CN104184379A - 一种直驱电机系统的自调节误差符号积分鲁棒控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种直驱电机系统的自调节误差符号积分鲁棒控制方法。步骤如下：建立直驱电机系统的数学模型；设计自调节误差符号积分鲁棒控制器；运用李雅普诺夫稳定性理论对直驱电机系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果。本发明基于传统的误差符号积分鲁棒控制方法，融合了自适应控制的思想，设计控制器增益自调节律对RISE控制器的积分鲁棒增益取值进行在线调节。本发明有效地解决了传统RISE控制方法存在的符号函数增益调节的随机性、保守性、局限性以及潜在的高增益反馈的问题，获得了更好的跟踪性能。

Description

一种直驱电机系统的自调节误差符号积分鲁棒控制方法

技术领域

本发明涉及机电伺服控制技术领域，特别是一种直驱电机系统的自调节误差符号积分鲁棒控制方法。

背景技术

在现代工业生产中，许多先进的机械设备如数控机床、半导体加工设备及微电子制造设备等都广泛采用直驱电机系统来保证高速和高精度的加工过程。直驱电机(如旋转和直线电机)系统由于消除了与减速齿轮相关的一些机械传动问题如齿隙、强惯性载荷以及结构柔性等，而这些非线性问题都是影响系统性能的主要因素，其存在将会严重恶化控制性能，因此通过对直驱电机系统进行先进的控制器设计可以获得高精度的控制性能。然而，也正是由于缺少减速齿轮的作用，对直驱电机系统进行控制器设计时需要面临许多建模不确定性，如参数不确定性及外负载干扰等不确定性非线性，这些不确定性不再经过减速齿轮而是直接作用于驱动部件，这样同样会严重地恶化控制性能，导致极限环震荡甚至使系统失稳。因此探索先进的控制器设计方法来保证直驱电机系统的高精度控制性能仍是实际工程应用领域的迫切需求。

针对直驱电机系统的的非线性控制问题，许多方法相继被提出。其中自适应控制方法对于处理参数不确定性问题是非常有效的方法，能够获得渐近跟踪的稳态性能。但是对于外负载干扰等不确定性非线性却显得力不从心，当不确定性非线性过大时可能会使系统失稳。而实际的电机系统都存在不确定性非线性，因此自适应控制方法在实际应用中并不能获得高精度的控制性能；作为一种鲁棒控制方法，经典滑模控制可以有效地处理任何有界的建模不确定性，并获得渐近跟踪的稳态性能。但是经典滑模控制所设计的不连续的控制器容易引起滑模面的颤振问题，从而恶化系统的跟踪性能；为了同时解决参数不确定性和不确定性非线性的问题，自适应鲁棒控制方法被提出，该控制方法在两种建模不确定性同时存在的情况下可以使系统获得确定的暂态和稳态性能，如要获得高精度跟踪性能则必须通过提高反馈增益以减小跟踪误差，然而过大的反馈增益将提高闭环系统的频宽，从而可能激发系统的高频动态使系统失稳；误差符号积分鲁棒(RISE)控制方法也可以有效地处理建模不确定性的问题，而且可以获得连续的控制输入和渐近的跟踪性能。但是该控制方法所设计的控制器中的非线性鲁棒增益的取值需要满足一定的条件，该条件跟系统的建模不确定性对时间的一阶导数和二阶导数的上界密切相关。因此该控制方法存在的问题是：在实际工程应用中，系统建模不确定性对时间的一阶导数和二阶导数的界在大多情况下难以获取，因此对于积分鲁棒项中误差符号函数的增益取值只能尽量取大以获得好的控制性能。但是，由于测量噪声的存在，该增益取得过大往往会导致高增益反馈从而造成控制输入的抖振，进而恶化控制性能，甚至引起系统失稳。故往往需要通过反复试验才能确定一个既能避免控制输入抖振又能保证一定的控制性能的增益值，然而这种调节该增益的方法具有一定的随机性和保守性，且只适用于某一种特定的工况，当系统工况发生变化时，所整定的控制器增益可能并不适用，因而传统RISE控制方法具有很大的工程局限性。

发明内容

本发明的目的在于提供一种符号函数增益自动调节、跟踪性能高的直驱电机系统的自调节误差符号积分鲁棒控制方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种直驱电机系统的自调节误差符号积分鲁棒控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立直驱电机系统的数学模型；

步骤2，设计自调节误差符号积分鲁棒控制器；

步骤3，运用李雅普诺夫稳定性理论对直驱电机系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果。

本发明与现有技术相比，其显著优点是：(1)有效地解决了符号函数增益调节的随机性、保守性、局限性以及潜在的高增益反馈的问题；(2)获得了更好的跟踪性能，仿真结果验证了其有效性；(3)可靠稳定，应用前景广阔。

附图说明

图1是本发明直驱电机系统的原理图。

图2是直驱电机系统自调节误差符号积分鲁棒(ARISE)控制方法原理示意图。

图3是系统干扰为f(t)＝10sint(N·m)时本发明所设计的ARISE控制器作用下系统输出对期望指令的跟踪过程示意图。

图4是系统干扰为f(t)＝10sint(N·m)时ARISE控制器作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线图。

图5是系统干扰为f(t)＝10sint(N·m)时本发明所设计的ARISE控制器和传统PID控制器作用下系统的跟踪误差对比曲线图。

图6是系统干扰为f(t)＝10sint(N·m)时ARISE控制器增益β估计值随时间变化的曲线图。

图7是系统干扰为f(t)＝10sint(N·m)时ARISE控制器作用下直驱电机系统控制输入随时间变化的曲线图。

图8是系统干扰为f(t)＝t²(N·m)时ARISE、PID、RISE三种控制器分别作用下系统跟踪误差的对比曲线图。

图9是系统干扰为f(t)＝t²(N·m)时ARISE控制作用下系统跟踪误差随时间变化的曲线图。

图10是系统干扰为f(t)＝t²(N·m)时，在ARISE控制器作用下直驱电机系统的控制输入曲线图。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。

结合图1～2本发明直驱电机系统的自调节误差符号积分鲁棒(ARISE)控制方法，基于传统的误差符号积分鲁棒(RISE)控制方法，融合了自适应控制的思想，设计控制器增益自调节律对RISE控制器的积分鲁棒增益取值进行在线调节，具体包括以下步骤：

步骤1，建立直驱电机系统的数学模型。

(1.1)本发明所考虑的直驱电机系统是通过配有商业电气驱动器的永磁直流电机直接驱动惯性负载。考虑到电磁时间常数比机械时间常数小得多，且电流环速度远大于速度环和位置环的响应速度，故将电流环近似为比例环节，因此，根据牛顿第二定律，直驱电机系统的运动方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{i}u-B\stackrel{\·}{y}+f(t,y,\stackrel{\·}{y})---\left(1\right)$

式(1)中m为惯性负载参数，k_i为力矩放大系数，B为粘性摩擦系数，是其他未建模干扰，y为惯性负载的位移，u为系统的控制输入，t为时间变量；

(1.2)定义状态变量：则式(1)运动方程转化为状态方程：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_2=u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2+d(x,t)---\left(2\right)$

y＝x₁

式(2)中，均为名义值且已知；是系统总的干扰，包括外负载干扰、未建模摩擦、未建模动态、系统实际参数与建模参数的偏离造成的干扰等；f(t,x₁,x₂)即为上述x₁表示惯性负载的位移，x₂表示惯性负载的速度；

为便于控制器设计，假设如下：

假设1：系统总的干扰d(x,t)足够光滑，使得均存在并有界即：

$\left|\stackrel{\·}{d}(x,t)\right|\≤{\mathrm{\δ}}_1,\left|\stackrel{\·\·}{d}(x,t)\right|\≤{\mathrm{\δ}}_2---\left(3\right)$

式(3)中δ₁,δ₂均为未知正常数，即具有不确定的上界。

步骤2，设计自调节误差符号积分鲁棒控制器，步骤如下：

(2.1)定义z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，x_1d是系统期望跟踪的位置指令且该指令二阶连续可微，根据式(2)中的第一个方程选取x₂为虚拟控制，使方程趋于稳定状态；令x_2eq为虚拟控制的期望值，x_2eq与真实状态x2的误差为z₂＝x₂-x_2eq，对z₁求导得：

${\stackrel{\·}{z}}_1=x_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}=z_2+x_{2\mathrm{eq}}-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}---\left(4\right)$

设计虚拟控制律：

$x_{2\mathrm{eq}}={\stackrel{\·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1---\left(5\right)$

式(5)中k₁＞0为可调增益，则

${\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-k_1{z}_1---\left(6\right)$

由于z₁(s)＝G(s)z₂(s)，式中G(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，当z₂趋于0时，z₁也必然趋于0。所以在接下来的设计中，将以使z₂趋于0为主要设计目标。

(2.2)为获得一个额外的控制器设计自由度，定义一个辅助的误差信号r(t)：

$r={\stackrel{\·}{z}}_2+k_2{z}_2---\left(7\right)$

式(7)中k₂＞0为可调增益，由于r(t)中含有位置的加速度信号，因此在实际中认为是不可测量的，即r(t)为辅助设计所用，并不具体出现在所设计的控制器中。

根据式(2)和(7)，有如下r的展开式：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{1}r={\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_2-{\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+k_2{\mathrm{\θ}}_1{z}_2\\ =u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2+d(x,t)-{\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+k_2{\mathrm{\θ}}_1{z}_2\end{array}---\left(8\right)$

根据式(8)，基于模型的控制器设计为：

$\begin{array}{c}u=u_a+u_s,u_a={\mathrm{\θ}}_2{x}_2+{\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}\\ u_s=u_{s1}+u_{s2},u_{s1}=-(k_r+k_2{\mathrm{\θ}}_1)z_2\end{array}---\left(9\right)$

式(9)中k_r为正的反馈增益，u_a为基于模型的补偿项，u_s为鲁棒控制律且其中u_s1为线性鲁棒反馈项，u_s2为非线性鲁棒项用于克服建模不确定性对系统性能的影响，将式(9)代入式(8)中得：

θ₁r＝-k_rz₂+u_s2+d(x,t)      (10)

根据误差符号积分鲁棒控制器设计方法，积分鲁棒项u_s2设计为：

$u_{s2}=-{\∫}_0^t[k_r{k}_2{z}_2+\widehat{\mathrm{\β}}\mathrm{sgn}\left(z_2\right)]\mathrm{d\τ}---\left(11\right)$

式(11)中为控制器增益β的估计值，β满足以下条件：

$\mathrm{\β}\≥{\mathrm{\δ}}_1+\frac{1}{k_2}{\mathrm{\δ}}_2---\left(12\right)$

对式(10)等式两边求导并运用式(7)和(11)得：

${\mathrm{\θ}}_1\stackrel{\·}{r}=-k_{r}r-\widehat{\mathrm{\β}}\mathrm{sgn}\left(z_2\right)+\stackrel{\·}{d}(x,t)---\left(13\right)$

(2.3)基于李雅普诺夫稳定性证明过程，得到的在线参数自调节律：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\β}}}=\mathrm{\Γrsgn}\left(z_2\right)---\left(14\right)$

由于r是不可测得的信号，因此自调节律的等价表示形式如下：

$\begin{array}{c}\widehat{\mathrm{\β}}={\mathrm{\Γz}}_2\mathrm{sgn}\left(z_2\right)+\mathrm{\Γ\ρ}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\ρ}}=k_2{z}_2\mathrm{sgn}\left(z_2\right)\end{array}---\left(15\right)$

式(15)中的Γ是可调的正的自调节律增益，ρ是一个辅助变量，通过引入ρ可使自调节律的计算只需用到位置信号和速度信号而不必用到不可测量的加速度信号。

步骤3，运用李雅普诺夫稳定性理论对直驱电机系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果，具体如下：

先给出如下引理：

定义辅助函数

$L\left(t\right)=r(\stackrel{\·}{d}-\mathrm{\βsgn}\left(z_2\right))---\left(16\right)$

如果控制增益β的选取满足式(12)所示的条件即：

$\mathrm{\β}\≥{\mathrm{\δ}}_1+\frac{1}{k_2}{\mathrm{\δ}}_2$

则

${\∫}_0^{t}L\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}\≤{\mathrm{\ζ}}_b---\left(17\right)$

${\mathrm{\ζ}}_b=\mathrm{\β}\left|z_2\left(0\right)\right|-z_2\left(0\right)\stackrel{\·}{d}\left(0\right)---\left(18\right)$

z₂(0)、分别表示z₂(t)和的初始值。

对该引理的证明：

对式(16)两边积分并运用式(7)得：

${\text{\∫}}_0^{t}L\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}={\text{\∫}}_0^t{k}_2{z}_2(\stackrel{\·}{d}-\mathrm{\βsgn}\left(z_2\right))\mathrm{d\τ}+{\∫}_0^t{\stackrel{\·}{z}}_2\stackrel{\·}{d}\mathrm{d\τ}-{\∫}_0^t{\stackrel{\·}{z}}_2\mathrm{\βsgn}\left(z_2\right)\mathrm{d\ι}---\left(19\right)$

对式(19)中后两项进行分部积分可得：

$\begin{array}{c}{\∫}_0^{t}L\left(\mathrm{\τ}\right)={\∫}_0^t{k}_2{z}_2(\stackrel{\·}{d}-\mathrm{\βsgn}\left(z_2\right))\mathrm{d\τ}+z_2\stackrel{\·}{d}{|}_0^t-{\∫}_0^t{z}_2\stackrel{\·\·}{d}\mathrm{d\τ}-\mathrm{\β}\left|z_2\right|{|}_0^t\\ ={\∫}_0^t{k}_2{z}_2(\stackrel{\·}{d}-\frac{1}{k_2}\stackrel{\·\·}{d}-\mathrm{\βsgn}\left(z_2\right))\mathrm{d\τ}+z_2\stackrel{\·}{d}-z_2\left(0\right)\stackrel{\·}{d}\left(0\right)-\mathrm{\β}\left|z_2\right|+\mathrm{\β}\left|z_2\left(0\right)\right|\end{array}---\left(20\right)$

故

${\∫}_0^{t}L\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}\≤{\∫}_0^t{k}_2\left|z_2\right|\left(\right|\stackrel{\·}{d}|+\frac{1}{k_2}|\stackrel{\·\·}{d}|-\mathrm{\β})\mathrm{d\τ}+\left|z_2\right|(\stackrel{\·}{d}-\mathrm{\β})+\mathrm{\β}\left|z_2\left(0\right)\right|-z_2\left(0\right)\stackrel{\·}{d}\left(0\right)---\left(21\right)$

从式(21)可以看出，若β的选取满足式(12)所示的条件时，有式(17)、(18)成立，即引理得证。

定义辅助函数：

$P\left(t\right)={\mathrm{\ζ}}_b-{\∫}_0^{t}L\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}---\left(22\right)$

根据上述引理证明可知当时，P(t)≥0，因此定义李雅普诺夫函数如下：

$V=\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{1}{2}{z_2}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\θ}}_1{r}^2+P+\frac{1}{2}{\mathrm{\Γ}}^{-1}{\widetilde{\mathrm{\β}}}^2---\left(23\right)$

式(23)中的是β的估计误差。

运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果，因此调节增益k₁、k₂、k_r及Γ使系统的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。对式(23)求导并将式(6)、(7)、(13)、(22)代入可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=z_1(z_2-k_1{z}_1)+z_2(r-k_2{z}_2)+r[{-k}_{r}r-\widehat{\mathrm{\β}}\mathrm{sgn}\left(z_2\right)+\stackrel{\·}{d}]-r[\stackrel{\·}{d}-\mathrm{\βsgn}\left(z_2\right)]+{\mathrm{\Γ}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\β}}\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\β}}}\\ ={-k}_1{z}_1^2-k_2{z}_2^2-k_r{r}^2+z_1{z}_2+z_{2}r-\widetilde{\mathrm{\β}}\mathrm{rsgn}\left(z_2\right)+{\mathrm{\Γ}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\β}}\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\β}}}\\ ={-k}_1{z}_1^2-k_2{z}_2^2-k_r{r}^2+z_1{z}_2+z_{2}r\end{array}---\left(24\right)$

定义：

Z＝[z₁,z₂,r]^T      (25)

$\mathrm{\Λ}=\left[\begin{array}{ccc}{k}_1& -\frac{1}{2}& 0\\ -\frac{1}{2}& k_2& -\frac{1}{2}\\ 0& -\frac{1}{2}& k_r\end{array}\right]---\left(26\right)$

通过调整参数k₁,k₂,k_r可使对称矩阵Λ为正定，则有：

$\stackrel{\·}{V}=-Z^T\mathrm{\ΛZ}\≤-{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(\mathrm{\Λ}\right)(z_1^2+z_2^2+r^2)=-W\≤0---(27)$

式(27)中λ_min(Λ)为对称正定矩阵Λ的最小特征值。

由式(27)可知因此V∈L_∞范数，进而可以得出z₁，z₂，r以及范数。

对式(27)积分可得：

${\∫}_0^{t}W\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}\≤-{\∫}_0^t\stackrel{\·}{V}\left(\mathrm{\τ}\right)\text{d\τ=V}\left(0\right)-V\left(t\right)\≤V\left(0\right)---\left(28\right)$

由式(28)可知z₁，z₂，r∈L₂范数，且根据式(6)、(7)、(13)和假设1可得：范数，因此W是一致连续的，由Barbalat引理可知：t→∞时，W→0。故t→∞时，z₁→0。

因此有结论：针对直驱电机系统设计的自调节误差符号积分鲁棒控制器可以使系统得到全局渐近稳定的结果，调节增益k₁、k₂、k_r及Γ可以使系统的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。直驱电机系统自调节误差符号积分鲁棒(ARISE)控制原理示意图如图2所示。

实施例

为考核所设计的控制器性能，在仿真中取如下参数对直驱电机系统进行建模：

惯性负载参数m＝0.02kg·m²；粘性摩擦系数B＝10N·m·s/rad；力矩放大系数k_i＝5N·m/V；

给定系统的期望指令为x_1d＝sin(t)[1-exp(-0.01t³)](rad)。

根据两种不同的系统工况，将仿真过程分成两部分：

①时变干扰f(t)＝10sint(N·m)时

取如下的控制器以作对比：

自调节误差符号积分鲁棒(ARISE)控制器：取控制器参数k₁＝10，k₂＝1，k_r＝1；自调节律增益Γ＝50。

PID控制器：PID控制器参数的选取步骤是：首先在忽略直驱电机系统非线性动态的情况下，通过Matlab中的PID参数自整定功能获得一组控制器参数，然后在将系统的非线性动态加上后对已获得的自整定参数进行微调使系统获得最佳的跟踪性能。选取的控制器参数为k_P＝2039,k_I＝15716,k_D＝2.8。

ARISE控制器作用下系统输出对期望指令的跟踪、ARISE控制器跟踪误差、ARISE控制器与PID控制器的跟踪误差对比分别如图3，图4和图5所示。由图3和图4可知，在ARISE控制器作用下，直驱电机系统的位置输出对指令的跟踪精度很高，稳态跟踪误差的幅值约为1×10^-6(rad)，从图5中两种控制器的跟踪误差对比可以看出本发明所提出的ARISE控制器的跟踪误差相较于PID控制器要小很多，PID控制器的稳态跟踪误差的幅值约为2.1×10^-4(rad)。

图6是本发明ARISE控制器增益β估计值随时间变化的曲线，从图中可以看出，该增益的初始值虽是人为随意给定的，但是由于自调节律的作用，随着时间的变化该增益值将自动收敛到一个合适的值，因此避免了传统RISE控制器对于该参数调节的随机性和保守性。

图7是系统干扰为f(t)＝10sint(N·m)时ARISE控制器作用下直驱电机系统控制输入随时间变化的曲线图。从图中可以看出，所获得的控制输入是低频连续的信号，更利于在实际应用中的执行。

②时变干扰f(t)＝t²(N·m)时

这是一种极端工况，若所设计的控制方法能够很好地适应此极端工况，则可表明所设计的控制方法可广泛适用于工程实际中的各类工况。由时变干扰的表达式可以看出，干扰值和干扰对时间的一阶导数值是随着时间不断增大的，因此在时间趋于无穷的条件下干扰值和干扰对时间的一阶导数值都是无界的。之所以考虑这种极端情况是因为传统的RISE控制器的积分鲁棒项符号函数增益取值与系统干扰对时间的一阶和二阶导数的界密切相关，从理论上分析，传统的RISE控制器是不能解决这类时变干扰的，因此检验传统RISE控制器的同时也能考核本发明所设计的ARISE控制方法对这类干扰的有效性。

故取如下控制器以作对比：

ARISE控制器：取控制器参数k₁＝100，k₂＝10，k_r＝1；自调节律增益Γ＝200。

RISE控制器：取控制器参数k₁＝100，k₂＝10，k_r＝1；β＝30。

PID控制器：取的控制器参数为k_P＝2039,k_I＝15716,k_D＝2.8。

图8为三种不同控制器作用下的跟踪误差对比，从图中可以看出PID控制器根本无法抑制这种时变干扰，系统的跟踪误差随着时间的增加而增加，处于发散的状态；在RISE控制器的作用下，大约75s之前对干扰的抑制作用很明显，系统的跟踪误差在零附近小范围内变化，在75s之后呈发散的状态。这样的仿真结果与理论分析是相符的，在75s之前由于时变干扰对时间的一阶导数的界存在且不是很大，时变干扰对时间的二阶导数为零，给定的β＝30满足条件：因此对干扰抑制作用明显，跟踪误差较小。但是超过75s之后，干扰对时间的一阶导数值不断增大使上述条件不再满足，此时RISE控制器对干扰已无法抑制，系统跟踪误差陡增直至发散；而对于ARISE控制器，虽然干扰对时间的一阶导数值随时间不断增大，但是由于在线自调节律的作用，增益β的估计值也会相应地增加以增强控制器非线性鲁棒项对干扰的鲁棒性，因此正如图8所示，ARISE控制器依然可以得到确定的稳态性能，如图9所示稳态跟踪误差的幅值约为2×10^-4(rad)。

图10是时变干扰为f(t)＝t²(N·m)时，在ARISE控制器作用下直驱电机系统的控制输入。由于干扰值随时间呈抛物线式增加，在自调节律的作用下非线性鲁棒项将占控制输入的绝大部分且幅值随时间呈抛物线式增加，这与图10所示的控制输入曲线相符。

综上所述，本发明直驱电机系统的自调节误差符号积分鲁棒控制方法有效地解决了传统RISE控制方法存在的符号函数增益调节的随机性、保守性、局限性以及潜在的高增益反馈的问题，获得了更好的跟踪性能。

Claims (4)

1.一种直驱电机系统的自调节误差符号积分鲁棒控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立直驱电机系统的数学模型；

步骤2，设计自调节误差符号积分鲁棒控制器；

步骤3，运用李雅普诺夫稳定性理论对直驱电机系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果。

2.根据权利要求1所述的直驱电机系统的自调节误差符号积分鲁棒控制方法，其特征在于，步骤1所述建立直驱电机系统的数学模型，具体如下：

(1.1)将电流环近似为比例环节，根据牛顿第二定律，直驱电机系统的运动方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{i}u-B\stackrel{\·}{y}+f(t,y,\stackrel{\·}{y})---\left(1\right)$

式(1)中，m为惯性负载参数，k_i为力矩放大系数，B为粘性摩擦系数，是未建模干扰，y为惯性负载的位移，u为系统的控制输入，t为时间变量；

(1.2)定义状态变量：则式(1)运动方程转化为状态方程：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_2=u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2+d(x,t)---\left(2\right)$

y＝x₁

式(2)中，均为名义值且已知，是系统总的干扰，f(t,x₁,x₂)即为上述x₁表示惯性负载的位移，x₂表示惯性负载的速度；

为便于控制器设计，假设系统总的干扰d(x,t)足够光滑，使得均存在并有界即：

$\left|\stackrel{\·}{d}(x,t)\right|\≤{\mathrm{\δ}}_1,\left|\stackrel{\·\·}{d}(x,t)\right|\≤{\mathrm{\δ}}_2---\left(3\right)$

式(3)中δ₁,δ₂均为未知正常数，即具有不确定的上界。

3.根据权利要求1所述的直驱电机系统的自调节误差符号积分鲁棒控制方法，其特征在于，步骤2所述设计自调节误差符号积分鲁棒控制器，步骤如下：

(2.1)定义z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，x_1d是系统期望跟踪的位置指令且该指令二阶连续可微，根据式(2)中的第一个方程选取x₂为虚拟控制，使方程趋于稳定状态；令x_2eq为虚拟控制的期望值，x_2eq与真实状态x₂的误差为z₂＝x₂-x_2eq，对z₁求导得：

${\stackrel{\·}{z}}_1=x_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}=z_2+x_{2\mathrm{eq}}-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}---\left(4\right)$

设计虚拟控制律：

$x_{2\mathrm{eq}}={\stackrel{\·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1---\left(5\right)$

式(5)中k₁＞0为可调增益，则

${\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-k_1{z}_1---\left(6\right)$

由于z₁(s)＝G(s)z₂(s)，式中G(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，当z₂趋于0时，z₁也必然趋于0；

(2.2)为获得一个额外的控制器设计自由度，定义一个辅助的误差信号r(t)：

$r={\stackrel{\·}{z}}_2+k_2{z}_2---\left(7\right)$

式(7)中k₂＞0为可调增益；

根据式(2)和(7)，有如下r的展开式：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{1}r={\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_2-{\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+k_2{\mathrm{\θ}}_1{z}_2\\ =u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2+d(x,t)-{\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+k_2{\mathrm{\θ}}_1{z}_2\end{array}---\left(8\right)$

根据式(8)，基于模型的控制器设计为：

$\begin{array}{c}u=u_a+u_s,u_a={\mathrm{\θ}}_2{x}_2+{\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_{2\mathrm{eq}}\\ u_s=u_{s1}+u_{s2},u_{s1}=-(k_r+k_2{\mathrm{\θ}}_1)z_2\end{array}---\left(9\right)$

式(9)中k_r为正的反馈增益，u_a为基于模型的补偿项，u_s为鲁棒控制律且其中u_s1为线性鲁棒反馈项，u_s2为非线性鲁棒项，将式(9)代入式(8)中得：

θ₁r＝-k_rz₂+u_s2+d(x,t)      (10)

根据误差符号积分鲁棒控制器设计方法，积分鲁棒项u_s2设计为：

$u_{s2}=-{\∫}_0^t[k_r{k}_2{z}_2+\widehat{\mathrm{\β}}\mathrm{sgn}\left(z_2\right)]\mathrm{d\τ}---\left(11\right)$

式(11)中为控制器增益β的估计值，β满足以下条件：

$\mathrm{\β}\≥{\mathrm{\δ}}_1+\frac{1}{k_2}{\mathrm{\δ}}_2---\left(12\right)$

对式(10)等式两边求导并运用式(7)和(11)得：

${\mathrm{\θ}}_1\stackrel{\·}{r}=-k_{r}r-\widehat{\mathrm{\β}}\mathrm{sgn}\left(z_2\right)+\stackrel{\·}{d}(x,t)---\left(13\right)$

(2.3)基于李雅普诺夫稳定性证明过程，得到的在线参数自调节律：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\β}}}=\mathrm{\Γrsgn}\left(z_2\right)---\left(14\right)$

由于r是不可测得的信号，因此自调节律的等价表示形式如下：

$\begin{array}{c}\widehat{\mathrm{\β}}={\mathrm{\Γz}}_2\mathrm{sgn}\left(z_2\right)+\mathrm{\Γ\ρ}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\ρ}}=k_2{z}_2\mathrm{sgn}\left(z_2\right)\end{array}---\left(15\right)$

式(15)中的Γ是可调的正的自调节律增益，ρ是辅助变量。

4.根据权利要求1所述的直驱电机系统的自调节误差符号积分鲁棒控制方法，其特征在于，步骤3所述运用李雅普诺夫稳定性理论对直驱电机系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果，具体如下：

定义辅助函数

$L\left(t\right)=r(\stackrel{\·}{d}-\mathrm{\βsgn}\left(z_2\right))---\left(16\right)$

$P\left(t\right)={\mathrm{\ζ}}_b-{\∫}_0^{t}L\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}---\left(17\right)$

其中：

${\mathrm{\ζ}}_b=\mathrm{\β}\left|z_2\left(0\right)\right|-z_2\left(0\right)\stackrel{\·}{d}\left(0\right)---\left(18\right)$

z₂(0)、分别表示z₂(t)和的初始值；

经证明当时，P(t)≥0，因此定义李雅普诺夫函数如下：

$V=\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{1}{2}{z_2}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\θ}}_1{r}^2+P+\frac{1}{2}{\mathrm{\Γ}}^{-1}{\widetilde{\mathrm{\β}}}^2---\left(19\right)$

式(19)中的是β的估计误差；

运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果，因此调节增益k₁、k₂、k_r及Γ使系统的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。