t\right)-h_1\left(t\right)-r_1\left(t\right)),$

$e(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))=w_0(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))-{\hat{w}}_0(t-r\left(t\right)-h\left(t\right)-h_1\left(t\right)),$ r₁(t)表示t-d(t)时刻的测量时滞，h₁(t)表示t-d(t)时刻的输入时滞，r₁(t)、h₁(t)分别满足0≤r₁(t)≤τ_r<∞、

0≤h₁(t)≤τ_h<∞、

t和t-h(t)时刻的测量时滞都为r(t)，t和t-r(t)时刻的输入时滞都为h(t)，则干扰估计误差方程为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}\left(t\right)={\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_0\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{w}}}_0(t-h\left(t\right))={\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_0\left(t\right)-\stackrel{\&CenterDot;}{p}(t-h\left(t\right))-L\stackrel{\&CenterDot;}{x}(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))$

$=-\mathrm{LBe}(t-d\left(t\right))+\mathrm{LBKx}(t-d\left(t\right))-\mathrm{LBKx}(t-d\left(t\right)-d_1\left(t\right))+{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_0\left(t\right)-\mathrm{LB}{w}_1(t-d\left(t\right))$

其中d₁(t)=r₁(t)+h₁(t)，d₁(t)满足0≤d₁(t)≤τ<∞，

由于干扰估计误差方程右侧不包含e(t)的项，只包含e(t-d(t))的项，故为纯时滞方程。根据3/2稳定性定理，设计干扰观测器增益L使其满足τLB<3/2，则可保证干扰估计误差方程的稳定性。

记 $\mathrm{LBKx}(t-d\left(t\right))-\mathrm{LBKx}(t-d\left(t\right)-d_1\left(t\right))+{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_0\left(t\right)-\mathrm{LB}{w}_1(t-d\left(t\right))$ 的稳态值为常值w_s，那么e(t)的稳态值为

LB∈R¹，故LB越大，e_s越小，即干扰观测器的干扰抑制能力越强。由于B＝[0(J-FF^T)^-1]^T，L可取为[0(J-FF^T)/τ]，则τLB=1<3/2。

5、利用凸优化算法设计步骤3中的状态反馈H_∞控制器增益K：

（1）由步骤3的挠性航天器姿态控制方程和步骤4的干扰估计误差方程得到含测量和输入时滞的闭环系统方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;}{e}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ e\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\mathrm{BK}& 0\\ \mathrm{LBK}& -\mathrm{LB}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(t-d\left(t\right))\\ e(t-d\left(t\right))\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ -\mathrm{LBK}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(t-d\left(t\right)-d_1\left(t\right))\\ e(t-d\left(t\right)-d_1\left(t\right))\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_0\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}B\\ 0\end{array}\right]w_{1}t+\left[\begin{array}{c}0\\ -\mathrm{LB}\end{array}\right]w_1(t-d\left(t\right))\\ z_{\&infin;}\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}{C}_{11}& C_{21}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ e\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{C}_{12}& C_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(t-d\left(t\right))\\ e(t-d\left(t\right))\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{C}_{13}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(t-d\left(t\right)-d_1\left(t\right))\\ e(t-d\left(t\right)-d_1\left(t\right))\end{array}\right]\\ +D_1{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_0\left(t\right)+D_2{w}_1\left(t\right)+D_3{w}_1(t-d\left(t\right))\end{array}\right.$

其中z_∞(t)为H_∞性能参考输出，矩阵C₁₁、C₁₂、C₁₃、C₂₁、C₂₂、D₁、D₂、D₃为H_∞性能参考输出可调增益阵，C₁₁、C₁₂、C₁₃∈R^1×2，C₂₁、C₂₂、D₁、D₂、D₃∈R¹。通过设计状态反馈H_∞控制器增益K使得闭环系统满足H_∞性能 ${\left|\right|z_{\&infin;}\left(t\right)\left|\right|}_2^2<{\mathrm{\&gamma;}}_1^2{\left|\right|{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_0\left(t\right)\left|\right|}_2^2+{\mathrm{\&gamma;}}_2^2{\left|\right|w_1\left(t\right)\left|\right|}_2^2+{\mathrm{\&gamma;}}_3^2{\left|\right|w_1(t-d\left(t\right))\left|\right|}_2^2,$ 其中γ₁、γ₂、γ₃是干扰抑制度，

表示向量z(t)的L₂范数，tr(M)表示矩阵M的迹。

（2）H_∞性能参考输出可调增益阵的选取：

H_∞性能参考输出矩阵反映了闭环系统中所期望的受范数有界干扰影响尽可能小的输出量所占的权重。H_∞性能参考输出矩阵可根据其对应的变量与干扰之间的比例来取值，D₁、D₂、D₃一般可取为0。本实施例中若期望干扰对x(t)和e(t)的影响尽可能小，则可取C₁₁=[11]，C₂₁=1，C₁₂、C₁₃和C₂₂都取为0。

（3）干扰抑制度γ₁、γ₂、γ₃的选取：

γ₁、γ₂、γ₃分别反映了对干扰

w₁(t)、w₁(t-d(t))的抑制程度，可根据能量有界干扰的上界来确定，取值一般在(0,10)之间。本实施例中γ₁、γ₂、γ₃分别取为1、3、3。

（4）状态反馈H_∞控制器增益K的求解：

基于凸优化算法得步骤3中的状态反馈H_∞控制器增益为

其中P₁、R₁由以下线性矩阵不等式求得：

$\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\&Xi;}}_{11}& {\mathrm{\&Xi;}}_{12}& {\mathrm{\&Xi;}}_{13}& {\mathrm{\&Xi;}}_{14}& {\mathrm{\&Xi;}}_{15}\\ *& {\mathrm{\&Xi;}}_{22}& {\mathrm{\&Xi;}}_{23}& 0& {\mathrm{\&Xi;}}_{25}\\ *& *& {\mathrm{\&Xi;}}_{33}& 0& 0\\ *& *& *& {\mathrm{\&Xi;}}_{44}& 0\\ *& *& *& *& -I\end{array}\right]<0$

其中

${\mathrm{\&Xi;}}_{11}=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\&Phi;}}_{11}& {\mathrm{BR}}_1-N_1+N_2^T& 0& {\mathrm{BP}}_2& 0\\ *& {\mathrm{\&Phi;}}_{22}& -N_3+N_4^T& {\left({\mathrm{LBP}}_1\right)}^T& 0\\ *& *& \mathrm{sym}(-N_4)-(1-2\stackrel{\&OverBar;}{d})Q_2& -{\left({\mathrm{LBR}}_1\right)}^T& 0\\ *& *& *& \mathrm{sym}\left(N_5\right)+Q_3& -{\mathrm{LBP}}_2-N_5+N_6^T\\ *& *& *& *& \mathrm{sym}(-N_6)-(1-\stackrel{\&OverBar;}{d})Q_3\end{array}\right],$

${\mathrm{\&Phi;}}_{11}=\mathrm{sym}({\mathrm{AP}}_1+N_1)+Q_1,{\mathrm{\&Phi;}}_{22}=\mathrm{sym}(-N_2+N_3)-(1-\stackrel{\&OverBar;}{d})(Q_1-Q_2),$

${\mathrm{\&Xi;}}_{22}=\mathrm{diag}\{-{\mathrm{\&gamma;}}_1^{2}I,-{\mathrm{\&gamma;}}_2^{2}I,-{\mathrm{\&gamma;}}_3^{2}I\},$ Ξ₃₃＝diag{-τ^-1M₁,-τ^-1M₂,-τ^-1M₃}，

Ξ₄₄＝diag{τ^-1(M₁-2P₁),τ^-1(M₂-2P₁),τ^-1(M₃-2P₂)}，

${\mathrm{\&Xi;}}_{12}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&phi;}}_1\\ 0\\ 0\\ {\mathrm{\&phi;}}_2\\ 0\end{array}\right],$ ${\mathrm{\&Xi;}}_{13}={\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{AP}}_1& {\mathrm{BR}}_1& 0& {\mathrm{BP}}_2& 0\\ {\mathrm{AP}}_1& {\mathrm{BR}}_1& 0& {\mathrm{BP}}_2& 0\\ 0& {\mathrm{LBR}}_1& -{\mathrm{LBR}}_1& 0& -{\mathrm{LBP}}_2\end{array}\right]}^T,$ ${\mathrm{\&Xi;}}_{14}=\left[\begin{array}{ccc}{N}_1& 0& 0\\ N_2& N_3& 0\\ 0& N_4& 0\\ 0& 0& N_5\\ 0& 0& N_6\end{array}\right],$

Ξ₁₅＝[C₁₁P₁ C₁₂P₁ C₁₃P₁ C₂₁P₂ C₂₂P₂]^T， ${\mathrm{\&Xi;}}_{23}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&phi;}}_1^T& {\mathrm{\&phi;}}_1^T& {\mathrm{\&phi;}}_2^T\end{array}\right],$ Ξ₂₅＝[D₁ D₂ D₃]^T，φ₁＝[0B0]，φ₂＝[I0-LB]，干扰观测器增益L由步骤4求得，矩阵P₁、P₂、Q₁、Q₂、Q₃、M₁、M₂、M₃、N₁、N₂、N₃、N₄、N₅、N₆、R₁可通过上述线性矩阵不等式求得，并且满足条件P₁>0、P₂>0、Q₂≥Q₁>0、Q₃>0、M₂≥M₁>0、M₃>0，其中P₁、Q₁、Q₂、M₁、M₂、N₁、N₂、N₃、N₄∈R^2×2，P₂、Q₃、M₃、N₅、N₆∈R¹，R₁∈R^1×2，则基于李亚普诺夫(Lyapunov)方法可以证明闭环系统渐近稳定并满足一定的H_∞性能。M>0表示矩阵M正定，sym(M)=M+M^T，符号*表示对称矩阵中相应部分的对称块。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (5)

1.一种含测量和输入时滞的挠性航天器复合抗干扰控制器，其特征在于包括以下步骤：

（1）建立挠性航天器动力学模型，写成状态空间形式为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+B[u(t-h\left(t\right))+w_0\left(t\right)]+B{w}_1\left(t\right)$

其中 $x\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&theta;}\left(t\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)\end{array}\right],$ $\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)\end{array}\right],$ $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}0\\ {(J-{\mathrm{FF}}^T)}^{-1}\end{array}\right],$ $w_0\left(t\right)=F[C_d\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\left(t\right)+\mathrm{\&Lambda;\&eta;}\left(t\right)],$ θ(t)、

η(t)、

J、F、C_d、Λ分别是姿态角、姿态角速度、姿态角加速度、挠性附件的模态、模态速率、航天器的转动惯量、挠性附件与本体的耦合矩阵、模态阻尼矩阵、模态刚度矩阵，w₀(t)是由挠性附件振动引起的干扰，w₁(t)是范数有界干扰力矩，u(t-h(t))待设计的控制输入，h(t)是时变的输入时滞，并满足0≤h(t)≤τ_h<∞和

τ_h和

分别为输入时滞的上界和输入时滞变化率的上界；

（2）针对步骤（1）中挠性附件振动引起的干扰w₀(t)，构造含测量时滞的干扰观测器;

（3）由步骤（2）得到的干扰w₀(t)的估计值，与状态反馈H_∞控制器相结合，构造含测量和输入时滞的复合抗干扰控制器；

（4）根据3/2稳定性定理设计步骤（2）中的干扰观测器增益；

（5）根据凸优化算法设计步骤（3）中的状态反馈H_∞控制器增益。

2.根据权利要求1所述的含测量和输入时滞的挠性航天器复合抗干扰控制器，其特征在于：所述步骤（2）中的含测量时滞的干扰观测器为：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{w}}_0\left(t\right)=p\left(t\right)+\mathrm{Lx}(t-r\left(t\right))\\ \stackrel{\&CenterDot;}{p}\left(t\right)=-\mathrm{LB}[p\left(t\right)+\mathrm{Lx}(t-r\left(t\right))]-L[\mathrm{Ax}(t-r\left(t\right))+\mathrm{Bu}\left(t\right)]\end{array}\right.$

其中

是w₀(t)的估计值，p(t)是干扰观测器的状态向量，L是待定的干扰观测器增益，A、B由步骤（1）得到；

是输入到干扰观测器中的不含输入时滞的控制输入；x(t-r(t))是含有测量时滞的测量输出，r(t)是时变的测量时滞，并满足0≤r(t)≤τ_r<∞和

τ_r和

分别为测量时滞的上界和测量时滞变化率的上界。

3.根据权利要求1所述的含测量和输入时滞的挠性航天器复合抗干扰控制器，其特征在于：所述步骤（3）中的含测量和输入时滞的复合抗干扰控制器为：

$u(t-h\left(t\right))=-{\hat{w}}_0(t-h\left(t\right))+\mathrm{Kx}(t-r\left(t\right)-h\left(t\right))$

其中K是待定的状态反馈H_∞控制器增益，

是含有输入时滞的干扰w₀(t)估计值，由步骤（2）得到，x(t-r(t)-h(t))是含有测量和输入时滞的测量输出，u(t-h(t))是步骤（1）中输入到挠性航天器中的控制输入。

4.根据权利要求1和2所述的含测量和输入时滞的挠性航天器复合抗干扰控制器，其特征在于：所述步骤（4）中的干扰观测器增益L要满足τLB<3/2，其中τ=τ_r+τ_h。

5.根据权利要求1所述的含测量和输入时滞的挠性航天器复合抗干扰控制器，其特征在于：所述步骤（5）中的状态反馈H_∞控制器增益为

其中P₁、R₁由以下线性矩阵不等式基于凸优化算法求得：

$\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\&Xi;}}_{11}& {\mathrm{\&Xi;}}_{12}& {\mathrm{\&Xi;}}_{13}& {\mathrm{\&Xi;}}_{14}& {\mathrm{\&Xi;}}_{15}\\ *& {\mathrm{\&Xi;}}_{22}& {\mathrm{\&Xi;}}_{23}& 0& {\mathrm{\&Xi;}}_{25}\\ *& *& {\mathrm{\&Xi;}}_{33}& 0& 0\\ *& *& *& {\mathrm{\&Xi;}}_{44}& 0\\ *& *& *& *& -I\end{array}\right]<0$

其中

${\mathrm{\&Xi;}}_{11}=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\&Phi;}}_{11}& {\mathrm{BR}}_1-N_1+N_2^T& 0& {\mathrm{BP}}_2& 0\\ *& {\mathrm{\&Phi;}}_{22}& -N_3+N_4^T& {\left({\mathrm{LBP}}_1\right)}^T& 0\\ *& *& \mathrm{sym}(-N_4)-(1-2\stackrel{\&OverBar;}{d})Q_2& -{\left({\mathrm{LBR}}_1\right)}^T& 0\\ *& *& *& \mathrm{sym}\left(N_5\right)+Q_3& -{\mathrm{LBP}}_2-N_5+N_6^T\\ *& *& *& *& \mathrm{sym}(-N_6)-(1-\stackrel{\&OverBar;}{d})Q_3\end{array}\right],$

Φ₁₁＝sym(AP₁+N₁)+Q₁， ${\mathrm{\&Phi;}}_{22}=\mathrm{sym}(-N_2+N_3)-(1-\stackrel{\&OverBar;}{d})(Q_1-Q_2),$

${\mathrm{\&Xi;}}_{22}=\mathrm{diag}\{-{\mathrm{\&gamma;}}_1^{2}I,-{\mathrm{\&gamma;}}_2^{2}I,-{\mathrm{\&gamma;}}_3^{2}I\},$ Ξ₃₃＝diag{-τ^-1M₁,-τ^-1M₂,-τ^-1M₃}，Ξ₄₄＝diag{τ^-1(M₁-2P₁),τ^-1(M₂-2P₁),τ^-1(M₃-2P₂)}，

${\mathrm{\&Xi;}}_{12}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&phi;}}_1\\ 0\\ 0\\ {\mathrm{\&phi;}}_2\\ 0\end{array}\right],$ ${\mathrm{\&Xi;}}_{13}={\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{AP}}_1& {\mathrm{BR}}_1& 0& {\mathrm{BP}}_2& 0\\ {\mathrm{AP}}_1& {\mathrm{BR}}_1& 0& {\mathrm{BP}}_2& 0\\ 0& {\mathrm{LBR}}_1& -{\mathrm{LBR}}_1& 0& -{\mathrm{LBP}}_2\end{array}\right]}^T,$ ${\mathrm{\&Xi;}}_{14}=\left[\begin{array}{ccc}{N}_1& 0& 0\\ N_2& N_3& 0\\ 0& N_4& 0\\ 0& 0& N_5\\ 0& 0& N_6\end{array}\right],$

Ξ₁₅＝[C₁₁P₁ C₁₂P₁ C₁₃P₁ C₂₁P₂ C₂₂P₂]^T， ${\mathrm{\&Xi;}}_{23}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&phi;}}_1^T& {\mathrm{\&phi;}}_1^T& {\mathrm{\&phi;}}_2^T\end{array}\right],$ Ξ₂₅＝[D₁D₂D₃]^T，φ₁＝[0B0]，φ₂＝[I0-LB]，干扰观测器增益L由步骤（4）求得，γ₁、γ₂、γ₃为给定的干扰抑制度，矩阵C₁₁、C₁₂、C₁₃、C₂₁、C₂₂、D₁、D₂、D₃为H_∞性能参考输出可调增益阵，矩阵P₁、P₂、Q₁、Q₂、Q₃、M₁、M₂、M₃、N₁、N₂、N₃、N₄、N₅、N₆、R₁可通过上述线性矩阵不等式求得，并且满足条件P₁>0、P₂>0、Q₂≥Q₁>0、Q₃>0、M₂≥M₁>0、M₃>0；M^T表示矩阵M的转置，M>0表示矩阵M是正定的，sym(M)=M+M^T，diag{}表示对角块，符号*表示对称矩阵中相应部分的对称块。

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