CN114280944A - 一种具有输出约束的pmsm系统有限时间动态面控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有输出约束的PMSM系统有限时间动态面控制方法，引入合适的Lyapunov‑Krasovskii泛函来处理时滞问题，同时考虑非线性变换函数将输出约束问题转化为无约束问题。然后，在有限时间反演(backstepping)框架下，通过应用神经网络估计未知非线性函数和引入一阶滤波器来解决“复杂性爆炸”问题，设计了一种神经自适应有限时间动态面控制方法。此外，还证明了该系统的所有信号都是有限时间稳定的，并且在不违反输出约束的情况下，跟踪误差在有限时间内缩小到原点的一个小邻域处。

Description

一种具有输出约束的PMSM系统有限时间动态面控制方法

技术领域

本发明属于具有时滞和非对称时变输出约束的PMSM系统控制技术领域，涉及一种具有输出约束的PMSM系统有限时间动态面控制方法。

背景技术

由于永磁同步电机(PMSM)系统相对于步进电机和直流电机具有运行效率高、体积小、功率密度高等显著优点，因此在包括机器人、车辆和飞机在内的汽车工业中被广泛采用。然而，永磁同步电机系统是高度非线性的多变量耦合系统，对复杂的系统参数摄动和不断变化的外部干扰非常敏感。因此，迫切需要设计一种优秀的控制解决方案，有效地应对永磁同步电机系统所面临的上述挑战。在过去几十年中，永磁同步电机系统采用了多种控制方案，包括滑模控制(SMC)、自适应控制和反演控制。

在上述方法中，由于反演算法易于与模糊逻辑系统或神经网络等智能估计器集成，因此它在构造鲁棒或自适应控制器以在一定程度上克服不确定非线性系统中产生的参数摄动和外部干扰方面显示出其潜力。因此，在永磁同步电机系统中进行了大量的自适应反演控制研究。然而，传统反演控制导致的“复杂性爆炸”问题妨碍了前面的控制结果在实践中的广泛应用。为了避免这个问题，在文献“S.Ling,H.Wang,and P.X.Liu,“AdaptiveFuzzy Dynamic Surface Control of Flexible-Joint Robot Systems With InputSaturation,”IEEE-CAAJ.Autom.Sin.,vol.6,no.1,pp.97-106,2019”(Ling Song，WangHuanqing，Liu Peter X.,“具有输入饱和度的柔性关节机器人系统的自适应模糊动态表面控制,IEEE-CAA Journal of Automatica Sinica,卷:6,期：1，页码：97-106,2019)”中提出了一种动态表面控制解决方案，其中一阶滤波器在设计的每一步近似虚拟控制器的导数。随后，也有人通过引入跟踪微分器、一阶滤波器和指令滤波器等合适的估计器，在永磁同步电机系统中研究了许多改进的反演控制方法。遗憾的是，尽管上述控制方法可以在一定程度上提高系统性能，但它们没有涉及到能够有效提高永磁同步电机系统稳态和瞬态性能的另外两个研究前沿，即有限时间控制和约束控制。

从时间优化控制系统的角度来看，与渐近稳定方式相比，有限时间控制方案在原点附近表现出更好的收敛性和更强的鲁棒性。鉴于此，在过去的几年中，为提高永磁同步电机系统的响应和鲁棒性，已经进行了许多工作。例如，文献“L.Fang,L.Ma,S.Ding,andD.Zhao,“Robust finite-time stabilization of a class of high-order stochasticnonlinear systems subject to output constraint and disturbances,”Int.J.RobustNonlinear Control,vol.29,no.16,pp.5550-5573,2019(Fang Liand，Ma Li,Ding,ZhaoDean,“受输出约束和干扰影响的一类高阶随机非线性系统的鲁棒性有限时间稳定化，”International Journal of Robust and Nonlinear Control,卷:29,期:16,页码：5550-5573，2019)”中的工作通过分数功率积分器技术研究了永磁同步电机系统的有限时间稳定问题。在文献“J.Jiang,X.Zhou,W.Zhao,W.Li,and W.Zhang,“A fast integral slidingmode controller with an extended state observer for position control ofpermanent magnet synchronous motor servo systems,”Front.Inf.Technol.Electron.Eng.,vol.21,no.8,pp.1239-1250,2020(Jiang Jun-feng，Zhou Xiao-jun，Zhao Wei，Li Wei，Zhang Wen-dong，用于永磁同步电机伺服系统位置控制的带扩展状态观测器的快速积分滑动模式控制器，Frontiers of InformationTechnology&Electronic Engineering,卷:21，期：8，页码：1239-1250，2020)”中，永磁同步电机系统的有限时间控制器被构造成在有限时间内跟踪所需的输出信号，从而产生了优异的性能。文献“M.Sharma and I.Kar,“Finite Time Disturbance Observer BasedGeometric Control of Quadrotors,”.6thConference onAdvances inControlandOptimizationofDynamical Systems(ACODS),2020,pp.295-300(Sharma Manmohan，KarIndrani，基于有限时间扰动观测器的四旋翼飞机的几何控制(ACODS)，6th Conference onAdvances in Control and Optimization of Dynamical Systems，卷：53，期：1，页码：295-300，2020)”中的研究将有限时间观测器考虑到反演设计中，以解决永磁同步电机系统的不确定性和动态问题。上述结果表明，考虑有限时间工具可以更快地实现跟踪误差，这是本文构建永磁同步电机系统有限时间控制方案的动机之一。

在研究约束控制的前沿，已经提出了许多重要的方法，如李雅普诺夫函数(BLF)、预测控制和规定的性能控制。其中，基于BLF的方法被视为解决状态和输出约束的有效方式。在文献“Q.Zhu and Y.Liu,“Neural network adaptive finite-time control ofstochastic nonlinear systems with full state constraints,”AsianJ.Control,vol.23,no.4,pp.1728-1739,2021(Zhu Qidan，Liu Yongchao，“具有完全状态约束的随机非线性系统的神经网络自适应有限时间控制，”Asian Journal of Control,卷：23，期：4，页码：1728-1739，2021)”中，对数型BLF出现在有限时间稳定控制中，以将状态变量限制在一定范围内。文献“L.Fang,L.Ma,S.Ding,and J.H.Park,“Finite-Time Stabilization ofHigh-Order Stochastic Nonlinear Systems With Asymmetric Output Constraints,”IEEE Trans.Syst.Man Cybern.,vol.51,no.11,pp.7201-7213,2021(Fang Liandi，Ma Li，Ding Shihong，ParkJu H.,“具有不对称输出约束的高阶随机非线性系统的有限时间稳定化，”IEEE Transactions On Systems Man Cybernetics-Systems,卷：51，期：11，页码：7201-7213，2021)”中给出的自适应反演控制采用BLF来处理不对称输出约束。尽管之前基于BLF的工作有助于将永磁同步电机系统的输出和状态限制在某些特定区域，但它们无法摆脱使用分段BLF来简化控制器设计和稳定性综合。为了避免使用分段非对称BLF，在文献“D.Li,H.Han,and J.Qiao,“Deterministic Learning-Based Adaptive Neural Controlfor Nonlinear Full-State Constrained Systems.,”IEEE Trans.neural networksLearn.Syst.,2021,doi:10.1109/TNNLS.2021.3126320(Li Dapeng,Han Honggui,QiaoJunfei,“非线性全状态受限系统的基于确定学习的自适应神经控制，”IEEETransactions on Neural Networks and Learning Systems,doi:10.1109/TNNLS.2021.3126320，2021)”中创建了坐标变换函数，将状态约束系统转换为无约束系统。最近，在文献“Z.Lv,Y.Ma,J.Liu,and J.Yu,“Full-State Constrained Adaptive FuzzyFinite-Time Dynamic Surface Control for PMSM Drive Systems,”Int.J.FuzzySyst.,vol.23,no.3,pp.804-815,2021(Lv Zhenxiang,Ma Yumei,Liu Jiapeng,YuJinpeng,“PMSM驱动系统的全状态约束的自适应模糊有限时间动态表面控制，”International Journal of Fuzzy Systems,卷：23，期：3，页码：804-815，2021)”中的工作将精细转换应用于具有全状态约束的永磁同步电机系统的有限时间控制设计。即使如此，他们也忽略了在设计的控制器中处理存在的时滞问题，这有损控制永磁同步电机系统的鲁棒性和有效性。

为了解决非线性控制系统的时滞问题，常用的工具是构造合适的Lyapunov-Krasovskii泛函来处理控制论中的时变扰动。文献“Z.Zhang,S.Chen,and Y.Zheng,“FullyDistributed Scaled Consensus Tracking of High-Order Multiagent Systems WithTime Delays and Disturbances,”IEEE Trans.Ind.Informatics,vol.18,no.1,pp.305-314,2022(Zhang Zheng,Chen Shiming,Zheng Yuanshi,具有时间延迟和干扰的高阶多代理系统的全分布式规模化共识跟踪，IEEE Transactions on Industrial Informatics，卷：18，期：1，页码：305-314，2022)”中的工作介绍了Lyapunov-Krasovskii泛函，它解决了时滞多智能体控制系统的时滞干扰问题。文献“S.Li,L.Ding,H.Gao,Y.-J.Liu,N.Li,andZ.Deng,“Reinforcement Learning Neural Network-Based Adaptive Control forState and Input Time-Delayed Wheeled Mobile Robots,”IEEE Trans.Syst.ManCybern.,vol.50,no.11,pp.4171-4182,2020(Li Shu,Ding Liang,Gao Haibo,Liu Yan-Jun,Li Nan,Deng Zongquan,基于强化学习神经网络的状态和输入延时轮式移动机器人的自适应控制，IEEE Transactions onSystems Man Cybernetics-Systems,卷：50，期：11，页码：4171-4182，2020)”中的工作将Lyapunov-Krasovskii泛函与径向基函数NNs(RBFNNs)相结合，提出了一种时滞系统的自适应神经反演控制方案。注意，控制结果是解决时滞非线性控制系统时滞效应的有效方案，但永磁同步电机系统的有限时间控制稳定设计不能直接应用。然后一个实际的问题是：如何结合Lyapunov-Krasovskii泛函技术来解决具有时滞和非对称时变输出约束的永磁同步电机系统的有限时间跟踪问题。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：提供一种具有输出约束的PMSM系统有限时间动态面控制方法，以解决现有技术中存在的技术问题。

本发明采取的技术方案为：一种具有输出约束的PMSM系统有限时间动态面控制方法，该方法包括以下步骤：

(1)定义变量x₁＝θ,x₂＝ω,x₃＝i_q,x₄＝i_d，对(d-q)坐标系下永磁同步电机的动力学模型进

行简化，得到如下式：

式(2)受以下输出约束：

x₁∈Π_x1:＝{x₁∈R:y_d(t)-F₁₁(t)＜x₁(t)＜y_d(t)+F₁₂(t)} (3)

其中，时变函数F₁₁(t)＞0和F₁₂(t)＞0表示已知约束边界,x₁(t)表示输出变量,Δf_i(x(t-τ_i)),i＝1,...,4是时滞项,x＝(x₁,x₂,x₃,x₄)^T∈R⁴是式(2)的整体状态,τ_i,i＝1,...,4是时间常数,

a₂＝3n_p(L_d-L_q)/2，b₁＝-R_s/L_q，b₂＝-n_pL_d/L_q，

b₄＝1/L_q，c₁＝-R_s/L_d，c₂＝n_pL_q/L_d，c₃＝1/L_d；

设1：参考信号y_d(t)及其n阶导数

(n＝0,...,4)有界且连续；约束函数F₁₁(t),F₁₂(t)及其k阶导数

(k＝0,...,4)是有界的和连续的；

引理1：一个连续函数

由f(0,...,0)＝0给出，其中

(i＝1,2,...,n,m_i＞0),有光滑正函数

满足ω_i(0)＝0，这样

由引理1可知，式(2)的时滞项Δf_i(x(t-τ_i)),i＝1,...,4用

表示，然后，根据杨氏不等式，有：

引理2：考虑

和

是常数，然后，对于实变量y和z，以下不等式成立：

引理3：考虑实数r＝1,....,m,和x_r∈R_,r＝1,....,m,得到：

定义1：给出非线性系统

其中f(λ)表示系统状态为λ∈Rⁿ.的光滑函数，如果对于所有初始条件λ(t₀)＝λ₀，有ρ＞0和稳定时间T(ρ,λ₀)＜∞，使所有t≥t₀+T,稳定时间为||λ(t)||＜ρ,，则平衡点为λ＝0的非线性系统

称为有限时间半全局实际稳定；

引理4：对于非线性系统

如果存在光滑正定函数V(λ)和标量a＞0,

b＞0,σ＞0和

则：

那么非线性系统

在有限时间内是稳定的，其中稳定时间可近似为：

其中t≥T,存在:

引理5：对于每个变量,

存在φ₁＜φ₂，φ₁,φ₂是奇数整数。一个不等式适用于以下情况：

其中

和γ₂＝(2^φ-1-2^(1+φ)(φ-1))/(1+φ)＞0；

引理6：对于

有一个集合Λ，它由

给出，然后，对于

满足不等式

(2)使用RBFNNs技术，未知非线性函数在闭合集中以任意精度估计，因此，有：

其中Z＝[z₁,z₂,…,z_n]^T是输入向量，

是期望值，RBFNN的权重向量，l＞1是节点数，δ(Z)是满足|δ(Z)|＜δ_M,的估计误差，δ_M表示未知的有界参数，

是基函数向量，其中选择

作为应用的高斯函数：

其中μ_i＝[μ_i1,...,μ_im]和

分别为域中心和高斯函数的宽度；

让理想权重向量

为：

其中

表示更新的权重向量；

因此：

其中

θ_i和||·||分别是未知变量和·的2-范式；

(3)设计有限时间动态表面控制

A、非线性误差相关转换函数:引入一个非线性转换函数，将输出约束系统式(3)转换为非约束系统；

定义2：非线性转换函数可构造为：

其中，跟踪误差s₁＝x₁-y_d,S₁表示转换误差，F₁₁(t)＞0和F₁₂(t)＞0表示平滑时变函数，假设F₁₁(t),F₁₂(t)满足以下关系：|F₁₁(t)|＜C₀,|F₁₂(t)|＜C₁，其中常数C₀＞0和C₁＞0。

从式(15)中看出，对于满足F₁₁(0)＜s₁(0)＜F₁₂(0)的每个初始值，当S₁有界为t∈[0,+∞)时，确保了s₁的有界性和约束性，F₁₁(t)和F₁₂(t)将缩写为F₁₁和F₁₂；

区分S₁给出：

其中

利用(3)和(16)，得到输出无约束子系统，如下式所示：

B、设计神经自适应有限时间控制器：

设误差坐标变换，如下所示：

v₁＝S₁,v₂＝x₂-α_2c (20)

v₃＝x₃-α_3c,v₄＝x₄,

其中α_ic,i＝2_,3表示以下一阶滤波器的输出：

其中ε_i表示时间常数，虚拟信号α_i在后面设计；

类似地，过滤器误差y_i定义为：

y_i＝α_ic-α_i，i＝2,3 (22)

集成(2)和(19)，在(20)中v_i,i＝1,...,4求导得：

引入估算误差

如下所示：

其中变量

代表θ_i的估计值；

神经自适应有限时间控制器的设计步骤如下：

步骤1：选择Lyapunov函数V₁为：

Lyapunov-Krasovskii函数V_M为：

其中已知

为常数；

取V_M在(26)的时间导数，得：

其中，参数Γ＞0，和正函数ω_ik以消除时间延迟；

然后，将(26)中的V₁导数与(24)结合，得到：

将(23)合并到(28)会得出：

根据(4)，得出：

将(30)代入到(29)中会得出：

其中

且

因此式(31)带入

然后(31)变成

设计F₁(X₁)为：

其中

F₁(X₁)是未知的，因此，利用RBFNN估算F₁(X₁)，如下所示：

其中常数为δ_M＞0；

因此，(32)改写为：

根据杨氏不等式，得到：

其中，设计参数为d₁＞0；

将(36)带入(35)中得到：

将虚拟控制律α₂和自适应律

设计为：

其中k₁₁,k₁₂,α₁₁和α₁₂是正常数β＝β₁/β₂，β₁,β₂是两个奇整数，满足0＜β₁＜β₂；

将(38)代入(37)得到：

对于(20)-(22)、(24)和(38)，取y₂的时间导数得：

其中

表示连续函数；

由于

在紧集中遵循给定初始条件的最大值，因此，存在这样的函数

其中

利用杨氏不等式，有：

将(42)代到(41)中有：

步骤2：考虑李雅普诺夫函数V₂：

其中已知常数为

将V₂的微分与(24)结合，得：

将(23)和(43)组合成(45)将导出:

与(30)相似，有:

将(47)代入(46)会得出:

设计F₂(X₂)作为：

其中X₂＝[x₁,...,x₄,y_d,α_2c]^T；

将(49)代入(48)得到：

从(49)中知道F₂(X₂)也是未知的，因此，F₂(X₂)由以下RBFNN近似：

然后，(51)进一步重新表述为：

与(36)类似，以下不等式成立：

其中，设计参数为d₂＞0；

将(53)代入到(52)中得到：

与(38)类似，将虚拟控制律α₃和自适应律

设计为：

其中k₂₁,k₂₂,α₂₁和α₂₂为正常数；

将(55)代入(54)得：

与(42)相似，得出：

其中函数

将(57)代入(56)得到：

步骤3：构造Lyapunov函数V₃，如下式所示

其中已知常数为

_V3的时间导数与(24)结合得到：

将(23)和(58)代入(57)得到：

与(30)类似，得到以下不等式：

将(62)与(61)结合，得：

将F₃(X₃)定义为：

F₃(X₃)＝b₁x₃+b₂x₂x₄+b₃x₂+3v₃+v₂ (64)

其中X₃＝[x₂,x₃,x₄,α_2c,α_3c]^T；

然后，(63)如下式所示：

F₃(X₃)是未知的；因此，存在这样一个

与(36)类似，它得到：

其中，设计参数为_d3＞0；

然后，(65)表述为：

将实际控制器_uq和自适应律

设计为：

其中k₃₁,k₃₂,α₃₂和α₃₂为正常数；

将(69)代入(68)得出：

步骤4：选择Lyapunov函数_V4为：

其中已知常数为

取_V4与(24)的时间导数得：

将(23)和(70)代入(72)中得到：

与(30)类似，以下关系成立:

那么，(73)简化为:

设函数_F4(X4)为：

F₄(X₄)＝c₁x₄+c₂x₂x₃+3v₄ (76)

其中X₂＝[x₂,x₃,x₄]^T；

那么，(75)可以构建为：

易知函数F₄(X₄)不确定，因此，存在

使得：

与(36)类似，得到：

其中，设计参数为d₄＞0；

将(79)代入(77)中得到：

将实际控制器u_d和自适应律

设计为：

其中k₄₁,k₄₂,α₄₁和α₄₂为正常数；

将(81)代入(80)得到：

本发明的有益效果：与现有技术相比，本发明的效果如下：

1)通过引入跟踪误差的函数变换，将输出受限的永磁同步电机系统转化为一种新型的无约束永磁同步电机系统。与现有技术中基于分段非对称BLF的约束反演控制器相比，基于转换的方案对于构造具有非对称约束的非线性系统的反演控制器是方便而直接的；

2)与现有技术中的渐近控制结果不同，本发明通过引入一阶滤波器来规避“复杂性爆炸”，为无约束永磁同步电机系统设计了一种有限时间动态面控制方案与反演方法相结合，并在设计的控制器和自适应律中包含分数次幂项的方案，这种设计不仅保证了较高的跟踪精度和收敛速度，而且具有良好的抗干扰能力；

3)与现有技术中的有限时间控制结果不同，本发明通过引入精细的Lyapunov-Krasovskii泛函，研究了有限时间稳定控制的时滞效应。因此，所设计的有限时间控制方案适用于时滞同时存在的实际应用。

附图说明

图1为永磁同步电机系统控制原理结构示意图；

图2为输出信号x₁和参考轨迹y_d曲线；

图3为跟踪误差s₁结果；

图4为x₂的结果说明图；

图5为i_q和i_d的结果说明；

图6为控制器u_q和u_d的轨迹。

具体实施方式

下面结合具体的实施例对本发明进行进一步介绍。

实施例1：如图1-6所示，一种具有输出约束的PMSM系统有限时间动态面控制方法，包括以下步骤：

A系统说明(d-q)坐标系下永磁同步电机的动力学模型可以表述为：

其中，ω为转子角速度(rad/s)，θ为转子角度(°)，i_q为q-轴电流(A)，i_d为_d-轴电流(A)，u_q为q-轴电压(V)，u_d为d-轴电压(V)，J为转动惯量(kg·m²)，B为摩擦系数(N/(rad/s₎)，

为永磁通量(Wb)，R_s为定子线圈电阻(Ω)，n_p为极对数，L_q为q-轴线圈电感(H)，L_d为d-轴线圈电感(H)，T_L为负载力矩(N·m)；

定义变量x₁＝θ,x₂＝ω,x₃＝i_q,x₄＝i_d并考虑到时间延迟和非对称时变输出约束，则(1)可简化为：

受以下输出约束：

其中，时变函数F₁₁(t)＞0和F₁₂(t)＞0表示已知约束边界,x₁(t)表示输出变量,Δf_i(x(t-τ_i)),i＝1,...,4是时滞项,x＝(x₁,x₂,x₃,x₄)^T∈R⁴是(2)的整个状态,τ_i,i＝1,...,4是时间常数,及

a₂＝3n_p(L_d-L_q)/2，b₁＝-R_s/L_q，b₂＝-n_pL_d/L_q，

b₄＝1/L_q，c₁＝-R_s/L_d，c₂＝n_pL_q/L_d，c₃＝1/L_d。

对于永磁同步电机系统，首先涉及时间延迟Δf_i(x(t-τ_i)),i＝1,...,4，由(2)和(3)表示的不对称输出约束。与现有技术不同，包含的时间延迟项由整体状态构成，更符合实际情况。与常数约束和对称约束相比，(3)中关于输出变量的上下边界是时变的和不对称的，更具一般性。

本发明旨在设计一种具有有限时间特性的神经自适应动态表面控制器，以确保：

(a)跟踪误差s₁＝x₁-y_d在有限时间内缩小到原点的一个小邻域，并且闭环系统的整个信号是有界的；(b)输出信号x₁(t)需要满足(3)所示的关系。为了实现这些目标，假设和引理如下：

假设1：参考信号y_d(t)及其n阶导数

(n＝0,...,4)有界且连续；约束函数F₁₁(t),F₁₂(t)及其k次导数

(k＝0,...,4)是有界的和连续的。

引理1：一个连续函数

由f(0,...,0)＝0给出，其中

(i＝1,2,...,n,m_i＞0),有光滑正函数

满足ω_i(0)＝0，这样

由引理1可知，系统(2)的时滞项Δf_i(x(t-τ_i)),i＝1,...,4可用

表示。然后，根据杨氏不等式，有：

引理2：考虑

和

是常数。然后，对于实变量_y和z，以下不等式成立：

引理3：考虑实数r＝1,....,m,和x_r∈R_,r＝1,....,m,，得到：

定义1：给出非线性系统

其中f(λ)表示系统状态为λ∈Rⁿ.的光滑函数。如果对于所有初始条件λ(t₀)＝λ₀，有ρ＞0和稳定时间T(ρ,λ₀)＜∞，使所有t≥t₀+T,稳定时间为||λ(t)||＜ρ,，则平衡点为λ＝0的非线性系统

称为有限时间半全局稳定。

引理4：对于非线性系统

如果存在光滑正定函数V(λ)和标量a＞0,

b＞0,σ＞0和

则：

那么非线性系统

在有限时间内是稳定的，其中稳定时间可近似为：

其中t≥T,存在:

引理5：对于每个变量,

存在φ₁＜φ₂，φ₁,φ₂是奇数整数。一个不等式适用于以下情况：

其中

和γ₂＝(2^φ-1-2^(1+φ)(φ-1))/(1+φ)＞0；

引理6：对于

有一个集合Λ，它由

给出。然后，对于

满足不等式

此后，当上下文中没有混淆时，有时会省略函数变量。

神经网络系统和函数逼近：使用RBFNNs技术，能够将未知非线性函数在闭合集中以任意精度估计。因此，有：

其中Z＝[z₁,z₂,…,z_n]^T是输入向量，

是期望值。RBFNN的权重向量，l＞1是节点数，δ(Z)是满足|δ(Z)|＜δ_M,的估计误差。δ_M表示未知的有界参数。

是基函数向量，其中选择

作为应用的高斯函数：

其中μ_i＝[μ_i1,...,μ_im]和

分别为域中心和高斯函数的宽度。

让理想权重向量

为：

其中

表示更新的权重向量；因此：

其中

θ_i和||·||分别是未知变量和·的2-范式；

(3)设计有限时间动态表面控制

A、非线性误差相关转换函数:引入一个非线性转换函数，将输出约束系统式(3)转换为非约束系统；

定义2：非线性转换函数可构造为：

其中，跟踪误差s₁＝x₁-y_d,S₁表示转换误差，F₁₁(t)＞0和F₁₂(t)＞0表示平滑时变函数，假设F₁₁(t),F₁₂(t)满足以下关系：|F₁₁(t)|＜C₀,|F₁₂(t)|＜C₁，其中常数C₀＞0和C₁＞0。

从式(15)中看出，对于满足F₁₁(0)＜s₁(0)＜F₁₂(0)的每个初始值，当S₁有界为t∈[0,+∞)时，确保了s₁的有界性和约束性，F₁₁(t)和F₁₂(t)将缩写为F₁₁和F₁₂；

区分S₁给出：

其中

利用(3)和(16)，得到输出无约束子系统，如下式所示：

B、设计神经自适应有限时间控制器：

设误差坐标变换，如下所示：

v₁＝S₁,v₂＝x₂-α_2c (20)

v₃＝x₃-α_3c,v₄＝x₄,

其中α_ic,i＝2_,3表示以下一阶滤波器的输出：

其中ε_i表示时间常数，虚拟信号α_i在后面设计；

类似地，过滤器误差y_i定义为：

y_i＝α_ic-α_i，i＝2,3 (22)

集成(2)和(19)，在(20)中v_i,i＝1,...,4求导得：

引入估算误差

如下所示：

其中变量

代表θ_i的估计值；

神经自适应有限时间控制器的设计步骤如下：

步骤1：选择Lyapunov函数V₁为：

Lyapunov-Krasovskii函数V_M为：

其中已知

为常数；

取V_M在(26)的时间导数，可以得：

其中，参数Γ＞0，和正函数ω_ik以消除时间延迟；

然后，将(26)中的V₁导数与(24)结合，得到：

将(23)合并到(28)会得出：

根据(4)，得出：

将(30)代入到(29)中会得出：

其中

且

因此式(31)带入

然后(31)变成

设计F₁(X₁)为：

其中

F₁(X₁)是未知的，因此，利用RBFNN估算F₁(X₁)，如下所示：

其中常数为δ_M＞0；

因此，(32)改写为：

根据杨氏不等式，得到：

其中，设计参数为d₁＞0；

将(36)带入(35)中得到：

将虚拟控制律α₂和自适应律

设计为：

其中k₁₁,k₁₂,α₁₁和α₁₂是正常数β＝β₁/β₂，β₁,β₂是两个奇整数，满足0＜β₁＜β₂；

将(38)代入(37)得到：

对于(20)-(22)、(24)和(38)，取y₂的时间导数得：

其中

表示连续函数；

由于

在紧集中遵循给定初始条件的最大值，因此，存在这样的函数

其中

利用杨氏不等式，有：

将(42)代到(41)中有：

步骤2：考虑李雅普诺夫函数V₂：

其中已知常数为

将V₂的微分与(24)结合，得：

将(23)和(43)组合成(45)将导出:

与(30)相似，有:

将(47)代入(46)会得出:

设计F₂(X₂)作为：

其中X₂＝[x₁,...,x₄,y_d,α_2c]^T；

将(49)代入(48)得到：

从(49)中知道F₂(X₂)也是未知的，因此，F₂(X₂)由以下RBFNN近似：

然后，(51)进一步重新表述为：

与(36)类似，以下不等式成立：

其中，设计参数为d₂＞0；

将(53)代入到(52)中得到：

与(38)类似，将虚拟控制律α₃和自适应律

设计为：

其中k₂₁,k₂₂,α₂₁和α₂₂为正常数；

将(55)代入(54)得：

与(42)相似，得出：

其中函数

将(57)代入(56)得到：

步骤3：构造Lyapunov函数V₃，如下式所示

其中已知常数为

_V3的时间导数与(24)结合得到：

将(23)和(58)代入(57)得到：

与(30)类似，得到以下不等式：

将(62)与(61)结合，得：

将F₃(X₃)定义为：

F₃(X₃)＝b₁x₃+b₂x₂x₄+b₃x₂+3v₃+v₂ (64)

其中X₃＝[x₂,x₃,x₄,α_2c,α_3c]^T；

然后，(63)如下式所示：

F₃(X₃)是未知的；因此，存在这样一个

与(36)类似，它得到：

其中，设计参数为_d3＞0；

然后，(65)表述为：

将实际控制器_uq和自适应律

设计为：

其中k₃₁,k₃₂,α₃₂和α₃₂为正常数；

将(69)代入(68)得出：

步骤4：选择Lyapunov函数_V4为：

其中已知常数为

取_V4与(24)的时间导数得：

将(23)和(70)代入(72)中得到：

与(30)类似，以下关系成立:

那么，(73)简化为:

设函数_F4(X4)为：

F₄(X₄)＝c₁x₄+c₂x₂x₃+3v₄ (76)

其中X₂＝[x₂,x₃,x₄]^T；

那么，(75)可以构建为：

易知函数F₄(X₄)不确定，因此，存在

使得：

与(36)类似，得到：

其中，设计参数为_d4＞0；

将(79)代入(77)中得到：

将实际控制器_ud和自适应律

设计为：

其中k₄₁,k₄₂,α₄₁和α₄₂为正常数；

将(81)代入(80)得到：

至此，完成了永磁同步电机系统控制器的设计过程。为了更清楚地说明控制方案，方框图如图1所示。

稳定性分析：对于任何给定_p＞0，将紧集定义为：

定理1:在假设1下，针对永磁同步电机系统(2)，设计了由控制律α₂,α₃,u_q,u_d和自适应律

i＝1_,..._,4组成的神经自适应有限时间动态表面控制方法。如果初始条件满足Ω_i,i＝1,...,4,F₁₁(0)＜s₁(0)＜F₁₂(0)和y_d∈(-d,d)，则可确保所有控制目标。

证明：整体李雅普诺夫函数V被选择为：

结合(82)，导出V(t)的导数：

利用杨氏不等式(10)和(24)，得到：

其中

和

然后，(86)可以被重构为：

此外，在引理2中取

和

得出|z|^β≤(1-β)g+|z|.，让z分别为ΓV_M/2和

加ε_i≤2，i＝2,3，有：

将(88)与(87)结合，得出：

其中b₀＝min{2k_i1,(1/ε₂-1/2),(1/ε₃-1/2),α_i1,Γ/21≤i≤4}，

使a₀＝min{2^βk_i2,(1/ε₂-1/2),(1/ε₃-1/2),

|1≤β。≤4}，然后，通过使用引理3，(89)可以表示为：

需要选择合适的参数来保证a₀＞0和b₀＞0。对于(90)中的最后一个变量q₀，需要通过引理2.7进行进一步讨论，如下所示：①对于

结合M(x)≥0，得出_q0≤0；②对于v₁∈Λ，我们可以得到

和

因此，v₁和_q0都是有界的。此外，得到一个正常数

满足

那么(90)可以重写为：

通过使用引理4到(91)，可以得到：

(I)非线性系统(2)在有限时间内是稳定的；

(II)存在一个常数T(称为设定时间)，因此，对于任何

和所有t≥T，以下不等式成立：

其中，稳定时间T可近似为：

根据(84)，得到：

这个不等式表示v_i,i＝1,...,4是有界的。同样，通过组合(15)可以得到y₂,y₃和

i＝1,...,4是有界的。利用(24)，可以进一步得到

i＝1,...,4是有界的。此外，从(15)中可以明显看出(F₁₁(t)+s₁(t))(F₁₂(t)-s₁(t))＜(F₁₁(t)+F₁₂(t))²≤(C₀+C₁)²＝Q。因此，结合(15)、(20)和(94)，可以得出：

(95)表示s₁有界。因为s₁＝x₁-y_d和参考信号y_d是严格有界的，可以得出x₁是有界的。因此，ξ₁是有界的。然后，可以得出(38)中构造的α₂及其导数

是有界的。结合_y2＝α_2c-α₂和(41)，我们可以得出α_2c和

是有界的。考虑到v₂＝x₂-α_2c，可以得出x₂是有界的。同样，可以推断x₃,x₄,α₃,

α_3c,、

u_d和_uq是有界的。总之，可以得出结论，由此产生的系统的所有信号都是有界的。

特别地，(95)揭示了通过充分调节设计参数，输出变量x1可以在有限时间后紧跟参考信号y_d。

此外，结合S₁＝s₁/[(F₁₁(t)+s₁)(F₁₂(t)-s₁)]，可以得出S₁→±∞当且仅当s₁→-F₁₁(t)或s₁→F₁₂(t).。此外，基于v₁＝S₁有界的事实，对于满足F₁₁(0)＜s₁(0)＜F₁₂(0).的每个初始条件，它有-F₁₁(t)＜s₁(t)＜F₁₂(t),

然后，考虑s₁＝x₁-y_d,它给出

对于满足y_d(0)-F₁₁(0)＜x₁(0)＜y_d(0)+F₁₂(0).的任何初始条件。到目前为止，稳定性分析证明已经完成。

跟踪误差s₁是控制能力的直观度量。根据公式(95)，可以观察到跟踪误差s₁的大小取决于变量Q,

和_b0。具体地说，从Q可以得出，跟踪误差的性能可以通过边界_F11(t)和_F12(t)来实现。随后，使用

和_b0的定义，通过减少参数d_i,α_i1,α_i2,i＝1,...,4和增加参数_ki,

可以确保

的大小足够小，b₀的值足够大。结果表明，跟踪误差_s1可以调节得很小。然而，从(38)、(55)、(69)、(81)可以明显看出，增加_ki,

和减少_di可能导致控制信号的幅度大。因此，应考虑与控制努力相关的系统性能的权衡。

神经自适应有限时间动态表面控制，以解决时滞和非对称时变输出约束问题，而现有技术中并未涉及。此外，所设计的控制律和自适应律(包含分数次幂项α_i2θ^2β-1,i＝1...,4)实现了永磁同步电机系统在有限时间内的快速稳定控制。因此，本发明设计的控制方案更具实用性。

仿真验证：为系统(2)提供了两个仿真案例，以验证控制方案的有效性。两个案例是：案例1：时滞项为Δf_i＝0,i＝1,2,3,4，这意味着时滞对控制性能没有影响；

案例2：选择延时项如下：

和

选择永磁同步电机参数为J＝0.003798Kg·m²，B＝0.001158N·m/(rad/s)，T_L＝1.5，

L_d＝0.00285H，n_p＝3，L_q＝0.00315H，R_s＝0.68Ω,时变函数为F₁₁＝0.8+2^-0.3t，F₁₂＝0.7+2^-0.2t。参考信号选择为_yd＝0.5(sin(t)+sin(2t))；在仿真中，初始状态选择为x_i(0)＝0,i＝1,...,4.。每个RBFNN包含11个节点，中心间隔为[-1111]，宽度为10。设计控制参数选择为：α_2c(0)＝0，α_3c(0)＝0.5，

ε₂＝ε₃＝0.01，

k_i1＝10，k_i2＝30，α_i1＝38，d_i＝0.1，α_i2＝0.05，1≤i≤4，β＝97/101。

仿真结果如图2-6所示。图2表明，在情况1-2下，输出信号可以跟踪理想的信号曲线。图3给出了跟踪误差信号曲线。从图2-3可以看出，在实际操作中，系统输出和跟踪误差是有界的，并且不违反它们的约束。图4给出了实际控制信号和状态的响应。图5-6显示了实际控制信号和状态的轨迹。从以上结果可以看出，所设计的解决方案可以完美地执行，其性能趋于令人满意。

本发明基于神经自适应动态表面控制方法，研究了具有时滞和非对称时变输出约束的永磁同步电机系统的有限时间跟踪控制问题。首先，采用基于跟踪误差约束的非线性转换函数。这种策略不仅可以克服分段非对称BLF，而且输出约束系统的设计也可以简化为一般的无约束系统。

本发明将合适的Lyapunov-Krasovskii泛函和有限时间控制方法融合到通用的动态表面控制框架中，提出了一种新的具有分数次幂项自适应律的快速稳定控制方案，解决了有限时间内的“复杂性爆炸”和时滞问题。然后，给出了临界稳定性分析和仿真结果，验证了系统的所有信号都是有界的，以及所设计控制方案的有效性。我们未来的工作将这种设计扩展到通常会遇到物理限制和时间延迟的场景中，例如车辆、电动电梯、机器人和机床。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内，因此，本发明的保护范围应以所述权利要求的保护范围为准。

Claims (1)

1.一种具有输出约束的PMSM系统有限时间动态面控制方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

(1)定义变量x₁＝θ,x₂＝ω,x₃＝i_q,x₄＝i_d，对(d-q)坐标系下永磁同步电机的动力学模型进行简化，得到如下式：

式(2)受以下输出约束：

其中，时变函数F₁₁(t)＞0和F₁₂(t)＞0表示已知约束边界,x₁(t)表示输出变量,Δf_i(x(t-τ_i)),i＝1,...,4是时滞项,x＝(x₁,x₂,x₃,x₄)^T∈R⁴是式(2)的整体状态,τ_i,i＝1,...,4是时间常数,

a₂＝3n_p(L_d-L_q)/2，b₁＝-R_s/L_q，b₂＝-n_pL_d/L_q，

b₄＝1/L_q，c₁＝-R_s/L_d，c₂＝n_pL_q/L_d，c₃＝1/L_d；ω为转子角速度，θ为转子角度，i_q为q-轴电流，i_d为d-轴电流，u_q为q-轴电压，u_d为d-轴电压，J为转动惯量，B为摩擦系数，

为永磁通量，R_s为定子线圈电阻，n_p为极对数，L_q为q-轴线圈电感，L_d为d-轴线圈电感，T_L为负载力矩；

设1：参考信号y_d(t)及其n阶导数

有界且连续；约束函数F₁₁(t),F₁₂(t)及其k阶导数

是有界的和连续的；

引理1：一个连续函数

由f(0,...,0)＝0给出，其中

有光滑正函数

满足ω_i(0)＝0，这样

由引理1可知，式(2)的时滞项Δf_i(x(t-τ_i)),i＝1,...,4用

表示，然后，根据杨氏不等式，有：

引理2：考虑

和

是常数，然后，对于实变量y和z，以下不等式成立：

引理3：考虑实数r＝1,....,m,和x_r∈R,r＝1,....,m,得到：

定义1：给出非线性系统

其中f(λ)表示系统状态为λ∈Rⁿ.的光滑函数，如果对于所有初始条件λ(t₀)＝λ₀，有ρ＞0和稳定时间T(ρ,λ₀)＜∞，使所有t≥t₀+T,稳定时间为||λ(t)||＜ρ,，则平衡点为λ＝0的非线性系统

称为有限时间半全局实际稳定；

引理4：对于非线性系统

如果存在光滑正定函数V(λ)和标量a＞0,

b＞0,σ＞0和

则：

那么非线性系统

在有限时间内是稳定的，其中稳定时间可近似为：

其中t≥T,存在:

引理5：对于每个变量,

φ＝φ₁/φ₂,存在φ₁＜φ₂，φ₁,φ₂是奇数整数。一个不等式适用于以下情况：

其中

和

引理6：对于

有一个集合Λ，它由

给出，然后，对于

满足不等式

(2)使用RBFNNs技术，对未知非线性函数在闭合集中以任意精度估计，因此，有：

其中Z＝[z₁,z₂,…,z_n]^T是输入向量，

是期望值，RBFNN的权重向量，l＞1是节点数，δ(Z)是满足|δ(Z)|＜δ_M,的估计误差，δ_M表示未知的有界参数，

是基函数向量，其中选择

作为应用的高斯函数：

其中μ_i＝[μ_i1,...,μ_im]和

分别为域中心和高斯函数的宽度；

让理想权重向量

为：

其中

表示更新的权重向量；

因此：

其中

θ_i和||·||分别是未知变量和·的2-范式；

(3)设计有限时间动态表面控制

A、非线性误差相关转换函数:引入一个非线性转换函数，将输出约束系统式(3)转换为非约束系统；

定义2：非线性转换函数可构造为：

其中，跟踪误差s₁＝x₁-y_d,S₁表示转换误差，F₁₁(t)＞0和F₁₂(t)＞0表示平滑时变函数，假设F₁₁(t),F₁₂(t)满足以下关系：|F₁₁(t)|＜C₀,|F₁₂(t)|＜C₁，其中常数C₀＞0和C₁＞0。

从式(15)中看出，对于满足F₁₁(0)＜s₁(0)＜F₁₂(0)的每个初始值，当S₁有界为t∈[0,+∞)时，确保了s₁的有界性和约束性，F₁₁(t)和F₁₂(t)将缩写为F₁₁和F₁₂；

区分S₁给出：

其中

利用(3)和(16)，得到输出无约束子系统，如下式所示：

B、设计神经自适应有限时间控制器：

设误差坐标变换，如下所示：

其中α_ic,i＝2_,3表示以下一阶滤波器的输出：

其中ε_i表示时间常数，虚拟信号α_i在后面设计；

类似地，过滤器误差y_i定义为：

y_i＝α_ic-α_i，i＝2,3 (22)

集成(2)和(19)，在(20)中v_i,i＝1,...,4求导得：

引入估算误差

如下所示：

其中变量

代表θ_i的估计值；

神经自适应有限时间控制器的设计步骤如下：

步骤1：选择Lyapunov函数V₁为：

Lyapunov-Krasovskii函数V_M为：

其中已知l₁＞0为常数；

取V_M在(26)的时间导数，得：

其中，参数Γ＞0，和正函数ω_ik以消除时间延迟；

然后，将(26)中的V₁导数与(24)结合，得到：

将(23)合并到(28)会得出：

根据(4)，得出：

将(30)代入到(29)中会得出：

其中

且

因此式(31)带入

然后(31)变成

设计F₁(X₁)为：

其中

F₁(X₁)是未知的，因此，利用RBFNN估算F₁(X₁)，如下所示：

其中常数为δ_M＞0；

因此，(32)改写为：

根据杨氏不等式，得到：

其中，设计参数为d₁＞0；

将(36)带入(35)中得到：

将虚拟控制律α₂和自适应律

设计为：

其中k₁₁,k₁₂,α₁₁和α₁₂是正常数β＝β₁/β₂，β₁,β₂是两个奇整数，满足0＜β₁＜β₂；

将(38)代入(37)得到：

对于(20)-(22)、(24)和(38)，取y₂的时间导数得：

其中

表示连续函数；

由于

在紧集中遵循给定初始条件的最大值，因此，存在这样的函数

其中

利用杨氏不等式，有：

将(42)代到(41)中有：

步骤2：考虑李雅普诺夫函数V₂：

其中已知常数为l₂＞0；

将V₂的微分与(24)结合，得：

将(23)和(43)组合成(45)将导出:

与(30)相似，有:

将(47)代入(46)会得出:

设计F₂(X₂)作为：

其中X₂＝[x₁,...,x₄,y_d,α_2c]^T；

将(49)代入(48)得到：

从(49)中知道F₂(X₂)也是未知的，因此，F₂(X₂)由以下RBFNN近似：

然后，(51)进一步重新表述为：

与(36)类似，以下不等式成立：

其中，设计参数为d₂＞0；

将(53)代入到(52)中得到：

与(38)类似，将虚拟控制律α₃和自适应律

设计为：

其中k₂₁,k₂₂,α₂₁和α₂₂为正常数；

将(55)代入(54)得：

与(42)相似，得出：

其中函数

将(57)代入(56)得到：

步骤3：构造Lyapunov函数V₃，如下式所示

其中已知常数为l₃＞0；

V₃的时间导数与(24)结合得到：

将(23)和(58)代入(57)得到：

与(30)类似，得到以下不等式：

将(62)与(61)结合，得：

将F₃(X₃)定义为：

F₃(X₃)＝b₁x₃+b₂x₂x₄+b₃x₂+3v₃+v₂ (64)

其中X₃＝[x₂,x₃,x₄,α_2c,α_3c]^T；

然后，(63)如下式所示：

F₃(X₃)是未知的；因此，存在这样一个

与(36)类似，它得到：

其中，设计参数为d₃＞0；

然后，(65)表述为：

将实际控制器u_q和自适应律

设计为：

其中k₃₁,k₃₂,α₃₂和α₃₂为正常数；

将(69)代入(68)得出：

步骤4：选择Lyapunov函数V₄为：

其中已知常数为l₄＞0；

取V₄与(24)的时间导数得：

将(23)和(70)代入(72)中得到：

与(30)类似，以下关系成立:

那么，(73)简化为:

设函数F₄(X₄)为：

F₄(X₄)＝c₁x₄+c₂x₂x₃+3v₄ (76)

其中X₂＝[x₂,x₃,x₄]^T；

那么，(75)构建为：

易知函数F₄(X₄)不确定，因此，存在

使得：

与(36)类似，得到：

其中，设计参数为d₄＞0；

将(79)代入(77)中得到：

将实际控制器u_d和自适应律

设计为：

其中k₄₁,k₄₂,α₄₁和α₄₂为正常数；

将(81)代入(80)得到：

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