CN115047760A - 一种直流电机伺服系统的ftairtsm控制方法 - Google Patents

一种直流电机伺服系统的ftairtsm控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种直流电机伺服系统的FTAIRTSM控制方法，基于有限时间积分嵌套终端滑模控制方法，融合了自适应控制的思想，设计控制器增益自调节律对积分反馈鲁棒控制器的反馈增益取值进行在线估计调节。针对直流电机伺服系统位置跟踪问题，本发明避免直接出现符号函数，从本质上解决了滑模控制的颤振问题，利用增益自适应的方法克服了控制器设计保守性，鲁棒性能优越，实现了位置跟踪误差在有限时间内收敛到零。

Description

一种直流电机伺服系统的FTAIRTSM控制方法
技术领域
本发明涉及机电伺服控制技术领域，具体涉及一种直流电机伺服系统的有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制方法。
背景技术
由于具有高效率、高可靠性、灵活性和易于维修的特点，直流电机在机械臂、Delta机器人、龙门系统等领域都得到了广泛应用。直流电机伺服系统式一个典型的非线性系统，各种各样的模型不确定性包括参数不确定性(如粘性摩擦系数、库伦摩擦系数等)和未建模干扰限制了电机系统的控制性能。有许多先进的控制器出现以获得电机伺服系统的高精度运动控制，如自适应鲁棒控制器(ARC)、基于扩张状态观测器(ESO)的控制器、模糊控制、基于神经网络(NN)的控制器等，但是这些控制器在理论上只能保证非线性系统获得一致最终有界性。
传统滑模控制器不仅具有强鲁棒性还拥有指数渐近稳定性，得到广泛地研究与应用。但是由于传统滑模控制器直接使用符号函数，颤振现象会对电机系统造成恶性破坏，甚至使控制器失稳。学界对如何消除或抑制滑模控制中的颤振现象提出了许多先进的控制方法，如利用非线性干扰观测器估计并补偿系统不确定性，降低滑模控制器的切换增益，抑制颤振问题。高阶积分滑模控制器可以从本质上避免颤振问题，其本质是人为地增加系统输入输出相关度，将不连续性置于控制输入的高阶导数中，从而使得控制输入不直接含有符号函数。
以传统滑模为基础的控制器，只有当时间趋近于无穷时，才可以实现渐近或有界稳定。在实际运用中，有限时间稳定可以获得更快的收敛速度和更好的跟踪性能。终端滑模控制器可以保证控制器在有限时间内收敛。但是颤振问题同样出现在终端滑模控制器中，利用干扰观测器和构造高阶滑模是两种常见普遍的方法，与自适应方法结合可以有效地克服观测器或控制器的保守性问题。基于以上考虑，针对直流电机伺服系统，提出了一种有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制方法。构造三阶滑模结构，从而保证在连续控制输入的前提下，跟踪误差在有限时间内收敛到零。将参数不确定性分成可确定部分和残留偏差两部分，以降低自适应学习的负担，自适应积分嵌套滑模控制器将参数不确定性残留偏差和未建模干扰一起通过增益自适应非线性鲁棒反馈的方法进行处理。包含增益自适应误差、滑模动态、跟踪误差的一系列李雅普诺夫函数证明控制器的理论可行性。针对直流电机伺服系统的实验结果验证了所提出的控制方法的有效性及优越性。
发明内容
本发明的目的在于提供一种直流电机伺服系统的有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制方法，在连续控制输入的前提下，实现位置跟踪误差在有限时间内收敛到零。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种直流电机伺服系统的有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制方法，包括以下步骤：
步骤1、建立直流电机伺服系统的数学模型，转入步骤2；
步骤2、基于直流电机伺服系统的数学模型，设计有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制器，转入步骤3；
步骤3、运用李雅普诺夫稳定性理论进行有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制器的稳定性证明，得到位置跟踪误差在有限时间内收敛到零的结果。
本发明与现有技术相比，其显著优点是：(1)实现反馈增益系数自调节；(2)控制器不直接含有符号函数，理论上保证了控制器的连续性，有利于实际使用；(3)鲁棒性强，位置跟踪误差在有限时间内收敛到零，实验结果验证了其有效性；
附图说明
图1是本发明直流电机伺服系统的FTAIRTSM控制方法原理示意图。
图2是实验验证本方法有限的实验平台图。
图3是常速跟踪轨迹x1d＝10arctan(sin(πt))[1-e-t]/0.7854°时自适应积分嵌套终端滑模(AIRTSM)控制与积分嵌套终端滑模(IRTSM)控制和嵌套终端滑模(RTSM)控制的位置跟踪情况。
图4是常速跟踪轨迹x1d＝10arctan(sin(πt))[1-e-t]/0.7854°时自适应积分嵌套终端滑模(AIRTSM)控制与积分嵌套终端滑模(IRTSM)控制和嵌套终端滑模(RTSM)控制的跟踪误差曲线对比图。
图5是常速跟踪轨迹x1d＝10arctan(sin(πt))[1-e-t]/0.7854°时自适应积分嵌套终端滑模(AIRTSM)控制器增益l1、l2和l3估计随时间变化的曲线。
图6是常速带有初始位置偏差跟踪轨迹x1d＝10arctan(sin(πt))[1-e-t]/0.7854+1°时自适应积分嵌套终端滑模(AIRTSM)控制与积分嵌套终端滑模(IRTSM)控制和嵌套终端滑模(RTSM)控制的跟踪误差曲线对比图。
图7是高速跟踪轨迹x1d＝10arctan(sin(2πt))[1-e-t]/0.7854°时自适应积分嵌套终端滑模(AIRTSM)控制与积分嵌套终端滑模(IRTSM)控制和嵌套终端滑模(RTSM)控制的跟踪误差曲线对比图。
图8是低速跟踪轨迹x1d＝10arctan(sin(0.4πt))[1-e-t]/0.7854°时自适应积分嵌套终端滑模(AIRTSM)控制与积分嵌套终端滑模(IRTSM)控制和嵌套终端滑模(RTSM)控制的跟踪误差曲线对比图。
具体实施方式
下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明；
结合图1～图2，本发明直流电机伺服系统的FTAIRTSM控制方法，包括以下步骤：
步骤1、建立直流电机伺服系统的数学模型；
步骤1-1、所述直流电机伺服系统中，采用驱动器控制直流电机，直流电机直接带动惯性负载运动，忽略电流环特性，惯性负载的动力学平衡方程为：
Figure BDA0003663444850000031
式(1)中y表示惯性负载的角位移，m表示惯性负载的质量，KI表示力矩常数，u表示控制输入，即有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制器，kv表示粘性摩擦力系数，kc表示库伦摩擦力系数，d表示未建模干扰，
Figure BDA0003663444850000032
表示y的导数，
Figure BDA0003663444850000033
表示
Figure BDA0003663444850000039
的导数，Sf(·)表示一个连续的形状函数，用来逼近不连续的符号函数；
步骤1-2、定义直流电机伺服系统的状态变量为
Figure BDA0003663444850000034
第一状态变量x1＝y，第二状态变量
Figure BDA0003663444850000035
则由式(1)，状态方程写为：
Figure BDA0003663444850000036
选取双曲正切函数
Figure BDA0003663444850000037
作为
Figure BDA0003663444850000038
的具体函数表达形式，κ为形状常数，定义直流电机伺服系统未知参数集θ＝[θ1,θ2]T＝[kv/KI,kc/KI]T，第一系统未知参数θ1＝kv/KI，第二系统未知参数θ2＝kc/KI，系统已知参数mk＝m/KI，D＝d/KI表示整合后的未建模干扰；
对于未知参数θ，将其分为已知确定部分即名义值和未知部分即偏差值：
Figure BDA0003663444850000041
式中θj0表示未知参数的已知名义值，Δθj0是未知参数的未知偏差值，j＝1,2，由式(2)和式(3)，状态方程写为
Figure BDA0003663444850000042
式中，系统总不确定性干扰δ＝Δθ10x2+Δθ20Sf(x2)+D，δ表示涵盖未知参数的未知偏差值和整合后的未建模干扰的系统总不确定性；
为便于控制器设计，假设如下：
假设1：未知参数的未知偏差值Δθj0有界，整合后的未建模干扰D有界且足够光滑，使得
Figure BDA0003663444850000043
存在并有界，
Figure BDA0003663444850000044
表示D的导数，满足以下条件：
Figure BDA0003663444850000045
其中，上限c1,c2,c3,c4均为未知正值常系数；
基于高阶积分滑模的连续控制器设计本质上是将符号函数隐藏在控制输入的导数中，控制器的设计基于式(4)第二个方程的导数，在式(4)中，控制输入u和系统总不确定性δ的阶次相同，开展控制器设计前需要获知系统总不确定性δ的导数信息；
借助假设1，得到系统总不确定性的导数
Figure BDA0003663444850000046
上界如下：
Figure BDA0003663444850000047
其中，
Figure BDA0003663444850000048
表示x2的导数；
利用正切函数性质0≤1-tanh2(κx2)≤1，得到：
Figure BDA0003663444850000049
结合式(4)的第二个方程，得：
Figure BDA0003663444850000051
式中，li表示未知的上限正系数，i＝1，2，3。第一个上限系数满足l1＞(c1+κc2)mk -1，第二个上限系数满足l2＞(c1+κc2)mk -1(θ10+c1)，第三个上限系数满足l3＞(c1+κc2)mk -1(θ20+c2+c3)+c4；
转入步骤2。
步骤2，基于直流电机伺服系统的数学模型，设计自有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制器，具体步骤如下：
步骤2-1、在进行控制器设计之前先构造将要用到的滑模面函数：
定义系统的跟踪误差e＝x1-x1d，x1d是系统期望跟踪的位置指令，根据跟踪误差，选用由e，e的导数
Figure BDA0003663444850000052
e的积分组成的第一个滑模面函数s，即
Figure BDA0003663444850000053
其中，λ1是第一个滑模面函数的跟踪误差正参数，λ2都是第一个滑模面函数的跟踪误差积分项正参数，τ是积分变量；t表示时间；
构造积分嵌套终端滑模面作为第二个滑模面函数σ，即
σ＝s+μ1sI (10)
式(10)中，μ1是第二个滑模面函数的积分项正参数，中间变量sI的导数
Figure BDA0003663444850000054
表达式如下：
Figure BDA0003663444850000055
式(11)中，α是第二个滑模面函数的幂数正参数，且满足0<α<1，sgn(s)是关于s的符号函数，sig(s)α是关于s的光滑且单调增函数；
步骤2-2、设计控制输入u为：
u＝mk(ueq+usw) (12)
Figure BDA0003663444850000061
Figure BDA0003663444850000062
式(14)中，ueq表示前馈模型补偿控制输入，usw是趋近控制输入，
Figure BDA0003663444850000063
是期望是系统期望跟踪的位置指令x1d的两阶导数，k1是正的增益系数，
Figure BDA0003663444850000064
是未知的上限正系数li的估计值，i＝1,2,3，
Figure BDA0003663444850000065
是第二个滑模面函数σ的导数；
Figure BDA0003663444850000066
的自适应律如下：
Figure BDA0003663444850000067
Figure BDA0003663444850000068
Figure BDA0003663444850000069
式中，
Figure BDA00036634448500000610
是
Figure BDA00036634448500000611
未知的上限正系数估计值的导数，即为增益自适应律，ai是自适应律的调节系数，βi是自适应律的稳定性证明系数，i＝1,2,3；
转入步骤3。
步骤3，运用李雅普诺夫稳定性理论进行有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制器稳定性证明，得到位置跟踪误差在有限时间内收敛到零的结果，具体如下：
定义李雅普诺夫函数V1如下：
Figure BDA00036634448500000612
式中，
Figure BDA00036634448500000613
为未知的上限正系数的估计误差，对式(18)求导得到：
Figure BDA00036634448500000614
式中，
Figure BDA0003663444850000071
是
Figure BDA0003663444850000072
的导数，
Figure BDA0003663444850000073
是未知的上限正系数的估计误差
Figure BDA0003663444850000074
的导数，
Figure BDA0003663444850000075
是未知的上限正系数的估计值
Figure BDA0003663444850000076
的导数；
第一个滑模面s的一阶导数
Figure BDA0003663444850000077
和二阶导数
Figure BDA0003663444850000078
分别如下：
Figure BDA0003663444850000079
式中，
Figure BDA00036634448500000710
是
Figure BDA00036634448500000711
的导数；
Figure BDA00036634448500000712
式中，
Figure BDA00036634448500000713
是
Figure BDA00036634448500000714
的导数；
第二个滑模面σ的一阶导数
Figure BDA00036634448500000715
和二阶导数
Figure BDA00036634448500000716
分别如下：
Figure BDA00036634448500000717
式中，
Figure BDA00036634448500000718
是s的导数；
Figure BDA00036634448500000719
式中，
Figure BDA00036634448500000720
是
Figure BDA00036634448500000721
的导数；
结合式(4)，跟踪误差e的三阶导数
Figure BDA00036634448500000722
如下：
Figure BDA00036634448500000723
式中，
Figure BDA00036634448500000724
是
Figure BDA00036634448500000725
的导数，
Figure BDA00036634448500000726
是控制输入u的导数，mk -1是mk的倒数；
将式(24)代入式(21)，得到：
Figure BDA00036634448500000727
将控制输入u的导数代入式(25)，再将代入后的式(25)带入式(23)，得到
Figure BDA00036634448500000728
将式(26)重新组织化简，写成：
Figure BDA0003663444850000081
将式(27)和增益自适应律(15)-(17)代入式(19)得到：
Figure BDA0003663444850000082
对式(28)进行放缩，得到：
Figure BDA0003663444850000083
根据引理1，得到
Figure BDA0003663444850000084
对式(29)进行改写，得到：
Figure BDA0003663444850000085
为了简化表达，定义以下表达式：
Figure BDA0003663444850000086
式中，ηk是中间变量，k＝1,2,3,4；
将定义在(31)中的中间变量ηk,代入式(30)，得到：
Figure BDA0003663444850000091
式中，稳定性证明常系数
Figure BDA0003663444850000092
根据式(8)推导的不等式，直接推导出中间变量η1大于零，除此之外，设置自适应律的调节系数ai都大于1，确保中间变量η2,η3和η4都大于零，保证稳定性证明常系数χ大于零；
根据引理2，不等式(32)保证了第二个滑模面函数的导数
Figure BDA0003663444850000093
和未知的上限正系数的估计误差
Figure BDA0003663444850000094
都会在第一个有限时间ts内收敛到零；
Figure BDA0003663444850000095
式中，V1(0)是第一个李雅普诺夫函数V1的初始值；
当第二个滑模面函数σ的导数
Figure BDA0003663444850000096
时，根据(22)，推导出：
Figure BDA0003663444850000097
定义一个新的李雅普诺夫函数V2＝1/2s2，证明第一个滑模面函数s会在有限时间内到达，V2的导数
Figure BDA0003663444850000098
为：
Figure BDA0003663444850000099
式中，α是第二个滑模面函数的指数正参数，且满足0<α<1，从而满足
Figure BDA00036634448500000910
符合引理2的要求，保证第一个滑模面函数s会在有限时间内到达，即s＝0会在有限时间内成立。
当第一个滑模面函数s＝0时，再定义一个李雅普诺夫函数V3＝1/2e2，证明跟踪误差e会在有限时间内收敛到零，V3的导数
Figure BDA00036634448500000911
为：
Figure BDA0003663444850000101
定义辅助变量ξ，为：
Figure BDA0003663444850000102
式(36)写为：
Figure BDA0003663444850000103
如果跟踪误差e≥0，则
Figure BDA0003663444850000104
如果跟踪误差e<0，则
Figure BDA0003663444850000105
根据式(38)和(39)，获知辅助变量ξ恒大于零；
根据引理2，推导出跟踪误差e在第一个滑模面函数s到达后，会在有限时间内收到零。根据以上证明内容，完成了跟踪误差e和未知的上限正系数的估计误差
Figure BDA0003663444850000106
都可以在有限时间内收敛到零的证明；
引理1和2的具体内容如下：
引理1：考虑惯性负载的动力学平衡方程(1)和控制输入u，存在未知的上限正系数li,使得
Figure BDA0003663444850000107
成立；
证明：假设第二个滑模面函数的导数的绝对值
Figure BDA0003663444850000108
使得增益自适应律
Figure BDA0003663444850000109
恒大于零,从而推导出
Figure BDA00036634448500001010
单调递增，存在一个时刻t0使得：
Figure BDA00036634448500001011
基于式(27),一旦获得
Figure BDA00036634448500001012
Figure BDA00036634448500001013
的值便从t0时刻开始减小，
Figure BDA00036634448500001014
的值会继续增加，直到
Figure BDA00036634448500001015
在有限时间间隔Δt内收敛到零，之后
Figure BDA00036634448500001016
会保持时间在t0+Δt时的值
Figure BDA00036634448500001017
由于
Figure BDA00036634448500001018
是连续性增加的，推导出
Figure BDA00036634448500001019
是有上界的，所以存在一个正数li，使
Figure BDA00036634448500001020
成立。
引理2：考虑一个连续正定函数V(x)，x是正定函数的自变量，满足下面的微分不等式：
Figure BDA0003663444850000111
式中，ρ是正系数,β是幂数正系数，给定任何的初始值V(x(0))＝V(0)，连续正定函数V(x)在给定的有限时间tr内收敛到零，tr具体表达式如下：
Figure BDA0003663444850000112
因此有结论：针对直流电机伺服系统设计的有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制器，调节控制器设计中的各种参数λ1、λ2、μ1、α、k1、a1β1 -1、a2β2 -1、a3β3 -1，实现位置跟踪误差在有限时间内收敛到零，直流电机伺服系统FTAIRSTM控制方法原理示意图如图1所示。
实施例
为了验证所设计的有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制器的优越性，基于直流电机伺服系统进行不同工况下的实验对比。
直流电机伺服系统的参数设置为：负载惯量m＝0.31kg·m2，力矩常数KI＝0.8806N·m·V-1，粘性摩擦力系数kv＝0.0078N·m·s·rad-1，库伦摩擦力系数kc＝0.008N·m，通过对如下三个控制器进行比较，验证所设计控制的性能优越性。
1)AIRTSM：即前文所设计的有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制器：第一个滑模面函数的跟踪误差正参数λ1＝10,第一个滑模面函数的跟踪误差积分项正参数λ2＝300,第二个滑模面函数的积分项正参数μ1＝10第二个滑模面函数的幂数正参数α＝0.6,正的增益系数k1＝1。将自适应律的调节系数ai和自适应律的稳定性证明系数βi处理成一个整体，将其中一个系数固定，保留另一个系数的可调节性，结合理论证明过程中的条件要求，选取a1＝a2＝a3＝10,那么另一个参数为β1＝100,β2＝10000,β3＝1000。
2)IRTSM：没有增益自适应的积分嵌套终端滑模控制器，通过设置a1＝a2＝a3＝0即可得到该控制器的具体表达形式，其他参数与AIRTSM一致。
3)RTSM：该控制器没有积分项也没有增益自适应项，令μ1＝0，a1＝a2＝a3＝0即可得到该控制器的具体表达形式，其他参数与AIRTSM一致。
为了有效地验证本文所设计的控制器的优越性，开展四组不同工况的对比实验。
工况1：常速跟踪轨迹x1d＝10arctan(sin(πt))[1-e-t]/0.7854°：图3、4分别展示了三个控制器的追踪性能和跟踪误差。对比实验结果，可以清楚地发现FTAIRTSM控制方法可以实现最好的瞬态和稳态性能，然而RTSM控制方法在三个控制器中性能表现最差。通过对比AIRTSM和IRTSM控制器，AIRTSM由于采用了增益自适应鲁棒反馈项抑制参数偏差和未建模干扰表现出较为优越的性能，控制器增益l1、l2和l3估计随时间变化的曲线如图5所示。RTSM采用了一个低阶滑模控制方法，其控制性能与AIRTSM和IRTSM相比都存在较大的差距，从而说明了FTAIRTSM控制方法中构造三阶滑模面的有效性。
工况2：带有初始位置偏差的常速跟踪轨迹x1d＝10arctan(sin(πt))[1-e-t]/0.7854+1°：该工况下在初始时刻，输出位移与期望跟踪轨迹不重合，所以从图6所展示的三个控制器的跟踪误差情况，可以看到在初始时刻误差较大。AIRTSM和IRTSM控制器较快地进入稳态状态，且AIRTSM的稳态误差与IRTSM相比较小，增益自适应项在系统进入稳态之后可以很好地抑制系统不确定性，从而获得优异的跟踪性能。RTSM控制器不论是从收敛速度还是稳态误差，其性能表现均劣于AIRTSM和IRTSM控制器。
工况3：高速跟踪轨迹x1d＝10arctan(sin(2πt))[1-e-t]/0.7854°：图7展示了三个控制器在该工况下的跟踪误差情况。RTSM控制器在高速运动下性能不佳，其误差幅值最大值可达0.7°。AIRTSM和IRTSM控制方法跟踪误差变化情况较为相近，但通过仔细观察以及数据分析仍能确定AIRTSM的控制性能更好。
工况4：低速跟踪轨迹x1d＝10arctan(sin(0.4πt))[1-e-t]/0.7854°：图8展示了三个控制器在该工况下的跟踪误差情况。在这种工况下，Stribeck效应等非线性未建模摩擦是影响影响控制器鲁棒性的主要因素。当惯性负载的运动方向发生改变时，IRTSM和RSTM控制器都表现出震荡，AIRTSM控制器表现出更好的收敛趋势和优越的跟踪性能，与其他两个控制器相比，AIRTSM可以获得更好的鲁棒性。
综上所示，直流电机伺服系统的有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制方法，在控制输入连续的情况下保证跟踪误差有限时间内收敛到零。与此同时，不再准确需要系统总不确定性δ的导数的上界信息，采用增益自适应的方法，有效地对总不确定性δ进行补偿，降低控制器设计保守性的同时，避免了高增益反馈。实验结果表明，不论是从收敛速度还是稳态跟踪误差，所设计的AIRTSM控制器，相较于IRTSM控制器和RTSM控制器而言，均表现出优异的性能。

Claims (4)

1.一种直流电机伺服系统的FTAIRTSM控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、建立直流电机伺服系统的数学模型，转入步骤2；
步骤2、基于直流电机伺服系统的数学模型，设计有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制器，转入步骤3；
步骤3、运用李雅普诺夫稳定性理论进行有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制器的稳定性证明，得到位置跟踪误差在有限时间内收敛到零的结果。
2.根据权利要求1所述的直流电机伺服系统的FTAIRTSM控制方法，其特征在于，步骤1中，建立直流电机伺服系统的数学模型，具体如下：
步骤1-1、所述直流电机伺服系统中，采用驱动器控制直流电机，直流电机直接带动惯性负载运动，忽略电流环特性，惯性负载的动力学平衡方程为：
Figure FDA0003663444840000011
式(1)中y表示惯性负载的角位移，m表示惯性负载的质量，KI表示力矩常数，u表示控制输入，即有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制器，kv表示粘性摩擦力系数，kc表示库伦摩擦力系数，d表示未建模干扰，
Figure FDA0003663444840000012
表示y的导数，
Figure FDA0003663444840000013
表示
Figure FDA0003663444840000014
的导数，Sf(·)表示一个连续的形状函数，用来逼近不连续的符号函数；
步骤1-2、定义直流电机伺服系统的状态变量为
Figure FDA0003663444840000015
第一状态变量x1＝y，第二状态变量
Figure FDA0003663444840000016
则由式(1)，状态方程写为：
Figure FDA0003663444840000017
选取双曲正切函数
Figure FDA0003663444840000018
作为
Figure FDA0003663444840000019
的具体函数表达形式，κ为形状常数，定义直流电机伺服系统未知参数集θ＝[θ1,θ2]T＝[kv/KI,kc/KI]T，第一系统未知参数θ1＝kv/KI，第二系统未知参数θ2＝kc/KI，系统已知参数mk＝m/KI，D＝d/KI表示整合后的未建模干扰；
对于未知参数θ，将其分为已知确定部分即名义值和未知部分即偏差值：
Figure FDA0003663444840000021
式中θj0表示未知参数的已知名义值，Δθj0是未知参数的未知偏差值，j＝1,2，由式(2)和式(3)，状态方程写为
Figure FDA0003663444840000022
式中，系统总不确定性干扰δ＝Δθ10x2+Δθ20Sf(x2)+D，δ表示涵盖未知参数的未知偏差值和整合后的未建模干扰的系统总不确定性；
为便于控制器设计，假设如下：
假设1：未知参数的未知偏差值Δθj0有界，整合后的未建模干扰D有界且足够光滑，使得
Figure FDA0003663444840000023
存在并有界，
Figure FDA0003663444840000024
表示D的导数，满足以下条件：
Figure FDA0003663444840000025
其中，上限c1,c2,c3,c4均为未知正值常系数；
基于高阶积分滑模的连续控制器设计本质上是将符号函数隐藏在控制输入的导数中，控制器的设计基于式(4)第二个方程的导数，在式(4)中，控制输入u和系统总不确定性δ的阶次相同，开展控制器设计前需要获知系统总不确定性δ的导数信息；
借助假设1，得到系统总不确定性的导数
Figure FDA0003663444840000026
上界如下：
Figure FDA0003663444840000027
其中，
Figure FDA0003663444840000028
表示x2的导数；
利用正切函数性质0≤1-tanh2(κx2)≤1，得到：
Figure FDA0003663444840000029
结合式(4)的第二个方程，得：
Figure FDA0003663444840000031
式中，li表示未知的上限正系数，i＝1，2，3，第一个上限系数满足l1＞(c1+κc2)mk -1，第二个上限系数满足l2＞(c1+κc2)mk -1(θ10+c1)，第三个上限系数满足l3＞(c1+κc2)mk -1(θ20+c2+c3)+c4；
转入步骤2。
3.根据权利要求2所述的直流电机伺服系统的FTAIRTSM控制方法，其特征在于，步骤2中，基于直流电机伺服系统的数学模型，设计有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制器，具体步骤如下：
步骤2-1、在进行控制器设计之前先构造将要用到的滑模面函数：
定义系统的跟踪误差e＝x1-x1d，x1d是系统期望跟踪的位置指令，根据跟踪误差，选用由e，e的导数
Figure FDA0003663444840000032
e的积分组成的第一个滑模面函数s，即
Figure FDA0003663444840000033
其中，λ1是第一个滑模面函数的跟踪误差正参数，λ2都是第一个滑模面函数的跟踪误差积分项正参数，τ是积分变量；t表示时间；
构造积分嵌套终端滑模面作为第二个滑模面函数σ，即
σ＝s+μ1sI (10)
式(10)中，μ1是第二个滑模面函数的积分项正参数，中间变量sI的导数
Figure FDA0003663444840000034
表达式如下：
Figure FDA0003663444840000035
式(11)中，α是第二个滑模面函数的指数正参数，且满足0<α<1，sgn(s)是关于s的符号函数，sig(s)α是关于s的光滑且单调增函数；
步骤2-2、设计控制输入u为：
u＝mk(ueq+usw) (12)
Figure FDA0003663444840000041
Figure FDA0003663444840000042
式(14)中，ueq表示前馈模型补偿控制输入，usw是趋近控制输入，
Figure FDA0003663444840000043
是期望是系统期望跟踪的位置指令x1d的两阶导数，k1是正的增益系数，
Figure FDA0003663444840000044
是未知的上限正系数li的估计值，i＝1,2,3，
Figure FDA0003663444840000045
是σ的导数；
Figure FDA0003663444840000046
的自适应律如下：
Figure FDA0003663444840000047
Figure FDA0003663444840000048
Figure FDA0003663444840000049
式中，
Figure FDA00036634448400000410
是
Figure FDA00036634448400000411
未知的上限正系数估计值的导数，即为增益自适应律，ai是自适应律的调节系数，βi是自适应律的稳定性证明系数，i＝1,2,3；
转入步骤3。
4.根据权利要求3所述的直流电机伺服系统的FTAIRTSM控制方法，其特征在于，运用李雅普诺夫稳定性理论进行有限时间自适应积分嵌套终端滑模控制器稳定性证明，得到位置跟踪误差在有限时间内收敛到零的结果，具体如下：
定义李雅普诺夫函数V1如下：
Figure FDA00036634448400000412
式中，
Figure FDA00036634448400000413
为未知的上限正系数的估计误差，运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，得到第二个滑模面函数σ的导数
Figure FDA00036634448400000414
和未知的上限正系数的估计误差
Figure FDA0003663444840000051
有限时间内收敛到零，根据式(10)，当
Figure FDA0003663444840000052
时，得：
Figure FDA0003663444840000053
为证明当
Figure FDA0003663444840000054
时，系统动态会在有限时间到达第一个滑模面s，定义一个新的李雅普诺夫函数V2如下：
Figure FDA0003663444840000055
为证明当第一个滑模面s到达时，跟踪误差e有限时间收敛到零，再定义李雅普诺夫函数V3如下：
Figure FDA0003663444840000056
运用李雅普诺夫有限时间理论进行稳定性证明，最终得到系统位置跟踪误差在有限时间内收敛到零的结果。
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