CN110703607B - 具有执行器故障的区间时变时滞系统的随机鲁棒预测容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种具有执行器故障的区间时变时滞系统的随机鲁棒预测容错控制方法，属于工业过程的先进控制领域，包括以下步骤，步骤一：建立具有一定概率的执行故障的区间时变时滞系统的随机状态空间模型；步骤二：将构建的区间时变时滞系统的状态空间模型转化为增广区间时变时滞随机状态空间模型；步骤三：设计基于上述增广随机模型的控制律；步骤四：构建保守性较弱的李雅普诺夫函数；本发明给出具有保守性较弱的稳定性条件，从而通过求解这些稳定条件获得最优的控制律；将最优性能和H无穷性能引入到稳定条件推导，改善系统的跟踪和抗干扰的能力；根据不同概率情况下的故障，切换不同的控制器，实现了节能降耗和减少原料的目的。

Description

具有执行器故障的区间时变时滞系统的随机鲁棒预测容错控 制方法

技术领域

本发明属于工业过程的先进控制领域，特别涉及一类具有不确定性、未知干扰、区间时变时滞、输入输出约束和执行器故障系统的随机鲁棒预测容错控制方法。

背景技术

以流程工业为代表的复杂工业生产过程，是国民经济和社会发展的重要支柱产业。工业的整体设备已经基本达到了世界先进水平，但产品质量的稳定性较差，难以支撑高附加值产品的生产。为此，如何保证复杂工业过程安全、高效、高质的生产是一个开放性的问题。在实际的工业生产中，随着设备的持续运作和生产需求的日益加大，往往会发生故障，尤其的是执行器的故障，并且故障的发生具有一定的概率。然而我们总是希望在故障发生时依然可以通过控制器的设计对其进行有效的控制。以往的技术或者方法，采用可靠控制方法对其进行控制，不管是否发生故障，都采用可靠控制器，这样往往会带来大量能源损耗和原料的损失。为此，该发明设计正常控制器和可靠控制器，依赖于故障的概率不同对这两种控制器进行切换，概率较小时采用正常控制器，较大时采用可靠控制器，这样可以解决不管有无故障都采用可靠控制器的弊端，可以节能降耗和减少原材料的损失。同时本发明是针对具有不确定性、未知干扰、区间时变时滞、输入输出约束的石油化工过程，提出的具有执行器故障的区间时变时滞系统的随机鲁棒预测容错控制方法。在上述情况下，对执行器的概率故障进行研究，至今未有发现相关结果。

发明的内容目前针对工业生产过程具有不确定性、未知干扰、区间时变时滞和输入输出约束和执行器故障等情况，现有的技术或者方法具有一定局限性和保守性，往往带来能源的损失和原材料的浪费，同时系统的控制性能较差。本发明正是针对具有不确定性、未知干扰、区间时变时滞、输入输出约束和具有一定概率的执行器故障的被控过程，提出了一种随机鲁棒预测容错控制方法，该发明根据故障概率的不同来切换不同的控制器，可以降低能源消耗和减少原材料的损耗，同时该方法给出的稳定条件具有较小的保守性，通过求解这些稳定条件获得的控制律，可以改善系统的控制性能，具有良好的控制品质。因此，本发明的研究对我国工业过程实现安全、高质和高效的生产目标具有跨时代的意义。

本发明采用的技术方案如下：

本发明首先将具有不确定性、未知干扰、区间时变时滞、输入输出约束以及具有一定概率执行器故障的离散系统表示为随机状态空间的形式，然后将输出跟踪误差增广到状态变量中，形成新的随机增广状态空间模型。在此基础上，通过设计保守性较弱的李雅普诺夫函数，充分考虑H无穷性能和最优性能，推导求解使系统稳定的充分条件(线性矩阵不等式的形式)，通过求解这些线性矩阵不等式获得系统最优的控制律。

具体步骤如下：

步骤一：建立具有一定概率的执行故障的区间时变时滞系统的随机状态空间模型。一个离散过程可以表示如下具有不确定性、未知干扰、区间时变时滞和一定概率执行器故障的随机状态空间模型。

式中，A(k)＝A+Δ_a(k),A_d(k)＝A_d+Δ_d(k),Δ_a(k),Δ_d(k)是由模型不确定性引起的内部干扰，可以表示为[Δ_a(k)Δ_d(k)]＝NΔ(k)[H H_d]，且Δ^T(k)Δ(k)≤I,{A,A_d,B,N,H,H_d,C}是具有一定维数的已经常数矩阵。

分别代表系统状态、输入和输出变量，n_x,n_u,n_y为对应变量的维数。w(k)是指未知外部干扰。d(k)是内部时变时滞，满足d_m≤d(k)≤d_M，d_M,d_m为时滞上下界。k是指当前离散时刻，k+1为一下时刻。ν(k)代表有误故障，当ν(k)＝0表示无故障系统，ν(k)＝1为有故障系统。α为故障的增益。在此，部分执行器故障被研究，即α使未知但在一定范围内变化，满足

α≤1，

为了简化设计，定义如下：

且故障增益满足：

α＝(I+α₀)β (3)

式中：|α₀|≤β₀≤I.

在实际的工业生产中，系统的故障往往是随机的但满足一定的概率。如果工业过程在当前时刻操作正常，下一时刻可能操作正常或者异常。上述故障的情况可以表示为：

0≤P{ν(k+1)＝1|ν(k)＝1)}＝1 (6)

0≤P{ν(k+1)＝0|ν(k)＝1)}＝0 (7)

式中，P{π|υ}指的是在事件υ的条件下事件π发生的概率。类似地，式(4)为在当前时刻条件下下一时刻发生故障的概率，为

式(5)与式(4)情况相反，概率为

从式(6)可以看出故障发生的概率为1，这是因为当前时刻故障下一时刻必然故障，反之概率为0，可见式(7)。

步骤二：将构建的区间时变时滞系统的状态空间模型转化为增广区间时变时滞随机状态空间模型。

在方程(1)左右两边分别乘以差分算子Δ，为：

式中，Δ＝1-q^-1，

x(k-1-d(k-1))+Δw(k)。定义设定值为c(k)，则输出跟踪误差可以表示为：

e(k)＝y(k)-c(k) (9)

综合式(8)和(9)，得

将输出跟踪误差增广到状态变量，可以获得新的增广时变时滞的随机状态空间模型，为：

式中，

步骤三：设计基于上述增广随机模型的控制律。

系统的控制律可以设计为：

式中，

为发明方法的控制器增益。将式(10)代入到式(9)，可以得到系统随机闭环状态空间模型，为：

式中，

该发明方法将系统(1)转化为增广的随机模型(11)，该模型同时包括系统的状态和输出跟踪误差信息，可以分别调节系统的状态和输出误差。基于该模型设计系统的控制律，可以改善系统跟踪性能和增加系统控制器的调节能力。

因此，利用上述增广随机模型(13)，系统的控制问题可以转化为如下最小-最大优化问题：

约束为：

式中，

是当前时刻k对未来时刻k+i的状态预测值，

是关于过程状态和增量控制输入的加权矩阵。

步骤四：构建保守性较弱的李雅普诺夫函数。

构建如下的李雅普诺夫函数：

为了方便呈现，定义为：

式(14)中，

步骤五：计算控制律

在此采用线性矩阵不等式的形式求解系统的控制律。

其中，

正定标量

控制器增益

^*代表对称位置的转置项，

利用MATLAB软件LMI工具箱对式线性矩阵不等式(15)-(19)进行求解，便可求解该控制问题，获取到在不同概率下最优的控制增益，从而保证系统的稳定。该稳定条件的具有较小的保守性，考虑到时滞的上下界，以及最优控制性能和H无穷控制性能，可以有效的跟踪期望设定值和具有较好的抗干扰的能力。

本发明的有益效果

本发明可以针对离散不确定系统具有区间时变时滞、未知干扰、输入输出约束和一定概率的执行器故障等特性，发明了一种随机鲁棒预测容错控制方法，该方法可以有效的改善系统的控制性能，保证系统安全、高质和高效的运行。主要建立具有区间时变时滞的增广随机状态空间模型，增加控制器调节的能力，改善系统的控制性能；给出具有保守性较弱的稳定性条件，从而通过求解这些稳定条件获得最优的控制律；将最优性能和H无穷性能引入到稳定条件推导，改善系统的跟踪和抗干扰的能力；根据不同概率情况下的故障，切换不同的控制器，实现了节能降耗和减少原料的目的。

附图说明

图1概率故障为0.001时的输出曲线；

图2概率故障为0.001时的切换曲线；

图3概率故障为0.001时的输入曲线；

图4概率故障为0.001时的跟踪误差曲线；

图5概率故障为0.01时的输出曲线；

图6概率故障为0.01时的切换曲线；

图7概率故障为0.01时的输入曲线；

图8概率故障为0.01时的跟踪误差曲线；

图9概率故障为0.1时的输出曲线；

图10概率故障为0.1时的切换曲线；

图11概率故障为0.1时的输入曲线；

图12概率故障为0.1时的跟踪误差曲线；

图13本发明的流程图；

图14 TTS20结构和过程流程图；

图15定义TTS20变量和参数的原理图。

具体实施方式

为了进一步说明本发明，下面结合附图及实施例对本发明进行详细地描述，但不能将它们理解为对本发明保护范围的限定。

实施例

如图1-15，本发明一种具有执行器故障的区间时变时滞系统的随机鲁棒预测容错控制方法，具体步骤如下：

步骤一：建立具有一定概率的执行故障的区间时变时滞系统的随机状态空间模型。一个离散过程可以表示如下具有不确定性、未知干扰、区间时变时滞和一定概率执行器故障的随机状态空间模型。

式中，A(k)＝A+Δ_a(k),A_d(k)＝A_d+Δ_d(k),Δ_a(k),Δ_d(k)是由模型不确定性引起的内部干扰，可以表示为[Δ_a(k)Δ_d(k)]＝NΔ(k)[H H_d]，且Δ^T(k)Δ(k)≤I,{A,A_d,B,N,H,H_d,C}是具有一定维数的已经常数矩阵。

分别代表系统状态、输入和输出变量，n_x,n_u,n_y为对应变量的维数。w(k)是指未知外部干扰。d(k)是内部时变时滞，满足d_m≤d(k)≤d_M，d_M,d_m为时滞上下界。k是指当前离散时刻，k+1为一下时刻。ν(k)代表有误故障，当ν(k)＝0表示无故障系统，ν(k)＝1为有故障系统。α为故障的增益。在此，部分执行器故障被研究，即α使未知但在一定范围内变化，满足

α≤1，

为了简化设计，定义如下：

且故障增益满足：

α＝(I+α₀)β (3)

式中：|α₀|≤β₀≤I.

在实际的工业生产中，系统的故障往往是随机的但满足一定的概率。如果工业过程在当前时刻操作正常，下一时刻可能操作正常或者异常。上述故障的情况可以表示为：

0≤P{ν(k+1)＝1|ν(k)＝1)}＝1 (6)

0≤P{ν(k+1)＝0|ν(k)＝1)}＝0 (7)

式中，P{π|υ}指的是在事件υ的条件下事件π发生的概率。类似地，式(4)为在当前时刻条件下下一时刻发生故障的概率，为

式(5)与式(4)情况相反，概率为

从式(6)可以看出故障发生的概率为1，这是因为当前时刻故障下一时刻必然故障，反之概率为0，可见式(7)。

步骤二：将构建的区间时变时滞系统的状态空间模型转化为增广区间时变时滞随机状态空间模型。

在方程(1)左右两边分别乘以差分算子Δ，为：

式中，Δ＝1-q^-1，

x(k-1-d(k-1))+Δw(k)。定义设定值为c(k)，则输出跟踪误差可以表示为：

e(k)＝y(k)-c(k) (9)

综合式(8)和(9)，得

将输出跟踪误差增广到状态变量，可以获得新的增广时变时滞的随机状态空间模型，为：

式中，

步骤三：设计基于上述增广随机模型的控制律。

系统的控制律可以设计为：

式中，

为发明方法的控制器增益。将式(10)代入到式(9)，可以得到系统随机闭环状态空间模型，为：

式中，

该发明方法将系统(1)转化为增广的随机模型(11)，该模型同时包括系统的状态和输出跟踪误差信息，可以分别调节系统的状态和输出误差。基于该模型设计系统的控制律，可以改善系统跟踪性能和增加系统控制器的调节能力。

因此，利用上述增广随机模型(13)，系统的控制问题可以转化为如下最小-最大优化问题：

约束为：

式中，

是当前时刻k对未来时刻k+i的状态预测值，

是关于过程状态和增量控制输入的加权矩阵。

步骤四：构建保守性较弱的李雅普诺夫函数。

构建如下的李雅普诺夫函数：

为了方便呈现，定义为：

式(14)中，

步骤五：计算控制律

在此采用线性矩阵不等式的形式求解系统的控制律。

其中，

正定标量

控制器增益

^*代表对称位置的转置项，

本发明针对TTS20型水箱系统的液位进行仿真对比，结果如下图1-图12。

本仿真运行步数为2000，同时通过引入系统评价指标为：

我们通过对水箱进行仿真，在系统运行中，故障发生的概率取决于设备的，精密程度越高，设备越好，故障概率越低。在此，分别以故障概率Pr＝0.001，Pr＝0.01，Pr＝0.1三种情况进行仿真；同时设定每一个运行时段都可能发生故障，概率越高的发生故障时间越早，如图2、图6和图11所示。从输出、输入曲线以及跟踪误差曲线可以看出，故障发生时，可以明显看出系统具有波动，但很快系统通过预测切换容错控制器使得输出跟踪上设定值，且跟踪性能均逐渐恢复。

综上，我们可以总结出，当系统故障概率越高时，系统越早切换到可靠控制器，而越早切换到可靠控制器，最终虽能稳定，但是浪费的物料和能源更多，通过对比切换曲线图(图2、图6和图11)，当本文故障概率越低，其发生故障的时间时间越晚，较晚的切换到可靠控制器。如果直接使用可靠控制器，则会导致物料的浪费和能源的损失，这不符合工业生产的需求。为此，通过本发明方法设计切换控制律，能够根据故障发生得概率，合理进行切换，让系统在最大节能程度下运行。

可靠控制器与本发明开发预测容错控制器原料消耗比较如下表所示：

可靠控制假设每个采用时刻消耗bkg，正常控制器每个采用时刻消耗akg，b>a。可以看出，在不同的故障概率情况下，对比于直接采用可靠控制器，可以减少原材料的消耗。

本发明流程图如图13：

作为工业生产过程中诸多被控对象的抽象模型，三容水箱因其在非线性、时滞性等方面具有典型的代表性，因此，实际工业系统中的诸多被控对象，其整体或者局部都可以看作是一种三容水箱模型，本发明方法以三容水箱作为仿真对象对于实际的工业系统而言具有较为典型的代表意义。

TTS20型水箱的结构和整体流程如图14所示。其中，中间的三个透明水箱分别称之为Tank1(T1)，Tank2(T2)，Tank3(T3)，其中，T1、T2之间、T2、T3之间均通过其底部的阀门依次连接，在T3后装有一个专门用来排水的阀门，可以将T3中的水排放到贮水槽中，且上述三个阀门横截面相同。此外，在三个水箱又各自拥有一个独立的泄水阀，可以将水箱的水直接泄露到下面的贮水槽之中，通过泄水阀及泄露到贮水槽的水流量来对水箱的故障信息进行描述。

左侧上下两个泵分别称之为Pump1(P1)、Pump2(P2)，他们可以分别将贮水槽中的水抽出并分别通过一个线性比例电磁阀将水注入到T1、T3中。而上述从底部阀门及T3排水阀门排除到贮水槽中的水供P1、P2使用，因此便构成了一个回路。其中，T1、T2、T3中均安装有一个测量压力液位传感器作为系统的测量元件，系统中的每一个阀门都可以通过给定的信号完成阀门的开关动作。

通过开启和关闭连接阀门及泄露阀，水箱可以很方便的改造为单输入单输出，多输入多输出，三阶，二阶，一阶模型。定义TTS20水箱变量和参数的原理图如图15所示。这针对水箱的单入单出二阶模型进行仿真，水箱的改造方法为：仅打开T1与T3之间连接阀门以及T3与水箱底部水槽之间的阀门，把泵1的流量作为控制输入，把T1中液体的液位高度作为系统输出。继而得到水箱的单入单出二阶模型如下：

其中，h₁，h₃分别为T1和T3的液位高度；Q_in为注水管1的流量，作为操纵变量；Q₁₃为罐1向罐3流入液体的流量；Q_out为水箱3至底部水槽的流量；

az₁＝0.48,；az₂＝0.58；S₁＝S_n＝5×10^-5m²，为连接管道的截面积；S＝0.154m²，为罐的截面积；H_max＝0.6m是液位高度上限；sgn(·)为符号函数。h₁,h₃的初值为0。状态变量和输入为：

u(k)＝Q_in(k)。通过在操作点0.33H_max局部线性化，可以得到TTS20水箱系统的具有不确定状态时变时滞离散状态空间模型：

式中，1≤d(k)≤3,

C＝[1 0]，

w(k)＝(0.0005Δ₃ 0.0005Δ₄)^T，其中Δ₁,Δ₂,Δ₃,Δ₄是[-1 1]之间的随机数。假设这存在一个未知执行器故障α.然而，我们知道

通过方程(2)，可以获得β＝1,β₀＝0.2；

采用传统的鲁棒约束预测控制和本文所提的发明方法进行对比，控制器的模型选为(24)，控制参数统一选为：控制参数统一选为：Q＝1，R＝1000，

输入和输出约束为：

输入和输出约束为：

设定值取为：

c(k)＝0.2 (27)

综上，本发明以TTS20型水箱的液位控制设计为例，来验证本发明所提出的控制方法的有效性和可行性。仿真结果表明系统在具有不确定性、未知干扰、状态时变时滞和输入输出约束情况下，可以更好的跟踪液位设定值和抵抗未知随机干扰，具有较好的跟踪性能和抗干扰的能力，可以使闭环系统在最优和稳定的条件下运行且具有良好的控制性能。因此，这种发明方法的提出，从长远来看，可以保证系统高效、安全和平稳运行，从而可以提高产品质量、增加产品收率、降低能源消耗和提升经济效益等。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种具有执行器故障的区间时变时滞系统的随机鲁棒预测容错控制方法，其特征在于：具体步骤如下：

步骤一：建立具有一定概率的执行故障的区间时变时滞系统的随机状态空间模型；

一个离散过程可以表示如下具有不确定性、未知干扰、区间时变时滞和一定概率执行器故障的随机状态空间模型；

式中，A(k)＝A+△_a(k),为系统在k时刻的状态矩阵，A_d(k)＝A_d+△_d(k),为系统在k时刻的时滞矩阵，△_a(k),△_d(k)是由模型不确定性引起的内部干扰，可以表示为[△_a(k) △_d(k)]＝N△(k)[H H_d]，且△^T(k)△(k)≤I,{A,A_d,B,N,H,H_d,C}是具有一定维数的已经常数矩阵；

分别代表离散k时刻的系统状态、控制输入和控制输出变量，n_x,n_u,n_y为对应变量的维数；w(k)是离散k时刻的未知外部干扰；d(k)是内部时变时滞，满足d_m≤d(k)≤d_M，d_M,d_m为时滞上下界；k是指当前离散时刻，k+1为一下时刻；ν(k)代表有无故障，当ν(k)＝0表示无故障系统，ν(k)＝1为有故障系统；α为故障的增益，满足

α≤1，

为了简化设计，定义如下：

且故障增益满足：

α＝(I+α₀)β (3)

式中：|α₀|≤β₀≤I,

故障概率描述为：

0≤P{ν(k+1)＝1|ν(k)＝1)}＝1 (6)

0≤P{ν(k+1)＝0|ν(k)＝1)}＝0 (7)

式中，P{π|υ}指的是在事件υ的条件下事件π发生的概率；类似地，式(4)为在当前时刻条件下下一时刻发生故障的概率，为

式(5)与式(4)情况相反，概率为

从式(6)可以看出故障发生的概率为1，这是因为当前时刻故障下一时刻必然故障，反之概率为0，可见式(7)；

步骤二：将构建的区间时变时滞系统的状态空间模型转化为增广区间时变时滞随机状态空间模型；

在方程(1)左右两边分别乘以差分算子△，为：

式中，△x(k+1)＝x(k+1)-x(k)为系统在k+1时刻的状态增量，△x(k)＝x(k)-x(k-1)为系统在k时刻的状态增量，△x(k-d(k))＝x(k-d(k))-x(k-1-d(k-1))为系统在k时刻的时滞状态增量，△u(k)＝u(k)-u(k-1)为系统在k时刻的控制输入增量，△y(k)＝y(k)-y(k-1)为系统在k时刻的系统输出增量，△＝1-q^-1，

为集总干扰；定义设定值为c(k)，则输出跟踪误差可以表示为：

e(k)＝y(k)-c(k) (9)

综合式(8)和(9)，得

将输出跟踪误差增广到状态变量，可以获得新的增广时变时滞的随机状态空间模型，为：

式中，

为系统在k时刻的扩展状态，

为系统在k时刻的时滞扩展状态，

为系统在k时刻的扩展状态矩阵，

为系统的扩展状态矩阵确定项，

为系统在k时刻的扩展状态矩阵不确定项，

为系统在k时刻的扩展时滞矩阵，

为系统的扩展时滞矩阵确定项，

为系统在k时刻的扩展时滞矩阵不确定项，

为系统的扩展输入矩阵确定项，

为系统的不确定性扩展统一矩阵，

为系统的不确定性扩展状态矩阵，

为系统的不确定性扩展时滞矩阵，

为系统的扩展干扰矩阵，

为系统的扩展输出矩阵，

为系统的扩展误差矩阵；

步骤三：设计基于增广随机模型的控制律；

系统的控制律可以设计为：

式中，

为无故障控制律，

为该方法有故障控制律；将式(10)代入到式(9)，可以得到系统随机闭环状态空间模型，为：

式中，

为无故障情况下系统在k时刻的闭环扩展矩阵，

为有故障情况下系统在k时刻的闭环扩展矩阵；

该方法将系统(1)转化为增广的随机模型(11)，该模型同时包括系统的状态和输出跟踪误差信息，可以分别调节系统的状态和输出误差；基于该模型设计系统的控制律，可以改善系统跟踪性能和增加系统控制器的调节能力；

因此，利用增广随机模型(13)，系统的控制问题可以转化为如下最小-最大优化问题：

约束为：

式中，

是当前时刻k对未来时刻k+i的状态预测值，△u(k+i|k)是当前时刻k对未来时刻k+i的输入增量预测值，△y(k+i)是系统处于稳定状态下k+i时刻的输出预测值，△u_M为系统输入上界，△y_M为系统输出上界，

是关于过程状态和增量控制输入的加权矩阵；

步骤四：构建保守性较弱的李雅普诺夫函数；

构建如下的李雅普诺夫函数：

为了方便呈现，定义为：

式(14)中，

步骤五：计算控制律

在此采用线性矩阵不等式的形式求解系统的控制律；

其中，

均为需要线性矩阵不等式求解的未知正定对称矩阵，

为需要线性矩阵不等式求解的未知矩阵和正定标量

0≤d_m≤d_M；i＝0,1,分别表示系统有无故障，控制器增益

为线性矩阵不等式复合替换矩阵，

为系统时滞范围扩展矩阵，

为系统时滞上界扩展矩阵，

为系统始终无故障系数，

为系统前一时刻无故障下一时刻有故障时系数，∩¹¹＝I,为系统始终有故障时系数，*代表对称位置的转置项，

为概率故障时线性矩阵不等式代换一矩阵，

为始终故障时线性矩阵不等式代换一矩阵，

为概率故障时线性矩阵不等式代换二矩阵，

为始终故障时线性矩阵不等式代换二矩阵，

为概率故障时线性矩阵不等式代换三矩阵，

为始终故障时线性矩阵不等式代换三矩阵，

为概率故障时线性矩阵不等式代换四矩阵，

为始终故障时线性矩阵不等式代换四矩阵，

为概率故障时线性矩阵不等式代换五矩阵，

为始终故障时线性矩阵不等式代换五矩阵，

为始终故障时线性矩阵不等式代换六矩阵，

为概率故障时线性矩阵不等式代换七矩阵，

为始终故障时线性矩阵不等式代换七矩阵，

为概率故障和始终故障时线性矩阵不等式代换八矩阵，

为概率故障和始终故障时线性矩阵不等式代换九矩阵，

为概率故障时线性矩阵不等式代换十矩阵，

为始终故障时线性矩阵不等式代换十矩阵，

为始终故障时线性矩阵不等式代换十一矩阵，

利用MATLAB软件LMI工具箱对式线性矩阵不等式(15)-(19)进行求解，便可求解该控制问题；为此，通过该方法设计切换控制律，能够根据故障发生的概率，合理进行切换，让系统在最大节能程度下运行。

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