CN113659894B - 基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应控制方法。该方法针对异步电动机随机系统的控制精度要求以及存在的随机扰动和非线性问题，设计模糊自适应反步控制器实现对目标位置的跟踪，利用模糊自适应技术逼近模型中的随机非线性函数，采用指令滤波技术解决传统反步法中由于对虚拟控制函数反复求导产生的计算复杂问题，将有限时间控制方法与指令滤波技术相结合，提高了异步电动机随机系统的收敛速度以及抗干扰能力。通过仿真实验，证实了本发明方法能够使异步电动机随机系统快速跟踪期望信号，同时克服随机扰动的影响。

Description

基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应控制 方法

技术领域

本发明属于异步电动机位置跟踪控制技术领域，涉及一种基于指令滤波的异步电动机随 机有限时间模糊自适应控制方法。

背景技术

近年来，异步电动机凭借其结构简单、效率高、使用寿命长和实际运用性强等特点，在 农业和工业等领域有着极为广泛的运用。然而，异步电动机系统是一个高度非线性、强耦合、 多变量的系统，并且在实际运用中异步电动机系统会被一些不确定的因素所干扰，例如参数 不确定以及负载扰动等。为了解决这些问题，相关科技工作者提出了一些非线性控制方法并 取得了较好的成效，例如反步控制、滑模控制、鲁棒控制等先进的控制技术。

然而，上述控制方法很少考虑异步电动机实际运行中存在的随机扰动问题。在工业实际 应用中，异步电动机系统存在随机扰动，例如电压随机浪涌、电动机温度变化等；并且阻尼 转矩、扭转弹性转矩以及磁路饱和等会使电动机转矩、自感互感以及绕组电阻等参数发生变 化，这些随机问题的存在会对异步电动机系统的各项控制性能产生不利影响。因此，考虑异 步电动机运行过程中的随机扰动问题对于提高异步电动机系统的性能是非常有必要的。

在另一个前端研究领域，作为先进控制方法的自适应反步法已成功运用到了异步电动机 驱动系统中，并取得了较好的控制效果，但反步法存在的缺点主要体现在某些驱动系统的某 些函数必须是线性的以及复杂的计算爆炸问题。上述问题的存在对异步电动机驱动系统的使 用具有较大的局限性。其中，针对某些驱动系统的功能必须是线性的的问题，现有技术已经 提出近似理论来解决，例如模糊逻辑系统(FLS)或神经网络(NN)；针对复杂的计算爆炸 问题，现有技术已经提出动态面控制(DSC)方法来解决，并取得了显著成效。然而，在使 用动态面控制方法时会存在滤波误差，并且此误差无法消除，这将影响控制效果。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应控制方 法，该方法在充分考虑随机扰动的情况下，能够使异步电动机系统快速跟踪期望信号。

本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应控制方法，包括如下步骤：

步骤1.建立异步电动机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，

θ为转子角位置，ω为转子角速度，J为转动惯量，L_m为互感，T_L为负载转矩，/>

为转子磁链，n_p为极对数，L_s为定子漏感，L_r为转子漏感，i_d为d轴定子电 流，i_q为q轴定子电流，R_s为定子等效电阻，R_r为转子等效电阻，u_d为d轴定子电压，u_q为 q轴定子电压；为了简化上述动态数学模型，将各变量重新定义如下：

异步电动机的随机系统表示为：dx＝f(x)dt+h(x)dw；

其中，x∈Rⁿ是系统状态变量，w为独立增量随机过程；f(·)：Rⁿ→Rⁿ和h(·)：Rⁿ→R^{n ×r}是在x上的局部Lipschitz函数，且f(·)的初始值f(0)＝0和h(·)的初始值h(0)＝0；Rⁿ、R^n×r表示实数向量集，上标n、n×r均为实数向量集的维数；

考虑到系统的随机扰动问题，则异步电动机随机系统的模型表示如下：

其中，ψ₁、ψ₂、ψ₃、ψ₄、ψ₅均表示未知的光滑非线性函数；

步骤2.根据指令滤波技术和自适应反步法原理，设计一种基于指令滤波的异步电动机随 机有限时间模糊自适应控制方法，其控制目标是：

设计q轴定子电压u_q和d轴定子电压u_d为真实控制律，使得异步电动机的位置信号x₁和 磁链信号x₄分别跟踪期望的位置信号x_1d和期望的磁链信号x_4d；

基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C²，C²表示复数集，定义差分运算L，由

微分法则得知：/>

其中，

表示/>

修正项，Tr表示对角线元素之和；

假设f(Z)在紧集Ω_z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑 系统W^TS(Z)满足：

输入向量/>

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈Rⁿ是模糊权向量，模糊节点数n为正整数，且n＞1；

S(Z)＝[s₁(Z),...,s_n(Z)]^T∈Rⁿ为基函数向量，s_m(Z)为高斯函数，s_m(Z)的表达式为：

其中，μ_m是高斯函数分布曲线的中心位置，η_m为高斯函数的宽度；

定义指令滤波器如下：

其中，

均为指令滤波器的输出信号，ω_n为滤波器系数，虚拟控制函数 α₁为指令滤波器的输入信号。如果α₁满足/>

和/>

其中，ρ₁和ρ₂均为正数，且

其中/>

为/>

的初始值，/>

为/>

的初始值，α₁(0)为α₁的初始值，则对于任意的μ＞0，存在ω_n＞0，ζ∈(0,1]，从而使/>

对于Lyapunov函数V(x)：Rⁿ→R₊，满足：

其中，R₊表示正实数，|x|表示x的绝对值，n₁₁和n₂₂为k_∞类函数，a₀＞0，b₀＞0且0＜β＜1；

构造紧集Ω_x＝{x|E[V^β(x)]≤b₀/(1-φ₃)a₀}；其中，E[V^β(x)]表示期望值，0＜φ₃＜1；

当时间大于收敛时间T_r＝(1/φ₃a₀(1-β))[E[V^1-β(x₀)]-(b₀/(1-φ₃)a₀)^(1-β)/β]时，其中，初 始状态x₀＝[x₁(0),x₂(0),...,x₅(0)]，紧集Ω_x是有界的，则随机非线性系统满足半全局实际有 限时间稳定；

其中，T_r表示收敛时间，x₀表示系统的初始状态，x₁(0),x₂(0),...,x₅(0)表示x₁,x₂,x₃,x₄,x₅的初始值，E[V^1-β(x₀)]表示期望值；

对于实数

χ，以及任意实数变量μ、ρ和s，以下不等式是成立的：

步骤2.1.基于异步电动机随机系统模型，设计如下的基于指令滤波的有限时间模糊自适 应反步控制器：根据反步法原理，定义系统误差变量如下：

其中，z_i表示跟踪误差变量，v_i表示补偿误差变量，x_1d和x_4d分别为给定的期望位置信 号和期望磁链信号，虚拟控制函数α_i(i＝1,2,...,5)为滤波器的输入信号，ξ_i(i＝1,2,...,5) 为补偿信号，x_j,c(j＝1,2,3)为滤波器的输出信号；

基于指令滤波的有限时间模糊自适应反步控制器设计的每一步都会选取一个Lyapunov 函数来构建一个虚拟控制律或者真实控制律，模糊自适应反步控制器的设计包括以下步骤：

步骤2.2.选取Lyapunov函数

对V₁求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₁为设计常数，且l₁＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₁＞0，存在模糊逻辑系统W₁ ^TS₁(Z)使得：

f₁(Z)＝W₁ ^TS₁(Z)+δ₁，其中，δ₁表示逼近误差，并满足不等式|δ₁|≤ε₁，从而

其中，h₁为正数，||W₁||为向量W₁的范数；

构造虚拟控制函数α₁和滤波误差补偿信号ξ₁，即：

其中，k₁为常数，且k₁＞0，定义

为未知常数θ的估计值，θ的定义将会在下面给出。将公式(7)、(8)和(9)代入公式(6)得到：

步骤2.3.选取Lyapunov函数

对V₂求导得：

定义参数d，其中d＞0，满足0≤|T_L|≤d，由杨氏不等式得：

令

l₂为设计常数，且l₂＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统W₂ ^TS₂(Z)使得：

f₂(Z)＝W₂ ^TS₂(Z)+δ₂，其中δ₂表示逼近误差，并满足不等式|δ₂|≤ε₂，从而

其中，h₂为正数，||W₂||为向量W₂的范数；

构造虚拟控制函数α₂和滤波误差补偿信号ξ₂，即：

其中，k₂为常数，k₂＞0，将公式(12)、(13)和(14)代入公式(11)得到：

步骤2.4.选取Lyapunov函数

对V₃求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₃为设计常数，l₃＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₃＞0，存在模糊逻辑系统W₃ ^TS₃(Z)使得：

f₃(Z)＝W₃ ^TS₃(Z)+δ₃，其中δ₃表示逼近误差，并满足不等式|δ₃|≤ε₃，从而

其中，h₃为正数，||W₃||为向量W₃的范数；

构造真实控制律u_q和滤波误差补偿信号ξ₃，即：

其中，k₃为常数，k₃＞0，将公式(17)、(18)和(19)代入公式(16)得到：

步骤2.5.选取Lyapunov函数

对V₄求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₄为设计常数，且l₄＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₄＞0，存在模糊逻辑系统W₄ ^TS₄(Z)使得：

f₄(Z)＝W₄ ^TS₄(Z)+δ₄，其中δ₄表示逼近误差，并满足不等式|δ₄|≤ε₄，从而

其中，h₄为正数，||W₄||为向量W₄的范数；

构造虚拟控制函数α₃和滤波误差补偿信号ξ₄，即：

其中，k₄为常数，k₄＞0，将公式(22)、(23)和(24)代入公式(21)得到：

步骤2.6.选取Lyapunov函数

对V₅求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₅为设计常数，l₅＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₅＞0，存在模糊逻辑系统W₅ ^TS₅(Z)使得：

f₅(Z)＝W₅ ^TS₅(Z)+δ₅，其中δ₅表示逼近误差，并满足不等式|δ₅|≤ε₅，从而

其中，h₅为正数，||W₅||为向量W₅的范数；

构造真实控制律u_d和滤波误差补偿信号ξ₅，即：

其中，k₅为常数，k₅＞0，定义θ＝max{||W₁||²,||W₂||²,||W₃||²,||W₄||²,||W₅||²}，并定义其估计误 差

将公式(27)、(28)和(29)代入公式(26)得到：

步骤3.对基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应控制方法进行稳定性分 析；选择异步电动机随机系统的Lyapunov函数

对V求导得：

其中，r₁为正数；构造如下自适应律

其中，m₁为正数，将公式(32)代入公式(31)得到：

由杨氏不等式得：

根据公式(5)，令

ρ＝1-β，μ＝β，s＝1/β，则：

将公式(34)、(35)代入公式(33)得到：

其中

根据公式(4)下方的收敛时间表达式，可知T_r＝1/φ₃a₀(1-β)[E[V^1-β(v(0))]-(b₀/(1-φ₃) a₀)^(1-β)/β]，其中，v(0)＝[v₁(0),v₂(0),...,v₅(0)]^T；

其中，v(0)表示补偿误差变量的初始状态，v₁(0),v₂(0),...,v₅(0)表示v₁,v₂,...,v₅的初始值；

对于

存在：/>

则闭环系统的所有信号满足半全局实际有限时间稳定，其中，t表示时间。

另外，对于

存在/>

即补偿误差变量v₁会在有限时间T_r内收敛到原点的很小邻域内；

为了证明滤波误差补偿信号ξ_i有界，选取补偿信号的Lyapunov函数

对V_ξ求导得：

对于任意的σ＞0，有|x_j,c-α_j|≤σ，其中j＝1,2,3，由杨氏不等式得：

将公式(40)代入公式(39)得到：

其中，Q＝min{(2κ₁)^β,(2κ₂)^β,(2κ₃)^β,(2κ₄)^β,(2κ₅)^β}；

κ₁＝k₁-1,

κ₄＝k₄-b₄,/>

根据公式(5)，令

ρ＝1-β，μ＝β，s＝1/β，则

将公式(42)代入公式(41)得到：

其中，

由式v_i＝z_i-ξ_i得出，由于v_i和ξ_i的有界性，则跟踪误差变量z_i是有界的；

以上结果表明，在有限的时间内，跟踪误差z_i在原点附近的小范围内，且闭环变量v_i，ξ_i都有界。

本发明具有如下优点：

(1)本发明方法在设计模糊自适应反步控制器控制器时，考虑了异步电动机随机系统运 行过程中存在的随机扰动问题，使得模型更接近于实际系统，满足实际工程需要。

(2)本发明采用模糊逻辑系统逼近的方法来处理异步电动机驱动系统中的未知随机非线 性函数，简化了模糊自适应反步控制器的结构，有效地解决了在参数不确定和有负载转矩扰 动的情况下异步电动机的位置跟踪控制的问题。

(3)本发明采用指令滤波技术，在解决了传统反步控制中的“计算爆炸”问题的同时， 通过误差补偿技术减小了滤波误差，提高了异步电动机驱动系统的控制精度；

(4)本发明采用有限时间控制方法，能够以更快的速度实现位置信号的跟踪且具有更强 的抗干扰能力。

附图说明

图1为本发明中基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应反步控制器、坐标 变换、SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图。

图2为采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪仿真图。

图3为采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪误差仿真图。

图4为采用本发明控制方法后转子磁链和转子磁链设定值跟踪仿真图。

图5为采用本发明控制方法后异步电动机d轴定子电压仿真图。

图6为采用本发明控制方法后异步电动机q轴定子电压仿真图。

具体实施方式

本发明的基本思想为：通过将自适应反步法与指令滤波技术相结合应用在异步电动机的 位置跟踪控制上，以解决异步电动机驱动系统中存在的参数不确定、外界负载变化问题和传 统反步法中存在的计算爆炸问题；本发明方法考虑了随机扰动对异步电动机带来的不利影响， 引入了有限时间控制技术，使得跟踪误差能够在有限时间内收敛到原点非常小的领域内，使 本发明控制方法具有更高的工程实践价值，并获得了理想的跟踪效果。

如图1示出了本发明中基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应反步控制 器、坐标变换、SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图。

图1中涉及的部件主要包括基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应反步控 制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3、转速检测单元4和电流检测单元5。

在图1中U、V、W表示三相电压，u_α和u_β为两相静止坐标系下的电压，ω为转子角速度。转速检测单元4和电流检测单元5主要用于检测异步电动机的转速相关变量和电流值，通过实际测量的电流和转速变量作为模糊自适应反步控制器输入，通过基于指令滤波的异步 电动机随机有限时间模糊自适应反步控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制异步电 动机的转子位置。

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应控制方法，包括如下步骤：

步骤1.建立异步电动机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，

θ为转子角位置，ω为转子角速度，J为转动惯量，L_m为互感，T_L为负载转矩，/>

为转子磁链，n_p为极对数，L_s为定子漏感，L_r为转子漏感，i_d为d轴定子电 流，i_q为q轴定子电流，R_s为定子等效电阻，R_r为转子等效电阻，u_d为d轴定子电压，u_q为 q轴定子电压。为了简化上述动态数学模型，将各变量重新定义如下：

异步电动机的随机系统表示为：dx＝f(x)dt+h(x)dw。

其中，x∈Rⁿ是系统状态变量，w为独立增量随机过程；f(·)：Rⁿ→Rⁿ和h(·)：Rⁿ→R^{n ×r}是在x上的局部Lipschitz函数，且f(·)的初始值f(0)＝0和h(·)的初始值h(0)＝0；Rⁿ、R^n×r表示实数向量集，上标n、n×r均为实数向量集的维数；

考虑到系统的随机扰动问题，则异步电动机随机系统的模型表示如下：

其中，ψ₁、ψ₂、ψ₃、ψ₄、ψ₅均表示未知的光滑非线性函数。

步骤2.根据指令滤波技术和自适应反步法原理，设计一种基于指令滤波的异步电动机随 机有限时间模糊自适应控制方法，其控制目标是：

设计q轴定子电压u_q和d轴定子电压u_d为真实控制律，使得异步电动机的位置信号x₁和 磁链信号x₄分别跟踪期望的位置信号x_1d和期望的磁链信号x_4d。

基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C²，C²表示复数集，定义差分运算L，由

微分法则得知：/>

其中，

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修正项，Tr表示对角线元素之和。

假设f(Z)在紧集Ω_z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑 系统W^TS(Z)满足：

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q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈Rⁿ是模糊权向量，模糊节点数n为正整数，且n＞1。

S(Z)＝[s₁(Z),...,s_n(Z)]^T∈Rⁿ为基函数向量，s_m(Z)为高斯函数，s_m(Z)的表达式为：

其中，μ_m是高斯函数分布曲线的中心位置，η_m为高斯函数的宽度。

定义指令滤波器如下：

其中，

均为指令滤波器的输出信号，ω_n为滤波器系数，虚拟控制函数 α₁为指令滤波器的输入信号。如果α₁满足/>

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其中，ρ₁和ρ₂均为正数，且

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对于Lyapunov函数V(x)：Rⁿ→R₊，满足：

其中，R₊表示正实数，|x|表示x的绝对值，n₁₁和n₂₂为k_∞类函数，a₀＞0，b₀＞0且0＜β＜1；

构造紧集Ω_x＝{x|E[V^β(x)]≤b₀/(1-φ₃)a₀}；其中，E[V^β(x)]表示期望值，0＜φ₃＜1；

当时间大于收敛时间T_r＝(1/φ₃a₀(1-β))[E[V^1-β(x₀)]-(b₀/(1-φ₃)a₀)^(1-β)/β]时，其中，初 始状态x₀＝[x₁(0),x₂(0),...,x₅(0)]，Ω_x是有界的，则随机非线性系统满足半全局实际有限时 间稳定；

其中，T_r表示收敛时间，x₀表示系统的初始状态，x₁(0),x₂(0),...,x₅(0)表示x₁,x₂,x₃,x₄,x₅的初始值，E[V^1-β(x₀)]表示期望值；

对于实数

χ，以及任意实数变量μ、ρ和s，以下不等式是成立的：

步骤2.1.基于异步电动机随机系统模型，设计如下的基于指令滤波的有限时间模糊自适 应反步控制器：根据反步法原理，定义系统误差变量如下：

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其中，z_i表示跟踪误差变量，v_i表示补偿误差变量，x_1d和x_4d分别为给定的期望位置信 号和期望磁链信号，虚拟控制函数α_i(i＝1,2,...,5)为滤波器的输入信号，ξ_i(i＝1,2,...,5) 为补偿信号，x_j,c(j＝1,2,3)为滤波器的输出信号。

基于指令滤波的有限时间模糊自适应反步控制器设计的每一步都会选取一个Lyapunov 函数来构建一个虚拟控制律或者真实控制律，模糊自适应反步控制器的设计包括以下步骤：

步骤2.2.选取Lyapunov函数

对V₁求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₁为设计常数，且l₁＞0。

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₁＞0，存在模糊逻辑系统W₁ ^TS₁(Z)使得：

f₁(Z)＝W₁ ^TS₁(Z)+δ₁，其中，δ₁表示逼近误差，并满足不等式|δ₁|≤ε₁，从而

其中，h₁为正数，||W₁||为向量W₁的范数。

构造虚拟控制函数α₁和滤波误差补偿信号ξ₁，即：

其中，k₁为常数，且k₁＞0，定义

为未知常数θ的估计值，θ的定义将会在下面给出。将公式(7)、(8)和(9)代入公式(6)得到：

步骤2.3.选取Lyapunov函数

对V₂求导得：/>

定义参数d，其中d＞0，满足0≤|T_L|≤d，由杨氏不等式得：

令

l₂为设计常数，且l₂＞0。

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统W₂ ^TS₂(Z)使得：

f₂(Z)＝W₂ ^TS₂(Z)+δ₂，其中δ₂表示逼近误差，并满足不等式|δ₂|≤ε₂，从而

其中，h₂为正数，||W₂||为向量W₂的范数。

构造虚拟控制函数α₂和滤波误差补偿信号ξ₂，即：

其中，k₂为常数，k₂＞0，将公式(12)、(13)和(14)代入公式(11)得到：

步骤2.4.选取Lyapunov函数

对V₃求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₃为设计常数，l₃＞0。

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₃＞0，存在模糊逻辑系统W₃ ^TS₃(Z)使得：

f₃(Z)＝W₃ ^TS₃(Z)+δ₃，其中δ₃表示逼近误差，并满足不等式|δ₃|≤ε₃，从而

其中，h₃为正数，||W₃||为向量W₃的范数。

构造真实控制律u_q和滤波误差补偿信号ξ₃，即：

其中，k₃为常数，k₃＞0，将公式(17)、(18)和(19)代入公式(16)得到：

步骤2.5.选取Lyapunov函数

对V₄求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₄为设计常数，且l₄＞0。

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₄＞0，存在模糊逻辑系统W₄ ^TS₄(Z)使得：

f₄(Z)＝W₄ ^TS₄(Z)+δ₄，其中δ₄表示逼近误差，并满足不等式|δ₄|≤ε₄，从而

其中，h₄为正数，||W₄||为向量W₄的范数。

构造虚拟控制函数α₃和滤波误差补偿信号ξ₄，即：

其中，k₄为常数，k₄＞0，将公式(22)、(23)和(24)代入公式(21)得到：

步骤2.6.选取Lyapunov函数

对V₅求导得：

由杨氏不等式得：

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令

l₅为设计常数，l₅＞0。

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₅＞0，存在模糊逻辑系统W₅ ^TS₅(Z)使得：

f₅(Z)＝W₅ ^TS₅(Z)+δ₅，其中δ₅表示逼近误差，并满足不等式|δ₅|≤ε₅，从而

其中，h₅为正数，||W₅||为向量W₅的范数。

构造真实控制律u_d和滤波误差补偿信号ξ₅，即：

其中，k₅为常数，k₅＞0，定义θ＝max{||W₁||²,||W₂||²,||W₃||²,||W₄||²,||W₅||²}，并定义其估计误 差

将公式(27)、(28)和(29)代入公式(26)得到：

步骤3.对基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应控制方法进行稳定性分 析；选择异步电动机随机系统的Lyapunov函数

对V求导得：

其中，r₁为正数；构造如下自适应律

其中，m₁为正数，将公式(32)代入公式(31)得到：

由杨氏不等式得：

根据公式(5)，令

ρ＝1-β，μ＝β，s＝1/β，则：

将公式(34)、(35)代入公式(33)得到：

其中

根据公式(4)下方的收敛时间表达式，可知T_r＝1/φ₃a₀(1-β)[E[V^1-β(v(0))]-(b₀/(1-φ₃) a₀)^(1-β)/β]，其中，v(0)＝[v₁(0),v₂(0),...,v₅(0)]^T；

其中，v(0)表示补偿误差变量的初始状态，v₁(0),v₂(0),...,v₅(0)表示v₁,v₂,...,v₅的初始值；

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则闭环系统的所有信号满足半全局实际有限时间稳定，其中，t表示时间。

另外，对于

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即补偿误差变量v₁会在有限时间T_r内收敛到原点的很小邻域内。

为了证明滤波误差补偿信号ξ_i有界，选取补偿信号的Lyapunov函数

对V_ξ求导得：

对于任意的σ＞0，有|x_j,c-α_j|≤σ，其中j＝1,2,3，由杨氏不等式得：

将公式(40)代入公式(39)得到：

其中，Q＝min{(2κ₁)^β,(2κ₂)^β,(2κ₃)^β,(2κ₄)^β,(2κ₅)^β}；

κ₁＝k₁-1,

κ₄＝k₄-b₄,/>

根据公式(5)，令

ρ＝1-β，μ＝β，s＝1/β，则

将公式(42)代入公式(41)得到：

其中，

由式v_i＝z_i-ξ_i得出，由于v_i和ξ_i的有界性，则跟踪误差变量z_i是有界的；

以上结果表明，在有限的时间内，跟踪误差z_i在原点附近的小范围内，且闭环变量v_i，ξ_i都有界。

本发明方法中指令滤波控制技术通过引入补偿信号来消除滤波误差的影响，解决了上述 问题。此外，将有限时间控制方法运用到非线性系统中，能够加快异步电动机系统的响应速 度和收敛速度，获得更好的鲁棒性能和抗干扰性能，保证系统时间最优化。

下面在虚拟环境下对所提出的基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应控制 方法进行仿真，验证本发明所提出的控制方法的可行性：

电动机参数为：n_p＝1，J＝0.0586kg·m²，L_m＝0.068H，L_s＝0.0699H，L_r＝0.0699H，R_r＝0.15Ω，R_s＝0.1Ω。

选取的模糊集为：

l∈N，N表示整数，且l∈[-5,5]。

选取异步电动机仿真初始状态为[0.1,0,0,1,0]。

选取模糊自适应反步控制器参数：

k₁＝4，k₂＝2，k₃＝60，k₄＝54，k₅＝38，h₁＝h₂＝h₃＝h₄＝h₅＝0.5，m₁＝0.005，r₁＝0.02， β＝0.9。

负载转矩为：T_L＝1.0N·m，期望的位置信号为：x_1d＝sin(t)，期望的磁链信号为：x_4d＝1。

基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应控制方法的仿真结果如图2-6所示。

其中，转子位置信号x₁和期望位置信号x_1d如图2所示，转子位置跟踪误差x₁-x_1d如图3 所示，磁链信号x₄和期望磁链信号x_4d如图4所示。

由图2和图4能够看出系统的输出能够以更快的速度跟踪期望信号，由图3能够看出系 统的跟踪误差收敛到原点附近的小范围内，系统的跟踪效果好且跟踪精度高。

q轴定子电压和d轴定子电压如图5和图6所示。由图5和图6能够看出，经过本发明控制方法后，真实控制律u_q和u_d都稳定在一个有界区域内。

以上仿真结果表明，本发明中基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应控制 方法能够高效地跟踪参考信号，因此，具有实际的实施意义。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说 明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变 形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应控制方法，其特征在于，

包括如下步骤：

步骤1.建立异步电动机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，

θ为转子角位置，ω为转子角速度，J为转动惯量，L_m为互感，T_L为负载转矩，/>

为转子磁链，n_p为极对数，L_s为定子漏感，L_r为转子漏感，i_d为d轴定子电流，i_q为q轴定子电流，R_s为定子等效电阻，R_r为转子等效电阻，u_d为d轴定子电压，u_q为q轴定子电压；为了简化上述动态数学模型，将各变量重新定义如下：

异步电动机的随机系统表示为：dx＝f(x)dt+h(x)dw；

其中，x∈Rⁿ是系统状态变量，w为独立增量随机过程；f(·)：Rⁿ→Rⁿ和h(·)：Rⁿ→R^n×r是在x上的局部Lipschitz函数，且f(·)的初始值f(0)＝0和h(·)的初始值h(0)＝0；Rⁿ、R^n×r表示实数向量集，上标n、n×r均为实数向量集的维数；

考虑到系统的随机扰动问题，则异步电动机随机系统的模型表示如下：

其中，ψ₁、ψ₂、ψ₃、ψ₄、ψ₅均表示未知的光滑非线性函数；

步骤2.根据指令滤波技术和自适应反步法原理，设计一种基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应控制方法，其控制目标是：

设计q轴定子电压u_q和d轴定子电压u_d为真实控制律，使得异步电动机的位置信号x₁和磁链信号x₄分别跟踪期望的位置信号x_1d和期望的磁链信号x_4d；

基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C²，C²表示复数集，定义差分运算L，由

微分法则得知：/>

其中，

表示/>

修正项，Tr表示对角线元素之和；

假设f(Z)在紧集Ω_z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

输入向量/>

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈Rⁿ是模糊权向量，模糊节点数n为正整数，且n＞1；

S(Z)＝[s₁(Z),...,s_n(Z)]^T∈Rⁿ为基函数向量，s_m(Z)为高斯函数，s_m(Z)的表达式为：

其中，μ_m是高斯函数分布曲线的中心位置，η_m为高斯函数的宽度；

定义指令滤波器如下：

其中，

均为指令滤波器的输出信号，ω_n为滤波器系数，虚拟控制函数α₁为指令滤波器的输入信号；如果α₁满足/>

和/>

其中，ρ₁和ρ₂均为正数，且

其中/>

为/>

的初始值，/>

为/>

的初始值，α₁(0)为α₁的初始值，则对于任意的μ＞0，存在ω_n＞0，ζ∈(0,1]，从而使/>

对于Lyapunov函数V(x)：Rⁿ→R₊，满足：

其中，R₊表示正实数，|x|表示x的绝对值，n₁₁和n₂₂为k_∞类函数，a₀＞0，b₀＞0且0＜β＜1；

构造紧集Ω_x＝{x|E[V^β(x)]≤b₀/(1-φ₃)a₀}；其中，E[V^β(x)]表示期望值，0＜φ₃＜1；

当时间大于收敛时间T_r＝(1/φ₃a₀(1-β))[E[V^1-β(x₀)]-(b₀/(1-φ₃)a₀)^(1-β)/β]时，其中，初始状态x₀＝[x₁(0),x₂(0),...,x₅(0)]，紧集Ω_x是有界的，则随机非线性系统满足半全局实际有限时间稳定；

其中，T_r表示收敛时间，x₀表示初始状态，x₁(0),x₂(0),...,x₅(0)表示x₁,x₂,x₃,x₄,x₅的初始值，E[V^1-β(x₀)]表示期望值；

对于实数

χ，以及任意实数变量μ、ρ和s，以下不等式是成立的：

步骤2.1.基于异步电动机随机系统模型，设计如下的基于指令滤波的有限时间模糊自适应反步控制器：根据反步法原理，定义跟踪误差变量和补偿误差变量如下：

其中，z_i表示跟踪误差变量，v_i表示补偿误差变量，x_1d和x_4d分别为给定的期望位置信号和期望磁链信号，虚拟控制函数α_i为滤波器的输入信号，ξ_i为补偿信号，x_j,c为滤波器的输出信号，i＝1,2,...,5，j＝1,2,3；

基于指令滤波的有限时间模糊自适应反步控制器设计的每一步都会选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制律或者真实控制律，模糊自适应反步控制器的设计包括以下步骤：

步骤2.2.选取Lyapunov函数

对V₁求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₁为设计常数，且l₁＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₁＞0，存在模糊逻辑系统

使得：

其中，δ₁表示逼近误差，并满足不等式|δ₁|≤ε₁，从而

其中，h₁为正数，||W₁||为向量W₁的范数；

构造虚拟控制函数α₁和滤波误差补偿信号ξ₁，即：

其中，k₁为常数，且k₁＞0，定义

为未知常数θ的估计值，θ的定义将会在下面给出；将公式(7)、(8)和(9)代入公式(6)得到：

步骤2.3.选取Lyapunov函数

对V₂求导得：

定义参数d，其中d＞0，满足0≤|T_L|≤d，由杨氏不等式得：

令

l₂为设计常数，且l₂＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₂＞0，存在模糊逻辑系统

使得：

其中δ₂表示逼近误差，并满足不等式|δ₂|≤ε₂，从而

其中，h₂为正数，||W₂||为向量W₂的范数；

构造虚拟控制函数α₂和滤波误差补偿信号ξ₂，即：

其中，k₂为常数，k₂＞0，将公式(12)、(13)和(14)代入公式(11)得到：

步骤2.4.选取Lyapunov函数

对V₃求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₃为设计常数，l₃＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₃＞0，存在模糊逻辑系统

使得：

其中δ₃表示逼近误差，并满足不等式|δ₃|≤ε₃，从而

其中，h₃为正数，||W₃||为向量W₃的范数；

构造真实控制律u_q和滤波误差补偿信号ξ₃，即：

其中，k₃为常数，k₃＞0，将公式(17)、(18)和(19)代入公式(16)得到：

步骤2.5.选取Lyapunov函数

对V₄求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₄为设计常数，且l₄＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₄＞0，存在模糊逻辑系统

使得：

其中δ₄表示逼近误差，并满足不等式|δ₄|≤ε₄，从而

其中，h₄为正数，||W₄||为向量W₄的范数；

构造虚拟控制函数α₃和滤波误差补偿信号ξ₄，即：

其中，k₄为常数，k₄＞0，将公式(22)、(23)和(24)代入公式(21)得到：

步骤2.6.选取Lyapunov函数

对V₅求导得：

由杨氏不等式得：

令

l₅为设计常数，l₅＞0；

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₅＞0，存在模糊逻辑系统

使得：

其中δ₅表示逼近误差，并满足不等式|δ₅|≤ε₅，从而

其中，h₅为正数，||W₅||为向量W₅的范数；

构造真实控制律u_d和滤波误差补偿信号ξ₅，即：

其中，k₅为常数，k₅＞0，定义θ＝max{||W₁||²,||W₂||²,||W₃||²,||W₄||²,||W₅||²}，并定义其估计误差

将公式(27)、(28)和(29)代入公式(26)得到：

步骤3.对基于指令滤波的异步电动机随机有限时间模糊自适应控制方法进行稳定性分析；选择异步电动机随机系统的Lyapunov函数

对V求导得：

其中，r₁为正数；构造如下自适应律

其中，m₁为正数，将公式(32)代入公式(31)得到：

由杨氏不等式得：

根据公式(5)，令

ρ＝1-β，μ＝β，s＝1/β，则：

将公式(34)、(35)代入公式(33)得到：

其中

根据公式(4)下方的收敛时间表达式，可知T_r＝1/φ₃a₀(1-β)[E[V^1-β(v(0))]-(b₀/(1-φ₃)a₀)^(1-β)/β]，其中，v(0)＝[v₁(0),v₂(0),...,v₅(0)]^T；

其中，v(0)表示补偿误差变量的初始状态，v₁(0),v₂(0),...,v₅(0)表示v₁,v₂,...,v₅的初始值；

对于

存在：/>

则闭环系统的所有信号满足半全局实际有限时间稳定，其中，t表示时间；

另外，对于

存在/>

即补偿误差变量v₁会在有限时间T_r内收敛到原点的很小邻域内；

为了证明滤波误差补偿信号ξ_i有界，选取补偿信号的Lyapunov函数

对V_ξ求导得：

对于任意的σ＞0，有|x_j,c-α_j|≤σ，其中j＝1,2,3，由杨氏不等式得：

将公式(40)代入公式(39)得到：

其中，Q＝min{(2κ₁)^β,(2κ₂)^β,(2κ₃)^β,(2κ₄)^β,(2κ₅)^β}；

κ₁＝k₁-1,

κ₄＝k₄-b₄,/>

根据公式(5)，令

ρ＝1-β，μ＝β，s＝1/β，则

将公式(42)代入公式(41)得到：

其中，

由式v_i＝z_i-ξ_i得出，由于v_i和ξ_i的有界性，则跟踪误差变量z_i是有界的；

以上结果表明，在有限的时间内，跟踪误差z_i在原点附近的小范围内，且闭环变量v_i，ξ_i都有界。

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