CN109839934A - 基于rise技术的无人水面艇预设性能跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于RISE技术的无人水面艇预设性能跟踪控制方法，该方法解决系统模型参数不确定的无人水面艇渐近跟踪控制问题，主要包括以下步骤：建立无人水面艇的动态数学模型；预设暂态跟踪性能；跟踪误差变换；基于后推设计法设计虚拟控制器；基于RISE技术设计自适应跟踪控制器；基于所述自适应跟踪控制器实现对无人水面艇的轨迹跟踪控制。本发明采用基于RISE技术的自适应前馈控制策略，对系统不确定动态及外界未知扰动进行补偿，使得系统输出渐近跟踪期望的参考轨迹，即跟踪误差渐近收敛至零；同时，预设性能控制方法确保闭环系统满足预先指定的暂态跟踪性能（即跟踪误差具有指定的收敛速度和超调量），增强控制系统的鲁棒性。

Description

基于RISE技术的无人水面艇预设性能跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及无人水面艇的轨迹跟踪控制领域，具体涉及一种基于RISE技术的无人水面艇预设性能跟踪控制方法。

背景技术

无人水面艇作为一种辅助人类执行海洋任务的智能工具，在运输、海洋环境监测、救援、军事侦察等民用和军事领域发挥着重要的作用。无人水面艇通常需要在无人操控下到达预先指定的位置，因此实现精确的轨迹跟踪控制是衡量无人水面艇控制系统的稳态性能的一个重要指标。在复杂多变的海洋环境下，强风、海浪、洋流等干扰几乎不可避免，且通常难以精确测量。扰动的存在可能会导致控制系统的跟踪性能严重下降，使得系统输出偏离期望轨迹。此外，已有的无人水面艇跟踪控制研究成果中，大部分仅考虑控制系统的稳定性问题，较少会系统地研究控制系统的暂态性能问题，而预设暂态性能(预先设定跟踪误差收敛速度及超调量)对无人水面艇控制系统来说至关重要。因此，在外界扰动未知的情况下，研究无人水面艇的预设性能跟踪控制具有重要的实际应用价值和理论意义。

在实际应用过程中，强风、大浪等带来的干扰使得对无人水面艇系统精确建模难以实现，比如系统阻尼矩阵D(ν)，其阻尼项的数学关系与流体的变化息息相关，阻尼项参数可能处在动态变化中，因此，无人水面艇系统模型通常具有不确定性。在同时具有系统动态不确定和外部扰动的情况下，传统的自适应控制方法很难实现系统输出渐近跟踪参考轨迹，即具有一定的跟踪误差，而精确快速的轨迹跟踪(跟踪误差快速收敛至零)对无人水面艇顺利执行任务至关重要。基于滑模控制的方法虽然可以克服系统的不确定性，实现跟踪误差渐近收敛至零，但其控制器通常是非连续的，会有抖振问题。与非连续的滑模控制相比，基于鲁棒误差符号积分(robustintegral of the sign of the error,RISE)技术的控制方法可以得到连续的控制器，且在系统动态不确定和存在外部未知扰动的情况下实现跟踪误差渐近收敛至零。通过引入预设性能控制(prescribed performance control,PPC)方法，不仅可以保证控制系统的稳态性能，还能确保控制系统的暂态性能，使得跟踪误差具有更快的收敛速度和更小的超调量，增强系统的鲁棒性。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中的缺点与不足，提出一种基于RISE技术的无人水面艇预设性能跟踪控制方法，该方法解决系统模型参数不确定的无人水面艇轨迹跟踪控制问题，并在考虑外部未知扰动的情况下，实现预设暂态性能的渐近跟踪控制，其中，利用自适应前馈项和RISE反馈项共同补偿系统的不确定性，自适应控制增益(RISE反馈项的一部分)补偿未知扰动产生的影响，预设性能控制方法保证跟踪误差的暂态性能。

为实现上述目的，本发明采取如下技术方案：

基于RISE技术的无人水面艇预设性能跟踪控制方法，包括以下步骤：

建立无人水面艇的动态数学模型；

预设暂态跟踪性能；

跟踪误差变换；

基于后推设计法设计虚拟控制器；

基于RISE技术设计自适应跟踪控制器；

基于所述自适应跟踪控制器实现对无人水面艇的轨迹跟踪控制。

作为优选的技术方案，所述的建立无人水面艇的动态数学模型：

其中，η＝[x，y，ψ]^T表示无人水面艇的位置和偏航角输出，x表示大地坐标的横坐标，y表示大地坐标的纵坐标，ψ为偏航角，为η的时间导数；ν＝[u，υ，r]^T表示无人水面艇的速度，u为前进速度、υ为横荡速度、r为偏航角速度，为无人水面艇的加速度，加速度假定不可测；J为转换矩阵；M是对称正定的惯性矩阵；C(ν)是科氏力和向心力矩阵；D(ν)代表流体阻尼矩阵；τ_d代表风、海浪、洋流等引起的外界扰动；τ＝[τ_u，τ_υ，τ_r]^T为控制输入，τ_u为无人水面艇前进方向的控制输入，τ_v为无人水面艇横荡方向的控制输入，τ_r为无人水面艇偏航控制输入；系统矩阵M、C(ν)、D(ν)都是参数未知、但可线性化的。

作为优选的技术方案，所述的预设暂态跟踪性能，具体设计如下：

定义无人水面艇的轨迹跟踪误差：

e＝η-η_d

其中，η_d为参考轨迹，e＝[e_x，e_y，e_ψ]^T为跟踪误差，e_x为x坐标方向跟踪误差，e_y为y坐标方向跟踪误差，e_ψ为偏航角跟踪误差；为了使得跟踪误差具有期望的收敛速度和超调量，引入预设性能控制方法，预先设定跟踪误差的暂态性能；对跟踪误差e施加如下约束条件：

其中，e _i和为指数收敛的性能函数，选取为：

其中，为性能函数的初始值，为性能函数的稳态值，e _i，0为性能函数e _i的初始值，e _i，∞为性能函数e _i的稳态值，κ_i是正的设计参数，表示性能函数的收敛率，且满足t表示时间；根据性能函数可以知道，若跟踪误差e_i满足不等式那么，跟踪误差收敛速度比指数函数exp(-κ_it)更快，其超调量比更小，即跟踪误差e_i能获得比较理想的暂态性能。

作为优选的技术方案，所述的跟踪误差变换，具体过程如下：

考虑到等式关系在数学上容易处理，采用误差变换技术，将步骤(2)中的不等式转换成等式处理，定义其中，T_i(z_1i)是一个光滑严格递增的转换函数，z_1i为转换误差，T_i(z_1i)选取为：

和为指数函数，当z_1i有界时，满足当且仅当z_1i＝0时，T_i(z_1i)＝0；根据T_i(z_1i)的单调性，可以得到转换误差z_1i与跟踪误差e_i的数学关系：

对z_1i求导得其中，

由误差变换可以知道，若转换误差z_1i有界，那么有不等式成立，即结合公式则满足因此，通过误差变换，可以将保证跟踪误差e_i满足不等式的约束问题转换成保证z_1i的有界性问题，当且仅当转换误差z_1i为零时，跟踪误差e_i为零，即转换误差z_1i渐近收敛可以确保跟踪误差e_i渐近收敛，因此，控制器设计需要保证转换误差z_1i渐近收敛至零。

作为优选的技术方案，所述的基于后推设计法设计虚拟控制器，具体过程如下：

定义速度误差z₂＝v-α_ν，其中，α_ν表示虚拟控制器；定义γ＝diag[γ_x，γ_y，γ_ψ]，ε＝diag[ε_x，ε_y，ε_ψ]，z₁＝[z_1x，z_1y，z_1ψ]^T，则有结合跟踪误差时间导数可以得到为转换误差向量z₁的时间导数，为参考轨迹η_d的时间导数；为了稳定转换误差，虚拟控制器α_ν设计为：

其中，K为正定的对角矩阵。

作为优选的技术方案，步骤(5)中所述的基于RISE技术设计自适应跟踪控制器，具体过程如下：

定义辅助误差变量其中，α是一个正的设计参数，为速度误差z₂的时间导数；对步骤(1)中的无人水面艇的动态数学模型实施运动学变换得到表示经过运动学变换后的科氏力向心力矩阵，表示经过运动学变换后的阻尼矩阵；在等式两边同乘以惯性矩阵M得到为虚拟控制器α_v的时间导数；为了避免控制器τ依赖不可测加速度采用如下分组方式

Mz₃＝S+Φ_dΘ+τ_d+τ

其中，S、Φ_dΘ分别表示为

其中，j为转换矩阵J的时间导数，为系数γ的时间导数，为系数ε的时间导数，为参考轨迹η_d的二阶时间导数；经过重新分组，项S及其时间导数都是由误差变量或是两两形成的误差项构成，借助于中值定理理论，在稳定性分析中可以对其放缩处理；由于系统矩阵M、C(ν)、D(ν)都是线性可参数化的，项Φ_dΘ可线性化处理，即使得回归矩阵Φ_d∈R^3×9完全由已知的参考轨迹η_d及其一阶、二阶时间导数构成，控制器不依赖不可测加速度而参数向量Θ∈R⁹则由未知的系统参数组成；经过上述步骤处理，设计基于RISE技术的参数自适应控制器为：

其中，RISE反馈项μ为

其中，k_s为正的设计常量，sgn(·)代表符号函数；为自适应控制增益，通过的自动调整可以补偿外部未知扰动产生的影响；为自适应前馈项，补偿系统不确定动态，且为未知的系统参数矢量Θ的估计；参数估计矢量的更新率设计为自适应控制增益的更新率设计为Γ为设计的常量对角正定矩阵，为回归矩阵Φ_d的时间导数，k_b为自适应控制增益更新率的设计参数；由于辅助误差z₃依赖不可测加速度分别对公式和两边积分可以得到 为回归矩阵Φ_d的二阶时间导数，因此，控制器τ不依赖不可测加速度，即控制器可执行；应用Lyapunov稳定性理论可以证明跟踪控制系统的渐近稳定性。

本发明相对于现有技术具有如下的优点和效果：

(1)在具有不确定性和未知扰动的情况下，利用RISE技术实现跟踪误差渐近收敛至零，且控制器是连续的。

(2)利用预设性能控制方法同时保证了跟踪系统的稳态和暂态性能，使得跟踪误差具有指定的收敛速度和超调量，增强了系统的鲁棒性。

(3)采用自适应的控制增益(RISE反馈项的一部分)代替常量控制增益，克服了直接测量扰动和高增益带来的控制问题，降低了控制器设计的保守性。

附图说明

图1为本实施例的无人水面艇系统；

图2为本实施例的无人水面艇基于RISE技术的参数自适应控制框图；

图3为本实施例的无人水面艇的轨迹跟踪示意图；

图4为本实施例的无人水面艇x方向跟踪误差e_x；

图5为本实施例的无人水面艇y方向跟踪误差e_y；

图6为本实施例的无人水面艇偏航角跟踪误差e_ψ；

图7为本实施例的自适应控制增益

图8为本实施例的系统参数矢量Θ的估计值的二范数；

图9为本实施例的系统控制输入。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案以及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步的详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用于解释本发明，但本发明的实施方式并不限于此。

实施例

本实施例针对图1所示的无人水面艇系统，采用基于RISE技术的自适应前馈控制策略，补偿系统不确定性和外界未知扰动，其中，XOY表示大地坐标系，X_bO_bY_b表示无人水面艇体坐标系。

图2展示了基于RISE技术的无人水面艇预设性能跟踪控制方法，包括下述步骤：

步骤(1)：建立无人水面艇的动态数学模型，具体为：

其中，η＝[x，y，ψ]^T表示无人水面艇的位置和偏航角输出，x表示大地坐标的横坐标，y表示大地坐标的纵坐标，ψ为偏航角，为η的时间导数；ν＝[u，υ，r]^T表示无人水面艇的速度，u为前进速度、υ为横荡速度、r为偏航角速度，为无人水面艇的加速度，加速度假定不可测；J为转换矩阵；M是对称正定的惯性矩阵；C(ν)是科氏力和向心力矩阵；D(ν)代表流体阻尼矩阵；τ_d代表风、海浪、洋流等引起的外界扰动；τ＝[τ_u，τ_υ，τ_r]^T为控制输入，τ_u为无人水面艇前进方向的控制输入，τ_v，为无人水面艇横荡方向的控制输入，τ_r为无人水面艇偏航控制输入；系统矩阵M、C(ν)、D(ν)都是参数未知、但可线性化的。

本实施例中，系统的各物理量单位均采用国际单位制，转换矩阵J和系统矩阵M、C(ν)、D(ν)具体为：

其中，m₁₁＝25.8kg，m₂₂＝33.8kg，m₂₃＝1.0948kg，m₃₃＝2.76kg·m²，c₁₃＝m₂₂ν+m₂₃r，c₂₃＝m₁₁u，d₁₁＝2kg/s，d₂₂＝7kg/s，d₂₃＝d₃₂＝0.1kg·m/s，d₃₃＝0.5kg·m²/s；选取的外界扰动为τ_d＝[5-2sin(0.5t)，-5+0.8cos(0.2t)+sin(0.2t)，10+0.2cos(0.3t)]^T。

步骤(2)：预设暂态跟踪性能，具体过程如下：

定义无人水面艇的轨迹跟踪误差：

e＝η-η_d

其中，η_d为参考轨迹，e＝[e_x，e_y，e_ψ]^T为跟踪误差，e_x为x坐标方向跟踪误差，e_y为y坐标方向跟踪误差，e_ψ为偏航角跟踪误差；为了使得跟踪误差具有期望的收敛速度和超调量，引入预设性能控制方法，预先设定跟踪误差的暂态性能；对跟踪误差e施加如下约束条件：

其中，e _i和为指数收敛的性能函数，选取为：

其中，为性能函数的初始值，为性能函数的稳态值，e _i，0为性能函数e _i的初始值，e _i，∞为性能函数e _i的稳态值，κ_i是正的设计参数，表示性能函数的收敛率，且满足t表示时间；根据性能函数可以知道，若跟踪误差e_i满足不等式那么，跟踪误差收敛速度比指数函数exp(-κ_it)更快，其超调量比更小，即跟踪误差e_i能获得比较理想的暂态性能。

本实施例中，参考轨迹选取为η_d＝[10(1-cos(0.2t))，10(sin(0.2t))，0.2t]^T，参考轨迹为一个半径为10m的圆，无人水面艇状态初始值为η(0)＝[-2.5，2.5，-0.6]^T； e _x，∞＝e _y，∞＝0.1， e _ψ，∞＝e _ψ，∞＝0.05，κ_i＝0.1；图3展示了无人水面艇的轨迹跟踪效果，当时间t＝0时，参考轨迹的相平面坐标为(0，0)，无人水面艇位置坐标为(-2.5，2.5)，由轨迹图可以看出，经过一段时间后，无人水面艇的实际轨迹能很好的跟踪上参考轨迹，达到渐近跟踪的效果；图4至图6分别表示无人水面艇x方向、y方向和偏航角的跟踪误差，跟踪误差始终约束在给定的性能函数上下界内，具有较快的收敛速度和较小的超调量，满足预设的暂态及稳态性能，且最后都能收敛至零。

步骤(3)：跟踪误差变换，具体过程如下

考虑到等式关系在数学上容易处理，采用误差变换技术，将步骤(2)中的不等式转换成等式处理，定文其中，T_i(z_1i)是一个光滑严格递增的转换函数，z_1i为转换误差，T_i(z_1i)选取为：

和为指数函数，当z_1i有界时，满足当且仅当z_1i＝0时，T_i(z_1i)＝0；根据T_i(z_1i)的单调性，可以得到转换误差z_1i与跟踪误差e_i的数学关系：

对z_1i求导得其中，

由误差变换可以知道，若转换误差z_1i有界，那么有不等式成立，即结合公式则满足因此，通过误差变换，可以将保证跟踪误差e_i满足不等式的约束问题转换成保证z_1i的有界性问题，当且仅当转换误差z_1i为零时，跟踪误差e_i为零，即转换误差z_1i渐近收敛可以确保跟踪误差e_i渐近收敛。

步骤(4)：基于后推设计法设计虚拟控制器，具体过程如下

定义速度误差z₂＝v-α_ν，其中，α_ν表示虚拟控制器；定义γ＝diag[γ_x，γ_y，γ_ψ]，ε＝diag[ε_x，ε_y，ε_ψ]，z₁＝[z_1x，z_1y，z_1ψ]^T，则有结合跟踪误差时间导数可以得到为转换误差向量z₁的时间导数，为参考轨迹η_d的时间导数；为了稳定转换误差，虚拟控制器α_ν设计为：

其中，K为正定的对角矩阵。

本实施例中，K＝diag[1，1，1]。

步骤(5)：基于RISE技术设计自适应跟踪控制器，具体过程如下

定义辅助误差变量其中，α是一个正的设计参数，为速度误差z₂的时间导数；对步骤(1)中的无人水面艇的动态数学模型实施运动学变换得到表示经过运动学变换后的科氏力向心力矩阵，表示经过运动学变换后的阻尼矩阵；在等式两边同乘以惯性矩阵M得到为虚拟控制器α_v的时间导数；为了避免控制器τ依赖不可测加速度采用如下分组方式：

Mz₃＝S+Φ_dΘ+τ_d+τ

其中，S、Φ_dΘ分别表示为：

其中，j为转换矩阵J的时间导数，为系数γ的时间导数，为系数ε的时间导数，为参考轨迹η_d的二阶时间导数；经过重新分组，项S及其时间导数都是由误差变量或是两两形成的误差项构成，借助于中值定理理论，在稳定性分析中可以对其放缩处理；由于系统矩阵M、C(ν)、D(ν)都是线性可参数化的，项Φ_dΘ可线性化处理，即使得回归矩阵Φ_d∈R^3×9完全由已知的参考轨迹η_d及其一阶、二阶时间导数构成，控制器不依赖不可测加速度而参数向量Θ∈R⁹则由未知的系统参数组成；经过上述步骤处理，设计基于RISE技术的参数自适应控制器为：

其中，RISE反馈项μ为

其中，k_s为正的设计常量，sgn(·)代表符号函数；为自适应控制增益，通过的自动调整可以补偿外部未知扰动产生的影响；为自适应前馈项，补偿系统不确定动态，且为未知的系统参数矢量Θ的估计；参数估计矢量的更新率设计为自适应控制增益的更新率设计为Γ为设计的常量对角正定矩阵，为回归矩阵Φ_d的时间导数，k_b为自适应控制增益更新率的设计参数；由于辅助误差z₃依赖不可测加速度分别对公式和两边积分可以得到 为回归矩阵Φ_d的二阶时间导数，因此，控制器τ不依赖不可测加速度，即控制器可执行。

本实施例中，选取自适应控制增益的初始值为系统参数矢量估计的初始值为Γ＝diag[10，100，200，100，100，80，10，10，10]，α＝0.8，k_s＝250，k_b＝15，；图7展示了自适应控制增益的变化，图8展示了系统参数估计矢量二范数的变化，和最后都趋于稳定；图9为系统控制输入。

步骤(6)基于所述自适应跟踪控制器实现对无人水面艇的轨迹跟踪控制。

以上所述实施例仅表达了本发明的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对本发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。因此，本发明专利的保护范围应以权利要求所述为准。

Claims (6)

1.一种基于RISE技术的无人水面艇预设性能跟踪控制方法，其特征在于，包含如下步骤：

建立无人水面艇的动态数学模型；

预设暂态跟踪性能；

跟踪误差变换；

基于后推设计法设计虚拟控制器；

基于RISE技术设计自适应跟踪控制器；

基于所述自适应跟踪控制器实现对无人水面艇的轨迹跟踪控制。

2.根据权利要求1所述的基于RISE技术的无人水面艇预设性能跟踪控制方法，其特征在于，所述建立无人水面艇的动态数学模型具体为：

其中，η＝[x，y，ψ]^T表示无人水面艇的位置和偏航角输出，x表示大地坐标的横坐标，y表示大地坐标的纵坐标，Ψ为偏航角，为η的时间导数；ν＝[u，υ，r]^T表示无人水面艇的速度，u为前进速度、υ为横荡速度、r为偏航角速度，为无人水面艇的加速度，加速度假定不可测；J为转换矩阵；M是对称正定的惯性矩阵；C(ν)是科氏力和向心力矩阵；D(ν)代表流体阻尼矩阵；τ_d代表风、海浪、洋流等引起的外界扰动；τ＝[τ_u，τ_υ，τ_r]^T为控制输入，τ_u为无人水面艇前进方向的控制输入，τ_υ为无人水面艇横荡方向的控制输入，τ_r为无人水面艇偏航控制输入；系统矩阵M、C(ν)、D(ν)都是参数未知、但可线性化的。

3.根据权利要求2所述的基于RISE技术的无人水面艇预设性能跟踪控制方法，其特征在于，所述预设暂态跟踪性能，具体设计如下：

定义无人水面艇的轨迹跟踪误差：

e＝η-η_d

其中，η_d为参考轨迹，e＝[e_x，e_y，e_Ψ]^T为跟踪误差，e_x为x坐标方向跟踪误差，e_y为y坐标方向跟踪误差，e_Ψ为偏航角跟踪误差；为了使得跟踪误差具有期望的收敛速度和超调量，引入预设性能控制方法，预先设定跟踪误差的暂态性能；对跟踪误差e施加如下约束条件：

其中，e _i和为指数收敛的性能函数，选取为：

其中，为性能函数的初始值，为性能函数的稳态值，e _i，0为性能函数e _i的初始值，e _i，∞为性能函数e _i的稳态值，κ_i是正的设计参数，表示性能函数的收敛率，且满足t表示时间；根据性能函数可以知道，若跟踪误差e_i满足不等式那么，跟踪误差收敛速度比指数函数exp(-κ_it)更快，其超调量比更小，即跟踪误差e_i能获得比较理想的暂态性能。

4.根据权利要求3所述的基于RISE技术的无人水面艇预设性能跟踪控制方法，其特征在于，所述跟踪误差变换，具体过程如下：

考虑到等式关系在数学上容易处理，采用误差变换技术，将步骤(2)中的不等式转换成等式处理，定义其中，T_i(z_1i)是一个光滑严格递增的转换函数，z_1i为转换误差，T_i(z_1i)选取为

和为指数函数，当z_1i有界时，满足当且仅当z_1i＝0时，T_i(z_1i)＝0；根据T_i(z_1i)的单调性，可以得到转换误差z_1i与跟踪误差e_i的数学关系

对z_1i求导得其中，

由误差变换可以知道，若转换误差z_1i有界，那么有不等式成立，即结合公式则满足因此，通过误差变换，可以将保证跟踪误差e_i满足不等式的约束问题转换成保证z_1i的有界性问题，当且仅当转换误差z_1i为零时，跟踪误差e_i为零，即转换误差z_1i渐近收敛可以确保跟踪误差e_i渐近收敛，因此，控制器设计需要保证转换误差z_1i渐近收敛至零。

5.根据权利要求4所述的基于RISE技术的无人水面艇预设性能跟踪控制方法，其特征在于，所述基于后推设计法设计虚拟控制器，具体过程如下：

定义速度误差z₂＝v-α_ν，其中，α_ν表示虚拟控制器；定义γ＝diag[γ_x，γ_y，γ_ψ]，ε＝diag[ε_x，ε_y，ε_Ψ]，z₁＝[z_1x，z_1y，z_1Ψ]^T，则有结合跟踪误差时间导数可以得到 为转换误差向量z₁的时间导数，为参考轨迹η_d的时间导数；为了稳定转换误差，虚拟控制器α_ν设计为：

其中，K为正定的对角矩阵。

6.根据权利要求5所述的基于RISE技术的无人水面艇预设性能跟踪控制方法，其特征在于，所述基于RISE技术设计自适应跟踪控制器，具体过程如下：

定义辅助误差变量其中，α是一个正的设计参数，为速度误差z₂的时间导数；对步骤(1)中的无人水面艇的动态数学模型实施运动学变换得到 表示经过运动学变换后的科氏力向心力矩阵，表示经过运动学变换后的阻尼矩阵；在等式两边同乘以惯性矩阵M得到 为虚拟控制器α_v的时间导数；为了避免控制器τ依赖不可测加速度采用如下分组方式：

Mz₃＝S+Φ_dΘ+τ_d+τ

其中，S、Φ_dΘ分别表示为：

其中，j为转换矩阵J的时间导数，为系数γ的时间导数，为系数ε的时间导数，为参考轨迹η_d的二阶时间导数；经过重新分组，项S及其时间导数都是由误差变量或是两两形成的误差项构成，借助于中值定理理论，在稳定性分析中可以对其放缩处理；由于系统矩阵M、C(ν)、D(ν)都是线性可参数化的，项Φ_dΘ可线性化处理，即使得回归矩阵Φ_d∈R^3×9完全由已知的参考轨迹η_d及其一阶、二阶时间导数构成，控制器不依赖不可测加速度而参数向量Θ∈R⁹则由未知的系统参数组成；经过上述步骤处理，设计基于RISE技术的参数自适应控制器为：

其中，RISE反馈项μ为其中，k_s为正的设计常量，sgn(·)代表符号函数；为自适应控制增益，通过的自动调整可以补偿外部未知扰动产生的影响；为自适应前馈项，补偿系统不确定动态，且为未知的系统参数矢量Θ的估计；参数估计矢量的更新率设计为自适应控制增益的更新率设计为Γ为设计的常量对角正定矩阵，为回归矩阵Φ_d的时间导数，k_b为自适应控制增益更新率的设计参数；由于辅助误差z₃依赖不可测加速度分别对公式和两边积分可以得到 为回归矩阵中_d的二阶时间导数，因此，控制器τ不依赖不可测加速度，即控制器可执行；应用Lyapunov稳定性理论可以证明跟踪控制系统的渐近稳定性。