CN108445766B - 基于rpd-smc和rise的无模型四旋翼无人机轨迹跟踪控制器及方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于RPD‑SMC和RISE的无模型四旋翼无人机轨迹跟踪控制器及方法，设计了RPD‑SMC控制器。该控制器结合了比例微分‑滑模(PD‑SMC)控制器的优点以及径向基神经网络(RBFNN)的对任意函数在线估计能力。通过引入自适应RBFNN前馈，对扰动及未知动态进行估计并补偿，使PD‑SMC控制器的控制参数选择更加合理，进而减小了控制量，达到节约电能的目的。针对内环控制系统，设计了基于鲁棒误差符号积分(RISE)控制器。RISE控制器能够保证姿态角度快速收敛并对扰动具有强鲁棒性。本发明有益效果：李雅普诺夫稳定性定理分别证明了内环和外环子系统的稳定性。仿真实验结果证明了本发明所提控制器的有效性。

Description

基于RPD-SMC和RISE的无模型四旋翼无人机轨迹跟踪控制器 及方法

技术领域

本发明涉及四旋翼无人机轨迹跟踪控制技术领域，尤其涉及一种基于RPD-SMC和RISE的无模型四旋翼无人机轨迹跟踪控制器及方法。

背景技术

四旋翼无人机是一种可以进行垂直起降的无人飞行器。与传统的直升机相比，四旋翼无人机具有结构简单，机动性高以及载重能力强等优点。近年来，四旋翼无人机在农业，监测，救援等领域得到了广泛应用并且受到了学术界和产业界的关注。然而，四旋翼无人机的控制仍然是棘手的难题。

第一，四旋翼无人机系统是开环不稳定的，因此对控制器的响应速度以及控制域有较高的要求。

第二，四旋翼无人机是典型的欠驱动非线性系统，这一特点导致了系统变量之间存在强耦合。

第三，四旋翼无人机极易受到外部扰动例如摩擦，风力等以及模型不确定性的影响。

针对以上控制问题，国内外研究人员设计了多种控制器对四旋翼无人机进行控制。其中，比例微分(PD)控制器，比例积分微分(PID)控制器和线性二次型最优控制器(LQR)是最常见也是应用最广泛的三种线性控制器。但是，此类线性控制器控制域小，并且处理耦合变量的能力有限。

非线性控制方法能够克服线性控制方法的缺点，并且，当四旋翼无人机进行高机动飞行或者在复杂环境下执行飞行任务时，非线性控制器能够取得极好的控制效果。滑模控制(SMC)作为设计非线性系统控制律有力工具，在四旋翼无人机跟踪控制方面有广泛的应用。例如，现有技术提出了滑模控制器，该控制器能够使四旋翼无人机跟踪期望位置和航向角轨迹。现有技术设计了三种高阶滑模控制器，并通过试验证明了控制器在四旋翼无人机高度跟踪控制方面的有效性。

滑模控制算法能够较好地补偿外部扰动以及不确定动态，并取得良好的控制效果。但是，当四旋翼的模型参数以及扰动和不确定动态的上界的准确信息无法得到时，滑模控制的控制效果就大打折扣。并且，四旋翼无人机模型参数例如质量，转动惯量等的测量是一项复杂的工作，不仅需要专业的设备还需要进重复实验来保证测量的精确度。此外，扰动以及不确定动态的上界通常是未知的并且难以确定其准确值。

针对参数未知情况下滑模控制难以应用的问题，现有技术设计了自适应滑模控制器来实现四旋翼无人机三维轨迹跟踪控制。在自适应滑模控制器中，作者设计了相应的自适应律对不同的未知模型参数进行在线估计。此外，现有技术分别将神经网络，模糊逻辑等方法与滑模控制结合，解决了参数未知情况下的滑模控制应用问题，并提高了滑模控制器的性能。但是，由于四旋翼无人机板载硬件计算能力有限，难以应用上述复杂的控制算法。

在实际应用中，通常要求四旋翼无人机控制器结构简单，易于工程实现并且鲁棒性强。综合以上要求，现有技术提出的PD-SMC控制器，在PD-SMC控制器中，PD控制器取代了SMC控制器中的等效部分(equivalent part)，从而解决了模型参数未知情况下，SMC控制的应用问题。此外，SMC控制器的切换部分(switching part)用来提供鲁棒性来补偿扰动和不确定动态等。控制器的特殊结构使得PD-SMC兼具PD控制和SMC控制的优点。但是，由于扰动和未知动态的上界难以确定，导致PD-SMC的参数选择过大，从而造成了控制器输出的控制信号不合理，浪费电力资源。此外，该PD-SMC对时不变扰动的补偿能力有限。

发明内容

本发明的目的就是为了解决上述问题，提出了基于RPD-SMC和RISE的无模型四旋翼无人机轨迹跟踪控制器及方法，该系统级方法针对PD-SMC存在的问题，引入自适应径向基神经网络并提出了新型的RPD-SMC控制器。该控制器利用自适应径向基神经网络的在线估计对未知动态以及扰动进行在线估计。通过利用估计信息，使控制器参数选择更加合理从而减小了补偿未知动态所需的控制量，节约了电力资源。对于内环系统，考虑到现有的SMC控制器的输出为非连续信号会导致抖振现象，设计了基于RISE方法的姿态控制器。该控制器在保证控制信号为连续信号的前提下，对外部扰动也具有很强的鲁棒性。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

本发明的第一目的是公开一种基于RPD-SMC和RISE的无模型四旋翼无人机轨迹跟踪控制器，包括：外环位置控制器和内环姿态控制器；所述外环控制器基于RPD-SMC算法，利用自适应径向基神经网络的渐近估计能力来对扰动和不确定动态进行补偿，具体为：

其中，E、

分别为跟踪误差及其导数，K_p、K_d、H和Γ均为正定增益矩阵，

为P的径向基神经网络估计值，P表示系统的不确定动态，包括参数不确定性和扰动。

进一步地，内环姿态控制器基于RISE控制方法，具体为：

其中，K_s、β均为控制增益矩阵，I_3×3I为3阶单位矩阵，α为正定增益矩阵，τ为内环控制的输入；e_η2(0)为姿态跟踪滤波误差的初始值，e_η2(t)、e_η2(τ)为姿态跟踪滤波误差。

本发明的第二目的是公开一种基于RPD-SMC和RISE的无模型四旋翼无人机轨迹跟踪控制器的设计方法，包括以下步骤：

确定四旋翼无人机的动态模型；

所述外环位置控制器的控制目标是以设计相应的外环虚拟控制输入，在存在不确定动态和扰动的情况下，使位置跟踪误差渐进收敛于零为控制目标，基于RPD-SMC控制算法，利用自适应径向基神经网络的渐近估计能力来对扰动和不确定动态进行补偿，设计外环位置控制器；

所述内环姿态控制器的控制目标是以设计适当的内环控制输入来保证姿态跟踪误差收敛于零为控制目标，基于RISE控制算法设计内环姿态控制器。

进一步地，定义虚拟控制输入v＝[v₁,v₂,v₃]^T，根据所述虚拟控制输入确定四旋翼无人机的动态模型具体为：

m是四旋翼无人机的质量，

为四旋翼无人机的加速度，g为重力加速度，e＝[0，0，1]^T,Δ_ξ、Δ_η分别表示未知动态，d_ξ、d_η分别表示作用于四旋翼无人机外环和内环系统的扰动，J为转动惯量矩阵，τ为内环控制的输入，

为四旋翼无人机角加速度。

进一步地，所述虚拟控制输入v具体为：

其中，φ为滚转角，θ为俯仰角，ψ为航向角，u为总拉力；c·和s·分别表示cos(·)，sin(·)。

进一步地，所述利用自适应径向基神经网络的渐近估计能力来对扰动和不确定动态进行补偿，具体为：

定义跟踪误差E以及其导数

假设P为系统的不确定动态，包括参数不确定性和扰动；存在一个理想的RBFNN来对P进行估计：

P＝(W^*)^TΦ(X_in)+ε

得到自适应RBFNN的估计值：

其中，ε为有界估计误差，W^*表示最优权重矩阵，为自适应权重矩阵、X_in为径向基神经网络的输入、Φ(X_in)为激活函数向量。

进一步地，所述外环位置控制器具体为：

其中，E、

分别为跟踪误差及其导数，K_p、K_d、H和Γ均为正定增益矩阵，

为P的径向基神经网络估计值，P表示系统的不确定动态，包括参数不确定性和扰动。

进一步地，根据姿态角和期望姿态角，定义姿态跟踪误差e_η1及其滤波信号e_η2、e_η3；

设计内环姿态控制器具体为：

其中，K_s、β均为控制增益矩阵，I_3×3I为3阶单位矩阵，α为正定增益矩阵，τ为内环控制的输入；e_η2(0)为姿态跟踪滤波误差的初始值，e_η2(t)、e_η2(τ)为姿态跟踪滤波误差。

本发明的有益效果是：

第一，与其他非线性控制器相比，本发明提出的RPD-SMC+RISE控制系统具有结构简单，无需模型信息，精度高等优点。

第二，外环RPD-SMC控制器和内环RISE控制器的控制信号仅仅与各自的跟踪误差有关，无需复杂计算。此外，本发明选用了自适应径向基神经网络对扰动和不确定动态进行估计，该神经网络结构简单，并且估计过程中仅需对权重矩阵进行更新计算。通过引入径向基神经网络，使控制器参数选择更加合理，从而减小补偿不确定动态所需的控制量，达到节约能源的目的。以上特点使得RPD-SMC+RISE控制系统对四旋翼无人机硬件配置要求大大降低。

第三，本发明所设计的控制系统输出的控制信号均为连续信号，并且控制器的控制域较大，鲁棒性强，控制量大小合理，因此该控制系统易于工程实现。

附图说明

图1为四旋翼无人机结构示意图；

图2为控制系统框架图；

图3为径向基神经网络结构示意图；

图4为外环RPD-SMC控制器示意图；

图5为内环RISE控制器结构示意图；

图6为空间螺旋线轨迹跟踪结果；

图7为轨迹跟踪误差示意图；

图8为姿态跟踪误差示意图；

图9为控制输入示意图；

图10为8-字形轨迹跟踪结果示意图；

图11为阵风影响下位置跟踪误差示意图；

图12为阵风影响下姿态跟踪误差示意图；

图13为高斯白噪声示意图；

图14为高斯噪声影响下轨迹跟踪结果示意图；

图15为位置跟踪误差示意图；

图16为姿态跟踪误差示意图。

具体实施方式：

下面结合附图与实例对本发明做进一步说明：

1模型及控制问题描述

1.1四旋翼无人机模型描述

如图1所示，四旋翼无人机是由4个螺旋桨以及一个交叉连杆组成。4个螺旋桨按照旋转方向可更为两组：螺旋桨1和螺旋桨3绕逆时针方向旋转，螺旋桨2和螺旋桨4绕顺时针方向旋转。四旋翼无人机具有6个自由度，但是只有4个独立输入，是典型的欠驱动系统。

1.1.1运动学方程

如图1所示，四旋翼无人机运动学方程的描述需要用到两个坐标系，即：惯性坐标系(O_e-x_ey_ez_e)和机体坐标系(O_b-x_by_bz_b)。在机体坐标系(O_b-x_by_bz_b)中，假设坐标系的原点位于四旋翼无人机的质心，x_b轴和y_b轴分别指向螺旋桨1和2的中心。z_b正方向为垂直于x_b-y_b平面向上。四旋翼无人机在惯性坐标系中的位置和姿态用ξ＝[x,y,z]^T和η＝[φ,θ,ψ]^T来表示。其中x，y和z分别表示四旋翼无人机质心的三维位置坐标，φ，θ和ψ分别表示四旋翼无人机的滚转角，俯仰角以及航向角。令

和Ω＝[Ω₁,Ω₂,Ω₃]^T分别表示四旋翼无人机在机体坐标系下的线速度和角速度。那么，四旋翼无人机的运动学方程可以描述为

其中R_t和R_r为描述(O_e-x_ey_ez_e)和(O_b-x_by_bz_b)之间转换关系的平移矩阵和旋转矩阵。其具体定义如下：

式中c·和s·分别表示cos(·)，sin(·)。

1.1.2动力学方程

本发明在考虑存在模型未知动态以及扰动例如摩擦，风扰等的情况下，提出了四旋翼无人机的动力学方程。在建立动力学模型之前，需要对四旋翼无人机模型进行如下合理假设：

四旋翼无人机为刚体结构，并且质量分布均匀。

四旋翼无人机的四个电机和控制器四个螺旋桨均为刚体，并且分别具有相同的特性参数。

根据运动学分析并应用牛顿-欧拉公式，四旋翼无人机的动力学模型可描述为：

其中，e＝[0,0,1]^T。m是四旋翼无人机的质量。ξ表示四旋翼无人机的位置。和分别为四旋翼无人机的速度和加速度。g为重力加速度。

表示未知动态，本发明假设K_ξ，K_η为正的未知常数。d_ξ＝[d_ξ1,d_ξ2,d_ξ3]^T和d_η＝[d_η1,d_η2,d_η3]^T分别表示作用于四旋翼无人机外环和内环系统的扰动。

J＝diag[J₁,J₂,J₃]^T为转动惯量矩阵，J₁，J₂，和J₃分别表示沿x_b，y_b和z_b坐标轴的转动惯量。u是四个螺旋桨提供的总升力。τ＝[τ₁,τ₂,τ₃]^T为内环控制输入，其中τ₁，τ₂，和τ₃表示旋转扭矩。

控制输入u,τ₁,τ₂和τ₃与螺旋桨产生的拉力(f_i,i＝1,2,3,4)之间的关系为：

其中，l为四旋翼无人机质心到电机轴的距离。k_c为力-力矩比例常数。拉力f_i(i＝1,2,3,4)与螺旋桨转速的平方成正比：

k_T为拉力系数，其值取决于螺旋桨特性。ω_i(i＝1,2,3,4)表示第i个螺旋桨的转速。

注1.滚转角φ，俯仰角θ和航向角ψ的范围为

ψ∈(-π,π).

假设1.扰动d_ξ和d_η均有界。四旋翼无人机的质量m以及转动惯量J_i(i＝1,2,3)均为正的常数。

1.2控制问题描述

四旋翼无人机跟踪控制目标是设计控制输入u和τ_i(i＝1,2,3)，使得四旋翼无人机能够准确跟踪时变的期望轨迹[x_d,y_d,z_d,φ_d,θ_d,ψ_d]^T。然而，四旋翼无人机是一个欠驱动系统，因此无法通过四个输入[u,τ₁,τ₂,τ₃]^T来控制六个输出

为了解决系统的欠驱动部分，本发明定义了虚拟控制输入v＝[v₁,v₂,v₃]^T：

在物理意义上来讲，虚拟控制输入的引入意味着四旋翼无人机的平移运动是通过u，φ，θ和ψ间接控制的。通过人为设置期望航向角ψ_d(t)并根据式，可以得到总拉力u以及期望滚转角φ_d和期望俯仰角θ_d：

将虚拟控制输入v＝[v₁,v₂,v₃]^T代入(4)，那么四旋翼无人机的动态模型变为：

令ξ_d(t)＝[x_d,y_d,z_d]^T表示期望三维位置，η_d(t)＝[φ_d,θ_d,ψ_d]^T表示期望姿态角，并定义位置和姿态跟踪误差如下：

那么，四旋翼无人机轨迹跟踪控制问题可描述为：给出四旋翼无人机动力学模型(9)，期望位置轨迹ξ_d(t)和期望航向角ψ_d(t)，设计相应的控制输入v，τ使跟踪误差E_ξ和E_η渐近收敛于零。

注2.期望位置轨迹ξ_d(t)的一阶导和二阶导以及期望航向角ψ_d(t)的一阶，二阶和三阶导均为本性有界函数。

2.控制器设计

本节介绍了内环和外环控制器的设计。为了解决外环系统的参数不确定性问题，本发明提出了RPD-SMC控制器，同时，为内环系统设计了RISE控制器来实现扰动抑制。控制系统的框架如图2所示。图2中,ξ_d,

分别表示期望位置，期望速度以及期望加速度。φ_d，θ_d，ψ_d表示期望姿态角。

为期望姿态角速度。ξ＝[x,y,z]^T和η＝[φ,θ,ψ]^T分别为四旋翼无人机的位置和姿态角。

和

分别为四旋翼无人机的速度和角速度。

2.1基于RPD-SMC的外环控制器设计

本节控制目标为设计相应的外环虚拟控制输入v，在存在不确定动态和扰动的情况下，使位置跟踪误差E_ξ(10)渐进收敛于零。

根据式(9)，外环子系统可表示为：

式中，A＝diag(m,m,m)，m为质量，B＝diag(K_ξ,K_ξ,K_ξ)，K_ξ为未知常数.C＝[0,0,mg]^T为重力向量。D＝[d_ξ1,d_ξ2,d_ξ3]^T为有界扰动。X＝[x,y,z]^T为系统状态变量.U＝[v₁,v₂,v₃]^T为系统控制输入。

令X_d＝[x_d,y_d,z_d]^T为期望轨迹。定义跟踪误差E以及其以及其导数

如下：

E＝X_d-X (13)

注3.Ouyang等人提出了PD-SMC控制器如下：

式中，K_p＝diag(K_p1,K_p2,K_p3),K_d＝diag(K_d1,K_d2,K_d3),H＝diag(H₁,H₂,H₃)以及Γ＝diag(Γ₁,Γ₂,Γ₃)均为正定增益矩阵。可以看出，PD控制器替代了SMC控制器的滑模部分，并且SMC控制器的切换部分用来补偿扰动和模型不确定部分。然而，扰动以及不确定部分的上界无法轻易获得。为了较好地补偿扰动和模型不确定性，保守地选择了控制增益H，这就导致所需的控制量U变大。此外，PD-SMC对时不变扰动的补偿能力较弱。

针对上述问题，本发明引入自适应径向基神经网络(RBFNN)，并提出了新型RPD-SMC控制器。在该RPD-SMC控制器中，利用自适应径向基神经网络的渐近估计能力来对扰动和不确定动态进行补偿，从而合理地减小了控制增益H，同时提高了系统对时不变扰动的补偿能力。在描述RPD-SMC控制器设计之前，首先对自适应RBFNN的结构及性质进行了描述，以便后面引用。

2.1.1径向基神经网络(RBFNN)

如图3所示，径向基神经网络是三层结构的神经网络。其三层结构分别为：输入层，隐层，输出层。假设径向基神经网络的输入X_in＝[x₁,x₂...x_M]^T和输出Y_ou＝[y₁,y₂...y_N]^T均为实数，那么，输出可表示为：

Y_ou＝W^TΦ(X_in) (16)

其中，

为权重矩阵。J和N分别表示隐层和输出层神经元的数量。Φ(X_in)＝[Φ₁(X_in,c₁),Φ₂(X_in,c₂)...Φ_J(X_in,c_J)]^T为激活函数向量，Φ_j(X_in,c_j)(j＝1,2...J)为激活函数。径向基神经网络中常用的激活函数为高斯函数，表示如下：

c_j表示第j个神经元的中心。σ为高斯函数宽度。

引理1.假设f(x)为定义在紧集ο上的连续函数。对于任意ε＞0，存在式(16)形式的RBFNN使得估计误差一致有界：

2.1.2 RPD-SMC控制器设计

根据(13)-(15)中跟踪误差的定义，四旋翼无人机平移运动模型(12)可以表示为跟踪误差形式：

其中，

表示系统的不确定动态，包括参数不确定性，扰动等。根据假设3和注2可得P是有界的。根据引理1，存在一个理想的RBFNN来对P进行估计：

P＝(W^*)^TΦ(X_in)+ε (20)

ε为有界估计误差，W^*表示最优权重矩阵。相应地，如图4所示，自适应RBFNN可表示为：

权重矩阵的自适应更新率为：

λ＝diag(λ₁,λ₂,λ₃)，Γ＝diag(Γ₁,Γ₂,Γ₃)均为正定增益矩阵。自适应RBFNN的输入为：

利用(21)，RPD-SMC控制器设计如下：

K_p＝diag(K_p1,K_p2,K_p3),K_d＝diag(K_d1,K_d2,K_d3),H＝diag(H₁,H₂,H₃)以及Γ＝diag(Γ₁,Γ₂,Γ₃)均为正定增益矩阵。

为P的估计值。

引理2.假设对称矩阵M如下：

M₁，M₂，M₃为常数矩阵。矩阵M₁的舒尔补(Schur complement)S为：

S＝C-B^TA^-1B (26)

那么，当且仅当M₁和S都是正定矩阵时，L为正定矩阵。

定理1.四旋翼无人机平移运动模型如式所示，若控制参数满足

其中λ_m(·)和λ_M(·)分别表示矩阵的最小和最大特征值，ε_max表示向量ε中的最大元素。那么在存在扰动以及不确定动态的情况下，式(24)中给出的控制律能够保证，跟踪误差E和

渐进收敛于零。

证明：为了证明RPD-SMC外环控制系统的稳定性，首先定义矩阵L如下：

根据引理2以及λ_m(K_p)＞λ_M(Γ²A)可知，L为正定矩阵。

选取李雅普诺夫函数如下：

其中

由引理2可知，该李雅普诺夫函数V为正。将式(24)代入(19)，可得

式中且根据(20)和(21)可得：

对李雅普诺夫函数进行微分，并将式(22)，(30)(31)代入，可得

若控制器参数满足λ_m(B+K_d)＞λ_M(ΓA)，λ_m(H)＞ε_max，则有：

即

综上所述，李雅普诺夫函数V为正，且其导数为负，由李雅普诺夫稳定性定理可知外环控制系统是稳定的，跟踪误差E_ξ渐进收敛于零。

注4.在PD-SMC控制器中，控制增益H必须大于系统不确定动态P的上界才能保证系统的稳定。在本发明中，通过引入RBFNN前馈项

控制增益H只需满足λ_m(H)＞ε_max，因此，大大减小了补偿不确定动态所需的控制增益H，从而相应地减小控制量，达到节约能源的目的。此外，从式(24)中可以看出，本发明所设计的RPD-SMC控制器仅与跟踪误差E及其导数

以及期望信号X_d,

等有关，因此，RPD-SMC控制器是不依赖于模型的。

注5.为了消除RPD-SMC存在的抖振现象，本发明使用饱和函数tanh(·)代替了符号函数sign(·)。那么式(24)的控制律就变为：

2.2基于RISE的内环控制器设计

本节的控制目标是设计适当的内环控制输入τ来保证姿态跟踪误差E_η收敛于零。本发明基于RISE控制方法设计了姿态跟踪控制器。该控制器特点是控制输入信号为连续的并且对扰动具有较强的鲁棒性。RISE控制器的结构如图5所示。

四旋翼无人机内环动态模型可表示为：

其中，K_η为未知常数。J＝diag[J₁,J₂,J₃]^T为转动惯量矩阵，J₁，J₂，和J₃分别表示各坐标轴的转动惯量。d_η＝[d_η1,d_η2,d_η3]^T表示扰动，τ＝[τ₁,τ₂,τ₃]^T为控制输入。

姿态跟踪误差e_η1及其滤波信号e_η2,e_η3定义如下：

e_η1＝η_d-η (38)

κ＝diag(κ₁,κ₂,κ₃),α＝diag(α₁,α₂,α₃)为正定增益矩阵，且满足

定义三个辅助函数N(t)，N_d(t)，

如下：

根据注2可知，N_d(t)，N(t)有界，那么也有界：

其中，T＝[e_η1,e_η2,e_η3]^T为误差向量，ρ为正的常数。‖·‖表示2-范数

RISE内环控制器设计如下：

K_s＝diag(K_s1,K_s2,K_s3),β＝diag(β₁,β₂,β₃)控制增益矩阵。I_3×3为三阶单位矩阵。

注6.式(45)所设计的控制律仅与e_η2有关，因此，该控制律是不依赖于模型的。此外，由于e_η2(t)-e_η2(0)，

均为连续信号，因此该控制律也是连续的。

引理3.定义函数Q(t)如下：

Q(t)＝e_η3 ^T(N_d(t)-βsign(e_η2)) (46)

当参数β＝diag(β₁,β₂,β₃)满足如下条件时

有

其中，

为正的常数。‖·‖_∞表示无穷范数。

证明：将式(40)代入(46)可得，

那么，

的某一上界可表示为：

如果β_i满足式(47)中条件，则有

即：

定理2.给出内环控制系统模型(37)，并假设控制参数β_i满足式(47)中条件，那么式(45)中的控制律能够保证系统局部指数，跟踪误差E_η收敛于零。

证明：定义李雅普诺夫函数如下：

其中，函数σ(t)定义如下

根据引理3可知，σ(t)≥0。因此，式(53)定义的李雅普诺夫函数为正。

李雅普诺夫函数V(T,t)关于时间的导数为：

将式(41)-(43)及(45)代入(37)，可得：

将式(38)-(40)以及(56)代入(55)可得：

由式(46)中Q(t)的定义可知[e_η3 ^T(N_d(t)-βsign(e_η2))-Q(t)]＝0。再利用式(44)以及不等式可得：

即，对于

其中，δ和

的定义为 为某正的常数。

综上所述，V(T,t)＞0，

根据李雅普诺夫稳定性定理，内环系统稳定，E_η指数收敛于零。

3.仿真结果

本节给出了在不同情况下四旋翼无人机的轨迹跟踪控制结果。通过与PD，PID，PD-SMC等控制器的轨迹跟踪控制效果作对比，证明了本发明提出的控制器的优越性能。

仿真实验所用的四旋翼无人机参数如表1所示。未知动态

PD，PID，PD-SMC以及本发明所提出的RPD-SMC+RISE的控制器参数如表2所示。自适应RBFNN参数为λ＝diag(1.2,1.2,1.5)，

c_i＝[-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5]，σ＝5。

表1.四旋翼无人机模型参数

表2.控制器参数

例1.本例中，期望轨迹为空间螺旋线：

x_d＝2sin(0.2t)m,y_d＝2cos(0.2t)m

z_d＝0.2t m,ψ_d＝0rad

四旋翼无人机的初始状态为：ξ₀＝[0,2,0](m),η₀＝[0,0,0](rad)。扰动为：

其中d_S1＝0.2sin(2t+5),d_S2＝0.2sin(1.5t+5),d_D1＝2,d_D2＝1.

图6和图7分别为轨迹跟踪结果以及位置跟踪误差。从图6和图7可以看出，由于缺少积分项，PD控制器无法对重力和时不变扰动进行有效地补偿，导致了四旋翼无人机在PD控制器下无法跟踪上期望轨迹。PD-SMC可以在一定程度上克服PD控制器的缺点，但是仍然存在静态误差。相比之下，本发明提出的RPD-SMC外环控制器取得了极好的控制效果。具体表现为，在同样的扰动影响下，RPD-SMC的跟踪误差远小于PD和PD-SMC控制器的跟踪误差，并且RPD-SMC较好地补偿了时不变扰动以及重力作用，消除了静态误差，从而克服了PD和PD-SMC控制器的缺点。

四旋翼无人机姿态跟踪误差如图8所示。从图中可以看出，本发明设计的RISE内环控制器具有良好的跟踪性能并且对扰动具有较强的的鲁棒性。与常见的PID控制器相比，RISE控制器在调节时间和跟踪精度方面有明显的优势。

最后，总升力u以及旋转扭矩τ₁,τ₂,τ₃大小如图9所示。从图中可以看出四个控制输入均为连续信号，不仅避免了抖振现象而且而且易于物理实现。

例2.本利假设四旋翼无人机处于盘旋状态，并在X-Y平面内对8字形期望轨迹进行跟踪。期望轨迹表示为：

x_d＝2(1-cos(0.2t))m,y_d＝sin(0.4t)m,ψ_d＝0rad

四旋翼无人机的初始位置及姿态角为ξ₀＝[0.5,0.5,5](m)，η₀＝[0,0,0](rad)。此外，本例考虑到四旋翼无人机飞行过程中可能会受到阵风的影响，遂利用高斯函数模拟阵风作用，来验证本发明所设计的RPD-SMC+RISE控制器对风扰的鲁棒性。扰动信号如下所示：

由图10和图11的位置跟踪结果以及跟踪误差可以看出，虽然四旋翼无人机的初始位置远离期望轨迹，但是本发明提出的RPD-SMC+RISE控制系统能够在短时间内控制四旋翼无人机到达期望位置。当四旋翼无人机在受到阵风扰动时，RPD-SMC+RISE控制系统能够快速对扰动引起的跟踪误差做出反应，在2秒的时间内完成对四旋翼无人机的稳定控制。该控制器的调节时间和超调量要小于其他两组控制器，进一步说明了该控制器的有效性和强鲁棒性。图12展示了在阵风干扰下，内环姿态的跟踪误差。显然，RPD-SMC+RISE控制器出色地完成了姿态跟踪任务，并且表现出了对扰动的强鲁棒性。

例3.为了进一步验证本发明提出控制器的性能，本例对存在传感器噪声的情况下，RPD-SMC+RISE控制系统的控制效果进行了仿真实验。本例中期望轨迹是由一系列直线组成。传感器噪声由标准差为2的高斯白噪声表示，噪声幅值如图13所示，并假设在x，y，z，φ，θ，ψ等状态量中均存在该噪声。四旋翼无人机的初始位置和姿态分别为ξ₀＝[0,0,0](m)，η₀＝[0,0,0](rad)。扰动为：

在高斯噪声影响下，轨迹跟踪结果如图14所示。从图中可以看出，四旋翼无人机能够完成轨迹跟踪任务，并且，从图15可以看出，位置跟踪误差远小于0.1米。姿态跟踪误差如图16所示，可以看出，姿态跟踪误差也控制在0.1弧度范围内。综上所述，虽然四旋翼无人机系统受到扰动以及较强的高斯噪声影响，但是RPD-SMC+RISE控制器依然能够较好地完成轨迹跟踪任务，并且可以保证误差在极小的范围内。以上仿真结果表明，该控制器不仅能够补偿外部扰动，而且对高斯噪声具有很强的鲁棒性。

4.结论

针对欠驱动四旋翼无人机轨迹跟踪问题，本发明提出了新型鲁棒分层控制器。该控制器由外环位置控制器及内环姿态控制器组成。针对外环系统存在的参数不确定性，扰动等问题，本发明设计了RPD-SMC控制器。该控制器不仅结合了PD控制和SMC控制的优点。而且，通过引入径向基神经网络，对扰动及未知动态进行估计补偿消除了静态误差，并且减小了控制参数从而使控制信号大小更为合理，达到节约能源的目的。针对内环系统，本发明设计了基于RISE方法的控制器。该控制器控制信号为连续信号，能够保证姿态角的快递收敛并对扰动具有强鲁棒性。相较于其他非线性控制器，本发明设计的RPD-SMC+RISE控制器具有结构简单，不依赖精确模型，高精度，强鲁棒性等优点。

为了验证RPD-SMC+RISE控制器的有效性，本发明进行了不同条件下的不同轨迹的跟踪仿真实验。此外，通过与PD-SMC+PID，PD+PD等控制系统的控制效果对比，进一步验证了RPD-SMC+RISE控制器具有在线估计能力和零稳态误差跟踪能力。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (5)

1.基于RPD-SMC和RISE的无模型四旋翼无人机轨迹跟踪控制器，包括：外环位置控制器和内环姿态控制器；其特征在于，所述外环位置控制器基于RPD-SMC算法，利用自适应径向基神经网络的渐近估计能力来对扰动和不确定动态进行补偿，具体为：

其中，E、

分别为跟踪误差及其导数，K_p、K_d、H和Γ均为正定增益矩阵，

为P的径向基神经网络估计值，P表示系统的不确定动态，包括参数不确定性和扰动；

内环姿态控制器基于RISE控制方法，具体为：

其中，K_s、β均为控制增益矩阵，I_3×3为3阶单位矩阵，α为正定增益矩阵，τ为内环控制的输入；e_η2(0)为姿态跟踪滤波误差的初始值，e_η2(t)、e_η2(τ)为姿态跟踪滤波误差；

PD-SMC控制器：PD控制器取代了SMC控制器中的等效部分；

RPD-SMC+RISE控制系统结构无需模型信息，即所述无模型。

2.基于RPD-SMC和RISE的无模型四旋翼无人机轨迹跟踪控制器的设计方法，所述RPD-SMC和RISE的无模型四旋翼无人机轨迹跟踪控制器包括外环位置控制器和内环姿态控制器，

RPD-SMC+RISE控制系统结构无需模型信息，即所述无模型；

内环姿态控制器基于RISE控制方法，具体为：

其中，K_s、β均为控制增益矩阵，I_3×3为3阶单位矩阵，α为正定增益矩阵，τ为内环控制的输入；e_η2(0)为姿态跟踪滤波误差的初始值，e_η2(t)、e_η2(τ)为姿态跟踪滤波误差；

其特征在于，包括以下步骤：

确定四旋翼无人机的动态模型；

所述外环位置控制器的控制目标是设计相应的外环虚拟控制输入，在存在不确定动态和扰动的情况下，使位置跟踪误差渐进收敛于零，基于RPD-SMC控制算法，利用自适应径向基神经网络的渐近估计能力来对扰动和不确定动态进行补偿，设计外环位置控制器；

所述RPD-SMC指在PD-SMC的基础上引入自适应径向基神经网络；

所述内环姿态控制器的控制目标是设计适当的内环控制输入来保证姿态跟踪误差收敛于零；定义虚拟控制输入v＝[v₁,v₂,v₃]^T，根据所述虚拟控制输入确定四旋翼无人机的动态模型具体为：

m是四旋翼无人机的质量，

为四旋翼无人机的加速度，g为重力加速度，e＝[0,0,1]^T,Δ_ξ、Δ_η分别表示未知动态，d_ξ、d_η分别表示作用于四旋翼无人机外环和内环系统的扰动，J为转动惯量矩阵，τ为内环控制的输入，

为四旋翼无人机角加速度。

3.如权利要求2所述的基于RPD-SMC和RISE的无模型四旋翼无人机轨迹跟踪控制器的设计方法，其特征在于，所述虚拟控制输入v具体为：

其中，φ为滚转角，θ为俯仰角，ψ为航向角，u为总拉力；c·和s·分别表示cos(·)，sin(·)。

4.如权利要求2所述的基于RPD-SMC和RISE的无模型四旋翼无人机轨迹跟踪控制器的设计方法，其特征在于，所述利用自适应径向基神经网络的渐近估计能力来对扰动和不确定动态进行补偿，具体为：

定义跟踪误差E以及其导数假设P为系统的不确定动态，包括参数不确定性和扰动；存在一个理想的径向基神经网络来对P进行估计：

P＝(W^*)^TΦ(X_in)+ε

得到自适应径向基神经网络的估计值：

其中，ε为有界估计误差，W^*表示最优权重矩阵，

为自适应权重矩阵、X_in为径向基神经网络的输入、Φ(X_in)为激活函数向量。

5.如权利要求2所述的基于RPD-SMC和RISE的无模型四旋翼无人机轨迹跟踪控制器的设计方法，其特征在于，所述外环位置控制器具体为：

其中，E、

分别为跟踪误差及其导数，K_p、K_d、H和Γ均为正定增益矩阵，

为P的径向基神经网络估计值，P表示系统的不确定动态，包括参数不确定性和扰动。

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