CN113659895A - 基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法。该方法针对永磁同步电动机的控制精度需求以及驱动系统中的非线性问题，采用有限时间控制技术加快了系统收敛速度并提高了系统的抗干扰能力，保证系统的跟踪误差收敛到原点的一个足够小的邻域内；通过引入指令滤波技术解决传统反步控制的计算爆炸问题，同时设计了有限时间误差补偿机制减小了滤波误差的影响，提高了系统的控制精度；构建了障碍Lyapunov函数，以保证永磁同步电动机系统的转子角速度、定子电流等状态量始终在给定的状态区间内，同时利用神经网络自适应技术处理系统中未知的非线性项。本发明实现了对永磁同步电动机位置跟踪控制快速有效的响应，具有较好的鲁棒性。

Description

基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制 方法

技术领域

本发明属于永磁同步电动机位置跟踪控制技术领域，尤其涉及一种基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法。

背景技术

近年来，永磁同步电动机凭借其结构简单、无转子损耗和调速范围广等优点，在制造业、农业及航天等领域得到了广泛应用。然而，永磁同步电动机系统具有多变量、强耦合、高度非线性等特点，容易受一些不确定因素的影响而无法正常工作，例如参数不确定以及负载扰动等。为了使系统获得更优良的控制性能，研究者们提出了许多有效的控制策略，如反步控制、神经网络控制、滑模变结构控制、自适应控制、动态面控制等先进的控制技术。

然而，上述方法所应用的系统都是渐进稳定的系统，没有考虑永磁同步电动机在实际运行中的收敛速度，系统无法在短时间内稳定从而实现快速有效的跟踪。同时系统容易受到外部负载转矩扰动的影响，因此考虑在永磁同步电动机系统中引入有限时间技术，可以提高系统的收敛速度和抗干扰能力，具有一定的实际意义。此外，在许多实际工程中，系统的状态量总是被限制在合理的范围内，若超出范围可能会影响系统的性能和安全性，可能使系统出现故障，甚至威胁人身安全，例如，在工农业生产过程中，电动机的转子机械角速度超过给定的范围会使设备的生产效率和安全性降低；过大的励磁电流会使电动机绕组发热，产生严重的热损耗，加速绝缘老化，缩短电动机使用寿命。因此，对于永磁同步电动机而言，其转子位置、转子角速度和励磁电流等状态量要限制在合理的范围内。

另外，在另一个前沿领域，作为先进控制方法的自适应反步法已成功运用到了永磁同步电动机系统中。自适应反步控制方法将复杂的非线性系统分解成多个简单低阶的子系统，通过引入虚拟控制变量来逐步进行控制器设计，最终确定控制律以及参数自适应律，从而实现对系统的有效控制。但是传统的自适应反步法却存在局限性，主要表现为永磁同步电动机驱动系统中某些函数必须是线性的以及在对虚拟控制函数反复求导的过程中，随着高阶导数的出现会导致计算爆炸问题。针对第一个问题，相关研究已经提出了模糊逻辑系统或神经网络等近似理论来逼近系统中未知的非线性项。针对计算爆炸问题，已经提出了动态面控制方法来解决，然而动态面控制方法不能消除滤波误差的影响，会影响系统的控制精度。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法，以实现永磁同步电动机系统的有限时间位置跟踪控制，且能够有效保证系统的状态量始终处于给定的状态区间内。本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法，包括如下步骤：

步骤1.建立d-q坐标轴下永磁同步电动机的动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，θ表示转子角度，ω表示转子角速度，u_q表示q轴定子电压，u_d表示d轴定子电压，i_q表示q轴定子电流，i_d表示d轴定子电流，L_q表示q轴定子电感，L_d表示d轴定子电感，J表示转动惯量，B表示摩擦系数，n_p表示极对数，Φ表示永磁体产生的磁链，T表示电磁转矩；T_L表示负载转矩，R_s表示定子电阻；为了简化以上动态数学模型，定义如下新变量：

则永磁同步电动机的动态数学模型用公式(2)表示，即：

步骤2.采用障碍Lyapunov函数设计基于一种指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法，控制目标是设计q轴定子电压u_q和d轴定子电压u_d为真实控制律，使得x₁跟踪期望的位置信号x_d，同时使永磁同步电动机系统的状态量始终在给定的区间内；

对于一个连续的非线性函数f(Z)，存在径向基函数神经网络W^TS(Z)使得：

f(Z)＝W^TS(Z)+δ(Z)；其中，δ(Z)是逼近误差且满足|δ(Z)|≤ε，ε为任意小的正常数；

是输入向量，q是神经网络输入维数，R^q为实数向量集；

W∈R^w是权重向量，神经网络节点数w为正整数，且w＞1，R^w为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_w(Z)]^T∈R^w为基函数向量；s_j(Z)为高斯函数，其表达式为：

其中，μ_j表示接受域的中心，η_j表示高斯函数的宽度；

定义有限时间：对于任意的实数λ₁＞0,λ₂＞0,0＜β＜1，则有限时间稳定的扩展Lyapunov条件表示为：

其中，V(x)表示系统的Lyapunov函数；系统的收敛时间T_r通过T_r≤t₀+[1/λ₁(1-β)]ln[(λ₁V^1-β(t₀)+λ₂)/λ₂]来估计，t₀表示初始时间；

定义有限时间指令滤波器为：

其中，

均为有限时间指令滤波器的输出信号，t＝1,2；Ξ是有限时间指令滤波器参数，0＜α＜1，Ξ_b是正常数；

表示

的符号函数，

表示

的符号函数；

和

定义如下：

其中，虚拟控制信号α_t表示有限时间指令滤波器的输入信号，t＝1,2；

定义跟踪误差变量为：

定义误差补偿信号为：

其中，z_i为系统跟踪误差变量，v_i为补偿误差，ζ_i为误差补偿信号，i＝1,2,3,4；

定义如下紧集Ω_v和Ω_x：

其中，

与

是正的常数，

A₀、A₁均为正常数；

基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法的每一步都采用一个障碍Lyapunov函数来构建一个虚拟控制信号或者真实控制律；控制方法包括以下步骤：

步骤2.1.对于期望的位置信号x_d，选取障碍Lyapunov函数V₁为：

对V₁求导得：

其中，

sign(ζ₁)表示ζ₁的符号函数，l₁＞0；根据杨氏不等式得到：

选取虚拟控制信号α₁和误差补偿信号ζ₁为：

其中，k₁和s₁是正的设计参数，0＜β＜1；将公式(7)、(8)、(9)代入公式(6)得到：

步骤2.2.选取障碍Lyapunov函数V₂为：

对公式(11)进行求导，得到：

其中，

根据杨氏不等式，得到：

其中，d表示|T_L|的上限值，ε₁为任意小的正数；

令

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₂＞0，存在径向基神经网络

使得

其中，δ₂表示逼近误差，并且满足|δ₂|≤ε₂，从而由杨氏不等式得：

其中，W₂∈R^w是权重向量，||W₂||为向量W₂的范数，S₂(Z)为基函数向量，l₂＞0，h₂为正常数；选取虚拟控制信号α₂和误差补偿信号ζ₂为：

其中，k₂和s₂是正的设计参数，sign(ζ₂)表示ζ₂的符号函数，

为θ的估计值，参数θ的定义将在后面给出；将公式(13)至公式(17)代入公式(12)得到：

步骤2.3.选取障碍Lyapunov函数V₃为：

对公式(19)进行求导，得到：

其中，

令

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₃＞0，存在径向基神经网络

使得

其中，δ₃表示逼近误差，并且满足|δ₃|≤ε₃，从而由杨氏不等式得：

其中，W₃∈R^w是权重向量，||W₃||为向量W₃的范数，S₃(Z)为基函数向量，sign(ζ₃)表示ζ₃的符号函数，l₃＞0，h₃为正常数；设计q轴定子电压u_q为真实控制律，u_q的表达式如下：

误差补偿信号ζ₃为：

其中，k₃和s₃是正的设计参数；将公式(21)至公式(24)代入公式(20)得到：

步骤2.4.选取障碍Lyapunov函数V₄为：

对公式(26)求导得到：

其中，

令f₄(Z)＝c₁x₄+c₂x₂x₃；根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₄＞0，存在径向基神经网络

使得：

其中，δ₄表示逼近误差，并且满足|δ₄|≤ε₄，从而由杨氏不等式得：

其中，W₄∈R^w是权重向量，||W₄||为向量W₄的范数，S₄(Z)为基函数向量，l₄＞0，h₄为正常数，sign(ζ₄)表示ζ₄的符号函数；设计d轴定子电压u_d为真实控制律，u_d的表达式如下：

误差补偿信号ζ₄为：

其中，k₄和s₄是正的设计参数；将公式(28)至公式(31)代入公式(27)得到：

定义θ＝max{||W₂||²,||W₃||²,||W₄||²}，则得到：

步骤2.5.定义θ的估计误差

为：

选取障碍Lyapunov函数V为：

其中，r为正常数，则对V求导得到：

其中，

为自适应律，选取自适应律

为：

其中，m为正常数，将公式(36)代入公式(35)得到：

步骤3.对永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法进行稳定性分析；

当

由杨氏不等式得：

将公式(38)至公式(40)代入公式(37)，则得到：

其中，

通过有限时间定义得知，补偿误差v_i和误差补偿信号ζ_i都是在有限时间内收敛到原点附近的小邻域内，即系统误差变量z_i也在有限时间内收敛；

由于误差补偿信号ζ_i是收敛的，所以，存在一个正常数k_ζ，使得|ζ_i|≤k_ζ；

由于z₁＝x₁-x_d,v₁＝z₁-ζ₁且

则

由于虚拟控制信号α₁是关于

的函数，得知α₁是有界的，所以x_1,c也是有界的，并且存在一个正常数

使得

则

由于虚拟控制信号α₂是关于z₂,v₂的函数，得知α₂是有界的，所以x_2,c也是有界的，并且存在一个正常数

使得

则：

因此，永磁同步电动机系统的状态量被约束在紧集Ω_x内。

本发明具有如下优点：

(1)本发明构建障碍Lyapunov函数，以保证永磁同步电动机系统的转子角速度、定子电流等状态量始终在给定的状态区间内，避免因违反状态约束而引发的安全性问题。

(2)本发明采用指令滤波技术，解决了传统反步控制中存在的“计算爆炸”问题，同时设计了误差补偿信号减小了滤波误差的影响，提高了永磁同步电动机系统的控制精度。

(3)本发明利用神经网络处理永磁同步电动机系统中的非线性函数，将反步技术与神经网络自适应方法结合起来控制永磁同步电动机，实现理想的位置跟踪控制效果。

(4)本发明采用了改进的有限时间指令滤波器，使滤波器的输出更快的逼近虚拟控制信号的导数，在滤波器中引入了饱和项可以避免抖振现象的发生，保证了有限时间稳定性。

(5)本发明仅采用一个自适应律，能够减轻在线计算负担，且易于工程实现。

附图说明

图1是本发明实施例中基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制器、坐标变换单元、SVPWM逆变器和检测单元组成的复合被控对象的示意图；

图2是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪仿真图；

图3是采用本发明控制方法后转子角度跟踪误差仿真图；

图4是采用本发明控制方法后永磁同步电动机q轴定子电压仿真图；

图5是采用本发明控制方法后永磁同步电动机d轴定子电压仿真图；

图6是采用本发明控制方法后永磁同步电动机状态量x₂,x₃,x₄的仿真图。

具体实施方式

本发明的基本思想为：利用神经网络逼近永磁同步电动机系统中未知的非线性函数；利用障碍Lyapunov函数将永磁同步电动机系统的转子角速度、定子电流等状态量始终约束在给定的状态区间内；运用指令滤波反步法构造中间虚拟控制信号和误差补偿信号，逐步递推得到控制律，从而保证电压稳定在一个有界区域内，减小控制误差，从而提高控制精度。引入了有限时间控制技术，使得跟踪误差能够在有限时间内收敛到原点非常小的领域内，提高系统的控制精度和抗干扰能力。

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

如图1示出了本发明实施例中基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制器、坐标变换单元、SVPWM逆变器和检测单元组成的复合被控对象的示意图。

图1中涉及的部件包括基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3、转速检测单元4和电流检测单元5。

其中，参数U、V、W表示三相电压，参数U_α和U_β表示两相静止坐标系下的电压。

转速检测单元4和电流检测单元5用于检测永磁同步电动机的电流值和转速变量，通过将实际测量的电流和转速变量作为输入，基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制永磁同步电动机的转速。

为了设计一个更加有效的控制器，建立永磁同步电动机系统的动态模型是十分重要的。

基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法，包括如下步骤：

步骤1.建立d-q坐标轴下永磁同步电动机的动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，θ表示转子角度，ω表示转子角速度，u_q表示q轴定子电压，u_d表示d轴定子电压，i_q表示q轴定子电流，i_d表示d轴定子电流，L_q表示q轴定子电感，L_d表示d轴定子电感，J表示转动惯量，B表示摩擦系数，n_p表示极对数，Φ表示永磁体产生的磁链，T表示电磁转矩；T_L表示负载转矩，R_s表示定子电阻。为了简化以上动态数学模型，定义如下新变量：

则永磁同步电动机的动态数学模型用公式(2)表示，即：

步骤2.采用障碍Lyapunov函数设计基于一种指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法，控制目标是设计q轴定子电压u_q和d轴定子电压u_d为真实控制律，使得x₁跟踪期望的位置信号x_d，同时使永磁同步电动机系统的状态量始终在给定的区间内。

对于一个连续的非线性函数f(Z)，存在径向基函数神经网络W^TS(Z)使得：

f(Z)＝W^TS(Z)+δ(Z)；其中，δ(Z)是逼近误差且满足|δ(Z)|≤ε，ε为任意小的正常数；

是输入向量，q是神经网络输入维数，R^q为实数向量集；W∈R^w是权重向量，神经网络节点数w为正整数，且w＞1，R^w为实数向量集。

S(Z)＝[s₁(Z),...,s_w(Z)]^T∈R^w为基函数向量；s_j(Z)为高斯函数，其表达式为：

其中，μ_j表示接受域的中心，η_j表示高斯函数的宽度。

定义有限时间：对于任意的实数λ₁＞0,λ₂＞0,0＜β＜1，则有限时间稳定的扩展Lyapunov条件表示为：

其中，V(x)表示系统的Lyapunov函数；系统的收敛时间T_r通过T_r≤t₀+[1/λ₁(1-β)]ln[(λ₁V^1-β(t₀)+λ₂)/λ₂]来估计，t₀表示初始时间。

定义有限时间指令滤波器为：

其中，

均为有限时间指令滤波器的输出信号，t＝1,2；Ξ是有限时间指令滤波器参数，0＜α＜1，Ξ_b是正常数；

表示

的符号函数，

表示

的符号函数；

和

定义如下：

其中，虚拟控制信号α_t表示有限时间指令滤波器的输入信号，t＝1,2。

定义跟踪误差变量为：

定义误差补偿信号为：

其中，z_i为系统跟踪误差变量，v_i为补偿误差，ζ_i为误差补偿信号，i＝1,2,3,4。

定义紧集Ω_v和Ω_x：

其中，

与

是正的常数，

A₀、A₁为正常数。

基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法的每一步都采用一个障碍Lyapunov函数来构建一个虚拟控制信号或者真实控制律；控制方法包括以下步骤：

步骤2.1.对于期望的位置信号x_d，选取障碍Lyapunov函数V₁为：

对V₁求导得：

其中，

sign(ζ₁)表示ζ₁的符号函数，l₁＞0。根据杨氏不等式得到：

选取虚拟控制信号α₁和误差补偿信号ζ₁为：

其中，k₁和s₁是正的设计参数，0＜β＜1。将公式(7)至公式(9)代入公式(6)得到：

步骤2.2.选取障碍Lyapunov函数V₂为：

对公式(11)进行求导，得到：

其中，

根据杨氏不等式，得到：

其中，d表示|T_L|的上限值；ε₁为任意小的正数。

令

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₂＞0，存在径向基神经网络

使得

其中δ₂表示逼近误差，并且满足|δ₂|≤ε₂，从而由杨氏不等式得：

其中，W₂∈R^w是权重向量，||W₂||为向量W₂的范数，S₂(Z)为基函数向量，l₂＞0，h₂为正常数；选取虚拟控制信号α₂和误差补偿信号ζ₂为：

其中，k₂和s₂是正的设计参数，sign(ζ₂)表示ζ₂的符号函数，

为θ的估计值，参数θ的定义将在后面给出；将公式(13)至公式(17)代入公式(12)得到：

步骤2.3.选取障碍Lyapunov函数V₃为：

对公式(19)进行求导，得到：

其中，

令

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₃＞0，存在径向基神经网络

使得

其中，δ₃表示逼近误差，并且满足|δ₃|≤ε₃，从而由杨氏不等式得：

其中，W₃∈R^w是权重向量，||W₃||为向量W₃的范数，S₃(Z)为基函数向量，sign(ζ₃)表示ζ₃的符号函数，l₃＞0，h₃为正常数。设计q轴定子电压u_q为真实控制律，u_q的表达式如下：

误差补偿信号ζ₃为：

其中，k₃和s₃是正的设计参数。将公式(21)至公式(24)代入公式(20)得到：

步骤2.4.选取障碍Lyapunov函数V₄为：

对公式(26)求导得到：

其中，

令f₄(Z)＝c₁x₄+c₂x₂x₃；根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₄＞0，存在径向基神经网络

使得：

其中，δ₄表示逼近误差，并且满足|δ₄|≤ε₄，从而由杨氏不等式得：

其中，W₄∈R^w是权重向量，||W₄||为向量W₄的范数，S₄(Z)为基函数向量，l₄＞0，h₄为正常数，sign(ζ₄)表示ζ₄的符号函数。设计d轴定子电压u_d为真实控制律，u_d的表达式如下：

误差补偿信号ζ₄为：

其中，k₄和s₄是正的设计参数。将公式(28)至公式(31)代入公式(27)得到：

定义θ＝max{||W₂||²,||W₃||²,||W₄||²}，则得到：

步骤2.5.定义θ的估计误差

为：

选取障碍Lyapunov函数V为：

其中，r为正常数，则对V求导得到：

其中，

为自适应律，选取自适应律

为：

其中，m为正常数，将公式(36)代入公式(35)得到：

步骤3.对永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法进行稳定性分析。

当

由杨氏不等式得：

将公式(38)、(39)、(40)代入公式(37)，则得到：

其中，

通过有限时间定义得知，补偿误差v_i和误差补偿信号ζ_i都是在有限时间内收敛到原点附近的小邻域内，即系统误差变量z_i也在有限时间内收敛。

由于误差补偿信号ζ_i是收敛的，所以，存在一个正常数k_ζ，使得|ζ_i|≤k_ζ。

由于z₁＝x₁-x_d,v₁＝z₁-ζ₁且

则

由于虚拟控制信号α₁是关于

的函数，得知α₁是有界的，所以x_1,c也是有界的，并且存在一个正常数

使得

则

由于虚拟控制信号α₂是关于z₂,v₂的函数，得知α₂是有界的，所以x_2,c也是有界的，并且存在一个正常数

使得

则：

因此，永磁同步电动机系统的状态量被约束在紧集Ω_x内。

下面利用MATLAB软件对所提出的基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法进行仿真，以验证所提出控制方法的可行性。具体参数选择如下：

电动机及负载参数为：J＝0.003798kg·m²,R_s＝0.68Ω,B＝0.001158N·m/(rad/s),L_d＝0.00285H,L_q＝0.00315H,Φ＝0.1245H,n_p＝3。

选择控制律参数为：s₁＝2，s₂＝1，s₃＝1，s₄＝1，k₁＝120，k₂＝1，k₃＝180，k₄＝30，l₁＝l₂＝l₃＝0.1，l₄＝0.5，h₂＝h₃＝h₄＝0.5，r＝0.01，m＝0.2。

指令滤波器的参数选择为α＝1/3。

给定期望的位置信号x_d＝sin(t)，设负载转矩为

永磁同步电动机仿真初始状态为[x₁,x₂,x₃,x₄]＝[0,0,0,0]。

选取为

则系统的状态区间为：

|x₁|＜2，|x₂|＜15，|x₃|＜20，|x₄|＜20。

基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法的仿真结果如图2-6所示。

应用本发明控制方法后，转子角度跟踪信号x₁和期望信号x_d如图2所示；转子角度跟踪误差如图3所示；由图2和图3看出，永磁同步电动机系统的输出很好的跟踪期望信号。

q轴定子电压和d轴定子电压如图4和图5所示。

由图4和图5看出，经过本发明控制方法后真实控制律u_q和u_d都稳定在一个有界区域内。

永磁同步电动机状态量的约束空间如图6所示。由图6能够看出，经过本发明控制方法后，电动机的转子角速度、定子电流等状态量都在约束空间内。

以上仿真结果表明，本发明中基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法能够高效地跟踪参考信号，因此，具有实际的实施意义。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法，其特征在于，

包括如下步骤：

步骤1.建立d-q坐标轴下永磁同步电动机的动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，θ表示转子角度，ω表示转子角速度，u_q表示q轴定子电压，u_d表示d轴定子电压，i_q表示q轴定子电流，i_d表示d轴定子电流，L_q表示q轴定子电感，L_d表示d轴定子电感，J表示转动惯量，B表示摩擦系数，n_p表示极对数，Φ表示永磁体产生的磁链，T表示电磁转矩；T_L表示负载转矩，R_s表示定子电阻；为了简化以上动态数学模型，定义如下新变量：

则永磁同步电动机的动态数学模型用公式(2)表示，即：

步骤2.采用障碍Lyapunov函数设计基于一种指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法，控制目标是设计q轴定子电压u_q和d轴定子电压u_d为真实控制律，使得x₁跟踪期望的位置信号x_d，同时使永磁同步电动机系统的状态量始终在给定的区间内；

对于一个连续的非线性函数f(Z)，存在径向基函数神经网络W^TS(Z)使得：

f(Z)＝W^TS(Z)+δ(Z)；其中，δ(Z)是逼近误差且满足|δ(Z)|≤ε，ε为任意小的正常数；

是输入向量，q是神经网络输入维数，R^q为实数向量集；

W∈R^w是权重向量，神经网络节点数w为正整数，且w＞1，R^w为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_w(Z)]^T∈R^w为基函数向量；s_j(Z)为高斯函数，其表达式为：

其中，μ_j表示接受域的中心，η_j表示高斯函数的宽度；

定义有限时间：对于任意的实数λ₁＞0,λ₂＞0,0＜β＜1，则有限时间稳定的扩展Lyapunov条件表示为：

其中，V(x)表示系统的Lyapunov函数；系统的收敛时间T_r通过T_r≤t₀+[1/λ₁(1-β)]ln[(λ₁V^1-β(t₀)+λ₂)/λ₂]来估计，t₀表示初始时间；

定义有限时间指令滤波器为：

其中，

均为有限时间指令滤波器的输出信号，t＝1,2；Ξ是有限时间指令滤波器参数，0＜α＜1，Ξ_b是正常数；

表示

的符号函数，

表示

的符号函数；

和

定义如下：

其中，虚拟控制信号α_t表示有限时间指令滤波器的输入信号，t＝1,2；

定义跟踪误差变量为：

定义误差补偿信号为：

其中，z_i为系统跟踪误差变量，v_i为补偿误差，ζ_i为误差补偿信号，i＝1,2,3,4；

定义如下紧集Ω_v和Ω_x：

其中，

与

是正的常数，

A₀、A₁均为正常数；

基于指令滤波的永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法的每一步都采用一个障碍Lyapunov函数来构建一个虚拟控制信号或者真实控制律；控制方法包括以下步骤：

步骤2.1.对于期望的位置信号x_d，选取障碍Lyapunov函数V₁为：

对V₁求导得：

其中，

sign(ζ₁)表示ζ₁的符号函数，l₁＞0；根据杨氏不等式得到：

选取虚拟控制信号α₁和误差补偿信号ζ₁为：

其中，k₁和s₁是正的设计参数，0＜β＜1；将公式(7)、(8)、(9)代入公式(6)得到：

步骤2.2.选取障碍Lyapunov函数V₂为：

对公式(11)进行求导，得到：

其中，

根据杨氏不等式，得到：

其中，d表示|T_L|的上限值，ε₁为任意小的正数；

令

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₂＞0，存在径向基神经网络

使得

其中，δ₂表示逼近误差，并且满足|δ₂|≤ε₂，从而由杨氏不等式得：

其中，W₂∈R^w是权重向量，||W₂||为向量W₂的范数，S₂(Z)为基函数向量，l₂＞0，h₂为正常数；选取虚拟控制信号α₂和误差补偿信号ζ₂为：

其中，k₂和s₂是正的设计参数，sign(ζ₂)表示ζ₂的符号函数，

为θ的估计值，参数θ的定义将在后面给出；将公式(13)至公式(17)代入公式(12)得到：

步骤2.3.选取障碍Lyapunov函数V₃为：

对公式(19)进行求导，得到：

其中，

令

根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₃＞0，存在径向基神经网络W₃ ^TS₃(Z)使得f₃(Z)＝W₃ ^TS₃(Z)+δ₃；

其中，δ₃表示逼近误差，并且满足|δ₃|≤ε₃，从而由杨氏不等式得：

其中，W₃∈R^w是权重向量，||W₃||为向量W₃的范数，S₃(Z)为基函数向量，sign(ζ₃)表示ζ₃的符号函数，l₃＞0，h₃为正常数；设计q轴定子电压u_q为真实控制律，u_q的表达式如下：

误差补偿信号ζ₃为：

其中，k₃和s₃是正的设计参数；将公式(21)至公式(24)代入公式(20)得到：

步骤2.4.选取障碍Lyapunov函数V₄为：

对公式(26)求导得到：

其中，

令f₄(Z)＝c₁x₄+c₂x₂x₃；根据万能逼近定理，对于任意小的常数ε₄＞0，存在径向基神经网络

使得：

其中，δ₄表示逼近误差，并且满足|δ₄|≤ε₄，从而由杨氏不等式得：

其中，W₄∈R^w是权重向量，||W₄||为向量W₄的范数，S₄(Z)为基函数向量，l₄＞0，h₄为正常数，sign(ζ₄)表示ζ₄的符号函数；设计d轴定子电压u_d为真实控制律，u_d的表达式如下：

误差补偿信号ζ₄为：

其中，k₄和s₄是正的设计参数；将公式(28)至公式(31)代入公式(27)得到：

定义θ＝max{||W₂||²,||W₃||²,||W₄||²}，则得到：

步骤2.5.定义θ的估计误差

为：

选取障碍Lyapunov函数V为：

其中，r为正常数，则对V求导得到：

其中，

为自适应律，选取自适应律

为：

其中，m为正常数，将公式(36)代入公式(35)得到：

步骤3.对永磁同步电动机全状态约束有限时间控制方法进行稳定性分析；

当

由杨氏不等式得：

将公式(38)至公式(40)代入公式(37)，则得到：

其中，

通过有限时间定义得知，补偿误差v_i和误差补偿信号ζ_i都是在有限时间内收敛到原点附近的小邻域内，即系统误差变量z_i也在有限时间内收敛；

由于误差补偿信号ζ_i是收敛的，所以，存在一个正常数k_ζ，使得|ζ_i|≤k_ζ；

由于z₁＝x₁-x_d,v₁＝z₁-ζ₁且

则

由于虚拟控制信号α₁是关于z₁,v₁,

的函数，得知α₁是有界的，所以x_1,c也是有界的，并且存在一个正常数

使得

则

由于虚拟控制信号α₂是关于z₂,v₂的函数，得知α₂是有界的，所以x_2,c也是有界的，并且存在一个正常数

使得

则：

因此，永磁同步电动机系统的状态量被约束在紧集Ω_x内。

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