CN103217902A - 一种基于干扰观测器的指令滤波反步控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于干扰观测器的指令滤波反步控制方法，针对多源干扰非线性系统，设计一种抗干扰非线性控制器。本发明包括以下步骤：首先，建立多源干扰系统的非线性数学模型；其次，设计非线性干扰观测器估计系统中的等价干扰；再次，将由非线性干扰观测器得到的等价干扰估计值代入指令滤波反步控制器中，构造抗干扰指令滤波反步控制器；最后，通过极点配置方法设计保证闭环复合误差系统渐近稳定的指令滤波反步控制器增益和非线性干扰观测器增益。本发明所述的控制方法抗干扰能力强，可用于飞行器、机械臂、生化过程和船舶等系统的抗干扰控制。

Description

一种基于干扰观测器的指令滤波反步控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于干扰观测器的指令滤波反步控制方法，该方法是一种非线性系统抗干扰控制方法，可用于飞行器、机械臂、生化过程、船舶等系统的抗干扰控制。

背景技术

反步法是20世纪90年代兴起的一种系统的非线性控制方法，“反步”反映出了设计步骤的递归特性。其基本设计思想是将复杂的高阶非线性系统划分为多个低阶子系统，从最远离系统控制输入的子系统开始，通过构造部分Lyapunov函数得到保证子系统稳定的虚拟控制量，并逐步后退到控制输入，从而得到最终的控制器，在此过程中全系统的Lyapunov函数也相继被构造出来。反步法在控制器设计中的优势在于能够通过多种方法灵活处理不同的非线性特性，实现闭环系统的全局调节或渐近跟踪，使系统达到期望的性能指标。针对反步法存在当系统阶次较高时计算虚拟控制量的偏导数会出现微分爆炸的缺点，研究人员进一步提出了指令滤波反步控制方法。通过低通滤波器产生指令信号及其导数，消除了对虚拟控制信号求偏导数而带来复杂的解析计算；进一步加入虚拟控制信号的各种物理约束(如，幅值、速率和带宽限制等)满足实际系统对控制的需求。此外，指令滤波反步法的另一个优势是消除了反步法要求非线性系统必须满足下三角形构型的限制。

实际环境中由于测量手段、器部件精度、外部环境等因素的限制无法得到系统精确的数学模型，同时各种干扰及噪声广泛地存在于系统的控制和量测过程中。复杂环境下的实际系统一般可以描述为一类包含有参数不确定、未建模动态和外部干扰等多源干扰的非线性数学模型。指令滤波反步控制方法是基于模型的控制方法，需要系统模型精确已知；由于实际系统中存在多源干扰，致使指令滤波反步控制方法的控制效果变差，甚至无法保证闭环系统的稳定性。现有的基于干扰观测器的反馈控制方法通过在反馈控制律上减去干扰估计值实现，因此其缺点在于只能补偿与控制输入相同通道的等价干扰，即干扰与控制输入匹配的情况。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：针对含有多源干扰的非线性系统的控制问题，克服现有方法的不足，提供一种基于干扰观测器的指令滤波反步控制方法，补偿系统中多源干扰的等价干扰，保证闭环系统的稳定性，提高系统的控制精度。

本发明的技术解决方案为：一种基于干扰观测器的指令滤波反步控制方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1：建立多源干扰系统的非线性数学模型

根据指令滤波反步法递归设计和干扰观测器整体设计两种不同的设计需求，将多源干扰系统的非线性数学模型表示为两种不同的数学描述形式；

第一种是子系统描述形式，如下式所示：

${\mathrm{\Ξ}}_1:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=f_1\left(x\right)+g_1\left(x\right)x_2+d_1\\ ...\\ {\stackrel{.}{x}}_{n-1}=f_{n-1}\left(x\right)+g_{n-1}\left(x\right)x_n+d_{n-1}\\ {\stackrel{.}{x}}_n=f_n\left(x\right)+g_n\left(x\right)u+d_n\end{array}\right.$

上述微分方程组Ξ₁中每一项状态方程各自表示一个子系统。其中，x_i为系统状态变量，i＝1，...，n，x＝(x₁，...，x_n)^T代表系统状态向量，f_i(x)和g_i(x)是系统状态向量x的连续函数，u代表系统控制输入信号，d₁，...，d_n代表每个子系统中参数不确定、未建模动态和外部干扰三类干扰的等价干扰。

第二种是状态空间描述形式，如下式所示：

${\mathrm{\Ξ}}_2:\stackrel{.}{x}=H\left(x\right)+Z\left(x\right)u+d$

其中，H(x)∈Rⁿ和Z(x)∈Rⁿ是系统状态向量x的连续非线性函数向量，Rⁿ表示n维实数集，d代表系统的等价干扰向量，d＝(d₁，...，d_n)^T。

步骤2：设计非线性干扰观测器估计系统中的等价干扰

针对步骤1中建立的状态空间描述形式Ξ₂中存在的等价干扰向量d，构造非线性干扰观测器为：

$\stackrel{.}{w}=-L\left(x\right)w-L\left(x\right)(p\left(x\right)+H\left(x\right)+Z\left(x\right)u)$

$\hat{d}=w+p\left(x\right)$

是等价干扰向量d的估计值，

分别是子系统中的等价干扰d₁，...，d_n的估计值。w∈Rⁿ是非线性干扰观测器的状态，p(x)∈Rⁿ是待设计的非线性函数向量，L(x)是非线性干扰观测器的增益矩阵，二者满足如下关系：

$L\left(x\right)=-\frac{\∂p\left(x\right)}{\∂x}=\mathrm{diag}\{l_1,...,l_n\}$

l_i，i＝1，...，n是非线性干扰观测器的增益，diag{}表示对角块。在干扰有界以及干扰变化率是慢时变的条件下，即

时，干扰观测器的估计误差方程可以表示为：

$\stackrel{.}{e}=L\left(x\right)e$

其中，估计误差向量

e＝(e₁，...，e_n)^T，估计误差i＝1...，n。

步骤3：将由非线性干扰观测器得到的等价干扰估计值代入指令滤波反步控制器中，构造抗干扰指令滤波反步控制器

针对步骤1中建立的子系统描述形式Ξ₁，为使子系统的状态变量x_i在等价干扰d_i存在的情况下能够渐进跟踪参考信号x_i，c，即跟踪误差z_i＝x_i-x_i，c渐进稳定，构造子系统的虚拟控制量为：

$a_i=\frac{1}{g_i\left(x\right)}(-c_i{z}_i-f_i\left(x\right)+{\stackrel{.}{x}}_{i,c}-g_{i-1}\left(x\right)v_{i-1}-{\hat{d}}_i)$

c_i为虚拟控制量的增益，等价干扰d_i的估计值作为补偿项代入了虚拟控制量α_i中，v_i为补偿跟踪误差。x_i，c和

为前一级子系统的虚拟控制量a_i-1经过指令滤波器Ξ₃产生的输出，指令滤波器的状态空间和输出分别可以表示为：

${\mathrm{\Ξ}}_3:\left\{\begin{array}{cc}{\stackrel{.}{q}}_{i,1}=q_{i,2}& \\ {\stackrel{.}{q}}_{i,2}=2\mathrm{\ζ}{\mathrm{\ω}}_i{(S_{i,v}\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_i^2}{2\mathrm{\ζ}{\mathrm{\ω}}_i}(S_{i,M}\left(a_{i-1}\right)-q_{i,1})\right)-q_{i,2})}^{,\left\{\begin{array}{c}{x}_{i,1}=q_{i,1}\\ {\stackrel{.}{x}}_i=q_{i,2}\end{array}\right.}& \end{array}\right.$

其中，q_i，１和q_i，2是指令滤波器的状态变量，ω_i和ζ分别是指令滤波器的固有频率和阻尼比，ζ＝0.707，S_i，M()和S_i，V()分别代表幅值和速率限制函数。

经过逐步递推形成的虚拟控制量{a₁，...，a_n}的集合即组成抗干扰指令滤波反步控制器，系统的控制输入信号u＝a_n，特别的，x_1，c和为给定的参考输入指令，g₀(x)＝0、v₀＝0、ξ_n＝0。

补偿跟踪误差v_i＝z_i-ξ_i，通过引入补偿量ξ_i消除指令信号饱和对于跟踪误差的影响，ξ_i的传递函数为

s表示复变量，对补偿跟踪误差求导，得到的补偿跟踪误差方程的向量形式为：

$\stackrel{.}{v}=C\left(x\right)v+\mathrm{Ee}$

其中， $C\left(x\right)={\left(\begin{array}{cccc}-c_1& g_1\left(x\right)& & \\ -g_1\left(x\right)& ...& ...& \\ & ...& ...& g_{n-1}\left(x\right)\\ & & -g_{n-1}\left(x\right)& -c_n\end{array}\right)}_{n\×n},$ 矩阵中其他位置均为0元素，补偿跟踪误差向量v＝(v_１，...，v_n)^T，估计误差向量e＝(e₁，...，e_n)^T，E_n×n为n×n维单位阵。

步骤4：通过极点配置方法设计保证闭环复合误差系统渐近稳定的指令滤波反步控制器增益c_i和非线性干扰观测器增益l_i

将步骤3中指令滤波反步控制器的补偿跟踪误差方程

和步骤2中非线性干扰观测器的估计误差方程

联立得到闭环复合误差系统为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{.}{v}\\ \stackrel{.}{e}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}C\left(x\right)& E\\ 0& L\left(x\right)\end{array}\right){\left(\begin{array}{c}v\\ e\end{array}\right)}_{,}$ $A\left(x\right)={\left(\begin{array}{cc}C\left(x\right)& E\\ 0& L\left(x\right)\end{array}\right)}_{2n\×2n}$

其中，A(x)为闭环复合误差系统的系统矩阵，用极点配置的方法通过将系统矩阵A(x)的特征根配置到复平面左半开平面[-10，-100]之间的区域，得到指令滤波反步控制器增益c_i和非线性干扰观测器增益l_i，此时系统矩阵A(x)对任意状态变量x∈Rⁿ，所有特征根都具有负实部，则可以保证闭环复合误差系统是渐进稳定的，即保证干扰估计误差e和补偿跟踪误差v渐进趋近于零，实现干扰渐进估计和状态渐进跟踪，达到系统的控制目标。

本发明的原理是：复杂被控对象的数学模型为非线性，且存在参数不确定、未建模动态和外部干扰等多源干扰的影响，多源干扰的存在严重影响系统控制的精度和稳定度。针对非线性多源干扰系统，将非线性干扰观测器和指令滤波反步法二者相结合。通过设计干扰观测器估计系统受到多源干扰的等价干扰，利用反步法的递归设计特性，将各个子系统的等价干扰估计值代入其虚拟控制量中，从而实现了补偿各个子系统的等价干扰的目的，解决了干扰与控制输入不匹配的问题。因此基于干扰观测器的指令滤波反步控制方法可以保证多源干扰系统的闭环稳定性，提高系统的控制精度。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明与指令滤波反步控制法相比其抗干扰能力强。在系统同时存在参数不确定、未建模动态和外部干扰等多源干扰的情况下，通过构造非线性干扰观测器估计多源干扰的等价干扰，并将等价干扰的估计值代入指令滤波反步控制器中，起到了干扰补偿的效果。克服了原有指令滤波反步控制法当系统存在多源干扰时无法保证闭环系统控制精度和稳定性的缺点。

(2)本发明利用反步法的递归特性，将等价干扰估计值代入各个子系统的虚拟控制量中，补偿各个子系统中的等价干扰，克服了现有的基于干扰观测器的反馈控制方法只能补偿控制输入通道的等价干扰而无法解决干扰与控制输入不匹配问题的缺点。

附图说明

图1为本发明的一种实施例的实施步骤流程图。

具体实施方式

下面将以导弹的纵向机动控制为例对本发明做进一步详细说明。本实施例的具体实现步骤如图1所示，对具体实现步骤详细说明如下：

步骤1：建立导弹系统包含多源干扰的非线性数学模型

根据指令滤波反步法递归设计和干扰观测器整体设计两种不同的设计需求，将导弹俯仰平面短周期模态的非线性动力学方程表示为两种不同的数学描述形式：

第一种是二阶子系统的描述形式，如下式所示：

${\mathrm{\Θ}}_1:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=f_1\left(x\right)+g_1\left(x\right)x_2+d_1\\ {\stackrel{.}{x}}_2=f_2\left(x\right)+g_2\left(x\right)u+d_2\end{array}\right.$

上述微分方程组Θ₁中包括x₁子系统：

和x₂子系统：

其中，x₁＝α、x₂＝q为系统状态变量，x＝(x₁，x₂)^T为系统状态向量，控制输入u＝δ，α、q和δ分别为迎角、俯仰角速率和舵面偏角。 $f_1\left(x\right)=\frac{\mathrm{QS}}{m{V}_T}(C_z(x_1,M)+B_z\left(M\right)\mathrm{\δ}),$ g₁(x)＝1、 $f_2\left(x\right)=\frac{\mathrm{QSd}}{I_{\mathrm{yy}}}{C}_m(x_1,M)$ 和

为系统状态向量x的非线性函数，Q、S、m、M、d、V_T和I_yy分别为动压、参考面积、质量、马赫数、参考长度、空速和俯仰转动惯量，C_z(x₁，M)、B_z(M)、C_m(x₁，M)和B_m(M)分别为迎角升力系数、舵面偏角升力系数、迎角力矩系数和舵面偏角力矩系数，是迎角x₁和马赫数M的非线性函数。考虑气动系数的不确定性ΔC_z(x₁，M)、ΔC_m(x₁，M)、ΔB₂(M)和ΔB_m(M)，以及x₁、x₂子系统中的未建模动态ε₁、ε₂和阵风干扰等外部干扰k₁、k₂，则多源干扰的等价干扰d₁和d₂可以分别表示为：

$d_1=\frac{\mathrm{QS}}{m{V}_T}(\mathrm{\Δ}{C}_z(x_1,M)+\mathrm{\Δ}{B}_z\left(M\right)\mathrm{\δ})+{\mathrm{\ϵ}}_1+{\mathrm{\κ}}_1$

$d_2=\frac{\mathrm{QSd}}{I_{\mathrm{yy}}}(\mathrm{\Δ}{C}_m(x_1,M)+\mathrm{\Δ}{B}_m\left(M\right)\mathrm{\δ})+{\mathrm{\ϵ}}_2+{\mathrm{\κ}}_2$

第二种是状态空间描述形式，如下式所示：

${\mathrm{\Θ}}_2:\stackrel{.}{x}=H\left(x\right)+Z\left(x\right)u+d$

其中， $H\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\mathrm{QS}}{m{V}_T}{C}_z(x_1,M)+x_2\\ \frac{\mathrm{QSd}}{I_{\mathrm{yy}}}{C}_m(x_1,M)\end{array}\right),$ $Z\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\mathrm{QS}}{m{V}_T}{B}_z\left(M\right)\\ \frac{\mathrm{QSd}}{I_{\mathrm{yy}}}{B}_m\left(M\right)\end{array}\right)$ 为系统状态向量x的非线性函数向量，d为等价干扰向量，d＝(d₁，d₂)^T。

步骤2：设计非线性干扰观测器估计系统中的等价干扰

针对步骤1中建立的状态空间描述形式Θ₂中存在的等价干扰向量d，构造非线性干扰观测器为：

$\stackrel{.}{w}=-L\left(x\right)w-L\left(x\right)(p\left(x\right)+H\left(x\right)+Z\left(x\right)u)$

$\hat{d}=w+p\left(x\right)$

是等价干扰向量d的估计值，

和分别是x₁和x₂子系统中等价干扰d₁和d₂的估计值，w∈R²是非线性干扰观测器的状态，p(x)∈R²是需要设计的非线性函数向量，R²表示二维实数集，L(x)是非线性干扰观测器增益矩阵，二者满足如下关系：

$L\left(x\right)=-\frac{\∂p\left(x\right)}{\∂x}=\left[\begin{array}{cc}-l_1& 0\\ 0& -l_2\end{array}\right]$

l₁和l₂为非线性干扰观测器增益，在干扰有界以及干扰变化率是慢时变的条件下，即

时，干扰观测器的估计误差方程可以表示为：

$\stackrel{.}{e}=L\left(x\right)e---\left(1\right)$

估计误差向量

e＝(e₁，e₂)^T，估计误差

步骤3：将由非线性干扰观测器得到的等价干扰估计值带入指令滤波反步控制器中，构造抗干扰指令滤波反步控制器

本实施例的描述形式Θ₁仅有两个子系统，因此虚拟控制量a_i的一般表示形式：

$a_i=\frac{1}{g_i\left(x\right)}(-c_i{z}_i-f_i\left(x\right)+{\stackrel{.}{x}}_{i,c}-g_{i-1}\left(x\right)v_{i-1}-{\hat{d}}_i)$

仅有a₁和a₂两种情况，下面进行详细说明。

导弹纵向机动的控制目标是控制迎角渐进跟踪参考信号，针对步骤1中建立的子系统描述形式Θ₁，即系统状态变量x₁渐近跟踪给定的迎角参考信号x_1，c，跟踪误差z₁为：

z₁＝x₁-x_1，c

对z₁求导得：

${\stackrel{.}{z}}_1=f_1\left(x\right)+g_1\left(x\right)x_2+d_1-{\stackrel{.}{x}}_{1,c}$ $\left(2\right)$

$=f_1\left(x\right)+g_1\left(x\right)a_1+d_1-{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}+g_1\left(x\right)(x_{2,c}-a_1)+g_1\left(x\right)(x_2-x_{2,c})$

使跟踪误差z₁渐进稳定的虚拟控制量a₁为：

$a_1=\frac{1}{g_1\left(x\right)}(-c_1{z}_1-f_1\left(x\right)+{\stackrel{.}{x}}_{1,c}-{\hat{d}}_1)$

c₁为虚拟控制量a₁的控制增益，等价干扰d₁的估计值

作为补偿项代入虚拟控制量a₁中，估计误差

x_1，c及其导数

为给定的迎角参考信号，则公式(2)变成为：

${\stackrel{.}{z}}_1=-c_1{z}_1+g_1\left(x\right)(x_{2,c}-a_1)+g_1\left(x\right)z_2+e_1$

为使系统状态变量x₂渐近跟踪指令信号x_2，c，跟踪误差z₂为：

z₂＝x₂-x_2，c

对z₂求导得：

${\stackrel{\·}{z}}_2=f_2\left(x\right)+g_2\left(x\right)u+d_2-{\stackrel{\·}{x}}_{2,c}$ $\left(3\right)$

$=f_2\left(x\right)+g_2\left(x\right)a_2+d_2-{\stackrel{\·}{x}}_{2,c}$

使跟踪误差z₂渐进稳定的虚拟控制量a₂为：

$a_2=\frac{1}{g_2\left(x\right)}(-c_2{z}_2-f_2\left(x\right)+{\stackrel{.}{x}}_{2,c}-g_1\left(x\right)v_1-{\hat{d}}_2)$

c₂为虚拟控制量a₂的控制增益，等价干扰d₂的估计值作为补偿项代入虚拟控制量a₂中，估计误差v₁为补偿跟踪误差，则公式(3)变成为：

${\stackrel{.}{z}}_2=-c_2{z}_2-g_1\left(x\right)v_1+e_2$

公式(2)和(3)中的指令信号x_2，c及其导数

由虚拟控制量a₁经过指令滤波器Θ₃产生的，指令滤波器的状态空间和输出分别可以表示为：

${\mathrm{\Θ}}_3:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{q}}_1=q_2\\ {\stackrel{.}{q}}_2=2\mathrm{\ζ\ω}{(S_V\left(\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{2\mathrm{\ζ\ω}}(S_M\left(a_1\right)-q_1)\right)-q_2)}^{,\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{x}_{2,c}=q_1\\ {\stackrel{.}{x}}_{2,c}=q_2\end{array}\right.\\ \end{array}}\end{array}\right.$

其中，q₁和q₂是指令滤波器的状态，ω和ζ分别是指令滤波器的固有频率和阻尼比，ζ＝0.707。S_M(θ)和S_V(θ)分别表示变量θ的幅值和速率限制函数，S_M(θ)和S_V(θ)为分段函数形式：

$S_M\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}M& \mathrm{if}& \mathrm{\&theta;}\&GreaterEqual;M\\ \mathrm{\&theta;}& \mathrm{if}& \left|\mathrm{\&theta;}\right|<M\\ -M& \mathrm{if}& \mathrm{\&theta;}\&le;-M\end{array}\right.,$ $S_V\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}V& \mathrm{if}& \mathrm{\&theta;}\&GreaterEqual;V\\ \mathrm{\&theta;}& \mathrm{if}& \left|\mathrm{\&theta;}\right|<V\\ -V& \mathrm{if}& \mathrm{\&theta;}\&le;-V\end{array}\right.$

其中，M∈R、V∈R分别代表变量θ幅值、速率的物理限制值，R表示实数集。

经过一步递推形成的虚拟控制量{a₁，a₂}的集合即组成抗干扰指令滤波反步控制器，系统最终的控制输入u＝a₂。

对于跟踪误差z₁和z₂，引入补偿量ξ₁和ξ₂消除指令信号饱和对于跟踪误差的影响，经过补偿后的跟踪误差为：

$\left\{\begin{array}{c}{v}_1=z_1-{\mathrm{\&xi;}}_1\\ v_2=z_2-{\mathrm{\&xi;}}_2\end{array}\right.$

其中，ξ₁的传递函数

s表示复变量，ξ₂＝0。对补偿跟踪误差v₁和v₂求导得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{v}}_1={\stackrel{.}{z}}_1-{\stackrel{.}{\mathrm{\&xi;}}}_1=-c_1{z}_1+g_1\left(x\right)(x_{2,c}-{\mathrm{\&alpha;}}_1)+g_1\left(x\right)z_2+e_1-{\stackrel{.}{\mathrm{\&xi;}}}_1\\ {\stackrel{.}{v}}_2={\stackrel{.}{z}}_2-{\stackrel{.}{\mathrm{\&xi;}}}_2=-c_2{z}_2-g_1\left(x\right)v_1+e_2-{\stackrel{.}{\mathrm{\&xi;}}}_2\end{array}\right.---\left(4\right)$

对ξ₁的传递函数做拉普拉斯反变换得到

ξ₂的导数

公式(4)变成为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{v}}_1=-c_1{v}_1+g_1\left(x\right)v_2+e_1\\ {\stackrel{.}{v}}_2=-c_2{v}_2-g_1\left(x\right)v_2+e_2\end{array}\right.$

将上述的补偿跟踪误差方程写成向量形式为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{v}=C\left(x\right)v+\mathrm{Ee}---\left(5\right)$

其中补偿跟踪误差向量v和等价干扰的估计误差向量e分别为v＝(v₁ v₂)^T，e＝(e₁ e₂)^T；由步骤1中的描述形式Θ₁可知g₁(x)＝1，矩阵C(x)和E分别为：

$C\left(x\right)=\left(\begin{array}{cc}-c_1& g_1\left(x\right)\\ -g_1\left(x\right)& -c_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-c_1& 1\\ -1& -c_2\end{array}\right),$ $E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

步骤4：通过极点配置方法设计保证闭环复合误差系统渐进稳定的指令滤波反步控制器增益c_i和非线性干扰观测器增益l_i

将步骤2中非线性干扰观测器的估计误差方程(1)

和步骤3中指令滤波反步法的补偿跟踪误差方程(5)

联立得到的闭环复合误差系统为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{.}{v}\\ \stackrel{.}{e}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}C\left(x\right)& E\\ 0& L\left(x\right)\end{array}\right){\left(\begin{array}{c}v\\ e\end{array}\right)}_{,}$ $A\left(x\right)={\left(\begin{array}{cc}C\left(x\right)& E\\ 0& L\left(x\right)\end{array}\right)}_{4\&times;4}$

其中，A(x)是闭环复合误差系统的系统矩阵。用极点配置的方法通过将系统矩阵A(x)的特征根配置到复平面左半开平面[-10，-100]之间的区域。这是因为特征根离虚轴太近，系统的控制效果不明显，稳态误差大；离虚轴太远，系统的暂态响应存在大超调和剧烈振荡，这两种情况都得不到理想的控制效果。综合考虑暂态响应和稳态误差，本实施例优选系统矩阵A(x)的特征根λ为四重根-50，其中，矩阵C(x)的特征方程为λ_c ²+(c₁+c₂)λ_c+c₁c₂+1＝0，特征根λ_c为二重根-50，可得λ_c ²+100λ_c+2500＝0，对应指令滤波反步控制器增益c₁＝49、c₂＝51；矩阵L(x)的特征方程为(λ_l+l₁)(λ_l+l₂)＝0，特征根λ_l为二重根-50，可得(λ_l+50)²＝0，对应非线性干扰观测器增益l₁＝50、l₂＝50。此时，系统矩阵A(x)的特征根都具有负实部，则可以保证闭环复合误差系统是渐进稳定的，即保证干扰估计误差e和补偿跟踪误差v渐进趋近于零，实现干扰渐进估计和状态渐进跟踪，达到系统的控制目标。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (1)

1.一种基于干扰观测器的指令滤波反步控制方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1：建立多源干扰系统的非线性数学模型

根据指令滤波反步法递归设计和干扰观测器整体设计两种不同的设计需求，将多源干扰系统的非线性数学模型表示为两种不同的数学描述形式；

第一种是子系统描述形式，如下式所示：

${\mathrm{\&Xi;}}_1:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=f_1\left(x\right)+g_1\left(x\right)x_2+d_1\\ ...\\ {\stackrel{.}{x}}_{n-1}=f_{n-1}\left(x\right)+g_{n-1}\left(x\right)x_n+d_{n-1}\\ {\stackrel{.}{x}}_n=f_n\left(x\right)+g_n\left(x\right)u+d_n\end{array}\right.$

上述微分方程组Ξ₁中每一项状态方程各自表示一个子系统，其中，x_i为系统状态变量，i＝1，...，n，x＝(x₁，...，x_n)^T代表系统状态向量，f_i(x)和g_i(x)是系统状态向量x的连续函数，u代表系统控制输入信号，d₁，...，d_n代表每个子系统中参数不确定、未建模动态和外部干扰三类干扰的等价干扰；

第二种是状态空间描述形式，如下式所示：

${\mathrm{\&Xi;}}_2:\stackrel{.}{x}=H\left(x\right)+Z\left(x\right)u+d$

其中，H(x)∈Rⁿ和Z(x)∈Rⁿ是系统状态向量x的连续非线性函数向量，Rⁿ表示n维实数集，d代表系统的等价干扰向量，d＝(d₁，...，d_n)^T；

步骤2：设计非线性干扰观测器估计系统中的等价干扰

针对步骤1中建立的状态空间描述形式Ξ₂中存在的等价干扰向量d，构造非线性干扰观测器为：

$\stackrel{.}{w}=-L\left(x\right)w-L\left(x\right)(p\left(x\right)+H\left(x\right)+Z\left(x\right)u)$

$\hat{d}=w+p\left(x\right)$

是等价干扰向量d的估计值，

分别是子系统中的等价干扰d₁，...，d_n的估计值，w∈Rⁿ是非线性干扰观测器的状态，p(x)∈Rⁿ是待设计的非线性函数向量，L(x)是非线性干扰观测器的增益矩阵，二者满足如下关系：

$L\left(x\right)=-\frac{\&PartialD;p\left(x\right)}{\&PartialD;x}=\mathrm{diag}\{l_1,...,l_n\}$

l_i，i＝1，...，n是非线性干扰观测器的增益，diag{}表示对角块，在干扰有界以及干扰变化率是慢时变的条件下，即时，干扰观测器的估计误差方程可以表示为：

$\stackrel{.}{e}=L\left(x\right)e$

其中，估计误差向量

e＝(e₁，...，e_n)^T，估计误差

i＝1，...，n；

步骤3：将由非线性干扰观测器得到的等价干扰估计值代入指令滤波反步控制器中，构造抗干扰指令滤波反步控制器

针对步骤1中建立的子系统描述形式Ξ₁，为使子系统的状态变量x_i在等价干扰d_i存在的情况下能够渐进跟踪参考信号x_i，c，即跟踪误差z_i＝x_i-x_i，c渐进稳定，构造子系统的虚拟控制量为：

$a_i=\frac{1}{g_i\left(x\right)}(-c_i{z}_i-f_i\left(x\right)+{\stackrel{.}{x}}_{i,c}-g_{i-1}\left(x\right)v_{i-1}-{\hat{d}}_i)$

c_i为虚拟控制量的增益，等价干扰d_i的估计值

作为补偿项代入了虚拟控制量a_i中，v_i为补偿跟踪误差，x_i，c和

为前一级子系统的虚拟控制量a_i-1经过指令滤波器Ξ₃产生的输出，指令滤波器的状态空间和输出分别可以表示为：

${\mathrm{\&Xi;}}_3:\left\{\begin{array}{cc}{\stackrel{.}{q}}_{i,1}=q_{i,2}& \\ {\stackrel{.}{q}}_{i,2}=2\mathrm{\&zeta;}{\mathrm{\&omega;}}_i{(S_{i,v}\left(\frac{{\mathrm{\&omega;}}_i^2}{2\mathrm{\&zeta;}{\mathrm{\&omega;}}_i}(S_{i,M}\left(a_{i-1}\right)-q_{i,1})\right)-q_{i,2})}^{,\left\{\begin{array}{c}{x}_{i,1}=q_{i,1}\\ {\stackrel{.}{x}}_i=q_{i,2}\end{array}\right.}& \end{array}\right.$

其中，q_i，1和q_i，2是指令滤波器的状态变量，ω_i和ζ分别是指令滤波器的固有频率和阻尼比，ζ＝0.707，S_i，M()和S_i，V()分别代表幅值和速率限制函数；

经过逐步递推形成的虚拟控制量{a₁，...，a_n}的集合即组成抗干扰指令滤波反步控制器，系统的控制输入信号u＝a_n，特别的，x_i，c和

为给定的参考输入指令，g₀(x)＝0、v₀＝0、ξ_n＝0；

补偿跟踪误差v_i＝z_i-ξ_i，通过引入补偿量ξ_i消除指令信号饱和对于跟踪误差的影响，ξ_i的传递函数为

s表示复变量，对补偿跟踪误差求导，得到的补偿跟踪误差方程的向量形式为：

$\stackrel{.}{v}=C\left(x\right)v+\mathrm{Ee}$

其中， $C\left(x\right)={\left(\begin{array}{cccc}-c_1& g_1\left(x\right)& & \\ -g_1\left(x\right)& ...& ...& \\ & ...& ...& g_{n-1}\left(x\right)\\ & & -g_{n-1}\left(x\right)& -c_n\end{array}\right)}_{n\&times;n},$ 矩阵中其他位置均为0元素，补偿跟踪误差向量v＝(v₁，...，v_n)^T，估计误差向量e＝(e₁，...，e_n)^T，E_n×n为n×n维单位阵；

步骤4：通过极点配置方法设计保证闭环复合误差系统渐近稳定的指令滤波反步控制器增益c_i和非线性干扰观测器增益l_i

将步骤3中指令滤波反步控制器的补偿跟踪误差方程

和步骤2中非线性干扰观测器的估计误差方程

联立得到闭环复合误差系统为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{.}{v}\\ \stackrel{.}{e}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}C\left(x\right)& E\\ 0& L\left(x\right)\end{array}\right){\left(\begin{array}{c}v\\ e\end{array}\right)}_{,}$ $A\left(x\right)={\left(\begin{array}{cc}C\left(x\right)& E\\ 0& L\left(x\right)\end{array}\right)}_{2n\&times;2n}$

其中，A(x)为闭环复合误差系统的系统矩阵，用极点配置的方法通过将系统矩阵A(x)的特征根配置到复平面左半开平面[-10，-100]之间的区域，得到指令滤波反步控制器增益c_i和非线性干扰观测器增益l_i，此时系统矩阵A(x)对任意状态变量x∈Rⁿ，所有特征根都具有负实部，则可以保证闭环复合误差系统是渐进稳定的，即保证干扰估计误差e和补偿跟踪误差v渐进趋近于零，实现干扰渐进估计和状态渐进跟踪，达到系统的控制目标。